第一篇：概率統(tǒng)計(jì)教案2

第三章 多維隨機(jī)變量及其分布

一、教材說明

本章內(nèi)容包括：多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布和邊際分布、多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布、多維隨機(jī)變量的特征數(shù)，隨機(jī)變量的獨(dú)立性概念，條件分布與條件期望。本章仿照一維隨機(jī)變量的研究思路和方法。

1、教學(xué)目的與教學(xué)要求 本章的教學(xué)目的是：

（1）使學(xué)生掌握多維隨機(jī)變量的概念及其聯(lián)合分布，理解并掌握邊際分布和隨機(jī)變量 的獨(dú)立性概念；

（2）使學(xué)生掌握多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，理解并掌握多維隨機(jī)變量的特征數(shù)；（3）使學(xué)生理解和掌握條件分布與條件期望。本章的教學(xué)要求是：（1）深刻理解多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布的概念，會(huì)熟練地求多維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列和多維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)，并熟練掌握幾種常見的多維分布；

（2）深刻理解并掌握邊際分布的概念，能熟練求解邊際分布列和邊際密度函數(shù)；理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義，掌握隨機(jī)變量的獨(dú)立性的判定方法；（3）熟練掌握多維隨機(jī)變量的幾種函數(shù)的分布的求法，會(huì)用變量變換法求解、證明題目；（4）理解并掌握多維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的概念及性質(zhì)，掌握隨機(jī)變量不相關(guān)與獨(dú)立性的關(guān)系；（5）深刻理解條件分布與條件期望，能熟練求解條件分布與條件期望并會(huì)用條件分布與條件期望的性質(zhì)求解、證明題目。

2、本章的重點(diǎn)與難點(diǎn)

本章的重點(diǎn)是多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布和邊際分布、多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布及條件分布、多維隨機(jī)變量的特征數(shù)，難點(diǎn)是多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布及條件分布的求法。

二、教學(xué)內(nèi)容

本章共分多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布、邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性、多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布、多維隨機(jī)變量的特征數(shù)、條件分布與條件期望等5節(jié)來講述本章的基本內(nèi)容。

3.1 多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布

一、多維隨機(jī)變量

定義3.1.1 如果X1(?),X2(?),???,Xn(?)是定義在同一個(gè)樣本空間??{?}上的n個(gè)隨機(jī)變量，則稱X(?)?(X1(?),...,Xn(?))為n維隨機(jī)變量或隨機(jī)向量。

二、聯(lián)合分布函數(shù)

1、定義3.1.2 對(duì)任意n個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,???,xn，則n個(gè)事件{X1?x1},{X2?x2},???,{Xn?xn}同時(shí)發(fā)生的概率 F(x1,x2,???,xn)?P{X1?x1,X2?x2,???,Xn?xn}

稱為n維隨機(jī)變量(X1,X2,???,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)。

n!n2p1n1p2???prnr，n1!n2!???nr!這個(gè)聯(lián)合分布列稱為r項(xiàng)分布，又稱為多項(xiàng)分布，記為M(n,p1,p2,???,pr).例3.1.4 一批產(chǎn)品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件。從這批產(chǎn)品中有放回地任取3件，以X和Y分別表示取出的3件產(chǎn)品中一等品、二等品的件數(shù)，求二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布列。

分析 略。

解 略。

2、多維超幾何分布

多維超幾何分布的描述：袋中有N只球，其中有Ni只i號(hào)球，i?1,2,???,r。記N?N1?N2?????Nr，從中任意取出n只，若記Xi為取出的n只球中i號(hào)球的個(gè)數(shù)，i?1,2,???,r，則

?N1??N2??Nr??????????nnnP(X1?n1,X2?n2,???Xr?nr)??1??2??r?.?N????n?其中n1?n2?????nr?n。

例3.1.5 將例3.1.4改成不放回抽樣，即從這批產(chǎn)品中不放回地任取3件，以X和Y分別表示取出的3件產(chǎn)品中一等品、二等品的件數(shù)，求二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布列。

解

略。

3、多維均勻分布

設(shè)D為R中的一個(gè)有界區(qū)域，其度量為SD，如果多維隨機(jī)變量(X1,X2,???,Xn)的聯(lián)合密度函數(shù)為 n?1?,(x1,x2,???,xn)?D, p(x1,x2,???,xn)??SD?0,其他?則稱(X1,X2,???,Xn)服從D上的多維均勻分布，記為(X1,X2,???,Xn)~U（D).例3.1.6 設(shè)D為平面上以原點(diǎn)為圓心以r為半徑的圓，(X,Y)服從D上的二維均勻分布，其密度函數(shù)為

?1222?2,x?y?r, p(x,y)???r222??0,x?y?r.試求概率P(X?).解 略。

4、二元正態(tài)分布

如果二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

12??1?2(x??1)2(x??1)(y??2)(y??2)21exp{?[?2??]},???x,y???22(1??2)?12?1?2?21??2r2p(x,y)?2則稱(X,Y)服從二維正態(tài)分布，記為(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?).其中五個(gè)參數(shù)的取值范圍分別是：????1,?2???;?1,?2?0;?1???1.以后將指出：?1,?2分別是X與Y的均值，?12,?22分別是X與Y的方差，?是X與Y的相關(guān)系數(shù)。

2例3.1.7 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?).求(X,Y)落在區(qū)域D?{(x,y):(x??1)2?21?2?(x??1)(y??2)?1?2?(y??2)2?22??2}內(nèi)的概率。

解 略。

注 凡是與正態(tài)分布有關(guān)的計(jì)算一般需要作變換簡化計(jì)算。

3.2 邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性

一、邊際分布函數(shù)

1、二維隨機(jī)變量(X,Y)中

X的邊際分布

FX(x)?P(X?x)?P(X?Y的邊際分布

FY(y)?F(??,y)x,Y???)?limF(x,y?)y???F(x,? ?

2、在三維隨機(jī)變量(X,Y,Z)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y,z)中，用類似的方法可得到更多的邊際分布函數(shù)。

例3.2.1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

?1?e?x?e?y?e?x?y??xy,x?0,y?0, F(x,y)??0,其他?這個(gè)分布被稱為二維指數(shù)分布，求其邊際分布。

解 略。

注 X與Y的邊際分布都是一維指數(shù)分布，且與參數(shù)??0無關(guān)。不同的??0對(duì)應(yīng)不

p(x1,x2,???,xn)??pi(xi)

i?1n則稱X1,X2,???,Xn相互獨(dú)立。

例3.2.7設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

?8xy,0?x?y?1, p(x,y)??0,其他.?問X與Y是否相互獨(dú)立？

分析 為判斷X與Y是否相互獨(dú)立，只需看邊際密度函數(shù)之積是否等于聯(lián)合密度函數(shù)。解 略。

3.3 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

一、多維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布

以二維為例討論，設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的取值為(xi,yj),Z?f(X,Y), 隨機(jī)變量

Z的取值為zk.令Ck?{(xi,yj):f(xi,yj)?zk}，則

P(Z?zk)?P(f(xi,yj)?zk)?P((xi,yj)?Ck)?(xi,yj)?Ck?pij.例3.3.2（泊松分布的可加性）設(shè)X~P(?1),Y~P(?2), 且X與Y相互獨(dú)立。證明

Z?X?Y~P(?1??2).證明：略。

注 證明過程用到離散場(chǎng)合下的卷積公式，這里卷積指“尋求兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布運(yùn)算”，對(duì)有限個(gè)獨(dú)立泊松變量有

P(?1)?P(?2)?????P(?n)?P(?1??2??????n).例3.3.3（二項(xiàng)分布的可加性）設(shè)X~b(n,p),Y~b(m,p),且X與Y相互獨(dú)立。證明Z?X?Y~b(m?n,p).證明 略。

注（1）該性質(zhì)可以推廣到有限個(gè)場(chǎng)合

b(n1,p)?b(n2,p)?????b(nk,p)?b(n1?n2?????nk,p)

（2）特別當(dāng)n1?n2?????nk?1時(shí)，b(1,p)?b(1,p)?????b(1,p)?b(n,p)這表明，服從二項(xiàng)分布b(n,p)的隨機(jī)變量可以分解成n個(gè)相互獨(dú)立的0-1分布的隨機(jī)

變量之和。

二、最大值與最小值的分布

例3.3.4（最大值分布）設(shè)X1,X2,???,Xn是相互獨(dú)立的n個(gè)隨機(jī)變量，若

Y?max(X1,X2,???Xn).設(shè)在以下情況下求Y的分布：

（1）Xi~Fi(x),i?1,2,???,n;

（2）Xi同分布，即Xi~F(x),i?1,2,???,n;

（3）Xi為連續(xù)隨機(jī)變量，且Xi同分布，即Xi的密度函數(shù)為p(x),i?1,2,???,n;

（4）Xi~Exp(?),i?1,2,???,n.解 略。

注 這道題的解法體現(xiàn)了求最大值分布的一般思路。

例3.3.5（最小值分布）設(shè)X1,X2,???,Xn是相互獨(dú)立的n個(gè)隨機(jī)變量；若Y?min(X1,X2,???Xn)，試在以下情況下求Y的分布：

（1）Xi~Fi(x),i?1,2,???,n;

（2）Xi同分布，即Xi~F(x),i?1,2,???,n;

（3）Xi為連續(xù)隨機(jī)變量，且Xi同分布，即Xi的密度函數(shù)為p(x),i?1,2,???,n;

（4）Xi~Exp(?),i?1,2,???,n.解 略。

注 這道例題的解法體現(xiàn)了求最小值分布的一般思路。

三、連續(xù)場(chǎng)合的卷積公式

定理3.3.1設(shè)X與Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)隨機(jī)變量，其密度函數(shù)分別為pX(x)、pY(y)，則其和Z?X?Y的密度函數(shù)為

pZ(z)??????pX(z?y)pY(y)dy.證明 略。

本定理的結(jié)果就是連續(xù)場(chǎng)合下的卷積公式。

例3.3.6（正態(tài)分布的可加性）設(shè)X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2),且X與Y相互獨(dú)立。證明Z?X?Y~N(?1??2,?1??2).證明 略

2222

注 任意n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)變量的非零線性組合仍是正態(tài)變量。

四、變量變換法

1、變量變換法

設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,y)，函數(shù)??u?g1(x,y),有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且存在唯一

v?g(x,y).?2?x?x(u,v),的反函數(shù)?，其變換的雅可比行列式

y?y(u,v)??x?(x,y)?uJ???(u,v)?x?v若??y?u?y?v??1???(u,v)?????????(x,y)????u?x?v?x?u?y?v?y????0.????1?U?g1(X,Y)則(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)為

?V?g2(X,Y),p(u,v)?p(x(u,v),y(u,v))J.這個(gè)方法實(shí)際上就是二重積分的變量變換法，其證明可參閱數(shù)學(xué)分析教科書。例3.3.9設(shè)X與Y獨(dú)立同分布，都服從正態(tài)分布N(?,?2)，記?試求(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)。U與V是否相互獨(dú)立？

解 略。

2、增補(bǔ)變量法

增補(bǔ)變量法實(shí)質(zhì)上是變換法的一種應(yīng)用：為了求出二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的函數(shù)

?U?X?Y，?V?X?Y.U?g(X,Y)的密度函數(shù)，增補(bǔ)一個(gè)新的隨機(jī)變量V?h(X,Y)，一般令V?X或V?Y。先用變換法求出(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)p(u,v)，再對(duì)p(u,v)關(guān)于v積分，從而得出關(guān)于U的邊際密度函數(shù)。

例3.3.10（積的公式）設(shè)X與Y相互獨(dú)立，其密度函數(shù)分別為 pX(x)和pY(y).則U?XY的密度函數(shù)為pU(u)??證 略。

????pX(uv)pY(v)1dv.v例3.3.11（商的公式）設(shè)X與Y相互獨(dú)立，其密度函數(shù)分別為pX(x)和pY(y)，則U?XY的密度函數(shù)為pU(u)??

????pX(uv)pY(v)vdv.10111213

例3.5.5設(shè)(X,Y)服從G?{(x,y):x2?y2?1}上的均勻分布，試求給定Y?y條件下X的條件密度函數(shù)p(x|y)。

解 略。

3、連續(xù)場(chǎng)合的全概率公式和貝葉斯公式 全概率公式的密度函數(shù)形式

pY(y)??????pX(x)p(y|x)dx,pX(x)??????pY(y)p(x|y)dy.pY(y)p(x|y)貝葉斯公式的密度函數(shù)形式

p(x|y)?pX(x)p(y|x)?????pX(x)p(y|x)dx,p(y|x)??????pY(y)p(x|y)dy.注 由邊際分布和條件分布就可以得到聯(lián)合分布。

二、條件數(shù)學(xué)期望

1、定義3.5.4 條件分布的數(shù)學(xué)期望（若存在）稱為條件數(shù)學(xué)期望，其定義如下：

??xiP(X?xi|Y?y),(X,Y)為二維離散隨機(jī)變量；?E(X|Y?y)??i??

?(X,Y)為二維連續(xù)隨機(jī)變量。???xp(x|y)dx，???yjP(Y?yj|X?x),(X,Y)為二維離散隨機(jī)變量；?jE(Y|X?x)??

???(X,Y)為二維連續(xù)隨機(jī)變量。???yp(y|x)dy，?注(1)條件數(shù)學(xué)期望具有數(shù)學(xué)期望的一切性質(zhì)。

(2)條件數(shù)學(xué)期望E(X|Y)可以看成是隨機(jī)變量Y的函數(shù)，其本身也是一個(gè)隨機(jī)變量。

2、定理3.5.1（重期望公式）設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，且E(X)存在，則

E(X)?E(E(X|Y))。

證明 略。

注 重期望公式的具體使用如下

（1）如果Y是一個(gè)離散隨機(jī)變量，E(X)?（2）如果Y是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，E(X)??E(X|y?y)P(Y?y);

jjj?????E(X|Y?y)pY(y)dy.例3.5.10（隨機(jī)個(gè)隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望）設(shè)X1,X2,???,Xn是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，隨機(jī)變量N只取正整數(shù)值，且與{Xn}獨(dú)立。證明

E(?Xi)?E(X1)E(N).i?1N

第四章 大數(shù)定律與中心極限定理

一、教材說明

本章內(nèi)容包括特征函數(shù)及其性質(zhì)，常用的幾個(gè)大數(shù)定律，隨機(jī)變量序列的兩種收斂性的定義及其有關(guān)性質(zhì)，中心極限定理。大數(shù)定律涉及的是一種依概率收斂，中心極限定理涉及按分布收斂。這些極限定理不僅是概率論研究的中心議題，而且在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有廣泛的應(yīng)用。

1、教學(xué)目的與教學(xué)要求 本章的教學(xué)目的是：

（1）使學(xué)生掌握特征函數(shù)的定義和常用分布的特征函數(shù)；

（2）使學(xué)生深刻理解和掌握大數(shù)定律及與之相關(guān)的兩種收斂性概念，會(huì)熟練運(yùn)用幾個(gè)大數(shù)定律證明題目；

（3）使學(xué)生理解并熟練掌握獨(dú)立同分布下的中心極限定理。本章的教學(xué)要求是：

（1）理解并會(huì)求常用分布的特征函數(shù)；

（2）深刻理解并掌握大數(shù)定律，能熟練應(yīng)用大數(shù)定律證明題目；

（3）理解并掌握依概率收斂和按分布收斂的定義，并會(huì)用其性質(zhì)證明相應(yīng)的題目；（4）深刻理解與掌握中心極限定理，并要對(duì)之熟練應(yīng)用。

2、重點(diǎn)與難點(diǎn)

本章的重點(diǎn)是大數(shù)定律與中心極限定理，難點(diǎn)是用特征函數(shù)的性質(zhì)證明題目，大數(shù)定律和中心極限定理的應(yīng)用。

二、教學(xué)內(nèi)容

本章共分特征函數(shù)、大數(shù)定律、隨機(jī)變量序列的兩種收斂性，中心極限定理等4節(jié)來講述本章的基本內(nèi)容。

4.1特征函數(shù)

一、特征函數(shù)的定義

1.定義4.1.1 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，稱?(t)=E(e)，-∞ < t < + ∞，為X的特征函數(shù)。

itXitX注 因?yàn)閑?1，所以E(e)總是存在的，即任一隨機(jī)變量的特征函數(shù)總是存在的。

itX

2.特征函數(shù)的求法

（1）當(dāng)離散隨機(jī)變量X的分布列為Pk= P（X= xk)，k = 1，2，…，則X的特征函數(shù)為

φ(t)=?ek?1??itxkPk，-∞ < t < + ∞。

（2）當(dāng)連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為p(x)，則X的特征函數(shù)為

φ(t)=?????eitxP(x)dx，-∞ < t < + ∞。

例4.1.1 常用分布的特征函數(shù)

(1)單點(diǎn)分布：P(X= a)= 1，其特征函數(shù)為φ(t)= eita。(2)0 –1分布：P(X= x)=px(1

證明 略。

定理4.1.1（一致連續(xù)性）隨機(jī)變量X的特征函數(shù)φ(t)在(-∞，+ ∞)上一致連續(xù)。定理4.1.2（非負(fù)定性）隨機(jī)變量X的特征函數(shù)φ(t)是非負(fù)定的。定理4.1.4（唯一性定理）隨機(jī)變量的分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一決定。例4.1.3 試?yán)锰卣骱瘮?shù)的方法求伽瑪分布Ga(α，λ)的數(shù)學(xué)期望和方差。解 因?yàn)镚a(α，λ)的特征函數(shù)φ(t)= φ(t)= ‘

‘?i?i?i(1?)???1；φ(0)= ???(1?it??)?，?’‘’1)i2it；φ(t)= ?(??(1?)???2；φ(0)= 2?(??1)?2??，所以由性質(zhì)4.1.5得

E(X)??'(0)i???;Var(X)???''(0)?(?'(0))2?2.??4.2大數(shù)定律

一、何謂大數(shù)定律（大數(shù)定律的一般提法）

定義4.2.1設(shè){Xn}為隨機(jī)變量序列，若對(duì)任意的??0,有

?1n?1nlimP??Xi??E(Xi)????1.(4.2.5)n???ni?1?ni?1?則稱{Xn}服從大數(shù)定律。

二、切比雪夫大數(shù)定律

定理4.2.2（切比雪夫大數(shù)定律）設(shè){Xn}為一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列，若每個(gè)Xi的方差存在，且有共同的上界，即Var(Xi)?c,i?1,2,???,則{Xn}服從大數(shù)定律，即對(duì)任意的??0，式(4.2.5)成立。

利用切比雪夫不等式就可證明。此處略。

推論（定理4.2.1：伯努利大數(shù)定律）設(shè)?n為n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，P為每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率，則對(duì)任意的??0，有

???limP?n?p????1.n????n?分析 ?n服從二項(xiàng)分布，因此可以把?n表示成n個(gè)相互獨(dú)立同分布、都服從0–1分布的隨機(jī)變量的和。

三、馬爾可夫大數(shù)定律

定理4.2.3（馬爾可夫大數(shù)定律）對(duì)隨機(jī)變量序列{Xn}，若馬爾可夫條件n1Var(?Xi)?0成立，則{Xn}服從大數(shù)定律，即對(duì)任意的??0，式(4.2.5)成立。n2i?1證明 利用切比雪夫不等式就可證得。

例4.2.3 設(shè){Xn}為一同分布、方差存在的隨機(jī)變量序列，且Xn僅與Xn?1和Xn?1相關(guān)，而與其他的Xi不相關(guān)，試問該隨機(jī)變量序列{Xn}是否服從大數(shù)定律？

解 可證對(duì){Xn}，馬爾可夫條件成立，故由馬爾可夫大數(shù)定律可得{Xn}服從大數(shù)定律。

四、辛欽大數(shù)定律

定理4.2.4（辛欽大數(shù)定律）設(shè){Xn}為一獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，若Xn的數(shù)學(xué)期望存在，則{Xn}服從大數(shù)定律，即對(duì)任意的??0，式(4.2.5)成立。

4.3隨機(jī)變量序列的兩種收斂性

一、依概率收斂

1.定義4.3.1（依概率收斂）設(shè){Xn}為一隨機(jī)變量序列，Y為一隨機(jī)變量。如果對(duì)于任意的??0，有

n???limP?Yn?Y????1.P則稱{Xn}依概率收斂于Y，記做Yn???Y。

1n1nP注 隨機(jī)變量序列{Xn}服從大數(shù)定律??Xi??E(Xi)???0。

ni?1ni?12.依概率收斂的四則運(yùn)算

定理4.3.1 設(shè){Xn}，{Yn}是兩個(gè)隨機(jī)變量序列，a，b是兩個(gè)常數(shù)。如果

PP{Xn}???a，{Yn}???b，則有(1)Xn?Yn???a?b;(3)Xn?Yn???a?b(b?0).?a?b;(2)Xn?Yn??

二、按分布收斂、弱收斂 PPP

1.定義4.3.2 設(shè){Fn(x)}是隨機(jī)變量序列{Xn}的分布函數(shù)列，F(xiàn)(x)為X的分布函數(shù)。若對(duì)F(x)的任一連續(xù)點(diǎn)x，都有l(wèi)imFn(X)=F(x)，則稱{Fn(x)}弱收斂于F(x)，記做

n????Fn(X)???F(x)。也稱{Xn}按分布收斂于X，記做Xn???lX。

2.依概率收斂與按分布收斂間的關(guān)系

P(1)定理4.3.2 Xn???X?Xn?l??X。

P(2)定理4.3.3 若c為常數(shù)，則Xn???c?Xn?l??c

兩個(gè)定理的證明均略。

三、判斷弱收斂的方法

定理4.3.4 分布函數(shù)序列{Fn(x)}弱收斂于分布函數(shù)F(X)的充要條件是{Fn(x)}的特征函數(shù)序列{φn(t)}收斂于F(x)的特征函數(shù)φ(t)。

這個(gè)定理的證明只涉及數(shù)學(xué)分析的一些結(jié)果，參閱教材后文獻(xiàn)[1]。例4.3.3 若X?~P(?)，證明

1?X???limP???x??????2????解 用定理4.3.4。此處略。

?x??edt.?t224.4中心極限定理

一、中心極限定理概述

研究獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布的命題。

二、獨(dú)立同分布下的中心極限定理

定理4.4.1（林德貝格-勒維中心極限定理）設(shè){Xn}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)??,Var(Xi)???0.記

2Yn*?則對(duì)任意實(shí)數(shù)y，有

X1?X2?????Xn?n??n.1*? limP?Y?y??(y)??n?n???2?

?y??edt.?t22-2021-

第二篇：統(tǒng)計(jì)與概率教案

第1課時(shí) 統(tǒng)計(jì)與概率（1）

【教學(xué)內(nèi)容】 統(tǒng)計(jì)表。

【教學(xué)目標(biāo)】

使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的意義，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)表，掌握整理數(shù)據(jù)、編制統(tǒng)計(jì)表的方法，學(xué)會(huì)進(jìn)行簡單統(tǒng)計(jì)?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】

讓學(xué)生系統(tǒng)掌握統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能?！窘虒W(xué)準(zhǔn)備】 多媒體課件。

【情景導(dǎo)入】 1.揭示課題

提問：在小學(xué)階段，我們學(xué)過哪些統(tǒng)計(jì)知識(shí)？為什么要做統(tǒng)計(jì)工作？ 2.引入課題

在日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)常需要對(duì)一些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、比較，這樣就需要進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)時(shí)，又經(jīng)常要用統(tǒng)

計(jì)表、統(tǒng)計(jì)圖，并且常常進(jìn)行平均數(shù)的計(jì)算。今天我們開始復(fù)習(xí)簡單的統(tǒng)計(jì)，這節(jié)課先復(fù)習(xí)如何設(shè)計(jì)調(diào)查表，并進(jìn)行調(diào)

查統(tǒng)計(jì)。

【整理歸納】

收集數(shù)據(jù)，制作統(tǒng)計(jì)表。

教師：我們班要和希望小學(xué)六（2）班建立“手拉手”班級(jí)，你想向“手拉手”的同學(xué)介紹哪些情況？ 學(xué)生可能回答：（1）身高、體重（2）姓名、性別（3）興趣愛好

為了清楚記錄你的情況，同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)個(gè)人情況調(diào)查表。課件展示：

為了幫助和分析全班的數(shù)據(jù)，同學(xué)們又設(shè)計(jì)了一種統(tǒng)計(jì)表。六（2）班學(xué)生最喜歡的學(xué)科統(tǒng)計(jì)表

組織學(xué)生完善調(diào)查表，怎樣調(diào)查？怎樣記錄數(shù)據(jù)?調(diào)查中要注意什么問題？ 組織學(xué)生議一議，相互交流。指名學(xué)生匯報(bào)，再集體評(píng)議。

組織學(xué)生在全班范圍內(nèi)以小組形式展開調(diào)查，先由每個(gè)小組整理數(shù)據(jù)，再由每個(gè)小組向全班匯報(bào)。填好統(tǒng)計(jì)表。【課堂作業(yè)】

教材第96頁例3?！菊n堂小結(jié)】

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？ 【課后作業(yè)】

完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)的練習(xí)。

第1課時(shí) 統(tǒng)計(jì)與概率（1）（1）統(tǒng)計(jì)表

（2）統(tǒng)計(jì)圖：折線統(tǒng)計(jì)圖 條形統(tǒng)計(jì)圖 扇形統(tǒng)計(jì)圖

第2課時(shí) 統(tǒng)計(jì)與概率（2）

【教學(xué)內(nèi)容】

統(tǒng)計(jì)與概率（2）。【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生初步掌握把原始數(shù)據(jù)分類整理的統(tǒng)計(jì)方法 2.滲透統(tǒng)計(jì)意識(shí)。【重點(diǎn)難點(diǎn)】

能根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，做出正確的判斷或簡單預(yù)測(cè)。【教學(xué)準(zhǔn)備】 多媒體課件。

【情景導(dǎo)入】

上節(jié)課我們復(fù)習(xí)了如何設(shè)計(jì)調(diào)查表，今天我們來一起整理一下制作統(tǒng)計(jì)圖的相關(guān)知識(shí)。

【歸納整理】 統(tǒng)計(jì)圖

1.你學(xué)過幾種統(tǒng)計(jì)圖？分別叫什么統(tǒng)計(jì)圖？各有什么特征？ 條形統(tǒng)計(jì)圖（清楚表示各種數(shù)量多少）折線統(tǒng)計(jì)圖（清楚表示數(shù)量的變化情況）扇形統(tǒng)計(jì)圖（清楚表示各種數(shù)量的占有率）教師：結(jié)合剛才的數(shù)據(jù)例子，議一議什么類型的數(shù)據(jù)用什么樣的統(tǒng)計(jì)圖表示更合適？

組織學(xué)生議一議，相互交流。2.教學(xué)例4 課件出示教材第97頁例4。

（1）從統(tǒng)計(jì)圖中你能得到哪些信息？ 小組交流。重點(diǎn)匯報(bào)。

如：從扇形統(tǒng)計(jì)圖可以看出，男、女生占全班人數(shù)的百分率； 從條形統(tǒng)計(jì)圖可以看出，男、女生分別喜歡的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的人數(shù)；

從折線統(tǒng)計(jì)圖可以看出，同學(xué)們對(duì)自己的綜合表現(xiàn)滿意人數(shù)的情況變化趨勢(shì)。（2）還可以通過什么手段收集數(shù)據(jù)？ 組織學(xué)生議一議，并相互交流。

如：問卷調(diào)查，查閱資料，實(shí)驗(yàn)活動(dòng)等。

（3）做一項(xiàng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)工作的主要步驟是什么？ 組織學(xué)生議一議，并相互交流。

指名學(xué)生匯報(bào)，并集體訂正，使學(xué)生明確并板書： a.確定調(diào)查的主題及需要調(diào)查的數(shù)據(jù)； b.設(shè)計(jì)調(diào)查表或統(tǒng)計(jì)表； c.確定調(diào)查的方法； d.進(jìn)行調(diào)查，予以記錄； e.整理和描述數(shù)據(jù)；

f.根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表分析數(shù)據(jù)，作出判斷和決策?！菊n堂作業(yè)】

教材第98頁練習(xí)二十一第2、3題。【課堂小結(jié)】

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？ 【課后作業(yè)】

完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)的練習(xí)。

第2課時(shí) 統(tǒng)計(jì)與概率（2）

做一項(xiàng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)工作的主要步驟： ①確定調(diào)查的主題及需要調(diào)查的數(shù)據(jù)； ②設(shè)計(jì)調(diào)查表或統(tǒng)計(jì)表； ③確定調(diào)查的方法； ④進(jìn)行調(diào)查，予以記錄； ⑤整理和描述數(shù)據(jù)；

⑥根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表分析數(shù)據(jù)，作出判斷和決策。

第3課時(shí) 統(tǒng)計(jì)與概率（3）

【教學(xué)內(nèi)容】

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的整理和復(fù)習(xí)?！窘虒W(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生加深對(duì)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的認(rèn)識(shí)。體會(huì)三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的不同特征和使用范圍。

2.使學(xué)生經(jīng)歷解決問題的過程，發(fā)展初步的推理能力和綜合應(yīng)用意識(shí)。3.靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】

進(jìn)一步認(rèn)識(shí)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，體會(huì)三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的不同特征和使用范圍?！窘虒W(xué)準(zhǔn)備】 多媒體課件。

【情境導(dǎo)入】

教師：CCTV-3舉行青年歌手大獎(jiǎng)賽，一歌手演唱完畢，評(píng)委亮出的分?jǐn)?shù)是： 9.87,9.65,9.84,9.78,9.75,9.72,9.90,9.83，要求去掉一個(gè)最高分，一個(gè)最低分，那么該選手的最后得分是多少？

學(xué)生獨(dú)立思考，然后組織學(xué)生議一議，然后互相交流。指名學(xué)生匯報(bào)解題思路。由此引出課題：

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù) 【復(fù)習(xí)回顧】 1.復(fù)習(xí)近平均數(shù)

教師：什么是平均數(shù)？它有什么用處？ 組織學(xué)生議一議，并相互交流。

指名學(xué)生匯報(bào)，并組織學(xué)生集體評(píng)議。使學(xué)生明確：平均數(shù)能直觀、簡明地反映一組數(shù)據(jù)的一般情況，用它可以進(jìn)行不

同數(shù)據(jù)的比較，看出組與組之間的差別。課件展示教材第97頁例5兩個(gè)統(tǒng)計(jì)表。

①提問：從上面的統(tǒng)計(jì)表中你能獲取哪些信息？ 學(xué)生思考后回答

②小組合作學(xué)習(xí)。（課件出示思考的問題）a.在上面兩組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)是多少？

b.不用計(jì)算，你能發(fā)現(xiàn)上面兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大小嗎？ c.用什么統(tǒng)計(jì)量表示上面兩組數(shù)據(jù)的一般水平比較合適？ ③小組匯報(bào)。

第一組數(shù)據(jù)：平均數(shù)是（1.40＋1.43×3＋1.46×5＋1.49×10＋1.52×12＋1.55×6＋1.58×3）÷（1+3+5+10+12+6+3）≈1.50（m）

第二組數(shù)據(jù)：平均數(shù)是（30×2+33×4+36×5+39×12+42×10+45×4+48×3）÷40=39.6（kg）

④用什么統(tǒng)計(jì)量表示上面兩組數(shù)據(jù)的一般水平比較合適？為什么？ 組織學(xué)生議一議，相互交流。

學(xué)生匯報(bào)：上面數(shù)據(jù)的一般水平用平均數(shù)比較合適。因?yàn)樗c這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系。2.復(fù)習(xí)中位數(shù)、眾數(shù)

（1）教師：什么是中位數(shù)？什么是眾數(shù)？它們各有什么特征？ 組織學(xué)生議一議，并相互交流。指名學(xué)生匯報(bào)。

使學(xué)生明白:在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置上 的一個(gè)數(shù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

（2）課件展示教材第97頁例5的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)表，提問：你能說說這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)嗎？

學(xué)生認(rèn)真觀察統(tǒng)計(jì)表，思考并回答。指名學(xué)生匯報(bào)，并進(jìn)行集體評(píng)議?！練w納小結(jié)】

1.教師：不用計(jì)算，你能發(fā)現(xiàn)上面每組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)之間的大小關(guān)系嗎？

組織學(xué)生議一議，并相互交流。指名學(xué)生匯報(bào)并進(jìn)行集體評(píng)議。

2.教師：用什么統(tǒng)計(jì)量表示兩組數(shù)據(jù)的一般水平比較合適？ 組織學(xué)生議一議，并相互交流。指名學(xué)生匯報(bào)。師生共同評(píng)議。師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行板書?！菊n堂作業(yè)】

教材第98頁練習(xí)二十一第4、5題，學(xué)生獨(dú)立完成，集體訂正。答案：

第4題：（1）不合理，因?yàn)閺倪M(jìn)貨量和銷售量的差來看，尺碼是35、39、40三種型號(hào)的鞋剩貨有些多。

（2）建議下次進(jìn)貨時(shí)適當(dāng)降低35、39、40三種型號(hào)鞋的進(jìn)貨量，根據(jù)銷貨量的排名來看，每種型號(hào)的鞋的進(jìn)貨量的比

例總體上不會(huì)有大的變化。第5題：（1）平均數(shù)：（9.8+9.7×2＋9.6×4＋9.5＋9.4×2+9.1）÷11≈9.55（分）（2）有道理，因?yàn)槠骄鶖?shù)與一組

數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系，但它易受極端數(shù)據(jù)的影響，所以為了減小這種影響，在評(píng)分時(shí)就采取“去掉一個(gè)最高分和

一個(gè)最低分”，再計(jì)算平均數(shù)的方法，這樣做是合理的。平均分：（9.7×2+9.6×4+9.5+9.4×2）÷9≈9.57（分）【課堂小結(jié)】

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)活動(dòng)，你有什么收獲？學(xué)生談?wù)剬W(xué)到的知識(shí)及掌握的方法。

【課后作業(yè)】

完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)的練習(xí)。

第3課時(shí) 統(tǒng)計(jì)與概率（3）

平均數(shù)：能較充分的反映一組數(shù)據(jù)的“平均水平”，但它容易受極端值的影響。

中位數(shù)：部分?jǐn)?shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒有影響

眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個(gè)，也可能沒有。

第4課時(shí) 統(tǒng)計(jì)與概率（4）

【教學(xué)內(nèi)容】

可能性的整理與復(fù)習(xí)。【教學(xué)目標(biāo)】 1.使學(xué)生加深認(rèn)識(shí)事件發(fā)生的可能性和游戲規(guī)則的公平性，會(huì)求簡單事件發(fā)生的可能性，并會(huì)對(duì)事件發(fā)生的可能性作出

預(yù)測(cè)。

2.培養(yǎng)學(xué)生依據(jù)數(shù)據(jù)和事件分析并解決問題，作出判斷、預(yù)測(cè)和決策的能力。3.使學(xué)生體驗(yàn)到用數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決生活中的實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】

認(rèn)識(shí)事件發(fā)生的可能性和游戲規(guī)則的公平性，會(huì)求簡單事件發(fā)生的可能性，并會(huì)對(duì)事件發(fā)生的可能性作出預(yù)測(cè)，掌握用

分?jǐn)?shù)表示可能性大小的方法?！窘虒W(xué)準(zhǔn)備】 多媒體課件。

【情景導(dǎo)入】

1.教師出示情境圖。表哥：我想看足球比賽。表弟：我想看動(dòng)畫片。表妹：我想看電視劇。

教師：3個(gè)人只有一臺(tái)電視，他們都想看自己喜歡的節(jié)目，那么如何決定看什么節(jié)目呢？必須想出一個(gè)每個(gè)人都能接受 的公平的辦法來決定看什么節(jié)目。

提問：你能想出什么公平的辦法確定誰有權(quán)決定看什么節(jié)目嗎？ 學(xué)生：抽簽、擲骰子。2.揭示課題。

教師：同學(xué)們想出的方法都不錯(cuò)。這節(jié)課我們來復(fù)習(xí)可能性的有關(guān)知識(shí)。（板書課題）

【復(fù)習(xí)講授】

1.教師：說一說學(xué)過哪些有關(guān)可能性的知識(shí)。（板書：一定、可能、不可能）

2.教師：在我們的生活中，同樣有些事情是一定會(huì)發(fā)生的，有些事情是可能發(fā)生的，還有些事情是不可能發(fā)生的。下面

舉出了幾個(gè)生活中的例子，請(qǐng)用“一定”“可能”或“不可能”來判斷這些事例的可能性。課件展示：

（1）我從出生到現(xiàn)在沒吃一點(diǎn)東西。（2）吃飯時(shí)，有人用左手拿筷子。（3）世界上每天都有人出生。組織學(xué)生獨(dú)立思考，并相互交流。指名學(xué)生匯報(bào)，并進(jìn)行集體評(píng)議。3.解決問題，延伸拓展

（1）教師：用“一定”“不可能”“可能”各說一句話，在小組內(nèi)討論交流。指名學(xué)生匯報(bào)并進(jìn)行集體評(píng)議。（2）課件展示買彩票的片段。

組織學(xué)生看完這些片段，提問：你有什么想法嗎？

你想對(duì)買彩票的爸爸、媽媽、叔叔、阿姨說點(diǎn)什么呢？ 【課堂作業(yè)】 1.填空。（1）袋子里放了10個(gè)白球、5個(gè)黃球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外其它均一樣，若從袋子里摸出一個(gè)球來，則摸到（）色球的可能性最大，摸到（）色球的可能性最小。

（2）一個(gè)盒子里裝有數(shù)量相同的紅、白兩種顏色的球，每個(gè)球除了顏色外都相同，摸到紅球甲勝，摸到白球乙勝，若

摸球前先將盒子里的球搖勻，則甲、乙獲勝的機(jī)會(huì)（）。2.選擇。

（1）用1、2、3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，組成偶數(shù)的可能性為（）。A.B.C.D.（2）一名運(yùn)動(dòng)員連續(xù)射靶10次，其中兩次命中十環(huán)，兩次命中九環(huán)，六次命中八環(huán)，針對(duì)某次射擊，下列說法正確的

是（）。

A.命中十環(huán)的可能性最大 B.命中九環(huán)的可能性最大 C.命中八環(huán)的可能性最大 D.以上可能性均等

3.有一個(gè)均勻的正十二面體的骰子，其中1個(gè)面標(biāo)有“1”，2個(gè)面標(biāo)有“2”，3個(gè)面標(biāo)有“3”，2個(gè)面標(biāo)有“4”，1個(gè)

面標(biāo)有“5”，其余面標(biāo)有“6”，將這個(gè)骰子擲出。（1）“6”朝上的可能性占百分之幾？（2）哪些數(shù)字朝上的可能性一樣？ 答案：

1.（1）白 紅（2）相等 2.（1）A（2）D 3.（1）25％（2）標(biāo)有“1”和“5”，標(biāo)有“2”與“4”，標(biāo)有“3”和“6”的可能性一樣?！菊n堂小結(jié)】

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？學(xué)生暢談學(xué)到的知識(shí)和掌握的方法?！菊n后作業(yè)】

完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)的練習(xí)。

第4課時(shí)統(tǒng)計(jì)與概率（4）

一定 可能 不可能 必然發(fā)生 可能發(fā)生 不會(huì)發(fā)生

第三篇：概率統(tǒng)計(jì)教案5

第五章 大數(shù)定律及中心極限定理

§5.1 大數(shù)定律

1.設(shè)Y1 , Y2 , ? , Yn , ?是一個(gè)

a是一個(gè)常數(shù).隨機(jī)變量序列，若對(duì)于任意正數(shù)?，有

limP{Y?a??}?1，nn??則稱序列Y1 , Y2 , ? , Yn , ?依概

P 率收斂于a，記為Yn?a.2.契比雪夫大數(shù)定理: 設(shè)隨機(jī)變量X1 , X2 , ? , Xn , ?相互獨(dú)立，且

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理

第1頁

共6頁-----E(Xk)??，D(Xk)??

2(k?1 , 2 , ?)，n1則序列X??Xk依概率收斂nk?1 P ?于，即Xn??.3.伯努利大數(shù)定理: 設(shè)nA是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù).p是A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正數(shù)?，有

nAlimP{?p??}?1.n??n4.辛欽大數(shù)定理: 設(shè)隨機(jī)

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理

第2頁

共6頁-----變量X1 , X2 , ? , Xn , ?相互獨(dú)立，服從同一分布，且

E(Xk)??(k?1 , 2 , ?)，n1則序列X??Xk依概率收斂nk?1 P 于?，即Xn??.§5.2 中心極限定理 1.獨(dú)立同分布的中心極限定理: 設(shè)隨機(jī)變量

X1 , X2 , ? , Xn , ?

相互獨(dú)立，服從同一分布，且

2E(Xk)?? , D(Xk)???0

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理

第3頁

共6頁-----

(k?1 , 2 , ?).令?Xk?E(?Xk)?Xk?n?k?1k?1k?1Yn??，Ynnn?D(?Xk)k?1nnn的分布函數(shù)為Fn(x)，則對(duì)于任意x，有

??X?n???k?1k?limF(x)?limP?x ??nn??n??n?????t? x12????edt

2?2

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理

第4頁

共6頁-----

n??(x)，n?Xk?n?近似地k?1或者說

~ N(0 , 1)，n??Xk~ N(n? , n?)k?1近似地X?? N(0 , 1)，~?n2n近似地X~ N(? , ?n)．

2近似地2.棣莫弗—拉普拉斯定理: 設(shè)隨機(jī)變量?n(n?1 , 2 , ?)服從參數(shù)為n，p(0?p?1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意x，有

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理

第5頁

共6頁-----?n?npx??1edt limP??x?????n??2??np(1?p)???(x)，近似地?n?np或者說 ~ N(0 , 1)

np(1?p)2t? 2

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理

第6頁

共6頁-----

第四篇：概率統(tǒng)計(jì)教案1

第一章

概率論的基本概念

1.確定性現(xiàn)象: 在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象.2.統(tǒng)計(jì)規(guī)律性: 在個(gè)別試驗(yàn)或觀察中可以出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可以出現(xiàn)那樣的結(jié)果，但在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性.3.隨機(jī)現(xiàn)象: 在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第1頁

共51頁-----出不確定性，在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象.§1.1 隨機(jī)試驗(yàn) 1.隨機(jī)試驗(yàn): ①可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

②每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；

③進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第2頁

共51頁-----果會(huì)出現(xiàn).§1.2 樣本空間、隨機(jī)事件

1.隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間，記為S.2.隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)結(jié)果稱為樣本點(diǎn).例1.寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間.①考察某一儲(chǔ)蓄所一天內(nèi)的儲(chǔ)款戶數(shù).S??0 , 1 , 2 , ??.-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第3頁

共51頁-----②10件產(chǎn)品中有3件是次品，每次從中任取一件(取后不放回)，直到將3件次品都取出，記錄抽取的次數(shù).S??3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10?.③在②中取后放回，記錄抽取的次數(shù).S??3 , 4 , 5 , ??.④一口袋中有5個(gè)紅球、4個(gè)白球、3個(gè)藍(lán)球，從中任取4個(gè)，觀察它們具有哪

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第4頁

共51頁-----幾種顏色.S={(紅)，(白)，(紅、白)，(紅、藍(lán))，(白、藍(lán))，(紅、白、藍(lán))}.3.樣本空間S的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件.4.對(duì)于事件A，每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)稱事件A發(fā)生.-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第5頁

共51頁-----5.由一個(gè)樣本點(diǎn)組成集合稱為基本事件.6.在每次試驗(yàn)中總是發(fā)生的事件稱為必然事件，即樣本空間S.7.在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生的事件稱為不可能事件，即空集?.例2.拋擲兩枚骰子，考察它們所出的點(diǎn)數(shù).寫出這一隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及下列

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第6頁

共51頁-----隨機(jī)事件.①“兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為5”.②“兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為2”.③“兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為1”.④“兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和不超過12”.解: 對(duì)兩枚骰子編號(hào)為1、2.用(I , J)表示第1枚骰子出I點(diǎn)，第2枚骰子出J點(diǎn).S={(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, 5)，-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第7頁

共51頁-----(1, 6)，(2, 1)，(2, 2)，(2, 3)，(2, 4)，(2, 5)，(2, 6)，(3, 1)，(3, 2)，(3, 3)，(3, 4)，(3, 5)，(3, 6)，(4, 1)，(4, 2)，(4, 3)，(4, 4)，(4, 5)，(4, 6)，(5, 1)，(5, 2)(5, 4)，(5, 5)，(5, 6)，(6, 1)，3)，(6, 4)，(6, 5)，(6, 6)}.① {(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，②{(1, 1)}.-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第8頁

共51頁-----，(6, 2)(5, 3)，(6,(4, 1)}.③?.④S.8.事件間的關(guān)系與運(yùn)算: ①事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生，稱事件B包含事件A，記為A?B.②事件A?B?{xx?A或x?B}稱為事件A與事件B的和事件.當(dāng)且僅當(dāng)A與B至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件A?B發(fā)生.-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第9頁

共51頁-----k?1??Ak為n個(gè)事件A 1，A2，…，An的和事件.?Ak為可列個(gè)事件A 1，A2，…的和事件.nk?1③事件A?B?{xx?A且x?B}稱為事件A與事件B的積事件.當(dāng)且僅當(dāng)A與B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件A?B發(fā)生.A?B也記作AB.k?1?Ak為n個(gè)事件A 1，A2，…，An的積事件.n

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第10頁

共51頁-----k?1?Ak為可列個(gè)事件A 1，A2，… 的積事件.A?B?{xx?A且x?B} ?④事件

稱為事件A與事件B的差事件.當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生、B不發(fā)生時(shí)，事件A?B發(fā)生.⑤若A?B??，則稱事件A與事件B是互不相容的，或互斥的.即事件A與事件B不

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第11頁

共51頁-----能同時(shí)發(fā)生.⑥若A?B?S且A?B??，則稱事件A與事件B互為逆事件，或互為對(duì)立事件.即對(duì)每次試驗(yàn)，事件A與事件B中必有一個(gè)發(fā)生，且僅有一個(gè)發(fā)生.A的對(duì)立事件記為A，即A?S?A.9.事件的運(yùn)算定律: ①交換律:

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第12頁

共51頁-----A?B?B?A，A?B?B?A.②結(jié)合律: A?(B?C)?(A?B)?C，A?(B?C)?(A?B)?C.③分配律: A?(B?C)?(A?B)?(A?C)，A?(B?C)?(A?B)?(A?C).④德?摩根律:

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第13頁

共51頁-----A?B?B A，AB?B?A.§1.3 頻率與概率 1.在相同條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù).nA比值稱為事件A發(fā)生的頻率，記為fn(A).n2.頻率的基本性質(zhì): ①0?fn(A)?1.-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第14頁

共51頁-----②fn(S)?1.③若A 1，A2，…，Ak是兩兩互不相容的事件，則

.fn(A???A)?f(A)???f(A)1kn1nk3.當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)n逐漸增大時(shí)，頻率fn(A)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)，這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性稱為頻率穩(wěn)定性.4.設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間.-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第15頁

共51頁-----對(duì)于E的每一事件A賦于一個(gè)實(shí)數(shù)，記為p(A)，稱為事件A的概率，且關(guān)系p滿足下列條件:

①非負(fù)性: p(A)?0.②規(guī)范性: p(S)?1.③可列可加性: 設(shè)A 1，A2，…是兩兩互不相容的事件，則

P(A1?A2??)?P(A1)?P(A2)??.-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第16頁

共51頁-----5.概率的性質(zhì): ①p(?)?0.②(有限可加性)設(shè)A 1，A2，…An是兩兩互不相容的事件，則 P(A???An)?P(A)???P(An).1

1③若A?B，則

P(B?A)?P(B)?P(A)，P(B)?P(A).④p(A)?1?p(A).-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第17頁

共51頁-----

⑤p(A)?1.⑥(加法公式)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)，P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC).§1.4 等可能概型(古典概型)1.具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為古典概型.-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第18頁

共51頁-----①試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素.②試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.2.古典概型中事件概率的計(jì)算公式: 樣本空間S?{e1 , e2 , ? , en}，事件A?{ei , ei , ? , ei}，12kk

P(A)?.n

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第19頁

共51頁-----例1.拋擲兩枚均勻的硬幣，求一個(gè)出正面，一個(gè)出反面的概率.解: S={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}.A={(正，反)，(反，正)}.例2.拋擲兩枚均勻的骰子，求點(diǎn)數(shù)之和不超過4的概率.-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第20頁

共51頁-----

21p(A)??.42解:

S={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，…，(6，6)}.A={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)}.61p(A)??.366例3.從一批由45件正品，5件次品組成的產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品.求恰有一件次品的概率.-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第21頁

共51頁-----

CC解: p(A)?3?0.253.C50例4.袋中有5個(gè)白球3個(gè)黑球.從中按

15245下列方式取出3個(gè)球，分別求3個(gè)球都是白球的概率.①同時(shí)取.②不放回，每次取一個(gè).③放回，每次取一個(gè).-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第22頁

共51頁-----解: ①p(A)?C3053CC3?0.179.8②p(B)?A35A3?0.179.8③p(A)?5383?0.244.例5.某班有23名同學(xué)，求至少有同學(xué)生日相同的概率(假定1年為天).-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第23頁

共51頁-----

名

2365?(23)!C493.解: p(A)?23?0.(365)p(A)?1?p(A)?0.507.23365例6.從一副撲克牌(52張)中任取4張牌，求這4張牌花色各不相同的概率.14(C13)解: p(A)?4?0.105.C52例7.甲項(xiàng)目和乙項(xiàng)目將按時(shí)完成的概率為0.75和0.90，甲、乙項(xiàng)目至少有一

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第24頁

共51頁-----個(gè)項(xiàng)目將按時(shí)完成的概率為0.99.求下列事件的概率.①兩項(xiàng)目都按時(shí)完成.②只有一個(gè)項(xiàng)目按時(shí)完成.③兩項(xiàng)目都沒有按時(shí)完成.B表解: 設(shè)用A表示“甲項(xiàng)目按時(shí)完成”、示“乙項(xiàng)目按時(shí)完成”，則p(A)?0.75，p(B)?0.90，p(A?B)?0.99.-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第25頁

共51頁-----①p(AB)?P(A)?p(B)?p(A?B)

?0.75?0.9?0.99 ?0.66.②

p[(A?B)?(AB)]?p(A?B)?p(AB)

?0.99?0.66 ?0.33.③p(AB)?p(A?B)

?1?p(A?B)

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第26頁

共51頁-----

?1?0.99 ?0.01.例8.將一枚骰子連續(xù)擲5次，求下列各事件的概率.①“5次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都是3”.②“5次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)全不相同”.③“5次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)2次1點(diǎn)，2次3點(diǎn)，1次5點(diǎn)”.-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第27頁

共51頁-----④“5次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)最大是3點(diǎn)”.⑤“5次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)既有奇數(shù)點(diǎn)，又有偶數(shù)點(diǎn)”.§1.5 條件概率

例1.拋擲一枚均勻的骰子.設(shè)A表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于3”，B表示“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，求: ①“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”的概率.-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第28頁

共51頁-----②已知“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于3”的條件下，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”的概率.解: S={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，B={2，4，6}.31①p(B)??.62②用“BA”表示已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生.-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第29頁

共51頁-----AB?{2}，1P(AB)16p(BA)???.33P(A)6

1.設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且p(A)?0，稱

P(AB)p(BA)?P(A)為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第30頁

共51頁-----

例2.一批零件100個(gè)，其中次品10個(gè)，正品90個(gè).從中連續(xù)抽取兩次，做非回臵式抽樣.求: ①第一次取到正品的概率.②第一次取到正品的條件下第二次取到正品的概率.解: 設(shè)A表示“第一次取到正品”，B表示“第二次取到正品”.-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第31頁

共51頁-----

909①p(A)??.10010289C90②p(AB)?2?，C100110P(AB)89?.p(BA)?P(A)992.乘法定理: 設(shè)p(A)?0，則

p(AB)?p(BA)p(A).設(shè)p(AB)?0，則

p(ABC)?p(CAB)p(BA)p(A).-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第32頁

共51頁-----例3.一批零件100個(gè)，次品率為10%.從中接連取零件，每次任取一個(gè)，取后不放回.求第三次才取到正品的概率.解: 設(shè)用A i表示“第i次取到正品”(i?1 , 2 , 3).由于次品率為10%，所以次品10個(gè)，正品90個(gè).P(A 1 A 2A 3)?P(A 1)?P(A 2 A 1)?P(A 3A 1 A 2)

10990??? 1009998

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第33頁

共51頁-----

?0.0083.3.樣本空間的一個(gè)劃分: ①

BiBj?? , i?j , i , j?1 , 2 , ? , n.②B1?B2???Bn?S.稱B1 , B2 , ? , Bn為樣本空間的一個(gè)劃分(或完備事件組).4.全概率公式: 若B1，B2，…，Bn為樣本

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第34頁

共51頁-----空間的一個(gè)劃分，且P(Bi)?0(i?1 , 2 , ? , n)，A為某一事件，則 P(A)?P(A B1)?P(B1)?P(A B2)?P(B2)

???P(A Bn)?P(Bn).5.貝葉斯公式: 若B1，B2，…，Bn為樣本空間的一個(gè)劃分，A為某一事件，且P(A)?0，P(Bi)?0(i?1 , 2 , ? , n)，則

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第35頁

共51頁-----，P(BiA)?n?P(ABj)P(Bj)j?1P(ABi)P(Bi)(i?1 , 2 , ? , n).例4.兩臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件.第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.03，第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.02.加工出來的零件堆放在一起.已知第一臺(tái)加工的零件比第二臺(tái)加工的零件多一倍，從中任取一個(gè)零件，求:

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第36頁

共51頁-----①這個(gè)零件不是廢品的概率.②如果已知取出的這個(gè)零件不是廢品，那么，它是第一臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的概率.解: 設(shè)用A表示“此零件不是廢品”，用Bi表示“此零件由第i臺(tái)機(jī)床加工”(i?1 , 則

P(B21 1)?3，P(B 2)?3，P(A B 1)?0.97，P(A B 2)?0.98.-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第37頁

共51頁-----

2)，①

P(A)?P(A B1)?P(B1)?P(A B2)?P(B2)

21?0.97??0.98? 33?0.973.②

P(AB1)P(B1)P(B1A)?P(AB1)P(B1)?P(AB2)P(B2)

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第38頁

共51頁-----

20.97?3 ?210.97??0.98?33?0.664.例5.有5個(gè)盒子，分別編號(hào)1、2、3、4、5.第1及第2號(hào)盒子各有5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)紅球.第3及第4號(hào)盒子也各有5個(gè)球，其中1個(gè)白球，4個(gè)紅

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第39頁

共51頁-----球.第5號(hào)盒子有4個(gè)白球，1個(gè)紅球.現(xiàn)隨機(jī)地選一個(gè)盒子并從中任取一球，求: ①它是白球的概率.②如果已知取出的是紅球，那么，它是來自第5號(hào)盒子的概率.解: 設(shè)用A表示“任取一球是白球”，用，用Bi表示“第A表示“任取一球是紅球”i個(gè)盒子被選中”(i?1 , 2 , 3 , 4 , 5)，則

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第40頁

共51頁-----

1P(B 1)?P(B2)?P(B3)?P(B4)?P(B5)?，53P(A B 1)?P(A B 2)?，51P(A B 3)?P(A B 4)?，54P(A B 5)?，52P(A B 1)?P(AB 2)?，54P(A B 3)?P(A B 4)?，5-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第41頁

共51頁-----

1P(A B 5)?.5①P(A)?P(A B1)?P(B1)?P(A B2)?P(B2)?P(A B3)?P(B3)?P(A B4)?P(B4)?P(A B5)?P(B5)3131111141?????????? 555555555512?.25

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第42頁

共51頁-----②P(B5A)??P(ABi)P(Bi)i?15P(AB5)P(B5)

1?155 ?1?(2?2?4?4?1)5555551?.136.先驗(yàn)概率: P(Bi).7.后驗(yàn)概率: P(BiA).-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第43頁

共51頁-----例6.有一個(gè)袋內(nèi)裝有3個(gè)白球，2個(gè)黑球.有甲、乙、丙三人依次在袋內(nèi)各摸一球.求: ①在有放回情況下，甲、乙、丙各摸到黑球的概率.②在不放回情況下，甲、乙、丙各摸到黑球的概率.解: 設(shè)用A、B、C分別表示“甲、乙、-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第44頁

共51頁-----丙摸到黑球”，用A、B、C分別表示“甲、乙、丙摸到白球”.2①P(A)?P(B)?P(C)?.52②P(A)?.5P(B)?P(BA)?P(A)?P(BA)?P(A)

1223???? 45452?.5-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第45頁

共51頁-----P(C)?P(CAB)?P(AB)?P(CAB)?P(AB)

?P(CAB)?P(AB)?P(CAB)?P(AB)?P(CAB)?P(BA)?P(A)

?P(CAB)?P(BA)?P(A)?P(CAB)?P(BA)?P(A)?P(CAB)?P(BA)?P(A)

12132123223?0??????????? 453453453452?.5

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第46頁

共51頁-----§1.6 獨(dú)立性

1.設(shè)A與B是兩事件，如果 p(AB)?p(A)?p(B)，則稱A與B相互獨(dú)立，簡稱A與B獨(dú)立.2.設(shè)A與B是兩事件，且p(A)?0，如果A與B相互獨(dú)立，則

p(BA)?p(B).3.設(shè)A與B相互獨(dú)立，則下列各對(duì)事件也

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第47頁

共51頁-----相互獨(dú)立.A與B，A與B，A與B.證: P(A)?P(B)?P(A)?[1?P(B)]

?P(A)?P(A)?P(B)

?P(A)?P(AB)

(A?AB)?P(A?AB)?P(AB)，所以A與B相互獨(dú)立.同理可證A與B，A與B相互獨(dú)立.-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第48頁

共51頁-----4.設(shè)A、B、C是三個(gè)事件，如果

p(AB)?p(A)?p(B)，p(AC)?p(A)?p(C)，p(BC)?p(B)?p(C)，p(ABC)?p(A)?p(B)?p(C)，則稱A、B、C相互獨(dú)立.例1.用一支步槍射擊一只小鳥，擊中的概率為0.2.問3支步槍同時(shí)彼此獨(dú)立地

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第49頁

共51頁-----射擊，擊中小鳥的概率.解: 設(shè)用A i表示“第i支步槍擊中小鳥”，則(i?1 , 2 , 3)，用B表示“小鳥被擊中”

P(B)?P(A 1?A 2?A 3)

?1?P(A 1?A 2?A 3)?1?P(A 1 A 2 A 3)

?1?P(A 1)?P(A 2)?P(A 3)?1?0.8?0.8?0.8

-----概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 第一章 概率論的基本概念 第50頁

共51頁-----

第五篇：統(tǒng)計(jì)與概率教案

小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)〖統(tǒng)計(jì)與概率〗 復(fù)習(xí)建議

一、統(tǒng)計(jì)

統(tǒng)計(jì)知識(shí)在生產(chǎn)和生活中，特別是進(jìn)行科學(xué)研究時(shí)，應(yīng)用非常廣泛。小學(xué)階段，學(xué)習(xí)內(nèi)容是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最初步的知識(shí)，它包括單式、復(fù)式統(tǒng)計(jì)表和條形、折線、扇形統(tǒng)計(jì)圖的用途、結(jié)構(gòu)及繪制方法等問題。在這里我談?wù)勛约簩?duì)在《統(tǒng)計(jì)與概率》的認(rèn)識(shí)，以求拋磚引玉。復(fù)習(xí)內(nèi)容：

1、數(shù)據(jù)的收集 整理 統(tǒng)計(jì)圖表

2、對(duì)圖表進(jìn)行分析，解決問題。

3、條形(單式，復(fù)式)，折線(單式，復(fù)式)，扇形統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)及選擇方法。

4、統(tǒng)計(jì)圖的選用與制作。復(fù)習(xí)目標(biāo):

1、通過復(fù)習(xí)已學(xué)過的統(tǒng)計(jì)的初步知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)的意義及其應(yīng)用的理解。

2、培養(yǎng)學(xué)生會(huì)看、會(huì)分析、會(huì)制作簡單統(tǒng)計(jì)圖表的能力和綜合運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

3、通過復(fù)習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步感受、了解數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)際應(yīng)用，以提高學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)。復(fù)習(xí)重難點(diǎn)： 重點(diǎn)：

1、體會(huì)統(tǒng)計(jì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，發(fā)展統(tǒng)計(jì)觀念。

2、用自己的語言描各種統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)。難點(diǎn)：

用自己的語言描述各種統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)。復(fù)習(xí)要點(diǎn)：

1、統(tǒng)計(jì)表：把統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫在一定的表格內(nèi)，用來反映情況 說明問題。

種類：單式統(tǒng)計(jì)表、復(fù)式統(tǒng)計(jì)表、百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)表。

2、統(tǒng)計(jì)圖：用點(diǎn)、線、面積等來表示相關(guān)的量之間的數(shù)量關(guān)系的圖形。

分類:（1）條形統(tǒng)計(jì)圖：用一個(gè)單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少畫 成長短不同的直條，然后把這些直條按照一定的順序排列起來。優(yōu)點(diǎn)：很容易看出來各種數(shù)量的多少。

注意：畫條形統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，直條的寬窄必須相同。復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖中表示不同項(xiàng)目的直條，要用不同的線條或顏色區(qū)分開，并在制圖日期下面注明圖列。

（2）折線統(tǒng)計(jì)圖：用一個(gè)單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次聯(lián)系起來。

優(yōu)點(diǎn)：不但可以表示數(shù)量的多少而且能夠清楚表示出數(shù)量增減變化的情況。

注意：折線統(tǒng)計(jì)圖的橫軸表示不同的年份、月份等時(shí)間，不同時(shí)間之間的距離要根據(jù)年份或月份的間隔來確定。

（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖：用整個(gè)圓的面積表示總數(shù)，用扇形面積表示各部分所占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)。優(yōu)點(diǎn)：很清楚的表示出各部分同總數(shù)之間的關(guān)系。例

一、填空、選擇、判斷題各一例。

1、常用的統(tǒng)計(jì)圖有 條形 統(tǒng)計(jì)圖，折線 統(tǒng)計(jì)圖和 扇形 統(tǒng)計(jì)圖。

2、為了清楚地表示出數(shù)量的多少，常用（A）統(tǒng)計(jì)圖，為了表示出數(shù)量的增減變化情況，用（B）統(tǒng)計(jì)圖比較合適，而（C）統(tǒng)計(jì)圖卻能清楚地表示出部分量與總體的關(guān)系。A.條形統(tǒng)計(jì)圖 B.折線統(tǒng)計(jì)圖 C.扇形統(tǒng)計(jì)圖

3、用統(tǒng)計(jì)表表示的數(shù)量不能用統(tǒng)計(jì)圖表示。（）例

二、下面是淘淘一天的活動(dòng)情況統(tǒng)計(jì)圖。（1）算出淘淘各種活動(dòng)占用的時(shí)間。

（2）你對(duì)淘淘關(guān)于時(shí)間的安排有何看法？你能提出什么建議？

二、概率

表示一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)，叫做該事件的概率。它是隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性的量度，同時(shí)也是概率論最基本的概念之一。人們常說某人有百分之多少的把握能通過這次考試，某件事發(fā)生的可能性是多少，這都是概率的實(shí)列。但如果意見事情發(fā)生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次發(fā)生該事件，而是指此事件發(fā)生的概率接近于1/n這個(gè)數(shù)值。復(fù)習(xí)內(nèi)容：

可能性的大小。（語言描述，分?jǐn)?shù)表示，預(yù)測(cè)），根據(jù)要求設(shè)計(jì)方案。復(fù)習(xí)目標(biāo):

1、通過復(fù)習(xí)使學(xué)生能進(jìn)一步熟練地判斷簡單事件發(fā)生的可能性。

2、通過復(fù)習(xí)使學(xué)生能熟練地用分?jǐn)?shù)表示事件發(fā)生的概率，并且會(huì)用概率的思維去觀察、分析和解釋生活中的現(xiàn)象。復(fù)習(xí)重難點(diǎn)： 重點(diǎn)：

體驗(yàn)不確定現(xiàn)象，復(fù)習(xí)如何計(jì)算事件發(fā)生的可能性。難點(diǎn)：

體驗(yàn)不確定現(xiàn)象，復(fù)習(xí)如何計(jì)算事件發(fā)生的可能性。復(fù)習(xí)要點(diǎn)：

1、可能性分為能確定的和不能確定的兩種。事件發(fā)生的可能的結(jié)果數(shù)

2、可能性大小的求法:可能性大小= 所有可能的結(jié)果總數(shù)，即可能性就是用一定能出現(xiàn)的次數(shù)與可能出現(xiàn)所有次數(shù)的最簡整數(shù)比。例

一、填空、選擇、判斷題各一例。

1、箱子里裝有大小相同的4個(gè)白球，1個(gè)黃球，任意摸出1個(gè)，摸到黃球的可能性是 1/5。

2、某地的天氣預(yù)報(bào)中說：“明天的降水概率中80%?！备鶕?jù)這個(gè)預(yù)報(bào)，下面說法正確的是（）

A 明天一定下雨 B 明天不可能下雨 C 明天下雨的可能性很大

3、擲硬幣10次，恰好出現(xiàn)5次正面朝上，5次反面朝上。（）例

二、試一試。

桌子上擺著9張卡片，分別寫著2-10這幾個(gè)數(shù)，如果摸到單數(shù)小明贏，如果摸到雙數(shù)紅的贏。

① 這個(gè)游戲公平嗎？ ②小明一定會(huì)輸嗎？

③怎樣增加一張或減少一張卡片使游戲公平

三、近年考試題的考點(diǎn)及分值情況： 2009年: 這部分知識(shí)在總分12分。

1、填空題1道，可能性，分值2分；

2、選擇題1道，統(tǒng)計(jì)圖的概念，分值1分；

3、解決問題1道，統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用，分值9分。2010年：這部分知識(shí)在總分3分。

1、填空題1道，可能性，分值2分；

2、選擇題1道，可能性，分值1分；

2011年：這部分知識(shí)在總分9分。

1、判斷題2道，統(tǒng)計(jì)圖的概念和可能性，分值2分；

2、選擇題1道，可能性，分值1分；

3、填空題1道，可能性，分值1分；

4、解決問題1道，對(duì)復(fù)式統(tǒng)計(jì)表進(jìn)行分析，解決問題分值5分。

四、復(fù)習(xí)建議：

小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域包含四個(gè)方面的基本內(nèi)容:收集、整理和描述數(shù)據(jù),包括整理調(diào)查數(shù)據(jù)、繪制統(tǒng)計(jì)圖表等;處理數(shù)據(jù);從數(shù)據(jù)中提取信息并進(jìn)行簡單的判斷與預(yù)測(cè);簡單隨機(jī)事件及其發(fā)生的概率。復(fù)習(xí)的一般任務(wù)大體上包括以下幾個(gè)方面:查漏補(bǔ)缺,展開認(rèn)知矯正;系統(tǒng)梳理,優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu);綜合訓(xùn)練,提高學(xué)習(xí)能力;激發(fā)探究,拓展學(xué)習(xí)空間。因而,本領(lǐng)域的復(fù)習(xí)需要幫助學(xué)生進(jìn)一步澄清概念、掌握方法,以提高學(xué)生分析數(shù)據(jù)、提取信息、進(jìn)行預(yù)測(cè)和決策的能力,并通過學(xué)習(xí)進(jìn)一步深化統(tǒng)計(jì)活動(dòng)體驗(yàn),為后續(xù)的中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。以上都是我個(gè)人的觀點(diǎn)，還有汗多不全面和不妥之處，望各位老師加以指正，謝謝大家！

五、今年考點(diǎn)及分值預(yù)測(cè)： 這部分知識(shí)在總分9分左右。

1、填空題1道，可能性，分值2分；

2、選擇題1道，統(tǒng)計(jì)圖，分值1分；

3、解決問題1道，統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用，分值6分。

六、附檢測(cè)題一套： 小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料 〖統(tǒng)計(jì)與概率〗檢測(cè)題 班級(jí)： 姓名： 評(píng)價(jià)等級(jí) 優(yōu) 良 達(dá)標(biāo) 待達(dá)標(biāo) 在相應(yīng)等級(jí)上劃“√”

一、填空題：

1、拋出一枚硬幣，落下后有（）種結(jié)果。出現(xiàn)反而的可能性有（）

2、李明和高飛下跳棋，他們用擲骰子的方式?jīng)Q定誰走幾步，骰子各面分別寫著1、2、3、4、5、6，拋出每個(gè)數(shù)字的可能性是（）。

3、一個(gè)裝滿白球的盒子里，（）摸出紅球，（）摸出白球。

4、商業(yè)大廈電梯的載重限額是1250千克，那么電梯最多可以運(yùn)送（）個(gè)75千克的人而不超載。

5、醫(yī)生想用統(tǒng)計(jì)圖記錄病人24小時(shí)的體溫變化情況，他選用（）統(tǒng)計(jì)圖比較合適。

6、要表示本校三至六年級(jí)各年級(jí)的人數(shù)，用（）統(tǒng)計(jì)圖表示比較合適。

7、根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖填空

東風(fēng)機(jī)械廠2001年全年產(chǎn)值統(tǒng)計(jì)圖

⑴平均每個(gè)季度產(chǎn)值（）萬元。⑵全年平均每月產(chǎn)值約（）萬元。⑶第四季度比第一季度增產(chǎn)（）%。⑷第三季度比第四季度少產(chǎn)（）%。⑸下半年的產(chǎn)值占全年產(chǎn)值的（）%。

8、完成統(tǒng)計(jì)表。

東新村總收入和村辦企業(yè)收入統(tǒng)計(jì)表 2004年3月制 項(xiàng)目 金額（元）

全村總收入 其中村辦企業(yè) 收入 村辦企業(yè)收入占總收入的百分?jǐn)?shù) 2001年 750萬 420萬 2002年 875萬 530萬 2003年 1800萬 1439萬 合計(jì)

9、小明從家去相距4千米遠(yuǎn)的圖書館看書和借書。從所給的折線圖中可以看出小明在圖書館呆了（）分鐘，去時(shí)平均速度是每小時(shí)（）千米，返回時(shí)平均速度是每小時(shí)（）千米。

10、下面是2006年4月某地三個(gè)藥店中西藥銷售情況統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)看圖填空。（1）這是（）統(tǒng)計(jì)圖。

（2）中藥銷售額最多的是（），最少的是（）。（3）西藥銷售額最多的是（），最少的是（）。（4）康復(fù)藥店中西藥銷售總額是（）萬元。

（5）東方藥店西藥銷售額比風(fēng)華藥店銷售額多（）%。

11、下面是程蘇六年級(jí)第一學(xué)期四次數(shù)學(xué)平時(shí)成績和數(shù)學(xué)期末測(cè)試成績統(tǒng)計(jì)圖。

⑴程蘇四次平時(shí)成績的平均分是（）分。

⑵數(shù)學(xué)學(xué)期成績是這樣算的：平時(shí)成績的平均分×60%＋期末測(cè)驗(yàn)成績×40%。程蘇六年級(jí)第一學(xué)期的數(shù)學(xué)學(xué)期成績是（）分。

二、判斷題。正確的在（）打“√”，錯(cuò)誤的在（）打“×”。

1、體檢時(shí)學(xué)生的體重記錄是一份原始數(shù)據(jù)單。（）

2、為了清楚地表示各個(gè)課外興趣小組人數(shù)的多少，選用扇形統(tǒng)計(jì)圖比較合適。（）

3、擲硬幣10次，恰好出現(xiàn)5次正面朝上，5次反面朝上。（）

4、畫線條統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，應(yīng)該注意直條的寬窄必須一樣。（）

5、小明的身高是1.4米，在平均水深1.2米的游泳池中游泳沒有危險(xiǎn)。（）

三、選擇題。新-課-標(biāo)-第-一-網(wǎng)

1、省疾控中心為做好甲型H1N1流感防控工作，每天都進(jìn)行疫情統(tǒng)計(jì)。既反映出每天患病人數(shù)，又反映出疫情變化的情況和趨勢(shì)，他們應(yīng)選用（）統(tǒng)計(jì)圖。A 條形 B 折線 C 扇形

2、下面的信息資料中，適合用扇形統(tǒng)計(jì)圖表示的是（）A 學(xué)校各年紀(jì)的人數(shù) B 6月份氣溫變化情況 C 學(xué)校各年紀(jì)學(xué)生人數(shù)占學(xué)生總數(shù)的情況

3、六

（一）班同學(xué)到社區(qū)參加公益活動(dòng)，社區(qū)主任問班長出勤的情況，班長說：“我們班共有50人，沒有全部到齊，但大部分來了?！背銮诼士赡苁牵ǎ?。A 50% B 48% C 96%

4、某地的天氣預(yù)報(bào)中說：“明天的降水概率中80%。”根據(jù)這個(gè)預(yù)報(bào)，下面說法正確的是（）

A 明天一定下雨 B 明天不可能下雨 C 明天下雨的可能性很大

四、解決問題。

1、由2、3、5、6這四個(gè)數(shù)字組成任意三位數(shù)，這個(gè)三位數(shù)末尾是5的可能性是多少？

2、下面記錄的是某班一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的成績。將整理數(shù)據(jù)的結(jié)果填寫在表格里。甲組：98 76 80 94 88 94 75 96 87 95 98 58 100 100 95 53 92 乙組：78 92 97 82 85 89 96 79 96 95 92 86 80 94 89 84 76 分?jǐn)?shù) 100 90~99 80~89 70~79 60~69 60以下 甲組 乙組

你認(rèn)為本次測(cè)驗(yàn)甲組和乙組哪個(gè)情況要好一些？寫出你的理由？

3、李軍、張明、陸強(qiáng)、王宏四人參加100米跑和推鉛球兩項(xiàng)體育測(cè)驗(yàn)，成績?cè)谙旅姹碇小?/p>

李軍 張明 陸強(qiáng) 王宏

100米跑 17秒 15秒 16秒 19秒 推鉛球 6米 4米 9米 7米

根據(jù)他們兩項(xiàng)測(cè)試的成績排一排名次，把各的姓名填入下表

第一名 第二名 第三名 第四名 100米跑 推鉛球

綜合兩項(xiàng)測(cè)試的名次，誰的成績最好？你是怎樣想的？

4、下表是“十一”黃金周期間，我國龍豐景區(qū)每天游客人數(shù)變化情況。（數(shù)字前的“十”和“一”號(hào)分別表示當(dāng)天比前一天多和少的人數(shù)）

日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人數(shù)

變化 +160 +80 +40 —40 —80 +20 —30

（1）若9月30日的游客人數(shù)為A，請(qǐng)用含有字母A的式子表示10月2日的游客人數(shù)。

（2）請(qǐng)判斷哪一天人數(shù)最多？哪一天人數(shù)最少？它們相差多少人？（3）假定9月30日游客人數(shù)為120人，請(qǐng)?jiān)谏媳淼谌刑畛雒刻斓娜藬?shù)。

5、下表是某菜場(chǎng)1—12月份每500克西紅柿售價(jià)情況統(tǒng)計(jì)表： 月 份 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二

售 價(jià)（元）2.00 3.50 3.00 2.00 1.50 1.00 1.50 1.00 1.00 2.00 2.50 3.00 請(qǐng)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，制成折線統(tǒng)計(jì)圖，并回答問題：

某菜場(chǎng)1—12月份西紅柿售價(jià)情況統(tǒng)計(jì)圖 2005年6月制 單位：元

4.00 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 0