第一篇：公式法教學(xué)設(shè)計五

二次三項式的因式分解(用公式法)教學(xué)過程(一)復(fù)習(xí)

1．用十字相乘法分解下列各式：

(1)x2－x－2；(2)2x2－3x－2；(3)x2－2x－2．

(3)用十字相乘法就不容易了．

2．對于用十字相乘法分解因式較困難的題目，促使我們尋求其他方法．如同我們在解二次方程時，用直接開平方法不易解決時，人們發(fā)明了配方法．把原方程變形為

(x+m)2=n(n≥0)如果把n移到等號左邊，出現(xiàn)(x+m)2－n=0左邊可變形為平方差形式

(二)新課

1．我們把ax2+bx+c(a≠0)叫做x的二次三項式．這個式子的x的最高次項是2，并且有一次項和常數(shù)項，共有三項．

2．請同學(xué)說出x的二次三項式ax2+bx+c(a≠0)和x的一元二次方程x2+bx+c=0(a≠0)形式上有什么不同？(二次三項式是代數(shù)式，沒有等號，方程有等號)3．在解方程2x2－4x－6=0①時，可把各項的公因數(shù)約去，化為x2－2x－3=0②然后再解方程②，這個做法對不對？根據(jù)什么算理？(對，在方程兩邊都除以同一個不為零的數(shù)，得到的方程與原方程同解，即兩個方程的解完全相同)4．在因式分解2x2－4x－6③時，先約去各項系數(shù)2，化為x2－2x－3④再分解因式，即2x2－4x－6=x2－2x－3=(x－3)(x+1)，這個做法對不對，根據(jù)什么算理？(不對，因為因式分解是“恒等變形”，即只是式子的形式改變，但式子的值不能變．我們來檢驗：當(dāng)x=1時，③式的值等于－8，而④式的值是－4，③式到④式不是恒等變形，所以不能約去各項系數(shù)2)例1 用配方法把x2－2x－2分解因式

分析：對x2－2x再添一次項系數(shù)一半的平方(注意：因為因式分解是恒等變形，所以必須同時減去一次項系數(shù)一半的平方)．

例2 分解因式：2x2－8x－6．

分析：把二次項系數(shù)化為1，便于配方，但不能各項除以2，而是各項提取公因數(shù)2．

解：2x2－8x－6=2(x2－4x－3)=2[(x2－4x+4)－4－3]=2[(x－2)2－7]

我們知道在解一元二次方程時，配方法的步驟是固定模式的，即“千題一律”．它的一般化的固定模式就是解一元二次方程的求根公式法，由此推想，用配方法因式分解必定與方程的根有關(guān)系．這個關(guān)系是什么？我們從例2的因式分解來研究．

與二次三項式2x2－8x－6對應(yīng)的一元二次方程是2x2－8x－6=0，這個方程的兩根

我們來研究⑤式與兩根的關(guān)系，可見是

三項式等于二次項系數(shù)乘以x減去一個根的差，再乘以x減去另一個根所得的差．這個結(jié)論的證明如下：

注意

1．因式分解是恒等變形，所以公式⑥中的因式a千萬不能忽略． 2．在分解二次三項式ax2+bx+c的因式時，可先用求根公式求出方程ax2+bx+c= 0的兩個根x1，x2，然后寫成ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)．

(三)課堂練習(xí)把下列各式分解因式

1．4x2 +8x－1； 2．2x2－8xy +5y2．

把4分解為2×2，目的是去掉每個括號內(nèi)的分母． 解法2：方程2x2－8xy+5y2=0的根是

本題是關(guān)于x的二次三項式，所以應(yīng)把y看作常數(shù)．(四)小結(jié)

1．對于不易用十字相乘法分解因式的二次三項式ax2+bx+c宜用一元二次方程的求根公式法分解因式．

2．用求根公式法分解二次三項式ax2+bx+c(a≠0)，其程序是固定的，即：(1)第一步：令ax2+bx+c=0①；

(2)第二步：求出方程①的兩個根x1，x2；

(3)寫出公式ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)．并把x1，x2的值代入公式中的x1，x2處．

(五)作業(yè)

1．把4x2+8x+1分解因式，其結(jié)果是 [

]．

2．把2x2－4xy－3y2分解因式，其結(jié)果是 [ ]．

3．在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)6y2－3y+6；(2)10p2－p－3；(3)3x2y2－10xy+7；(4)15x2+16xy－15y2；(5)x2－x－1；(6)3x2+2x－3；

(9)6x2+x－15；(10)42x2－85xy+42y2；

4．分解因式：

(1)(m2－m)x2－(2m2－1)x+m(m+1)；(2)(x2+x)2－2x(x+1)－3；

作業(yè)的答案或提示 1．選(C)． 2．選(B)．

3．(1)(2y－3)(3y－2)；(2)(2p+1)(5p－3)；(3)(3xy－7)(xy－1)；(4)(3x+5y)(5x－3y)；

(9)(2x－3)(3x+5)；(10)(6x－7y)(7x－6y)；

(12)(2x－9y)(7x－2y)．

4．(1)[mx－(m+1)][(m－1)x－m]；

課堂教學(xué)設(shè)計說明

1．為了說明公式法分解二次三項式的必要性，在復(fù)習(xí)舊知識時，安排了三個二次三項式因式分解的題目讓學(xué)生練習(xí)，其中第三個x2－2x－2用十字相乘法不容易分解，于是促使尋求新的分解方法．

2．在引入求根公式法分解因式之前，先從配方法入手，進(jìn)而轉(zhuǎn)入求根公式法并對此法作出了證明．

3．針對初學(xué)者在分解ax2+bx+c時常犯漏寫因數(shù)a的錯誤，在教學(xué)設(shè)計中安排了“恒等變形”與“方程同解變形”的內(nèi)容讓學(xué)生辨別，從弄清概念著手，杜絕錯誤．

第二篇：公式法教學(xué)設(shè)計

第二章

一元二次方程

３．公式法

一、教學(xué)目標(biāo)

知識技能：在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生能夠正確的導(dǎo)出一元二次方程的求根公式，并在探求過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識和合情推理能力。

數(shù)學(xué)思考：能夠根據(jù)方程的系數(shù)，判斷出方程的根的情況，在此過程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察和總結(jié)的能力.問題解決：通過正確、熟練的使用求根公式解一元二次方程，提高學(xué)生的綜合運算能力。

情感態(tài)度：通過在探求公式過程中同學(xué)間的交流、使用公式過程中的小技巧的交流，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的意識和能力

二、教學(xué)重難點

重點：引導(dǎo)學(xué)生自主的探索，正確地導(dǎo)出一元二次方程的求根公式； 難點：正確、熟練地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高學(xué)生的綜合運算能力；

三、教學(xué)方法

學(xué)生探索教師引導(dǎo)

四、教具準(zhǔn)備

活頁測試卷

五、教學(xué)過程

1、情境創(chuàng)設(shè)

①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x(2)3x2+2x+1=0 全班同學(xué)在練習(xí)本上運算,可找兩位同學(xué)上黑板演算 ②由學(xué)生總結(jié)用配方法解方程的一般方法: 第一題： 2x2+3=7x 解：將方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 兩邊都除以一次項系數(shù):2

x2?73x??0 22 1 配方:加上再減去一次項系數(shù)一半的平方 x2?7x?(7)2?49?3?0

24162即:(x?7)2?25?0

416725(x?)2?416兩邊開平方取“±” 得：

x?75 ??4475 ?442x? 寫出方程的根 ∴ x1=3 , x2=1 第二題： 3x2+2x+1=0 解：兩邊都除以一次項系數(shù):3

x2?2x?1?0

配方:加上再減去一次項系數(shù)一半的平方 x2?2x?(1)2?1?3?0

3392即:(x?1)2?25?0

318125(x?)2??318∵?25?0

18∴原方程無解

（1）進(jìn)一步夯實用配方法解方程的一班步驟.在這里相對于書上的解題方法作了小小的改動：沒有把常數(shù)項移到方程右邊，而是在方程的左邊直接加上再減去一次項系數(shù)一半的平方，這樣做的目的是為了與以后二次函數(shù)一般式化頂點式保持一致。

（2）選擇了一個沒有解的方程，讓學(xué)生切實感受并不是所有的一元二次方程在實數(shù)范圍內(nèi)都有解。

（3）教師還可以根據(jù)上節(jié)課作業(yè)情況，選學(xué)生出錯多的題目糾錯、練習(xí).2、探索新知

（1）推導(dǎo)公式

提出問題：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)學(xué)生在演算紙上自主推導(dǎo)、并針對自己推導(dǎo)過程中的困難問題在小組內(nèi)自由研討。最后由師生共同歸納、總結(jié)，得出求根公式.2 解：兩邊都除以一次項系數(shù):a

問：為什么可以兩邊都除以一次項系數(shù):a 答：因為a≠0 配方:加上再減去一次項系數(shù)一半的平方

bbbc2x2?bcx??0 aax?2ax?(2a)?24a2?a?0即:

b2b2?4ac(x?)??0a4a2b2b2?4ac(x?)?a4a2 問：現(xiàn)在可以兩邊開平方嗎？

答：不可以，因為不能保證 b?4ac?0

24a2 問：什么情況下 b?4ac?0

24a2 學(xué)生討論后回答：

答： ∵ a≠0 ∴ 4a2>0 要使b?4ac?0 24a2只要 b2-4ac≥0即可

∴當(dāng)b2-4ac≥0時，兩邊開平方取“±” 得： x?b??b?4ac

2a4a2bb2?4ac x???a2a x??b?b?4ac

2a2a?b?b2?4ac x?2a問：如果b2-4ac<0時，會出現(xiàn)什么問題？ 答：方程無解

學(xué)生能否自主推導(dǎo)出來并不重要，重要的是由學(xué)生親身經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，只有經(jīng)歷了這一過程，他們才能發(fā)現(xiàn)問題、汲取教訓(xùn)、總結(jié)經(jīng)驗，形成自己的認(rèn)識.在集體交流的時候，才能有感而發(fā)。

學(xué)生的主要問題通常出現(xiàn)在這樣的幾個地方：（1）

中?b2?c運算的符號出現(xiàn)錯誤和通分出現(xiàn)錯誤 bb2b2cx?x?()?2??04a2aa2a4aa2（2）不能主動意識到只有當(dāng)b2-4ac≥0時，兩邊才能開平方（3）兩邊開平方，忽略取“±”。

大部分學(xué)生需要在教師的幫助下，才能完善公式的推導(dǎo)。（2）公式應(yīng)用

１、判斷下列方程是否有解：（學(xué)生口答）

(1)2x2+3=7x

（2）x2-7x=18

（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0 學(xué)生迅速演算或口算出b2-4ac,從而判斷是否有根

問第（3）題的判斷，與第一環(huán)節(jié)中的第（2）題對比，那種方法更簡捷？ ２、上述方程如果有解，求出方程的解 學(xué)生口述，教師板書第（1）題

例：解方程 2x2+3=7x 先將方程化成一般形式 解： 2x2-7x+3=0 確定a,b,c的值 a=2, b=-7, c=3 判斷方程是否有根 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×

3=25>0 ∴

?b?b?4acx?2a7?257?5??2?242

寫出方程的根 即x1=3,x2=-1

2問：與第一環(huán)節(jié)中的第（1）題對比，哪種解法更簡捷？

（剩下的題目教師根據(jù)時間情況選擇使用，個別學(xué)生上黑板做題，其他同學(xué)在座位上練習(xí)）

3、隨堂練習(xí)

課本65頁，隨堂練習(xí)第1題、第2題

4、課堂小結(jié)

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2、用公式法解方程應(yīng)注意的問題是什么？

3、你在解方程的過程中有哪些小技巧？

讓學(xué)生在四人小組中進(jìn)行回顧與反思后，進(jìn)行組間交流發(fā)言。

鼓勵學(xué)生回顧本節(jié)課知識方面有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，通過回顧進(jìn)一步鞏固知識，將新知識納入到學(xué)生個人已有的知識體系中。

5、布置作業(yè)

課本第66頁，習(xí)題2.6

第1、2、3題 5

第三篇：公式法教學(xué)設(shè)計

第二章

一元二次方程

３．公式法

杜寨初級中學(xué) 九年級

一、學(xué)生知識狀況分析 學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：學(xué)生通過前幾節(jié)課的學(xué)習(xí)，認(rèn)識了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已經(jīng)能夠熟練地將一元二次方程化成它們的一般形式；在上一節(jié)課的基礎(chǔ)上，大部分學(xué)生能夠利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分認(rèn)知較慢、運算不扎實的同學(xué)不能夠熟練使用配方法解一元二次方程.學(xué)生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)具備利用配方法解一元二次方程的經(jīng)驗；學(xué)生通過《規(guī)律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函數(shù)的圖像》中一次函數(shù)增減性的總結(jié)等章節(jié)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)逐漸形成對于一些規(guī)律性的問題，用公式加以歸納總結(jié)的數(shù)學(xué)建模意識，并且已經(jīng)具備本節(jié)課所需要的推理技能和邏輯思維能力.二、教學(xué)任務(wù)分析

公式法實際上是配方法的一般化和程式化，然后再利用總結(jié)出來的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯實上節(jié)課的配方法，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行一般規(guī)律性的探求——推導(dǎo)求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。其中，引導(dǎo)學(xué)生自主的探索，正確地導(dǎo)出一元二次方程的求根公式是本節(jié)課的重點、難點之一；正確、熟練地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高學(xué)生的綜合運算能力是本節(jié)課的另一個重點和難點。為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是： ①在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生能夠正確的導(dǎo)出一元二次方程的求根公式，并在探求過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識和合情推理能力。

②能夠根據(jù)方程的系數(shù)，判斷出方程的根的情況，在此過程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察和總結(jié)的能力.③通過正確、熟練的使用求根公式解一元二次方程，提高學(xué)生的綜合運算能力。④通過在探求公式過程中同學(xué)間的交流、使用公式過程中的小技巧的交流，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的意識和能力

三、教學(xué)過程分析

本課時分為以下五個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：回憶鞏固；第二環(huán)節(jié)：公式的推導(dǎo)；第三環(huán)節(jié)：看一看、練一練，鞏固新知；第四環(huán)節(jié)：收獲與感悟；第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。

第一環(huán)節(jié)；回憶鞏固 活動內(nèi)容：

①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x(2)3x2+2x+1=0 全班同學(xué)在練習(xí)本上運算,可找兩位同學(xué)上黑板演算 ②由學(xué)生總結(jié)用配方法解方程的一般方法: 第一題： 2x2+3=7x 解：將方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 兩邊都除以一次項系數(shù):2 x2?7x?3?0 1 配方:加上再減去一次項系數(shù)一半的平方 x2?7x?(7)2?49?3?0

24162即:(x?7)2?25?0

416725(x?)2?416兩邊開平方取“±” 得：

x?75 ?44x?75 ??44 寫出方程的根 ∴ x1=3 , x2=1

2第二題： 3x+2x+1=0 解：兩邊都除以一次項系數(shù):3 x2?2x?1?0

332 配方:加上再減去一次項系數(shù)一半的平方 x2?2x?(1)2?1?3?0

3392即:(x?1)2?25?0

318125

(x?)2??318∵?25?0

18∴原方程無解 活動目的：（1）進(jìn)一步夯實用配方法解方程的一班步驟.在這里相對于書上的解題方法作了小小的改動：沒有把常數(shù)項移到方程右邊，而是在方程的左邊直接加上再減去一次項系數(shù)一半的平方，這樣做的目的是為了與以后二次函數(shù)一般式化頂點式保持一致。

（2）選擇了一個沒有解的方程，讓學(xué)生切實感受并不是所有的一元二次方程在實數(shù)范圍內(nèi)都有解。

（3）教師還可以根據(jù)上節(jié)課作業(yè)情況，選學(xué)生出錯多的題目糾錯、練習(xí).活動的實際效果：

通過對舊知識的回顧，學(xué)生再次經(jīng)歷了配方法解方程的全過程，由于是舊知識，學(xué)生容易做出正確答案，并獲得成功的喜悅，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，喚醒學(xué)生的思維，為后面的探索奠定了良好的基礎(chǔ)。

第二環(huán)節(jié) 公式的推導(dǎo) 活動內(nèi)容：

提出問題：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)學(xué)生在演算紙上自主推導(dǎo)、并針對自己推導(dǎo)過程中預(yù)見的問題在小范圍內(nèi)自由研討。最后由師生共同歸納、總結(jié)，得出求根公式.解：兩邊都除以一次項系數(shù):a x2?bx?c?0

aa 2 問：為什么可以兩邊都除以一次項系數(shù):a 答：因為a≠0 配方:加上再減去一次項系數(shù)一半的平方

bb2b2cx?x?()?2??0a2a4aa2即: b2b2?4ac

(x?)?a4a2 b2b2?4ac(x?)??0a4a2 問：現(xiàn)在可以兩邊開平方嗎？

答：不可以，因為不能保證 b?4ac?0

24a2 問：什么情況下 b?4ac?0 24a2 學(xué)生討論后回答：

答： ∵ a≠0 ∴ 4a2>0 要使b?4ac?0 24a2只要 b2-4ac≥0即可

∴當(dāng)b2-4ac≥0時，兩邊開平方取“±” 得： x?b??b?4ac

2a4a2bb2?4ac x???a2a x??b?b?4ac

2a2a?b?b2?4ac x?2a問：如果b2-4ac<0時，會出現(xiàn)什么問題？ 答：方程無解 活動目的：

學(xué)生能否自主推導(dǎo)出來并不重要，重要的是由學(xué)生親身經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，只有經(jīng)歷了這一過程，他們才能發(fā)現(xiàn)問題、汲取教訓(xùn)、總結(jié)經(jīng)驗，形成自己的認(rèn)識.在集體交流的時候，才能有感而發(fā)。活動的實際效果：

學(xué)生的主要問題通常出現(xiàn)在這樣的幾個地方：（1）

中?b2?c運算的符號出現(xiàn)錯誤和通分出現(xiàn)錯誤 bb2b2cx?x?()?2??04a2aa2a4aa2（2）不能主動意識到只有當(dāng)b2-4ac≥0時，兩邊才能開平方

（3）兩邊開平方，忽略取“±”。

大部分學(xué)生需要在教師的幫助下，才能完善公式的推導(dǎo)。第三環(huán)節(jié)：練一練，鞏固新知 活動內(nèi)容：

１、判斷下列方程是否有解：（學(xué)生口答）

22(1)2x+3=7x（2）x-7x=18（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0 學(xué)生迅速演算或口算出b2-4ac,從而判斷是否有根

問第（3）題的判斷，與第一環(huán)節(jié)中的第（2）題對比，那種方法更簡捷？ ２、上述方程如果有解，求出方程的解 學(xué)生口述，教師板書第（1）題 例：解方程 2x2+3=7x 先將方程化成一般形式 解： 2x2-7x+3=0 確定a,b,c的值 a=2, b=-7, c=3 判斷方程是否有根 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0 ∴?b?b?4ac

2x?2a7?257?5??2?24寫出方程的根 即x1=3,x2=-1

2問：與第一環(huán)節(jié)中的第（1）題對比，哪種解法更簡捷？

（剩下的題目教師根據(jù)時間情況選擇使用，個別學(xué)生上黑板做題，其他同學(xué)在座位上練習(xí)）

３、課本隨堂練習(xí)2.一個直角三角形三邊的長為三個連續(xù)的偶數(shù)，求這個三角形的三條邊長。

活動目的：通過讓學(xué)生或口述交流或上黑板解方程，公示學(xué)生的思維過程，查缺補漏，了解學(xué)生的掌握情況和靈活運用所學(xué)知識的程度。活動實際效果：教師引導(dǎo)學(xué)生分析，學(xué)生口答、板書，筆答，對比，評價，總結(jié)．大部分學(xué)生能夠正確、熟練的用公式法解方程。

出現(xiàn)的問題

1、對于（1）（2）（5）小題，有個別學(xué)生因為沒有化成一般形式，從而把a,b,c的符號弄錯了；、學(xué)生比較容易得出當(dāng)a,c異號時，方程一定有解。第四環(huán)節(jié)：收獲與感悟 活動內(nèi)容： 提出問題：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2、用公式法解方程應(yīng)注意的問題是什么？

3、你在解方程的過程中有哪些小技巧？

讓學(xué)生在四人小組中進(jìn)行回顧與反思后，進(jìn)行組間交流發(fā)言?；顒幽康模汗膭顚W(xué)生回顧本節(jié)課知識方面有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，通過回顧進(jìn)一步鞏固知識，將新知識納入到學(xué)生個人已有的知識體系中。

活動實際效果：學(xué)生通過回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)，感受到公式推導(dǎo)的全過程，發(fā)展了邏輯思維能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的過程中，感受到有的一元二次方程的有根，而有的沒有根，通過解方程，進(jìn)一步提高了學(xué)生的運算能力。第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè) 用公式法解下列方程（教師可根據(jù)實際情況選用）2x2-4x-1=0 5x+2=3x2

(x-2)(3x-5)=0 2x2+7x=4 x2-22x+2=0 列方程解應(yīng)用題

1、已知長方形城門的高比寬多6尺8寸,門的對角線長1丈,那么,門的高和寬各是多少? ２、一張桌子長4米,寬2米,臺布的面積是桌面面積的2倍,鋪在桌子上時,各邊下垂的長度相同,求臺布的長和寬

３、某商場銷售一批襯衫,平均每天可以售出20件,沒見盈利40元,為了擴大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施,如果每件降價1元,商場每天可以多銷售2件,（１）若商場平均每天要盈利１２００元，每件襯衫要降價多少元？

（２）選作題（供學(xué)有余力的學(xué)生選作）每件襯衫降價多少元時，商場平均每天盈利最多？

四、教學(xué)反思

1、要創(chuàng)造性的使用教材

教材只是為教師提供最基本的教學(xué)素材，教師完全可以根據(jù)學(xué)生的實際情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。本節(jié)課教師就根據(jù)學(xué)生實際情況，調(diào)整了配方時的個別過程，使之與后續(xù)知識學(xué)習(xí)相一致，添加了例題和練習(xí)題。

2、要為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠基

這節(jié)課不能夠僅僅讓學(xué)生背公式、套公式解方程，而應(yīng)讓學(xué)生初步建立對一些規(guī)律性的問題加以歸納、總結(jié)的數(shù)學(xué)建模意識，親身體會公式推導(dǎo)的全過程，提高學(xué)生推理技能和邏輯思維能力；進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的意識和能力．幫助學(xué)生形成積極主動的求知態(tài)度.5

第四篇：公式法教學(xué)設(shè)計

平方差公式教學(xué)設(shè)計

【教學(xué)分析】

本節(jié)課主要是探究平方差公式并運用公式進(jìn)行整式的乘法運算。在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)運算、整式的加減及整式乘法等知識，掌握了多項式乘法的法則，也經(jīng)歷過對冪的乘法、多項式乘法的推導(dǎo)過程，有一定的邏輯思維，能夠有條理的分析問題。學(xué)生在本節(jié)經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象的推導(dǎo)過程，得到平方差公式，在提高學(xué)生觀察、探究、發(fā)現(xiàn)、歸納的思維能力同時領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法。平方差公式的學(xué)習(xí)，為以后的因式分解、分式的化簡、解一元二次方程、函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，同時也為學(xué)習(xí)完全平方公式提供了探究方法。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.了解平方差公式的及幾何意義；理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能運用平方差公式進(jìn)行運算。

2.在探究平方差公式的過程中，體驗從“特殊到一般”的研究數(shù)學(xué)問題的方法；通過對平方差公式的幾何意義的了解，體會代數(shù)與幾何的內(nèi)在統(tǒng)一?！窘虒W(xué)重難點】

1.重點：理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能運用平方差公式進(jìn)行正確運算。

2.難點：在具體應(yīng)用中找準(zhǔn)平方差公式中“a”和“b”, 理解公式中字母的廣泛含義.【教學(xué)策略及方法分析】

針對本節(jié)課的教學(xué)重點—平方差公式的結(jié)構(gòu)特征及運用公式正確運算，我在教學(xué)中從學(xué)生剛剛學(xué)過的多項式乘法入手，通過學(xué)生的自主探究與合作學(xué)習(xí)，參與平方差公式的推導(dǎo)過程；從而掌握公式的特征，并能夠緊緊抓住特征，利用公式正確計算。

針對本節(jié)課的教學(xué)難點—正確理解公式中字母的廣泛含義，教學(xué)中，學(xué)生可以通過觀察，對比，練習(xí)，發(fā)現(xiàn)公式中的“a，b”不僅可以是數(shù)字，也可以是多項式，從而體會整體的數(shù)學(xué)思想在學(xué)習(xí)中的運用?！窘虒W(xué)過程】

一．創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新課。

1.出示情景：（租地問題）有人向他人租了一塊邊長為a的正方形地，第二年地的主人提出把地的一條邊增長10米，相鄰另一邊縮短10米。這樣租合算嗎？

2.學(xué)生思考：關(guān)鍵在計算變化后地的面積與原來的正方形面積比較大小。3.學(xué)生結(jié)合圖形得出算式：（a+3）（a-3）

如何計算結(jié)果？請同學(xué)們用多項式乘法法則進(jìn)行計算。

二、自主探究，得出結(jié)論。

1．觀察算式和結(jié)果，看看有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（a+3）（a-3）=a2-9

2．再用多項式乘法法則計算下列多項式的積，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律還成立嗎？(x+1)(x-1)=___________;(m+2)(m-2)=__________;(2x+1)(2x-1)=_______ 3.根據(jù)以下問題提示，試著把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律說出來。

（1）式子的左邊具有什么共同特點？（2）它們的結(jié)果有什么特征？

※用文字語言表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：

※可以用字母表示為：

三、合作交流，驗證公式.對于結(jié)論：(a+b)(a-b)=a2-b2 你能計算驗證上面你猜想的結(jié)論嗎？ 方法一：計算（a+b）（a-b）

方法二：結(jié)合課本圖14.2-1說說邊長為a的正方形一邊增加b，相鄰一邊減少b，得到的長方形面積與原正方形面積的關(guān)系用等式可表示為：

.學(xué)生自主選擇方法驗證公式，教師巡視指導(dǎo)，有意識引導(dǎo)學(xué)生選擇不同的方法。展示交流中，要求學(xué)生說出公式的合理性，進(jìn)一步分析公式結(jié)構(gòu)特征。

三、變式練習(xí)，運用公式。例1 運用平方差公式計算：

(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(-x+2y)(-x-2y).(3)(b+2a)(2a－b);思考：你是如何運用平方差公式解決以上的問題？

在確定把哪個式子看成公式中“a”和“b”,應(yīng)注意什么問題？ 要求學(xué)生板演解題過程，對比課本例題規(guī)范解題步驟和格式。

例2：八年級一班要訂購一批校服，老師說：“我們班有98名學(xué)生，每套校服102元，誰能幫老師算一算，一共要準(zhǔn)備多少錢？這個問題你會用我們今天學(xué)習(xí)的知識解決了嗎？ 誰能以最快的速度計算出結(jié)果？說說你的算法。例3.計算：

（y+3）(y-3)-(y-2)(y-4)學(xué)生板演。

教師追問：計算（y+3）(y-3)與計算(y-2)(y-4)方法一樣嗎？說出你的理由。教師強調(diào)：只有符合平方差公式結(jié)構(gòu)特征的多項式乘法才可以運用公式簡化計算，不能亂用公式。

4、變式練習(xí)。

1、下列各式的計算對不對？如果不對，應(yīng)該怎樣修改？

（1）（x+4）(x-4)=x2-4

(2)(-2m-3)(2m-3)=4m2-9 學(xué)生回答，辨析平方差公式的結(jié)構(gòu)特征：相同的項看成“a”，互為相反數(shù)的項成“b”.2、運用平方差公式計算。

（1）(a+3b)(a-3b)

(2)(3+2a)(2a-3)(3)1003×997

（4）（3x+4）(3x-4)-(2x+3)(3x-2)學(xué)生板演，暴露問題，相互糾錯，熟練運用，掌握公式。3.拓展訓(xùn)練：

(x+y)(x-y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)引發(fā)思考，巧算激趣。

四、回顧反思，小結(jié)延伸.1、學(xué)生自主小結(jié)：這節(jié)課有哪些收獲？

2、教師結(jié)合板書系統(tǒng)回顧：

①平方差公式：

用式子表示：

②運用平方差公式時，應(yīng)注意以下幾個問題：

(1)公式左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項

，另一項

；(2)公式右邊是

項的平方減去

項的平方；(3)公式中的a和b可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式； 3.質(zhì)疑：以下的計算可以用平方差公式計算嗎？（x+2）(x+2)（a+b）(a+b)【作業(yè)設(shè)計】

一、達(dá)標(biāo)測試.1、下列運算正確的是：（）

A、（x+2）(x－2)=x2－2 B、(x+3y)(x－3y)=x2－3y2 C、(x+y)2=x2+y2

D、(-3a－2)(3a－2)=4－9a2

2、在下列多項式的乘法中，不能用平方差公式的是：（）

A、(2a+b)(2a－b)

B、(2a+b)(b－2a)

C、(2a+b)(-2a－b)

D、(2a－b)(-2a－b)

3、(x+2)(x－2)(x2+4)的計算結(jié)果是：（）

A、x2+16

B、x4－16

C、x4－1

D、16－x4

4、（－2x－3y）（）=4x2－9y2

二、綜合應(yīng)用.用平方差公式計算：

1）(3x+2)(3x-2)

2）（b+2a）（2a-b）3）（-x+2y）（-x-2y）

4）（-m+n）(m+n）5)(-0.3x+y)(y+0.3x)

6）(-3a-2)(3a-2)

三、拓展探究.1.計算

（1）（x+y）（x-y）（x2+y2）（3）(m+n+p)(m+n-p)2.若x2－y2=12，且x+y=6，求x和y的值。

第五篇：22.2公式法教學(xué)設(shè)計

22.2.2用公式法解 一元二次方程的教學(xué)設(shè)計

（數(shù)學(xué)九年級人教版本上冊）

一、學(xué)生知識水平分析

學(xué)生知識技能基礎(chǔ)：學(xué)生通過前幾節(jié)課的學(xué)習(xí)，認(rèn)識了一元二次方程的概念，一般形式，并且能熟練地將一元二次方程化為一般形式，準(zhǔn)確確定各項及各項系數(shù)，會用用配方法解一元二次方程。但對二次項系數(shù)不是1,一次項系數(shù)不是偶數(shù)的一元二次方程用配方法解有一定的困難。

二、教學(xué)任務(wù)分析

公式法實際上是配方法的一般化和程序化，然后再利用總結(jié)出來的公式更加便利地求解一元二次方程。復(fù)習(xí)配方法，師生協(xié)作正確推出一元二次方程的求根公式，并在探索過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識和合理推理能力。利用一般形式準(zhǔn)確確定方程系數(shù)，利用判別式判斷方程根的情況，這樣培養(yǎng)學(xué)生觀察和總結(jié)的能力。通過正確，熟練的使用求根公式解一元二次方程，提高學(xué)生的綜合運算能力。從思想方法上來說，學(xué)生對分類討論、歸納總結(jié)的數(shù)學(xué)思想已經(jīng)有所接觸。所以可以通過讓學(xué)生動手、動腦來培養(yǎng)學(xué)生探索精神和觀察、分析、歸納的能力，以及邏輯思維能力、推理論證能力。

1、教學(xué)目標(biāo) 知識和技能：

（1）、感悟一元二次方程的根的判別式的產(chǎn)生的過程；

（2）、能運用根的判別式，判別方程根的情況和進(jìn)行有關(guān)的推理論證；

（3）、會運用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍； 過程和方法：

（1）、培養(yǎng)學(xué)生的探索、創(chuàng)新精神；

（2）、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及推理論證能力。情感態(tài)度價值觀：

（1）、向?qū)W生滲透分類的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)的簡潔美；（2）、加深師生間的交流，增進(jìn)師生的情感；（3）、培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作精神。

2、教學(xué)重點：會用公式法解一元二次方程

3、教學(xué)難點：探究一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程 突破措施：運用由特殊到一般的研究方法，先用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，再用配方法解一般形式的一元二次方程，并且通過小組互助合作交流的方式，讓學(xué)生自主探索推導(dǎo)公式。

三、教學(xué)流程分析

本著“以學(xué)生發(fā)展為本”的教育理念，同時也為了使學(xué)生都能積極地參與到課堂教學(xué)中，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，本節(jié)課主要采用了引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、講練結(jié)合的教學(xué)方法，按照“實踐——認(rèn)識——實踐”的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計，以增加學(xué)生參與教學(xué)過程的機會和體驗獲取知識過程的時間，從而有效地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。具體如下： 第一環(huán)節(jié)；復(fù)習(xí)鞏固

活動內(nèi)容：

①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x(2)3x2+2x+1=0 ②由學(xué)生總結(jié)用配方法解方程的一般方法: 第一題： 2x2+3=7x 解：將方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 兩邊都除以一次項系數(shù):2 x2?7x?3?0 配方:加上再減去一次項系數(shù)一半的平方 x2?7x?(7)2?49?3?0

24162即:(x?7)2?25?0

416725(x?)2?416兩邊開平方取“±” 得：

x?75 ??4475 ?442x? 寫出方程的根 ∴ x1=3 , x2=1 第二題： 3x2+2x+1=0 解：兩邊都除以一次項系數(shù):3 x2?2x?1?0

配方:加上再減去一次項系數(shù)一半的平方 x2?2x?(1)2?1?3?0

3392即:(x?1)2?25?0

318125(x?)2??318∵?25?0

∴原方程無解

活動目的：

（1）進(jìn)一步夯實用配方法解方程的一般步驟.在這里相對于書上的解題方法作了小小的改動：沒有把常數(shù)項移到方程右邊，而是在方程的左邊直接加上再減去一次項系數(shù)一半的平方，這樣做的目的是為了與以后二次函數(shù)一般式化頂點式保持一致。

（2）選擇了一個沒有解的方程，讓學(xué)生切實感受并不是所有的一元二次方程在實數(shù)范圍內(nèi)都有解。

（3）利用時間評講上節(jié)課作業(yè)情況，選學(xué)生出錯多的題目糾錯、練習(xí).活動的實際效果：

通過對舊知識的回顧，學(xué)生再次經(jīng)歷了配方法解方程的全過程，由于是舊知識，學(xué)生容易做出正確答案，并獲得成功的喜悅，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，喚醒學(xué)生的思維，為后面的探索奠定了良好的基礎(chǔ)。第二環(huán)節(jié) 公式的推導(dǎo)過程

活動內(nèi)容：

提出問題：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)由師生共同歸納、總結(jié)，得出求根公式.解：兩邊都除以一次項系數(shù):a x2?bx?caa?0

問：為什么可以兩邊都除以一次項系數(shù):a 答：因為a≠0 配方:加上再減去一次項系數(shù)一半的平方

bb2b2cx?x?()?2??0a2a4aa2即:

b2b2?4ac(x?)??0a4a2b2b2?4ac(x?)?a4a2 問：現(xiàn)在可以兩邊開平方嗎？

答：不可以，因為不能保證 b?4ac?0

24a2 問：什么情況下 b?4ac?0

24a2 學(xué)生討論后回答：

答： ∵ a≠0 ∴ 4a2>0 要使b?4ac?0 24a2只要 b2-4ac≥0即可

∴當(dāng)b2-4ac≥0時，兩邊開平方取“±” 得： x?b??b?4ac

2a4a2bb2?4ac x???a2a x??b?b?4ac

2a2a?b?b2?4ac x?2a問：如果b2-4ac<0時，會出現(xiàn)什么問題？ 答：方程無解 活動目的：

由學(xué)生親身經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，只有經(jīng)歷了這一過程，他們才能發(fā)現(xiàn)問題、汲取教訓(xùn)、總結(jié)經(jīng)驗，形成自己的認(rèn)識.在集體交流的時候，才能有感而發(fā)。

活動的實際效果：

學(xué)生的主要問題通常出現(xiàn)在這樣的幾個地方：（1）

中?b2?c運算的符號出現(xiàn)錯誤和通分出現(xiàn)錯誤 bb2b2cx?x?()?2??04a2aa2a4aa2（2）不能主動意識到只有當(dāng)b2-4ac≥0時，兩邊才能開平方（3）兩邊開平方，忽略取“±”。第三環(huán)節(jié)：練一練，學(xué)以致用，鞏固新知 活動內(nèi)容：

１、判斷下列方程是否有解：（學(xué)生口答）

(1)2x2+3=7x（2）x2-7x=18（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0 學(xué)生迅速演算或口算出b-4ac,從而判斷是否有根

問第（3）題的判斷，與第一環(huán)節(jié)中的第（2）題對比，那種方法更簡捷？ ２、上述方程如果有解，求出方程的解 學(xué)生口述，教師板書第（1）題

例：解方程 2x2+3=7x 先將方程化成一般形式 解： 2x2-7x+3=0 確定a,b,c的值 a=2, b=-7, c=3

2判斷方程是否有根 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0

∴

?b?b?4acx?2a7?257?5??2?242

寫出方程的根 即x1=3,x2=-1

2問：與第一環(huán)節(jié)中的第（1）題對比，哪種解法更簡捷？ ３、課本隨堂練習(xí).活動目的：通過讓學(xué)生或口述交流或上黑板解方程，公示學(xué)生的思維過程，查缺補漏，了解學(xué)生的掌握情況和靈活運用所學(xué)知識的程度。

活動實際效果：教師引導(dǎo)學(xué)生分析，學(xué)生口答、板書，筆答，對比，評價，總結(jié)．大部分學(xué)生能夠正確、熟練的用公式法解方程。出現(xiàn)的問題

1、對于（1）（2）（5）小題，有個別學(xué)生因為沒有化成一般形式，從而把a,b,c的符號弄錯了；、學(xué)生比較容易得出當(dāng)a,c異號時，方程一定有解。第四環(huán)節(jié)：談?wù)勀愕氖斋@與體會

活動內(nèi)容：

提出問題：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2、用公式法解方程應(yīng)注意的問題是什么？

3、你在解方程的過程中有哪些小技巧？

讓學(xué)生在四人小組中進(jìn)行回顧與反思后，進(jìn)行組間交流發(fā)言。

活動目的：鼓勵學(xué)生回顧本節(jié)課知識方面有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，通過回顧進(jìn)一步鞏固知識，將新知識納入到學(xué)生個人已有的知識體系中。

活動實際效果：學(xué)生通過回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)，感受到公式推導(dǎo)的全過程，發(fā)展了邏輯思維能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的過程中，感受到有的一元二次方程的有根，而有的沒有根，通過解方程，進(jìn)一步提高了學(xué)生的運算能力。第五環(huán)節(jié)：課外作業(yè)

用公式法解下列方程 P42第5題（1）、（3）、（5）