第一篇：教案：一次函數(shù)中的面積問題
0128 一次函數(shù)の面積問題
【教學目標】
知識與技能：
1.通過複習使學生熟悉直線與坐標軸の交點坐標の求法，會求出兩直線交點坐標，進一步體會函數(shù)、坐標、幾何圖形之間の相互轉(zhuǎn)化，在解決函數(shù)相關(guān)問題中の重要作用.2.初步掌握由若幹條直線所圍成の圖形の面積の計算方法，體會一次函數(shù)の有關(guān)面積問題の解決思路.過程與方法：
通過對平面直角坐標系中圖形面積求法の探究，使學生初步形成正確、科學の學習方法.情感態(tài)度與價值觀：
通過問題の解決，樹立學生學習數(shù)學の信心，激發(fā)學生學習數(shù)學の興趣，培養(yǎng)學生良好の學習習慣.【教學重點】
由若幹條直線所圍成の圖形の面積の計算方法.【教學難點】
進一步滲透數(shù)形之間の轉(zhuǎn)化和結(jié)合.【教學過程】
一、課前熱身 回顧知識
0128
二、0128
0128
1、點A（5，-3）到x軸の距離為，到y(tǒng)軸の距離為.點A到x軸の距離為3，到y(tǒng)軸の距離為5，則點Aの坐標為.2、一次函數(shù)y=2x+4の圖象與x軸の交點坐為，與y軸の交點坐標為.3、如圖：直線ABの解析式為.4、直線y=2x+1與直線y=x-2 の交點 坐標為.設計意圖：通過習題回顧本節(jié)課所用到の知識點，體會函數(shù)、坐標、幾何圖形之間の相互轉(zhuǎn)化，為後面の問題探究，做好鋪墊.問題探究 總結(jié)方法
問題一
已知如圖：直線y=2x+1與坐標軸交於A、C兩點，直線y=-x-2與坐標軸交於B、D兩點，兩直線交於點P.（1）求△ABPの面積.（2）若直線EF平行於 y軸，且經(jīng)過點（1,0），與直線PA、PB分別交於點E、F，求△PEFの面積.問題引導：
（1）求△ABPの面積需要一組對應の底和高，思考：將哪條邊作為底計算較為簡單？ 0128（2）計算AB、PMの長需要哪些量？如何求？
師生活動：教師引導學生分析解題思路，師生共同完成解題過程，注意解答過程の規(guī)範性.學生在分析の基礎(chǔ)上，自主完成（2）.問題二
已知如圖：直線y=x+2與直線y=-2x+6交於點A.直線y=-2x+6分別交x軸、y軸於點B、C，直線y=x+2分別交x軸、y軸於點E、D.（1）求△ACEの面積.（2）求四邊形ADOBの面積.問題引導：
問題一中の三角形要麼有一條邊在坐標軸上，要麼有一條邊與坐標軸平行，而這道題中の△ACE並無上述特點，怎麼辦？小組交流討論，盡可能多の找出解決思路.師生活動：
學生在自主分析解題思路後，交流討論，統(tǒng)一意見，師生共同完成解題過程，注意解答過程の規(guī)範性.學生在分析の基礎(chǔ)上，自主完成（2）.方法總結(jié)：
如何求平面直角坐標系中の圖形の面積？
（１）如果三角形有一邊在坐標軸上（或平行於坐標軸），0128
0128 直接用面積公式求面積．
（２）如果三角形任何一邊都不在坐標軸上，也不平行於坐標軸，則需轉(zhuǎn)化為幾個有邊在坐標軸上の三角形面積之和（或差）．
（３）四邊形面積常轉(zhuǎn)化為若幹個三角形面積之和（或差）．
設計意圖：在這個環(huán)節(jié)中，設置四個問題，由淺入深，逐步探索總結(jié)出面直角坐標系中の圖形の面積の求法.三、即學即練
鞏固所學
已知：如圖，在平面直角坐標系中，A（-1,3）、B（3,-2），則△AOBの面積為
.學生談思路，教師點評.設計意圖：提倡方法の多樣性，強化坐標與函數(shù)、坐標與距離之間の轉(zhuǎn)化.四、課堂拓展 提升應用
1、已知點P（x，y）是第二象限內(nèi)直線y=x+6上の一個動點，點Aの坐標為（-4，0），在點P運動の過程中，△OPAの面積為S.（1）試寫出S與xの函數(shù)關(guān)系式，並寫出xの取值範圍.（2）當點P運動到什麼位置時，△OPAの面積為8.設計意圖：
在這個環(huán)節(jié)中，設置了一個動態(tài)問題，一方面鞏固所學，另一方面滲透動態(tài)問題の解決方法.0128
0128
五、課堂小結(jié)
反思提高
本環(huán)節(jié)由學生自己談收獲，教師作適當の引導補充.六、作業(yè)布置
1、優(yōu)化設計54頁第11題
2、優(yōu)化設計64頁第9題
3、整理課堂拓展問題
0128
第二篇：教案：一次函數(shù)中的面積問題
一次函數(shù)的面積問題
【教學目標】
知識與技能：
1.通過復習使學生熟悉直線與坐標軸的交點坐標的求法，會求出兩直線交點坐標，進一步體會函數(shù)、坐標、幾何圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，在解決函數(shù)相關(guān)問題中的重要作用.2.初步掌握由若干條直線所圍成的圖形的面積的計算方法，體會一次函數(shù)的有關(guān)面積問題的解決思路.過程與方法：
通過對平面直角坐標系中圖形面積求法的探究，使學生初步形成正確、科學的學習方法.情感態(tài)度與價值觀：
通過問題的解決，樹立學生學習數(shù)學的信心，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生良好的學習習慣.【教學重點】
由若干條直線所圍成的圖形的面積的計算方法.【教學難點】
進一步滲透數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化和結(jié)合.【教學過程】
一、課前熱身 回顧知識
1、點A（5，-3）到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為.點A到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為5，則點A的坐標為.2、一次函數(shù)y=2x+4的圖象與x軸的交點坐為，與y軸的交點坐標為.3、如圖：直線AB的解析式為.4、直線y=2x+1與直線y=x-2 的交點 坐標為.設計意圖：通過習題回顧本節(jié)課所用到的知識點，體會函數(shù)、坐標、幾何圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，為后面的問題探究，做好鋪墊.二、問題探究 總結(jié)方法
問題一
已知如圖：直線y=2x+1與坐標軸交于A、C兩點，直線y=-x-2與坐標軸交于B、D兩點，兩直線交于點P.（1）求△ABP的面積.（2）若直線EF平行于 y軸，且經(jīng)過點（1,0），與直線PA、PB分別交于點E、F，求△PEF的面積.問題引導：
（1）求△ABP的面積需要一組對應的底和高，思考：將哪條邊作為底計算較為簡單？（2）計算AB、PM的長需要哪些量？如何求？
師生活動：教師引導學生分析解題思路，師生共同完成解題過程，注意解答過程的規(guī)范性.學生在分析的基礎(chǔ)上，自主完成（2）.問題二
已知如圖：直線y=x+2與直線y=-2x+6交于點A.直線y=-2x+6分別交x軸、y軸于點B、C，直線y=x+2分別交x軸、y軸于點E、D.（1）求△ACE的面積.（2）求四邊形ADOB的面積.問題引導：
問題一中的三角形要么有一條邊在坐標軸上，要么有一條邊與坐標軸平行，而這道題中的△ACE并無上述特點，怎么辦？小組交流討論，盡可能多的找出解決思路.師生活動：
學生在自主分析解題思路后，交流討論，統(tǒng)一意見，師生共同完成解題過程，注意解答過程的規(guī)范性.學生在分析的基礎(chǔ)上，自主完成（2）.方法總結(jié)：
如何求平面直角坐標系中的圖形的面積？
（１）如果三角形有一邊在坐標軸上（或平行于坐標軸），直接用面積公式求面積．
（２）如果三角形任何一邊都不在坐標軸上，也不平行于坐標軸，則需轉(zhuǎn)化為幾個有邊在坐標軸上的三角形面積之和（或差）．
（３）四邊形面積常轉(zhuǎn)化為若干個三角形面積之和（或差）．
設計意圖：在這個環(huán)節(jié)中，設置四個問題，由淺入深，逐步探索總結(jié)出面直角坐標系中的圖形的面積的求法.三、即學即練
鞏固所學
已知：如圖，在平面直角坐標系中，A（-1,3）、B（3,-2），則△AOB的面積為
.學生談思路，教師點評.設計意圖：提倡方法的多樣性，強化坐標與函數(shù)、坐標與距離之間的轉(zhuǎn)化.四、課堂拓展 提升應用
1、已知點P（x，y）是第二象限內(nèi)直線y=x+6上的一個動點，點A的坐標為（-4，0），在點P運動的過程中，△OPA的面積為S.（1）試寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍.（2）當點P運動到什么位置時，△OPA的面積為8.設計意圖：
在這個環(huán)節(jié)中，設置了一個動態(tài)問題，一方面鞏固所學，另一方面滲透動態(tài)問題的解決方法.五、課堂小結(jié)
反思提高
本環(huán)節(jié)由學生自己談收獲，教師作適當?shù)囊龑аa充.六、作業(yè)布置
1、優(yōu)化設計54頁第11題
2、優(yōu)化設計64頁第9題
3、整理課堂拓展問題
第三篇：一次函數(shù)應用專題--面積問題(教案)
《一次函數(shù)應用專題--面積問題》教學設計
（廣州市第四十七中學 初二）
【教學目標】
1、能根據(jù)一次函數(shù)的解析式（或圖像），求圖形的面積。
2、通過對已知圖形面積求值問題的探究，使學生體會“數(shù)形結(jié)合”思想和“轉(zhuǎn)化”思想。
3、培養(yǎng)學生主動探究，合作交流的意識，激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情，體驗解決問題的樂趣?！窘虒W重點】
數(shù)形結(jié)合思想在一次函數(shù)中的應用 【教學難點】
在面積問題中滲透“數(shù)形結(jié)合”思想和“轉(zhuǎn)化”思想 【教學過程】
一、課前熱身，知識回顧
【熱身】已知一次函數(shù)y??x?3，請畫圖并解決以下問題：
1、y??x?3與x軸交于點A（，）與y軸交于點B（，）.2、函數(shù)y??x?3與兩坐標軸圍成的三角形的面積為.（設計意圖：通過習題回顧本節(jié)課所用到的知識點，體會函數(shù)、坐標、幾何圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，為后面例1，例3探究，做好鋪墊.）
二、問題探究，總結(jié)方法
【例1】：若函數(shù)y=-x+b與兩坐標軸圍成的三角形的面積為9，求此一次函數(shù)的解析式.（設計意2圖：使學生會根據(jù)面積求一次函數(shù)解析式,并了解此類問題的結(jié)論有兩種,學會分類討論.）【例2】：如圖，若點P(a,b)是直線y=-x+3上的一個動點，在點P運動的過程中，ΔOPA的面積為S（O為坐標原點）
（1）當ΔOPA的面積為3時，求P的坐標.（2）若P位于第一象限內(nèi)，試寫出S與a的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量a的取值范圍.（設計意圖：在這個環(huán)節(jié)中，設置了一個動態(tài)問題，一方面鞏固所學內(nèi)容，一方面滲透動態(tài)問題的解決方法.）
【例3】：如圖，直線y=4x+8與x軸交于點C，與y軸交于點D.且與y=-x+3的交點為E，求兩直線與x軸圍成的圖形的面積.（設計意圖：使學生會求兩條直線與x軸或y軸所圍圖形的面積.）【鞏固提升】：
1求兩直線與y軸圍成的圖形的面積.（設計意圖：鞏固例3）
2、連接CB，求ΔCEB的面積，你有多少種求法？
（設計意圖：在鞏固例3的同時，探究三條邊均不平行于坐標軸的三角形的面積的求法.）
三、課堂小結(jié)，反思提高
本環(huán)節(jié)由學生談自己的收獲，教師做適當?shù)囊龑c補充.（設計意圖：總結(jié)回顧本節(jié)課的學習內(nèi)容，養(yǎng)成梳理知識的習慣.）
四、練習
1、已知直線y=3x-6，畫出函數(shù)圖像，并求出一次函數(shù)圖像與兩坐標軸圍成的三角形面積.2、已知直線y=kx-4與兩坐標軸所圍成的三角形面積等于4，求直線解析式.3、求直線y=4x－2與直線y=－x+13及x軸所圍成的三角形的面積.54、如圖，直線y?kx?經(jīng)過點A（-2，m），3yB（1，3）．
（1）求k，m的值；（2）求△AOB的面積．
5、如圖，直線L的解析表達式為y =-AOBx1x +2，且與x軸、y軸交于點A、B，在2y軸上有一點C（0，4），動點M從A 點以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動。（1）求A、B兩點的坐標；
（2）△COM的面積S與M的移動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式；
ByC（3）當何值時△COM≌△AOB，并求出此時M點的坐標.(設計意圖：復習鞏固本節(jié)課的知識點)
OMAx
第四篇：一次函數(shù)教案
一、要點解讀
1,知識總攬
一次函數(shù)是函數(shù)大家族中的主要成員之一,是研究兩個變量和學習其它函數(shù)的基礎(chǔ),它的表達式簡單,性質(zhì)也不復雜,但在我們的日常生活中的應用卻十分廣泛,與其它函數(shù)的聯(lián)系也十分密切,許多實際問題只要我們注意細心觀察,認真分析,及時將問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)模型,再得用一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.2,疑點、易錯點
(1)若兩個變量x、y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b(k≠0),則稱y是x的一次函數(shù).特別地,當b=0時,稱y是x的正比例函數(shù),就是說,正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例,而一次函數(shù)包含正比例函數(shù),是正比例函數(shù)一定是一次函數(shù),但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).如y=-x是正比例函數(shù),也是一次函數(shù),而y=-2x-3是一次函數(shù),但并不是正比例函數(shù).因此,同學們在復習時一定要注意正確理解正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念,注意掌握它們之間的區(qū)別和聯(lián)系.(2)一次函數(shù)的圖象是一條直線,它所經(jīng)過的象限是由k與b決定的,所以在復習鞏固一次函數(shù)的性質(zhì)時可以通過函數(shù)圖象來鞏固,從而可以避免因k與b的符號的干擾.如,在如圖中,表示一次函數(shù)y=mx+n與正比例函數(shù)y=mnx(m、n是常數(shù)且mn≠0)圖象是()對于兩不同函數(shù)圖象共存同一坐標系問題,常假設某一圖象正確而后根據(jù)字母系數(shù)所表示的實際意義來判定另一圖象是否正確來解決問題.例如,假設選項B中的直線y=mx+n正確則m<0,n>0,mn<0則正比例函數(shù)y=mnx則應過第二、四象限,而實際圖象則過第一、三象限,所以選項B錯誤.同理可得A正確.故應選A.(3)雖然一次函數(shù)的表達式簡單,性質(zhì)也并不復雜,且一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線,它的位置由k、b的符號確定.但是,涉及實際問題的一次函數(shù)圖象與自變量的取值范圍,畫出來的圖象不一定是直線,可能是線段或其他圖形,這一點既是學習一次函數(shù)的疑點,也是難點,更是解題量的易錯點.如,拖拉機開始工作時,油箱中有油40L,如果每小時耗油5L,那么工作時,油箱中的余油量Q(L)與工作時間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象可表示為()依題意可以得到油箱中的余油量Q(L)與工作時間t(h)的函數(shù)關(guān)系為Q=40-5t,就這個一次函數(shù)的解析式而言,它的圖象是一條直線,所以不少同學就會選擇A,而事實上,自變量t有一個取值范圍,即0≤t≤8,所以正確的答案應該選擇C.二、思想方法
復習一次函數(shù)這一章的知識一定注意數(shù)學思想方法的鞏固.具體地說,一次函數(shù)的知識涉及常見的思想方法有:(1)函數(shù)思想
所謂的函數(shù)思想就是用一個表達式將兩個變量表示出來其兩個變量之間是一個對應的關(guān)系.確定兩個變量之間的關(guān)系和列一元一次方程解應用題基本相似,即弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系,找到能夠表示應用題全部含義的一個相等的關(guān)系,根據(jù)這個相等的數(shù)量關(guān)系式,列出所需的代數(shù)式,從而列出兩個變量之間的關(guān)系式.例1 長方形的長是20,寬是x,周長是y.寫出x和y之間的關(guān)系式.簡析(1)由長方形的周長公式,得y=2(x+20)=2x+40;說明 在依據(jù)題意寫出兩個變量之間的關(guān)系式時,會經(jīng)常用到以前學到的各種公式,所以對以前常用的公式我們要熟練掌握,分析每一個公式的結(jié)構(gòu)特征,做到運用自如,方可避免常見錯誤.(2)數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其代數(shù)含義,又揭示其幾何意義,使問題的數(shù)量關(guān)系巧妙、和諧地結(jié)合起來,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的思想.例2 某博物館每周都吸引大量中外游客前來參觀.如果游客過多,對館中的珍貴文物會產(chǎn)生不利影響.但同時考慮到文物的修繕和保存等費用問題,還要保證一定的門票收入.因此,博物館采取了漲浮門票價格的方法來控制參觀人數(shù).在該方法實施過程中發(fā)現(xiàn):每周參觀人數(shù)與票價之間存在著如圖2所示的一次函數(shù)關(guān)系.在這樣的情況下,如果確保每周4萬元的門票收入,那么每周應限定參觀人數(shù)是多少?門票價格應是多少元? 解 設每周參觀人數(shù)與票價之間的一次函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b.由題意,得 解得
所以y=-500x+12 000.而根據(jù)題意,得xy=40 000,即x(-500x+12 000)=40 000,x2-24x+80=0, 所以方程變形為(x-12)2=64,兩邊開平方求得x1=20,x2=4.把x1=20,x2=4分別代入y=-500x+12 000中得y1=2 000,y2=10 000.因為控制參觀人數(shù),所以取x=20,y=2 000.即每周應限制參觀人數(shù)是2 000人,門票價格應是20元.說明 本題中得到方程x2-24x+80=0,雖然沒有學過不會解,但通過適當變形還是可以求解的.(3)待定系數(shù)法
待定系數(shù)法是確定代數(shù)式中某項系數(shù)的數(shù)學方法.它是方程思想的具體運用.例3 為了學生的身體健康,學校課桌、凳的高度都是按一定的關(guān)系科學設計的.小明對學校所添置的一批課桌、凳進行觀察研究,發(fā)現(xiàn)它們可以根據(jù)人的身長調(diào)節(jié)高度.于是,他測量了一套課桌、凳上相對應的四檔高度,得到如下數(shù)據(jù): 第一檔 第二檔 第三檔 第四檔
凳高x(cm)37.0 40.0 42.0 45.0 桌高y(cm)70.0 74.8 78.0 82.8(1)小明經(jīng)過對數(shù)據(jù)探究,發(fā)現(xiàn):桌高y是凳高x的一次函數(shù),請你求出這個一次函數(shù)的關(guān)系式(不要求寫出x的取值范圍);(2)小明回家后,測量了家里的寫字臺和凳子,寫字臺的高度為77cm,凳子的高度為43.5cm,請你判斷它們是否配套,說明理由.解(1)設y=kx+b(k≠0),依題意得 解得
所以這個一次函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=1.6x+10.8;(2)當小明家寫字臺的高度y=77cm時,由(1)中的一次函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=1.6x+10.8得77=1.6x+10.8,解得x=41.375<凳子的高度43.5cm,所以小明家的寫字臺和凳子的高度是不配套的.說明 對于(2)中的問題也可以利用凳子的高度x,求出寫字臺的高度y,再與77cm比較.由此,用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的方法可歸納為:“一設二列三解四還原”.就是說,一設:設出一次函數(shù)解析式的一般形式y(tǒng)=kx+b(k≠0);二列:根據(jù)已知兩點或已知圖象上的兩個點坐標列出關(guān)于k、b的二元一次方程組;三解:解這個方程組,求出k、b的值;四還原:將已求得
(4)方程思想
方程思想即將問題中的數(shù)量關(guān)系運用數(shù)學語言轉(zhuǎn)化為方程模型加以解決.方程思想是最重要的一種數(shù)學思想,在數(shù)學解題中所占比重較大,綜合知識強、題型廣、應用技巧靈活.從例
1、例2和例3中,我們都可以看出用到了方程思想求解.三、考點解密
(所選例題均出自2006年全國部分省市中考試卷)考點1 確定自變量的取值范圍
確定函數(shù)解析式中的自變量的取值范圍,只需保證其函數(shù)有意義即可.例1(鹽城市)函數(shù)y= 中,自變量x的取值范圍是.分析 由于函數(shù)的表達式是分式型的,因此必需保證分母不等于0即可.解 要使函數(shù)y= 有意義,只需分母x-1≠0,即x≠1.說明 確定一個函數(shù)的自變量的取值范圍,對于函數(shù)是整式型的可以取任何數(shù),若是分數(shù)型,只需使分母不為0,對于從實際問題中求出的解析式必須保證使實際問題有意義.考點2 函數(shù)圖象
把一個函數(shù)的自變量x與對應因變量y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標,在直角坐標系內(nèi)描出它的對應點,所有這些點組成的圖形叫做函數(shù)函數(shù)圖象.例2(泉州市)小明所在學校離家距離為2千米,某天他放學后騎自行車回家,行駛了5分鐘后,因故停留10分鐘,繼續(xù)騎了5分鐘到家.如圖1中,哪一個圖象能大致描述他回家過程中離家的距離s(千米)與所用時間t(分)之間的關(guān)系()分析 依據(jù)題意,并觀察分析每一個圖象的特點,即可作出判斷.解 依題意小明所在學校離家距離為2千米,先行駛了5分鐘后,因故停留10分鐘,繼續(xù)騎了5分鐘到家,即能大致描述他回家過程中離家的距離s(千米)與所用時間t(分)之間的關(guān)系只有D圖符合,故應選D.說明 求解時要充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用,及時從圖象中捕捉求解有用的信息,并依據(jù)函數(shù)圖象的概念對圖象作出正確判斷.考點3 判斷圖象經(jīng)過的象限
對于一次函數(shù)y=kx+b:①當k>0,b>0時,圖象在第一、二、三象限內(nèi);②當k>0,b<0時,圖象在第一、三、四象限內(nèi);③當k<0,b>0時,圖象在第一、二、四象限內(nèi);④當k<0,b<0時,圖象在第二、三、四象限內(nèi).特別地,b=0即正比例函數(shù)y=kx有:①當k>0時,圖象在第一、三象限內(nèi);②當k<0時,圖象在第二、四象限內(nèi).例3(十堰市)已知直線l經(jīng)過第一、二、四象限,則其解析式可以為___(寫出一個即可).分析 由題意直線l經(jīng)過第一、二、四象限,此時滿足條件的解析式有無數(shù)個.解 經(jīng)過第一、二、四象限的直線有無數(shù)條,所以本題是一道開放型問題,答案不唯一.如:y=-x+2,y=-3x+1.等等.說明 處理這種開放型的問題,只要選擇一個方便而又簡單的答案即可.考點4 求一次函數(shù)的表達式,確定函數(shù)值
要確定一次函數(shù)的解析式,只需找到滿足k、b的兩個條件即可.一般地,根據(jù)條件列出關(guān)于k、b的二元一次方程組,解出k與b的值,從而就確定了一次函數(shù)的解析式.另外,對于實際問題可妨照列方程解應用題那樣,但應注意自變量的取值范圍應受實際條件的制約.例4(衡陽市)為了鼓勵市民節(jié)約用水,自來水公司特制定了新的用水收費標準,每月用水量,x(噸)與應付水費(元)的函數(shù)關(guān)系如圖2.(1)求出當月用水量不超過5噸時,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)某居民某月用水量為8噸,求應付的水費是多少?
分析 觀察函數(shù)圖象我們可以發(fā)現(xiàn)是一條分段圖象,因此只要分0≤x≤5和x≥5求解.解(1)由圖象可知:當0≤x≤5時是一段正比例函數(shù),設y=kx,由x=5時,y=5,得5=5k,即k=1.所以0≤x≤5時,y=x.(2)當x≥5時可以看成是一條直線,設y=k1x+ b由圖象可知 解得 所以當x≥5時,y=1.5x-2.5;當x=8時,y=1.5×8-2.5=9.5(元).說明 確定正比例函數(shù)的表達式需要一個獨立的條件;確定一次函數(shù)的表達式需要兩個獨立的條件.對于在某個變化過程中,有兩個變量x和y,如果給定一個x值,相應地就確定了一個y值.在處理本題的問題時,只需利用待定系數(shù)法,構(gòu)造出相應的二元一次方程組求解.另外,在處理這類問題時,一定要從圖形中獲取信息,并把所得到的信息進行聯(lián)系處理.考點5 比較大小 利用一次函數(shù)的性質(zhì)可以比較函數(shù)值的大小,具體地應由k的符號決定.例5(青島市)點P1(x1,y1),點P2(x2,y2)是一次函數(shù)y=-4x+3 圖象上的兩個點,且 x1
對于一次函數(shù)y=kx+b與坐標軸的兩個交點坐標分別是(0,b)和(-,0),由此與坐標軸圍成的三角形的面積為 =.例6(日照市)已知直線y=mx-1上有一點B(1,n),它到原點的距離是 ,則此直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為()A.B.或 C.或 D.或
分析 若能利用直線y=mx-1上有一點B(1,n),它到原點的距離是 求出n,則可以進一步求出了m,從而可以求出直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積.解 因為點B(1,n)到原點的距離是 ,所以有12+ n2=10,即n=±3,則點B的坐標為(1,3)或(1,-3).分別代入y=mx-1,得m=4,或m=-2.所以直線的表達式為y=4x-1或y=-2x-1,即易求得直線與坐標軸圍成的三角形的面積為 或.故應選C.說明 要求直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積,只要能求出直線與坐標軸的交點坐標即可,這里的分類討論是正確求解的關(guān)鍵.考點7 利用一次函數(shù)解決實際問題
利用一次函數(shù)解決實際問題可妨照列方程解應用題那樣,但應注意自變量的取值范圍應受實際條件的制約.例7(長沙市)我市某鄉(xiāng)A、B兩村盛產(chǎn)柑桔,A村有柑桔200噸,B村有柑桔300噸.現(xiàn)將這些柑桔運到C、D兩個冷藏倉庫,已知C倉庫可儲存240噸,D倉庫可儲存260噸;從A村運往C、D兩處的費用分別為每噸20元和25元,從B村運往C、D兩處的費用分別為每噸15元和18元.設從A村運往C倉庫的柑桔重量為x噸,A,B兩村運往兩倉庫的柑桔運輸費用分別為yA元和yB元.(1)請?zhí)顚懴卤?并求出yA、yB與x之間的函數(shù)關(guān)系式;C D 總計
A x噸 200噸
B 300噸
總計 240噸 260噸 500噸
(2)試討論A,B兩村中,哪個村的運費較少;(3)考慮到B村的經(jīng)濟承受能力,B村的柑桔運費不得超過4830元.在這種情況下,請問怎樣調(diào)運,才能使兩村運費之和最小?求出這個最小值.分析 依題意可以知道從A村運往C倉庫的柑桔重量、從A村運往D倉庫的柑桔重量、從B村運往C倉庫的柑桔重量和從B村運往D倉庫的柑桔重量,這樣就可以求得yA、yB與x之間的函數(shù)關(guān)系式,進而利用不等式和一次函數(shù)的性質(zhì)求解.解(1)依題意,從A村運往C倉庫的柑桔重量為x噸,則從A村運往D倉庫的柑桔重量應為(200-x)噸,同樣從B村運往C倉庫的柑桔重量為(240-x)噸,從B村運往D倉庫的柑桔重量應為(300-240+x)噸,即(60+x)噸.所以表中C欄中填上(240-x)噸,D欄中人上到下依次填(200-x)噸、(60+x)噸.從而可以分別求得yA=-5x+5000(0≤x≤200),yB=3x+4680(0≤x≤200).(2)當yA=yB時,-5x+5000=3x+4680,即x=40;當yA>yB時,-5x+5000>3x+4680,即x<40;當yA 1,(衡陽市)函數(shù)y= 中自變量劣的取值范圍是___.2,(攀枝花市)如圖,直線y=-x+4與y軸交于點A,與直線y= x+ 交于點B,且直線y= x+ 與x軸交于點C,則△ABC的面積為___.3,(海淀區(qū))打開某洗衣機開關(guān),在洗滌衣服時(洗衣機內(nèi)無水),洗衣機經(jīng)歷了進水、清洗、排水、脫水四個連續(xù)過程,其中進水、清洗、排水時洗衣機中的水量y(升)與時間x(分鐘)之間滿足某種函數(shù)關(guān)系,其函數(shù)圖象大致為()4,(江西省)如圖,已知直線l1經(jīng)過點A(-1,0)與點B(2,3),另一條直線l2經(jīng)過點B,且與x軸交于點P(m,0).(1)求直線l1的解析式;(2)若△APB的面積為3,求m的值.5,(南安市)近兩年某地外向型經(jīng)濟發(fā)展迅速,一些著名跨國公司紛紛落戶該地新區(qū),對各類人才需求不斷增加,現(xiàn)一公司面向社會招聘人員,其信息如下: [信息一]招聘對象:機械制造類和規(guī)劃設計類人員共150名.[信息二]工資待遇:機械類人員工資為600元/月,規(guī)劃設計類人員為1000元/月.設該公司招聘機械制造類和規(guī)劃設計類人員分別為x人、y人.(1)用含x的代數(shù)式表示y;(2)若公司每月付給所招聘人員的工資為p元,要使本次招聘規(guī)劃設計人員不少于機械制造人員的2倍,求p的取值范圍.參考答案: 1,≥1;2,4;3,D; 4,(1)設直線l1的解析式為 y=kx + b,由題意,得 解得 所以,直線l1的解析式為 y=x +1.(2)當點P在點A的右側(cè)時,AP=m-(-1)=m +1,有.解得 m=1,此時,點P的坐標為(1,0);當點P在點A的左側(cè)時,AP=-1-m,有.解得 m =-3,此時,點P的坐標為(-3,0).綜上所述,m的值為1或-3;5,(1)y=150-x.(2)根據(jù)題意,得:y≥2x,所以150-x≥2x,解得:x≤50,又x≥0,150-x≥0,即0≤x≤50,所以p=600x+1000(150-x)=-400x+150000;又因為p隨x的增大而減小,并且0≤x≤50,所 以 -400×50+150000≤p≤-400×0+150000,即130000≤p≤150000 一次函數(shù)（1） 知識技能目標 1.理解一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念； 2.根據(jù)實際問題列出簡單的一次函數(shù)的表達式． 過程性目標 1.經(jīng)歷由實際問題引出一次函數(shù)解析式的過程，體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系； 2.探求一次函數(shù)解析式的求法,發(fā)展學生的數(shù)學應用能力． 教學過程 一、創(chuàng)設情境 問題1 小明暑假第一次去北京．汽車駛上A地的高速公路后,小明觀察里程碑,發(fā)現(xiàn)汽車的平均車速是95千米/小時．已知A地直達北京的高速公路全程為570千米，小明想知道汽車從A地駛出后,距北京的路程和汽車在高速公路上行駛的時間有什么關(guān)系,以便根據(jù)時間估計自己和北京的距離． 分析 我們知道汽車距北京的路程隨著行車時間而變化,要想找出這兩個變化著的量的關(guān)系,并據(jù)此得出相應的值,顯然,應該探求這兩個變量的變化規(guī)律．為此,我們設汽車在高速公路上行駛時間為t小時,汽車距北京的路程為s千米,根據(jù)題意,s和t的函數(shù)關(guān)系式是 s＝570－95t． 說明 找出問題中的變量并用字母表示是探求函數(shù)關(guān)系的第一步,這里的s、t是兩個變量，s是t的函數(shù)，t是自變量，s是因變量． 問題2 小張準備將平時的零用錢節(jié)約一些儲存起來．他已存有50元,從現(xiàn)在起每個月節(jié)存12元．試寫出小張的存款與從現(xiàn)在開始的月份之間的函數(shù)關(guān)系式． 分析 我們設從現(xiàn)在開始的月份數(shù)為x,小張的存款數(shù)為y元,得到所求的函數(shù)關(guān)系式為：y＝50＋12x． 問題3 以上問題1和問題2表示的這兩個函數(shù)有什么共同點? 二、探究歸納 上述兩個問題中的函數(shù)解析式都是用自變量的一次整式表示的．函數(shù)的解析式都是用自變量的一次整式表示的，我們稱它們?yōu)橐淮魏瘮?shù)(linear function)．一次函數(shù)通?？梢员硎緸閥＝kx＋b的形式，其中k、b是常數(shù)，k≠0． 特別地，當b＝0時，一次函數(shù)y＝kx（常數(shù)k≠0）出叫正比例函數(shù)(direct proportional function)．正比例函數(shù)也是一次函數(shù)，它是一次函數(shù)的特例． 三、實踐應用 例1 下列函數(shù)關(guān)系中，哪些屬于一次函數(shù)，其中哪些又屬于正比例函數(shù)？(1)面積為10cm2的三角形的底a(cm)與這邊上的高h(cm)；(2)長為8(cm)的平行四邊形的周長L(cm)與寬b(cm)； (3)食堂原有煤120噸，每天要用去5噸，x天后還剩下煤y噸；(4)汽車每小時行40千米，行駛的路程s（千米）和時間t（小時）． 分析 確定函數(shù)是否為一次函數(shù)或正比例函數(shù)，就是看它們的解析式經(jīng)過整理后是否符合y＝kx＋b(k≠0)或y＝kx(k≠0)形式，所以此題必須先寫出函數(shù)解析式后解答． 20解(1)a?，不是一次函數(shù)． h(2)L＝2b＋16，L是b的一次函數(shù)．(3)y＝150－5x，y是x的一次函數(shù)． (4)s＝40t,s既是t的一次函數(shù)又是正比例函數(shù)． 例2 已知函數(shù)y＝(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函數(shù)，求k的值．若它是一次函數(shù)，求k的值． 分析 根據(jù)一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義,易求得k的值． 1解 若y＝(k－2)x＋2k＋1是正比例函數(shù),則2k＋1＝0,即k＝?． 2若y＝(k－2)x＋2k＋1是一次函數(shù),則k－2≠0,即k≠2． 例3 已知y與x－3成正比例，當x＝4時，y＝3．(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)y與x之間是什么函數(shù)關(guān)系；(3)求x＝2.5時，y的值． 解(1)因為 y與x－3成正比例,所以y＝k(x－3)． 又因為x＝4時，y＝3，所以3＝ k(4－3)，解得k＝3，所以y＝3(x－3)＝3x－9．(2)y是x的一次函數(shù)． (3)當x＝2.5時，y＝3×2.5＝7.5． 例4 若直線y＝-kx＋b與直線y＝-x平行，且與y軸交點的縱坐標為-2；求直線的表達式.分析 直線y＝-kx＋b與直線y＝-x平行，可求出k的值,與y軸交點的縱坐標為-2,可求出b的值.解 因為直線y＝-kx＋b與直線y＝-x平行，所以k＝-1,又因為直線與y軸交點的縱坐標為-2,所以b＝-2,因此所求的直線的表達式為y＝-x-2.3例5求函數(shù)y?x?3與x軸、y軸的交點坐標，并求這條直線與兩坐標軸圍成2的三角形的面積.3分析 求直線y?x?3與x軸、y軸的交點坐標，根據(jù)x軸、y軸上點的縱坐標2和橫坐標分別為0，可求出相應的橫坐標和縱坐標；結(jié)合圖象，易知直線3y?x?3與x軸、y軸圍成的三角形是直角三角形，兩條直角邊就是直線23y?x?3與x軸、y軸的交點與原點的距離.2 解 當y＝0時，x＝2，所以直線與x軸的交點坐標是A(2,0)；當x＝0時，y＝-3,所以直線與y軸的交點坐標是B(0，-3).11S?OAB?OA?OB??2?3?3.22 例6 畫出第一節(jié)課中問題(1)中小明距北京的路程s（千米）與在高速公路上行駛的時間t（時）之間函數(shù)s＝570-95t的圖象.分析 這是一題與實際生活相關(guān)的函數(shù)應用題，函數(shù)關(guān)系式s＝570-95t中，自變量t是小明在高速公路上行駛的時間，所以0≤t≤6,畫出的圖象是直線的一部分.再者，本題中t和s取值懸殊很大，故橫軸和縱軸所選取的單位長不一致.討論 1.上述函數(shù)是否是一次函數(shù)？這個函數(shù)的圖象是什么？ 2.在實際問題中，一次函數(shù)的圖象除了直線和本題的圖形外，還有沒有其他的情形？你能不能找出幾個例子加以說明.例7 旅客乘車按規(guī)定可以免費攜帶一定重量的行李．如果所帶行李超過了規(guī)定的重量，就要按超重的千克收取超重行李費．已知旅客所付行李費y（元）可以 1看成他們攜帶的行李質(zhì)量x（千克）的一次函數(shù)為y?x?5．畫出這個函數(shù)的6圖象，并求旅客最多可以免費攜帶多少千克的行李？ 分析 求旅客最多可以免費攜帶多少千克的行李數(shù)，即行李費為0元時的行李數(shù)．為此只需求一次函數(shù)與x軸的交點橫坐標的值．即當y＝0時，x＝30．由此可知這個函數(shù)的自變量的取值范圍是x≥30． 解 函數(shù)y?1x?5(x≥30)圖象為： 6 當y＝0時，x＝30.所以旅客最多可以免費攜帶30千克的行李.例8 今年入夏以來，全國大部分地區(qū)發(fā)生嚴重干旱．某市自來水公司為了鼓勵市民節(jié)約用水，采取分段收費標準，若某戶居民每月應交水費y（元）是用水量x（噸）的函數(shù)，當0≤x≤5時，y＝0.72x,當x＞5時，y＝0.9x-0.9．(1)畫出函數(shù)的圖象； (2)觀察圖象，利用函數(shù)解析式，回答自來水公司采取的收費標準.分析 畫函數(shù)圖象時，應就自變量0≤x≤5和x＞5分別畫出圖象，當0≤x≤5時，是正比例函數(shù)，當x＞5是一次函數(shù)，所以這個函數(shù)的圖象是一條折線.解(1)函數(shù)的圖象是： (2)自來水公司的收費標準是：當用水量在5噸以內(nèi)時，每噸0.72元；當用水量在5噸以上時，每噸0.90元.四、交流反思 b1.一次函數(shù)y＝kx＋b,當x＝0時，y＝b；當y＝0時，x??.所以直線y＝kx＋ k?b?b與y軸的交點坐標是(0,b),與x軸的交點坐標是??,0?； ?k?2.在畫實際問題中的一次函數(shù)圖象時，要考慮自變量的取值范圍，畫出的圖象往往不再是一條直線.第五篇：一次函數(shù)教案
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