第一篇：11.1平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)教案(2課時(shí))大全

11．1平面上點(diǎn)的坐標(biāo)（（2）上電影院看電影，電影票上至少要有幾個(gè)數(shù)據(jù)才能確定你的位置？（3）在教室里，怎樣確定一個(gè)同學(xué)的位置？

（二）觀察交流，構(gòu)建新知

觀察、交流、思考，回答教科書

引導(dǎo)觀察：如左圖中點(diǎn)P可以這樣表示：由P 向x軸作垂線，垂足M在x軸上的坐標(biāo)是-2，點(diǎn)P向y軸作垂線，垂足N在y軸的坐標(biāo)是3，于是就說點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是-2，縱坐標(biāo)3，把橫坐標(biāo)寫在縱坐標(biāo)前面記作（-2，3），即P點(diǎn)坐標(biāo)（-2，3）。引導(dǎo)練習(xí)：寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)。學(xué)生相互交流，得出正確答案。(強(qiáng)調(diào)點(diǎn)的坐標(biāo)的有序性和正確規(guī)范書寫)教師提問：已知平面內(nèi)任意一點(diǎn)，可以寫出它的坐標(biāo)；反之，給出一點(diǎn)的坐標(biāo)，你能在上圖中描出嗎？

試一試：D（1，3）E（-3，2）F（-4，-1）（注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向思維）

教師提問：請(qǐng)同學(xué)們想一想：原點(diǎn)O的坐標(biāo)、x軸和y軸上的點(diǎn)坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：O點(diǎn)坐標(biāo)（0，0），x軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，y軸上點(diǎn)橫坐標(biāo)為0。試一試：描點(diǎn)：G（0，1），H（1，0）（注意區(qū)別）

（三）觀察思考，探究規(guī)律

教師講解：兩條坐標(biāo)軸把坐標(biāo)平面分成四個(gè)部分：右上部分叫

2、能在直角坐標(biāo)系中，根據(jù)坐標(biāo)找出點(diǎn)，由點(diǎn)求出坐標(biāo)。坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的。

3、掌握象限點(diǎn)、x軸及y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：

12．1平面上點(diǎn)的坐標(biāo)（(1)關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？(2)關(guān)于 y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間又有什么關(guān)系？

教師指出：①關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)（簡記“橫等縱反”）；關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等（橫反 縱等）；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，橫、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)（橫反縱反）。（緊 密結(jié)合圖形進(jìn)行講解）；

思考3： 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，(1)

1、點(diǎn)A(m-1,2m)在

第二篇：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算教案1[定稿]

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算教案1

教學(xué)目標(biāo)

1．理解平面向量的坐標(biāo)表示方法，包括起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的向量坐標(biāo)表示法，起點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn)的向量坐標(biāo)表示法、相等向量的坐標(biāo)表示法．

2．掌握已知平面向量的和、差、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)表示法．

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)表示法，特別是起點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn)的向量坐標(biāo)表示法．平面向量的和、差、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算．

難點(diǎn)：起點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)表示．

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

(一)復(fù)習(xí)近平面向量的基本定理：

如果一向量、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任

＝λ

1，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ

1、λ2，使、λ

2．這里、表示這一平面內(nèi)的一組基底．平面向量的基本定理說明：同一平面內(nèi)任一向量都可沿兩個(gè)不共線的基底進(jìn)行分解．

(二)導(dǎo)入新課

1．平面向量的坐標(biāo)表示

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，由平面向量基本定理，對(duì)平面內(nèi)任一向量對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使

＝、，有且只有一

x＋y．我們把(x，y)叫向量

在y軸上的坐標(biāo)．的(直角)坐標(biāo)．其中x叫在x軸上的坐標(biāo)．y叫 ＝(x，y)叫向量的坐標(biāo)表示．

(1)目前我們已掌握了向量的三種表示方法：

表示法是向量的代數(shù)表示法，它有利于向量的運(yùn)算．

(2)根據(jù)向量可以平移的觀點(diǎn)，平面內(nèi)與向量相等的向量的坐標(biāo)也為(x，y)．

(3)顯然： ＝(1，0)，＝(0，1)，＝(0，0)．

(4)在坐標(biāo)平面內(nèi)設(shè)＝x＋y，向量的坐標(biāo)為(x，y)，這就是點(diǎn)A的坐標(biāo)，反過來點(diǎn)A的坐標(biāo)(x，y)就是向量的坐標(biāo)．因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)唯一表示．

(5)設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(x2，y2)

2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(Ⅰ)向量的加法：已知向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．兩向量的和：

＋＝(x1＋y1)＋(x2＋y2)

＝(x1＋x2)＋(y1＋y2)．

(Ⅱ)向量的減法：已知向量差：

＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．兩向量的 －＝(x1＋y1)－(x2＋y2)

＝(x1－x2)＋(y1－y2)．

＝(x，y)和實(shí)數(shù)λ．

(Ⅲ)實(shí)數(shù)與向量的積：已知向量

λ＝λ(x＋y)＝λx，λy．

(1)兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．

(2)根據(jù)向量差的坐標(biāo)運(yùn)算，我們可以得到起點(diǎn)不是原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)表示．

設(shè)A點(diǎn)(x1，y1)，B點(diǎn)(x2，y2)．

求向量的坐標(biāo)．

作向量、． ＝－．即＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．

由此得到：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)．

(三)學(xué)生課堂練習(xí)(黑板板演，加課堂練習(xí))

1．課本練習(xí)3．已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求、的坐標(biāo)．

(1)＝(3，4)，＝(－3，－4)．(2)＝(9，－1)，＝(－9，1)．

(3)5，0)．

2．課本練習(xí)1

(1)+＝(3，6)，－=(7，－5)

－

=(－7，2)．(2)

+

=(1，11)，＝(0，2)，＝(0，－2)．(4)

＝(5，0)，＝(－

(3)+＝(0，0)，－＝(3，－4)．

3．課本練習(xí)2 －

24．課本練習(xí)4

∴ AB∥CD．

+

4＝(4，6)．(4)+=(3，4)，－

＝(－6，－8)，4+3＝(12，5)．

＝

．

＝(1，－1)，＝(1，－1)，(四)教師講解例題，鞏固提高

例1 已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(－2，1)，(－1，3)，(3，4)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

分析：平行四邊形ABCD中，＝

．由此來確定D點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)．

＝(1，2)，＝(3－x，4－y)．

由＝．(1,2)＝(3－x，4－y)．

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)．

例2 已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)，D(－2，3)，以為一組基底來表示

分析：向量＋＋＝λ

＋

1、＋＋+λ

2＋． 的坐標(biāo)可求出，、的坐標(biāo)可求出．設(shè)

．可求出λ

1、λ2．

＝(－4，2)，＝(－5，1)．

解： ＋ ＝(－3，5)，＋

＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8)．

＝(2，4)． ＝(1，3)，＋＋＝λ

1＋λ

2，(－12，8)＝λ1(1，3)＋λ2(2，4)＝(λ1＋2λ2，3λ1＋4λ2)．

∴ ＋

＋

＝

32－22

．

(五)小結(jié)：教師總結(jié)重點(diǎn)內(nèi)容

1．向量的坐標(biāo)表示

＝(x，y)．

2．起點(diǎn)不是原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)求法，A(xA，yA)，B(xB，yB)，(xB－xA，yB－yA)．

＝

一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)．

3．向量的坐標(biāo)運(yùn)算

＋

＝(x1，y1)，－

＝(x2，y2)．

＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(λx1，λy1)．

(x1－x2，y1－y2)．

λ·

(六)作業(yè)習(xí)題5．4 1、2、3、4、5．

第三篇：平面構(gòu)成的點(diǎn).線.面 2課時(shí)

教案設(shè)計(jì)

平面構(gòu)成的點(diǎn).線.面 2課時(shí)

主講人:黃錦芳

一．教學(xué)目標(biāo)

認(rèn)知：理解平面構(gòu)成的概念、意義、用途及方法。

操作：按平面構(gòu)成的要求設(shè)計(jì)一種構(gòu)成練習(xí)。

情感：體會(huì)平面構(gòu)成的形式美、秩序美。

創(chuàng)造：設(shè)計(jì)出具有個(gè)性的基本形和構(gòu)成形式。

二．教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

l．重點(diǎn)： 主要掌握點(diǎn).線.面的性格特征和構(gòu)成形式的設(shè)計(jì)。

2．難點(diǎn)： 如何啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用創(chuàng)造性思維，進(jìn)行平面構(gòu)成的設(shè)計(jì)

三．達(dá)標(biāo)規(guī)程

構(gòu)成概念;造型元素;基本形態(tài);性格特征 綜合構(gòu)成

四.教學(xué)方法

舉例法 對(duì)比感受法 實(shí)踐操作法

五.教學(xué)準(zhǔn)備

師：1．收集平面構(gòu)成在生活中的應(yīng)用實(shí)例、實(shí)物、以前學(xué)生的優(yōu)秀作

2．繪制平面構(gòu)成范畫

3．繪制自然界有關(guān)生物體的綜合構(gòu)成

生：1．收集生活中點(diǎn).線.面的實(shí)例.2．準(zhǔn)備鉛筆、圓規(guī)、三角尺。

六.教材分析

本節(jié)課是為學(xué)生學(xué)習(xí)和體會(huì)造型元素規(guī)律而設(shè)置的，是一種形式美感的訓(xùn)練，設(shè) 計(jì)才能的訓(xùn)練，讓學(xué)生體會(huì)平面構(gòu)成的美感。

七．教學(xué)指向

認(rèn)識(shí)——練習(xí)——欣賞——綜合練習(xí)

八.教學(xué)過程

(一)導(dǎo)入新課（5分鐘）

根據(jù)唐詩“大漠孤煙直，長河落日?qǐng)A?！弊寣W(xué)生展開想象，抽幾位學(xué)生上黑板，用點(diǎn)、線、面概括地表現(xiàn)景色。

教師總結(jié)：這種用點(diǎn)、線、面抽象形態(tài)構(gòu)成的圖形就叫平面構(gòu)成。(二)實(shí)踐操作:（5分鐘）

利用同學(xué)剛才設(shè)計(jì)的平面構(gòu)成進(jìn)行點(diǎn)評(píng),修改成一幅具有特色的平面構(gòu)成作品,并且引導(dǎo)同學(xué)對(duì)造型元素的關(guān)注!師:我們剛才的作品中,同學(xué)們找出下看看有什么形狀!生:不規(guī)則形.線..曲線.三角形.菱形等)師:是的,剛才我們運(yùn)用很多形體,用平面構(gòu)成元素說就是點(diǎn).線.面.構(gòu)成了一幅理想的作品.主要是對(duì)他們的特征進(jìn)行了解剖,才能表現(xiàn)如此生動(dòng)熟!即使是一條線.一個(gè)點(diǎn).同學(xué)們想不想也能擁有如此高超的技巧呢?讓我們一起來學(xué)習(xí)造型元素吧!(三)造型元素(點(diǎn).線.面)(板書)1.點(diǎn)（23分鐘）.1點(diǎn)的形態(tài)

(1)分為有規(guī)則形(圓點(diǎn).方形點(diǎn).長方形點(diǎn).橢圓形等)(2)無規(guī)則形(不受幾何形體的約束)1.2點(diǎn)在生活中的運(yùn)用(乒乓球.珠子.籃球.眼睛.嘴巴.月亮等)1.3點(diǎn)的構(gòu)成

把同學(xué)分成四大組,讓同學(xué)們討論以下幾張圖片,給我們的感受怎樣,并且派代表說出他們的組織形式!看哪一組表達(dá)得最到位!(1)

(2)(3)

(4)

(5)

(6)

解說備注:(1)不同大小、疏密的混合排列，使之成為一種散點(diǎn)式的構(gòu)成形式 ,具有自由活潑的特性.(2)將大小一致的點(diǎn)按一定的方向進(jìn)行有規(guī)律的排列，給人的視覺留下一種由點(diǎn) 的移動(dòng)而產(chǎn)生線化的感覺。給人穩(wěn)定.嚴(yán)肅的視覺感覺

(3)以由大到小的點(diǎn)按一定的軌跡、方向進(jìn)行變化,使之產(chǎn)生一種優(yōu)美的韻律感。(4)把點(diǎn)以大小不同的形式,既密集、又分散的進(jìn)行有目的的排列,產(chǎn)生點(diǎn)的面化感覺。

(5)將大小一致的點(diǎn)以相對(duì)的方向,逐漸重合,產(chǎn)生微妙的動(dòng)態(tài)視覺。(6)不規(guī)則點(diǎn)的視覺效果。1.3 學(xué)生練習(xí):

除了上面點(diǎn)的組織形態(tài),同學(xué)們是不是還能組織其他視覺不一樣的效果呢!總結(jié): 通過我們對(duì)他們的圖片分析,點(diǎn)的練習(xí),了解到了由點(diǎn)組合的作品具有靜態(tài)感.動(dòng)態(tài)感.線感.面感.遠(yuǎn)近感.縮漲感,視覺錯(cuò)誤感等,合理的運(yùn)用點(diǎn)的構(gòu)成,能豐富點(diǎn)的藝術(shù)語言!2.線(重點(diǎn))(板書)（27分鐘）線定義—線是點(diǎn)的動(dòng)軌跡所形成的.(板書)從生活中舉例說明:1.雨滴快速落下

2.運(yùn)動(dòng)的乒乓球

3.投籃的軌跡

4.學(xué)生隊(duì)伍

(由學(xué)生隊(duì)伍的變化直線,曲線.垂直線.斜線等引入到線的變化)2.1線的形態(tài)(板書)(1)直線(水平線.垂直線.斜線.折線等)(2)曲線(圓線.拋物線.雙曲線.弧線等)2.2線的性格特征:

(播放幾種音樂片段讓學(xué)生體會(huì)其中韻律,并且用線來表達(dá).)學(xué)生活動(dòng)(略)教師講解: 1.2.3.4.5.6.水平線

:平靜.力量.開闊.堅(jiān)定.穩(wěn)定等 垂直線

:莊重.肅穆.挺立.向上等 斜線

:不安定.危險(xiǎn).動(dòng)蕩等 折線

:起伏.焦躁.動(dòng)蕩等 曲線

:動(dòng)感.彈力.柔等

自由曲線:自然流動(dòng).隨意輕快.輕盈等 總結(jié):每一種線都有它自己獨(dú)特的性格特征,合理的運(yùn)用它特征給我們生活帶來意想不到的驚喜!2.3線的生活運(yùn)用:(板書)老師出題,學(xué)生回答

1.胖的人應(yīng)該穿橫條紋的衣服還是豎條紋的衣服.2.方形臉的女人應(yīng)該作直發(fā)還是卷發(fā),男人呢? 3.如果用圓形和三角形和方形來表現(xiàn)男人和女人你會(huì)選擇哪個(gè)? 2.4線的構(gòu)成

師:擺出幾種直線,讓同學(xué)想像延伸,自己構(gòu)成.(提示:寬度.等距.疏密等)然后得出總結(jié):(1)線排列（等距的密集排列）嚴(yán)肅整潔視覺效果

(2)疏密變化的線（按不同距離排列）透視空間的視覺效果(3)粗細(xì)變化空間,虛實(shí)空間的視覺效果

(4)錯(cuò)覺化的線（將原來較為規(guī)范的線條 排列作一些切換變化）(5)立體化的線

(6)不規(guī)則的線

總結(jié):合理的運(yùn)用線的特性和構(gòu)成能豐富構(gòu)成的視覺效果.3.面

(板書)（20分鐘）3.1面的定義:面是線移動(dòng)的軌跡.3.2面的形態(tài)

(板書)(1)幾何形的面，表現(xiàn)規(guī)則、平穩(wěn)、較為理性的視覺效果

(2)自然形的面，不同外形的物體以面的 形式出現(xiàn)后，給人以更為生動(dòng)、厚實(shí)的 視覺效果(3)徒手的面

(4)有機(jī)形的面，得出柔和、自然、抽象的面的形態(tài)(5)偶然形的面，自由、活潑而富有 哲理性(6)人造形的面，較為理性的人文特點(diǎn) 3.3面的構(gòu)成

教師:讓同學(xué)回憶,方才我們所學(xué)的知識(shí)能不能構(gòu)成面?又有那些呢? 學(xué)生:能.他有以下幾種(1)點(diǎn)的面化

(相對(duì)論)(2).線的面化.密集排列.縱橫交錯(cuò).(相對(duì)論)(3).實(shí)面與虛面.4.點(diǎn).線.面的綜合構(gòu)成定義

(板書)（4分鐘）

5．欣賞作品（情感表達(dá) 形式表現(xiàn) 故事背景）

（6分鐘）

（延伸課題）練習(xí)布置: 點(diǎn).線.面綜合構(gòu)成作業(yè)兩張.分別已”寧靜”,”喧鬧”為內(nèi)容.要求:1.規(guī)格:20CM*20CM

2.注意形的長短.位置.方向.數(shù)量.明暗.空間等因素

6．總結(jié)：通過對(duì)平面設(shè)計(jì)點(diǎn) 線 面設(shè)計(jì)造型元素的學(xué)習(xí)，同學(xué)們掌握了一定的知識(shí)和造型元素的個(gè)性特征，能比較靈活處理整與局部的關(guān)系！為今后的構(gòu)成學(xué)習(xí)奠基了基礎(chǔ)！九．學(xué)生練習(xí)，教師輔導(dǎo)。十．達(dá)標(biāo)測評(píng)和小結(jié)

概括本課內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)點(diǎn) 線 面的個(gè)性特征，挑選一部分作品作展示，邀請(qǐng)兩名學(xué)生互評(píng)，然后教師講評(píng)。

十一．板書設(shè)計(jì)

(三)造型元素(點(diǎn).線.面)1.點(diǎn).1點(diǎn)的形態(tài) 1.2點(diǎn)在生活中的運(yùn)用 1.3點(diǎn)的構(gòu)成 1.3 學(xué)生練習(xí): 2.線

2.1線的形態(tài) 2.2線的性格特征: 2.3線的生活運(yùn)用 2.4線的構(gòu)成

3.面

3.1面的定義:面是線移動(dòng)的軌跡.3.2面的形態(tài) 3.3面的構(gòu)成

4.點(diǎn).線.面的綜合構(gòu)成定義 5．欣賞作品（延伸課題）

第四篇：平面向量的坐標(biāo)表示教案范文

平面向量共線的坐標(biāo)表示

教學(xué)目的：

（1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念；（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；

（3）會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性 授課類型：新授課 教具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入： 1．平面向量的坐標(biāo)表示

分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量、j作為基底.任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得a?xi?yj

把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a?(x,y)

其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y).若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?

二、講解新課：

???a∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0

????設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)其中b?a.??x1??x2?由a=λb得，(x1，y1)=λ(x2，y2)??消去λ，x1y2-x2y1=0

y??y2?1?探究：（1）消去λ時(shí)不能兩式相除，∵y1，y2有可能為0，∵b?0∴x2，y2中至少有一個(gè)不為0（2）充要條件不能寫成y1y2∵x1，x2有可能為0 ?x1x2??(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：a∥b ?(b?0)?a??b

x1y2?x2y1?0

三、講解范例：

????例1已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.例3設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2).(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).??例4若向量a=(-1，x)與b=(-x，2)共線且方向相同，求x

??解：∵a=(-1，x)與b=(-x，2)共線∴(-1)×2-x?(-x)=0 ??a∴x=±2∵與b方向相同∴x=2

例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB與CD平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？

解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD=(2-1，7-5)=(1，2)又∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又∵AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2，4)，2×4-2×6?0 ∴AC與AB不平行

∴A，B，C不共線∴AB與CD不重合∴AB∥CD

四、課堂練習(xí)：

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（）A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點(diǎn)共線，則x的值為（）

A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).AB與DC共線，則x、y的值可能分別為（）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，則y=.5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為.6.已知□ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x=.五、小結(jié)

第五篇：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 教案

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 教案

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能：

掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；

2、過程與方法：

通過對(duì)共線向量坐標(biāo)關(guān)系的探究，提高分析問題、解決問題的能力。3情感態(tài)度與價(jià)值觀：

學(xué)會(huì)用坐標(biāo)進(jìn)行向量的相關(guān)運(yùn)算，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。

教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確.三、教學(xué)設(shè)想

（一）導(dǎo)入新課

思路1.向量具有代數(shù)特征,與平面直角坐標(biāo)系緊密相聯(lián).那么我們在學(xué)習(xí)直線和圓的方程以及點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系時(shí),直線與直線的平行是一種重要的關(guān)系.關(guān)于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同時(shí)為零)何時(shí)所體現(xiàn)的兩條直線平行？向量的共線用代數(shù)運(yùn)算如何體現(xiàn)？

思路2.對(duì)于平面內(nèi)的任意向量a,過定點(diǎn)O作向量OA=a,則點(diǎn)A的位置被向量a的大小和方向所唯一確定.如果以定點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,那么點(diǎn)A的位置可通過其坐標(biāo)來反映,從而向量a也可以用坐標(biāo)來表示,這樣我就可以通過坐標(biāo)來研究向量問題了.事實(shí)上,向量的坐標(biāo)表示,實(shí)際是向量的代數(shù)表示.引入向量的坐標(biāo)表示可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來,這就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算.引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后,向量的線性運(yùn)算可以通過坐標(biāo)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn),那么向量的平行、垂直,是否也能通過坐標(biāo)來研究呢？

（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題

①我們研究了平面向量的坐標(biāo)表示,現(xiàn)在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐標(biāo)表示嗎? ②如圖1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎樣表示AB的坐標(biāo)？你能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為(x2-x1,y2-y1)的P點(diǎn)嗎?標(biāo)出點(diǎn)P后,你能總結(jié)出什么結(jié)論? 活動(dòng):教師讓學(xué)生通過向量的坐標(biāo)表示來進(jìn)行兩個(gè)向量的加、減運(yùn)算,教師可以讓學(xué)生到黑板去板書步驟.可得:

圖1 a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j, 即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).教師和學(xué)生一起總結(jié),把上述結(jié)論用文字?jǐn)⑹龇謩e為: 兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差);實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).教師再引導(dǎo)學(xué)生找出點(diǎn)與向量的關(guān)系:將向量AB平移,使得點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,則平移后的B點(diǎn)位置就是P點(diǎn).向量AB的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為始點(diǎn),點(diǎn)P為終點(diǎn)的向量坐標(biāo)是相同的,這樣就建立了向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系.學(xué)生通過平移也可以發(fā)現(xiàn):向量AB的模與向量OP的模是相等的.由此,我們可以得出平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式: |AB|=|OP|=(x1?x2)2?(y1?y2)2.教師對(duì)總結(jié)完全的同學(xué)進(jìn)行表揚(yáng),并鼓勵(lì)學(xué)生,只要善于開動(dòng)腦筋,勇于創(chuàng)新,展開思維的翅膀,就一定能獲得意想不到的收獲.討論結(jié)果:①能.②AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).結(jié)論:一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).提出問題

①如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)共線向量? ②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么

y1y?2是向量a、b共線的什么條件? x1x2活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生類比直線平行的特點(diǎn)來推導(dǎo)向量共線時(shí)的關(guān)系.此處教師要對(duì)探究困難的學(xué)生給以必要的點(diǎn)撥:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.我們知道,a、b共線,當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.如果用坐標(biāo)表示,可寫為(x1,y1)=λ(x2,y2), ??x??x2,即?1消去λ后得x1y2-x2y1=0.??y1??y2.這就是說,當(dāng)且僅當(dāng)x1y2-x2y1=0時(shí)向量a、b(b≠0)共線.又我們知道x1y2-x2y1=0與x1y2=x2y1是等價(jià)的,但這與

y1y?2是不等價(jià)的.因x1x2為當(dāng)x1=x2=0時(shí),x1y2-x2y1=0成立,但

y1yyy?2均無意義.因此1?2是向量a、bx1x2x1x2共線的充分不必要條件.由此也看出向量的應(yīng)用更具一般性,更簡捷、實(shí)用,讓學(xué)生仔細(xì)體會(huì)這點(diǎn).討論結(jié)果:①x1y2-x2y1=0時(shí),向量a、b(b≠0)共線.②充分不必要條件.提出問題

a與非零向量b為共線向量的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ使得a=λb, 那么這個(gè)充要條件如何用坐標(biāo)來表示呢？

活動(dòng):教師引導(dǎo)推證:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠a，??x1??x2,由a=λb,(x1,y1)=λ(x2,y2)??消去λ,得x1y2-x2y1=0.??y1??y2.討論結(jié)果:a∥b(b≠0)的充要條件是x1y2-x2y1=0.教師應(yīng)向?qū)W生特別提醒感悟: 1°消去λ時(shí)不能兩式相除,∵y1、y2有可能為0,而b≠0,∴x2、y2中至少有一個(gè)不為0.2°充要條件不能寫成y1y?2(∵x1、x2有可能為0).x1x2?a??b3°從而向量共線的充要條件有兩種形式:a∥b(b≠0)??

?x1y2?x2y1?0.（三）應(yīng)用示例

思路1 例1 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐標(biāo).活動(dòng):本例是向量代數(shù)運(yùn)算的簡單應(yīng)用,讓學(xué)生根據(jù)向量的線性運(yùn)算進(jìn)行向量的和、差及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算,再根據(jù)向量的線性運(yùn)算律和向量的坐標(biāo)概念得出的結(jié)論.若已知表示向量的有向線段的始點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo),那么終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)就是此向量的坐標(biāo),從而使得向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)可以相互轉(zhuǎn)化.可由學(xué)生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).點(diǎn)評(píng):本例是平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的常規(guī)題,目的是熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式.變式訓(xùn)練

131.(2007海南高考,4)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),則向量a?b

22等于()A.(-2,-1)

B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D 2.(2007全國高考,3)已知向量a=(-5,6),b=(6,5),則a與b?()

A.垂直

B.不垂直也不平行

C.平行且同向 D.平行且反向

答案:A 3

圖2 例2 如圖2,已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).活動(dòng):本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.這里給出了兩種解法:解法一利用“兩個(gè)向量相等,則它們的坐標(biāo)相等”,解題過程中應(yīng)用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四邊形法則求得向量OD的坐標(biāo),進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo).解題過程中,關(guān)鍵是充分利用圖形中各線段的位置關(guān)系(主要是平行關(guān)系),數(shù)形結(jié)合地思考,將頂點(diǎn)D的坐標(biāo)表示為已知點(diǎn)的坐標(biāo).解:方法一:如圖2,設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y).∵AB=(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC=(3-x,4-y).由AB=DC,得?1?3?x,(1,2)=(3-x,4-y).∴?

2?4?x.??x?2,∴? ?y?2.∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).方法二:如圖2,由向量加法的平行四邊形法則,可知

BD?BA?AD?BA?BC=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1), 而OD=OB+BD=(-1,3)+(3,-1)=(2,2), ∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).點(diǎn)評(píng):本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.變式訓(xùn)練

圖3 如圖3,已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn).解:當(dāng)平行四邊形為ABCD時(shí),仿例二得:D1=(2,2);當(dāng)平行四邊形為ACDB時(shí),仿例二得:D2=(4,6);當(dāng)平行四邊形為DACB時(shí),仿上得:D3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),試判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的共線來判斷.首先要探究三個(gè)點(diǎn)組合成兩個(gè)向量,然后根據(jù)兩個(gè)向量共線的充要條件來判斷這兩個(gè)向量是否共線從而來判斷這三點(diǎn)是否共線.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解并熟練地運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)形式來判斷向量之間的關(guān)系.讓學(xué)生通過觀察圖象領(lǐng)悟先猜后證的思維方式.解:在平面直角坐標(biāo)系中作出A、B、C三點(diǎn),觀察圖形,我們猜想A、B、C三點(diǎn)共線.下面給出證明.∵AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC=(2-(-1),5-(-1))=(3,6), 又2×6-3×4=0,∴AB∥AC,且直線AB、直線AC有公共點(diǎn)A, ∴A、B、C三點(diǎn)共線.點(diǎn)評(píng):本例的解答給出了判斷三點(diǎn)共線的一種常用方法,其實(shí)質(zhì)是從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量共線,則這兩個(gè)向量的三個(gè)頂點(diǎn)共線.這是從平面幾何中判斷三點(diǎn)共線的方法移植過來的.變式訓(xùn)練

已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y. 解:∵a∥b,∴4y-2×6=0.∴y=3.思路2

例2 設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn),P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1,y1)、(x2,y2).(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).活動(dòng):教師充分讓學(xué)生思考,并提出這一結(jié)論可以推廣嗎?即當(dāng)

P1P=λPP2時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么?師生共同討論,一起探究,可按照求中點(diǎn)坐標(biāo)的解題思路類比推廣,有學(xué)生可能提出如下推理方法: 由P1P=λPP2,知(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y)，?x1??x2x?,???x?x1??(x2?x)?1??即? ????y?y1??(y2?y)?y?y1??y2.?1???這就是線段的定比分點(diǎn)公式,教師要給予充分肯定,鼓勵(lì)學(xué)生的這種積極探索,這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要品質(zhì).時(shí)間允許的話,可以探索λ的取值符號(hào)對(duì)P點(diǎn)位置的影響,也可鼓勵(lì)學(xué)生課后探索.圖4 解:(1)如圖4,由向量的線性運(yùn)算可知

x?x2y1?y21,.).OP=(OP1+OP2)=(1222所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x1?x2y1?y2,.)22(2)如圖5,當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí),有兩種情況,即

P1P1=或PP22P1P=2.PP2如果P1P1=,那么 PP22

圖5 PP=OPOP=OP1+11+

1P1P2 31=OP+(OP12-OP1)312=OP+OP12 33=(2x1?x22y1?y2,).332x1?x22y1?y2,).33即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(同理,如果

x?2x2y1?2y2P1P,.=2,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是133PP2點(diǎn)評(píng):本例實(shí)際上給出了線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式和線段的三等分點(diǎn)坐標(biāo)公式.變式訓(xùn)練

在△ABC中,已知點(diǎn)A(3,7)、B(-2,5).若線段AC、BC的中點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上,求點(diǎn)C的坐標(biāo).解:(1)若AC的中點(diǎn)在y軸上,則BC的中點(diǎn)在x軸上, 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得

3?xy?5?0,?0, 22∴x=-3,y=-5, 即C點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-5).(2)若AC的中點(diǎn)在x軸上,則BC的中點(diǎn)在y軸上,則同理可得C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-7).綜合(1)(2),知C點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-5)或(2,-7).例2 已知點(diǎn)A(1,2),B(4,5),O為坐標(biāo)原點(diǎn),OP=OA+tAB.若點(diǎn)P在第二象限,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的相等,把已知條件轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程(組)或不等式(組)再進(jìn)行求解.教師以提問的方式來了解學(xué)生組織步驟的能力,或者讓學(xué)生到黑板上去板書解題過程,并對(duì)思路清晰過程正確的同學(xué)進(jìn)行表揚(yáng),同時(shí)也要對(duì)組織步驟不完全的同學(xué)給與提示和鼓勵(lì).教師要讓學(xué)生明白“化歸”思想的利用.不等式求變量取值范圍的基本觀點(diǎn)是,將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的不等式(組),那么變量的取值范圍就是這個(gè)不等式(組)的解集.解:由已知AB=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).?3t?1?021若點(diǎn)P在第二象限,則????t??

33?3t?2?021,?).33點(diǎn)評(píng):此題通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算,將點(diǎn)P的坐標(biāo)用t表示,由點(diǎn)P在第二象限可得到一個(gè)關(guān)于t的不等式組,這個(gè)不等式組的解集就是t的取值范圍.變式訓(xùn)練 故t的取值范圍是(?已知OA=(cosθ,sinθ),OB=(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求|AB|的取值范圍.解:∵AB=OB-OA=(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ).∴|AB|=(1+sinθ-cosθ)+(1+cosθ-sinθ)=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cosθ)］2 =2+2(sinθ-cosθ)2 =2+2(1-2sinθcosθ)=4-4sinθcosθ=4-2sin2θ.∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.從而-1≤sin2θ≤1.∴4-2sin2θ∈［2,6］.故|AB|的取值范圍是［2,6］.222 7

（四）課堂小結(jié)

1.先由學(xué)生回顧本節(jié)都學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)知識(shí):平面向量的和、差、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算,兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示.2.教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法,定義法、歸納、整理、概括的思想,強(qiáng)調(diào)在今后的學(xué)習(xí)中,要善于培養(yǎng)自己不斷探索、善于發(fā)現(xiàn)、勇于創(chuàng)新的科學(xué)態(tài)度和求實(shí)開拓的精神,為將來的發(fā)展打下良好基礎(chǔ).（五）作業(yè)