第一篇：2012年高中數(shù)學重點中學 第7課時平面向量的坐標運算教案 湘教版必修2

平面向量的坐標運算（2）

教學目的：

（1）理解平面向量的坐標的概念；（2）掌握平面向量的坐標運算；

（3）會根據(jù)向量的坐標，判斷向量是否共線 教學重點：平面向量的坐標運算

教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確性 授課類型：新授課 課時安排：1課時

教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程：

一、復(fù)習引入：

1向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法

向量加法的三角形法則和平行四邊形法則 2．向量加法的交換律：a+b=b+a

3．向量加法的結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)4．向量的減法向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差即：a ? b = a +(?b)5．差向量的意義： OA= a, OB= b, 則BA= a ? b

即a ? b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量 6．實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作：λ（1）|λ=0時λ

???????（2）λ>0時λa與a方向相同；λ<0時λa與a方向相反；λa|=|λ||a|；

?a

?a=0

?????????7．運算定律 λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb ???8． 向量共線定理 向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使b=?λa

9．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使a=λ??

1e1+λ2e2

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量ａ在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)量 10平面向量的坐標表示

于直線CD嗎？

解：∵AB=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4), CD=(2-1,7-5)=(1,2)又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又 ∵ AC=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6)AB=(2, 4)2×4-2×6?0 ∴AC與AB不平行

∴A，B，C不共線 ∴AB與CD不重合 ∴AB∥CD

四、課堂練習：

1若a=(2,3),b=(4,-1+y)，且a∥b，則y=（）

A6 B5 C7 D8 2若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三點共線，則x的值為（） A-3 B-1 C1 D3 3若AB=i+2j, DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量)AB與DC共線，則x、y的值可能分別為（）

 A1，2 B2，2 C3，2 D2，4 4已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b，則y= 5已知a=(1,2),b=(x,1),若a+2b與2a-b平行,則x的值為

6已知□ABCD四個頂點的坐標為A(5，7)，B(3,x),C(2,3),D(4,x)，則x= 參考答案：1C 2B 3B 4 3 5 6 5

2五、小結(jié) 向量平行的充要條件（坐標表示）

六、課后作業(yè)：

1若a=(x１,y１)，b=(x２，y２)，且a∥b,則坐標滿足的條件為（） Ax１x２－ｙ１ｙ２＝０ Bｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝０ Cｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝０ Dｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０ 2設(shè)a=(31，sinα)，b=(ｃｏｓα，)，且a∥b，則銳角α為（）23A30° B60° C45° D75°

3設(shè)k∈Ｒ，下列向量中，與向量a=(1,-1)一定不平行的向量是（） A(k,k)B(-k,-k)２２２２C(k＋１，ｋ＋１)D（ｋ－１，ｋ－１）4若A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三點共線，則x= 5已知a=(3,2),b=(2,-1),若λa+b與a+λb（λ∈Ｒ）平行，則λ＝ 6若a=(-1,x)與b=(-x,2)共線且方向相同，則x= 7已知a=(1,2),b=(-3,2)，當k為何值時ka+b與a-3b平行?

8已知A、B、C、D四點坐標分別為A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2)，試證明：四邊形ABCD是梯形

9已知A、B、C三點坐標分別為(-1,0)、(3，-1)、(1，2)，AE=

11AC,BF?BC,求證：EF33-34-

第二篇：平面向量的坐標運算 教案

平面向量的坐標運算 教案

一、教學目標

1、知識與技能：

掌握平面向量的坐標運算；

2、過程與方法：

通過對共線向量坐標關(guān)系的探究，提高分析問題、解決問題的能力。3情感態(tài)度與價值觀：

學會用坐標進行向量的相關(guān)運算，理解數(shù)學內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系。

二、教學重點與難點

教學重點：平面向量的坐標運算。

教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確.三、教學設(shè)想

（一）導(dǎo)入新課

思路1.向量具有代數(shù)特征,與平面直角坐標系緊密相聯(lián).那么我們在學習直線和圓的方程以及點、直線、平面之間的位置關(guān)系時,直線與直線的平行是一種重要的關(guān)系.關(guān)于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同時為零)何時所體現(xiàn)的兩條直線平行？向量的共線用代數(shù)運算如何體現(xiàn)？

思路2.對于平面內(nèi)的任意向量a,過定點O作向量OA=a,則點A的位置被向量a的大小和方向所唯一確定.如果以定點O為原點建立平面直角坐標系,那么點A的位置可通過其坐標來反映,從而向量a也可以用坐標來表示,這樣我就可以通過坐標來研究向量問題了.事實上,向量的坐標表示,實際是向量的代數(shù)表示.引入向量的坐標表示可使向量運算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來,這就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學生熟知的數(shù)量運算.引進向量的坐標表示后,向量的線性運算可以通過坐標運算來實現(xiàn),那么向量的平行、垂直,是否也能通過坐標來研究呢？

（二）推進新課、新知探究、提出問題

①我們研究了平面向量的坐標表示,現(xiàn)在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐標表示嗎? ②如圖1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎樣表示AB的坐標？你能在圖中標出坐標為(x2-x1,y2-y1)的P點嗎?標出點P后,你能總結(jié)出什么結(jié)論? 活動:教師讓學生通過向量的坐標表示來進行兩個向量的加、減運算,教師可以讓學生到黑板去板書步驟.可得:

圖1 a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j, 即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).教師和學生一起總結(jié),把上述結(jié)論用文字敘述分別為: 兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和(差);實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標.教師再引導(dǎo)學生找出點與向量的關(guān)系:將向量AB平移,使得點A與坐標原點O重合,則平移后的B點位置就是P點.向量AB的坐標與以原點為始點,點P為終點的向量坐標是相同的,這樣就建立了向量的坐標與點的坐標之間的聯(lián)系.學生通過平移也可以發(fā)現(xiàn):向量AB的模與向量OP的模是相等的.由此,我們可以得出平面內(nèi)兩點間的距離公式: |AB|=|OP|=(x1?x2)2?(y1?y2)2.教師對總結(jié)完全的同學進行表揚,并鼓勵學生,只要善于開動腦筋,勇于創(chuàng)新,展開思維的翅膀,就一定能獲得意想不到的收獲.討論結(jié)果:①能.②AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).結(jié)論:一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標.提出問題

①如何用坐標表示兩個共線向量? ②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么

y1y?2是向量a、b共線的什么條件? x1x2活動:教師引導(dǎo)學生類比直線平行的特點來推導(dǎo)向量共線時的關(guān)系.此處教師要對探究困難的學生給以必要的點撥:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.我們知道,a、b共線,當且僅當存在實數(shù)λ,使a=λb.如果用坐標表示,可寫為(x1,y1)=λ(x2,y2), ??x??x2,即?1消去λ后得x1y2-x2y1=0.??y1??y2.這就是說,當且僅當x1y2-x2y1=0時向量a、b(b≠0)共線.又我們知道x1y2-x2y1=0與x1y2=x2y1是等價的,但這與

y1y?2是不等價的.因x1x2為當x1=x2=0時,x1y2-x2y1=0成立,但

y1yyy?2均無意義.因此1?2是向量a、bx1x2x1x2共線的充分不必要條件.由此也看出向量的應(yīng)用更具一般性,更簡捷、實用,讓學生仔細體會這點.討論結(jié)果:①x1y2-x2y1=0時,向量a、b(b≠0)共線.②充分不必要條件.提出問題

a與非零向量b為共線向量的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ使得a=λb, 那么這個充要條件如何用坐標來表示呢？

活動:教師引導(dǎo)推證:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠a，??x1??x2,由a=λb,(x1,y1)=λ(x2,y2)??消去λ,得x1y2-x2y1=0.??y1??y2.討論結(jié)果:a∥b(b≠0)的充要條件是x1y2-x2y1=0.教師應(yīng)向?qū)W生特別提醒感悟: 1°消去λ時不能兩式相除,∵y1、y2有可能為0,而b≠0,∴x2、y2中至少有一個不為0.2°充要條件不能寫成y1y?2(∵x1、x2有可能為0).x1x2?a??b3°從而向量共線的充要條件有兩種形式:a∥b(b≠0)??

?x1y2?x2y1?0.（三）應(yīng)用示例

思路1 例1 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐標.活動:本例是向量代數(shù)運算的簡單應(yīng)用,讓學生根據(jù)向量的線性運算進行向量的和、差及數(shù)乘的坐標運算,再根據(jù)向量的線性運算律和向量的坐標概念得出的結(jié)論.若已知表示向量的有向線段的始點和終點坐標,那么終點的坐標減去始點的坐標就是此向量的坐標,從而使得向量的坐標與點的坐標可以相互轉(zhuǎn)化.可由學生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).點評:本例是平面向量坐標運算的常規(guī)題,目的是熟悉平面向量的坐標運算公式.變式訓(xùn)練

131.(2007海南高考,4)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),則向量a?b

22等于()A.(-2,-1)

B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D 2.(2007全國高考,3)已知向量a=(-5,6),b=(6,5),則a與b?()

A.垂直

B.不垂直也不平行

C.平行且同向 D.平行且反向

答案:A 3

圖2 例2 如圖2,已知ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),試求頂點D的坐標.活動:本例的目的仍然是讓學生熟悉平面向量的坐標運算.這里給出了兩種解法:解法一利用“兩個向量相等,則它們的坐標相等”,解題過程中應(yīng)用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四邊形法則求得向量OD的坐標,進而得到點D的坐標.解題過程中,關(guān)鍵是充分利用圖形中各線段的位置關(guān)系(主要是平行關(guān)系),數(shù)形結(jié)合地思考,將頂點D的坐標表示為已知點的坐標.解:方法一:如圖2,設(shè)頂點D的坐標為(x,y).∵AB=(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC=(3-x,4-y).由AB=DC,得?1?3?x,(1,2)=(3-x,4-y).∴?

2?4?x.??x?2,∴? ?y?2.∴頂點D的坐標為(2,2).方法二:如圖2,由向量加法的平行四邊形法則,可知

BD?BA?AD?BA?BC=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1), 而OD=OB+BD=(-1,3)+(3,-1)=(2,2), ∴頂點D的坐標為(2,2).點評:本例的目的仍然是讓學生熟悉平面向量的坐標運算.變式訓(xùn)練

圖3 如圖3,已知平面上三點的坐標分別為A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求點D的坐標使這四點構(gòu)成平行四邊形四個頂點.解:當平行四邊形為ABCD時,仿例二得:D1=(2,2);當平行四邊形為ACDB時,仿例二得:D2=(4,6);當平行四邊形為DACB時,仿上得:D3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),試判斷A、B、C三點之間的位置關(guān)系.活動:教師引導(dǎo)學生利用向量的共線來判斷.首先要探究三個點組合成兩個向量,然后根據(jù)兩個向量共線的充要條件來判斷這兩個向量是否共線從而來判斷這三點是否共線.教師引導(dǎo)學生進一步理解并熟練地運用向量共線的坐標形式來判斷向量之間的關(guān)系.讓學生通過觀察圖象領(lǐng)悟先猜后證的思維方式.解:在平面直角坐標系中作出A、B、C三點,觀察圖形,我們猜想A、B、C三點共線.下面給出證明.∵AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC=(2-(-1),5-(-1))=(3,6), 又2×6-3×4=0,∴AB∥AC,且直線AB、直線AC有公共點A, ∴A、B、C三點共線.點評:本例的解答給出了判斷三點共線的一種常用方法,其實質(zhì)是從同一點出發(fā)的兩個向量共線,則這兩個向量的三個頂點共線.這是從平面幾何中判斷三點共線的方法移植過來的.變式訓(xùn)練

已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y. 解:∵a∥b,∴4y-2×6=0.∴y=3.思路2

例2 設(shè)點P是線段P1P2上的一點,P1、P2的坐標分別是(x1,y1)、(x2,y2).(1)當點P是線段P1P2的中點時,求點P的坐標;(2)當點P是線段P1P2的一個三等分點時,求點P的坐標.活動:教師充分讓學生思考,并提出這一結(jié)論可以推廣嗎?即當

P1P=λPP2時,點P的坐標是什么?師生共同討論,一起探究,可按照求中點坐標的解題思路類比推廣,有學生可能提出如下推理方法: 由P1P=λPP2,知(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y)，?x1??x2x?,???x?x1??(x2?x)?1??即? ????y?y1??(y2?y)?y?y1??y2.?1???這就是線段的定比分點公式,教師要給予充分肯定,鼓勵學生的這種積極探索,這是學習數(shù)學的重要品質(zhì).時間允許的話,可以探索λ的取值符號對P點位置的影響,也可鼓勵學生課后探索.圖4 解:(1)如圖4,由向量的線性運算可知

x?x2y1?y21,.).OP=(OP1+OP2)=(1222所以點P的坐標是（x1?x2y1?y2,.)22(2)如圖5,當點P是線段P1P2的一個三等分點時,有兩種情況,即

P1P1=或PP22P1P=2.PP2如果P1P1=,那么 PP22

圖5 PP=OPOP=OP1+11+

1P1P2 31=OP+(OP12-OP1)312=OP+OP12 33=(2x1?x22y1?y2,).332x1?x22y1?y2,).33即點P的坐標是(同理,如果

x?2x2y1?2y2P1P,.=2,那么點P的坐標是133PP2點評:本例實際上給出了線段的中點坐標公式和線段的三等分點坐標公式.變式訓(xùn)練

在△ABC中,已知點A(3,7)、B(-2,5).若線段AC、BC的中點都在坐標軸上,求點C的坐標.解:(1)若AC的中點在y軸上,則BC的中點在x軸上, 設(shè)點C的坐標為(x,y),由中點坐標公式,得

3?xy?5?0,?0, 22∴x=-3,y=-5, 即C點坐標為(-3,-5).(2)若AC的中點在x軸上,則BC的中點在y軸上,則同理可得C點坐標為(2,-7).綜合(1)(2),知C點坐標為(-3,-5)或(2,-7).例2 已知點A(1,2),B(4,5),O為坐標原點,OP=OA+tAB.若點P在第二象限,求實數(shù)t的取值范圍.活動:教師引導(dǎo)學生利用向量的坐標運算以及向量的相等,把已知條件轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程(組)或不等式(組)再進行求解.教師以提問的方式來了解學生組織步驟的能力,或者讓學生到黑板上去板書解題過程,并對思路清晰過程正確的同學進行表揚,同時也要對組織步驟不完全的同學給與提示和鼓勵.教師要讓學生明白“化歸”思想的利用.不等式求變量取值范圍的基本觀點是,將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的不等式(組),那么變量的取值范圍就是這個不等式(組)的解集.解:由已知AB=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).?3t?1?021若點P在第二象限,則????t??

33?3t?2?021,?).33點評:此題通過向量的坐標運算,將點P的坐標用t表示,由點P在第二象限可得到一個關(guān)于t的不等式組,這個不等式組的解集就是t的取值范圍.變式訓(xùn)練 故t的取值范圍是(?已知OA=(cosθ,sinθ),OB=(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求|AB|的取值范圍.解:∵AB=OB-OA=(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ).∴|AB|=(1+sinθ-cosθ)+(1+cosθ-sinθ)=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cosθ)］2 =2+2(sinθ-cosθ)2 =2+2(1-2sinθcosθ)=4-4sinθcosθ=4-2sin2θ.∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.從而-1≤sin2θ≤1.∴4-2sin2θ∈［2,6］.故|AB|的取值范圍是［2,6］.222 7

（四）課堂小結(jié)

1.先由學生回顧本節(jié)都學習了哪些數(shù)學知識:平面向量的和、差、數(shù)乘的坐標運算,兩個向量共線的坐標表示.2.教師與學生一起總結(jié)本節(jié)學習的數(shù)學方法,定義法、歸納、整理、概括的思想,強調(diào)在今后的學習中,要善于培養(yǎng)自己不斷探索、善于發(fā)現(xiàn)、勇于創(chuàng)新的科學態(tài)度和求實開拓的精神,為將來的發(fā)展打下良好基礎(chǔ).（五）作業(yè)

第三篇：平面向量的坐標運算教案

“平面向量的坐標運算”教學方案

教學目標：

1.知識與技能：

理解平面向量坐標的概念，掌握平面向量坐標的運算。2.過程與方法：

在對平面向量坐標表示及坐標運算的學習過程中使學生的演繹、歸納、猜想、類比的能力得到發(fā)展，利用圖形解決問題，也讓學生體會到數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的能力的重要性。3.情感、態(tài)度與價值觀：

通過本節(jié)課的學習，使學生感受到數(shù)學與實際生產(chǎn)、生活的密切聯(lián)系，體會客觀世界中事物之間普遍聯(lián)系的辯證唯物主義觀點。教學重點：

平面向量的坐標表示及坐標運算。教學難點：

平面向量坐標表示的意義。教學方法：

結(jié)合本節(jié)課的目標要求、重難點的確定以及學生實際思維水平，教學設(shè)計中采取啟發(fā)引導(dǎo)、類比歸納、合作探究、實踐操作等教學方法。教學手段：

投影儀、多媒體軟件 教學過程 1.情境創(chuàng)設(shè)

教師借助多媒體動畫演示人站在高處拋擲硬物的過程作為本節(jié)課的問題情境引入課題，引導(dǎo)學生注意觀察硬物下落軌跡，提出問題：結(jié)合同學們的生活常識及物理學知識，想一想硬物的速度可做怎樣的分解？

學生回答：速度可按豎直和水平兩個方向進行分解

設(shè)計目的：情境與生活聯(lián)系，激發(fā)學生學習興趣，同時為下面展開的知識做

好鋪墊。

2.展開探究

問題一：平面向量的基本定理內(nèi)容是什么？ 教師請一學生回答，同時投影出示其內(nèi)容。問題二：向量能不能象平面坐標系中點一樣給出坐標表示呢？我們?nèi)绾伪硎靖?/p>

合理呢？

組織學生談?wù)?，給出各種想法，教師做點評歸納。投影展示：將一任意向量a置于直角坐標系中，給出向量的起點、終點坐標，并 提出問題 問題三：既然向量的起點和終點的坐標是確定的，那么向量也可以用一對實數(shù)來表示嗎？

設(shè)計目的：此問題引發(fā)學生聯(lián)想，對平面向量坐標表示方法具有指導(dǎo)性作用。教師講授：在直角坐標系內(nèi)，我們分別取與 x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x,y，使得a=xi+yj ,我們把 叫做向量a的（直角）坐標，記作a=(x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標,y叫做a在y軸上的坐標，(x,y)式叫做向量的坐標表示。

3.深化理解

一.平面向量坐標表示的的理解 提出問題：

(1)、如果以原點O作為起點作一向量OA=a（投影動畫同步演示），那么點A的位置是否可以唯一確定呢？

(2)、點A的坐標與向量OA的坐標之間有什么關(guān)系？(3)、兩個向量相等的充要條件利用坐標如何進行表示呢？

(4)、如果我們將一個平面向量在直角坐標系中作任意平移（不該表大小和方向），那么它的坐標會改變嗎？

組織學生以小組為單位展開探究交流活動，在討論后回答上述問題，可師生共同完善答案，歸納如下:

(1)、點A的位置受向量OA決定，唯一確定。

(2)、以原點O為起點的向量OA的坐標和終點A的坐標事完全相同的。(3)、兩個平面向量相等的充要條件是兩個向量的坐標相同。

(4)、在直角坐標系中平面向量在大小和方向不變的前提下自由移動，它們的坐標就是相同的。

設(shè)計目的：讓學生在合作探究中去主動學習，不僅鍛煉了解決問題的能力，還培養(yǎng)了探究協(xié)作的能力。

出示練習：用基底i、j分別表示向量a、b、c、d，并求出它們的坐標（圖略）。教師讓學生獨立完成，之后借助投影讓 個別學生展示完成情況，教師點評。設(shè)計目的：增進了所學新知的內(nèi)化。

二、平面向量的坐標運算

提出問題：通過以上研究，我們了解了平面向量的坐標表示，向量是可以進行運

算的，如何運用所學的知識進行兩個向量的和與差的坐標表示及實數(shù) 與向量積的坐標表示呢？

投影出示：已知向量a=（s，t），b=(m,n)，求向量a+b，a-b, λa的坐標

學生展開討論，可能給出多種推導(dǎo)方法，教師要耐心給與點評，并做最后歸納。（1）向量加減法的坐標等于向量坐標的加減法。

（2）實數(shù)與向量的積的坐標等于是屬于向量坐標的積。

（3）一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點坐標 教師提問：設(shè)AB是表示向量a的有向線段，點A(s,t)，B(m,n)，那么向量a的坐標如何表示？

學生結(jié)合向量坐標運算可得出答案，a=(m-s,n-t)，教師強調(diào)

一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標。設(shè)計目的 ：此環(huán)節(jié)教師充當引導(dǎo)者，以學生為主體，讓學生在討論思考中享受成功的快樂。

4.例題剖析

例

1、已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求頂點D的坐標。

變式：已知平面上三點的坐標分別為A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4)，求點D的坐標，使這四點成為平行四邊形的四個頂點。

教師給學生充足時間獨立思考，適當時可提示作圖理解，而變式對學生來說

難度增大，要鼓勵學生大膽嘗試，獨立求解，并提示要考慮圖形的多種畫法。設(shè)計目的：通過例題和變式綜合考查學生對本節(jié)所學知識的理解和掌握程度，也促進學生應(yīng)用知識解決問題的能力。

5.課堂小結(jié)

請學生對本節(jié)課內(nèi)容作歸納，不足之處師生補充完善，最后教師作總結(jié)式說明。1.向量的坐標表示是向量的另一種表示形式，也可以稱之為向量的代數(shù)表示，其背景是平面向量的基本定理。

2.向量的坐標表示為我們進行向量的運算提供了方便。

3.向量的坐標表示使得我們借助數(shù)的運算對圖形的幾何性質(zhì)展開研究，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用。

前面我們還學習了這留待我們下一 節(jié)再來研究。

6.布置作業(yè)（1）.課后習題

（2）如何運用向量坐標來表示和判定共線向量呢？讓學生預(yù)習下節(jié)內(nèi)容。

7.板書設(shè)計

平面向量的坐標運算

1.平面向量的坐標

例1

變式 定義

解：

解：（1）

（2）

（3）

2.平面向量的坐標運算

第四篇：高中數(shù)學重點中學 第9課時平面向量的數(shù)量積及運算律教案 湘教版必修2

平面向量的數(shù)量積及運算律（1）

教學目的：

1掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義； 2掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；

3了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題； 4掌握向量垂直的條件

教學重點：平面向量的數(shù)量積定義

教學難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 授課類型：新授課 課時安排：1課時

教 具：多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析：

本節(jié)學習的關(guān)鍵是啟發(fā)學生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學生推導(dǎo)數(shù)量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學生對于平面向量數(shù)量積的認識主要知識點：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運算律

教學過程：

一、復(fù)習引入：

???a1． 向量共線定理 向量b與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使b=?λa

2．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

3．平面向量的坐標表示

分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得a?xi?yj 把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標，記作a?(x,y)4．平面向量的坐標運算 若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y)若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1? ?????5．a(chǎn)∥b(b0)的充要條件是x1y2-x2y1=0

6．線段的定比分點及λ

P1, P2是直線l上的兩點，P是l上不同于P1, P2的任一點，存在實數(shù)λ，使 P1P=λ叫做點P分PPP2，λ1P2所成的比，有三種情況：

λ>0(內(nèi)分)(外分)λ<0(λ<-1)(外分)λ<0(-1<λ<0)

7定比分點坐標公式：

若點P１(x1,y1)，Ｐ２(x2,y2)，λ為實數(shù)，且P1P＝λPP2，則點P的坐標為（x1??x2y1??y2,），我們稱λ為點P分P1P2所成的比

1??1??8點P的位置與λ的范圍的關(guān)系：

①當λ＞０時，P1P與PP2同向共線，這時稱點P為P1P2的內(nèi)分點

②當λ＜０(???1)時，P1P與PP2反向共線，這時稱點P為P1P2的外分點 9線段定比分點坐標公式的向量形式：

在平面內(nèi)任取一點O，設(shè)OP1＝ａ，OP2＝ｂ，可得OP=a??b1??a?b

1??1??1??10．力做的功：W = |F|?|s|cos，是F與s的夾角

二、講解新課：

1．兩個非零向量夾角的概念

已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角 說明：（1）當θ＝０時，ａ與ｂ同向；

（2）當θ＝π時，ａ與ｂ反向；

（3）當θ＝?時，ａ與ｂ垂直，記ａ⊥ｂ； 2≤≤180

（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的范圍0

2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos，（０≤θ≤π）并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0 ?探究：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別

C（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cos的符號所決定

（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a?b；今后要學到兩個向量的外積a×b，而a?b是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替

（3）在實數(shù)中，若a0，且a?b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a0，且a?b=0，不能推出b=0因為其中cos有可能為0（4）已知實數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bc ? a=c但是a?b = b?c a = c

如右圖：a?b = |a||b|cos = |b||OA|，b?c = |b||c|cos = |b||OA| ? a?b = b?c 但a

c

(5)在實數(shù)中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c

a(b?c)顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線 3．“投影”的概念：作圖

定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影

投影也是一個數(shù)量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當 = 0時投影為 |b|；當 = 180時投影為 |b| 4．向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積 5．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量 1e?a = a?e =|a|cos 2ab

a?b = 0 3當a與b同向時，a?b = |a||b|；當a與b反向時，a?b = |a||b| 特別的a?a = |a|或|a|?a?a 45cos =2a?b

|a||b||a?b| ≤ |a||b|

三、講解范例：

例1 判斷正誤，并簡要說明理由

①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB＝BA；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，則對任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，則ａ與ｂ中至少有一個為0；⑦對任意向

２２量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ與ｂ是兩個單位向量，則ａ＝ｂ 解：上述8個命題中只有③⑧正確；

對于①：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，應(yīng)有0·ａ＝０； 對于②：應(yīng)有０·ａ＝0；

對于④：由數(shù)量積定義有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，這里θ是ａ與ｂ的夾角，只有θ＝０或θ＝π時，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；

對于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 對于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 對于⑦：若ａ與с共線，記ａ＝λс 則ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ與с不共線，則(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ

評述：這一類型題，要求學生確實把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律

例2 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，當①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ與ｂ的夾角是60°時，分別求ａ·ｂ

解：①當ａ∥ｂ時，若ａ與ｂ同向，則它們的夾角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ與ｂ反向，則它們的夾角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②當ａ⊥ｂ時，它們的夾角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；

③當ａ與ｂ的夾角是60°時，有

ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×

1＝9 2評述：兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是［0°，180°］，因此，當ａ∥ｂ時，有0°或180°兩種可能

四、課堂練習：

五、小結(jié) 通過本節(jié)學習，要求大家掌握平面向量的數(shù)量積的定義、重要性質(zhì)、運算律，并能運用它們解決相關(guān)的問題

六、課后作業(yè)：

七、板書設(shè)計（略）

八、課后記及備用資料：

1概念辨析：正確理解向量夾角定義

對于兩向量夾角的定義，兩向量的夾角指從同一點出發(fā)的兩個所構(gòu)成的較小的非負角，因?qū)ο蛄繆A角定義理解不清而造成解題錯一些易見的錯誤，如：

1已知△ABC中，ａ＝５，ｂ＝８，Ｃ＝６０°，求BC·CA

對此題，有同學求解如下：

解：如圖，∵｜BC｜＝ａ＝５，｜CA｜＝ｂ＝８，Ｃ＝６０°，∴BC·CA＝｜BC｜·｜CA｜cosＣ＝5×8cos60°＝20 分析：上述解答，乍看正確，但事實上確實有錯誤，原因就在于沒能正確理解向量夾角的定義，即上例中BC與CA兩向量的起點并不同，因此，Ｃ并不是它們的夾角，而正確的夾角應(yīng)當是C的補角120°

2向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律 分析：若有（ａ·ｂ）с＝ａ·（ｂ·с），設(shè)ａ、ｂ夾角為α，ｂ、с夾角為β，則(ａ·ｂ)

向量

誤是с＝｜ａ｜·｜ｂ｜cosα·с，ａ·(ｂ·с)＝ａ·｜ｂ｜｜с｜cosβ

∴若ａ＝с，α＝β，則｜ａ｜＝｜с｜，進而有：（ａ·ｂ）с＝ａ·(ｂ·с)這是一種特殊情形，一般情況則不成立舉反例如下：

已知｜ａ｜＝１，｜ｂ｜＝１，｜с｜＝2，ａ與ｂ夾角是60°，ｂ與с夾角是45°，則：

(ａ·ｂ)·с＝（｜ａ｜·｜ｂ｜cos60°）с＝

1с，2ａ·(ｂ·с)＝（｜ｂ｜·｜с｜cos45°）ａ＝ａ

而1с≠ａ，故（ａ·ｂ）·с≠ａ·（ｂ·с）2

第五篇：平面向量的坐標運算教案1[定稿]

平面向量的坐標運算教案1

教學目標

1．理解平面向量的坐標表示方法，包括起點是坐標原點的向量坐標表示法，起點不是坐標原點的向量坐標表示法、相等向量的坐標表示法．

2．掌握已知平面向量的和、差、實數(shù)與向量的積的坐標表示法．

教學重點和難點

重點：平面向量的坐標表示法，特別是起點不是坐標原點的向量坐標表示法．平面向量的和、差、實數(shù)與向量的積的坐標運算．

難點：起點不是坐標原點的向量的坐標表示．

教學過程設(shè)計

(一)復(fù)習近平面向量的基本定理：

如果一向量、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)任

＝λ

1，有且只有一對實數(shù)λ

1、λ2，使、λ

2．這里、表示這一平面內(nèi)的一組基底．平面向量的基本定理說明：同一平面內(nèi)任一向量都可沿兩個不共線的基底進行分解．

(二)導(dǎo)入新課

1．平面向量的坐標表示

在直角坐標平面內(nèi)，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底，由平面向量基本定理，對平面內(nèi)任一向量對實數(shù)x，y，使

＝、，有且只有一

x＋y．我們把(x，y)叫向量

在y軸上的坐標．的(直角)坐標．其中x叫在x軸上的坐標．y叫 ＝(x，y)叫向量的坐標表示．

(1)目前我們已掌握了向量的三種表示方法：

表示法是向量的代數(shù)表示法，它有利于向量的運算．

(2)根據(jù)向量可以平移的觀點，平面內(nèi)與向量相等的向量的坐標也為(x，y)．

(3)顯然： ＝(1，0)，＝(0，1)，＝(0，0)．

(4)在坐標平面內(nèi)設(shè)＝x＋y，向量的坐標為(x，y)，這就是點A的坐標，反過來點A的坐標(x，y)就是向量的坐標．因此，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一對有序?qū)崝?shù)對唯一表示．

(5)設(shè)A點的坐標為(x1，y1)，B點坐標為(x2，y2)

2．平面向量的坐標運算

(Ⅰ)向量的加法：已知向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．兩向量的和：

＋＝(x1＋y1)＋(x2＋y2)

＝(x1＋x2)＋(y1＋y2)．

(Ⅱ)向量的減法：已知向量差：

＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．兩向量的 －＝(x1＋y1)－(x2＋y2)

＝(x1－x2)＋(y1－y2)．

＝(x，y)和實數(shù)λ．

(Ⅲ)實數(shù)與向量的積：已知向量

λ＝λ(x＋y)＝λx，λy．

(1)兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和與差．實數(shù)與向量積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標．

(2)根據(jù)向量差的坐標運算，我們可以得到起點不是原點的向量的坐標表示．

設(shè)A點(x1，y1)，B點(x2，y2)．

求向量的坐標．

作向量、． ＝－．即＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．

由此得到：一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去始點坐標．

(三)學生課堂練習(黑板板演，加課堂練習)

1．課本練習3．已知A、B兩點的坐標，求、的坐標．

(1)＝(3，4)，＝(－3，－4)．(2)＝(9，－1)，＝(－9，1)．

(3)5，0)．

2．課本練習1

(1)+＝(3，6)，－=(7，－5)

－

=(－7，2)．(2)

+

=(1，11)，＝(0，2)，＝(0，－2)．(4)

＝(5，0)，＝(－

(3)+＝(0，0)，－＝(3，－4)．

3．課本練習2 －

24．課本練習4

∴ AB∥CD．

+

4＝(4，6)．(4)+=(3，4)，－

＝(－6，－8)，4+3＝(12，5)．

＝

．

＝(1，－1)，＝(1，－1)，(四)教師講解例題，鞏固提高

例1 已知ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為(－2，1)，(－1，3)，(3，4)，求頂點D的坐標．

分析：平行四邊形ABCD中，＝

．由此來確定D點的坐標．

解：設(shè)D點坐標為(x，y)．

＝(1，2)，＝(3－x，4－y)．

由＝．(1,2)＝(3－x，4－y)．

∴D點坐標為(2，2)．

例2 已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)，D(－2，3)，以為一組基底來表示

分析：向量＋＋＝λ

＋

1、＋＋+λ

2＋． 的坐標可求出，、的坐標可求出．設(shè)

．可求出λ

1、λ2．

＝(－4，2)，＝(－5，1)．

解： ＋ ＝(－3，5)，＋

＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8)．

＝(2，4)． ＝(1，3)，＋＋＝λ

1＋λ

2，(－12，8)＝λ1(1，3)＋λ2(2，4)＝(λ1＋2λ2，3λ1＋4λ2)．

∴ ＋

＋

＝

32－22

．

(五)小結(jié)：教師總結(jié)重點內(nèi)容

1．向量的坐標表示

＝(x，y)．

2．起點不是原點的向量的坐標求法，A(xA，yA)，B(xB，yB)，(xB－xA，yB－yA)．

＝

一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標．

3．向量的坐標運算

＋

＝(x1，y1)，－

＝(x2，y2)．

＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(λx1，λy1)．

(x1－x2，y1－y2)．

λ·

(六)作業(yè)習題5．4 1、2、3、4、5．