第一篇：二面角練習(xí)課

二面角練習(xí)課

教學(xué)目標(biāo)

1．使學(xué)生進(jìn)一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

2．使學(xué)生掌握求二面角平面角的基本方法，不斷提高分析問題和解決問題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：使學(xué)生能夠作出二面角的平面角；

難點(diǎn)：根據(jù)題目的條件，作出二面角的平面角． 教學(xué)設(shè)計(jì)過程

重溫二面角的平面角的定義．

（本節(jié)課設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)：空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容．解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于做好：定性分析，定位作圖，定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而定量則是定位，定性的深化．在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般說來，對(duì)其平面角的定位是問題解決的關(guān)鍵一步．可是學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定位，使問題的解決徒勞無益．這正是本節(jié)課要解決的問題．）

教師：二面角是怎樣定義的？

學(xué)生：從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角． 教師：二面角的平面角是怎樣定義的？

學(xué)生：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．

教師：請(qǐng)同學(xué)們看右圖．

如圖1：α，β是由l出發(fā)的兩個(gè)半平面，O是l上任意一點(diǎn)，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．從中我們可以得到下列特征：

（1）過棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一點(diǎn)A，作AB⊥OD，垂足為B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，這便是另一特征．

（3）體現(xiàn)出一完整的三垂線定理（或逆定理）的環(huán)境背影．

由于二面角的平面角是由一點(diǎn)和兩條射線構(gòu)成，所以二面角的定位可化歸為“定點(diǎn)”或“定線”的問題．

特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點(diǎn)”．耐人尋味的是這一點(diǎn)可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問題背影互相溝通，給計(jì)算提供方便．

例1 已知：如圖2，四面體V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足為H，求側(cè)面與底面所成的角的大小．

分析：由已知條件可知，頂點(diǎn)V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以連結(jié)CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂線定理可知，VO⊥AB，則∠VOC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．（圖2）

正因?yàn)榇怂拿骟w的特性，解決此問題，可以取AB的中點(diǎn)O為其平面角的頂點(diǎn)，而且使得題設(shè)背影突出在面VOC上，給進(jìn)一步定量創(chuàng)造了得天獨(dú)厚的條件．

特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ與α，β的交線，而交線所成的角就是α-l-β的平面角．（如圖3）

由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”．

例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對(duì)角線BD把△ABD折起，使點(diǎn)A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，課堂練習(xí)

1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為2，E為BC的中點(diǎn)，求面B1D1E與面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．

練習(xí)1的環(huán)境背景表明，面B1D1E與面BB1C1C構(gòu)成兩個(gè)二面角，由特征（2）可知，這兩個(gè)二面角的大小必定互補(bǔ)．

為創(chuàng)造一完整的三垂線定理的環(huán)境背景，線段C1D1會(huì)讓我們眼睛一亮，我們只須由C1（或D1）作B1E的垂線交B1E于O，然后連結(jié)OD1（或OC1）即得面D1B1E與面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．將棱長為a的正四面體的一個(gè)面與棱長為a的正四棱錐的一個(gè)側(cè)面吻合，則吻合后的幾何體呈現(xiàn)幾個(gè)面？

分析：這道題，考生答“7個(gè)面”的占99.9％，少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎？

從例題中三個(gè)特征提供的思路在解決問題時(shí)各具特色，它們的目標(biāo)分別是找“點(diǎn)”、“垂面”、“垂線段”．事實(shí)上，我們只要找到其中一個(gè)，另兩個(gè)就接踵而來．掌握這種關(guān)系對(duì)提高解題技能和培養(yǎng)空間想象能力非常重要．

本題如果能融合三個(gè)特征對(duì)思維的監(jiān)控，可有效地克服、抑制思維的消極作用，培養(yǎng)思維的廣闊性和批判性．

如圖9，過兩個(gè)幾何體的高線VP，VQ的垂足P，Q分別作BC的垂線，則垂足重合于O，且O為BC的中點(diǎn)．

OP延長過A，OQ延長交ED于R，考慮到三垂線定理的環(huán)境背影，∠AOR為二面角A-BC-R的平面角，結(jié)合特征（1），（2），可得VAOR為平行四邊形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．

同理V，A，C，D共面．

所以這道題的正確答案應(yīng)該是5個(gè)面．

（這一階段的教學(xué)主要是通過教師精心設(shè)計(jì)的一組例題與練習(xí)題，或邊練邊評(píng)，或由學(xué)生一鼓作氣練完后再逐題講評(píng)，達(dá)到練習(xí)的目的．其間要以學(xué)生“練”為主，教師“評(píng)”為輔）

由例

1、例2和課堂練習(xí)，我們已經(jīng)看到二面角的平面角有三個(gè)特征，這三個(gè)特征互相聯(lián)系，客觀存在，但在許多問題中卻表現(xiàn)得含糊而冷漠，三個(gè)特征均藏而不露，在這種形勢(shì)下，需認(rèn)真探索．探索體現(xiàn)出一完整的三垂線定理的環(huán)境背景，有了“垂線段”，便可以定位．

例3 如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF與底面A1C1所成的二面角大小的正切值．

分析：在給定的平面B1EF與底面A1C1所成的二面角中，沒有出現(xiàn)二面角的棱，我們可以設(shè)法在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找出兩個(gè)面的共點(diǎn)，則這兩個(gè)公共點(diǎn)的連線即為二面角的棱，最后借助這條棱作出二面角的平面角．

略解：如圖10．

在面BB1CC1內(nèi)，作EH⊥B1C1于H，連結(jié)HA1，顯然直線EF在底面A1C1的射影為HA1． 延長EF，HA1交于G，過G，B1的直線為所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1內(nèi)，作HK⊥GB1于K，連EK，則∠HKE為所求二面角的平面角．

在平面A1B1C1D1內(nèi)，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽R(shí)t△GKH，可求得KH． 又在Rt△EKH中，設(shè)EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

教師：有時(shí)我們也可以不直接作出二面角的平面角，而通過等價(jià)變換或具體的計(jì)算得出其平面角的大?。?/p>

例如我們可以使用平移法．由兩平面平行的性質(zhì)可知，若兩平行平面同時(shí)與

顯見平面FGH∥平面A′B′C′D′．

則二面角B′-FH-G的平面角度數(shù)等于所求二面角的度數(shù)．

過G作GM⊥HF，垂足為M，連B′M，由三垂線定理知B′M⊥HF．

所以∠B′MG為二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大?。?例4 已知：如圖12，P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=PD=a，AB=a． 求：平面APB與平面CPD相交所成較大的二面角的余弦值．

分析：為了找到二面角及其平面角，必須依據(jù)題目的條件，找出兩個(gè)平面的交線． 解：因?yàn)?AB∥CD，CD平面CPD，AB平面CPD． 所以 AB∥平面CPD．

又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一個(gè)二面角．

因?yàn)?AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l． 過P作PE⊥AB，PE⊥CD．

因?yàn)?l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角． 因?yàn)?PE是正三角形APB的一條高線，且AB=a，因?yàn)?E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，小結(jié)：二面角及其平面角的正確而合理的定位，要在正確理解其定義的基礎(chǔ)上，掌握其基本特征，并靈活運(yùn)用它們考察問題的背景．

我們已經(jīng)看到，定位是為了定量，求角的大小往往要化歸到一個(gè)三角形中去解，因此尋找“垂線段”，把問題化歸是十分重要的．

作業(yè)

1．120°二面角α-l-β內(nèi)有一點(diǎn)P，若P到兩個(gè)面α，β的距離分別為3和1，求P到l的距離．

2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1為棱，B1BD1與C1BD1為面的二面角的度數(shù)．

第二篇：復(fù)習(xí)講義—二面角復(fù)習(xí)課

復(fù)習(xí)講義（4）二面角復(fù)習(xí)課

一、教學(xué)目標(biāo)：1．使學(xué)生進(jìn)一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

2．使學(xué)生掌握求二面角平面角的基本方法，不斷提高分析問題和解決問題的能力．

二、重點(diǎn)和難點(diǎn)：使學(xué)生能夠作出二面角的平面角；根據(jù)題目的條件，作出二面角的平面角．

三、教學(xué)過程

1．復(fù)習(xí)二面角的平面角的定義．

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容．解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于做好：定性分析，定位作圖，定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而定量則是定位，定性的深化．在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般說來，對(duì)其平面角的定位是問題解決的關(guān)鍵一步．可是學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定位，使問題的解決徒勞無益． 看右圖．

如圖1：α，β是由l出發(fā)的兩個(gè)半平面，O是l上任意一點(diǎn)，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．從中我們可以得到下列特征：

（1）過棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一點(diǎn)A，作AB⊥OD，垂足為B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，這便是另一特征．

（3）體現(xiàn)出一完整的三垂線定理（或逆定理）的條件背景． 特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點(diǎn)”．耐人尋味的是這一點(diǎn)可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問題的條件背景互相溝通，給計(jì)算提供方便． 例1 已知：如圖2，四面體V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足為H，求側(cè)面與底面所成的角的大?。?/p>

分析：由已知條件可知，頂點(diǎn)V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以連結(jié)CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂線定理可知，VO⊥AB，則∠VOC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．（圖2）

正因?yàn)榇怂拿骟w的特性，解決此問題，可以取AB的中點(diǎn)O為其平面角的頂點(diǎn)，而且使得題設(shè)背影突出在面VOC上，給進(jìn)一步定量創(chuàng)造了得天獨(dú)厚的條件． 特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ與α，β的交線，而交線所成的角就是α-l-β的平面角．（如圖3）

由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”． 例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對(duì)角線BD把△ABD折起，使點(diǎn)A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

這是一道由平面圖形折疊成立體圖形的問題，解決問題的關(guān)鍵在于搞清折疊前后的“變”與“不變”．

如果在平面圖形中過A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，則折疊后OA，OE與BD的垂直關(guān)系不變．但OA與OE此時(shí)變成相交兩線并確定一平面，此平面必與棱垂直．

由特征（2）可知，面AOE與面ABD、面CBD的交線OA與OE所成的角，即為所求二面角的平面角． 另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直線上，又題設(shè)射影落在BC上，所以E點(diǎn)就是A′，這樣的定位給下面的定量提供了可能．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通過對(duì)例2的定性分析、定位作圖和定量計(jì)算，特征（2）從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，我們可以把構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面“擺平”，然后，在棱上選取一適當(dāng)?shù)拇咕€段，即可確定其平面角．“平面圖形”與“立體圖形”相映生輝，不僅便于定性、定位，更利于定量．

特征（3）顯示，如果二面角α-l-β的兩個(gè)半平面之一，存在垂線段AB，那么過垂足B作l的垂線交l于O，連結(jié)AO，由三垂線定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂線交l于O，連結(jié)OB，由三垂線定理的逆定理可知OB⊥l．此時(shí)，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．（如圖6），由此可見，二面角的平面角的定位可以找“垂線段”． 課堂練習(xí)

1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為2，E為BC的中點(diǎn)，求面B1D1E與面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．

練習(xí)1的條件背景表明，面B1D1E與面BB1C1C構(gòu)成兩個(gè)二面角，由特征（2）可知，這兩個(gè)二面角的大小必定互補(bǔ)．

為創(chuàng)造一完整的三垂線定理的環(huán)境背景，線段C1D1會(huì)讓我們眼睛一亮，我們只須由C1（或D1）作B1E的垂線交B1E于O，然后連結(jié)OD1（或OC1）即得面D1B1E與面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．將棱長為a的正四面體的一個(gè)面與棱長為a的正四棱錐的一個(gè)側(cè)面吻合，則吻合后的幾何體呈現(xiàn)幾個(gè)面？

分析：這道題，學(xué)生答“7個(gè)面”的占99.9％，少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎？

從例題中三個(gè)特征提供的思路在解決問題時(shí)各具特色，它們的目標(biāo)分別是找“點(diǎn)”、“垂面”、“垂線段”．事實(shí)上，我們只要找到其中一個(gè)，另兩個(gè)就接踵而來．掌握這種關(guān)系對(duì)提高解題技能和培養(yǎng)空間想象能力非常重要．

本題如果能融合三個(gè)特征對(duì)思維的監(jiān)控，可有效地克服、抑制思維的消極作用，培養(yǎng)思維的廣闊性和批判性．

如圖9，過兩個(gè)幾何體的高線VP，VQ的垂足P，Q分別作BC的垂線，則垂足重合于O，且O為BC的中點(diǎn)．OP延長過A，OQ延長交ED于R，考慮到三垂線定理的環(huán)境背影，∠AOR為二面角A-BC-R的平面角，結(jié)合特征（1），（2），可得VAOR為平行四邊形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．所以這道題的正確答案應(yīng)該是5個(gè)面．

例3 如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF與底面A1C1所成的二面角大小的正切值．

分析：在給定的平面B1EF與底面A1C1所成的二面角中，沒有出現(xiàn)二面角的棱，我們可以設(shè)法在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找出兩個(gè)面的共點(diǎn)，則這兩個(gè)公共點(diǎn)的連線即為二面角的棱，最后借助這條棱作出二面角的平面角．

略解：如圖10．在面BB1CC1內(nèi)，作EH⊥B1C1于H，連結(jié)HA1，顯然直線EF在底面A1C1的射影為HA1．

延長EF，HA1交于G，過G，B1的直線為所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1內(nèi)，作HK⊥GB1于K，連EK，則∠HKE為所求二面角的平面角．

在平面A1B1C1D1內(nèi)，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽R(shí)t△GKH，可求得KH． 又在Rt△EKH中，設(shè)EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

注：我們也可以不直接作出二面角的平面角，而通過等價(jià)變換或具體的計(jì)算得出其平面角的大?。覀兛梢允褂闷揭品ǎ蓛善矫嫫叫械男再|(zhì)可知，若兩平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么這兩個(gè)平行平面與第三個(gè)平面所成的二面角相等或互補(bǔ)．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角時(shí)，可利用此結(jié)論平移二面角的某一個(gè)面到合適的位置，以便等價(jià)地作出該二面角的平面角．

略解：過F作A′B′的平行線交BB′于G，過G作B′C′的平行線交B′E于H，連FH． 顯見平面FGH∥平面A′B′C′D′．則二面角B′-FH-G的平面角度數(shù)等于所求二面角的度數(shù)．過G作GM⊥HF，垂足為M，連B′M，由三垂線定理知B′M⊥HF．

所以∠B′MG為二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大?。?例4 已知：如圖12，P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=PD=a，AB=a． 求：平面APB與平面CPD相交所成較大的二面角的余弦值．

分析：為了找到二面角及其平面角，必須依據(jù)題目的條件，找出兩個(gè)平面的交線． 解：因?yàn)?AB∥CD，CD平面CPD，AB平面CPD．

所以 AB∥平面CPD．又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一個(gè)二面角． 因?yàn)?AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l．過P作PE⊥AB，PE⊥CD．因?yàn)?l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因?yàn)?PE是正三角形APB的一條高線，且AB=a，因?yàn)?E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，小結(jié)：二面角及其平面角的正確而合理的定位，要在正確理解其定義的基礎(chǔ)上，掌握其基本特征，并靈活運(yùn)用它們考察問題的背景．我們已經(jīng)看到，定位是為了定量，求角的大小往往要化歸到一個(gè)三角形中去解，因此尋找“垂線段”，把問題化歸是十分重要的．

四、作業(yè)：

1．120°二面角α-l-β內(nèi)有一點(diǎn)P，若P到兩個(gè)面α，β的距離分別為3和1，求P到l的距離．

2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1為棱，B1BD1與C1BD1為面的二面角的度數(shù)．

第三篇：復(fù)習(xí)講義—二面角復(fù)習(xí)課

復(fù)習(xí)講義（4）

二面角復(fù)習(xí)課

一、教學(xué)目標(biāo)：1．使學(xué)生進(jìn)一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

2．使學(xué)生掌握求二面角平面角的基本方法，不斷提高分析問題和解決問題的能力．

二、重點(diǎn)和難點(diǎn)：使學(xué)生能夠作出二面角的平面角；根據(jù)題目的條件，作出二面角的平面角．

三、教學(xué)過程

1．復(fù)習(xí)二面角的平面角的定義．

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容．解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于做好：定性分析，定位作圖，定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而定量則是定位，定性的深化．在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般說來，對(duì)其平面角的定位是問題解決的關(guān)鍵一步．可是學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定位，使問題的解決徒勞無益．

看右圖．

如圖1：α，β是由l出發(fā)的兩個(gè)半平面，O是l上任意一點(diǎn)，OC α，且OC⊥l；OD

β，且OD⊥l．這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．從中我們可以得到下列特征：

（1）過棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一點(diǎn)A，作AB⊥OD，垂足為B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，這便是另一特征．

（3）體現(xiàn)出一完整的三垂線定理（或逆定理）的條件背景．

特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點(diǎn)”．耐人尋味的是這一點(diǎn)可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問題的條件背景互相溝通，給計(jì)算提供方便．

例1 已知：如圖2，四面體V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足為H，求側(cè)面與底面所成的角的大?。?/p>

分析：由已知條件可知，頂點(diǎn)V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以連結(jié)CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂線定理可知，VO⊥AB，則∠VOC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．（圖2）

正因?yàn)榇怂拿骟w的特性，解決此問題，可以取AB的中點(diǎn)O為其平面角的頂點(diǎn)，而

且使得題設(shè)背影突出在面VOC上，給進(jìn)一步定量創(chuàng)造了得天獨(dú)厚的條件．

特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ與α，β的交線，而交線所成的角就是α-l-β的平面角．（如圖3）

由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”．

例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對(duì)角線BD把△ABD折起，使點(diǎn)A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

這是一道由平面圖形折疊成立體圖形的問題，解決問題的關(guān)鍵在于搞清折疊前后的“變”與“不變”．

如果在平面圖形中過A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，則折疊后OA，OE與BD的垂直關(guān)系不變．但OA與OE此時(shí)變成相交兩線并確定一平面，此平面必與棱垂直．

由特征（2）可知，面AOE與面ABD、面CBD的交線OA與OE所成的角，即為所求二面角的平面角．

另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直線上，又題設(shè)射影落在BC上，所以E點(diǎn)就是A′，這樣的定位給下面的定量提供了可能．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通過對(duì)例2的定性分析、定位作圖和定量計(jì)算，特征（2）從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，我們可以把構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面“擺平”，然后，在棱上選取一適當(dāng)?shù)拇咕€段，即可確定其平面角．“平面圖形”與“立體圖形”相映生輝，不僅便于定性、定位，更利于定量．

特征（3）顯示，如果二面角α-l-β的兩個(gè)半平面之一，存在垂線段AB，那么過垂足B作l的垂線交l于O，連結(jié)AO，由三垂線定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂線交l于O，連結(jié)OB，由三垂線定理的逆定理可知OB⊥l．此時(shí)，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．（如

圖6），由此可見，二面角的平面角的定位可以找“垂線段”．

課堂練習(xí)

1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為2，E為BC的中點(diǎn)，求面B1D1E與面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．

練習(xí)1的條件背景表明，面B1D1E與面BB1C1C構(gòu)成兩個(gè)二面角，由特征（2）可知，這兩個(gè)二面角的大小必定互補(bǔ)．

為創(chuàng)造一完整的三垂線定理的環(huán)境背景，線段C1D1會(huì)讓我們眼睛一亮，我們只須由C1（或D1）作B1E的垂線交B1E于O，然后連結(jié)OD1（或OC1）即得面D1B1E與面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．將棱長為a的正四面體的一個(gè)面與棱長為a的正四棱錐的一個(gè)側(cè)面吻合，則吻合后的幾何體呈現(xiàn)幾個(gè)面？

分析：這道題，學(xué)生答“7個(gè)面”的占99.9％，少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎？

從例題中三個(gè)特征提供的思路在解決問題時(shí)各具特色，它們的目標(biāo)分別是找“點(diǎn)”、“垂面”、“垂線段”．事實(shí)上，我們只要找到其中一個(gè)，另兩個(gè)就接踵而來．掌握這種關(guān)系對(duì)提高解題技能和培養(yǎng)空間想象能力非常重要．

本題如果能融合三個(gè)特征對(duì)思維的監(jiān)控，可有效地克服、抑制思維的消極作用，培養(yǎng)思維的廣闊性和批判性．

如圖9，過兩個(gè)幾何體的高線VP，VQ的垂足P，Q分別作BC的垂線，則垂足重合于O，且O為BC的中點(diǎn)．OP延長過A，OQ延長交ED于R，考慮到三垂線定理的環(huán)境背影，∠AOR為二面角A-BC-R的平面角，結(jié)合特征（1），（2），可得VAOR為平行四邊形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．所以這道題的正確答案應(yīng)該是5個(gè)面．

例3 如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AA1上，且A1F∶

FA=1∶2，求平面B1EF與底面A1C1所成的二面角大小的正切值．

分析：在給定的平面B1EF與底面A1C1所成的二面角中，沒有出現(xiàn)二面角的棱，我們可以設(shè)法在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找出兩個(gè)面的共點(diǎn)，則這兩個(gè)公共點(diǎn)的連線即為二面角的棱，最后借助這條棱作出二面角的平面角．

略解：如圖10．在面BB1CC1內(nèi)，作EH⊥B1C1于H，連結(jié)HA1，顯然直線EF在底面A1C1的射影為HA1．

延長EF，HA1交于G，過G，B1的直線為所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1內(nèi)，作HK⊥GB1于K，連EK，則∠HKE為所求二面角的平面角．

在平面A1B1C1D1內(nèi)，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽R(shí)t△GKH，可求得KH． 又在Rt△EKH中，設(shè)EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

注：我們也可以不直接作出二面角的平面角，而通過等價(jià)變換或具體的計(jì)算得出其平面角的大?。覀兛梢允褂闷揭品ǎ蓛善矫嫫叫械男再|(zhì)可知，若兩平行平面同時(shí)與 到的一個(gè)二面角．

因?yàn)?AB∥平面CPD，AB

平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l．過P作PE⊥AB，PE⊥CD．因?yàn)?l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因?yàn)?PE是正三角形APB的一條高線，且AB=a，因?yàn)?E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，小結(jié)：二面角及其平面角的正確而合理的定位，要在正確理解其定義的基礎(chǔ)上，掌握其基本特征，并靈活運(yùn)用它們考察問題的背景．我們已經(jīng)看到，定位是為了定量，求角的大小往往要化歸到一個(gè)三角形中去解，因此尋找“垂線段”，把問題化歸是十分重要的．

四、作業(yè)：

1．120°二面角α-l-β內(nèi)有一點(diǎn)P，若P到兩個(gè)面α，β的距離分別為3和1，求P到l的距離．

2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1為棱，B1BD1與C1BD1為面的二面角的度數(shù)．

第四篇：線面垂直面面垂直及二面角專題練習(xí)

線面垂直專題練習(xí)

一、定理填空：

1.直線和平面垂直

如果一條直線和，就說這條直線和這個(gè)平面垂直.2.線面垂直判定定理和性質(zhì)定理 線面垂直判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.判定定理1：如果兩條平行線中的一條于一個(gè)平面，那么判定定理2：一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么.性質(zhì)定理3：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線.二、精選習(xí)題：

1.設(shè)M表示平面，a、b表示直線，給出下列四個(gè)命題：

①a//b?a?M?a?M?a//M???b∥M④??b?M②??a//b③??b⊥M.a?b?a?M?b?M?a?b?

其中正確的命題是()

A.①②B.①②③C.②③④D.①②④

2.如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn).現(xiàn)在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P.那么，在四面體P—DEF中，必有()

第3題圖

A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF

3.設(shè)a、b是異面直線，下列命題正確的是()

A.過不在a、b上的一點(diǎn)P一定可以作一條直線和a、b都相交

B.過不在a、b上的一點(diǎn)P一定可以作一個(gè)平面和a、b都垂直

C.過a一定可以作一個(gè)平面與b垂直

D.過a一定可以作一個(gè)平面與b平行

4.如果直線l,m與平面α,β,γ滿足:l=β∩γ,l∥α,m?α和m⊥γ,那么必有()

A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ

5.有三個(gè)命題：

①垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；

②過平面α的一條斜線l有且僅有一個(gè)平面與α垂直；

③異面直線a、b不垂直，那么過a的任一個(gè)平面與b都不垂直

其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.36.設(shè)l、m為直線，α為平面，且l⊥α，給出下列命題

① 若m⊥α，則m∥l；②若m⊥l，則m∥α；③若m∥α，則m⊥l；④若m∥l，則m⊥α，其中真命題的序號(hào)是()．．．A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

7.如圖所示,三棱錐V-ABC中,AH⊥側(cè)面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC邊上的高.求證:VC⊥AB;

8.如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).(1)求證：MN∥平面PAD.(2)求證：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中點(diǎn)，求證：AB1⊥A1M．

10.如圖所示，正方體ABCD—A′B′C′D′的棱長為a，M是AD的中點(diǎn)，N是BD′上一點(diǎn)，且D′N∶NB＝1∶2，MC與BD交于P.(1)求證：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC與平面CC′D′D所成的角.面面垂直專題練習(xí)

一、定理填空

面面垂直的判定定理：

二、精選習(xí)題

1、正方形ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角后，AB與CD所成的角等于

2、三棱錐P?ABC的三條側(cè)棱相等，則點(diǎn)P在平面ABC上的射影是△ABC的____心.3、一條直線與兩個(gè)平面所成角相等，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系為______________

4、在正三棱錐中，相鄰兩面所成二面角的取值范圍為___________________

5、已知??l??是直二面角，A??,B??,A、B?l，設(shè)直線AB與?成30角，AB=2，B

?

到A在l上的射影N，則AB與?所成角為______________.6、在直二面角??AB??棱AB上取一點(diǎn)P，過P分別在?,?平面內(nèi)作與棱成 45°角的斜線PC、PD，則∠CPD的大小是_____________

7、正四面體中相鄰兩側(cè)面所成的二面角的余弦值為___________________.二、解答題：

8.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中.求證：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1D

B1

C1

C

A

B10、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求證：平面PAC⊥平面PBC．

BAC11、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．問△ABC是否為直角三角形，若是，請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)舉出反例．

BA

C

二面角練習(xí)1210

1.正方體ABCD－A1B1C1D1中,二面角A－BD1－C的大小是（）A.5?2???B.C.D.632

32.邊長為a的正三角形中，AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B－AD－C后，BC=

a，這時(shí)二

2面角B－AD－C的大小為（）A.30°B.45°C.60°D.90°

3.以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高為折痕，將△ABC折起，若折起后的三角形ABC為等邊三角形，則二面角C－AD－B的大小為（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

4在空間四邊形ABCD中，AB=CB，AD=CD，E、F、G分別 是AC、AD、CA的中點(diǎn)。求證：平面BEF

^平面BEG。

性質(zhì)定理：若兩個(gè)平面互相垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

5.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.。

二面角的基本求法

(1)定義法：在棱上取點(diǎn)，直。

9．SA^平面ABC，AB^BC，SA=AB=BC，（1）求證：SB^BC；（2）求二面角S-BC-A和C-SA-B的大??；

（3）求異面直線SC與AB所成角的余弦值。

10.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求（1）二面角A-B1C-A1的大小；（2）平面A1DC1與平面ADD1A1所成角的正切值。

11.正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，P是AD的中點(diǎn)，求二面角A-BD1-P的大小。

(2)．三垂線法

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平垂直。

12．平面ABCD^平面ABEF，ABCD是 矩形且AF=

AD=a，G是EF2

A

平面AGC^平面BGC；（2）求GBB

角的正弦值；

（3）求二面角B-AC-G的大小。

13．點(diǎn)P在平面ABC外，?ABC是等腰直角三角形，?ABC

（1）求證：平面PAB^平面APA^BC。?PAB是正三角形，（2）求二面角P-AC-B的大小。

（3）．垂面法

14.將一副三角板如圖拼接，并沿BC折起成直二面角，設(shè)AB=AC=a, ∠BAC=∠DCB=90°,∠DBC=30°,求二面角B－AD－C的大小 及二面角C－AB－D的正切值。

C

第五篇：高中數(shù)學(xué)教案：二面角復(fù)習(xí)課

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二面角復(fù)習(xí)課

一、教學(xué)目標(biāo)：

1．使學(xué)生進(jìn)一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

2．使學(xué)生掌握求二面角平面角的基本方法，不斷提高分析問題和解決問題的能力．

二、重點(diǎn)和難點(diǎn)：使學(xué)生能夠作出二面角的平面角；根據(jù)題目的條件，作出二面角的平面角．

三、教學(xué)過程

1．復(fù)習(xí)二面角的平面角的定義．

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容．解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于做好：定性分

析，定位作圖，定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而定量則是定位，定性的深化．在

面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般說來，對(duì)其平面角的定位是問題解決的關(guān)鍵一步．可是學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)

致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定位，使問題的解決徒勞無益．

看右圖．

如圖1：α，β是由l出發(fā)的兩個(gè)半平面，O是l上任 意一點(diǎn)，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l． 這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面 角α-l-β的平面角．從中我們可以得到下列特征：（1）過棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一點(diǎn)A，作AB⊥OD，垂足為B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，這便是另一特征．（3）體現(xiàn)出一完整的三垂線定理（或逆定理）的條件背景． 特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點(diǎn)”．耐人尋味的是這一點(diǎn)可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問題的條件背景互相溝通，給計(jì)算提供方便．

例1 已知：如圖2，四面體V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足為H，求側(cè)面與底面所成的角的大小．

分析：由已知條件可知，頂點(diǎn)V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以連結(jié)CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂線定理可知，VO⊥AB，則∠VOC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．（圖2）

正因?yàn)榇怂拿骟w的特性，解決此問題，可以取AB的中點(diǎn)O為其平面角的頂點(diǎn)，而且使得題設(shè)背影突出在面VOC上，給 進(jìn)一步定量創(chuàng)造了得天獨(dú)厚的條件． 特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l 垂直某一平面γ，那么l必垂直γ與α，β 的交線，而交線所成的角就是α-l-β的平面角．（如圖3）由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”．

例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對(duì)角線BD把△ABD折起，使點(diǎn)A在平面BCD上的射影歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。004km.cn

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A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

這是一道由平面圖形折疊成立體 圖形的問題，解決問題的關(guān)鍵在于搞 清折疊前后的“變”與“不變”．

如果在平面圖形中過A作 AE⊥BD交BD于O、交BC于E，則折疊后OA，OE與BD的垂直關(guān) 系不變．但OA與OE此時(shí)變成相交

兩線并確定一平面，此平面必與棱垂直．

由特征（2）可知，面AOE與面ABD、面CBD的交線OA與OE所成的角，即為所求二面角的平面角．

另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直線上，又題設(shè)射影落在BC上，所以E點(diǎn)就是A′，這樣的定位給下面的定量提供了可能．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通過對(duì)例2的定性分析、定位作圖和定量計(jì)算，特征（2）從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，我們可以把構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面“擺平”，然后，在棱上選取一適當(dāng)?shù)拇咕€段，即可確定其平面角．“平面圖形”與“立體圖形”相映生輝，不僅便于定性、定位，更利于定量．

特征（3）顯示，如果二面角α-l-β的兩個(gè)半平面之一，存在垂線段AB，那么過垂足B作l的垂線交l于O，連結(jié)AO，由三垂線定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂線交l于O，連 結(jié)OB，由三垂線定理的逆定理可知OB⊥l．此時(shí)，∠AOB就 是二面角α-l-β的平面角．（如圖6），由此可見，二面角的平面角的定位可以找“垂線段”．

課堂練習(xí)

1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為2，E為BC的中點(diǎn)，求面B1D1E與面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．

練習(xí)1的條件背景表明，面B1D1E

與面BB1C1C構(gòu)成兩個(gè)二面角，由特

征（2）可知，這兩個(gè)二面角的大小

必定互補(bǔ)．

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為創(chuàng)造一完整的三垂線定理的環(huán)境背

景，線段C1D1會(huì)讓我們眼睛一亮，我們只須由C1（或D1）作B1E的垂線交

B1E于O，然后連結(jié)OD1（或OC1）即得面

D1B1E與面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．將棱長為a的正四面體的一個(gè)面與棱長為a的正四棱錐的一個(gè)側(cè)面吻合，則吻合后的幾何

體呈現(xiàn)幾個(gè)面？

分析：這道題，學(xué)生答“7個(gè)面”的占99.9％，少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎？

從例題中三個(gè)特征提供的思路在解決問題時(shí)各具特色，它們的目標(biāo)分別是找“點(diǎn)”、“垂面”、“垂線段”．事實(shí)上，我們只要找到其中一個(gè)，另兩個(gè)就接踵而來．掌握這種關(guān)系對(duì)提高解

題技能和培養(yǎng)空間想象能力非常重要．

本題如果能融合三個(gè)特征對(duì)思維的監(jiān)控，可有效地克服、抑制思維的消極作用，培養(yǎng)思維

的廣闊性和批判性．

如圖9，過兩個(gè)幾何體的高線VP，VQ的垂足

P，Q分別作BC的垂線，則垂足重合于O，且O為

BC的中點(diǎn)．OP延長過A，OQ延長交ED于R，考

慮到三垂線定理的環(huán)境背影，∠AOR為二面角

A-BC-R的平面角，結(jié)合特征（1），（2），可得VAOR

為平行四邊形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同

理V，A，C，D共面．所以這道題的正確答案應(yīng)該

是5個(gè)面．

例3 如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF與底面A1C1所成的二面角大小的正切值．

分析：在給定的平面B1EF與底面A1C1所成的二面角中，沒有出現(xiàn)二面角的棱，我們可以設(shè)法在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找出兩個(gè)面的共點(diǎn)，則這兩個(gè)公共點(diǎn)的連線即為二面角的棱，最后借助這條棱作出二面角的平面角．

略解：如圖10．在面BB1CC1內(nèi)，作EH⊥B1C1于H，連結(jié)HA1，顯然直線EF在底面A1C1的射影為HA1．

延長EF，HA1交于G，過G，B1的直線為所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1內(nèi)，作HK⊥GB1于K，連EK，則∠HKE為所求二面角的平面角．

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在平面A1B1C1D1內(nèi)，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽R(shí)t△GKH，可求得KH．

又在Rt△EKH中，設(shè)EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

注：我們也可以不直接作出二面角的平面角，而通過等價(jià)變換或具體的計(jì)算得出其平面角的大?。覀兛梢允褂闷揭品ǎ蓛善矫嫫叫械男再|(zhì)可知，若兩平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么這兩個(gè)平行平面與第三個(gè)平面所成的二面角相等或互補(bǔ)．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角時(shí)，可利用此結(jié)論平移二面角的某一個(gè)面到合適的位置，以便等價(jià)地作出該二面角的平面角．

略解：過F作A′B′的平行線交BB′于G，過G作B′C′的平行線交B′E于H，連FH．

顯見平面FGH∥平面A′B′C′D′． 則二面角B′-FH-G的平面角度數(shù)等于

所求二面角的度數(shù)．

過G作GM⊥HF，垂足為M，連B′M，由三垂線定理知 B′M⊥HF．所以∠B′MG為二面角 B′-FH-G的平面角，其大小等于所求 二面角平面角的大?。?/p>

例4 已知：如圖12，P是正方形ABCD所在

平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．

求：平面APB與平面CPD相交所成較大的二面角的余弦值． 分析：為了找到二面角及其平面角，必須依據(jù)題目的條件，找出

兩個(gè)平面的交線． 解：因?yàn)?AB∥CD，CD

平面CPD，AB

平面CPD．

所以 AB∥平面CPD．又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一個(gè)二面角． 因?yàn)?AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l．過P作PE⊥AB，PE⊥CD．因?yàn)?l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因?yàn)?PE是正三角形APB的一條高線，且AB=a，因?yàn)?E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。004km.cn

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小結(jié)：二面角及其平面角的正確而合理的定位，要在正確理解其定義的基礎(chǔ)上，掌握其基本特征，并靈活運(yùn)用它們考察問題的背景．我們已經(jīng)看到，定位是為了定量，求角的大小往往要化歸到一個(gè)三角形中去解，因此尋找“垂線段”，把問題化歸是十分重要的．

四、作業(yè)：

1．120°二面角α-l-β內(nèi)有一點(diǎn)P，若P到兩個(gè)面α，β的距離分別為3和1，求P到l的距

離．

2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1為棱，B1BD1與C1BD1為面的二面角的度數(shù)．

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