第一篇：高一數(shù)學(xué) 解斜三角形的應(yīng)用教案

湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)教案：解斜三角形的應(yīng)用

教材：解斜三角形的應(yīng)用

目的：要求學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模思想，結(jié)合正弦定理、余弦定理和解任意三角形的知識解決實(shí)踐中的有關(guān)問題。

過程：

一、提出課題：解斜三角形的應(yīng)用

二、例一(課本P132 例一)略

例二[變題] 假定自動卸貨汽車裝有一車貨物，貨物與車箱的底部的滑動摩擦系數(shù)為0.3，油泵頂點(diǎn)B與車箱支點(diǎn)A之間的距離為1.95米，AB與水平線之間的夾角為6米，求貨物開始下滑時(shí)AC的長。

解：

設(shè)車箱傾斜角為，貨物重量為mg f??N??mgcos?

當(dāng)?mgcos??mgsin?即??tan?時(shí)貨物下滑

20’，AC長為1.40

??tan? 0.3?tan?

??arctan0.3?16?42'

16?42'?6?20'?23?02'

在△ABC中: BC2?AB2?AC2?2AB?ACcos?BAC

22? ?1.95?1.40?2?1.95?1.40?cos2302'?10.787 BC?3.28

例三(課本P133 例二)略 例四 我艦在敵島A南50

西相距12 nmile的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北10

西的方向以10nmile/h的速度航行，問：我艦需要以多大速度，沿什么方向航行才能用功小時(shí)追上敵艦？ 解：在△ABC中：AB=12 AC=10×2=20

BAC=40

+80

=120

BC2?AB2?AC2?2AB?ACcos?BAC

1?122?202?2?12?20?(?)?784 BC=28

2即追擊速度為14mile/h 又：∵△ABC中，由正弦定理：

ACBC? sinBsinA∴sinB?ACsinA5353? ∴B?arcsin

BC1414?∴我艦航行方向?yàn)楸?50?arcsin53)東 1

4三、作業(yè)：P134 練習(xí)1、2習(xí)題5.10 1—4

第二篇：解斜三角形簡單練習(xí)

一、自主梳理1.正弦定理：

abc

===2R，其中R是三角形外接圓半徑.sinAsinBsinC

b2?c2?a2

2.余弦定理：a=b+c-2bccosA,b=a+c-2accosB,cosA=.2bc11

1absinC=bcsinA=acsinB,S△=S(S?a)(S?b)(S?c)222a?b?cabc

=Sr(S=,r為內(nèi)切圓半徑)=(R為外接圓半徑).24R

3.S△ABC=

4.在三角形中大邊對大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形內(nèi)角的誘導(dǎo)公式

(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cossin

CA?B=sin,22

CA?B

=cos……

在△ABC中，熟記并會證明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;

(2)A、B、C成等差數(shù)列的充要條件是B=60°；

(3)△ABC是正三角形的充要條件是A、B、C成等差數(shù)列且a、b、c成等比數(shù)列.7.解三角形常見的四種類型

(1)已知兩角A、B與一邊a,由A+B+C=180°及

abc

==，可求出角C，sinAsinBsinC

再求出b、c.(2)已知兩邊b、c與其夾角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三邊a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.ab

=，求出另一邊b的對sinAsinB

acab

角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由=求出C，而通過=求B時(shí)，sinAsinCsinAsinB

(4)已知兩邊a、b及其中一邊的對角A，由正弦定理8.用向量證明正弦定理、余弦定理，關(guān)鍵在于基向量的位置和方向.9.三角形的分類或形狀判斷的思路，主要從邊或角兩方面入手.1．已知三角形的三邊之比為3∶4∶37，則最大內(nèi)角為 ． 2．已知(a?b?c)(b?c?a)＝3bc，則∠A＝．

3．已知三角形的一個(gè)內(nèi)角是45，一鄰邊長是，對邊長為2，則另一鄰邊長為．

?，則∠A＝．

4?

5．在△ABC中，已知a＝12，b＝4，∠A＝120，則c＝，S?＝ ．

a?b?c3b

6．已知sinA＝2sinBcosC，且＝，則三角形形狀為．

b?c?ac

?

7．在△ABC中，已知a＝1，b＝，∠A＝30，則∠B＝．

4．已知a＝4，b＝6，sinB＝

8．在△ABC中，已知a＝2，b＝22，如果三角形有解，則∠A的取值范圍． 9．在△ABC中，若acosA＝bcosB，則△ABC是 ．

10．在△ABC中，∠B＝45，D是BC上一點(diǎn)，AD＝5，AC＝7，DC＝3，則AB＝． 11．已知三角形的三條邊之比為3∶5∶7，且最大邊長為14，則三角形的面積為． 12．在銳角三角形ABC中，a＝8，c＝12，S?＝243，則三角形中最小角是，它的正弦值等于． 二．選擇題：

13．在△ABC中，sinA+cosA＝

??

7，則△ABC是（）1

2（A）鈍角三角形；（B）銳角三角形；（C）直角三角形；（D）正三角形． 14．在△ABC中，∠A＝60，a＝7，b＝8，則三角形（）（A）有一解；（B）有兩解；（C）無解；（D）不確定．

15．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，則cos?ABC＝（）

111213；（B）－；（C）；（D）． 164244

?

16．在△ABC中，b＝1，c＝3，∠B＝30，則△ABC的面積是（）

（A）（A）

333；（B）；（C）或；（D）或． 24242

三．解答題：

17．在△ABC中，若a?cosA+b?cosB＝c?cosC，判斷三角形形狀． 解：

18．在△ABC中，已知ab＝60，S?＝15，sinA＝cosB，求三角形的三內(nèi)角． 解：

19．已知三角形三邊是三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，若最大角是最小角的兩倍，求三邊長． 解：

?

20．已知三角形兩邊之和為8，其夾角為60，求這個(gè)三角形周長的最小值和面積的最大值，并指出面積最大時(shí)三角形的形狀． 解：

1.在△ABC中，A=60°，a=433,b=42，則B等于()

A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不對 2.△ABC中，a=2bcosC，則此三角形一定是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 3.設(shè)A是△ABC最小內(nèi)角，則sinA+cosA的取值范圍是()

A.(-2，2)B.［-2,2］C.(1，2)D.(1,2］

Ab?c

在△ABC中，cos2=(a、b、c分別為角A、B、C的對邊)，則△ABC的形狀為()

2c

A.正三角形B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 5.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,則∠A=_________________________.△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c,如果a2=b(b+c),求證:A=2B.剖析：研究三角形問題一般有兩種思路.一是邊化角,二是角化邊.已知銳角△ABC中,sin(A+B)=

31,sin(A-B)=.5

5(1)求證:tanA=2tanB;

(2)設(shè)AB=3,求AB邊上的高.剖析：有兩角的和與差聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式,結(jié)合圖形

如圖，有兩條相交成60°角的直路EF、MN，交點(diǎn)是O.起初，阿福在OE上距O點(diǎn)3千米的點(diǎn)A處；阿田在OM上距O點(diǎn)1千米的點(diǎn)B處.現(xiàn)在他們同時(shí)以4千米/時(shí)的速度行走，阿福沿EF的方向，阿田沿NM的方向

.(1)求起初兩人的距離；

(2)用包含t的式子表示t小時(shí)后兩人的距離；(3)什么時(shí)候他們兩人的距離最短？

1.在△ABC中，cos（A－B）＋sin（A＋B）=2，則△ABC的形狀是（）A.等邊三角形B.等腰鈍角三角形 C.等腰直角三角形 D.銳角三角形

a2?b2?c22.若△ABC的面積為，則內(nèi)角C等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90° 3.△ABC中，sin2A=sin2B＋sinBsinC＋sin2C，則A等于（）A.30°B.60°C.120°D.150°

4.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個(gè)新的三角形的形狀為（）A.銳角三角形B.直角三角形 C.鈍角三角形D.由增加的長度決定

5.在△ABC中，A為銳角，lgb+lg（A.等腰三角形 形）=lgsinA=－lg2，則△ABC為（）c

B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角

6.在△ABC中，a（sinB－sinC）＋b（sinC－sinA）＋c（sinA－sinB）的值是（）A.1

2B.0C.1D.π

7.R是△ABC的外接圓半徑，若ab＜4R2cosAcosB，則△ABC的外心位于（）A.三角形的外部B.三角形的邊上 C.三角形的內(nèi)部D.三角形的內(nèi)部或外部，但不會在邊上 8.若△ABC的三條邊的長分別為3、4、6，則它的較大的銳角的平分線分三角形所成的兩個(gè)三角形的面積比是（）

A.1∶1B.1∶2C.1∶4D.3∶

9.如圖，D、C、B三點(diǎn)在地面同一直線上，DC=a，從C、D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角分別是β、α（α＜β），則A點(diǎn)離地面的高AB等于（）

A

D

?

C

?

B

D.acos?cos?

cos(???)

A.asin?sin?

sin(???)

B.asin?sin?

cos(???)

C.acos?cos?

sin(???)

10.在△ABC中，若

tanA?tanBc?b，這個(gè)三角形必含有（）?

tanA?tanBc

A.30°的內(nèi)角B.45°的內(nèi)角C.60°的內(nèi)角

11.在△ABC中，tanB=1，tanC=2，b=100，則a=______.D.90°的內(nèi)角

12.在△ABC中，若∠B=30°，AB=2，AC=2，則△ABC的面積為__________.13.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊長，若（a＋b＋c）·（sinA＋sinB－sinC）=3asinB，則C=______.14.在△ABC中，S是它的面積，a、b是它的兩條邊的長度，S=(a2?b2)，則△ABC

為__________三角形.15.（本小題滿分10分）隔河看到兩目標(biāo)A、B，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距3千米的C、D兩點(diǎn)，并測得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面內(nèi)），求A、B之間的距離.AB

C

D

16.（本小題滿分10分）在四邊形ABCD中，BC=a，DC=2a，四個(gè)角A、B、C、D度數(shù)的比為3∶7∶4∶10,求AB的長.17.（本小題滿分8分）在△ABC中，已知

tanA?tanBc?b，求∠A.?

tanA?tanBc

18.（本小題滿分12分）在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A為（?1）海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向距離A為2海里的C處有我方一艘緝私艇奉命以10海里/時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/時(shí)的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私艇沿什么方向，才能最快追上走私船？需要多長時(shí)間？

19.（本小題滿分14分）在△ABC中，已知a2－a=2（b＋c），a＋2b=2c－3.（1）若sinC∶sinA=4∶，求a、b、c；（2）求△ABC的最大角的弧度數(shù).

第三篇：解三角形應(yīng)用舉例教案（推薦）

解三角形應(yīng)用舉例教案

●教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實(shí)際問題，了解常用的測量相關(guān)術(shù)語

過程與方法：首先通過巧妙的設(shè)疑，順利地引導(dǎo)新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，采用“提出問題——引發(fā)思考——探索猜想——總結(jié)規(guī)律——反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過程，根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開例題，設(shè)計(jì)變式，同時(shí)通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學(xué)生掌握解法，能夠類比解決實(shí)際問題。對于例2這樣的開放性題目要鼓勵(lì)學(xué)生討論，開放多種思路，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹更c(diǎn)和矯正

情感態(tài)度與價(jià)值觀：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力 ●教學(xué)重點(diǎn)

實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問題的解 ●教學(xué)難點(diǎn)

根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖 ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入

1、[復(fù)習(xí)舊知] 復(fù)習(xí)提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

2、[設(shè)置情境]

請學(xué)生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個(gè)問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測量問題的真實(shí)背景下，某些方法會不能實(shí)施。如因?yàn)闆]有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測量距離。Ⅱ.講授新課

（1）解決實(shí)際測量問題的過程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解

[例題講解]

(2)例

1、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B兩點(diǎn)的距離(精確到0.1m)

啟發(fā)提問1：?ABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)？

啟發(fā)提問2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學(xué)生回答。分析：這是一道關(guān)于測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC的對角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得

ABsin?ACB =

ACsin?ABC

AB = ACsin?ACB

sin?ABC = 55sin?ACB

sin?ABC =

55sin75? sin(180??51??75?)= 55sin75?

sin54? ≈ 65.7(m)答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米

變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30?，燈塔B在觀察站C南偏東60?，則A、B之間的距離為多少？

老師指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立數(shù)學(xué)模型。解略：2a km 例

2、如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測量A、B兩點(diǎn)間距離的方法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測量問題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離。

解：測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點(diǎn)分別測得?BCA=?，? ACD=?，?CDB=?，?BDA =?，在?ADC和?BDC中，應(yīng)用正弦定理得

AC = BC =

asin(???)= asin(???)

sin[180??(?????)]sin(?????)asin? = asin? sin[180??(?????)]sin(?????)計(jì)算出AC和BC后，再在?ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離 AB =

AC2?BC2?2AC?BCcos?

分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進(jìn)行對比、分析。

變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測得?BCA=60?，?ACD=30?，?CDB=45?，?BDA =60?

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20

評注：可見，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計(jì)算方式。學(xué)生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。Ⅲ.課堂練習(xí)

課本第13頁練習(xí)第1、2題 Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解

（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解 Ⅴ.課后作業(yè)

課本第19頁第1、2、3題

第四篇：2012屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：5.4 解斜三角形

5.4 解斜三角形

●知識梳理

1.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

abc==.sinAsinBsinC利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題.（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；

（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）2.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

a2=b2+c2－2bccosA；

① b2=c2+a2－2cacosB；

② c2=a2+b2－2abcosC.③ 在余弦定理中，令C=90°，這時(shí)cosC=0，所以c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.由①②③可得

b2?c2?a2cosA=；

2bcc2?a2?b2cosB=；

2caa2?b2?c2cosC=.2ab利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊，求三個(gè)角；

（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.特別提示

兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的重視，通過向量的數(shù)量積把三角形和三角函數(shù)聯(lián)系起來，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識應(yīng)用的實(shí)例.另外，解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”.●點(diǎn)擊雙基

1.（2002年上海）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是 A.等腰直角三角形

B.直角三角形 C.等腰三角形

D.等邊三角形 a2?c2?b2解析：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.ac答案：C 2.下列條件中，△ABC是銳角三角形的是

A.sinA+cosA=

15B.AB·BC＞0

D.b=3，c=33，B=30° C.tanA+tanB+tanC＞0 解析：由sinA+cosA=

124得2sinAcosA=－＜0，∴A為鈍角.525第1頁（共8頁）

由AB·BC＞0，得BA·BC＜0，∴cos〈BA，BC〉＜0.∴B為鈍角.由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）·（1－tanAtanB）+tanC＞0.∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都為銳角.由

3bcπ2π=，得sinC=，∴C=或.2sinBsinC33答案：C 3.（2004年全國Ⅳ，理11）△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，∠B=30°，△ABC的面積為A.C.1?3 22?3 23，那么b等于 2

B.1+3 D.2+3

3，2解析：∵a、b、c成等差數(shù)列，∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面積為且∠B=30°，故由S△ABC=

1113acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦2242a2?c2?b24b2?12?b2b2?43定理，得cosB====，解得b2=4+23.又b為邊長，2ac2?642∴b=1+3.答案：B 4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，則∠A=_______.b2?c2?a21π解析：由已知得（b+c）－a=3bc，∴b+c－a=bc.∴=.∴∠A=.2bc23π答案：

3222

25.在銳角△ABC中，邊長a=1，b=2，則邊長c的取值范圍是_______.a2?b2?c2解析：若c是最大邊，則cosC＞0.∴＞0，∴c＜5.又c＞b－a=1，2ab∴1＜c＜5.答案：（1，5）

●典例剖析

【例1】 △ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，如果a2=b（b+c），求證：A=2B.剖析：研究三角形問題一般有兩種思路.一是邊化角，二是角化邊.證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）?sin2A－sin2B=sinBsinC?1?cos2A1?cos2B－=sinBsin（A+B）22?1（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）?sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），2因?yàn)锳、B、C為三角形的三內(nèi)角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只

第2頁（共8頁）

能有A－B=B，即A=2B.評述：利用正弦定理，將命題中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角間關(guān)系，從而全部利用三角公式變換求解.思考討論

（1）該題若用余弦定理如何解決?

b2?c2?a2（b2?c2）?b（b?c）c?b解：利用余弦定理，由a=b（b+c），得cosA===，2bc2bc2b

222a2?c2?b22（b?c）cc?bcos2B=2cosB－1=2（）－1=－1=.22ac2b2b（b?c）c所以cosA=cos2B.因?yàn)锳、B是△ABC的內(nèi)角，所以A=2B.（2）該題根據(jù)命題特征，能否構(gòu)造一個(gè)符合條件的三角形，利用幾何知識解決? 2解：由題設(shè)a2=b（b+c），得

ab= b?ca

①，作出△ABC，延長CA到D，使AD=AB=c，連結(jié)BD.①式表示的即是△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D.BCAC=，所以DCBC 又AB=AD，可知∠2=∠D，所以∠1=∠2.因?yàn)椤螧AC=∠2+∠D=2∠2=2∠1，所以A=2B.評述：近幾年的高考題中，涉及到三角形的題目，重點(diǎn)考查正弦、余弦定理，考查的側(cè)重點(diǎn)還在于三角轉(zhuǎn)換.這是命題者的初衷.【例2】（2004年全國Ⅱ，17）已知銳角△ABC中，sin（A+B）=

31，sin（A－B）=.55（1）求證：tanA=2tanB；

（2）設(shè)AB=3，求AB邊上的高.剖析：有兩角的和與差聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式，結(jié)合圖形，以（1）為鋪墊，解決（2）.（1）證明：∵sin（A+B）=

31，sin（A－B）=，5532??sinAcosB?cosAsinB?sinAcosB???tanA??55???∴?=2.11tanB?sinAcosB?cosAsinB??cosAsinB???55??∴tanA=2tanB.（2）解：即π33＜A+B＜π，∴sin（A+B）=.∴tan（A+B）=－，254tanA?tanB3=－.將tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得1?tanAtanB4第3頁（共8頁）

tanB=2?62?6（負(fù)值舍去）.得tanB=，∴tanA=2tanB=2+6.223CDCDCD設(shè)AB邊上的高為CD，則AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+6，tanAtanB2?6所以AB邊上的高為2+6.評述：本題主要考查三角函數(shù)概念，兩角和與差的公式以及應(yīng)用，分析和計(jì)算能力.【例3】（2004年春季北京）在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊長，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及

bsinB的值.c剖析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求∠A，需找∠A與三邊的關(guān)系，故可b2bsinB用余弦定理.由b=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值.cc解法一：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2=ac.又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.2b2?c2?a2bc1在△ABC中，由余弦定理得cosA===，∴∠A=60°.2bc2bc2bsinA在△ABC中，由正弦定理得sinB=，absinBb2sin60?3∵b=ac，∠A=60°，∴=sin60°=.?cac211解法二：在△ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB.222∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB.3bsinB=sinA=.2c評述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用∴正弦定理.●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ)

1.（2004年浙江，8）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞A.充分而不必要條件

C.充分必要條件

1”的 2B.必要而不充分條件

D.既不充分也不必要條件

11；sinA＞?30°＜A＜150°22解析：在△ABC中，A＞30°?0＜sinA＜1sinA＞?A＞30°.答案：B 2.如圖，△ABC是簡易遮陽棚，A、B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角為

第4頁（共8頁）

A.75°

B.60°

C.50°

D.45°

解析：作CE⊥平面ABD于E，則∠CDE是太陽光線與地面所成的角，即∠CDE=40°，延長DE交直線AB于F，連結(jié)CF，則∠CFD是遮陽棚與地面所成的角，設(shè)為α.要使S△ABD最大，只需DF最大.在△CFD中，∴DF=CF?sin（140???）.sin40?CFDF=.sin40?sin（140???）∵CF為定值，∴當(dāng)α=50°時(shí)，DF最大.答案：C 3.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若三角形的面積S=則∠C的度數(shù)是_______.解析：由S=答案：45°

4.在△ABC中，若∠C=60°，則

ab=_______.?b?ca?c111π（a2+b2－c2）得absinC=·2abcosC.∴tanC=1.∴C=.42441（a2+b2－c2），4a2?ac?b2?bcab解析：= ?b?ca?c（b?c）（a?c）=.ab?ac?bc?c2∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab.∴a2+b2=ab+c2.代入（*）式得a2?b2?ac?bcab?ac?bc?c2a2?b2?ac?bc

（*）

=1.答案：1 5.在△ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是 A.b=20，A=45°，C=80°

B.a=30，c=28，B=60° C.a=14，b=16，A=45°

D.a=12，c=15，A=120° 解析：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得有兩值.答案：C 培養(yǎng)能力

6.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，依次成等比數(shù)列，求y=的取值范圍.a2?c2?b2a2?c2?ac1ac11解：∵b=ac，∴cosB===（+）－≥.2ac2ac2ca22π∴0＜B≤，3242sinBsinA=，所以sinB=.因而B

716141?sin2BsinB?cosB21?sin2B（sinB?cosB）πππ7πy===sinB+cosB=2sin（B+）.∵＜B+≤，sinB?cosBsinB?cosB44412∴2π＜sin（B+）≤1.故1＜y≤2.24第5頁（共8頁）

7.已知△ABC中，22（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圓半徑為2.（1）求∠C；

（2）求△ABC面積的最大值.解：（1）由22（sinA－sinC）=（a－b）·sinB得22（2

a24R2－

c24R2）=（a－b）

b.2Ra2?b2?c21又∵R=2，∴a－c=ab－b.∴a+b－c=ab.∴cosC==.2ab2又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.（2）S=

311absinC=×ab

222=23sinAsinB=23sinAsin（120°－A）=23sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+3sin2A =333sin2A－sin2Acos2A+

2223.233.2AB的AC=3sin（2A－30°）+∴當(dāng)2A=120°，即A=60°時(shí)，Smax=8.在△ABC中，BC=a，頂點(diǎn)A在平行于BC且與BC相距為a的直線上滑動，求取值范圍.解：令A(yù)B=kx，AC=x（k＞0，x＞0），則總有sinB=理得sinB=cosA=

aa，sinC=（圖略），且由正弦定kxxxsinA，所以a2=kx2·sinBsinC=kx2sinA，由余弦定理，可得ak2x2?x2?kx2sinA2kx2=

111（k+－sinA），所以k+=sinA+2cosA≤12?22=5.所2kk以k2－5k+1≤0，所以所以

5?15?1≤k≤.225?15?1AB的取值范圍為［，］.22AC探究創(chuàng)新

9.某城市有一條公路，自西向東經(jīng)過A點(diǎn)到市中心O點(diǎn)后轉(zhuǎn)向東北方向OB，現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10 km，問把A、B分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處才能使|AB|最短?并求其最短距離.（不要求作近似計(jì)算）

第6頁（共8頁）

解：在△AOB中，設(shè)OA=a，OB=b.因?yàn)锳O為正西方向，OB為東北方向，所以∠AOB=135°.則|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+2ab≥2ab+2ab=（2+2）ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”成立.又O到AB的距離為10，設(shè)∠OAB=α，則∠OBA=45°－α.所以a=b=10，sin（45???）10，sin?ab===1010· sin?sin（45???）100

sin??sin（45???）

22sin?（cos??sin?）22100=

22sin2??（1?cos2?）44400400=≥，2sin（2??45?）?22?2當(dāng)且僅當(dāng)α=22°30′時(shí)，“=”成立.所以|AB|2≥400（2?2）=400（2+1）2，2?2100當(dāng)且僅當(dāng)a=b，α=22°30′時(shí)，“=”成立.所以當(dāng)a=b=1022?2）=10（時(shí)，|AB|最短，其最短距離為20（2+1），即當(dāng)sin22?30?22?2）AB分別在OA、OB上離O點(diǎn)10（km處，能使|AB|最短，最短距離為20（2－1）.●思悟小結(jié)

1.在△ABC中，∵A+B+C=π，∴sin

A?BCA?BCA?BC=cos，cos=sin，tan=cot.2222222.∠A、∠B、∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60°.3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.4.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角；②化角為邊.并常用正弦（余弦）定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)化.5.用正（余）弦定理解三角形問題可適當(dāng)應(yīng)用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角與應(yīng)用向量的模求三角形的邊長.6.用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角時(shí)，需明確向量的夾角與三角形內(nèi)角是相等還是互補(bǔ).●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛

1.一方面要讓學(xué)生體會向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要讓學(xué)生體會解三角形是重要的測量手段，通過數(shù)值計(jì)算進(jìn)一步提高使用計(jì)算器的技能技巧和解決實(shí)際問題的能力.第7頁（共8頁）

2.要加大以三角形為背景，以三角恒等變換公式、向量等為工具的小型綜合題的訓(xùn)練.拓展題例

【例1】 已知A、B、C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，y=cotA+

2sinA.cosA?cos（B?C）（1）若任意交換兩個(gè)角的位置，y的值是否變化?試證明你的結(jié)論.（2）求y的最小值.?2sin?π?（B?C）解：（1）∵y=cotA+

??coscos?π?（B?C）（B?C）=cot A+=cot A+2sin（B?C）

?cos（B?C）?cos（B?C）sinBcosC?cosBsinC

sinBsinC=cotA+cotB+cotC，∴任意交換兩個(gè)角的位置，y的值不變化.（2）∵cos（B－C）≤1，A2sinA2+2tanA=1（cotA+3tanA）≥3tanA?cotA=3.∴y≥cotA+=

A221?cosA22222tan21?tan2故當(dāng)A=B=C=π時(shí)，ymin=3.3評述：本題的第（1）問是一道結(jié)論開放型題，y的表達(dá)式的表面不對稱性顯示了問題的有趣之處.第（2）問實(shí)際上是一道常見題：在△ABC中，求證：cotA+cotB+cotC≥3.【例2】 在△ABC中，sinA=

sinB?sinC，判斷這個(gè)三角形的形狀.cosB?cosC分析：判斷一個(gè)三角形的形狀，可由三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系確定，亦可由三邊的關(guān)系確定.采用后一種方法解答本題，就必須“化角為邊”.解：應(yīng)用正弦定理、余弦定理，可得

b?c2222a=2，所以b（a－b）+c（a－c）=bc（b+c）.所以（b+c）22222c?a?ba?b?c?2ca2aba2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.評述：恒等變形是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功，變形的方向是關(guān)鍵.若考慮三內(nèi)角的關(guān)系，本題可以從已知條件推出cosA=0.第8頁（共8頁）

第五篇：解斜三角形之余弦定理 教案

解斜三角形之余弦定理

一、教學(xué)類型： 新知課

二、教學(xué)目的：

1、2、掌握余弦定理的推導(dǎo)過程（向量法）； 會解斜三角形。

三、教學(xué)重點(diǎn)：余弦定理的推導(dǎo)

教學(xué)難點(diǎn)：余弦定理在解三角形中的應(yīng)用

四、教具: 黑板

五、教學(xué)過程：

（一）引入新課：

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC ,是三角形的邊與其角的正弦之間的關(guān)系，它的應(yīng)用范圍是什么呢？

1、2、已知兩角，一邊，求其他兩邊，一角;已知兩邊及一邊的對角，求另一邊的對角。

現(xiàn)在我提出一個(gè)問題:已知三邊，如何求三角？

經(jīng)過這一節(jié)課的學(xué)習(xí)，就可以回答這個(gè)問題了。下面我們來研究這個(gè)問題：

（二）講解新課 這一節(jié)課，我們繼續(xù)沿用向量法研究，仍然用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想。

如圖所示，在直角三角形中，b2=a2+c2，在斜三角形中，它們又有什么關(guān)系呢？

AC=AB+BC |AC|2=AC·AC=(AB+BC)(AB+BC)=|AB|2+2BC·AB+|BC|2

=|AB|2+2|BC|·|AB|COS(180°-B)+|BC|2 =|AB|2-2|BC|·|AB|COSB+|BC|2

b2 = c22bccosA c 2 = b 2 + a2-2abcosC 他們是不是也成立呢？這個(gè)留作思考題，不過答案是肯定的。這三個(gè)式子就是今天所要學(xué)習(xí)的余弦定理：

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊

與它們夾角的余弦的兩倍。

將上述定理中的三個(gè)式子稍作變形，即得

cosA=﹙b 2 + c 2-a 2﹚／2bc cosB=﹙c2 + a2-b2﹚／2ac cosC=﹙ b 2 + a2-c 2﹚／2ab 我們來看余弦定理的應(yīng)用范圍：

1、2、已知兩邊及夾角，求第三邊極其他兩角： 已知三邊，求三角。

六、舉例子：

在△ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求A,B,C(精確到1°)。解：已知三邊，求三角。

cosA=﹙b 2 + c 2-a 2﹚／2bc =（10 2+6 2-7 2）／2×10×6 =0.725 查表，得 A≈44° cosC=﹙ b 2 + a2-c 2﹚／2ab =（7 2+10 2-6 2）／2×10×7 =0.8071 查表，得 B≈36° B=180°-(A+C)≈180°-(44°+36°)=100°

七、布置作業(yè)：

1、2、余弦定理的其他兩種形式的證明； 課本131頁：3.﹙3﹚（4）4.(2)

八、教學(xué)后記