第一篇：老師教案12 解三角形

教案12：解三角形（2）

一、課前檢測

1.在?ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩個解的是（）A．b?10，A?45，C?70

B．a(chǎn)?60，c?48，B?60

C．a(chǎn)?7，b?5，A?80

D．a(chǎn)?14，b?16，A?4

52.在△ABC中，已知B?30?，b?503，c?150，那么這個三角形一定是 _________三角形。答案：等腰或直角三角形

???????????|3.在?ABC中，已知|AB|?|AC??????????????2且,AB?AC?1,則這個三角形的BC邊的長為 ．答案：6

二、知識梳理

1．角與角關(guān)系：A+B+C = π，由A＝π－（B＋C）可得：

1）sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）． 2）A2??2?B?C2．有：sinA2?cosB?C2，cosA2?sinB?C2．

解讀：

2．正弦定理

①a:b:c?sinA:sinB:sinC；

②a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC； ③asinA?bsinB?csinC?a?b?csinA?sinB?sinC；

④a:b:c?sinA:sinB:sinC。

解讀：

3．射影定理：

a＝b·cosC＋c·cosB，b＝a·cosC＋c·cosA，c＝a·cosB＋c·cosA．

解讀：

三、典型例題分析

例1．在△ABC中，若a?cosB?b?cosA，則這個三角形是__________ 三角形 答案：等腰三角形

變式訓(xùn)練

在△ABC中，若答案：等邊三角形

小結(jié)與拓展：

例2．a(chǎn):b:c?1:3:2，求A，B，C

acosA?bcosB?ccosC，則這個三角形是__________ 三角形

答案：A=30°，B=60°，C=90°

變式訓(xùn)練： a:b:c?2:6:(3?1)，求A，B，C

答案：A=45°，B=60°，C=75°

小結(jié)與拓展：

例3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c?求角A，C，邊a及三角形的面積 答案：A=30°，C=30°，S?ABC?322，b?6，B?120?。

a?8，b?6，變式訓(xùn)練：在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且S?ABC?123，求c

答案：c=8或c=237

小結(jié)與拓展：

四、歸納與總結(jié)（以學(xué)生為主，師生共同完成）

1.知識：

2.思想與方法：

3.易錯點：

4.教學(xué)反思（不足并查漏）：

第二篇：解三角形應(yīng)用舉例教案（推薦）

解三角形應(yīng)用舉例教案

●教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實際問題，了解常用的測量相關(guān)術(shù)語

過程與方法：首先通過巧妙的設(shè)疑，順利地引導(dǎo)新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結(jié)合學(xué)生的實際情況，采用“提出問題——引發(fā)思考——探索猜想——總結(jié)規(guī)律——反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過程，根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開例題，設(shè)計變式，同時通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學(xué)生掌握解法，能夠類比解決實際問題。對于例2這樣的開放性題目要鼓勵學(xué)生討論，開放多種思路，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并進行適當(dāng)?shù)闹更c和矯正

情感態(tài)度與價值觀：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；同時培養(yǎng)學(xué)生運用圖形、數(shù)學(xué)符號表達題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力 ●教學(xué)重點

實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解 ●教學(xué)難點

根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖 ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入

1、[復(fù)習(xí)舊知] 復(fù)習(xí)提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

2、[設(shè)置情境]

請學(xué)生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測量距離。Ⅱ.講授新課

（1）解決實際測量問題的過程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解

[例題講解]

(2)例

1、如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B兩點的距離(精確到0.1m)

啟發(fā)提問1：?ABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運用哪個定理比較適當(dāng)？

啟發(fā)提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學(xué)生回答。分析：這是一道關(guān)于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得

ABsin?ACB =

ACsin?ABC

AB = ACsin?ACB

sin?ABC = 55sin?ACB

sin?ABC =

55sin75? sin(180??51??75?)= 55sin75?

sin54? ≈ 65.7(m)答:A、B兩點間的距離為65.7米

變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30?，燈塔B在觀察站C南偏東60?，則A、B之間的距離為多少？

老師指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立數(shù)學(xué)模型。解略：2a km 例

2、如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設(shè)計一種測量A、B兩點間距離的方法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計算出AB的距離。

解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點分別測得?BCA=?，? ACD=?，?CDB=?，?BDA =?，在?ADC和?BDC中，應(yīng)用正弦定理得

AC = BC =

asin(???)= asin(???)

sin[180??(?????)]sin(?????)asin? = asin? sin[180??(?????)]sin(?????)計算出AC和BC后，再在?ABC中，應(yīng)用余弦定理計算出AB兩點間的距離 AB =

AC2?BC2?2AC?BCcos?

分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。

變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得?BCA=60?，?ACD=30?，?CDB=45?，?BDA =60?

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20

評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計算方式。學(xué)生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。Ⅲ.課堂練習(xí)

課本第13頁練習(xí)第1、2題 Ⅳ.課時小結(jié)

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解

（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解 Ⅴ.課后作業(yè)

課本第19頁第1、2、3題

第三篇：第一章 解三角形

第一章 解三角形

章節(jié)總體設(shè)計

（一）課標(biāo)要求

本章的中心內(nèi)容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實在解三角形的應(yīng)用上。通過本章學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)達到以下學(xué)習(xí)目標(biāo)：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的生活實際問題。

（二）編寫意圖與特色

1．?dāng)?shù)學(xué)思想方法的重要性

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，有利于學(xué)生加深數(shù)學(xué)知識的理解和掌握。

本章重視與內(nèi)容密切相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，并且在提出問題、思考解決問題的策略等方面對學(xué)生進行具體示范、引導(dǎo)。本章的兩個主要數(shù)學(xué)結(jié)論是正弦定理和余弦定理，它們都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的結(jié)論。在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的知識，就是“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個三角形的兩條對應(yīng)邊及其所夾的角相等,那么這兩個三角形全”等。

教科書在引入正弦定理內(nèi)容時，讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題：“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?”，在引入余弦定理內(nèi)容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題?！痹O(shè)置這些問題，都是為了加強數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。

2．注意加強前后知識的聯(lián)系

加強與前后各章教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，注意復(fù)習(xí)和應(yīng)用已學(xué)內(nèi)容，并為后續(xù)章節(jié)教學(xué)內(nèi)容做好準(zhǔn)備，能使整套教科書成為一個有機整體，提高教學(xué)效益，并有利于學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和鞏固。

本章內(nèi)容處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系，已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識有著密切聯(lián)系。教科書在引入正弦定理內(nèi)容時，讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?”，在引入余弦定理內(nèi)容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題?！边@樣，從聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對于過去的知識有了新的認(rèn)識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎(chǔ)上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》和教科書把“解三角形”這部分內(nèi)容安排在數(shù)學(xué)五的第一部分內(nèi)容，位置相對靠后，在此內(nèi)容之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識聯(lián)系密切的內(nèi)容，這使這部分內(nèi)容的處理有了比較多的工具，某些內(nèi)容可以處理得更加簡潔。比如對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對于三角形進行討論，方法不夠簡潔，教科書則用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力。

在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個思考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？”，并進而指出，“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.從上可知，余弦定理是勾股定理的推廣.”

3．重視加強意識和數(shù)學(xué)實踐能力

學(xué)數(shù)學(xué)的最終目的是應(yīng)用數(shù)學(xué)，而如今比較突出的兩個問題是，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識不強，創(chuàng)造能力較弱。學(xué)生往往不能把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，不能把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實際問題中去，對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的實際背景了解不多，雖然學(xué)生機械地模仿一些常見數(shù)學(xué)問題解法的能力較強，但當(dāng)面臨一種新的問題時卻辦法不多，對于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的科學(xué)思維方法了解不夠。針對這些實際情況，本章重視從實際問題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實際問題。

（三）教學(xué)內(nèi)容及課時安排建議

1.1正弦定理和余弦定理（約3課時）

1.2應(yīng)用舉例（約4課時）

1.3實習(xí)作業(yè)（約1課時）

（四）評價建議

1．要在本章的教學(xué)中，應(yīng)該根據(jù)教學(xué)實際，啟發(fā)學(xué)生不斷提出問題，研究問題。在對于正弦定理和余弦定理的證明的探究過程中，應(yīng)該因勢利導(dǎo)，根據(jù)具體教學(xué)過程中學(xué)生思考問題的方向來啟發(fā)學(xué)生得到自己對于定理的證明。如對于正弦定理，可以啟發(fā)得到有應(yīng)用向量方法的證明，對于余弦定理則可以啟發(fā)得到三角方法和解析的方法。在應(yīng)用兩個定理解決有關(guān)的解三角形和測量問題的過程中，一個問題也常常有多種不同的解決方案，應(yīng)該鼓勵學(xué)生提出自己的解決辦法，并對于不同的方法進行必要的分析和比較。對于一些常見的測量問題甚至可以鼓勵學(xué)生設(shè)計應(yīng)用的程序，得到在實際中可以直接應(yīng)用的算法。

2．適當(dāng)安排一些實習(xí)作業(yè)，目的是讓學(xué)生進一步鞏固所學(xué)的知識，提高學(xué)生分析問題的解決實際問題的能力、動手操作的能力以及用數(shù)學(xué)語言表達實習(xí)過程和實習(xí)結(jié)果能力，增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和數(shù)學(xué)實踐能力。教師要注意對于學(xué)生實習(xí)作業(yè)的指導(dǎo)，包括對于實際測量問題的選擇，及時糾正實際操作中的錯誤，解決測量中出現(xiàn)的一些問題。

第四篇：解三角形公式

1、正弦定理：在???C中，a、b、c分別為角?、?、C的對邊，R為???C的外接圓的半徑，則有

2、正弦定理的變形公式：①

② sinA=sinB=sinC=

③ a:b:c=

④ a

第五篇：解三角形

第七章解三角形

一、基礎(chǔ)知識

在本章中約定用A，B，C分別表示△ABC的三個內(nèi)角，a, b, c分別表示它們所對的各邊長，p?

a?b?c

2為半周長。

a

?

bsinB

?1

2csinC

1．正弦定理：

sinA

=2R（R為△ABC外接圓半徑）。

bcsinA?

casinB.推論1：△ABC的面積為S△ABC=absinC?

推論2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推論3：在△ABC中，A+B=?，解a滿足

asina

?

bsin(??a)，則a=A.正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到，這里不再給出，下證推論。先證推論1，由正弦函數(shù)定義，BC邊上的高為bsinC，所以S△ABC=

absinC；再證推論2，因為B+C=?-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，兩邊同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再證推論

3，由正弦定理

asinA

?

bsinB，所以

siansiAn

?

si?n?(a)si?n?(A)，即

sinasin(?-A)=sin(?-a)sinA，等價于?

?12

[cos(?-A+a)-cos(?-A-a)]=

[cos(?-a+A)-cos(?-a-A)]，等價于cos(?-A+a)=cos(?-a+A)，因為0

2．余弦定理：a=b+c-2bccosA?cosA?

222

b?c?a

2bc

222，下面用余弦定理證明幾個常

用的結(jié)論。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC邊上任意一點，BD=p，DC=q，則AD=

bp?cqp?q

?pq.（1）

【證明】因為c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos?ADB，所以c2=AD2+p2-2AD·pcos?ADB.①

222

同理b=AD+q-2AD·qcos?ADC，② 因為?ADB+?ADC=?，所以cos?ADB+cos?ADC=0，所以q×①+p×②得

qc+pb=(p+q)AD+pq(p+q)，即AD=

bp?cqp?q

?pq.用心愛心專心

注：在（1）式中，若p=q，則為中線長公式AD?

（2）海倫公式：因為S??ABC

?

2b?2c?a

4222

.14

b2c2sin2A=b2c2(1-cos2A)= b2c2

2222

?(b?c?a)?122 22

[(b+c)-a][a-(b-c)]=p(p-a)(p-b)(p-c).1????22

4bc??16

這里p?

a?b?c

.所以S△ABC=p(p?a)(p?b)(p?c).二、方法與例題 1．面積法。

例1（共線關(guān)系的張角公式）如圖所示，從O點發(fā)出的三條射線滿足w, v，這里α，β，α+β∈(0, ?POQ??,?QOR??，另外OP，OQ，OR的長分別為u,?)，則P，Q，R的共線的充要條件是

sin?sin?sin(???)

??.u

v

w

2．正弦定理的應(yīng)用。

例2 △ABC內(nèi)有一點P，使得?BPC-?BAC=?CPA-?CBA=?APB-?ACB。求證：AP·BC=BP·CA=CP·AB。

例3 △ABC的各邊分別與兩圓⊙O1，⊙O2相切，直線GF與DE交于P，求證：PA?BC。

3．一個常用的代換：在△ABC中，記點A，B，C到內(nèi)切圓的切線長分別為x, y, z，則a=y+z, b=z+x, c=x+y.例4在△ABC中，求證：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.4．三角換元。

例5設(shè)a, b, c∈R+，且abc+a+c=b，試求P?

例6在△ABC中，若a+b+c=1，求證: a2+b2+c2+4abc<.212a?

1?

2b?1

?

3c?1的最大值。

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

1．在△ABC中，邊AB為最長邊，且sinAsinB=__________.2．在△ABC中，若AB=1，BC=2，則?C的取值范圍是__________.3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+__________.4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，則?C=__________.5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________條件.6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，則角A的取值范圍是__________.7．在△ABC中，sinA=

52?

4，則cosAcosB的最大值為

3?3tanCtanB，則△ABC的面積為，cosB=

3，則cosC=__________.A2?tan

C2?13

8．在△ABC中，“三邊a, b, c成等差數(shù)列”是“tan件.”的__________條

9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，則三角形形狀是__________.10．在△ABC中，tanA·tanB>1，則△ABC為__________角三角形.11．三角形有一個角是600，夾這個角的兩邊之比是8：5，內(nèi)切圓的面積是12?，求這個三角形的面積。

12．已知銳角△ABC的外心為D，過A，B，D三點作圓，分別與AC，BC相交于M，N兩點。求證：△MNC的外接圓半徑等于△ABD的外接圓半徑。

13．已知△ABC中，sinC=

四、高考水平訓(xùn)練題 1．在△ABC中，若tanA=

2sinA?sinBcosA?cosB

3，試判斷其形狀。, tanB=，且最長邊長為1，則最短邊長為__________.2．已知n∈N+，則以3，5，n為三邊長的鈍角三角形有________個.3．已知p, q∈R, p+q=1，比較大?。簆sinA+qsinB__________pqsinC.4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，則△ABC 為__________角三角形.5．若A為△ABC 的內(nèi)角，比較大?。篶ot

A8

?cotA__________3.+222

6．若△ABC滿足acosA=bcosB，則△ABC的形狀為__________.7．滿足A=60，a=6, b=4的三角形有__________個.8．設(shè)?為三角形最小內(nèi)角，且acos是__________.?

+sin

?

-cos

?

-asin

?

=a+1，則a的取值范圍

9．A，B，C是一段筆直公路上的三點，分別在塔D的西南方向，正西方向，西偏北30方向，且AB=BC=1km，求塔與公路AC段的最近距離。

10．求方程x11．求證：

y?1?yx?1?xy的實數(shù)解。

?sin20

?

720

.五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題

1．在△ABC中，b2=ac，則sinB+cosB的取值范圍是____________.2．在△ABC中，若

sinBsinC

?

cosA?2cosCcosA?2cosBA2?cot

B

2，則△ABC 的形狀為____________.C2

3．對任意的△ABC，T?cot____________.4．在△ABC中，sin

A2

?cot-(cotA+cotB+cotC)，則T的最大值為

sinBsinC的最大值為____________.5．平面上有四個點A，B，C，D，其中A，B為定點，|AB|=3，C，D為動點，且|AD|=|DC|=|BC|=1。記S△ABD=S，S△BCD=T，則S+T的取值范圍是____________.6．在△ABC中，AC=BC，?ACB?80，O為△ABC的一點，?OAB?10，?ABO=300，則?ACO=____________.7．在△ABC中，A≥B≥C≥最小值為__________.8．在△ABC中，若c-a等于AC邊上的高h(yuǎn)，則sin

C?A2

?cos

A?C2

?

6，則乘積cos

A2

sin

B2

cos

C2的最大值為____________，=____________.9．如圖所示，M，N分別是△ABC外接圓的弧AB，AC中點，P為BC上的動點，PM交AB于Q，PN交AC于R，△ABC的內(nèi)心為I，求證：Q，I，R三點共線。

10．如圖所示，P，Q，R分別是△ABC的邊BC，CA，AB上一點，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求證：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。11．在△ABC外作三個等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，?ADC=2?BAC，?AEB=2?ABC，?BFC=2?ACB，并且AF，BD，CE交于一點，試判斷△ABC的形狀。

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題

1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圓以BC的中點為圓心，且與兩腰AB和AC分別相切于點D和G，EF與半圓相切，交AB于點E，交AC于點F，過E作AB的垂線，過F作AC的垂線，兩垂線相交于P，作PQ?BC，Q為垂足。求證：PQ?

EF2sin?，此處?=?B。

2．設(shè)四邊形ABCD的對角線交于點O，點M和N分別是AD和BC的中點，點H1，H2（不重合）分別是△AOB與△COD的垂心，求證：H1H2?MN。

3．已知△ABC，其中BC上有一點M，且△ABM與△ACM的內(nèi)切圓大小相等，求證：AM?

P(P?a)，此處P?

2(a+b+c), a, b, c分別為△ABC對應(yīng)三邊之長。

4．已知凸五邊形ABCDE，其中?ABC=?AED=90，?BAC=?EAD，BD與CE交于點O，求證：AO?BE。

5．已知等腰梯形ABCD，G是對角線BD與AC的交點，過點G作EF與上、下底平行，點E和F分別在AB和CD上，求證：?AFB=900的充要條件是AD+BC=CD。

6．AP，AQ，AR，AS是同一個圓中的四條弦，已知?PAQ=?QAR=?RAS，求證：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。

7．已知一凸四邊形的邊長依次為a, b, c, d，外接圓半徑為R，如果a2+b2+c2+d2=8R2，試問對此四邊形有何要求？

8．設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，BA和CD延長后交于點R，AD和BC延長后交于點P，?A，?B，?C指的都是△ABC的內(nèi)角，求證：若AC與BD交于點Q，則

cosAAP

?

cosCCR

?

cosBBQ

.9．設(shè)P是△ABC內(nèi)一點，點P至BC，CA，AB的垂線分別為PD，PE，PF（D，E，F(xiàn)是垂足），求證：PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并討論等號成立之條件。