第一篇：高二數(shù)學(xué)圓教案

競(jìng)賽講座09

－圓

基礎(chǔ)知識(shí)

如果沒(méi)有圓，平面幾何將黯然失色．

圓是一種特殊的幾何圖形，應(yīng)當(dāng)掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，垂線定理，直線與圓的位置關(guān)系，和圓有關(guān)的角，切線長(zhǎng)定理，圓冪定理，圓和圓的位置關(guān)系，多邊形與圓的位置關(guān)系．

圓的幾何問(wèn)題不是獨(dú)立的，它與直線形結(jié)合起來(lái)，將構(gòu)成許多豐富多彩的、漂亮的幾何問(wèn)題，“三角形的心”，“幾何著名的幾何定理”，“共圓、共線、共點(diǎn)”，“直線形” 將構(gòu)成圓的綜合問(wèn)題的基礎(chǔ)．

本部分著重研究下面幾個(gè)問(wèn)題： 1．角的相等及其和、差、倍、分； 2．線段的相等及其和、差、倍、分； 3．二直線的平行、垂直； 4．線段的比例式或等積式； 5．直線與圓相切；

6．競(jìng)賽數(shù)學(xué)中幾何命題的等價(jià)性．

命題分析

例1．已知A為平面上兩個(gè)半徑不等的⊙O1和⊙O2的一個(gè)交點(diǎn)，兩圓的外公切線分別為P1P2,Q1Q2，M1、M2分別為P1Q1、P2Q2的中點(diǎn)，求證：?O1AO2??M1AM2．

例2．證明：唯一存在三邊長(zhǎng)為連續(xù)整數(shù)且有一個(gè)角為另一個(gè)角的兩倍的三角形． 例3．延長(zhǎng)AB至D，以AD為直徑作半圓，圓心為H，G是半圓上一點(diǎn)，?ABG為銳角．E在線段BH上，Z在半圓上，EZ∥BG，且EH?ED?EZ，BT∥HZ．求證：

21?TBG??ABG．

3例4．求證：若一個(gè)圓外切四邊形有兩條對(duì)邊相等，則圓心到另外兩邊的距離相等． 例5．設(shè)?A是△ABC中最小的內(nèi)角，點(diǎn)B和C將這個(gè)三角形的外接圓分成兩段弧，U是落在不含A的那段弧上且不等于B與C的一個(gè)點(diǎn)，線段AB和AC的垂直平分線分別交線段AU于V和W，直線BV和CW相交于T．證明：AU?TB?TC．

例6．菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E,F,G,H，在EF與GH上分別作⊙O切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求證：MQ∥NP．

例7．⊙O1和⊙O2與△ABC的三邊所在直線都相切，E,F,G,H為切點(diǎn)，并且EG,FH的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．求證：直線PA與BC垂直．

例8．在圓中，兩條弦AB,CD相交于E點(diǎn)，M為弦AB上嚴(yán)格在E、B之間的點(diǎn)．過(guò)

⌒⌒D,E,M的圓在E點(diǎn)的切線分別交直線BC、AC于F,G．已知

AMCE?t，求（用t表ABEF示）．

例9．設(shè)點(diǎn)D和E是△ABC的邊BC上的兩點(diǎn)，使得?BAD??CAE．又設(shè)M和N分

1111???． MBMDNCNE例10．設(shè)△ABC滿足?A?90?，?B??C，過(guò)A作△ABC外接圓W的切線，交直線BC于D，設(shè)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為E，由A到BE所作垂線的垂足為X，AX的中點(diǎn)為Y，BY交W于Z點(diǎn)，證明直線BD為△ADZ外接圓的切線． 別是△ABD、△ACE的內(nèi)切圓與BC的切點(diǎn)．求證：例11．兩個(gè)圓?1和?2被包含在圓?內(nèi)，且分別現(xiàn)圓?相切于兩個(gè)不同的點(diǎn)M和N．?1經(jīng)過(guò)?2的圓心．經(jīng)過(guò)?1和?2的兩個(gè)交點(diǎn)的直線與?相交于點(diǎn)A和B，直線MA和直線MB分別與?1相交于點(diǎn)C和D．求證：CD與?2相切．

例12．已知兩個(gè)半徑不相等的⊙O1和⊙O2相交于M、N兩點(diǎn)，且⊙O1、⊙O2分別與⊙O內(nèi)切于S、T兩點(diǎn)．求證：OM?MN的充要條件是S、N、T三點(diǎn)共線．

例13．在凸四邊形ABCD中，AB與CD不平行，⊙O1過(guò)A、B且與邊CD相切于點(diǎn)P，⊙O2過(guò)C、D且與邊AB相切于點(diǎn)Q．⊙O1和⊙O2相交于E、F，求證：EF平分線段PQ的充要條件是BC∥AD．

例14．設(shè)凸四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC與BD互相垂直，且兩對(duì)邊AB與CD不平行．點(diǎn)P為線段AB與CD的垂直平分線的交點(diǎn)，且在四邊形的內(nèi)部．求證：A、B、C、D四點(diǎn)共圓的充要條件為S?PAB?S?PCD．

訓(xùn)練題

1．△ABC內(nèi)接于⊙O，?BAC?90?，過(guò)B、C兩點(diǎn)⊙O的切線交于P，M為BC的中點(diǎn)，求證：（1）AM?cos?BAC；（2）?BAM??PAC． AP⌒⌒⌒CA,AB的中點(diǎn)，BC2．已知A?,B?,C?分別是△ABC外接圓上不包含A,B,C的弧BC，分別和C?A?、A?B?相交于M、N兩點(diǎn)，CA分別和A?B?、B?C?相交于P、Q兩點(diǎn)，AB分別和B?C?、C?A?相交于R、S兩點(diǎn)．求證：MN?PQ?RS的充要條件是△ABC為等邊三角形．

CA分別 交于點(diǎn)D和E，3．以△ABC的邊BC為直徑作半圓，與AB、過(guò)D、E作BC的垂線，垂足分別為F、G．線段DG、EF交于點(diǎn)M．求證：AM?BC．

?C內(nèi)的旁切圓與AB相切于E，4．在△ABC中，已知?B內(nèi)的旁切圓與CA相切于D，過(guò)DE和BC的中點(diǎn)M和N作一直線，求證：直線MN平分△ABC的周長(zhǎng)，且與?A的平分線平行．

5．在△ABC中，已知，過(guò)該三角形的內(nèi)心I作直線平行于AC交AB于F．在BC邊上取點(diǎn)P使得3BP?BC．求證：?BFP?1?B． 26．半圓圓心為O，直徑為AB，一直線交半圓于C,D，交AB于M（MB?MA,MC?MD）．設(shè)K是△AOC與△DOB的外接圓除點(diǎn)O外之另一交點(diǎn)．求證：?MKO為直角 ．

7．已知，AD是銳角△ABC的角平分線，?BAC??，?ADC??，且co?s?co2s?．求證：AD2?BD?DC．

8．M為△ABC的邊AB上任一點(diǎn)，r1,r2,r分別為△AMC、△BMC、△ABC的內(nèi)切圓半徑；?1,?2,?分別為這三個(gè)三角形的旁切圓半徑（在?ACB內(nèi)部）．

求證：r1?1?2?r2?r?．

9．設(shè)D是△ABC的邊BC上的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，AD交△ABC外接圓于X，P、Q是X分別到AB和AC的垂足，O是直徑為XD的圓．證明：PQ與⊙O相切當(dāng)且僅當(dāng)AB?AC．

10．若AB是圓的弦，M是AB的中點(diǎn)，過(guò)M任意作弦CD和EF，連CD,DE分別交AB于X,Y，則MX?MY．

11．設(shè)H為△ABC的垂心，P為該三角形外接圓上的一點(diǎn)，E是高BH的垂足，并設(shè)PAQB與PARC都是平行四邊形，AQ與BR交于X．證明：EX∥AP．

12．在△ABC中，?C的平分線分別交AB及三角形的外接圓于D和K，I是內(nèi)切圓圓心．證明：（1）111CIID????1． ；（2）IDIKCIIDIK

第二篇：高二數(shù)學(xué)圓的一般方程教案 人教版

高二數(shù)學(xué)圓的一般方程教案 人教版

一、教學(xué)目標(biāo)

(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生掌握?qǐng)A的一般方程的特點(diǎn)；能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程從而求出圓心的坐標(biāo)和半徑；能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

使學(xué)生掌握通過(guò)配方求圓心和半徑的方法，熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導(dǎo)出圓的方法，熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導(dǎo)出圓的方程，培養(yǎng)學(xué)生用配方法和待定系數(shù)法解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

通過(guò)對(duì)待定系數(shù)法的學(xué)習(xí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他相關(guān)學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法打下牢固的基礎(chǔ)．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：(1)能用配方法，由圓的一般方程求出圓心坐標(biāo)和半徑；(2)能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程．

(解決辦法：(1)要求學(xué)生不要死記配方結(jié)果，而要熟練掌握通過(guò)配方求圓心和半徑的方法；(2)加強(qiáng)這方面題型訓(xùn)練．)

2．難點(diǎn)：圓的一般方程的特點(diǎn)．

(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生分析得出圓的一般方程的特點(diǎn)，并加以記憶．)

3．疑點(diǎn)：圓的一般方程中要加限制條件D2+E2-4F＞0．

(解決辦法：通過(guò)對(duì)方程配方分三種討論易得限制條件．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì) 講授、提問(wèn)、歸納、演板、小結(jié)、再講授、再演板．

四、教學(xué)過(guò)程

(一)復(fù)習(xí)引入新課

前面，我們已討論了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2，現(xiàn)將展開(kāi)可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可見(jiàn)，任何一個(gè)圓的方程都可以寫(xiě)成x2+y2+Dx+Ey+F=0．請(qǐng)大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲線是不是圓？下面我們來(lái)深入研究這一方面的問(wèn)題．復(fù)習(xí)引出課題為“圓的一般方程”．

(二)圓的一般方程的定義

1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的軌跡

將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左邊配方得：(1)

(1)當(dāng)D2+E2-4F＞0時(shí)，方程(1)與標(biāo)準(zhǔn)方程比較，可以看出方程

第三篇：初三數(shù)學(xué)圓教案

初三數(shù)學(xué) 圓教案

一、本章知識(shí)框架

二、本章重點(diǎn)

1．圓的定義：

(1)線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓．

(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合． 2．判定一個(gè)點(diǎn)P是否在⊙O上． 設(shè)⊙O的半徑為R，OP＝d，則有 d>r點(diǎn)P在⊙O 外； d＝r點(diǎn)P在⊙O 上； d

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角．

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)．

(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角． 圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半． ②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等． ③90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角．

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形． ⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角．

(3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角． 弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對(duì)的圓周角． 弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半． 4．圓的性質(zhì)：

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合；圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心．

在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等．

(2)軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸． 垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/p>

(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?3)弦的垂直平分線過(guò)圓心，且平分弦對(duì)的兩條?。?/p>

(4)平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過(guò)圓心，且垂直平分此弦．(5)平行弦?jiàn)A的弧相等．

5．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn)． 6．切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定：

①經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． ②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．

②經(jīng)過(guò)圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)． ③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過(guò)圓心．

(3)切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng)．

(4)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 7．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角．

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等． 8．直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)⊙O 半徑為R，點(diǎn)O到直線l的距離為d．

(1)直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)直線和圓相離d>R．

(2)直線和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O 有兩個(gè)公共點(diǎn)直線l和⊙O 相交dr)，圓心距

．

(1)外離(2)含(3)外切(4)dR＋r． 沒(méi)有公共點(diǎn)，且的每一個(gè)點(diǎn)都在外部

內(nèi)有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部d＝R＋r． 的每個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，內(nèi)切d＝R－r．

相交(5)有兩個(gè)公共點(diǎn)R－r

10．兩圓的性質(zhì)：

(1)兩個(gè)圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓連心線．

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)． 11．圓中有關(guān)計(jì)算： 圓的面積公式：，周長(zhǎng)C＝2πR．

圓心角為n°、半徑為R的弧長(zhǎng)．

圓心角為n°，半徑為R，弧長(zhǎng)為l的扇形的面積弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來(lái)計(jì)算．

．

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l的圓柱的體積為面積為2πRl，全面積為

．，側(cè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為πRl，全面積為【經(jīng)典例題精講】

例1 如圖23-2，已知AB為⊙O直徑，C為上一點(diǎn)，CD⊥AB于D，∠OCD的平分線CP交⊙O于P，試判斷P點(diǎn)位置是否隨C點(diǎn)位置改變而改變？，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有

．

分析：要確定P點(diǎn)位置，我們可采用嘗試的辦法，在上再取幾個(gè)符合條件的點(diǎn)試一試，觀察P點(diǎn)位置的變化，然后從中觀察規(guī)律． 解：

連結(jié)OP，P點(diǎn)為中點(diǎn)．

小結(jié)：此題運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行推斷． 例2 下列命題正確的是()A．相等的圓周角對(duì)的弧相等 B．等弧所對(duì)的弦相等 C．三點(diǎn)確定一個(gè)圓

D．平分弦的直徑垂直于弦． 解：

A．在同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的劣弧相等，所以A不正確． B．等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此B正確． C．三個(gè)點(diǎn)只有不在同一直線上才能確定一個(gè)圓． D．平分弦(不是直徑)的直徑垂直于此弦． 故選B．

例3 四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D． 分析：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角之和相等，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等． 解：

設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x． x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．

∴∠D＝90°．

小結(jié)：此題可變形為：四邊形ABCD外切于⊙O，周長(zhǎng)為20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的長(zhǎng)．

例4 為了測(cè)量一個(gè)圓柱形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用如下方法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個(gè)銳角為30°的三角板和一個(gè)刻度尺，用如圖23-4所示方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可以求得鐵環(huán)半徑．若測(cè)得PA＝5cm，則鐵環(huán)的半徑是__________cm．

分析：測(cè)量鐵環(huán)半徑的方法很多，本題主要考查切線長(zhǎng)性質(zhì)定理、切線性質(zhì)、解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行

合作解決，即過(guò)P點(diǎn)作直線OP⊥PA，再用三角板畫(huà)一個(gè)頂點(diǎn)為A、一邊為AP、大小為60°的角，這個(gè)角的另一邊與OP的交點(diǎn)即為圓心O，再用三角函數(shù)知識(shí)求解． 解：

．

小結(jié)：應(yīng)用圓的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)將實(shí)際問(wèn)題變成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型． 例5 已知

相交于A、B兩點(diǎn)，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB＝16，求兩圓的圓心距． 解：分兩種情況討論：(1)若位于AB的兩側(cè)(如圖23-8)，設(shè)

與AB交于C，連結(jié)又∵AB＝16 ∴AC＝8． 在在故(2)若，則垂直平分AB，∴

．

中，中，．

． ．

位于AB的同側(cè)(如圖23-9)，設(shè)

． 的延長(zhǎng)線與AB交于C，連結(jié)∵垂直平分AB，∴．

又∵AB＝16，∴AC＝8． 在在故中，中，．

． ．

注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個(gè)點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問(wèn)題時(shí)，要注意雙解或多解問(wèn)題．

三、相關(guān)定理：

1.相交弦定理

圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。（經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）

說(shuō)明：幾何語(yǔ)言：

若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

例1． 已知P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，P任作一弦AB，設(shè)為。，⊙O半徑為，過(guò)，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式解：由相交弦定理得，即，其中 2.切割線定理

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)

說(shuō)明：幾何語(yǔ)言：若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC^2=PA·PB 例2． 已知PT切⊙O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長(zhǎng)。

解：設(shè)TD=，BP=，由相交弦定理得：即由切割線定理，理，∴

∴，（舍）由勾股定∴

四、輔助線總結(jié) 1.圓中常見(jiàn)的輔助線

1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等．

2）．作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關(guān)系進(jìn)行證明．

3）．作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算．

4）．作弦構(gòu)造同弧或等弧所對(duì)的圓周角．

5)．作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角——直角． 6)．遇到切線，作過(guò)切點(diǎn)的弦，構(gòu)造弦切角． 7)．遇到切線，作過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角．

8)．欲證直線為圓的切線時(shí)，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連結(jié)公共點(diǎn)和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心向直線作垂線，證明垂線段的長(zhǎng)等于圓的半徑．

9)．遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn)．

10)．遇到三角形的內(nèi)心，常作：(1)內(nèi)心到三邊的垂線；(2)連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)．

11)．遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線． 12)．遇兩圓相切，常過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線．

13)．求公切線時(shí)常過(guò)小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊．

2、圓中較特殊的輔助線

1)．過(guò)圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)作圓的切線． 2)．將割線、相交弦補(bǔ)充完整． 3)．作輔助圓．

例1如圖23-10，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長(zhǎng)為()

A．2 B．3 C．4 D．5 分析：連結(jié)OC，由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB知CD＝DE．設(shè)AE＝x，則在Rt△CEO中，則，(舍去)．，即，答案：A．

例2如圖23-11，CA為⊙O的切線，切點(diǎn)為A，點(diǎn)B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于()

A．35° B．90° C．110° D．120°

分析：由弦切角與所夾弧所對(duì)的圓心角的關(guān)系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．

例3 如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長(zhǎng)為5cm，那么側(cè)面積等于()A． B．

C．

D．

分析：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)等于圓柱的高，即圓柱的母線長(zhǎng)；另一邊長(zhǎng)是底面圓的周長(zhǎng)，所以圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長(zhǎng)乘以圓柱的高，即

．答案：B．

例4 如圖23-12，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CM交⊙O于E，且EM>MC，連結(jié)OE、DE，求：EM的長(zhǎng)．

．

簡(jiǎn)析：(1)由DC是⊙O的直徑，知DE⊥EC，于是則AM·MB＝x(7－x)，即

．所以

．設(shè)EM＝x，．而EM>MC，即EM＝4．

例5如圖23-13，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點(diǎn)B，PA交⊙O于點(diǎn)C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關(guān)于x的方程

(其中m為實(shí)數(shù))的兩根．

(1)求證：BE＝BD；(2)若，求∠A的度數(shù)．

簡(jiǎn)析：(1)由BE、BD是關(guān)于x的方程的兩根，得，則m＝－2．所以，原方程為(2)由相交弦定理，得

．得，即

．故BE＝BD．

．而PB切⊙O于點(diǎn)B，AB為⊙O的直徑，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易證∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，則，所以，所以

．在Rt△ACB中，故∠A＝60°．

第四篇：初三數(shù)學(xué) 圓教案

圓

一、本章知識(shí)框架

二、本章重點(diǎn)

1．圓的定義：

(1)線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓．

(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合． 2．判定一個(gè)點(diǎn)P是否在⊙O上． 設(shè)⊙O的半徑為R，OP＝d，則有 d>r點(diǎn)P在⊙O 外； d＝r點(diǎn)P在⊙O 上； d

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角．

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)．

(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角． 圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半． ②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等． ③90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角．

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形． ⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角．

(3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角． 弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對(duì)的圓周角． 弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半． 4．圓的性質(zhì)：(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合；圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心．

在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等．

(2)軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸． 垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/p>

(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?3)弦的垂直平分線過(guò)圓心，且平分弦對(duì)的兩條?。?/p>

(4)平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過(guò)圓心，且垂直平分此弦．(5)平行弦?jiàn)A的弧相等．

5．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn)． 6．切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定：

①經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． ②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．

②經(jīng)過(guò)圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)． ③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過(guò)圓心．

(3)切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng)．

(4)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 7．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角．

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等． 8．直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)⊙O 半徑為R，點(diǎn)O到直線l的距離為d．

(1)直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)直線和圓相離d>R．

(2)直線和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O 有兩個(gè)公共點(diǎn)直線l和⊙O 相交dr)，圓心距

．(1)外離(2)含(3)外切(4)dR＋r． 沒(méi)有公共點(diǎn)，且的每一個(gè)點(diǎn)都在外部

內(nèi)有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部d＝R＋r． 的每個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，內(nèi)切d＝R－r．

相交(5)有兩個(gè)公共點(diǎn)R－r

10．兩圓的性質(zhì)：

(1)兩個(gè)圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓連心線．

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)． 11．圓中有關(guān)計(jì)算： 圓的面積公式：，周長(zhǎng)C＝2πR．

圓心角為n°、半徑為R的弧長(zhǎng)．

圓心角為n°，半徑為R，弧長(zhǎng)為l的扇形的面積弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來(lái)計(jì)算．

．

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l的圓柱的體積為面積為2πRl，全面積為

．，側(cè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為πRl，全面積為，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有

．

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第五篇：九年級(jí)數(shù)學(xué)圓教案4

第二十四章“圓”簡(jiǎn)介

課程教材研究所

李海東

與三角形、四邊形等一樣，圓也是基本的平面圖形，也是“空間與圖形”的主要研究對(duì)象，是人們生活中常見(jiàn)的圖形。本章將在學(xué)生前面學(xué)習(xí)了一些基本的直線形──三角形、四邊形等的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究一個(gè)基本的曲線形──圓，探索圓的有關(guān)性質(zhì)，了解與圓有關(guān)的位置關(guān)系等，并結(jié)合一些圖形性質(zhì)的證明，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。本章共安排四個(gè)小節(jié)和兩個(gè)選學(xué)內(nèi)容，教學(xué)時(shí)間大約需要17課時(shí)，具體安排如下（僅供參考）：

24.1 圓

5課時(shí) 24.2 與圓有關(guān)的位置關(guān)系

6課時(shí) 24.3 正多邊形和圓

2課時(shí) 24.4 弧長(zhǎng)和扇形的面積

2課時(shí) 數(shù)學(xué)活動(dòng)

小結(jié)

2課時(shí)

一、教科書(shū)內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)

（一）本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)如下圖所示：

（二）教科書(shū)內(nèi)容

本章是在學(xué)習(xí)了直線圖形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，來(lái)研究一種特殊的曲線圖形──圓的有關(guān)性質(zhì)。圓也是常見(jiàn)的幾何圖形之一，不僅日常生活中的許多物體是圓形的，而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運(yùn)輸、土木建筑等方面都可以看到圓。圓的有關(guān)性質(zhì)，也被廣泛的應(yīng)用。圓也是平面幾何中最基本的圖形之一，它不僅在幾何中有重要地位，而且是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及其他科學(xué)的重要的基礎(chǔ)。圓的許多性質(zhì)，比較集中地反映了事物內(nèi)部量變與質(zhì)變的關(guān)系、一般與特殊的關(guān)系、矛盾的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系等等。結(jié)合圓的有關(guān)知識(shí)，可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義世界觀的教育。所以這一章的教學(xué)，在初中的學(xué)習(xí)中也占有重要地位。

本章是在小學(xué)學(xué)過(guò)的一些圓的知識(shí)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)的研究圓的概念、性質(zhì)、圓中有關(guān)的角、點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓、圓與正多邊形之間的位置、數(shù)量關(guān)系。本章共分為四個(gè)小節(jié)，第1小節(jié)是“圓”，主要是圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，圓的概念和性質(zhì)是進(jìn)一步研究圓與其他圖形位置、數(shù)量關(guān)系的主要依據(jù)，是全章的基礎(chǔ)。這一節(jié)包括“圓”“垂直于弦的直徑”“弧、弦、圓心角”“圓周角”四個(gè)部分?！?4.1.1 圓”的主要內(nèi)容是圓的定義和圓中的一些相關(guān)概念。圓的定義是研究圓的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)。在小學(xué)，學(xué)生接觸過(guò)圓，對(duì)它有一定的認(rèn)識(shí)。教科書(shū)首先結(jié)合生活中一些圓的實(shí)際例子，在學(xué)生小學(xué)學(xué)過(guò)的畫(huà)圓的基礎(chǔ)上，通過(guò)設(shè)置一個(gè)觀察欄目，用“發(fā)生法”給出了圓的定義。進(jìn)一步的教科書(shū)又分析了圓上每一個(gè)點(diǎn)與圓心的距離都等于定長(zhǎng)，同時(shí)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在圓上，這樣實(shí)際上從點(diǎn)和集合的角度進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓，這樣再認(rèn)識(shí)之后，學(xué)生對(duì)圓的 認(rèn)識(shí)就加深了。接下來(lái)，是與圓有關(guān)的一些概念，如半徑、直徑、弦、弧等，對(duì)于這些概念要讓學(xué)生結(jié)合圖形進(jìn)行認(rèn)識(shí)，并多進(jìn)行比較，以搞清他們的異同。在接下來(lái)的幾部分，教科書(shū)探究并證明了垂徑定理、弧、弦、圓心角的關(guān)系定理、圓周角定理。垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是圓的軸對(duì)稱性的具體化，也是證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時(shí)也為進(jìn)行圓的計(jì)算和作圖提供了方法和依據(jù)；圓周角定理及其推論對(duì)于角的計(jì)算、證明角相等、弧、弦相等等問(wèn)題提供了十分簡(jiǎn)便的方法。所以垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論是本小節(jié)的重點(diǎn)，也是本章的重點(diǎn)內(nèi)容。而垂徑定理及其推論的條件和結(jié)論比較復(fù)雜，容易混淆，圓周角定理的證明要用到完全歸納法，學(xué)生對(duì)與分類證明的必要性不易理解，所以這兩部分內(nèi)容也是本節(jié)的難點(diǎn)。

“24.2 與圓有關(guān)的位置關(guān)系”包括三部分內(nèi)容，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系。在“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”中，教科書(shū)首先結(jié)合射擊問(wèn)題，給出了點(diǎn)與圓的三種不同位置關(guān)系，接下來(lái)討論了過(guò)三點(diǎn)的圓，并結(jié)合“過(guò)同一直線上的三點(diǎn)不能作圓”介紹了反證法。在“直線與圓的位置關(guān)系”中，教科書(shū)首先討論了直線與圓的三種位置關(guān)系，然后重點(diǎn)研究了直線與圓相切的情況，給出了直線與圓相切的判定定理、性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理，在此基礎(chǔ)上介紹了三角形的內(nèi)切圓。在“圓與圓的位置關(guān)系”中，重點(diǎn)是討論圓與圓的不同位置關(guān)系。本小節(jié)中，直線與圓的位置關(guān)系是中心內(nèi)容，切線的判定定理、性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理等則是研究直線與圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)常用的定理，是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容。反證法的思想在前面章節(jié)有所滲透，在這一小節(jié)正式提出，它是一種間接證法，學(xué)生接受還是有一定的困難，所以對(duì)于反證法的教學(xué)是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)；另外切線的判定定理和性質(zhì)定理的題設(shè)和結(jié)論容易混淆，證明性質(zhì)定理又要用到反證法，因此這兩個(gè)定理的教學(xué)也是本節(jié)的難點(diǎn)，這些也同時(shí)是本章的難點(diǎn)。正多邊形是一種特殊的多邊形，它有一些類似于圓的性質(zhì)。例如，圓有獨(dú)特的對(duì)稱性，它不僅是軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形，而且它的任意一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸，繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度都能和原來(lái)的圖形重合。正多邊形也是軸對(duì)稱圖形，正n邊形就有n條對(duì)稱軸，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，它也是中心對(duì)稱圖形，而且繞中心每旋轉(zhuǎn)，都能和原來(lái)的圖形重合，可見(jiàn)正多邊形和圓有很多內(nèi)在的聯(lián)系。另外，正多邊形也在生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用，所以教科書(shū)接下來(lái)安排了“正多邊形和圓”的內(nèi)容。教科書(shū)回顧學(xué)生已經(jīng)了解的正多邊形概念的基礎(chǔ)上，以正五邊形為例，證明了利用等分圓周得到正五邊形的方法，接下來(lái)介紹了正多邊形的有關(guān)概念，如中心、半徑、中心角、邊心距等，并進(jìn)一步介紹了畫(huà)正多邊形的方法。正多邊形的有關(guān)計(jì)算是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，這些計(jì)算都是幾何中的基礎(chǔ)知識(shí)，正確掌握它們也要綜合運(yùn)用以前所學(xué)的知識(shí)，這些知識(shí)在生產(chǎn)和生活中也常要用到。本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)在學(xué)生對(duì)正n邊形中“n”的接受和理解上。學(xué)生對(duì)三角形、四邊形、圓等這些具體圖形比較習(xí)慣，對(duì)于泛指的n邊形

不習(xí)慣。為了降低難度，教科書(shū)涉及的證明、計(jì)算等問(wèn)題都是結(jié)合具體的多邊形為例的，教學(xué)時(shí)要注意把這種針對(duì)具體圖形的結(jié)論和方法推廣，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)由具體到抽象，特殊到一般的認(rèn)識(shí)上的飛躍，提高學(xué)生的思維能力。

教科書(shū)接下來(lái)的24.4節(jié)的主要內(nèi)容是一些與圓有關(guān)的計(jì)算，包括兩部分“弧長(zhǎng)和扇形的面積”“圓錐的側(cè)面積和全面積”。“弧長(zhǎng)和扇形的面積”是在小學(xué)學(xué)過(guò)的圓周長(zhǎng)、面積公式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的，應(yīng)用這些公式，就可以計(jì)算一些與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單組合圖形的周長(zhǎng)和面積。由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，所以教科書(shū)接下來(lái)介紹了圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算。這些計(jì)算不僅是幾何中基本的計(jì)算，也是日常生活中經(jīng)常要用到的，運(yùn)用這些知識(shí)也可以解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。圓錐的側(cè)面積的計(jì)算還可以培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，因此對(duì)這部分內(nèi)容的教學(xué)也要重視。

（三）課程學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．理解圓及其有關(guān)概念，理解弧、弦、圓心角的關(guān)系，探索并了解點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，探索并掌握?qǐng)A周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對(duì)的圓周角的特征。

2.了解切線的概念，探索并掌握切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑之間的位置關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)畫(huà)圓的切線。

3.了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過(guò)一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線上的三點(diǎn)作圓。

4.了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫(huà)圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會(huì)計(jì)算弧長(zhǎng)及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積。

5.結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力；通過(guò)這一章的教學(xué)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決問(wèn)題的能力，同時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義世界觀的教育。

二、本章編寫(xiě)特點(diǎn)

（一）突出圖形性質(zhì)的探索過(guò)程，重視直觀操作和邏輯推理的有機(jī)結(jié)合 圓是日常生活中常見(jiàn)的圖形之一，也是平面幾何中的基本圖形，本章重點(diǎn)研究了與圓有關(guān)的一些性質(zhì)。教科書(shū)在編寫(xiě)時(shí)，注意突出圖形性質(zhì)的探索過(guò)程，重

視直觀操作和邏輯推理的有機(jī)結(jié)合，通過(guò)多種手段，如觀察度量、實(shí)驗(yàn)操作、圖形變換、邏輯推理等來(lái)探索圖形的性質(zhì)。

例如結(jié)合圓的軸對(duì)稱性，發(fā)現(xiàn)垂徑定理及其推論；利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，發(fā)現(xiàn)圓中弧、弦、圓心角之間的關(guān)系；通過(guò)觀察、度量，發(fā)現(xiàn)圓心角與圓周角、圓周角之間的數(shù)量關(guān)系；利用直觀操作，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓之間的位置關(guān)系等等。在學(xué)生通過(guò)觀察、操作、變換探究出圖形的性質(zhì)后，還要求學(xué)生能對(duì)發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行證明，使直觀操作和邏輯推理有機(jī)的整合在一起，使推理論證成為學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)。

（二）注意聯(lián)系實(shí)際

圓是人們?nèi)粘Ｉ詈蜕a(chǎn)中應(yīng)用較廣的一種幾何圖形，不僅日常生活中許多物體是圓形的，而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運(yùn)輸、土木建筑等方面都可以見(jiàn)到圓。這部分內(nèi)容與實(shí)際聯(lián)系比較緊密。在教科書(shū)編寫(xiě)時(shí)，也充分注意到這一點(diǎn)。例如，在引入圓、正多邊形等概念時(shí)，舉出了大量的實(shí)際生活中的例子；在介紹點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，也是注意從它們?cè)趯?shí)際生活中的應(yīng)用引入；利用垂徑定理解決求趙州橋的主橋拱半徑的問(wèn)題；根據(jù)海洋館中人們視野的關(guān)系引出研究圓周角與圓心角、圓周角之間的關(guān)系；利用正多邊形的有關(guān)計(jì)算求亭子的地基；實(shí)際問(wèn)題中有關(guān)弧長(zhǎng)、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問(wèn)題等等。教科書(shū)的例、習(xí)題中也有一些實(shí)際應(yīng)用的例子等等。這些材料都是從實(shí)際中提煉出來(lái)的，要通過(guò)這些知識(shí)的教學(xué)，幫助學(xué)生從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題、運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)時(shí)，還可以根據(jù)本地區(qū)的實(shí)際，選擇一些實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生加以解決，提高他們應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

（三）重視滲透數(shù)學(xué)思想方法

教學(xué)中不僅要教知識(shí)，更重要的是教方法，本章重涉及的數(shù)學(xué)思想方法也比較多。例如，圓周角定理證明中的通過(guò)分類討論，把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊情況來(lái)證明；研究點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時(shí)的分類的思想；研究正多邊形的有關(guān)問(wèn)題是通過(guò)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形來(lái)解決的；正多邊形的畫(huà)圖是通過(guò)等分圓來(lái)完成的；等等。通過(guò)這些知識(shí)的教學(xué)，使學(xué)生學(xué)會(huì)化未知為已知、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化一般為特殊或化特殊為一般的思考方法，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

另外，在本章，通過(guò)理論聯(lián)系實(shí)際，對(duì)學(xué)生進(jìn)行唯物論認(rèn)識(shí)論的教育；通過(guò)圓的許多性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系，圓與其他圖形之間量變與質(zhì)變的關(guān)系，一般與特殊之間的關(guān)系等，對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義觀點(diǎn)的教育；使學(xué)生增強(qiáng)民族的自豪感和振興中華的使命感，對(duì)他們進(jìn)行學(xué)習(xí)目的的教育，培養(yǎng)他們良好的個(gè)性品質(zhì)。

三、幾個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題

（一）進(jìn)一步培養(yǎng)推理論證能力

從培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力來(lái)說(shuō)，“圓”這一階段處于學(xué)生初步掌握了推理論證方法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步鞏固和提高的階段，不僅要求學(xué)生能熟練地用綜合法證明命題，熟悉探索法的推理過(guò)程，而且要求了解反證法。教學(xué)中要重視推理論證的教學(xué)，進(jìn)一步提高學(xué)生的思維能力。教科書(shū)在這方面也還是很重視的。在推理與證明的要求方面，除了要求學(xué)生對(duì)經(jīng)過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出的結(jié)論進(jìn)行證明以外，有一些圖形的性質(zhì)是直接由已有的結(jié)論經(jīng)過(guò)推理論證得出的。另外，為了鞏固并提高學(xué)生的推理論證能力，本章的定理證明中，除了采用了規(guī)范的證明方法外，還有一些采用了探索式的證明方法。這種方法不是先有了定理再去證明它，而是根據(jù)題設(shè)和已有知識(shí)，經(jīng)過(guò)推理，得出結(jié)論。這些對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍學(xué)生的思維，對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維能力有好處。教學(xué)中要注意啟發(fā)和引導(dǎo)，使學(xué)生在熟悉“規(guī)范證明”的基礎(chǔ)上，推理論證能力有所提高和發(fā)展。

另外，這部分內(nèi)容所涉及的圖形很多是圓和直線形的組合，而且題目也相對(duì)以前比較復(fù)雜，教學(xué)時(shí)應(yīng)注意多幫助學(xué)生復(fù)習(xí)有關(guān)直線形的知識(shí)，做到以新帶舊、新舊結(jié)合，而且要加強(qiáng)解題思路的分析，幫助學(xué)生樹(shù)立已知與未知、簡(jiǎn)單與復(fù)雜、特殊與一般在一定條件下可以轉(zhuǎn)化的思想，使學(xué)生學(xué)會(huì)把未知化為已知，把復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，把一般問(wèn)題化為特殊問(wèn)題的思考方法。如對(duì)于圓周角定理的證明，可以先從最簡(jiǎn)單的情況──角的一邊經(jīng)過(guò)圓心時(shí)入手，再推廣到一般情形。通過(guò)這樣的訓(xùn)練，可以提高學(xué)生邏輯思維能力和分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

（二）重視知識(shí)間的聯(lián)系與綜合

圓是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個(gè)曲線形。學(xué)生由學(xué)習(xí)直線形到曲線形，在認(rèn)識(shí)上是一個(gè)飛躍。在教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意充分利用學(xué)生在小學(xué)學(xué)過(guò)的圓的知識(shí)，搞好銜接。同時(shí)要注意加強(qiáng)圓和直線形的聯(lián)系，把圓和直線形的有關(guān)問(wèn)題對(duì)照講解。如在講“不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓”時(shí)，可以和“兩點(diǎn)確定一條直線”相對(duì)照，這樣可以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。教科書(shū)在編寫(xiě)時(shí)，也注意從學(xué)生學(xué)習(xí)的規(guī)律出發(fā)，加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系，發(fā)揮知識(shí)的遷移作用。例如，在講圓的定義時(shí)，先回顧小學(xué)學(xué)過(guò)的定義，在分析圓上的點(diǎn)的特征的基礎(chǔ)上，用集合語(yǔ)言重新給出描述；在學(xué)習(xí)圓及正多邊形的計(jì)算時(shí)，注意將新知識(shí)與直角三角形的知識(shí)、小學(xué)學(xué)過(guò)的圓的周長(zhǎng)與面積的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，使新知識(shí)在學(xué)生眼里不陌生，容易接受。

圓是一種特殊曲線，它有獨(dú)特的對(duì)稱性。它不僅是軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形，而且它的任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸。繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度都能與原來(lái)的圖形重合（旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性）。圓的對(duì)稱性在日常生活和生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用，因此應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生很好地掌握。在研究圓的有關(guān)性質(zhì)時(shí)，充分利用圓的 對(duì)稱性也是本章編寫(xiě)的一個(gè)特點(diǎn)。如垂徑定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，切線長(zhǎng)定理等，都是讓學(xué)生充分利用圓的這些對(duì)稱性，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)等探究出性質(zhì)，再進(jìn)行證明，體現(xiàn)圖形的認(rèn)識(shí)、圖形的變換、圖形的證明的有機(jī)結(jié)合。這些也是教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)注意的。

（三）注意把握好教學(xué)要求

本章教學(xué)內(nèi)容與以往教材內(nèi)容相比，刪減幅度比較大（原義教大綱教材53課時(shí)，現(xiàn)在17課時(shí)），教學(xué)時(shí)要注意把握好教學(xué)要求。教學(xué)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)限制在課標(biāo)和教材所出現(xiàn)的范圍，按照課標(biāo)要求刪減的內(nèi)容，教學(xué)中不要再揀回，以免影響學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)。對(duì)于推理論證的要求，課程標(biāo)準(zhǔn)中在本章沒(méi)有明確規(guī)定。教科書(shū)中是按照整套教科書(shū)對(duì)于推理證明的要求來(lái)處理的。在本章，要求學(xué)生對(duì)于一些圓的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行證明，并利用這些性質(zhì)去證明一些相關(guān)的結(jié)論。但要注意，這里的證明也要控制難度，對(duì)于一般學(xué)生，控制在教科書(shū)“綜合應(yīng)用”的題目難度內(nèi)，對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，可以要求他們完成“拓廣探索”欄目的習(xí)題。

反證法的思想在七年級(jí)上冊(cè)教科書(shū)代數(shù)部分就有涉及，在后續(xù)的相關(guān)章節(jié)也有應(yīng)用。但當(dāng)時(shí)只是滲透反證法的思想，沒(méi)有作為一種方法提出。在本章，結(jié)合“過(guò)同一直線上的三點(diǎn)不能作圓”，正式提出了反證法，并且在后續(xù)內(nèi)容，如“圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑”的證明時(shí)也有應(yīng)用。由于反證法是一種間接證法，學(xué)生接受起來(lái)有一定困難。因此，教科書(shū)主要是要求讓學(xué)生理解反證法的思想，后續(xù)習(xí)題也沒(méi)有安排相應(yīng)的習(xí)題。這里也要注意把握好對(duì)反證法的要求，不要讓學(xué)生作過(guò)多過(guò)難的關(guān)于反證法的習(xí)題。

另外，圓有許多重要性質(zhì)，其中最主要的是圓的對(duì)稱性（軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)不變性），教科書(shū)在證明圓的許多重要性質(zhì)時(shí)，都運(yùn)用了它的對(duì)稱性。但是，因?yàn)橛脤?duì)稱的定義證明問(wèn)題，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較困難，所以在本章的教學(xué)中，一方面要重視利用圓的對(duì)稱性（教科書(shū)中在使用圓的對(duì)稱性）；另一方面又不應(yīng)要求學(xué)生嚴(yán)格地利用對(duì)稱性寫(xiě)出證明過(guò)程。教學(xué)中要把握好這個(gè)要求。

（四）重視信息技術(shù)的應(yīng)用

在本章的教學(xué)中，有條件的學(xué)校還是要重視信息技術(shù)工具的使用。利用信息技術(shù)工具，可以很方便地制作圖形，可以很方便地讓圖形動(dòng)起來(lái)。許多計(jì)算機(jī)軟件還具有測(cè)量功能，這也有利于我們?cè)趫D形運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中去發(fā)現(xiàn)其中不變的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，有利于發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)。

例如，本章許多圖形的性質(zhì)都可以利用計(jì)算機(jī)軟件設(shè)置一些探究活動(dòng)，讓圖形動(dòng)起來(lái)，在這種運(yùn)動(dòng)變化中發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)。如弧、弦、圓心角之間的關(guān)系。

有許多計(jì)算機(jī)軟件具有測(cè)量功能，可以方便地測(cè)出角的大小和線段的長(zhǎng)度，這也有利于在運(yùn)動(dòng)變化中觀察它們的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)。如圓周角定理。另外還可以通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件讓圖形動(dòng)起來(lái)，在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中去發(fā)現(xiàn)點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，還可以通過(guò)測(cè)量，去發(fā)現(xiàn)這種位置關(guān)系所對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，如直線與圓的位置關(guān)系中直線到圓心的距離與圓的半徑的關(guān)系，兩圓位置關(guān)系中圓心距與圓半徑的關(guān)系等。