第一篇：概率統(tǒng)計-11.6 幾何概型(教案)

響水二中高三數(shù)學（理）一輪復習

教案 第十一編 概率統(tǒng)計 主備人 張靈芝 總第59期

§11.6 幾何概型

基礎自測

1.質點在數(shù)軸上的區(qū)間［0，2］上運動，假定質點出現(xiàn)在該區(qū)間各點處的概率相等，那么質點落在區(qū)間 ［0，1］上的概率為.答案 12

2.某人向圓內投鏢，如果他每次都投入圓內，那么他投中正方形區(qū)域的概率為.（第2題）（第5題）

答案 2?

3.某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點的時刻是隨機的，則他候車時間不超過3分鐘的概率是.答案 35

4.設D是半徑為R的圓周上的一定點，在圓周上隨機取一點C，連接CD得一弦，若A表示“所得弦的長大于圓內接等邊三角形的邊長”，則P（A）=.答案 13

5.如圖所示，在直角坐標系內，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在 ∠yOT內的概率為.答案 16

例題精講

例1 有一段長為10米的木棍，現(xiàn)要截成兩段，每段不小于3米的概率有多大？

解 記“剪得兩段都不小于3米”為事件A，從木棍的兩端各度量出3米，這樣中間就有10-3-3=4（米）.在中間的4米長的木棍處剪都能滿足條件，所以P（A）=

10?3?310=

410=0.4.例2 街道旁邊有一游戲：在鋪滿邊長為9 cm的正方形塑料板的寬廣地面上，擲一枚半徑為1 cm的小圓板，規(guī)則如下：每擲一次交5角錢，若小圓板壓在正方形的邊，可重擲一次；若擲在正方形內，須再

376 交5角錢可玩一次；若擲在或壓在塑料板的頂點上，可獲1元錢.試問：（1）小圓板壓在塑料板的邊上的概率是多少？（2）小圓板壓在塑料板頂點上的概率是多少？

解（1）考慮圓心位置在中心相同且邊長分別為7 cm和9 cm的正方形圍成的區(qū)域內，所以概率為92?7922=3281.14（2）考慮小圓板的圓心在以塑料板頂點為圓心的圓內，因正方形有四個頂點，所以概率為

?92??81.例3（14分）在1升高產小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子，從中隨機取出10毫升，含有麥銹病 種子的概率是多少？從中隨機取出30毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？ 解 1升=1 000毫升，1分 3分 7分 記事件A：“取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子”.則P（A）=101000=0.01，即取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子的概率為0.01.記事件B：“取30毫升種子含有帶麥銹病的種子”.則P（B）=301000

9分 14分 =0.03，即取30毫升種子含有帶麥銹病的種子的概率為0.03.例4 在Rt△ABC中，∠A=30°，過直角頂點C作射線CM交線段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率.解 設事件D“作射線CM，使|AM|＞|AC|”.在AB上取點C′使|AC′|=|AC|，因為△ACC′是等腰三角形，180?所以∠ACC′=??302?=75°，1590A=90-75=15，?Ω=90，所以，P（D）=

=

16.例5 甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即可離 去.求兩人能會面的概率.解 以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達約定地點的時間，則兩人能夠會面的充要條件是|x-y|≤15.在如圖所示平面直角坐標系下，（x,y）的所有可能結果是邊長為60的正方形區(qū)域，而事件A“兩人能夠會面”的可能結果由圖中的陰影部分表示.由幾何概型的概率公式得： P（A）= SAS=602?4522=3600?20253600=

716.60377 所以，兩人能會面的概率是716.鞏固練習

1.如圖所示，A、B兩盞路燈之間長度是30米，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C、D，問A與C，B與D之間的距離都不小于10米的概率是多少？

解 記E：“A與C，B與D之間的距離都不小于10米”，把AB三等分，由于中間長度為30×∴P（E）=103013=10（米），=13.2.（2008·江蘇，6）在平面直角坐標系xOy中，設D是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于2的點構成的區(qū)域，E是到原點的距離不大于1的點構成的區(qū)域，向D中隨機投一點，則落入E中的概率為.答案 ?16

3.如圖所示，有一杯2升的水，其中含有1個細菌，用一個小杯從這杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有這個細菌的概率.解 記“小杯水中含有這個細菌”為事件A，則事件A的概率只與取出的水的體積有關，符合幾何概型的條件.∵?A=0.1升，?Ω=2升，∴由幾何概型求概率的公式，得P（A）=

?A?Ω=

0.12=

120=0.05.4.在圓心角為90°的扇形AOB中，以圓心O為起點作射線OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于 30°的概率.解 如圖所示，把圓弧 三等分，則∠AOF=∠BOE=30°，記A為 “在扇形AOB內作一射線OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°”，要使∠AOC和∠BOC都不小于30°，則OC就落在∠EOF內，∴P（A）=

3090??=

13.378 5.將長為l的棒隨機折成3段，求3段構成三角形的概率.解 設A=“3段構成三角形”，x,y分別表示其中兩段的長度，則第3段的長度為l-x-y.則試驗的全部結果可構成集合Ω={（x，y）|0＜x＜l,0＜y＜l,0＜x+y＜l}, 要使3段構成三角形，當且僅當任意兩段之和大于第3段，即x+y＞l-x-y?x+y＞y＜??l2,x+l-x-y＞y

?l2,y+l-x-y＞x?x＜l2l2l2.故所求結果構成集合

l??2?A=?(x,y)|x?y?,y?,x?.由圖可知，所求概率為

1P（A）=A的面積Ω的面積=?l????2?2?l22=14.2回顧總結

知識 方法 思想

課后作業(yè)

一、填空題

1.在區(qū)間（15，25］內的所有實數(shù)中隨機取一個實數(shù)a,則這個實數(shù)滿足17＜a＜20的概率是.答案 310

2.在長為10厘米的線段AB上任取一點G，用AG為半徑作圓，則圓的面積介于36?平方厘米到64?平方厘米的概率是.答案 15

3.當你到一個紅綠燈路口時，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為45秒，那么你看到黃燈的概率是.答案 116

4.如圖為一半徑為2的扇形（其中扇形中心角為90°），在其內部隨機地撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為.379（第4題）(第7題)答案 1-2

?

S45.在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P，則△PBC的面積大于答案 34的概率是.6.已知正方體ABCD—A1B1C1D1內有一個內切球O,則在正方體ABCD—A1B1C1D1內任取點M，點M在球O內的概率是.答案 ?6

7.已知如圖所示的矩形，其長為12，寬為5.在矩形內隨機地撒1 000顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為550顆，則可以估計出陰影部分的面積約為.答案 33 8.在區(qū)間（0，1）中隨機地取兩個數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于答案 172565”的概率為.二、解答題

9.射箭比賽的箭靶涂有5個彩色的分環(huán)，從外向內白色、黑色、藍色、紅色，靶心為金色，金色靶心叫“黃心”，奧運會的比賽靶面直徑是122 cm，靶心直徑12.2 cm,運動員在70米外射箭，假設都能中靶，且射中靶面內任一點是等可能的，求射中“黃心”的概率.解 記“射中黃心”為事件A，由于中靶點隨機的落在面積為的大圓內，而當中靶點在面積為142

14?×122 cm

?×12.2 cm的黃心時，事件A發(fā)生，于是事件A發(fā)生的概率

1P（A）=414??12.2??1222=0.01,所以射中“黃心”的概率為0.01.210.假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6∶30至7∶30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7∶00至8∶00之間，問你父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率是多少？

380 解 設事件A“父親離開家前能得到報紙”.在平面直角坐標系內，以x和y分別表示報紙送到和父親離開家的時間，則父親能得到報紙的充要條件是x≤y,而（x,y)的所有可能結果是邊長為1的正方形，而能得到報紙的所有可能結果由圖中陰影部分表示，這是一個幾何概型問題，?A=1-212×12×12=78，?Ω =1，所以P（A）=

?A?Ω=

78.11.已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°.（1）在線段BC上任取一點M，求使∠CAM＜30°的概率；（2）在∠CAB內任作射線AM，求使∠CAM＜30°的概率.解（1）設CM=x，則0＜x＜a.（不妨設BC=a）.33若∠CAM＜30°,則0＜x＜?3?區(qū)間?0，a?的長度??3??區(qū)間(0,a)的長度a,故∠CAM＜30°的概率為

P（A）==33.（2）設∠CAM=?，則0°＜?＜45°.若∠CAM＜30°,則0°＜?＜30°, 故∠CAM＜30°的概率為P（B）=2

(0,30)的長度(0，45)的長度???=

23.12.設關于x的一元二次方程x+2ax+b=0.（1）若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率.（2）若a是從區(qū)間［0，3］任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間［0，2］任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率.解 設事件A為“方程x+2ax+b=0有實根”.當a≥0,b≥0時，方程x+2ax+b=0有實根的充要條件為a≥b.（1）基本事件共有12個：

（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）.其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值.381 2222

2事件A中包含9個基本事件，事件A發(fā)生的概率為P（A）=

912=

34.（2）試驗的全部結果所構成的區(qū)域為{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.構成事件A的區(qū)域為

123?2??22{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.所以所求的概率為P(A)=

3?2=

23.382

第二篇：《幾何概型》上課教案

課題：幾何概型

授課教師：卓劍

教材：蘇教版數(shù)學（必修3）第3章3.3節(jié)

[教學目標] 知識與技能

(1)了解幾何概型的基本概念、特點和含義，測度的含義；

(2)能運用概率計算公式解決一些簡單的幾何概型的概率計算問題． 過程與方法

(1)經歷由直觀感知探討未知領域的過程，培養(yǎng)數(shù)學類比能力和概括能力．(2)通過情感體驗，使已有的知識和技能得到內化，同時轉化為解決新問題的能力． 情感態(tài)度與價值觀

(1)通過對幾何概型的探求，培養(yǎng)學生的探索能力、鉆研精神和科學態(tài)度．(2)在探求過程中，通過交流、發(fā)現(xiàn)、思維體驗、情感體驗等激發(fā)學生的學習興趣． [教學重點、難點] 教學重點是：理解幾何概型的概念，并能進行簡單的幾何概型的概率的計算． 教學難點是：通過實例讓學生體會測度的合理選?。?[教學方法與教學手段] 問題教學法、合作學習法，多媒體課件．

[教學過程] 1．創(chuàng)設情境

周杰倫的《青花瓷》歌曲全長4分鐘，高潮部分從第50秒末開始，到第1分30秒末結束．小明最愛聽這首歌．

暑假中的一天，他正戴著耳機以單曲循環(huán)的播放模式聽《青花瓷》．這時，媽媽喊他有事．回來后，他又立刻戴上耳機．

請問：小明剛好聽到《青花瓷》高潮部分的概率是多少？

2．提出問題，組織討論

問題探究1 取一根長度為3m的繩子，如果拉直后在任意位置剪斷，剪得兩段的長都不小于1m的概率是多少？

問題1 有多少種剪法？

問題2 怎樣剪斷繩子，能使得剪得兩段的長都不小于1m？ 問題3 剪得兩段的長都不小于1m的概率是多少？

記“剪得兩段繩子的長都不小于1m”為事件A，由于剪斷繩子上的每一個位置都可視為一個基本事件；將繩子三等分，當剪斷位置在中間一段時，事件A發(fā)生，所以事件A發(fā)生的概率為

P(A)?中間一段繩子的長度1?。

繩子的總長度3問題探究2 取一個邊長為2a 的正方形及其內切圓，隨機地向正方形內丟一粒豆子，那么豆子落入圓內的概率為多少？

記“豆子落入圓內”為事件A，由于豆子落入正方形中的每一個位置都可視為一個基本事件；豆子落入圓內時，事件A發(fā)生。則豆子落入圓內的概率為 圓的面積?a2?P(A)???。

正方形的面積4a24

3．建構概念

(1)歸納上述兩個隨機試驗有什么共同特征.(2)歸納、概括幾何概型的概念.設D是一個可度量的區(qū)域（例如線段、平面圖形、立體圖形等）．每個基本事件可以視為從區(qū)域D內隨機取一點，區(qū)域D內的每一點被取到的機會都一樣；隨機事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內的某個指定區(qū)域d中的點．這時，事件A發(fā)生的概率與d的測度（長度、面積、體積等）成正比，與d的形狀和位置無關．我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型．

在幾何概型中，事件A的概率計算公式為

P(A)?d 的測度

D 的測度(3)幾何概型與古典概型有何異同點？(學生歸納)

4．數(shù)學運用

在1 L高產小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子。如果從中隨機取出10mL，那么含有帶麥銹病種子的概率是多少？ 分析 “在1 L高產小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子”可以理解為帶麥銹病的種子在這1L種子中的分布是隨機的?！半S機取出10mL”可以理解為該10mL的種子所在的區(qū)域形狀和位置不影響事件發(fā)生的概率。

解 記“取出10mL麥種，含麥銹病的種子在內”為事件A，因為帶麥銹病的種子在這1L種子中的分布是隨機的．所以 事件A的概率為P(A)?取出種子的體積101??．

所有種子的體積10001001． 100我之所以選取它作為本節(jié)課的惟一例題，在于本題具有豐富的生活背景和體驗，同時最能反映幾何概型的特征，有助于加深學生對于概念的理解。5．情境再現(xiàn)

學生運用幾何概型的概念解決課開始時的疑惑，做到首尾呼應。

歌曲全長為4分鐘，用線段MN表示；高潮部分為40秒，用線段CD表示。由于小明戴上耳機時可以聽到整首歌曲中的任意一個時刻，于是小明聽到高潮部分的答 含有麥銹病種子的概率為概率為P?高潮的時長401??。

總時長2406單曲循環(huán)的播放模式可以這樣理解，不論小明再次戴上耳機時，歌曲已經循環(huán)播放了多少遍，他聽到的時刻一定在該歌曲中，那么可以視一首完整的歌曲為研究的區(qū)域D。這與課本上的“地鐵問題”是一致的。6．反饋練習在平面直角坐標系xOy中，若D表示橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于2的點構成的區(qū)域，E表示到原點的距離不大于1的點構成的區(qū)域，向D內隨機地投一點，則落在E中的概率為

．（2008年江蘇省高考第6題）7．課堂小結

通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲呢？

8．課后作業(yè) 課本103頁 練習1,2,3．

第三篇：3.3.1幾何概型教案（范文）

§3.3.1幾何概型（第一課時）（人教A版〃必修3）

教學目標

1、知識與技能：

（1）正確理解幾何概型的概念；（2）掌握幾何概型的概率公式： P（A）=構成事件A的區(qū)域長度（面積或體試驗的全部結果所構成積）積）的區(qū)域長度（面積或體；

（3）會根據(jù)古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系來判別某種概型是古典概型還是幾何概型；

2、過程與方法：

（1）發(fā)現(xiàn)法教學，通過師生共同探究，體會數(shù)學知識的形成，學會應用數(shù)學知識來解決問題，體會數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力

（2）通過對本節(jié)知識的探究與學習，感知用圖形解決概率問題的方法，掌握數(shù)學思想與邏輯推理的數(shù)學方法

3、情感態(tài)度與價值觀：

本節(jié)課的主要特點是隨機試驗多，學習時養(yǎng)成勤學嚴謹?shù)膶W習習慣。

教學重點

幾何概型的概念、公式

教學難點

幾何概型的應用

教輔手段

投燈片，計算機及多媒體教學．

教學過程

一、情景設置——溫故知新 處理方式

借助課件，提出問題，引導學生回顧

1、現(xiàn)實生活中有的古典概型的問題

2、古典概型的特點

二、新知探究

（一）創(chuàng)設情境：

處理方式

1、引導學生獨立思考，解決問題：如課本P132圖3．3-1中的(2)所示，圖中有一個轉盤，甲乙兩人玩轉盤游戲，規(guī)定當指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率。

（1）回顧已學的計算隨機事件的概率的方法，引導學生選擇解決此問題的方法。（2）引導學生思考討論得出結果。

2、幾何概型的概念：

（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；

（2）利用類比的方法引導學生總結幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．

（3）引導學生由幾何概型的概念、特點及轉盤問題總結出幾何概型的概率公式： P（A）=構成事件A的區(qū)域長度（面積或體試驗的全部結果所構成積）積）的區(qū)域長度（面積或體

三、即時體驗

處理方式

1、以問題探究的形式引導學生區(qū)分古典概型和幾何概型。

問題1：判下列試驗中事件A發(fā)生的概度是古典概型，還是幾何概型。

（1）拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個“4點”的概率；

（2）將一顆豆子隨即的扔到如圖的方格中,假設豆子不落在線上,求落在紅色區(qū)域的概率.解：（1）拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結果有6×6=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；

（2）豆子落入紅色區(qū)域時有無限多個結果，而且不難發(fā)現(xiàn)“落入紅色區(qū)域”的概率可以用紅色部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域面積有關，因此屬于幾何概型．

2、以問題探究的形式引導學生理解幾何概型中的事件A的概率P（A）只與子區(qū)域A的幾何度量（長度、面積、體積）成正比，而與A的位置和形狀無關。

問題2：取一根長為3m 的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不少于1m的概率為多大？

問題3：一海豚在水中游弋，水池為長30m，寬20m的長方形，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率。

問題4：有有一杯2升的水,其中含有一個細菌,用一個小杯從這杯中取出0.1升水,求小杯中含有這個細菌的概率.問題2解： 設A={剪得兩段的長都不少于1m}，A的發(fā)生就是中間一米的那段一段：

P（A）=13

問題3解：設A={海豚嘴尖離岸邊不超過2m}，為圖中蘭色區(qū)域：

P（A）=30?20?26?1630?200.12=

2375?0.31 問題2解： 設A={小杯中含有這個細菌}，它的概率只與取出的水的體積有關

P（A）=

=0.5

四、歸納提升

處理方式

引導學生歸納本課時的主要學習內容，交流成果教師幫助完善。

1、幾何概型的概念，特點

2、幾何概型的公式及應用

五、課后延續(xù)

1、回顧本課的學習過程，整理學習筆記

2、完成書面作業(yè)P14習題1

3、選作問題：

（1）在長為12cm的線段AB上任取一點M，并以線段AM為邊做正方形，求這正方形的面積介于36cm與81cm之間的概率。

（2）已知地鐵列車每10分一班，在車站停1分，求乘客到達站臺立即乘上車的概率。

第四篇：高中數(shù)學第3章概率3.3幾何概型自我檢測

3.3 幾何概型

自我檢測 基礎達標

一、選擇題

1．圓內有一內接正方形，今投射1鏢，則落入正方形內的概率是（）

?2 B． 2?11 C． D．

2?? A． 答案：B 2．在線段［0，3］上任取一點，則此點坐標不小于2的概率是（）

11 B． 3227 C． D．

A． 答案：A 3．兩根相距6 m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于2m的概率為（）

12 B． 3315 C． D． A． 答案：A 4．有1杯10升的水，其中含有1個細菌，用一個小杯從這杯水中取出0.1升水，則小杯水中含有這個細菌的概率為（）A．0.1B．0.01 C．0.001D．0 答案：B

二、填空題

5．公交車30 min一班，在車站停2min，某乘客到達站臺立即乘上車的概率是________.答案：1 156．某人午覺醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，假定電臺每小時報時一次，則他等待的時間短于10min的概率為__________.答案：1 660?501=． 606 解析：設A={等待的時間不多于10分鐘}.我們所關心的事件A恰好是打開收音機的時刻位于［50，60］時間段內，因此由幾何概型的概率公式得，P（A）=

三、解答題

7．現(xiàn)向如右圖所示的正方形內隨機地投擲飛鏢，求飛鏢落在陰影部分的概率.解：由? 得A（?6x?3y?4?0，y??1．?1，-1）.615=． 66 ∵B(1,-1),∴|AB|=1-同理，由? ∴C(1, ?x?1，2得y=.3?6x?3y?4?0，2), 325 ∴|BC|=-(-1)=.

3315525 ∴S△ABC=××=．

26336 而正方形面積為2×2=4．

2525 因此所求概率為36?．

41448．設A為圓周上一定點，在圓周上等可能地任取一點與A連結，求弦長超過半徑的概率.解：如右圖所示，|AB|=|AC|=OB（半徑），則弦長超過半徑，相當于動點落在陰影

4?OB2部分所在的扇形圓弧上.由幾何概型的概率計算公式，得P=3?.

2?OB32 答：弦長超過半徑的概率為.39．設有一均勻的陀螺，其圓周的一半上均勻地刻上區(qū)間［0，1］上的諸數(shù)字，另一半均勻地刻上區(qū)間［1，3］上的諸數(shù)字.旋轉這陀螺，求它停下時，其圓周上觸及桌面的刻度位于［0.5,1.5］上的概率.

解析：如右圖，旋轉陀螺，其圓周上任一點與桌面的接觸是等可能的，因此只要接觸點落在陰影部分，就表示圓周上觸及桌面的刻度位于［0.5,1.5］，由幾何概型求概率公式得

P=S陰S圓11(?)?r23?482?

8?r

更上一層

1．一個服務窗口每次只能接待一名顧客，兩名顧客將在8小時內隨機到達.顧客甲需要1小時服務時間，顧客乙需2小時.求兩人都不需要等待的概率.解：設顧客甲到達的時間為x，顧客乙到達的時間為y.則

0≤x≤8 0≤y≤8

無人需要等待所包含的基本事件為

y-x≥1 x-y≥2

試驗的每個結果都是等可能的，由幾何概型的條件知，只要在陰影部分就表示無人需要等待.∴P=S陰S正11?72??622?2=66.4%． 282．把長度為a的木棒任意折成三段，求它們可以構成一個三角形的概率.分析：要構成三角形，則必須滿足三角形中任意兩邊之和大于第三邊，關鍵在于確定它所包含的基本事件.解：設其中兩段的長為x、y，則所有基本事件： x>0,y>0 x+y

aaa,y<,x+y>.2221aa(?)1 P=222?=0.25．

14?a22 x<答：可構成三角形的概率是0.25．

3．從甲地到乙地有一班車在9：30到10：00到達，若某人從甲地坐該班車到乙地轉乘9：45到10：15出發(fā)的汽車到丙地去，問他能趕上車的概率是多少？

思路分析：到達乙地的時間是9.5時到10時之間的任一時刻，汽車從乙地出發(fā)的時間是9.75時到10.25時之間的任一時刻，如果在平面直角坐標系內以x軸表示到達乙地的時間，y軸表示汽車從乙地出發(fā)的時間，因為到達乙地時間和汽車從乙地出發(fā)的時間是隨機的，則隨機試驗的所有結果（x,y)是正方形內等可能的任一點，事件A（他能趕上車）發(fā)生的充要條件是x≤y，即對應正方形內陰影部分，事件A發(fā)生的概率只與陰影部分的面積有關，適用于幾何概型.解析：在平面直角坐標系內，以x和y分別表示到達乙地和汽車從乙地出發(fā)的時間，則能趕上汽車的充要條件是x≤y.而（x,y）的所有可能結果是邊長為0.5的正方形，而可能趕上車的時間由上圖中的陰影所表示.這是一個幾何概率問題.由公式得

0.52?0.252?P（A）=0.5212=0.875．

答案：能趕上車的概率為0.875．

第五篇：示范教案(說課稿)(3.3.1 幾何概型)

3.3 幾何概型

3.3.1 幾何概型

整體設計

教學分析

這部分是新增加的內容.介紹幾何概型主要是為了更廣泛地滿足隨機模擬的需要,但是對幾何概型的要求僅限于初步體會幾何概型的意義,所以教科書中選的例題都是比較簡單的.隨機模擬部分是本節(jié)的重點內容.幾何概型是另一類等可能概型,它與古典概型的區(qū)別在于試驗的結果不是有限個,利用幾何概型可以很容易舉出概率為0的事件不是不可能事件的例子,概率為1的事件不是必然事件的例子.利用古典概型產生的隨機數(shù)是取整數(shù)值的隨機數(shù),是離散型隨機變量的一個樣本;利用幾何概型產生的隨機數(shù)是取值在一個區(qū)間的隨機數(shù),是連續(xù)型隨機變量的一個樣本.比如［0,1］區(qū)間上的均勻隨機數(shù),是服從［0,1］區(qū)間上均勻分布的隨機變量的一個樣本.隨機模擬中的統(tǒng)計思想是用頻率估計概率.本節(jié)的教學需要一些實物模型為教具,如教科書中的轉盤模型、例3中的隨機撒豆子的模型等.教學中應當注意讓學生實際動手操作,以使學生相信模擬結果的真實性,然后再通過計算機或計算器產生均勻隨機數(shù)進行模擬試驗,得到模擬的結果.在這個過程中,要讓學生體會結果的隨機性與規(guī)律性,體會隨著試驗次數(shù)的增加,結果的精度會越來越高.隨機數(shù)的產生與隨機模擬的教學中要充分使用信息技術,讓學生親自動手產生隨機數(shù),進行模擬活動.幾何概型也是一種概率模型,它與古典概型的區(qū)別是試驗的可能結果不是有限個.它的特點是在一個區(qū)域內均勻分布,所以隨機事件的概率大小與隨機事件所在區(qū)域的形狀、位置無關,只與該區(qū)域的大小有關.如果隨機事件所在區(qū)域是一個單點,由于單點的長度、面積、體積均為0,則它出現(xiàn)的概率為0,但它不是不可能事件;如果一個隨機事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個單點,則它出現(xiàn)的概率為1,但它不是必然事件.均勻分布是一種常用的連續(xù)型分布,它來源于幾何概型.由于沒有講隨機變量的定義,教科書中均勻分布的定義僅是描述性的,不是嚴格的數(shù)學定義,要求學生體會如果X落到［0,1］區(qū)間內任何一點是等可能的,則稱X為［0,1］區(qū)間上的均勻隨機數(shù).三維目標

1.通過師生共同探究,體會數(shù)學知識的形成,正確理解幾何概型的概念；掌握幾何概型的概率公式： P（A）=構成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度(面積或體積),學會應用數(shù)學知識來解決問題,體會數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系,培養(yǎng)邏輯推理能力.2.本節(jié)課的主要特點是隨機試驗多,學習時養(yǎng)成勤學嚴謹?shù)膶W習習慣,會根據(jù)古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系來判別某種概型是古典概型還是幾何概型,會進行簡單的幾何概率計算,培養(yǎng)學生從有限向無限探究的意識.重點難點

教學重點：理解幾何概型的定義、特點,會用公式計算幾何概率.教學難點：等可能性的判斷與幾何概型和古典概型的區(qū)別.課時安排

1課時

教學過程 導入新課

思路1

復習古典概型的兩個基本特點：（1）所有的基本事件只有有限個；（2）每個基本事件發(fā)生都是等可能的.那么對于有無限多個試驗結果的情況相應的概率應如何求呢?為此我們學習幾何概型,教師板書本節(jié)課題幾何概型.思路2

下圖中有兩個轉盤,甲、乙兩人玩轉盤游戲,規(guī)定當指針指向B區(qū)域時,甲獲勝,否則乙獲勝.在兩種情況下分別求甲獲勝的概率是多少?

為解決這個問題,我們學習幾何概型.思路3

在概率論發(fā)展的早期,人們就已經注意到只考慮那種僅有有限個等可能結果的隨機試驗是不夠的,還必須考慮有無限多個試驗結果的情況.例如一個人到單位的時間可能是8：00至9：00之間的任何一個時刻；往一個方格中投一個石子,石子可能落在方格中的任何一點……這些試驗可能出現(xiàn)的結果都是無限多個.這就是我們要學習的幾何概型.推進新課 新知探究

提出問題

(1)隨意拋擲一枚均勻硬幣兩次,求兩次出現(xiàn)相同面的概率？

(2)試驗1.取一根長度為3 m的繩子,拉直后在任意位置剪斷.問剪得兩段的長都不小于1 m的概率有多大？

試驗2.射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環(huán).從外向內為白色,黑色,藍色,紅色,靶心是金色.金色靶心叫“黃心”.奧運會的比賽靶面直徑為122 cm,靶心直徑為12.2 cm.運動員在70 m外射箭.假設射箭都能射中靶面內任何一點都是等可能的.問射中黃心的概率為多少？(3)問題(1)(2)中的基本事件有什么特點?兩事件的本質區(qū)別是什么?(4)什么是幾何概型?它有什么特點?(5)如何計算幾何概型的概率?有什么樣的公式?(6)古典概型和幾何概型有什么區(qū)別和聯(lián)系? 活動：學生根據(jù)問題思考討論,回顧古典概型的特點,把問題轉化為學過的知識解決,教師引導學生比較概括.討論結果：(1)硬幣落地后會出現(xiàn)四種結果：分別記作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每種結果出現(xiàn)的概率相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=1/4.兩次出現(xiàn)相同面的概率為14?14?12.(2)經分析,第一個試驗,從每一個位置剪斷都是一個基本事件,剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點.第二個試驗中,射中靶面上每一點都是一個基本事件,這一點可以是靶面直徑為122 cm的大圓內的任意一點.在這兩個問題中,基本事件有無限多個,雖然類似于古典概型的“等可能性”,但是顯然不能用古典概型的方法求解.考慮第一個問題,如右圖,記“剪得兩段的長都不小于1 m”為事件A.把繩子三等分,于是當剪斷位置處在中間一段上時,事件A發(fā)生.由于中間一段的長度等于繩長的于是事件A發(fā)生的概率P(A)=

1313，.1

4第二個問題,如右圖,記“射中黃心”為事件B,由于中靶心隨機地落在面積為cm2的大圓內,而當中靶點落在面積為1???12.2???1222×π×122

214×π×12.22 cm2的黃心內時,事件B發(fā)生,于是事件B發(fā)生的概率P(B)=414=0.01.(3)硬幣落地后會出現(xiàn)四種結果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,繩子從每一個位置剪斷都是一個基本事件,剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點,也是等可能的,射中靶面內任何一點都是等可能的,但是硬幣落地后只出現(xiàn)四種結果,是有限的;而剪斷繩子的點和射中靶面的點是無限的;即一個基本事件是有限的,而另一個基本事件是無限的.(4)幾何概型.對于一個隨機試驗,我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內隨機地取一點,該區(qū)域中的每一個點被取到的機會都一樣,而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內的某個指定區(qū)域中的點.這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機試驗,稱為幾何概型.如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型（geometric models of probability）,簡稱幾何概型.幾何概型的基本特點：

a.試驗中所有可能出現(xiàn)的結果(基本事件)有無限多個； b.每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.(5)幾何概型的概率公式：

P（A）=構成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度(面積或體積).(6)古典概型和幾何概型的聯(lián)系是每個基本事件的發(fā)生都是等可能的;區(qū)別是古典概型的基本事件是有限的,而幾何概型的基本事件是無限的,另外兩種概型的概率計算公式的含義也不同.應用示例

思路1 例1 判斷下列試驗中事件A發(fā)生的概率是古典概型,還是幾何概型.（1）拋擲兩顆骰子,求出現(xiàn)兩個“4點”的概率;（2）如下圖所示,圖中有一個轉盤,甲、乙兩人玩轉盤游戲,規(guī)定當指針指向B區(qū)域時,甲獲勝,否則乙獲勝,求甲獲勝的概率.活動：學生緊緊抓住古典概型和幾何概型的區(qū)別和聯(lián)系,然后判斷.解：（1）拋擲兩顆骰子,出現(xiàn)的可能結果有6×6=36種,且它們都是等可能的,因此屬于古典概型;（2）游戲中指針指向B區(qū)域時有無限多個結果,而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”,概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量,即與區(qū)域長度有關,因此屬于幾何概型.點評：本題考查的是幾何概型與古典概型的特點,古典概型具有有限性和等可能性.而幾何概型則是在試驗中出現(xiàn)無限多個結果,且與事件的區(qū)域長度有關.例2 某人午休醒來,發(fā)覺表停了,他打開收音機想聽電臺整點報時,求他等待的時間短于10分鐘的概率.活動：學生分析,教師引導,假設他在0—60之間的任一時刻,打開收音機是等可能的,但0—60之間有無數(shù)個時刻,不能用古典概型的公式來計算隨機事件發(fā)生的概率,因為他在0—60之間的任一時刻打開收音機是等可能的,所以他在哪個時間段打開收音機的概率只與該時間段的長度有關,而與該時間段的位置無關,這符合幾何概型的條件,所以可用幾何概型的概率計算公式計算.解：記“等待的時間小于10分鐘”為事件A,打開收音機的時刻位于［50,60］時間段內則事件A發(fā)生.由幾何概型的求概率公式得P（A）=（60-50）/60=1/6，即“等待報時的時間不超過10分鐘”的概率為1/6.打開收音機的時刻X是隨機的,可以是0—60之間的任何時刻,且是等可能的.我們稱X服從［0,60］上的均勻分布,X稱為［0,60］上的均勻隨機數(shù).變式訓練

某路公共汽車5分鐘一班準時到達某車站,求任一人在該車站等車時間少于3分鐘的概率（假定車到來后每人都能上）.解：可以認為人在任一時刻到站是等可能的.設上一班車離站時刻為a,則某人到站的一切可能時刻為Ω=(a,a+5),記Ag={等車時間少于3分鐘},則他到站的時刻只能為g=(a+2,a+5)中的任一時刻,故P(Ag)=g的長度?的長度?35.點評：通過實例初步體會幾何概型的意義.思路2 例1 某人欲從某車站乘車出差,已知該站發(fā)往各站的客車均每小時一班,求此人等車時間不多于20分鐘的概率.活動：假設他在0—60分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的,但在0到60分鐘之間有無窮多個時刻,不能用古典概型公式計算隨機事件發(fā)生的概率.可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率.因為客車每小時一班,他在0到60分鐘之間任何一個時刻到站等車是等可能的,所以他在哪個時間段到站等車的概率只與該時間段的長度有關,而與該時間段的位置無關,這符合幾何概型的條件.解：設A={等待的時間不多于10分鐘},我們所關心的事件A恰好是到站等車的時刻位于［40,60］這一時間段內,因此由幾何概型的概率公式,得P（A）=（60-40）/60=1/3.即此人等車時間不多于10分鐘的概率為1/3.點評：在本例中,到站等車的時刻X是隨機的,可以是0到60之間的任何一刻,并且是等可能的,我們稱X服從［0,60］上的均勻分布,X為［0,60］上的均勻隨機數(shù).變式訓練

在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲藏著石油,假設在海域中任意一點鉆探,鉆到油層面的概率是多少？

分析：石油在1萬平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機的，而40平方千米可看作構成事件的區(qū)域面積,由幾何概型公式可以求得概率.解：記“鉆到油層面”為事件A,則P(A)=0.004.答：鉆到油層面的概率是0.004.例2 小明家的晚報在下午5：30—6：30之間任何一個時間隨機地被送到,小明一家人在下午6：00—7：00之間的任何一個時間隨機地開始晚餐.則晚報在晚餐開始之前被送到的概率是多少？

活動：學生讀題,設法利用幾何概型公式求得概率.解：建立平面直角坐標系,如右圖中x=6,x=7,y=5.5,y=6.5圍成一個正方形區(qū)域G.設晚餐在x（6≤x≤7）時開始,晚報在y（5.5≤y≤6.5）時被送到,這個結果與平面上的點（x,y）對應.于是試驗的所有可能結果就與G中的所有點一一對應.由題意知,每一個試驗結果出現(xiàn)的可能性是相同的,因此,試驗屬于幾何概型.晚報在晚餐開始之前被送到,當且僅當y

78的概率為P（A）=g的面積G的面積?.變式訓練

在1升高產小麥種子中混入了一種帶麥銹病的種子,從中隨機取出10毫升,則取出的種子中含有麥銹病的種子的概率是多少？

分析：病種子在這1升中的分布可以看作是隨機的,取得的10毫升種子可視作構成事件的區(qū)域,1升種子可視作試驗的所有結果構成的區(qū)域,可用“體積比”公式計算其概率.解：取出10毫升種子,其中“含有病種子”這一事件記為A,則P(A)=0.01.所以取出的種子中含有麥銹病的種子的概率是0.01.知能訓練

1.已知地鐵列車每10 min一班,在車站停1 min,求乘客到達站臺立即乘上車的概率.解：由幾何概型知,所求事件A的概率為P(A)=

111.2.兩根相距6 m的木桿上系一根繩子,并在繩子上掛一盞燈,求燈與兩端距離都大于2 m的概率.解：記“燈與兩端距離都大于2 m”為事件A,則P(A)=

2613=.3.在500 mL的水中有一個草履蟲,現(xiàn)從中隨機取出2 mL水樣放到顯微鏡下觀察,則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是（）

A.0.5

B.0.4

C.0.004

D.不能確定 解析：由于取水樣的隨機性,所求事件A：“在取出2 mL的水樣中有草履蟲”的概率等于水樣的體積與總體積之比2500=0.004.答案：C 4.平面上畫了一些彼此相距2a的平行線,把一枚半徑r

兩人相約8點到9點在某地會面,先到者等候另一人20分鐘,過時就可離去,試求這兩人能會面的概率.解：因為兩人誰也沒有講好確切的時間,故樣本點由兩個數(shù)（甲、乙兩人各自到達的時刻）組成.以8點鐘作為計算時間的起點,設甲、乙各在第x分鐘和第y分鐘到達,則樣本空間為Ω：{(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60},畫成圖為一正方形.以x,y分別表示兩人的到達時刻,則兩人能會面的充要條件為|x-y|≤20.這是一個幾何概率問題,可能的結果全體是邊長為60的正方形里的點,能會面的點的區(qū)域用陰影標出（如下圖）.所求概率為P=

g的面積G的面積?602?402260?59.2.（蒲豐(Buffon)投針問題）平面上畫很多平行線,間距為a.向此平面投擲長為l(l

l2sinφ（見下圖右).所求概率是P=

g的面積?的面積

???0(l/2)?sin?d???a/2?2la?.注：因為概率P可以用多次重復試驗的頻率來近似,由此可以得到π的近似值.方法是重復投針N次,（或一次投針若干枚,總計N枚）,統(tǒng)計與平行線相交的次數(shù)n,則P≈n/N.又因a與l都可精確測量,故從2l/aπ≈n/N,可解得π≈2lN/an.歷史上有不少人做過這個試驗.做得最好的一位投擲了3 408次,算得π≈3.141 592 9,其精確度已經達到小數(shù)點后第六位.設計一個隨機試驗,通過大量重復試驗得到某種結果,以確定我們感興趣的某個量,由此而發(fā)展的蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法為這種計算提供了一種途徑.課堂小結

幾何概型是區(qū)別于古典概型的又一概率模型,使用幾何概型的概率計算公式時,一定要注意其適用條件：每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度成比例.作業(yè)

課本習題3.3A組1、2、3.設計感想

本節(jié)課首先對古典概型進行了復習,使學生掌握古典概型的適用條件,鞏固了古典概型的概率計算公式,接著設計了多個試驗,從課題的引入,到問題的提出都非常有針對性,引人入勝,接著從求概率不能問題引出幾何概型這一不同于古典概型的又一概率模型,并通過探究,歸納出幾何概型的概率計算公式,同時比較了古典概型和幾何概型的區(qū)別和聯(lián)系,通過思路1和思路2兩種不同的例題類型和層次,加深理解和運用,由于它們與實際生活聯(lián)系密切,所以要反復練習,達到為我們的工作與生活服務,然而這部分內容高考是新內容,因此同學們要高度重視,全面把握,爭取好成績.