第一篇：【數(shù)學(xué)】1.2.4《解三角形應(yīng)用舉例》教案(新人教A版必修5)

知識改變命運，學(xué)習(xí)成就未來

課題: §1.2.4解三角形應(yīng)用舉例

授課類型：新授課

●教學(xué)目標 知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關(guān)三角形的問題, 掌握三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用

過程與方法：本節(jié)課補充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時總結(jié)出該公式的特點，循序漸進地具體運用于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學(xué)知識的生動運用，教師要放手讓學(xué)生摸索，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點，能不拘一格，一題多解。只要學(xué)生自行掌握了兩定理的特點，就能很快開闊思維，有利地進一步突破難點。情感態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生進一步鞏固所學(xué)的知識，加深對所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗愉悅的成功體驗 ●教學(xué)重點

推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡單的相關(guān)題目 ●教學(xué)難點

利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題 ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 [創(chuàng)設(shè)情境] 師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學(xué)習(xí)它的另一個表達公式。在

?ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為ha、hb、hc，那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎荆?/p>

生：ha=bsinC=csinB

hb=csinA=asinC hc=asinB=bsinaA

1ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，21可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個公式嗎？

211生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB 22師：根據(jù)以前學(xué)過的三角形面積公式S=師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？

生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解 Ⅱ.講授新課 [范例講解] 例

1、在?ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5?;歡迎各位老師踴躍投稿，稿酬豐厚 郵箱：zxjkw@163.com

知識改變命運，學(xué)習(xí)成就未來

（2）已知B=62.7?,C=65.8?,b=3.16cm;（3）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。解：（1）應(yīng)用S=

S=1acsinB，得 21?14.8?23.5?sin148.5?≈90.9(cm2)2b = c

sinCsinBsinB(2)根據(jù)正弦定理，c = bsinC

S = 11bcsinA = b2sinCsinA 22sinBA = 180?-(B + C)= 180?-(62.7?+ 65.8?)=51.5?

sin65.8?sin51.5?1S = ?3.16?≈4.0(cm2)?sin62.72(3)根據(jù)余弦定理的推論，得

c2?a2?b2cosB =

2ca38.72?41.42?27.32

=

2?38.7?41.≈0.7697 sinB = 1?cos2B≈1?0.76972≈0.6384 應(yīng)用S=S ≈1acsinB，得 21?41.4?38.7?0.6384≈511.4(cm2)2例

2、如圖,在某市進行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm2）？

師：你能把這一實際問題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？

生：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。由學(xué)生解答，老師巡視并對學(xué)生解答進行講評小結(jié)。解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，歡迎各位老師踴躍投稿，稿酬豐厚 郵箱：zxjkw@163.com

知識改變命運，學(xué)習(xí)成就未來

c2?a2?b2cosB=

2ca1272?682?88

2=≈0.7532 2?127?68sinB=1?0.75322?0.6578 1acsinB 21 S ≈?68?127?0.6578≈2840.38(m2)

2應(yīng)用S=答：這個區(qū)域的面積是2840.38m2。例

3、在?ABC中，求證：

a2?b2sin2A?sin2B?;（1）c2sin2C（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）

分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯(lián)想到用正弦定理來證明

證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)

a = b = c = k sinAsinBsinC顯然 k?0，所以

a2?b2k2sin2A?k2sin2B? 左邊= c2k2sin2Csin2A?sin2B ==右邊 2sinC（2）根據(jù)余弦定理的推論，b2?c2?a2a2?b2?c2c2?a2?b2 右邊=2(bc+ca+ab)

2bc2ca2ab

=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)

=a2+b2+c2=左邊

變式練習(xí)1：已知在?ABC中，?B=30?,b=6,c=63,求a及?ABC的面積S 提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。答案：a=6,S=93;a=12,S=183

歡迎各位老師踴躍投稿，稿酬豐厚 郵箱：zxjkw@163.com

知識改變命運，學(xué)習(xí)成就未來

變式練習(xí)2：判斷滿足下列條件的三角形形狀，（1）acosA = bcosB（2）sinC =sinA?sinB

cosA?cosB提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”（1）師：大家嘗試分別用兩個定理進行證明。

生1：（余弦定理）得

b2?c2?a2c2?a2?b2a?=b?

2bc2ca?c2(a2?b2)?a4?b4=(a2?b2)(a2?b2)?a2?b2或c2?a2?b2

?根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形或直角三角形

生2：（正弦定理）得 sinAcosA=sinBcosB, ?sin2A=sin2B, ?2A=2B, ?A=B ?根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形

師：根據(jù)該同學(xué)的做法，得到的只有一種情況，而

第二篇：【數(shù)學(xué)】1.2.2《解三角形應(yīng)用舉例》教案(新人教A版必修5)

知識改變命運，學(xué)習(xí)成就未來

課題: §1.2.2解三角形應(yīng)用舉例

知識改變命運，學(xué)習(xí)成就未來

AB = AE + h = ACsin?+ h

=

asin?sin? + h sin(???)例

2、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角?=54?40?，在塔底C處測得A處的俯角?=50?1?。已知鐵塔BC部分的高為27.3 m,求出山高CD(精確到1 m)

師:根據(jù)已知條件,大家能設(shè)計出解題方案嗎？（給時間給學(xué)生討論思考）若在?ABD中求CD，則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢？ 生：需求出BD邊。師：那如何求BD邊呢？

生：可首先求出AB邊，再根據(jù)?BAD=?求得。

解:在?ABC中, ?BCA=90?+?,?ABC =90?-?,?BAC=?-?,?BAD =?.根據(jù)正弦定理，BCAB =

sin(???)sin(90???)BCsin(90???)BCcos? 所以 AB ==

sin(???)sin(???)解Rt?ABD中,得 BD =ABsin?BAD=將測量數(shù)據(jù)代入上式,得

BCcos?sin?

sin(???)27.3cos50?1?sin54?40? BD =

sin(54?40??50?1?)27.3cos50?1?sin54?40? =

sin4?39?歡迎各位老師踴躍投稿，稿酬豐厚 郵箱：zxjkw@163.com

知識改變命運，學(xué)習(xí)成就未來

≈177(m)

CD =BD-BC≈177-27.3=150(m)答:山的高度約為150米.師：有沒有別的解法呢？

生：若在?ACD中求CD，可先求出AC。

師：分析得很好，請大家接著思考如何求出AC？ 生：同理，在?ABC中，根據(jù)正弦定理求得。（解題過程略）

例

3、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時測得公路南側(cè)遠處一山頂D在東偏南15?的方向上,行駛5km后到達B處,測得此山頂在東偏南25?的方向上,仰角為8?,求此山的高度CD.師：欲求出CD，大家思考在哪個三角形中研究比較適合呢？ 生：在?BCD中

師：在?BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件,易計算出哪條邊的長？ 生：BC邊

解:在?ABC中, ?A=15?,?C= 25?-15?=10?,根據(jù)正弦定理，BCAB = , sinAsinCABsinA5sin15? BC == ?sin10sinC ≈ 7.4524(km)

CD=BC?tan?DBC≈BC?tan8?≈1047(m)答:山的高度約為1047米

Ⅲ.課堂練習(xí)

課本

知識改變命運，學(xué)習(xí)成就未來

測得塔基B的俯角為45?，則塔AB的高度為多少m？

203(m)3●板書設(shè)計 ●授后記 答案：20+歡迎各位老師踴躍投稿，稿酬豐厚 郵箱：zxjkw@163.com

第三篇：解三角形應(yīng)用舉例教案（推薦）

解三角形應(yīng)用舉例教案

●教學(xué)目標

知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實際問題，了解常用的測量相關(guān)術(shù)語

過程與方法：首先通過巧妙的設(shè)疑，順利地引導(dǎo)新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結(jié)合學(xué)生的實際情況，采用“提出問題——引發(fā)思考——探索猜想——總結(jié)規(guī)律——反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過程，根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開例題，設(shè)計變式，同時通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學(xué)生掌握解法，能夠類比解決實際問題。對于例2這樣的開放性題目要鼓勵學(xué)生討論，開放多種思路，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并進行適當(dāng)?shù)闹更c和矯正

情感態(tài)度與價值觀：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；同時培養(yǎng)學(xué)生運用圖形、數(shù)學(xué)符號表達題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力 ●教學(xué)重點

實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解 ●教學(xué)難點

根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖 ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入

1、[復(fù)習(xí)舊知] 復(fù)習(xí)提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

2、[設(shè)置情境]

請學(xué)生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測量距離。Ⅱ.講授新課

（1）解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解

[例題講解]

(2)例

1、如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B兩點的距離(精確到0.1m)

啟發(fā)提問1：?ABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運用哪個定理比較適當(dāng)？

啟發(fā)提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學(xué)生回答。分析：這是一道關(guān)于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得

ABsin?ACB =

ACsin?ABC

AB = ACsin?ACB

sin?ABC = 55sin?ACB

sin?ABC =

55sin75? sin(180??51??75?)= 55sin75?

sin54? ≈ 65.7(m)答:A、B兩點間的距離為65.7米

變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30?，燈塔B在觀察站C南偏東60?，則A、B之間的距離為多少？

老師指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立數(shù)學(xué)模型。解略：2a km 例

2、如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設(shè)計一種測量A、B兩點間距離的方法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計算出AB的距離。

解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點分別測得?BCA=?，? ACD=?，?CDB=?，?BDA =?，在?ADC和?BDC中，應(yīng)用正弦定理得

AC = BC =

asin(???)= asin(???)

sin[180??(?????)]sin(?????)asin? = asin? sin[180??(?????)]sin(?????)計算出AC和BC后，再在?ABC中，應(yīng)用余弦定理計算出AB兩點間的距離 AB =

AC2?BC2?2AC?BCcos?

分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。

變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得?BCA=60?，?ACD=30?，?CDB=45?，?BDA =60?

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20

評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計算方式。學(xué)生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。Ⅲ.課堂練習(xí)

課本第13頁練習(xí)第1、2題 Ⅳ.課時小結(jié)

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解

（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解 Ⅴ.課后作業(yè)

課本第19頁第1、2、3題

第四篇：高中數(shù)學(xué) 1.2應(yīng)用舉例教案教案 新人教A版必修5

課題: §1.2解三角形應(yīng)用舉例

●教學(xué)目標 知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關(guān)三角形的問題, 掌握三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用 過程與方法：本節(jié)課補充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時總結(jié)出該公式的特點，循序漸進地具體運用于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學(xué)知識的生動運用，教師要放手讓學(xué)生摸索，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點，能不拘一格，一題多解。只要學(xué)生自行掌握了兩定理的特點，就能很快開闊思維，有利地進一步突破難點。

情感態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生進一步鞏固所學(xué)的知識，加深對所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗愉悅的成功體驗 ●教學(xué)重點

推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡單的相關(guān)題目 ●教學(xué)難點

利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題 ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 [創(chuàng)設(shè)情境] 師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學(xué)習(xí)它的另一個表達公式。在

?ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為ha、hb、hc，那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎荆?/p>

生：ha=bsinC=csinB hb=csinA=asinC hc=asinB=bsinaA 師：根據(jù)以前學(xué)過的三角形面積公式S=下面的三角形面積公式，S=

1ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，可以推導(dǎo)出21absinC，大家能推出其它的幾個公式嗎？ 211生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB 22師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？

生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解 Ⅱ.講授新課 [范例講解] 例

1、在?ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5?;（2）已知B=62.7?,C=65.8?,b=3.16cm;（3）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

用心

愛心

專心

分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。解：（1）應(yīng)用S= S=1acsinB，得 21?14.8?23.5?sin148.5?≈90.9(cm2)2c sinC(2)根據(jù)正弦定理，b = sinB c = bsinC

sinBS = 11bcsinA = b2sinCsinA 22sinBA = 180?-(B + C)= 180?-(62.7?+ 65.8?)=51.5?

sin65.8?sin51.5?122 S = ?3.16?≈4.0(cm)?sin62.72(3)根據(jù)余弦定理的推論，得

c2?a2?b2cosB =

2ca38.72?41.42?27.32 =

2?38.7?41.4 ≈0.7697 sinB = 1?cos2B≈1?0.76972≈0.6384 應(yīng)用S=S ≈1acsinB，得 21?41.4?38.7?0.6384≈511.4(cm2)2例

2、如圖,在某市進行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm2）？ 師：你能把這一實際問題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？

生：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。由學(xué)生解答，老師巡視并對學(xué)生解答進行講評小結(jié)。解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，c2?a2?b2cosB=

2ca1272?682?882 =≈0.7532 2?127?68sinB=1?0.75322?0.6578

用心

愛心

專心

1acsinB 21 S ≈?68?127?0.6578≈2840.38(m2)2應(yīng)用S=答：這個區(qū)域的面積是2840.38m2。例

3、在?ABC中，求證：

a2?b2sin2A?sin2B?;（1）22csinC（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）

分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯(lián)想到用正弦定理來證明

證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)

a = b = c = k sinAsinBsinC顯然 k?0，所以

a2?b2k2sin2A?k2sin2B? 左邊= 222cksinCsin2A?sin2B ==右邊

sin2C（2）根據(jù)余弦定理的推論，b2?c2?a2a2?b2?c2c2?a2?b2 右邊=2(bc+ca+ab)

2bc2ca2ab

=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左邊

變式練習(xí)1：已知在?ABC中，?B=30?,b=6,c=63,求a及?ABC的面積S 提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。答案：a=6,S=93;a=12,S=183

變式練習(xí)2：判斷滿足下列條件的三角形形狀，（1）acosA = bcosB（2）sinC =sinA?sinB

cosA?cosB提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”

用心

愛心

專心

（1）師：大家嘗試分別用兩個定理進行證明。

生1：（余弦定理）得

b2?c2?a2c2?a2?b2a?=b?

2bc2ca?c2(a2?b2)?a4?b4=(a2?b2)(a2?b2)?a2?b2或c2?a2?b2

?根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形或直角三角形

生2：（正弦定理）得 sinAcosA=sinBcosB, ?sin2A=sin2B, ?2A=2B, ?A=B ?根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形

師：根據(jù)該同學(xué)的做法，得到的只有一種情況，而第一位同學(xué)的做法有兩種，請大家思考，誰的正確呢？ 生：第一位同學(xué)的正確。第二位同學(xué)遺漏了另一種情況，因為sin2A=sin2B,有可能推出2A與2B兩個角互補，即2A+2B=180?，A+B=90?

(2)（解略）直角三角形

Ⅲ.課堂練習(xí)

課本第21頁練習(xí)第1、2題 Ⅳ.課時小結(jié)

利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡并考察邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。

Ⅴ.課后作業(yè)

課本第23頁練習(xí)第12、14、15題 ●板書設(shè)計 ●授后記

用心

愛心

專心 4

第五篇：解三角形應(yīng)用舉例教學(xué)設(shè)計

解三角形應(yīng)用舉例

教材：普通高中課程標準實驗教科書·人教B版·必修5·1.2

一、教學(xué)目標 1 知識與技能目標

初步運用正弦定理、余弦定理解決某些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題． 2 過程與方法目標

（1）．通過解決“測量一個底部不能到達的建筑物的高度”或“測量平面上兩個不能到達的地方之間的距離”的問題，初步掌握將實際問題轉(zhuǎn)化為解斜三角形問題的方法；

（2）．進一步提高應(yīng)用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高運用數(shù)學(xué)知識解

決實際問題的能力． 情感、態(tài)度與價值觀目標

（1）．通過學(xué)生親自實施對“測量” 問題的解決，體會如何將具體的實際問題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問題，體驗問題解決的全過程；

（2）．發(fā)展學(xué)生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析解決問題的能力，以及交流與合作的能力，著重學(xué)生多元智能的發(fā)展。

二、教學(xué)重點、難點 重點是如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并利用解斜三角形的方法予以解決． 分析、探究并確定將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的思路是難點和關(guān)鍵．

三、教學(xué)方法與手段 教學(xué)方法：運用認知建構(gòu)教學(xué)理論和多元智能發(fā)展觀，在教學(xué)中采用自主探究與嘗試指導(dǎo)相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生通過分析實踐、自主探究、合作討論得出轉(zhuǎn)化（解決）問題的方法． 學(xué)習(xí)方法：在實踐中體驗過程，在過程中感受應(yīng)用，在交流中升華知識。教學(xué)手段：實際模擬、合作學(xué)習(xí)、多媒體（投影儀）

四、教學(xué)過程

【教學(xué)環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)回顧】 教學(xué)內(nèi)容： 完成下列兩個小題：

① 在△ABC中，已知A=30, B=30, c =

0

0，則a =_______，c =_______。

② 如圖，為了測量某障礙物兩側(cè)A、B兩點間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時最好選用數(shù)據(jù)（），最好不要選用數(shù)據(jù)（）

(A)

(B)

(C)

(D)

師生互動：學(xué)生獨立完成上面兩個小題，并作出回答，回答時闡明作答依據(jù)。

設(shè)計意圖：（1）復(fù)習(xí)：①正、余弦定理；②解斜三角形的方法。

（2）為本節(jié)課重點知識的學(xué)習(xí)做一些知識準備。

【教學(xué)環(huán)節(jié)二：問題一的提出與解決】

教學(xué)內(nèi)容：怎樣測量一個底部不能到達的建筑物的高度？

<問題一> 我?？萍紭琼敶Ａ⒅蛔煳挠^測臺，如何通過測量，求得天文臺頂距地面的高度？

師生互動：分析、探究、討論、歸納。

① 教師帶領(lǐng)學(xué)生一起分析題目背景――天文臺頂?shù)降孛娴木嚯x指天文臺頂（記為點A）到它在地面上的正射影（記為點B）這兩點間的距離，而在這里顯然B點無法到達，故不能

直接測量。

② 發(fā)動學(xué)生分組討論解決方案：既然不能直接測量A、B兩點的距離，我們是否可以考慮利用可測量的其它數(shù)據(jù)得出所需數(shù)據(jù)？

③ 討論過程1：可在適當(dāng)?shù)牡胤剑芸吹巾旤cA的可到達的一點）選取一點C，對AB進行測量，如圖1－A，設(shè)CC1表示測量儀器的高，在△AB1C1中只能測得∠AC1B1（即在C1點測的點A的仰角，記為）。要求得AB，須再選取另一點D。設(shè)測得CD = a，∠B1C1D1＝，∠C1D1B1＝,則在本題中可抽象出兩個空間關(guān)系的三角形，其中△AB1C1是直角三角形。在△B1C1D1中，由、a根據(jù)正弦定理可求得B1C1，在Rt△AB1C1中，由

問題得解。即：

和B1C1可求得AB1，在△B1C1D1中，即，所以

在△AB1C1中，AB1＝B1C1·tan，于是，天文臺頂距地面的高度為AB=AB1＋CC1.④ 實施方案：學(xué)生用自制的儀器對天文臺實施測量（可在課下進行），得數(shù)據(jù)如下：

測點距地面1.5m。

在滿足精確度為0.1m的前提下，請同學(xué)們計算所求距離。

過程：易解得

所以

因此天文臺頂距地面的高度約為

⑤ 反思完善：

米。

提問：下面請同學(xué)們回顧剛剛我們的實際操作過程，有無問題存在？

學(xué)生經(jīng)過討論，（一般會）發(fā)現(xiàn)有兩個問題，一是在測量過程中的B點或B1點不可到達，實際操作時是大體估計的位置，準確度差；二是學(xué)生會覺得還有更簡方法。

<發(fā)動學(xué)生討論改善方法> 學(xué)生分組討論，然后發(fā)表討論結(jié)果。

<討論過程2> 如圖1－B，由于B點或B1點不可到達，所以不考慮圖1－A中的∠B1C1D1和∠C1D1B1，而點A是可見的，于是我們可以準確測量出∠AC1D1＝，∠AD1C1＝, CD = a，這樣，在△AC1D1中，由、a根據(jù)正弦定理可求得AC1，在Rt△AB1C1中，由AC1可求得AB1，問題得解。即：

和在△AC1D1中，即，所以

在△AB1C1中，AB1＝AC1·sin

，于是，天文臺頂距地面的高度為AB=AB1＋CC1

評：這個方法應(yīng)該是完全可行的，只是計算還有些麻煩。具體的測量和計算由學(xué)生課

下完成，寫成實踐報告。

<討論過程3> 我們可以做如下測量，在可到達的地方取C、D, 使這兩點與點A在地面上的垂線在同一平面內(nèi)（這樣可以保證B、C、D三點共線），如圖2，設(shè)CC1表示測量儀器的高，在C1點和D1點分別測得A點仰角為，C1D1＝a，于是，在△AC1D1中，我們可以利用正弦定理求

求出AB1，最后求出AB=AB1＋B1B.得AC1，再在Rt△AB1C1中，利用

評：此法比較容易操作，但C、D兩點的選取多少需要些技巧。

⑥歸納總結(jié)：學(xué)生對照問題及三種解決方案總結(jié)解決該問題的方法及注意事項，并建議學(xué)生閱讀教材問題一及處理方法，加深對上述方法的認識。

設(shè)計意圖：從獲取數(shù)據(jù)開始，使學(xué)生親身經(jīng)歷并體驗如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而得到解決。在討論過程中，引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識分三步層層發(fā)掘，探尋解決問題的最佳方案，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值、人文價值、美學(xué)價值。在這一環(huán)節(jié)的教學(xué)中，采用認知建構(gòu)教學(xué)理論和合作學(xué)習(xí)，在學(xué)生獲取解決問題的方法的同時，注意了學(xué)生多元智能的發(fā)展。

【教學(xué)環(huán)節(jié)三：問題二的提出與解決】

教學(xué)內(nèi)容：怎樣測量平面上兩個不能到達的地方之間的距離？ <問題二> 設(shè)A、B是兩個海島，如何在岸邊測量它們之間的距離？

師生互動：

①合作探究：學(xué)生分組討論，探尋解決問題的方案。以下是討論內(nèi)容與過程：與問題一類似，如果只選一個觀測點C，在△ABC中只能測得∠ACB的大小，問題不能得到解決。因此需要再選擇一個測點D，構(gòu)造出一個能測出其一條邊長的△BCD。要求出AB，還應(yīng)先求

出AC和BC，為此應(yīng)先解△ACD和△BCD。

②演練方案：按照上面討論的方案，各組同學(xué)進行模擬演練：如圖3，在岸邊適當(dāng)選取點C、D，使A、B、C、D共面（即保持在同一水平面上），測得

在△BCD中，由正弦定理，可以得到:，同理，在△ACD中也可以得到在△ABC中，由余弦定理，得

.，從而求得AB。

設(shè)計意圖：深化將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程與方法，加強學(xué)生的合作意識，培養(yǎng)學(xué)生探尋解決問題的方法的思路與策略，提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力?！窘虒W(xué)環(huán)節(jié)四：課堂練習(xí)】

練習(xí)內(nèi)容：教材第16頁，練習(xí)A，1

師生互動： ① 學(xué)生獨立完成練習(xí)

② 教師展示答案：先利用投影儀把有代表性的幾個學(xué)生的解答過程展示在大屏幕上，由學(xué)生自由講評，教師總結(jié)。

設(shè)計意圖：

通過反饋矯正，初步了解學(xué)生對本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的掌握情況，并及時給予調(diào)整。

【教學(xué)環(huán)節(jié)五：教學(xué)評價】

1、讓學(xué)生先進行分組總結(jié)，思考三個問題：

① 本節(jié)課我們研究了什么？提出了什么問題？問題解決了嗎？

② 本節(jié)課你學(xué)到了哪些方法？掌握了哪些技能？

③ 你認為自己對本節(jié)課內(nèi)容掌握的好不好？課后打算怎樣進一步鞏固？

2、學(xué)生代表發(fā)表討論的課堂總結(jié)，互相補充。

3、教師進行總結(jié)，要點如下：

① 兩個問題：怎樣測量一個底部不能到達的建筑物的高度？

怎樣測量平面上兩個不能到達的地方之間的距離？

② 運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的基本思路：首先要在理解題意的基礎(chǔ)上將實際問題數(shù)學(xué)化，然后再利用有關(guān)定理、性質(zhì)、公式解決之。步驟如下：

③ 提高實踐能力（如測量的精確度）。

【課后作業(yè)】

1、教材P16，練習(xí)A，2； 教材P16，練習(xí)B，1、2

2、各小組利用自制的儀器，在我們周圍選一較高建筑物用本節(jié)學(xué)習(xí)的方法測量其高度。

寫出測量報告。附：教學(xué)設(shè)計說明

一、教學(xué)內(nèi)容的特點及處理

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點，這一課時的教學(xué)重點是解決兩個與測量有關(guān)的問題。在教學(xué)設(shè)計時，對教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)都強調(diào)了學(xué)生的主體地位。對每一個問題的解決，從問題的分析、方案的討論、數(shù)據(jù)的獲取、信息的分析、結(jié)論的得出、方法的總結(jié)，無一不是由學(xué)生親自參與，合作完成的，而教師很好的充當(dāng)了指導(dǎo)者和合作伙伴的角色，形成了一個自由的、開放的生態(tài)化課堂。

二、教學(xué)目標的確定

根據(jù)本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的實踐性強的特點，在確定教學(xué)目標時注重了三方面的要求：一是初步運用正弦定理、余弦定理解決某些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題這一知識與技能的要求；二是強調(diào)了學(xué)生從實踐過程中發(fā)現(xiàn)積累知識這一認知建構(gòu)主義教學(xué)模式；三是明確提出了學(xué)生要從經(jīng)歷問題解決的全過程中學(xué)習(xí)這一體驗性目標。

三、教學(xué)方法的選擇

根據(jù)上述分析，本節(jié)課就特別適用建構(gòu)主義教學(xué)模式下的分析實踐、自主探究、合作學(xué)習(xí)這一十分有利于學(xué)生多元智能發(fā)展的教學(xué)方法。

四、教學(xué)過程的說明

高中新課程標準強調(diào)教師要在教學(xué)中幫助學(xué)生形成積極主動的學(xué)習(xí)態(tài)度，要將學(xué)習(xí)過程變?yōu)閷W(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會合作、學(xué)會生存、學(xué)會做人的過程。

在進行教學(xué)設(shè)計時，我把教材中的問題一做了小小的改變：測量故宮的角樓改為測量本校天文臺頂?shù)降孛娴木嚯x。這樣，學(xué)生可以直接參與方案的探尋、數(shù)據(jù)的獲取與分析、結(jié)論的得出全過程，可以“從實踐中直接獲取知識”，在獲得真實的過程體驗同時，掌握了解決測量問題的方法。而且，這樣的實踐，學(xué)生非常樂于參加，自然有了積極主動的學(xué)習(xí)態(tài)度。通過對問題一解決方案的不斷優(yōu)化，使每一個參與者都深深地感受到了數(shù)學(xué)應(yīng)用的靈活性、開放性和數(shù)學(xué)的簡單化原則。當(dāng)解決了方案一的瓶頸后，當(dāng)?shù)玫搅撕唵蔚姆桨溉?，我們從精神上得到了徹底的滿足，數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值和美學(xué)價值在這一刻獲得了清晰地體現(xiàn)。