第一篇：高二數(shù)學(xué) 不等式教案13 蘇教版

第十三教時

教材：復(fù)習(xí)一元一次不等式

目的：通過復(fù)習(xí)要求學(xué)生能熟練地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是對含有參數(shù)的一元一次和一元二次不等式，能正確地對參數(shù)分區(qū)間討論。過程：

一、提出課題：不等式的解法（復(fù)習(xí)）：一元一次與一元二次不等式 板演：1．解不等式：2(x?1)?x?27x??1(x?2)32?x??1?10?2x?11?3x? 2．解不等式組：?（?x?2??1?x?1）

?5x?3?4x?1?x?1?3．解不等式：?x?5x?6(2?x?3)4．解不等式：x?4x?4?0(x?R,x?2)5．解不等式：x?2x?3?0(???8?0,x??)

二、含有參數(shù)的不等式

例

一、解關(guān)于x的不等式a(x?ab)?b(x?ab)

解：將原不等式展開，整理得：(a?b)x?ab(a?b)

討論：當(dāng)a?b時，x?222ab(a?b)

a?b當(dāng)a?b時，若a?b≥0時x??；若a?b<0時x?R 當(dāng)a?b時，x?ab(a?b)

a?b2例

二、解關(guān)于x的不等式x?x?a(a?1)?0 解：原不等式可以化為：(x?a?1)(x?a)?0

1則x?a或x?1?a 21121若a??(a?1)即a?則(x?)?0 x?,x?R

2221若a??(a?1)即a?則x?a或x?1?a

2若a??(a?1)即a?2例

三、關(guān)于x的不等式ax?bx?c?0的解集為{x|x??2或x??}

12求關(guān)于x的不等式ax?bx?c?0的解集． 解：由題設(shè)a?0且?2b5c??，?1 a2a22從而 ax?bx?c?0可以變形為x?2bcx??0 aa即：x?51x?1?0 ∴?x?2 22例

四、關(guān)于x的不等式ax2?(a?1)x?a?1?0 對于x?R恒成立，求a的取值范圍．s 解：當(dāng)a>0時不合 a=0也不合

∴必

有

：

?a?0?a?0 ??2?2??(a?1)?4a(a?1)?03a?2a?1?0???a?01???a??

3?(3a?1)(a?1)?0 例

五、若函數(shù)f(x)?取值范圍

解：顯然k=0時滿足 而k<0時不滿足

kx2?6kx?(k?8)的定義域為R，求實數(shù)k的

?k?0?0?k?1 ?2???36k?4k(k?8)?2∴k的取值范圍是[0,1]

三、簡單絕對不等式

例

六、（課本6.4 例1）解不等式|x?5x?5|?1 解集為：{x|1?x?2或3?x?4}

四、小結(jié)

五、作業(yè)：6.4 練習(xí)1、2 P25習(xí)題6.4 1 補充：1．解關(guān)于x的不等式：

1?

2x?2x?3?1?2 2? 2x2?ax?2?0 kk22．不等式ax?bx?2?0的解集為{x|??a??1211?x?}，求a, b(?)23?b??23．不等式ax?4x?a?3對于x?R恒成立，求a的取值(a>4)24．已知A?{x|x2?x?2?0}, B?{x|4x?p?0}且B?A, 求p的取值范圍(p≥4)5．已知y?ax?2a?1 當(dāng)-1≤x≤1時y有正有負(fù)，求a的取值范圍

(?1?a?

1)2

第二篇：高二數(shù)學(xué)不等式練習(xí)題及答案(經(jīng)典)

不等式練習(xí)題

一、選擇題

1、若a,b是任意實數(shù),且a＞b,則

（）（A）a2＞b

2（B）b11＜1

（C）lg(a-b)＞0

（D）()a＜()b a222、下列不等式中成立的是

（）

1+a≥2(a?0)at?111（C）＜(a＞b)

（D）a2≥at(t＞0,a＞0,a?1)ab113、已知a >0,b >0且a +b=1, 則(2?1)(2?1)的最小值為

（）

ab（A）lgx+logx10≥2(x＞1)

（B）

(A)6

(B)7

(C)8

(D)9

4、已給下列不等式(1)x3+ 3 >2x(x∈R);(2)a5+b5> a3b2+a2b3(a ,b∈R);(3)a2+b2≥2(a－b－1), 其中正確的個數(shù)為

（）

(A)0個

(B)1個

(C)2個

(D)3個

5、f(n)= n2?1－n , ?(n)=(A)f(n)

(B)f(n)

(D)g(n)

（）2n

6、設(shè)x2+y2 = 1, 則x +y

（）

(A)有最小值1

(B)有最小值(C)有最小值－1

(D)有最小值－2

7、不等式|x＋5|＞3的解集是

（）(A){x|－8＜x＜8}

(B){x|－2＜x＜2}(C){x|x＜－2或x＞2＝

(D){x|x＜－8或x＞－2＝

8、若a，b，c為任意實數(shù)，且a＞b，則下列不等式恒成立的是

（）(A)ac＞bc

(B)|a＋c|＞|b＋c|

(C)a2＞b(D)a＋c＞b＋c x?31x2?2x?329、設(shè)集合M={x|≤0},N={x|x+2x-3≤0},P={x|()≥1},則有

（）x?12（A）M?N=P

（B）M?N?P

（C）M=P?N

（D）M=N=P

10、設(shè)a,b∈R,且a+b=3,則2a+2b的最小值是

（）（A）6

（B）

42（C）22

（D）26

11、若關(guān)于x的不等式ax2＋bx－2＞0的解集是???,???1??1????,???，則ab等于（）2??3?(A)－24

(B)24

(C)14

(D)－14

12、如果關(guān)于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a 的取值范圍是

（）(A)(??,2]

(B)(??,?2)

(C)(?2,2]

(D)(－2,2)

13、設(shè)不等式f(x)≥0的解集是[1，2]，不等式g(x)≥0的解集為?，則不等式

f(x)?0的解集是

（）g(x)(A)?

(B)(??,1)?(2,??)

(C)[1，2]

(D)R

14、xx的解集是

（）?x?2x?(A)(－2,0)

(B)(－2,0)

(C)R

(D)(－∞,－2)∪(0,+ ∞)

15、不等式3?1?x?3的解集是

（）

3(A)(－∞,1)

(B)(33,1)

(C)(,1)

(D)R 4

4二、填空題

1、若x與實數(shù)列a1,a2,…,an中各數(shù)差的平方和最小,則x=________.2、不等式xlog1x21?的解集是________.x3、某工廠產(chǎn)量第二年增長率是p1,第三年增長率是p2,第四年增長率是p3且p1＋p2＋p3=m(定值),那么這三年平均增長率的最大值是________.b224、a≥0,b≥0,a＋=1,則a1?b的最大值是________.225、若實數(shù)x、y滿足xy＞0且x2y=2,則xy＋x2的最小值是________.6、x＞1時，f(x)=x＋116x的最小值是________，此時x=________.?2xx?1

7、不等式log4(8x－2x)≤x的解集是________.8、不等式11的解集是________.?xx4?12?

329、命題①：關(guān)于x的不等式(a－2)x＋2(a－2)x－4＜0對x?R恒成立;命題②：f(x)=－(12x－3a－a)是減函數(shù).若命題①、②至少有一個為真命題,則實數(shù)a的取值范圍是________.10、設(shè)A={x|x≥

三、解答題 1,x?R},B={x|2x?1＜3,x?R＝,則D=A∩B=________.xx2?9x?111、解不等式：2≥7.x?2x?

12、解不等式：x4－2x3－3x2＜0.3、解不等式：9x?5≥－2.x2?5x?624、解不等式：9?x?26x?x2＞3.5、解不等式：x?3x?2＞x＋5.6、若x2＋y2=1，求(1＋xy)(1－xy)的最大、最小值。

7、若x,y＞0，求x?yx?y的最大值。

8、已知關(guān)于x的方程x2＋(m2－1)x＋m－2=0的一個根比－1小，另一個根比1大，求參數(shù)m的取值范圍。

9、解不等式：loga(x＋1-a)>1.10解不等式8?x?x?3.不等式練習(xí)答案

一、DADCB

DDDAB

BCBAB

二、1、321m(a1＋a2＋…＋an)2、0＜x＜1或x＞2 3、4、5、3

4n31?5)8、0＜x＜log23

9、-3＜x≤2 6、8,2＋

37、(0,log2210、－12≤x＜0或1≤x＜4

三、1、[－12,1]∪(1,43)

2、(－1,0)∪(0,3)

3、(－∞,2)∪(3,＋∞)

5、(－∞,－2313)6、1，347、28、－2＜m＜0

9、解：(I)當(dāng)a>1時，原不等式等價于不等式組：??x?1?a?0，?x?1?a?a.解得x>2a-1.(II)當(dāng)01時，不等式的解集為{x|x>2a-1}；

當(dāng)0

或(2)???8?x?0?8?x?(x?3)2?x?3?0

由(1)得3?x?5?212，由(2)得x＜3，故原不等式的解集為??x|x?5?21??2? ?

4、(0,3)

第三篇：高二數(shù)學(xué)不等式的證明

高二數(shù)學(xué)不等式的證明(二)

[本周學(xué)習(xí)內(nèi)容]不等式證明中的綜合證明方法：

1.換元法：通過適當(dāng)?shù)膿Q元，使問題簡單化，常用的有三角換元和代數(shù)換元。

2.放縮法：理論依據(jù)：a>b,b>ca.c，找到不等號的兩邊的中間量，從而使不等式成立。

3.反證法：理論依據(jù)：命題“p”與命題“非p”一真、一假，證明格式

[反證]：假設(shè)結(jié)論“p”錯誤，“非p”正確，開始倒推，推導(dǎo)出矛盾(與定義，定理、已知等等矛盾)，從而得 到假設(shè)不正確，原命題正確。

4.數(shù)學(xué)歸納法：這是一種利用遞推關(guān)系證明與非零自然數(shù)有關(guān)的命題，可以是等式、不等式、命題。

證明格式：

(1)當(dāng)n=n0時，命題成立；

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立；

則當(dāng)n=k+1時，證明出命題也成立。

由(1)(2)知：原命題都成立。

[本周教學(xué)例題]

一、換元法：

1.三角換元：

例1.求證：

證一：(綜合法)

即：

證二：(換元法)∵-1≤x≤1 ∴令x=cos,[0,π]

則

∵-1≤sin2≤1

例2.已知x>0，y>0，2x+y=1，求證：

分析：由于條件給出了x>0，y>0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1這一特點是解決問題的重要環(huán)節(jié)。由本題中x>0，y>0,2x+y=1的條件也可用三角代換。

證一：

證二：由x>0,y>0，2x+y=1，可設(shè)

則

例3.若x2+y2≤1，求證：

證：設(shè)

則

例4.若x>1，y>1，求證：

證：設(shè)

則

例5.已知：a>1,b>0，a-b=1，求證：

證：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨設(shè)

則

小結(jié)：若0≤x≤1，則可令

若x2+y2=1，則可令x=cos，y=sin(0≤θ<2π)

若x2-y2=1，則可令x=sec,y=tan(0≤θ<2π)

若x≥1，則可令

2.代數(shù)換元：，若xR，則可令

例6：證明：若a>0，則

證：設(shè)

則

即

∴原式成立

小結(jié)：還有諸如“均值換元”“設(shè)差換元”的方法。

二、放縮法：

例7.若a,b,c,dR+，求證：

證：記

∵a,b,c,dR+

∴1

例8.當(dāng)n>2時，求證：logn(n-1)logn(n+1)<1

證：∵n>2 ∴l(xiāng)ogn(n-1)>0，logn(n+1)>0

∴n>2時，logn(n-1)logn(n+1)<1

例9.求證：

證：

三.反證法

例10.設(shè)0

證：設(shè)

則三式相乘： ①

又∵0

同理：

以上三式相乘：

∴原式成立

與①矛盾

例11.已知a+b+c+>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a,b,c>0

證：設(shè)a<0，∵abc>0，∴bc<0

又由a+b+c>0，則b+c=-a>0

∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0 與題設(shè)矛盾

又：若a=0，則與abc>0矛盾，∴必有a>0

同理可證：b>0，c>0

四.構(gòu)造法：

1.構(gòu)造函數(shù)法

例12.已知x>0，求證：

證：構(gòu)造函數(shù)

由

顯然

∴上式>0

∴f(x)在 上單調(diào)遞增，∴左邊

例13.求證：

證：設(shè)

用定義法可證：f(t)在上單調(diào)遞增，令：3≤t1

例14.已知實數(shù)a,b,c，滿足a+b+c=0和abc=2，求證：a,b,c中至少有一個不小于2。

證：由題設(shè)：顯然a,b,c中必有一個正數(shù)，不妨設(shè)a>0

則有兩個實根。

例15.求證：

證：設(shè)

當(dāng)y=1時，命題顯然成立，當(dāng)y≠1時，△=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y-3)≥0

綜上所述，原式成立。(此法也稱判別式法)

例16.已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac+bd

證一：(分析法)∵a,b,c,d,x,y都是正數(shù)

∴要證：(xy)≥ac+bd

只需證

即：(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd

展開得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd

即：a2d2+b2c2≥2abcd

由基本不等式，顯然成立

∴xy≥ac+bd

證二：(綜合法)

證三：(三角代換法)

∵x2=a2+b2，∴不妨設(shè)

y2=c2+d

2五.數(shù)學(xué)歸納法：

例17.求證：設(shè)nN，n≥2，求證：

分析：關(guān)于自然數(shù)的不等式?？捎脭?shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。

證：當(dāng)n=2時，左邊，易得：左邊>右邊。

當(dāng)n=k時，命題成立，即：成立。

當(dāng)n=k+1時，左邊

又

；且4(k+1)2>(2k+3)(2k+1)；

于是可得：

即當(dāng)n=k+1時，命題也成立；

綜上所述，該命題對所有的自然數(shù)n≥2均成立。

[本周參考練習(xí)]

證明下列不等式：

1.提示：令，則(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)x=0用△法，分情況討論。

2.已知關(guān)于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0(aR)，對任意實數(shù)x恒成立，求證：

提示：分

3.若x>0，y>0，x+y=1，則

提示：左邊

令t=xy，則

在 上單調(diào)遞減

4.已知|a|≤1，|b|≤1，求證：，提示：用三角換元。

5.設(shè)x>0，y>0，求證：a

放縮法

6.若a>b>c，則

10.左邊

11.求證：高二數(shù)學(xué)不等式的應(yīng)用

三.關(guān)于不等式的應(yīng)用：

不等式的應(yīng)用主要圍繞著以下幾個方面進(jìn)行：

1.會應(yīng)用不等式的證明技巧解有關(guān)不等式的應(yīng)用題：利用不等式求函數(shù)的定義域、值域；求函數(shù)的最值；討論方程的根的問題。

(求極值的一個基本特點：和一定，一般高，乘積撥了尖；積不變，兩頭齊，和值得最低。)在使用時，要注意以下三個方面：“正數(shù)”、“定值”、“等號”出現(xiàn)的條件和成立的要求，其中“構(gòu)造定值”的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用在極值使用中有著相當(dāng)重要的作用。

2.會把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和運用數(shù)學(xué)的意識。

3.通過不等式應(yīng)用問題的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣。

四、不等式的應(yīng)用問題舉例：

例10.已知a、b為正數(shù)，且a+b=1，求

最大值。

分析：在一定的條件限制下出現(xiàn)的最值問題，在變式的過程中，如何減少變形產(chǎn)生的錯誤也是必不可少的一個環(huán)節(jié)。

解：由可得；

小結(jié)：如果本題采用

兩式相加而得：號是否取到，這是在求極值時必須堅持的一個原則。

；則出現(xiàn)了錯誤：“=”

例11.求函數(shù)的最小值。

分析：變形再利用平均值不等式是解決問題的關(guān)鍵。

解：

即f(x)最小值為-1

此類問題是不等式求極值的基本問題；但如果再改變x的取值范圍(當(dāng)取子集時)，要則要借助于函數(shù)的基本性質(zhì)解決問題了。

例12.若4a2+3b2=4，試求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。的某一個

分析：在解決此類問題時，如何把4a2+3b2=4拆分成與(2a2+1),(b2+2)兩個式子的代數(shù)和則是本問題的關(guān)鍵。

解：

當(dāng)且僅當(dāng)：4a2+2=3b2+6，即

時取等號，y的最大值為8。

小結(jié)：此問題還有其它不同的解法，如三角換元法；消元轉(zhuǎn)化法等等。但無論使用如何種廣泛，都必須注意公式中的三個運用條件(一正，二定，三等號)

例13.已知x.y>0，且x·y=1，求的最小值及此時的x、y的值。

分析：考查分式的最值時，往往需要把分式拆成若干項，然后變形使用平均值不等式求解。

解：∵x>y>0 ∴x-y>0

又∵x·y=1，也即：；當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。

也即；時，取等號。

例14.設(shè)x，y，z∈R+，x+y+z=1，求證：的最小值。

分析：此類問題的關(guān)鍵是如何使用平均值不等式，兩條途徑1.利用進(jìn)而進(jìn)行類加。

2.另一個途徑是直接進(jìn)行1的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化。但無論如何需要注意的是驗證“=”號成立。本題使用1的構(gòu)造代入。

解：∵x，y，z∈R+，且x+y+z=1

當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”號，的最小值為9。

小結(jié)：本題如果采用三式類加，得到：，由x，y，z∈R+，且x+y+z=1得：

。進(jìn)而言之，的最小值為5，則出現(xiàn)了一個錯誤的結(jié)果，其關(guān)鍵在于三個“=”號是否同時成立。

例15.已知a>0,a2-2ab+c2=0，bc>a2，試比較 a，b，c的大小。

分析：此問題只給出了幾何簡單的不等式關(guān)系，故要判斷大小必須在這幾個不等式中進(jìn)行變形分析才可解決問題。

解：由a2-2ab+c2=0可得，a2+c2=2ab≥2ac

又∵a>0,∴b≥c,(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，取等號)再由：bc>a2可知，b>c,b>a再由原式變形為：a2-2ab+b2+c2-b2=0得：b2≥c2，結(jié)合：b>c可得：b>c>0

又由b>a可得：2ab>2a2，綜上所述，可得：b>c>a

小結(jié)：本題中熟練掌握不等式的基本性質(zhì)和變形是解決問題的關(guān)鍵。

例16.某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi)，沿左，右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地。當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時？蔬菜的種植面積最大。最大種植面積是多少？

分析：如何把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，是應(yīng)用不等式等基礎(chǔ)知識和方法解決實際問題的基本能力。

解：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長為am，后側(cè)邊長為bm，則ab=800

蔬菜的種植面積S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)

所以

當(dāng)a=2b，即a=40(m),b=20(m)時，=648(m2)

答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長為40m，后側(cè)邊長為20m時，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648m2.例17.某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降，若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年(今年為第一年)的利潤為

(Ⅰ)設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤為An萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤為Bn萬元(須扣除技術(shù)改造資金)，求An、Bn的表達(dá)式；

(Ⅱ)依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤？

分析：數(shù)學(xué)建模是解決應(yīng)用問題的一個基本要求，本問題對建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式的基礎(chǔ)知識，運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力都有著較高的要求。

解：(Ⅰ)依題設(shè)，An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2；

(Ⅱ)

因為函數(shù)上為增函數(shù)，當(dāng)1≤n≤3時，當(dāng)n≥4時，∴僅當(dāng)n≥4時，Bn>An。

答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤。

小結(jié)：如何進(jìn)行數(shù)學(xué)建模最基本的一個方面就是如何把一個實際中的相關(guān)因素進(jìn)行分析，通過文字說明轉(zhuǎn)化為等量關(guān)系或者是相互關(guān)系，再把文字關(guān)系處理為數(shù)學(xué)關(guān)系。

五、本周參考練習(xí)

1.已知a>0 ,b>0,a+b=1，證明：

2.如果△ABC的三內(nèi)角滿足關(guān)系式：sin2A+sin2B=sin2C，求證：

3.已知a、b、c分別為一個三角形的三邊之長，求證：

4.已知x，y是正數(shù)，a，b是正常數(shù)，且滿足：，求證：

5.已知a，b，c∈R+，求證：

6.已知a>0，求的最值。(答最小值為)

7.證明：通過水管放水，當(dāng)流速相等時，如果水管截面(指橫截面)的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大。

8.某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y(單位：m)的矩形。上部是等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積8m2，問x、y分別為多少(精確到0.001m)時用料最?。?/p>

(答：當(dāng)x為2.34m，y為2.828m時，用料最省。)高二數(shù)學(xué)練習(xí)三

1.xR，那么(1-|x|)(1+x)>0的一個充分不必要條件是()

A.|x|<1

B.x<1

C.|x|>1

D.x<-1或|x|<1

2.已知實數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=0，abc>0，則：的值()

A.一定是正數(shù)

B.一定是負(fù)數(shù)

C.可能是0

D.無法確定

3.已知a,b,c是△ABC的三邊，那么方程a2x2-(a2-b2+c2)x+c2=0（）

A.有兩個不相等的實根

B.有兩個相等的實根

C.沒有實數(shù)根

D.要依a，b，c的具體取值確定

4.設(shè)0

A.C.5.設(shè)a,bR+，則A，B的大小關(guān)系是（）

B.D.A.A≥B

B.A≤B

C.A>B

D.A

6.若實數(shù)m，n，x，y滿足m2+n2=a，x2+y2=b，則mx+ny的最大值是（）

A.B.C.D.7.設(shè)a，b，cR+，則三個數(shù)

A.都大于2

B.都小于2

（）

C.至少有一個不大于2

D.至少有一個不小于2

8.若a，bR+，滿足a+b+3=ab，則

9.設(shè)a>0,b>0.c>0，a+b+c=1，則的取值范圍是_____ 的最大值為_____

10.使不等式

答案：

1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B

7.D 8.9.10.a>b>0且a-b>1

都成立的a與b的關(guān)系是_____

第四篇：高二數(shù)學(xué)不等式綜合應(yīng)用測試題

1.函數(shù)y?

tog

x?

2x?

3的定義域為（）

A.?5,???B.?5,???C.???,?3???5,???D.???,?3? 2.實數(shù)a、b滿足?b＜a＜0，則下列不等式

①

1a

1b1x?

3＞②a＜b③

21a

＞?

1b

④a＞b 其中正確的個數(shù)為（）

A.3個B.2個C.1個D.0個 3.不等式

＞1的解集是（）

A.?4,???B.???,4?C.?3,4?D.?3,4? 4.若0＜?＜?＜

?

4b

ab，sin??cos??a，sin??cos??b，則（）

A.a＜bB.a＞bC.ab＜1D.ab＞2 5.已知0＜a＜b＜1，則a，log

A.logC.log

b1aab，log

b1a的大小關(guān)系（）

b1a

＜log＜log

ab

＜aB.log

b

b

b

＜a＜log

b1a

bab

b1a

＜aD.a＜log＜log

ab

6.不等式?1?x??1?x?＞0的解集是（）

A.?x0≤x＜1?B.?xx＜0且x≠?1?C.?x?1＜x＜1?D.?xx＜1且x≠?1? 7.關(guān)于x的不等式ax

cx

?bx?c＜0的解為???,?????,???，其中?＜?＜0，則不等式

?bx?a＞0的解集為（）

A.??

?

11?

??B.????,?11?

?,???C.?????11?

???,???D.????

?11?

??,?? ??

????

8.條件甲：x,y?R且xy＜1條件乙：x,y?R且x?y＜2，則甲是乙的（）

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充分且必要條件D.既不充分又不必要條件 9.若關(guān)于x的不等式2x?1＞a?x?2?的解集為R，則實數(shù)a的范圍是（）A.a＞2B.a=2C.a＜2D.a不存在 10.下列不等式中不一定成立的是（）

A.x,y＞0時

xy?2yx

≥2B.x

?2

≥2

x

第1頁

?1

C.lgx?1

lgx≥2D.a＞0時?a?1???1??1?≥4

?a?

11.實數(shù)a、b滿足條件ab＜0，那么（）A.a?b＜a?bB.a?b＞a?b C.a?b＜a?bD.a?b＜a?b

12.若關(guān)于x的方程x??4?a?x?4?0有解，則a的取值范圍是（）

A.???,?8???0,???B.???,?4?C.??8,4?D.???,?8?

13.已知x、y都為正數(shù)且x?2y?1，則

14.當(dāng)a＞1，0＜b＜1時，logb

a2x?3y的最小值為 ?logab的取值范圍。

2215.已知0＜a＜1，0＜b＜1且a≠b，那么a?b，2ab，a?b，2ab中最大者

16.?x?1?x

x2?2?4x?3?≤0的解集為。?x?

217.已知A??xx2?x?2＞0，x?z?B??x2x2??5?2k?x?5k＜0，x?z?且A?B???2?，求實數(shù)k的范圍。

18.（1）已知a、b、c為Rt?ABC的三邊之長，且a?b?c?4，求斜邊c的最值范圍。

（2）a、b、c為?ABC的三邊。求證：a?b?c＜2ab?2bc?2ac

19.設(shè)函數(shù)f?x??x2222?c?

1x2（c為常數(shù)）的最小值為m。

1??c?1?? c???c求證：（1）當(dāng)c≤1時m?2（2）當(dāng)c＞1時m?

220.已知函數(shù)f?x??x?ax?b（a、b?R），當(dāng)實數(shù)p?q?1時，試證明：

pf?x??qf?y?≥f?px?qy?對任意x、y都成立的充要條件是0≤p≤1。

21.如圖所示，某校把一塊邊長為2a的等邊?ABC的邊角地A 開辟為生物園，圖中DE把生物園分成面積相等的兩部分，E ．．．．

D在AB上，E在AC上。D

（1）設(shè)AD?x（x≥a），ED?y求用xB表示y的函數(shù)關(guān)系式。

（2）如果DE是灌溉水管的位置，為了省線，希望它最短，DE應(yīng)該在哪里？如果DE是

參觀路線即希望它最長，DE的位置又應(yīng)該在哪里？

22.已知函數(shù)f?x??x2?3

x?a（x?a,a為非零常數(shù)）

（1）解不等式f?x?＜x（2）設(shè)x＞a時f?x?的最小值為6，求a的值。

第2頁

第五篇：高二數(shù)學(xué)不等式的證明6

6.3 不等式的證明

（六）教學(xué)要求：更進(jìn)一步掌握不等式的性質(zhì)，能熟練運用不等式的證明方法：比較法、綜合法、分析法，還掌握其他方法：放縮法、判別式法、換元法等。

教學(xué)重點：熟練運用。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.已知x≥4，求證：x?1－

x?2

解法：分析法，先移項再平方。推廣：求x?1－x?2的單調(diào)性、值域。2.a、b∈R且a＋b＝1，求證：2a?3＋2b?3≤4（四種解法：估值配項；柯西不等式；均值不等式；分析法）

二、講授新課： 1.教學(xué)典型習(xí)題：

①出示典型習(xí)題：（先不給出方法）

22? Ⅰ.放縮法證明：x、y、z∈R，求證：x?xy?y＋?y2?yz?z2>x＋y＋z

1x2?x?1 Ⅱ.用判別式法證明：已知x∈R，求證 ≤2≤3（另解：拆分法）

3x?x?1 Ⅲ.用換元法證明： 已知a＋b＝4,求證：2≤a±ab＋b≤6 ②先討論用什么方法證明，再引導(dǎo)老師分析總結(jié)解題思路，學(xué)生試按思路練習(xí)：

Ⅰ.放縮法，左邊>(x?2222y2y)＋(z?)2＝… 22x2?x?1 Ⅱ.判別式法，設(shè)2＝k，再整理成一元二次方程，利用△≥0而求k范圍。

x?x?1 Ⅲ.三角換元法，設(shè)a＝2sinθ，b＝2cosθ，再代入利用三角函數(shù)值域求證。③再討論其它解法： Ⅲ小題，可由已知得到|ab|的范圍，再得到待證式。2.練習(xí)：①已知x、y∈R，3x＋4y＝12，求xy的最大值； ②求函數(shù)y＝x＋2?1的值域；（解法：分x－1>0、x－1<0兩種情況；湊配法）x?1③求函數(shù)y＝4x＋1622的最小值。（解法：y＝2(x＋1)+2(x＋1)＋…(x2?1)2

三、鞏固練習(xí)：1.設(shè)n>1且n∈N，求證：log(n?1)(n＋2)>log(n?2)(n＋3)2.課堂作業(yè)：書P31 2、5題。

（作商比）