第一篇：高考數(shù)學(xué)錯題整理心得分享

高考數(shù)學(xué)錯題整理心得分享

學(xué)習(xí)中，很多同學(xué)都會有這樣的體會，很多考題明明老師講過、自己也做過，甚至還考過，但是最終答題的時候還是出現(xiàn)錯誤，其實，在這些錯題背后，隱藏著我們學(xué)習(xí)過程中所產(chǎn)生的漏洞，只有總結(jié)失敗原因，才能夠更好的接近成功，所以整理錯題集是非常不錯的一種方法，而且要把整理錯題養(yǎng)成習(xí)慣，做到極致。

常見的“錯題集”有三種類型：

一是訂正型，即將所有做錯題的題目都抄下來，并做出訂正;

二是匯總型，將所有做錯題目按課本的章節(jié)的順序進(jìn)行分類整理;

三是糾錯型，即將所有做錯的題目按錯誤的原因進(jìn)行分類整理。

新型的“錯題集”——活頁型錯題集，其整理步驟為：

分類整理。

將所有的錯題分類整理，分清錯誤的原因：概念模糊類、粗心大意類、顧此失彼類、圖型類、技巧類、新概念類、數(shù)學(xué)思想類等等，并將各題注明屬于某一章某一節(jié)，這樣分類的優(yōu)點在于既能按錯因查找，又能按各章節(jié)易錯知識點查找，給今后的復(fù)習(xí)帶來簡便，另外也簡化了“錯題集”，整理時同一類型問題可只記錄典型的問題，不一定每個錯題都記。

記錄方法。

老師試卷評講時，要注意老師對錯題的分析講解，該題的引入語、解題的切入口、思路突破方法、解題的技巧、規(guī)范步驟及小結(jié)等等。并在該錯題的一邊注釋，寫出自己解題時的思維過程，暴露出自己思維章礙產(chǎn)生的原因及根源的分析。這種記述方法開始時可能覺得較困難或?qū)懖怀?，不必?qiáng)行要求自己，初始階段可先用自己的語言寫出小結(jié)即可，總結(jié)得多了，自然會有心得體會，漸漸認(rèn)清思維的種種章礙(即錯誤原因)。

必要的補(bǔ)充。

前面的工作僅是一個開始，最重要的工作還在后面，對“錯題集”中的錯題，不一定說訂正得非常完美了，就證明你這一知識的漏洞就已經(jīng)彌補(bǔ)好了。對于每一個錯題，還必須要查找資料或課本，找出與之相同或相關(guān)的題型，并作出解答。如果沒有困難，說明這一知識點，你可能已經(jīng)掌握了，如果還是不能解決，則對于這一問題的處理還要再深入一點。因為在下一次測試中，在這一問題上，你可能還要犯同樣的錯誤。

錯題改編。

這一工作的難度較大，解題經(jīng)驗豐富的同學(xué)可能做起來比較順利。因為每道試題都是老師編出來的，既然老師能編，我們作為學(xué)生的，當(dāng)然要能學(xué)會如何去改，這是彌補(bǔ)知識漏洞的最佳的方法。初始階段，同學(xué)們只需對題目條件做一點改動。

活頁裝訂。

將“錯題集”按自己的風(fēng)格，編號頁碼，進(jìn)行裝訂，由于每頁不固定，故每次查閱時還可及時更換或補(bǔ)充。在整理錯題集時，一定要有恒心和毅力，不能為完成差事而高花架子，整理時不要在乎時間的多少，對于相關(guān)錯誤知識點的整理與總結(jié)，雖然工作繁雜，但其作用決不僅僅是明白了一道錯題是怎樣求解這么簡單，更重要的是通過整理“錯題集”，你將掌握哪些知識點在將來的學(xué)習(xí)中會犯錯誤，真正做到“吃一長一智”。

一本好的“錯題集”就是自己知識漏洞的題典，平時要注意及時整理與總結(jié)，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時“錯題集”就是你最重要的復(fù)習(xí)資料，最初復(fù)習(xí)時一定要多回頭看，以后隔一段時間可以加長一點，就能夠起到很好的復(fù)習(xí)效果。雖然每位同學(xué)的“錯題集”不盡相同，但其他同學(xué)的“錯題集”中的優(yōu)點是可以借鑒的，故同學(xué)們平時也要注意相互之間的交流。

【我為什么犯錯】

元支我一直認(rèn)為自己能夠在高考中取得好成績，是因為我對學(xué)習(xí)中所犯錯誤的高度重視。我有好幾本錯題集，只要是犯過的錯誤都被我認(rèn)認(rèn)真真記載下來，以備總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)。

按照我的理解，錯題不外分三種類型：第一種是特別愚蠢的錯誤、特別簡單的錯誤，例如在粗心大意的時候把1+1算成3;第二種就是面對難度較大的題目所犯的錯誤，拿到題目一點思路都沒有，不知道解題該從何下手，但是一看答案卻恍然大悟;第三種就是題目難度中等，按道理有能力做對，但是卻做錯了。

掌握了自己犯錯的類型，我就為防范錯誤做好準(zhǔn)備。我比較重視一些概念上的錯誤，我仔細(xì)分析過我的試卷，可以說一半以上的錯誤都是因為審題不清造成的。每個經(jīng)歷過高考的人都知道，高考中審題特別重要。因此在復(fù)習(xí)中遇到自己所犯的錯誤，首先分析是否由于審題不清造成，如果是，就要找出這種誘使你審題不清的小陷阱，熟悉之后就不容易掉進(jìn)去了。

【絕不一錯再錯】

對于學(xué)習(xí)中的錯誤，我有一個心得，絕不能一錯再錯!我把錯題記下來后，會非常認(rèn)真地對待。對待錯題的態(tài)度和方法不同，學(xué)習(xí)效果會有很大的差別。如果只是把錯題在試卷上標(biāo)注，復(fù)習(xí)時隨手翻看試卷，這種方法看上去節(jié)省時間，但是我覺得拿著一大沓試卷翻看錯誤，注意力會被分散，復(fù)習(xí)的效果就會大打折扣。

因此，把犯過的錯誤寫在本子上是一個切實可行的好辦法，一方面便于集中查閱自己犯過的錯誤，另一方面便于翻看。把錯題集中記錄到一個本子上，看到曾經(jīng)出現(xiàn)過的問題，同時翻看課本里面相應(yīng)的內(nèi)容，這樣邊記邊看效果會更顯著。由于每一科學(xué)習(xí)的好壞程度不一樣，所犯的錯誤肯定不同，這一點在我的錯題集上也會有所反映，記載下來的錯誤越多，說明我對這一科的掌握還存在很大的不足，也需要投入更多的精力。在高三復(fù)習(xí)化學(xué)時，由于我底子不厚實，而化學(xué)的概念又比較多，所以在我的錯題集里記錄下來的錯題比別的學(xué)科要多一些。通過錯題集，我及時調(diào)整了復(fù)習(xí)計劃，加大了復(fù)習(xí)化學(xué)的力度，使高考化學(xué)成績有了很明顯的提高。臨近高考的時候，我把我的幾個錯題本集中在一起看，每個學(xué)科的錯誤都被我重新集中掃視了一遍，每一次錯誤都被我牢牢記在心里，并且以最佳狀態(tài)做好了防范。

做錯題集之初，可能看不到立竿見影的效果，但是堅持防范錯誤，一邊記憶，一邊翻閱課本，找準(zhǔn)出錯的原因，規(guī)避從前的錯誤，強(qiáng)化正確的知識，在潛移默化中培養(yǎng)一種良好的思維方式，對真正掌握知識大有裨益。

【及時改錯，不讓錯誤陪我過夜】

【及對于錯題，我是一個絕對的急性子，如果知道有什么錯誤，我不會把它放到第二天再去解決。在及時改錯的時候，我注意做到：一是不繞過，二是不拖拉，三是分析總結(jié)。不繞過，就是正視自己的錯誤，不諱疾忌醫(yī)，不為自己的錯誤找借口，搞不懂的知識就勇敢承認(rèn)自己的缺陷，絕不不懂裝懂，害羞膽怯地自欺欺人。不拖拉，意思是遇到錯題，當(dāng)場解決，不要隔一段時間再去解決，因為經(jīng)過一段時間的間隔，很可能造成遺忘，讓你想不起自己當(dāng)初是怎樣犯的錯。因此及時改錯很有必要。分析總結(jié)，就是對于每一個錯題都要經(jīng)過認(rèn)認(rèn)真真的分析，研究出錯的原因，找準(zhǔn)致錯的癥結(jié)，同時及時進(jìn)行改錯，避免再次犯錯。

第二篇：高考數(shù)學(xué)高頻易錯題舉例解析

高考數(shù)學(xué)高頻易錯題舉例解析

高中數(shù)學(xué)中有許多題目，求解的思路不難，但解題時，對某些特殊情形的討論，卻很容易被忽略。也就是在轉(zhuǎn)化過程中，沒有注意轉(zhuǎn)化的等價性，會經(jīng)常出現(xiàn)錯誤。本文通過幾個例子，剖析致錯原因，希望能對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。加強(qiáng)思維的嚴(yán)密性訓(xùn)練。

●

忽視等價性變形，導(dǎo)致錯誤。

?，但

與

不等價。

【例1】已知f(x)

=

ax

+，若求的范圍。

錯誤解法

由條件得

②×2－①

①×2－②得

+得

錯誤分析

采用這種解法，忽視了這樣一個事實：作為滿足條件的函數(shù)，其值是同時受制約的。當(dāng)取最大（?。┲禃r，不一定取最大（小）值，因而整個解題思路是錯誤的。

正確解法

由題意有,解得：

把和的范圍代入得

在本題中能夠檢查出解題思路錯誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎(chǔ)知識，才能反思性地看問題。

●忽視隱含條件，導(dǎo)致結(jié)果錯誤。

【例2】

(1)

設(shè)是方程的兩個實根，則的最小值是

思路分析

本例只有一個答案正確，設(shè)了3個陷阱，很容易上當(dāng)。

利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：

有的學(xué)生一看到，常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。

原方程有兩個實根，∴

T

當(dāng)時，的最小值是8；

當(dāng)時，的最小值是18。

這時就可以作出正確選擇，只有（B）正確。

(2)

已知(x+2)2+

=1,求x2+y2的取值范圍。

錯解

由已知得

y2=－4x2－16x－12，因此

x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+，∴當(dāng)x=－時，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范圍是(－∞,]。

分析

沒有注意x的取值范圍要受已知條件的限制，丟掉了最小值。

事實上，由于(x+2)2+

=1

T

(x+2)2=1－

≤1

T

－3≤x≤－1，從而當(dāng)x=－1時x2+y2有最小值1?！?/p>

x2+y2的取值范圍是[1,]。

注意有界性：偶次方x2≥0，三角函數(shù)－1≤sinx≤1，指數(shù)函數(shù)ax>0，圓錐曲線有界性等。

●忽視不等式中等號成立的條件，導(dǎo)致結(jié)果錯誤。

【例3】已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。

錯解

(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.分析

上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號成立的條件是a=b=,第二次等號成立的條件是ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，8不是最小值。

事實上，原式=

a2+b2+++4=（a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4

=

(1－2ab)(1+)+4，由ab≤()2=

得：1－2ab≥1－=,且≥16，1+≥17，∴原式≥×17+4=

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時，等號成立)，∴(a

+)2

+

(b

+)2的最小值是。

●不進(jìn)行分類討論，導(dǎo)致錯誤

【例4】(1)已知數(shù)列的前項和，求

錯誤解法

錯誤分析

顯然，當(dāng)時。

錯誤原因：沒有注意公式成立的條件是。

因此在運用時，必須檢驗時的情形。即：。

(2)實數(shù)為何值時，圓與拋物線有兩個公共點。

錯誤解法

將圓與拋物線

聯(lián)立，消去，得

①

因為有兩個公共點，所以方程①有兩個相等正根，得，解之得

錯誤分析

（如圖2－2－1；2－2－2）顯然，當(dāng)時，圓與拋物線有兩個公共點。

x

y

O

圖2－2－2

x

y

O

圖2－2－1

要使圓與拋物線有兩個交點的充要條件是方程①有一正根、一負(fù)根；或有兩個相等正根。

當(dāng)方程①有一正根、一負(fù)根時，得解之，得

因此，當(dāng)或時，圓與拋物線有兩個公共點。

思考題：實數(shù)為何值時，圓與拋物線，(1)

有一個公共點；(2)有三個公共點；(3)有四個公共點；(4)沒有公共點。

●以偏概全，導(dǎo)致錯誤

以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案，從而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。

【例5】(1)設(shè)等比數(shù)列的全項和為.若，求數(shù)列的公比.錯誤解法。

錯誤分析

在錯解中，由，時，應(yīng)有。

在等比數(shù)列中，是顯然的，但公比q完全可能為1，因此，在解題時應(yīng)先討論公比的情況，再在的情況下，對式子進(jìn)行整理變形。

正確解法

若，則有但，即得與題設(shè)矛盾，故.又依題意

T

T,即因為，所以所以解得

說明

此題為1996年全國高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21）題，不少考生的解法同錯誤解法，根據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分。

(2)求過點的直線，使它與拋物線僅有一個交點。

錯誤解法

設(shè)所求的過點的直線為，則它與拋物線的交點為，消去得整理得

直線與拋物線僅有一個交點，解得所求直線為

錯誤分析

此處解法共有三處錯誤：

第一，設(shè)所求直線為時，沒有考慮與斜率不存在的情形，實際上就是承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。

第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點”的關(guān)系理解不透。

第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項系數(shù)不能為零，即而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。

正確解法

①當(dāng)所求直線斜率不存在時，即直線垂直軸，因為過點，所以即軸，它正好與拋物線相切。

②當(dāng)所求直線斜率為零時，直線為y

=

1平行軸，它正好與拋物線只有一個交點。

③一般地，設(shè)所求的過點的直線為,則，令解得k

=,∴

所求直線為

綜上，滿足條件的直線為：

《章節(jié)易錯訓(xùn)練題》

1、已知集合M

=

{直線}，N

=

{圓}，則M∩N中元素個數(shù)是

A(集合元素的確定性)

(A)

0

(B)

0或1

(C)

0或2

(D)

0或1或22、已知A

=，若A∩R*

=

F，則實數(shù)t集合T

=

___。(空集)

3、如果kx2+2kx－(k+2)<0恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是C(等號)

(A)

－1≤k≤0

(B)

－1≤k<0

(C)

－1

(D)

－1

（A）

（B）

（C）

（D）

5、若不等式x2－logax<0在(0,)內(nèi)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A(等號)

(A)

[,1)

(B)

(1,+

￥)

(C)

(,1)

(D)

(,1)∪(1,2)

6、若不等式(－1)na

+對于任意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A(等號)

(A)

[－2，)

(B)

(－2，)

(C)

[－3，)

(D)

(－3，)

7、已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)滿足：；當(dāng)時，；對于任意的實數(shù)、都有。證明：為奇函數(shù)。(特殊與一般關(guān)系)

8、已知函數(shù)f(x)

=，則函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是_____。遞減區(qū)間(－￥，－1)和(－1，+￥)

（單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間）

9、函數(shù)y

=的單調(diào)遞增區(qū)間是________。[－，－1）（定義域）

10、已知函數(shù)f

(x)=，f

(x)的反函數(shù)f

－1(x)=。

（漏反函數(shù)定義域即原函數(shù)值域）

11、函數(shù)

f

(x)

=

log

(x

+

a

x

+

2)

值域為

R，則實數(shù)

a的取值范圍是D(正確使用△≥0和△<0)

(A)

(－2,2)

(B)

[－2,2]

(C)

(－￥,－2)∪(2,+￥)

(D)

(－￥,－2]∪[2,+￥)

12、若x≥0，y≥0且x+2y=1，那么2x+3y2的最小值為B(隱含條件)

（A）2

（B）

（C）

（D）013、函數(shù)y=的值域是________。(－∞,)∪(,1)∪(1,+∞)

（定義域）

14、函數(shù)y

=

sin

x

(1

+

tan

x

tan)的最小正周期是C

（定義域）

(A)

(B)

p

(C)

2p

(D)

315、已知

f

(x)

是周期為

2的奇函數(shù)，當(dāng)

x

?

[0,1)

時，f

(x)

=

x，則

f

(log

23)

=

D(對數(shù)運算)

(A)

(B)

(C)

－

(D)

－

16、已知函數(shù)在處取得極值。

（1）討論和是函數(shù)的極大值還是極小值；

（2）過點作曲線的切線，求此切線方程。(2004天津)

（求極值或最值推理判斷不充分(建議列表)；求過點切線方程，不判斷點是否在曲線上。）

17、已知tan

(a－)=

－

則tan

a

=

；=

。、（化齊次式）

18、若

sin

2a

+

sin

2b

－2

sin

a

=

0，則cos

2a

+

cos

2b的最小值是

__

。(隱含條件)

19、已知sinq

+

cosq

=，q

?

(0，p)，則cotq

=

_______。－(隱含條件)

20、在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分別表示它的三條邊和三條邊所對的角，若a

=2、、，則∠B

=

B(隱含條件)

（A）

（B）

（C）

（D）

21、已知a>0,b>0,a+b=1，則(a

+)2

+

(b

+)2的最小值是_______。(三相等)

22、已知x

≠

kp

(k

?

Z)，函數(shù)y

=

sin2x

+的最小值是______。5（三相等）

23、求的最小值。

錯解1

錯解2

錯誤分析

在解法1中，的充要條件是

即這是自相矛盾的。

在解法2中，的充要條件是

這是不可能的。

正確解法1

其中，當(dāng)

正

確

解

法2

取正常數(shù)，易得

其中“”取“＝”的充要條件是

因此，當(dāng)

24、已知a1

=

1，an

=

an－1

+

2n－1(n≥2)，則an

=

________。2n－1(認(rèn)清項數(shù))

25、已知

－9、a1、a2、－1

四個實數(shù)成等差數(shù)列，－9、b1、b2、b3、－1

五個實數(shù)成等比數(shù)列，則

b2

(a2－a1)

=

A(符號)

(A)

－8

(B)

(C)

－

(D)

26、已知

{an}

是等比數(shù)列，Sn是其前n項和，判斷Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比數(shù)列嗎？

當(dāng)q

=

－1，k為偶數(shù)時，Sk

=

0，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不成等比數(shù)列；

當(dāng)q≠－1或q

=

－1且k為奇數(shù)時，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比數(shù)列。

（忽視公比q

=

－1）

27、已知定義在R上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件：，f(an)－f(an－1)

=

k(an－an－1)(n

=

2,3,┄)，其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù)。（1）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）當(dāng)時，求。(2004天津)

（等比數(shù)列中的0和1，正確分類討論）

28、不等式m2－(m2－3m)i<

(m2－4m

+

3)i

+

10成立的實數(shù)m的取值集合是________。{3}(隱含條件)

29、i是虛數(shù)單位，的虛部為（）C(概念不清)

(A)

－1

(B)

－i

(C)

－3

(D)

－3

i30、實數(shù)，使方程至少有一個實根。

錯誤解法

方程至少有一個實根，T

或

錯誤分析

實數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過嚴(yán)格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對實系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯誤。

正確解法

設(shè)是方程的實數(shù)根，則

由于都是實數(shù)，,解得

31、和a

=

(3,－4)平行的單位向量是_________；和a

=

(3,－4)垂直的單位向量是_________。

(，－)或(－，)；(，)或(－，－)(漏解)

32、將函數(shù)y=

4x－8的圖象L按向量a平移到L/，L/的函數(shù)表達(dá)式為y=

4x，則向量a=______。

a

=

(h，4h+8)

(其中h

?

R)(漏解)

33、已知

||＝1，||＝，若//，求·。

①若，共向，則

·＝||?||＝，②若，異向，則·＝－||?||＝－。(漏解)

34、在正三棱錐A－BCD中，E、F是AB、BC的中點，EF⊥DE，若BC

=

a，則正三棱錐A－BCD的體積為____________。a3

(隱含條件)

35、在直二面角

a－AB－b的棱

AB

上取一點

P，過

P

分別在a、b

兩個平面內(nèi)作與棱成45°的斜線

PC、PD，那么∠CPD的大小為D(漏解)

(A)

45°

(B)

60°

(C)

120°

(D)

60°

或

120°

36、如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F。

（1）證明PA//平面EDB；

（2）證明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。(2004天津)

(條件不充分(漏PA

?

平面EDB，平面PDC，DE∩EF

=

E等)；運算錯誤，銳角鈍角不分。)

37、若方程

+

y

=

1表示橢圓，則m的范圍是_______。(0，1)∪(1，+

￥)(漏解)

38、已知橢圓

+

y

=

1的離心率為，則

m的值為

____

。4

或

(漏解)

39、橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，橢圓短軸的一個頂點

B

與兩焦點

F1、F2

組成的三角形的周長為

+

2且∠F1BF2

=，則橢圓的方程是

。+

y

=

1或x

+

=

1(漏解)

40、橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點F（c，0）（）的準(zhǔn)線與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。

（1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線PQ的方程；

（3）設(shè)（），過點P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點M，證明。(2004天津)

(設(shè)方程時漏條件a>，誤認(rèn)短軸是b

=

2；要分析直線PQ斜率是否存在(有時也可以設(shè)為x

=

ky

+

b)先；對一元二次方程要先看二次項系數(shù)為0否，再考慮△>0，后韋達(dá)定理。)

41、求與軸相切于右側(cè)，并與⊙也相切的圓的圓心的軌跡方程。

錯誤解法

如圖3－2－1所示，已知⊙C的方程為

設(shè)點為所求軌跡上任意一點，并且⊙P與軸相切于M點，與⊙C相切于N點。根據(jù)已知條件得，即，化簡得

錯誤分析

本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點都滿足條件），而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點都在所求的軌跡上）。事實上，符合題目條件的點的坐標(biāo)并不都滿足所求的方程。從動圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以軸正半軸上任一點為圓心，此點到原點的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條件，所以也是所求的方程。即動圓圓心的軌跡方程是y2

=

12x(x>0)和。因此，在求軌跡時，一定要完整的、細(xì)致地、周密地分析問題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。

O

·

圖3－2－242、（如圖3－2－2），具有公共軸的兩個直角坐標(biāo)平面和所成的二面角等于.已知內(nèi)的曲線的方程是，求曲線在內(nèi)的射影的曲線方程。

錯誤解法

依題意，可知曲線是拋物線，在內(nèi)的焦點坐標(biāo)是

因為二面角等于，且所以

設(shè)焦點在內(nèi)的射影是，那么，位于軸上，從而

所以所以點是所求射影的焦點。依題意，射影是一條拋物線，開口向右，頂點在原點。所以曲線在內(nèi)的射影的曲線方程是

錯誤分析

上述解答錯誤的主要原因是，憑直觀誤認(rèn)為F是射影(曲線)的焦點，其次，沒有證明默認(rèn)C/在a

內(nèi)的射影(曲線)是一條拋物線。

O

·

圖3－2－3

M

N

H

正確解法

在內(nèi)，設(shè)點是曲線上任意一點

（如圖3－2－3）過點作，垂足為，過作軸，垂足為連接，則軸。所以是二面角的平面角，依題意，.在又知軸（或與重合），軸（或與重合），設(shè)，則

因為點在曲線上，所以

即所求射影的方程為

數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。

二、選擇題：

1．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）

A

向右平移

B

向右平移

C

向左平移

D向左平移

錯誤分析:審題不仔細(xì),把目標(biāo)函數(shù)搞錯是此題最容易犯的錯誤.答案:

B

2．函數(shù)的最小正周期為

（）

A

B

C

D

錯誤分析:將函數(shù)解析式化為后得到周期,而忽視了定義域的限制,導(dǎo)致出錯.答案:

B

3．曲線y=2sin(x+cos(x-)和直線y=在y軸右側(cè)的交點按橫坐標(biāo)從小到大依次記為P1、P2、P3……，則|P2P4|等于

（）

A．p

B．2p

C．3p

D．4p

正確答案：A

錯因：學(xué)生對該解析式不能變形，化簡為Asin(x+)的形式，從而借助函數(shù)圖象和函數(shù)的周期性求出|P2P|。

4．下列四個函數(shù)y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+),其中以點(,0)為中心對稱的三角函數(shù)有（）個

A．1

B．2

C．3

D．4

正確答案：D

錯因：學(xué)生對三角函數(shù)圖象的對稱性和平移變換未能熟練掌握。

5．函數(shù)y=Asin(wx+j)(w>0,A10)的圖象與函數(shù)y=Acos(wx+j)(w>0,A10)的圖象在區(qū)間(x0,x0+)上（）

A．至少有兩個交點

B．至多有兩個交點

C．至多有一個交點

D．至少有一個交點

正確答案：C

錯因：學(xué)生不能采用取特殊值和數(shù)形結(jié)合的思想方法來解題。

6．在DABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，則DC的大小應(yīng)為（）

A．

B．

C．或

D．或

正確答案：A

錯因：學(xué)生求DC有兩解后不代入檢驗。

7．已知tana

tanb是方程x2+3x+4=0的兩根，若a，b?(-)，則a+b=（）

A．

B．或-

C．-或

D．-

正確答案：D

錯因：學(xué)生不能準(zhǔn)確限制角的范圍。

8．若，則對任意實數(shù)的取值為（）

A.1

B.區(qū)間（0，1）

C.D.不能確定

解一：設(shè)點，則此點滿足

解得或

即

選A

解二：用賦值法，令

同樣有

選A

說明：此題極易認(rèn)為答案A最不可能，怎么能會與無關(guān)呢？其實這是我們忽略了一個隱含條件，導(dǎo)致了錯選為C或D。

9．在中，則的大小為（）

A.B.C.D.解：由平方相加得

若

則

又

選A

說明：此題極易錯選為，條件比較隱蔽，不易發(fā)現(xiàn)。這里提示我們要注意對題目條件的挖掘。

10．中,、、C對應(yīng)邊分別為、、.若，,且此三角形有兩解,則的取值范圍為

（）

A.B.C.D.正確答案：A

錯因：不知利用數(shù)形結(jié)合尋找突破口。

11．已知函數(shù)

y=sin(x+)與直線y＝的交點中距離最近的兩點距離為，那么此函數(shù)的周期是（）

A

B

C

D

正確答案：B

錯因：不會利用范圍快速解題。

12．函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是…………………………

（）

A.B.C.D.正確答案：C

錯因：不注意內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性。

13．已知且，這下列各式中成立的是（）

A.B.C.D.正確答案(D)

錯因:難以抓住三角函數(shù)的單調(diào)性。

14．函數(shù)的圖象的一條對稱軸的方程是（）

正確答案A

錯因：沒能觀察表達(dá)式的整體構(gòu)造，盲目化簡導(dǎo)致表達(dá)式變繁而無法繼續(xù)化簡。

15．ω是正實數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)，那么（）

A．

B．

C．

D．

正確答案A

錯因：大部分學(xué)生無法從正面解決，即使解對也是利用的特殊值法。

16．在(0，2π)內(nèi)，使cosx＞sinx＞tanx的成立的x的取值范圍是

（）

A、()

B、()

C、（）

D、()

正確答案：C

17．設(shè)，若在上關(guān)于x的方程有兩個不等的實根，則為

A、或

B、C、D、不確定

正確答案：A

18．△ABC中，已知cosA=，sinB=，則cosC的值為（）

A、B、C、或

D、答案：A

點評：易誤選C。忽略對題中隱含條件的挖掘。

19．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則∠C的大小為（）

A、B、C、或

D、或

答案：A

點評：易誤選C，忽略A+B的范圍。

20．設(shè)cos1000=k，則tan800是（）

A、B、C、D、答案：B

點評：誤選C，忽略三角函數(shù)符號的選擇。

21．已知角的終邊上一點的坐標(biāo)為（），則角的最小值為（）。

A、B、C、D、正解：D，而

所以，角的終邊在第四象限，所以選D，誤解：,選B

22．將函數(shù)的圖像向右移個單位后，再作關(guān)于軸的對稱變換得到的函數(shù)的圖像，則可以是（）。

A、B、C、D、正解：B,作關(guān)于x軸的對稱變換得,然后向左平移個單位得函數(shù)

可得

誤解：未想到逆推，或在某一步驟時未逆推，最終導(dǎo)致錯解。

23．A，B，C是ABC的三個內(nèi)角，且是方程的兩個實數(shù)根，則ABC是（）

A、鈍角三角形

B、銳角三角形

C、等腰三角形

D、等邊三角形

正解：A

由韋達(dá)定理得：

在中，是鈍角，是鈍角三角形。

24．曲線為參數(shù)）上的點到兩坐標(biāo)軸的距離之和的最大值是（）。

A、B、C、1

D、正解：D。

由于所表示的曲線是圓，又由其對稱性，可考慮的情況，即

則∴

誤解：計算錯誤所致。

25．在銳角⊿ABC中，若，則的取值范圍為（）

A、B、C、D、錯解:

B.錯因:只注意到而未注意也必須為正.正解:

A.26．已知，（），則

（C）

A、B、C、D、錯解：A

錯因：忽略，而不解出

正解：C

27．先將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象作關(guān)于y軸的對稱變換，則所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為

（）

A．y=sin(－2x+)

B．

y=sin(－2x－)

C．y=sin(－2x+)

D．

y=sin(－2x－)

錯解：B

錯因：將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個單位長度時，寫成了

正解：D

28．如果，那么的取值范圍是（）

A．，B．，C．，D．，錯解:

D．

錯因:只注意到定義域,而忽視解集中包含.正解:

B．

29．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）

A、（）

B、C、D、答案：D

錯解：B

錯因：沒有考慮根號里的表達(dá)式非負(fù)。

30．已知的取值范圍是（）

A、B、C、D、答案：A設(shè)，可得sin2x

sin2y=2t,由。

錯解：B、C

錯因：將由

選B，相減時選C，沒有考慮上述兩種情況均須滿足。

31．在銳角ABC中，若C=2B，則的范圍是（）

A、（0，2）

B、C、D、答案：C

錯解：B

錯因：沒有精確角B的范圍

32．函數(shù)

（）

A、3

B、5

C、7

D、9

正確答案：B

錯誤原因：在畫圖時，0＜＜時，＞意識性較差。

33．在△ABC中，則∠C的大小為

（）

A、30°

B、150°

C、30°或150°

D、60°或150°

正確答案：A

錯誤原因：易選C，無討論意識，事實上如果C=150°則A=30°∴，∴＜＜6和題設(shè)矛盾

34．（）

A、B、C、D、正確答案：C

錯誤原因：利用周期函數(shù)的定義求周期，這往往是容易忽視的，本題直接檢驗得

35．（）

A、B、C、D、正確答案：B

錯誤原因：忽視三角函數(shù)定義域?qū)χ芷诘挠绊憽?/p>

36．已知奇函數(shù)等調(diào)減函數(shù)，又α，β為銳角三角形內(nèi)角，則（）

A、f(cosα)＞

f(cosβ)

B、f(sinα)＞

f(sinβ)

C、f(sinα)＜f(cosβ)

D、f(sinα)＞

f(cosβ)

正確答案：（C）

錯誤原因：綜合運用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的能力不強(qiáng)。

37．設(shè)那么ω的取值范圍為（）

A、B、C、D、正確答案：(B)

錯誤原因：對三角函數(shù)的周期和單調(diào)性之間的關(guān)系搞不清楚。

二填空題：

1．已知方程（a為大于1的常數(shù)）的兩根為，且、，則的值是_________________.錯誤分析：忽略了隱含限制是方程的兩個負(fù)根，從而導(dǎo)致錯誤.正確解法：，是方程的兩個負(fù)根

又

即

由===可得

答案:

.2．已知,則的取值范圍是_______________.錯誤分析:由得代入中,化為關(guān)于的二次函數(shù)在上的范圍,而忽視了的隱含限制,導(dǎo)致錯誤.答案:

.略解:

由得

將（1）代入得=.3．若,且,則_______________.錯誤分析:直接由,及求的值代入求得兩解,忽略隱含限制出錯.答案:

.4．函數(shù)的最大值為3，最小值為2，則______，_______。

解：若

則

若

則

說明：此題容易誤認(rèn)為，而漏掉一種情況。這里提醒我們考慮問題要周全。

5．若Sin

cos，則α角的終邊在第_____象限。

正確答案：四

錯誤原因：注意角的范圍，從而限制α的范圍。

6．在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則的值為_________.正確答案：

錯因：看不出是兩角和的正切公式的變形。

7．函數(shù)的值域是

．

正確答案：

8．若函數(shù)的最大值是1，最小值是，則函數(shù)的最大值是　　　　　　　　?。_答案：5

9．定義運算為:例如，,則函數(shù)f(x)=的值域為

．正確答案：

10．若，α是第二象限角，則=__________

答案：5

點評：易忽略的范圍，由得=5或。

11．設(shè)ω>0，函數(shù)f(x)=2sinωx在上為增函數(shù)，那么ω的取值范圍是_____

答案：0<ω≤

點評：

12．在△ABC中，已知a=5，b=4，cos(A－B)=，則cosC=__________

答案：

點評：未能有效地運用條件構(gòu)造三角形運用方程思想實施轉(zhuǎn)化。

13．在中，已知，b，c是角A、B、C的對應(yīng)邊，則①若，則在R上是增函數(shù)；②若，則ABC是；③的最小值為；④若，則A=B；⑤若，則，其中錯誤命題的序號是_____。

正解：錯誤命題③⑤。

①

②。

③

顯然。

④

(舍)。

⑤

錯誤命題是③⑤。

誤解：③④⑤中未考慮，④中未檢驗。

14．已知，且為銳角，則的值為_____。

正解：，令得代入已知，可得

誤解：通過計算求得計算錯誤.15．給出四個命題：①存在實數(shù)，使；②存在實數(shù)，使；③是偶函數(shù)；④是函數(shù)的一條對稱軸方程；⑤若是第一象限角，且，則。其中所有的正確命題的序號是_____。

正解：③④

①

不成立。

②

不成立。

③

是偶函數(shù)，成立。

④

將代入得,是對稱軸，成立。

⑤

若，但，不成立。

誤解：①②沒有對題目所給形式進(jìn)行化簡，直接計算，不易找出錯誤。

⑤沒有注意到第一象限角的特點，可能會認(rèn)為是的角，從而根據(jù)做出了錯誤的判斷。

16．函數(shù)的最小正周期是

錯解：

錯因：與函數(shù)的最小正周期的混淆。

正解：

17．設(shè)=tan成立，則的取值范圍是_______________

錯解：

錯因：由tan不考慮tan不存在的情況。

正解：

18．①函數(shù)在它的定義域內(nèi)是增函數(shù)。

②若是第一象限角，且。

③函數(shù)一定是奇函數(shù)。

④函數(shù)的最小正周期為。

上述四個命題中，正確的命題是

④

錯解：①②

錯因：忽視函數(shù)是一個周期函數(shù)

正解：④

19函數(shù)f(x)=的值域為______________。

錯解：

錯因：令后忽視,從而

正解：

20．若2sin2α的取值范圍是

錯解：

錯因：由其中，得錯誤結(jié)果；由

得或結(jié)合（1）式得正確結(jié)果。

正解：[0,]

21.關(guān)于函數(shù)有下列命題，y=f(x)圖象關(guān)于直線對稱

y=f(x)的表達(dá)式可改寫為

y=f(x)的圖象關(guān)于點對稱

由必是的整數(shù)倍。其中正確命題的序號是。

答案：

錯解：

錯因：忽視f(x)的周期是，相鄰兩零點的距離為。

22．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是。

答案：

錯解：

錯因：忽視這是一個復(fù)合函數(shù)。

23．。

正確答案：

錯誤原因：兩角和的正切公式使用比較呆板。

24．是。

正確答案：

錯誤原因：如何求三角函數(shù)的值域，方向性不明確

三、解答題：

1．已知定義在區(qū)間[-p，]

上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=

-對稱，當(dāng)x?[-，]時，函數(shù)f(x)=Asin(wx+j)(A>0,w>0,-

(1)求函數(shù)y=f(x)在[-p，]的表達(dá)式；

(2)求方程f(x)=的解。

解：(1)由圖象知A=1，T=4()=2p，w=

在x?[-，]時

將(，1)代入f(x)得

f()=sin(+j)=1

∵-

∴j=

∴在[-，]時

f(x)=sin(x+)

∴y=f(x)關(guān)于直線x=-對稱

∴在[-p，-]時

f(x)=-sinx

綜上f(x)=

(2)f(x)=

在區(qū)間[-，]內(nèi)

可得x1=

x2=

∵y=f(x)關(guān)于x=

對稱

∴x3=-

x4=

∴f(x)=的解為x?{-,-,-,}

2．求函數(shù)的相位和初相。

解：

原函數(shù)的相位為，初相為

說明：部分同學(xué)可能看不懂題目的意思，不知道什么是相位，而無從下手。應(yīng)將所給函數(shù)式變形為的形式（注意必須是正弦）。

3．若，求的取值范圍。

解：令，則有

說明：此題極易只用方程組（1）中的一個條件，從而得出或。原因是忽視了正弦函數(shù)的有界性。另外不等式組（2）的求解中，容易讓兩式相減，這樣做也是錯誤的，因為兩式中的等號成立的條件不一定相同。這兩點應(yīng)引起我們的重視。

4．求函數(shù)的定義域。

解：由題意有

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，函數(shù)的定義域是

說明：可能會有部分同學(xué)認(rèn)為不等式組（*）兩者沒有公共部分，所以定義域為空集，原因是沒有正確理解弧度與實數(shù)的關(guān)系，總認(rèn)為二者格格不入，事實上弧度也是實數(shù)。

．已知，求的最小值及最大值。

解：

令

則

而對稱軸為

當(dāng)時，；

當(dāng)時，說明：此題易認(rèn)為時，最大值不存在，這是忽略了條件不在正弦函數(shù)的值域之內(nèi)。

6．若，求函數(shù)的最大值。

解：

當(dāng)且僅當(dāng)

即時，等號成立

說明：此題容易這樣做：，但此時等號成立的條件是，這樣的是不存在的。這是忽略了利用不等式求極值時要平均分析的原則。

7．求函數(shù)的最小正周期。

解：函數(shù)的定義域要滿足兩個條件；

要有意義且，且

當(dāng)原函數(shù)式變?yōu)闀r，此時定義域為

顯然作了這樣的變換之后，定義域擴(kuò)大了，兩式并不等價

所以周期未必相同，那么怎么求其周期呢？首先作出的圖象：

而原函數(shù)的圖象與的圖象大致相同

只是在上圖中去掉所對應(yīng)的點

從去掉的幾個零值點看，原函數(shù)的周期應(yīng)為

說明：此題極易由的周期是而得出原函數(shù)的周期也是，這是錯誤的，原因正如上所述。那么是不是說非等價變換周期就不同呢？也不一定，如1993年高考題：函數(shù)的最小正周期是（）。A.B.C.D.。此題就可以由的周期為而得原函數(shù)的周期也是。但這個解法并不嚴(yán)密，最好是先求定義域，再畫出圖象，通過空點來觀察，從而求得周期。

8．已知Sinα=

Sinβ=，且α，β為銳角，求α+β的值。

正確答案：α+β=

錯誤原因：要挖掘特征數(shù)值來縮小角的范圍

9．求函數(shù)y=Sin(—3x)的單調(diào)增區(qū)間：

正確答案：增區(qū)間[]（）

錯誤原因：忽視t=—3x為減函數(shù)

10．求函數(shù)y=的最小正周期

正確答案：最小正周期π

錯誤原因：忽略對函數(shù)定義域的討論。

11．已知Sinx+Siny=，求Siny—cos2x的最大值。

正確答案：

錯誤原因：挖掘隱含條件

12．（本小題滿分12分）

設(shè),已知時有最小值-8。

(1)、求與的值。（2）求滿足的的集合A。

錯解：，當(dāng)時，得

錯因：沒有注意到應(yīng)是時，取最大值。

正解：，當(dāng)時，得

13．求函數(shù)的值域

答案：原函數(shù)可化為設(shè)則則，當(dāng)

錯解：

錯因：不考慮換元后新元t的范圍。

14．已知函數(shù)f(x)=－sin2x+sinx+a，（1）當(dāng)f(x)=0有實數(shù)解時，求a的取值范圍；（2）若x∈R，有1≤f(x)≤，求a的取值范圍。

解：（1）f(x)=0，即a=sin2x－sinx=(sinx－)2－

∴當(dāng)sinx=時，amin=，當(dāng)sinx=－1時，amax=2，∴a∈[，2]為所求

（2）由1≤f(x)≤得

∵

u1=sin2x－sinx++4≥4

u2=sin2x－sinx+1=≤3

∴

3≤a≤4

點評：本題的易錯點是盲目運用“△”判別式。

15．已知函數(shù)≤≤是R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于點M對稱，且在區(qū)間[0，]上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。

正解：由是偶函數(shù)，得

故

對任意x都成立，且

依題設(shè)0≤≤，由的圖像關(guān)于點M對稱，得

取

又，得

當(dāng)時，在上是減函數(shù)。

當(dāng)時，在上是減函數(shù)。

當(dāng)≥2時，在上不是單調(diào)函數(shù)。

所以，綜合得或。

誤解：①常見錯誤是未對K進(jìn)行討論，最后只得一解。

②對題目條件在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，不進(jìn)行討論，故對≥不能排除。

補(bǔ)充習(xí)題：

1．右圖是某市有關(guān)部門根據(jù)對某地干部的月

收入情況調(diào)查后畫出的樣本頻率分布直方圖，已知圖中第一組的頻數(shù)為4000.請根據(jù)該圖提

供的信息解答下列問題：（圖中每組包括左端

點，不包括右端點，如第一組表示收入在）

（1）求樣本中月收入在的人數(shù)；

（2）為了分析干部的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須從樣本的各組中按月收入再用分層抽樣方法抽出人作進(jìn)一步分析，則月收入在的這段應(yīng)抽多少人？

（3）試估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù).解：（1）∵月收入在的頻率為，且有4000人

∴樣本的容量

月收入在的頻率為

月收入在的頻率為

月收入在的頻率為

∴月收入在的頻率為；

∴樣本中月收入在的人數(shù)為：

（2）∵月收入在的人數(shù)為：，∴再從人用分層抽樣方法抽出人，則月收入在的這段應(yīng)抽取

（人）

（3）由（１）知月收入在的頻率為：

∴樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：（元）

2．先后隨機(jī)投擲2枚正方體骰子，其中表示第枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)，表示第枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)．

（1）求點在直線上的概率；

（2）求點滿足的概率．

解：（1）每顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)都有種情況，所以基本事件總數(shù)為個.記“點在直線上”為事件，有5個基本事件：，（2）記“點滿足”為事件，則事件有個基本事件:

當(dāng)時，當(dāng)時，；

當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，．

3．某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：每一組；第二組，…，第五組．下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.（1）若成績大于或等于14秒且小于16秒

認(rèn)為良好，求該班在這次百米測試中

成績良好的人數(shù)；

（2）設(shè)、表示該班某兩位同學(xué)的百米

測試成績，且已知.求事件“”的概率.解：（1）由頻率分布直方圖知，成績在內(nèi)的人數(shù)為：（人）

所以該班成績良好的人數(shù)為27人.（2）由頻率分布直方圖知，成績在的人數(shù)為人，設(shè)為、、；

成績在的人數(shù)為人，設(shè)為、、、.若時，有3種情況；

若時，有6種情況；

若分別在和內(nèi)時，A

B

C

D

x

xA

xB

xC

xD

y

yA

yB

yC

yD

z

zA

zB

zC

zD

共有12種情況.所以基本事件總數(shù)為21種，事件“”所包含的基本事件個數(shù)有12種.∴（）.4．已知點,.(1)

若,求的值;

(2)

若其中為坐標(biāo)原點,求的值.解：(1)，.,.化簡得.（若則,上式不成立），.(2),...5.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；

（2）用五點法畫出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象；

（3）若，求函數(shù)的最大值和最小值；

（4）若，求的值.解：（1）∵＝．

∴

函數(shù)的最小正周期．

（2）列表：

描點，連線，得函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示.（3）∵，∴，∴當(dāng)，即時，函數(shù)有最大值2.當(dāng)或，即或時，函數(shù)有最小值1．

（4）由已知得，得.∵，∴.∴.∴.∴

.6．已知向量.（1）求.（2）若，且的值.解：（1），.（2）.由，得.由，得..7.在△ABC中，.(1)

求角C的大小;

(2)

若△ABC最長邊的長為，求△ABC最短邊的長.解：（1），∴．，∴．

（2）∵,∴邊最長，即．

∵，∴角最小，邊為最短邊．

由

且，解得．

由正弦定理得，得．

∴最短邊的長．

8．如圖（1），是等腰直角三角形，、分別為、的中點，將沿折起，使在平面上的射影恰為的中點，得到圖（2）．

（1）求證：；

（2）求三棱錐的體積．

解：（1）證法一：在中，是等腰直角的中位線，在四棱錐中，，平面，又平面,證法二：同證法一得，平面，又平面,（2）在直角梯形中，,．

垂直平分，．

∴

．

三棱錐的體積為．

9．如圖，一簡單組合體的一個面ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC平面ABC．

（1）證明：平面ACD平面；

（2）若，，試求該簡單組合體的體積V．

（１）證明：∵

DC平面ABC,平面ABC

∴．

∵AB是圓O的直徑　∴且

∴平面ADC．

∵四邊形DCBE為平行四邊形

∴DE//BC

∴平面ADC

∵平面ADE

∴平面ACD平面

（2）解法１：所求簡單組合體的體積：

∵，∴,∴

∴該簡單幾何體的體積

解法２：將該簡單組合體還原成一側(cè)棱與底面垂直的三棱柱

如圖∵，∴,∴=

=

A

B

C

P

M

10．如圖所示幾何體中，平面PAC⊥平面，PA

=

PC,，，若該幾何體左視圖（側(cè)視圖）的面積為．

（1）求證：PA⊥BC；

（2）畫出該幾何體的主視圖并求其面積S；

（3）求出多面體的體積V．

主視方向方向

解：（1），BC=2，，∴，∵平面PAC⊥平面，平面PAC∩平面=AC,∴BC⊥平面PAC

∵PA平面PAC，∴PA⊥BC.（2）該幾何體的主視圖如下：

∵PA

=

PC，取AC的中點D，連接PD，則PD⊥AC，又平面PAC⊥平面，則PD⊥平面ABC，∴幾何體左視圖的面積===．

∴PD=，并易知是邊長為1的正三角形，∴主視圖的面積是上、下底邊長分別為1和2，PD的長為高的直角梯形的面積，∴S=

（3）取PC的中點N，連接AN，由是邊長為1的正三角形，可知AN⊥PC，由（1）BC⊥平面PAC，可知AN⊥BC，∴AN⊥平面PCBM，∴AN是四棱錐A—PCBM的高且AN=，由BC⊥平面PAC，可知BC⊥PC，可知四邊形PCBM是上、下底邊長分別為1和2，PC的長1為高的直角梯形，其面積．

．

11．制訂投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個項目.根據(jù)預(yù)測，甲、乙兩個項目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%.投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？

解：設(shè)投資人分別用萬元、萬元投資甲、乙兩個項目，由題意知

目標(biāo)函數(shù).上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分（含邊界）即可行域.作直線，并作平行于的一組直線，R，與可行域相交，其中一條直線經(jīng)過可行域上的點，且與直線的距離最大，這里點是直線和的交點.解方程組解得

此時（萬元），∴當(dāng)時，取得最大值.答：投資人用4萬元投資甲項目，6萬元投資乙項目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大.12.已知橢圓的兩個焦點為，在橢圓上，且

.(1)求橢圓方程；

(2)若直線過圓的圓心，交橢圓于兩點，且關(guān)于點對稱，求直線的方程.解:(1)，，.所以橢圓.(2)設(shè)，即

又因圓的方程為,所以

(-3,1),又因關(guān)于點對稱，即為的中點，，.，即.13．設(shè)為數(shù)列的前項和，對任意N，都有為常數(shù)，且.（1）求證數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足

N，求數(shù)列的通項公式.解：（1）由已知

①

得

②

②-①得，即對任意N都成立.∵為常數(shù)，且，∴，即數(shù)列為等比數(shù)列.（2）當(dāng)時，得，從而.由（1）知，∵，∴，即.∴為等差數(shù)列.∴.∴.14．已知數(shù)列是首項的等比數(shù)列，其前項和中，成等差數(shù)列，（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)，若≤對一切N恒成立，求實數(shù)的最小值．

解：（1）若，則顯然，不構(gòu)成等差數(shù)列.∴，當(dāng)時，由，成等差數(shù)列得

∴，∵　　　　∴

∴

（2）∵

∴

∴＝

＝

由≤

得≤

∴≥

又≤

∴的最小值為

B組

15．設(shè)數(shù)列滿足其中為實數(shù)，且

（1）求數(shù)列的通項公式

（2）設(shè)，,求數(shù)列的前項和；

（3）若對任意成立，證明；

(1)

法1：，當(dāng)時，是首項為，公比為的等比數(shù)列.，即

.當(dāng)時，仍滿足上式.數(shù)列的通項公式為

.法2：由題設(shè)得：當(dāng)時

.時，也滿足上式.數(shù)列的通項公式為

.(2)

由（1）得

(3)

由（1）知

若，則

由對任意成立，知.下面證，用反證法

假設(shè)，，即

恒成立

（＊）

為常數(shù)，（＊）式對不能恒成立，導(dǎo)致矛盾，.16．已知數(shù)列中，為正實數(shù)，N.（1）若，求的取值范圍；

（2）是否存在正實數(shù)，使對任意N都成立，若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.解：（1）∵N，∴.∴.∵，∴，解得.（2）假設(shè)存在正實數(shù)，使對任意N都成立，則，對任意N都成立.∴，∴，∴，又

.即.故取，即，有，這與矛盾；

因此，不存在正實數(shù)，使對任意N都成立.17.已知橢圓兩焦點分別為，是橢圓在第一象限弧上一點，并滿足，過作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別交橢圓于兩點.（Ⅰ）求點坐標(biāo)；

（Ⅱ）求證直線的斜率為定值；

（Ⅲ）求面積的最大值.解：（1）由題可得，設(shè)

則，∴，∵點在曲線上，則，∴，從而，得.則點P的坐標(biāo)為.（2）由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設(shè)PB的斜率為，則BP的直線方程為：.由得，設(shè)，則，同理可得，則，.所以：AB的斜率為定值.（3）設(shè)AB的直線方程：.由，得，由，得

P到AB的距離為，則

.當(dāng)且僅當(dāng)取等號

∴三角形PAB面積的最大值為．

18．已知函數(shù)和．其中．

（1）若函數(shù)與的圖像的一個公共點恰好在軸上，求的值；

（2）若和是方程的兩根，且滿足，證明：當(dāng)時，．

解：（1）設(shè)函數(shù)圖像與軸的交點坐標(biāo)為（，0），∵點（，0）也在函數(shù)的圖像上，∴．

而，∴．

（2）由題意可知．,∴,∴當(dāng)時，即．

又,∴<0,∴,綜上可知，．

19．在一個特定時段內(nèi)，以點E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點E正北55海里處有一個雷達(dá)觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東且與點A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東+(其中sin=，)且與點A相距10海里的位置C.（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）;

（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會進(jìn)入警戒水域，并說明理由.解:

（1）如圖，AB=40，AC=10，由于,所以cos=

由余弦定理得BC=

所以船的行駛速度為（海里/小時）.（2）解法1：

如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點B、C的坐標(biāo)分別是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC與x軸的交點為D.由題設(shè)有，x1=y1=

AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin

所以過點B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.又點E（0，-55）到直線l的距離d=

所以船會進(jìn)入警戒水域.解法2:

如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點Q.在△ABC中，由余弦定理得，==.從而

在中，由正弦定理得，AQ=

由于AE=55>40=AQ，所以點Q位于點A和點E之間，且QE=AE-AQ=15.過點E作EP

BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離.在Rt中，PE=QE·sin

=

所以船會進(jìn)入警戒水域.20．某地區(qū)有荒山2200畝，從2002年開始每年年初在荒山上植樹造林，第一年植樹100畝，以后每年比上一年多植樹50畝．

（1）若所植樹全部成活，則到哪一年可以將荒山全部綠化？

（2）右圖是某同學(xué)設(shè)計的解決問題（１）的程序框圖，則框圖中ｐ，ｑ，ｒ處應(yīng)填上什么條件？

（3）若每畝所植樹苗木材量為2立方米，每年樹木木材量的自然增長率

為20％，那么到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量是多少？

（精確到１立方米,）

解：（1）設(shè)植樹ｎ年后可將荒山全部綠化，記第ｎ年初植樹量為，依題意知數(shù)列是首項，公差的等差數(shù)列，則即

∵

∴

∴到2009年初植樹后可以將荒山全部綠化．

（２）ｐ處填,ｑ處填，（或ｐ處填，ｑ處填）

ｒ處填．(或)

（３）2002年初木材量為，到2009年底木材量增加為,2003年初木材量為，到2009年底木材量增加為,……

2009年初木材量為，到2009年底木材量增加為.則到2009年底木材總量

----------①

---------②

②-①得

∴ｍ2

答：到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量為9060ｍ2

第三篇：高考英語錯題

Will you join us in the game?

—Thank you,A.but why not?B.but I’d rather not.C.and I won’tD.and I’ll join

----Thanks a lot for your book.I found it very interesting.----_______.I’m glad you enjoyed it.A.All the bestB.It is nothingC.No thanksD.Very well.27.――Have you paid? What’s my share of the bill?

――.It wasn’t very much.A.Don't worry about it B.It’s my share C.None of your business.D.It's up to you

33.Experts have been warningof the bealth risks caused by passive smoking

A.at a timeB.at one timeC.for some timeD.for the time

31.—I have got a beadache.—No wonder.Youin front of that computer too long.A.workB.are workingC.have been workingD.worked

24.I hear they’ve promoted Tom, but he didn’t mention _____ when we talked on the phone.A.to promoteB.having been promoted

C.having promotedD.to be promoted

33.Having finishedher project, she was invited by the school_____ to the new students.A.speaking B.having spoken C.to speak D.to have spoken

My English teacher’s humor was ____ make every student burst into laughter.A.so as toB.such as to

C.such thatD.so that

26.There are a small number of people involved, possibly ______twenty.A.as few asB.as little asC.as many asD.as much as

25.I _____ it as a basic principle of the company that suppliers of raw materials should be given a fair price for their products.A.makeB.look

C.takeD.think

27.---Shall we go out for a walk?

---Sorry.This is not the right ____ to invite me.I am too tired to walk.A.momentB.situation

C.placeD.chanceComputers and mobile phones, though they are indeed making our life ___ and more ___, have reduced the need for face-to-face communications.A easily;efficientB easier;efficient

C easy;efficientlyD easily;efficiently

---I am so sorry to have come late for the meeting.---It is not your fault.With __ rush-hour traffic and __ heavy rain, it is no wonder you were late.A.a;aB.the;the

C./;/D./;a

32.Animals are obviously ______ lower form of life than _______ man.A.a;/B.the;theC.a;theD./;/

27.The haouse was too expensive and too hig._______.I’d grown fond of our little rented house.A.BesidesB.ThereforeC.SomchowD.Otherwise

28.By 16:30,was almost closing time, nearly all the paintings had been sold.A.which B.when C.what D.that

knowing that she would throw a temper tantrum(耍小孩脾氣)if they did not.She would scream, wearing an expensive swimsuit.It has taken a the tantrum she had thrown when they told her that it was too dangerous to go.“Dangerous ?” she had said.“You just don’t want me to havestop me, I’ll scream.”

“What are you doing ?” a voice asked.Diane jumped.She did not know that the man washe spoke.“I’m going diving, ” she answered.“You shouldn’t swim that day, ” the man.“There is a storm coming up.”

“You should mind your own“If you go out there you’ll bethe man called after her.She did not bother to reply.Diane slipped into the water and white caps began rolling in and it against the current(水流 to breathe.Oh, why had she not listened to advice.Panicking, she began Then, just as it seemed as if she would slip beneath the surface, she heard “Hold on!I’m coming.” With, she say the old man rowing an ancient-looking boat towards her.“I hope you’ve learned a lesson.You put us both in” he shouted angrily, as he dragged her over the side of theGratefully, Diane thanked him and ran towards the beach-house.36.A.eitherB.neitherC.nothingD.everything

37.A.jumpB.lieC.spinD.sleep

38.A.set outB.set inC.gave inD.gave out

39.A.beachB.bedC.floorD.ship

40.A.allowB.warnC.getD.prefer

41.A.changingB.recoveringC.appearingD.traveling

42.A.aloneB.awayC.againD.aside

43.A.timeB.moneyC.foodD.fun

44.A.whenB.untilC.afterD.once

45.A.decidedB.intendedC.advisedD.repeated

46.A.businessB.swimsuitC.friendsD.parents

47.A.angryB.sorryC.confusedD.excited

48.A.nervouslyB.sadlyC.shylyD.happily

49.A.riseB.swimC.stopD.row

50.A.difficultB.easyC.comfortable D.suitable

51.A.speakB.singC.sniffD.scream

52.A.calmB.frighteningC.beautifulD.disgusting

53.A.regretB.reliefC.interestD.ease

54.A.powerB.safetyC..dangerD.thought

55.A.houseB.waveC.beachD.boat

第四篇：二年級數(shù)學(xué)錯題匯總

元角分

一、按從小到大的順序排列。

6元7角

7元

7分

6角6分

：

二、比較大?。ㄔ凇鹄锾钌希?、＞、＝）

1元○1元1分

25角○50分

3元3角○3元3分

2元○100分

1元1角○20角

5角6分○5元6角

三、怎樣付錢，我來圈

10元8角

四、換一換1、1張能換（）張和（）張。

2、1張能換（）張和（）張。

3、1張能換（）張和（）張。

五、我會算了

付出的錢

應(yīng)找回的錢

算式

鉛筆

5元5角

10元

（）元（）角

10元－5元

5角=（）元（）角

橡皮5角

2元

（）元（）角

六、我會購物了

5元

9元

3元

7元2角

8角

（1）

我有30元，買2個小木馬，還剩幾元？

（2）

我有10元錢，買牙膏和哨子，夠嗎？

（3）

買哨子和小球一共需要多少錢？

七、一起去超市

20元

16元

25元5角

30元

（1）

如果不需要找錢，買一個可以怎樣付錢？（必須用生活中的人民幣付錢噢！用算式表示出一種付錢方式）

（2）

買一個比買一輛便宜多少錢？

（3）

小麗帶了一張，她買了一個，剩下的錢還可以正好買什么？（先計算，再在上面圖中圈一圈）

八、想一想、算一算

小明和小亮買同一本書，小明缺1元錢，小亮缺3角錢。他倆誰帶的錢多？多多少？

厘米和米

1、比較大小

1米6厘米○160厘米

2、選擇合適的單位天空（“米”或“厘米”）

鉛筆盒寬8（）

小明身高120（）

黑板長4（）

標(biāo)準(zhǔn)的操場一圈400（）

3、3米＝（）厘米

4、在距離

4厘米的地方畫一朵

：

5、先提出問題，再計算。

小軍的身高是95厘米

我比小軍矮8厘米

小美

問題：

算式：

6、小螞蟻回家

小螞蟻回家，要爬過一個山坡，經(jīng)過一座小橋，走一段平路。你知道山坡有多長嗎？

7、算一算，看看有多高？

鐘表時刻

1、寫出鐘面上的時刻

（）

（）

（）時半

（）

（）

（）

2、請在鐘面上畫出時針和分針

剛過12時

快到6時

剛過1時

1、在點子上畫出學(xué)過的圖形。

2、填空。

（1）

在一道減法算式里，被減數(shù)是70，兩個減數(shù)都是26，差是（）。

（2）

減數(shù)和差都是36，被減數(shù)是（）。

（3）

6個3相加，寫成乘法算式是（），這個式子讀作（）。

（4）

□□□□□□□□□□□□□□□

○

○

○

○

○

○

○

○

○

□比○多（）個，○比□少（）個。

足球

羽毛球

一班

8個

36個

二班

（）

（）

一共有

26個

56個

（6）明明喜歡讀書，一本新書他第一天看了12頁，第二天看了20頁，第三天他是從第（）頁開始看的。

3、選一選。

（1）

一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)和十位上的數(shù)合起來是8，這個數(shù)可能是（）。

①19

②28

③71

（2）

比90小，比80大的數(shù)有（）個。

①9

②10

③11

（3）

爸爸今年39歲，兒子今年12歲，10年后爸爸比兒子大（）歲。

①17

②27

③374、猜一猜我是多少？

我減去48是

我加上30就是最大

最小的兩位數(shù)。的兩位數(shù)。

（）

（）

5、選出合適的條件，填在橫線上，并解答。

和一共有42只，有多少只？

①有17只

②有17只

6、下面各題，對的畫√，錯的畫×，并把錯題改正過來。

＋2

－1

＋

0

第五篇：如何整理數(shù)學(xué)錯題本

如何整理數(shù)學(xué)錯題本

1、記錯，提高總結(jié)歸納能力的過程

記錯就是把錯題摘錄出來，分門別類集中存放。

這個環(huán)節(jié)的難點在于持之以恒地“摘錄（抄題）”，精髓在于兩個方面：

其一、查找錯題產(chǎn)生的根源，要將其落腳在：

概念不清、不會查找題目關(guān)鍵字、注意力不集中、不會使用公式、無解題思路，千萬別再幫著孩子找“馬虎粗心”之類的借口，從理論上來說，錯題之所以會錯，必然對應(yīng)著孩子某一項知識或能力或情緒的缺失，這不是借口可以掩蓋的；

其二、將錯題落實在某個或多個知識點漏洞。

這也是錯題一定要進(jìn)行分門別類的主要原因。很多人整理錯題僅僅簡單地以日期和學(xué)科進(jìn)行區(qū)分，這種摘錄至少喪失了自學(xué)、補(bǔ)課和校外培訓(xùn)的基本依據(jù)，是對記錯的一種誤讀。

具體做法：

1.關(guān)于分門別類

數(shù)理化中最省事的辦法是按照教課書中的目錄結(jié)構(gòu)來制定，科學(xué)性和針對性都有了，但其中難度也大了不少。

（1）很多記錯工作是由家長來承擔(dān)的，這就意味著家長在把握錯題所屬類別時易出現(xiàn)偏差。尤其孩子住校的情況下，錯題分類會讓大部分家長力不從心。

解決方法：要求孩子在標(biāo)記錯題時，標(biāo)記相關(guān)知識點。這樣做的好處是，孩子要標(biāo)記知識點，就必須重新閱題。

這個過程就是聯(lián)系老師在課堂上所強(qiáng)調(diào)知識點的過程，不僅回顧了課堂上老師講授的知識點，還更進(jìn)一步，把知識點與題目的聯(lián)系建立起來。

有人可能會覺得這點兒回顧對學(xué)習(xí)幫助微乎其微，事實卻不是這樣，以我日常輔導(dǎo)孩子的經(jīng)驗，這是養(yǎng)成孩子面對題目，主動尋找關(guān)鍵字，進(jìn)而聯(lián)系課堂知識點，獲得解題思路的便捷方法，也是目前我所使用過的培養(yǎng)解題思路的最好方法。

（2）許多題目都是綜合了幾個知識點形成的，其分門別類以產(chǎn)生錯誤的知識點為依據(jù)，當(dāng)然學(xué)生在標(biāo)記知識點時也要遵循這個原則。

2.關(guān)于抄題內(nèi)容 除了原題和正確答案以外，最重要最醒目的應(yīng)該是錯誤根源。在進(jìn)行某項學(xué)習(xí)習(xí)慣養(yǎng)成（如獲取題目關(guān)鍵字詞）時，錯題根源也可以作為錯題分類的依據(jù)，當(dāng)然這對家長的要求較高。

在孩子進(jìn)行課外輔導(dǎo)或家教補(bǔ)課時，錯題本作為針對性教學(xué)的首要依據(jù)要在第一時間提供給授課者。這有助于老師有的放矢地講授知識和學(xué)習(xí)方法，真正達(dá)到一對一的效果。

同分門別類一樣：錯誤根源也是在孩子標(biāo)記錯題時注明。

3.關(guān)于記錯時機(jī)

記錯理論上當(dāng)然是越早越好，在孩子記憶最清晰的時候完成記錯，內(nèi)容會更加完整精確。在實際操作中，高年級的孩子往往沒有時間和精力來記錯，作為援兵的家長，記錯時機(jī)就顯得不是十分突出。

最為重要的一點，是提醒孩子盡快完成對錯題的標(biāo)注，最好是當(dāng)天完成前一天的標(biāo)注，以一周做為記錯周期也可以，效果稍差一些，當(dāng)然前面說到的知識點、錯誤根源是必須滴。

4.關(guān)于記錯手段

手工記錯：

有相當(dāng)多的學(xué)校都要求孩子建立了記（糾）錯本，用來整理錯題。就調(diào)查來看，這種理想狀態(tài)的記錯方式，大多孩子無法堅持下來，即使記錯，也往往是三天打漁，兩天曬網(wǎng)。

主要原因在于記錯時間成本過高，尤其是在高年級，圖形圖畫題目增多，幾乎95%的孩子和家長難以堅持下去。

2、改錯，錘煉學(xué)生穩(wěn)定發(fā)揮能力的過程

改錯是錯題本學(xué)習(xí)法中最為重要的環(huán)節(jié)，其核心是“改會”，僅僅把錯題做上一遍兩遍是不夠的，還需要從基礎(chǔ)知識、解題思路方面入手，切實達(dá)到“會的在考試中不失分”的目的。

1.改錯時機(jī)

記錯完成后，就進(jìn)入到改錯的階段。實踐證明，當(dāng)日改錯的效果相對要差上很多，最主要的原因是老師講述的正確答案孩子一般還會有印象，比著印象中的正確答案來做錯題，往往很難界定孩子到底是真會還是假會?？梢栽谟涘e完成的周末進(jìn)行改錯。這樣做的好處是，孩子對錯題答案雖然還會有印象，但不會很清晰了，重新做錯題，更易喚回老師當(dāng)初的講解，加深印象。另一方面，不占用孩子作業(yè)時間，不容易導(dǎo)致孩子厭倦情緒。

2.如何解決“會”的問題

會的落腳點應(yīng)該落實在出錯根源上，牽涉到相關(guān)知識點不夠清晰的，需要首先溫習(xí)課堂筆記或課本，搞清楚相關(guān)內(nèi)容，爾后再進(jìn)行改錯。

牽涉到關(guān)鍵字不夠明確的（包括閱題時，眼睛不夠扎實的），要著力在閱題習(xí)慣養(yǎng)成的培養(yǎng)上，具體問題當(dāng)然要具體分析，不可千篇一律。會的關(guān)鍵在于題目的要點能否與老師課堂講授的知識點、方法等建立起聯(lián)系。

（1）學(xué)生要善于比照成績好的同學(xué)的課堂筆記，解決聽課中的聽課缺失、記憶缺失和記錄缺失，把缺失部分補(bǔ)充到自己的筆記中。

（2）學(xué)生要善于針對錯題向老師和同學(xué)請教，尤其注意“這題在課堂上講過”、“這類題目以前做過”的錯題，深究出錯原因。

（3）改錯前，學(xué)生要翻閱本階段（錯題涵蓋的時間段）的筆記，重溫課堂講授和作業(yè)測驗講評時老師強(qiáng)調(diào)的重點，這是絕對重要的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

驗證錯題真會假會的方法比較簡單，就是一個月后，把改過的錯題重新過上一遍。我通常是通過錯題本軟件生成卷子，孩子重新就錯題考試。時間不夠也讓孩子列列算式，理理思路。這樣會進(jìn)一步鞏固改錯經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)孩子改錯后仍存在的漏洞，便于進(jìn)行下一步工作。

會的境界分兩個層次：

1.見到會做的題不出錯。

2.見到做過的題型不出錯。

前者最為直觀，后者則需要配合一定數(shù)量的擴(kuò)展練習(xí)才能夠達(dá)到。這也是在環(huán)節(jié)三里要重點闡述的問題。

3.二次以上錯題處理

如果改過的錯題仍然出錯的話，就需要將錯題升級，大考前這些題屬于必看必做題目。通常這種情況的題目已經(jīng)基本可以略除注意力不集中、閱題方面的問題，學(xué)生必須把注意力放到相關(guān)的基礎(chǔ)知識、公式使用上，真正找到知識漏洞。

3、擴(kuò)展，訓(xùn)練學(xué)生觸類旁通能力的過程 對于那些知識漏洞導(dǎo)致的錯題，有條件的家長，可以從網(wǎng)上、習(xí)題集中采集類似內(nèi)容的習(xí)題，來擴(kuò)展學(xué)生的練習(xí)范圍，這種擴(kuò)展練習(xí)最好由老師指導(dǎo)，家長完成。網(wǎng)上這方面資源很多，在此不加贅述。

需要強(qiáng)調(diào)的一點是：類似內(nèi)容的習(xí)題如果錯誤率較高，一定要停止擴(kuò)展，轉(zhuǎn)而研究原始錯題的根源和知識點，把重點進(jìn)一步向解題思路、數(shù)學(xué)思維方面傾斜，只有建立了這種知識點與題目的正確聯(lián)系，才能夠真正提高學(xué)生的觸類旁通能力。

錯題本學(xué)習(xí)法是一個不斷將錯題回爐淬煉的過程，它貫穿于學(xué)習(xí)新知識、溫習(xí)舊知識的始終，從錯題找出知識點漏洞，加以修正完善，這才是錯題本學(xué)習(xí)法的精髓.錯題本學(xué)習(xí)法是一個不斷將錯題回爐淬煉的過程，它貫穿于學(xué)習(xí)新知識、溫習(xí)舊知識的始終，從錯題找出知識點漏洞，加以修正完善，這才是錯題本學(xué)習(xí)法的精髓

3.二次以上錯題處理

如果改過的錯題仍然出錯的話，就需要將錯題升級，大考前這些題屬于必看必做題目。通常這種情況的題目已經(jīng)基本可以略除注意力不集中、閱題方面的問題，學(xué)生必須把注意力放到相關(guān)的基礎(chǔ)知識、公式使用上，真正找到知識漏洞。