第一篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇__44_數(shù)列

數(shù)列

教材分析

這節(jié)課主要研究數(shù)列的有關(guān)概念，并運(yùn)用概念去解決有關(guān)問題，其中，對數(shù)列概念的理解及應(yīng)用，既是教學(xué)的重點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)．

教學(xué)目標(biāo)

1.理解數(shù)列及數(shù)列的通項(xiàng)公式等有關(guān)概念，會(huì)根據(jù)一個(gè)數(shù)列的有限項(xiàng)寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．

2.了解遞推數(shù)列，并會(huì)由遞推公式寫出此數(shù)列的若干項(xiàng)． 3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納和猜想的能力．

任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容以往很少涉及，對學(xué)生來說，既新又抽象，所以，須要依靠實(shí)例進(jìn)行教學(xué)．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系應(yīng)在函數(shù)定義的基礎(chǔ)上加以理解．由若干項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是難點(diǎn)，但這又是鍛煉學(xué)生的歸納、猜想能力的極好機(jī)會(huì)，應(yīng)大膽讓學(xué)生親自歸納和猜想．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問題情景

傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子來表示數(shù)．比如，他們研究過1，3，6，10，…由于這些數(shù)都能夠表示成三角形（如圖44-1），他們就將其稱為三角形數(shù)．類似地，1，4，9，16，…能夠表示成正方形（如圖44-2），他們就將其稱為正方形數(shù)．

二、建立模型

1.引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析數(shù)列的順序要求，設(shè)法用自己的語言描述出數(shù)列的定義及有窮數(shù)列、無窮數(shù)列、遞增數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列等有關(guān)概念像1，4，9，16，…等按照一定規(guī)律排列的一列數(shù)，就叫作數(shù)列．

［練習(xí)］

下面的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列？（1）全體自然數(shù)構(gòu)成數(shù)列

0，1，2，3，…

（2）1996～2002年某市普通高中生人數(shù)（單位：萬人）構(gòu)成數(shù)列

82，93，105，119，129，130，132．

（3）無窮多個(gè)3構(gòu)成數(shù)列

3，3，3，3，…

（4）目前通用的人民幣面額按從大到小的順序構(gòu)成數(shù)列（單位：元）

100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01．

（5）－1的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，……構(gòu)成數(shù)列

－1，1，－1，1，…

（6）的精確到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值與過剩近似值分別構(gòu)成數(shù)列

1，1.4，1.41，1.414，… 2，1.5，1.42，1.415，…

2.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)例、項(xiàng)和第n項(xiàng)等概念發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

如：數(shù)列1，2，0，－1，3，8，…，第1項(xiàng)是1，第4項(xiàng)是－1，……由此可以發(fā)現(xiàn)，對于一個(gè)給定的數(shù)列，當(dāng)確定了項(xiàng)的位置后，這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)也隨之唯一確定．一般地，數(shù)列可以看作定義域?yàn)椋危ɑ蚱渥蛹┑暮瘮?shù)當(dāng)自變量依次為1，2，3，…時(shí)的一系列函數(shù)值．

［問 題］ 數(shù)列既然可以看作一列函數(shù)值，那么“這個(gè)函數(shù)”可以如何表示？一定有解析式嗎？你能舉出一些有解析式的例子嗎？根據(jù)學(xué)生的討論，探究，得出：數(shù)列可以用列表、圖像和函數(shù)解析式來表示，從而，解析式即為數(shù)列的通項(xiàng)公式．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)．

（1）1，－，－．

（2）2，0，2，0．

解：（1）.（2）可以寫成n-

1也可以寫成an＝1＋（－1），（其中n＝1，2，…）．

注：對于（2），可以引導(dǎo)學(xué)生得到不同的結(jié)論，從而發(fā)現(xiàn)，根據(jù)數(shù)列的前若干項(xiàng)寫出的通項(xiàng)公式不一定唯一．

2.下圖中的三角形稱為希爾賓斯基三角形．在下圖4個(gè)三角形中，黑色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，請寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，并在直角坐標(biāo)系中畫出它的圖像．

解：如圖44-3，這4個(gè)三角形中的黑色三角形的個(gè)數(shù)依次為1，3，9，27，則所求數(shù)列的前4項(xiàng)都是3的指數(shù)冪，并且指數(shù)為序號減1．所以，這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝3n-1．

在直角坐標(biāo)系中的圖像見下圖：

3.設(shè)數(shù)列滿足試寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)． 解：∵a1＝1，注：像這樣給出數(shù)列的方法叫逆推法． ［練習(xí)］

1.數(shù)列的前5項(xiàng)分別是以下各數(shù)，試分別寫出各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．

2.已知數(shù)列｛an｝滿足a1＝1，an＝

－1（n＞1），試寫出它的前5項(xiàng)． 3.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝n2－10n＋10，那么這個(gè)數(shù)列從第n項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值是否逐漸增大？從第n項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值是否均為正數(shù)？

四、拓展延伸

教師引導(dǎo)學(xué)生分析思考下面的兩個(gè)問題（可以在課堂上或課后完成）：

1.已知數(shù)列｛an｝滿足，問：此數(shù)列有無最大項(xiàng)和最小項(xiàng)？

2.通常用Sn表示數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)的和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an．已知｛an｝的前n項(xiàng)和Sn＝n2－3n＋2，試求｛an｝的通項(xiàng)公式．一般地，如何用Sn表示an呢？

點(diǎn) 評

這篇案例通過實(shí)例闡述了數(shù)列的有關(guān)概念，注意揭示了知識發(fā)生、發(fā)展的過程，比較好地調(diào)動(dòng)了學(xué)生參與探索的積極性和主動(dòng)性．問題情景設(shè)計(jì)新穎，合理；問題提出得準(zhǔn)確，恰當(dāng)；總體設(shè)計(jì)完整，清晰．另外，該案例還關(guān)注了學(xué)生科學(xué)地提出和解決問題的能力的培養(yǎng)． 美中不足的是，自“問題情景”到“建立模型”兩個(gè)環(huán)節(jié)的“交接處”顯得有些跳躍，步驟有些過簡．

第二篇：第二部分高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例

第二部分 高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例

正弦函數(shù)的性質(zhì)

教材分析

這篇案例的內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握正弦函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，通過觀察、歸納和總結(jié)，得出正弦函數(shù)的五個(gè)重要性質(zhì)，即正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性．教學(xué)重點(diǎn)是正弦函數(shù)的圖像特征及五個(gè)重要性質(zhì)，難點(diǎn)是周期函數(shù)及最小正周期的意義．由于周期函數(shù)的概念比較抽象，因此，在引入定義之前，應(yīng)注意通過具體實(shí)例讓學(xué)生充分體會(huì)這種“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，體會(huì)新概念的形成過程．

教學(xué)目標(biāo)

1.引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，分析y＝sinx的圖像，進(jìn)而歸納、總結(jié)出正弦函數(shù)的圖像特征，并抽象出函數(shù)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析圖像的能力和數(shù)形結(jié)合的能力．

2.理解和掌握正弦函數(shù)的五個(gè)重要性質(zhì)，能夠解決與正弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域、最小正周期及單調(diào)區(qū)間等簡單問題．

3.使學(xué)生進(jìn)一步了解從特殊到一般、從一般到特殊的思維方法，體會(huì)分析、探索、化歸、類比的科學(xué)研究方法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用．

4.使學(xué)生初步體會(huì)事物周期變化的一些奧秘，進(jìn)一步提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握了正弦函數(shù)圖像特征的基礎(chǔ)上，運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號語言把圖像特征進(jìn)一步“量化”，從而得出正弦函數(shù)的五個(gè)性質(zhì)．一般來說，從正弦曲線的形狀，可以很清晰地看出正弦函數(shù)的定義域、值域、最值、符號、周期性、奇偶性、單調(diào)性等，但對于周期性及單調(diào)區(qū)間的表述，學(xué)生可能會(huì)有一定的困難．因此，在引入周期函數(shù)的定義之前，要讓學(xué)生充分觀察圖像，必要時(shí)可把物理中的彈簧振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)再做一做，讓學(xué)生體會(huì)“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，體會(huì)概念的形成過程．

此外，對于周期函數(shù)，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)： 1.x應(yīng)是“定義域內(nèi)的每一個(gè)值”．

2.對于某些周期函數(shù)，在它所有的周期中，不一定存在一個(gè)最小的正周期，即某些周期函數(shù)沒有最小正周期． 3.對于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫作f（x）的最小正周期．今后涉及的周期，如果不加特殊說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問題情境

1.教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)

我們學(xué)習(xí)過正弦函數(shù)圖像的畫法，并通過觀察圖像，得到了正弦曲線的一些特征，那么這些特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)怎樣的性質(zhì)呢？

用投影膠片展示正弦曲線，引導(dǎo)學(xué)生探索正弦函數(shù)的性質(zhì)：

注：由此學(xué)生得出正弦函數(shù)的如下性質(zhì)：（1）定義域?yàn)镽．

（2）值域?yàn)椋郏?，1］，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ＋當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ－

（k∈Z）時(shí)，正弦函數(shù)取得最大值1，（k∈Z）時(shí)，正弦函數(shù)取得最小值－1．

注：在此處，教師應(yīng)提醒學(xué)生注意前面的“2kπ”，使學(xué)生初步感受一下正弦函數(shù)的“周而復(fù)始”性．

2.教師進(jìn)一步提出問題

從正弦曲線我們注意到，函數(shù)y＝sinx在x∈［－2π，0］，x∈［2π，4π］，x∈［4π，6π］，…時(shí)的圖像與x∈［0，2π］的形狀完全一樣，只是位置不同，這種特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)的什么性質(zhì)呢？

（設(shè)計(jì)目的：引導(dǎo)學(xué)生從物理中彈簧的振動(dòng)，即小球在平衡位置的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，體會(huì)事物的“周期性”變化）

（2）數(shù)學(xué)中的這種周期性變化能否用一個(gè)數(shù)學(xué)式子來體現(xiàn)？

二、建立模型 1.引導(dǎo)學(xué)生探究

2.教師明晰

通過學(xué)生的討論，歸納出周期函數(shù)的定義：

一般地，對于函數(shù)y＝f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x±T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)Ｔ叫作這個(gè)函數(shù)的周期．

說明：若學(xué)生歸納和總結(jié)出周期函數(shù)的如下定義，也應(yīng)給以充分的肯定．

如果某函數(shù)對于自變量的一切值每增加或減少一個(gè)定值，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)，那么這個(gè)函數(shù)就叫作周期函數(shù)．

給出最小正周期的概念：對于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作它的最小正周期．教科書中今后涉及的周期，如果不加特殊說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

3.深化定義的內(nèi)涵

（1）觀察等式sin（y＝sinx的周期？為什么？

＋）＝sin是否成立？如果成立，能不能說是正弦函數(shù)（2）函數(shù)f（x）＝c是周期函數(shù)嗎？它有沒有最小正周期？ 3.歸納正弦函數(shù)的性質(zhì)

通過觀察圖像，我們得到了正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性等性質(zhì)，除此之外，正弦函數(shù)還有哪些性質(zhì)呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出以下兩條性質(zhì)：

奇偶性：由誘導(dǎo)公式sin（－x）＝－sinx，知正弦函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱． 單調(diào)性：觀察正弦曲線可以看出，當(dāng)x由－由－1增大到1；當(dāng)x由

增大到

增大到時(shí)，曲線逐漸上升，sinx的值

時(shí)，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1．因此，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函數(shù)，其值從－1＋2kπ］（k∈Z）上都是減函數(shù)，其值從1減正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［－增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［小到－1．

三、解釋應(yīng)用 1.例題分析

＋2kπ，＋2kπ，例1 求使下列函數(shù)取得最大值和最小值的x的集合，并說出最大值和最小值是什么．（1）y＝sin2x．

（2）y＝sinx＋2．

（3）y＝asinx＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4．

解：（1）當(dāng)2x＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sin2x取得最

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sin2x大值，最大值是1；當(dāng)2x＝2kπ－取得最小值，最小值是－1．

（k∈Z），即x＝kπ－∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝kπ－

（k∈Z）｝，最大值是1；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值是－1．

（2）由于函數(shù)y＝sinx與函數(shù)y＝sinx＋2同時(shí)取得最大值和最小值．因此，當(dāng)x＝2kπ＋（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sinx＋2取得最大值，最大值為3；當(dāng)x＝2kπ－

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sinx＋2取得最小值，最小值為1．

∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，最大值為3；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值為1．

（3）當(dāng)a＞0時(shí)，使函數(shù)取得最大值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋＝a＋b；使函數(shù)取得最小值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，ymax

（k∈Z）｝，ymin＝－a＋b． 當(dāng)a＜0時(shí)，使函數(shù)取得最大值時(shí)的ｘ的集合為｛x｜x＝2kπ－a＋b；使函數(shù)取得最小值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝，ymax＝－

（k∈Z）｝，ymin＝a＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝

設(shè)t＝sinx，則y＝二次函數(shù)的最大值和最小值問題了．，且t∈［－1，1］，于是問題就變成求閉區(qū)間上當(dāng)t＝1，即sinx＝1時(shí)，ymax＝1，取最大值時(shí)x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝；

當(dāng)t＝－1，即sinx＝－1時(shí)，ymin＝－9，取最小值時(shí)x的集合為｛x｜x＝2kπ－∈Z）｝.［練習(xí)］

求下列函數(shù)的最值，以及使函數(shù)取得值時(shí)的自變量ｘ的集合．

（k（1）y＝｜a｜sinx＋b．

（2）y＝－sin2x＋例2 求下列函數(shù)的周期．

sinx＋．

（1）y＝sin2x．

（2）y＝．

解：（1）要求函數(shù)y＝sin2x的周期，只須尋求使等式sin2（x＋T）＝sin2x恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使sin（2x＋2T）＝sin2x恒成立的正數(shù)2T的最小值是2π，∴當(dāng)2T＝2π時(shí)，T＝π． 因此，函數(shù)y＝sin2x的周期為π．

（2）要求函數(shù)y＝的周期，只須尋求使等式 2.教師啟發(fā)，誘導(dǎo)學(xué)生自主反思

（1）從上面的例題分析中，你是否有所發(fā)現(xiàn)？（這類函數(shù)的周期好像只與x的系數(shù)有關(guān)）

（2）一般地，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期是多少？ ［要求函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的周期，只須尋求使等式Asin［ω（x＋T）＋φ］＝Asin（ωx＋φ），即Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的正數(shù)ωT，最小值是2π，∴當(dāng)ωT＝2π時(shí)，T＝.因此，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0，x∈R）的周期為3.鞏 固 ［練習(xí)］ 求下列函數(shù)的周期．

4.進(jìn)一步強(qiáng)化

例3 不求值，指出下列各式大于零還是小于零．

例4 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（1）y＝1－sin3x．

（2）y＝log2sin3x．

四、拓展延伸

1.若常數(shù)T為f（x）的周期，nT（n∈N*）是否也是它的周期？ 2.你能證明正弦函數(shù)的最小正周期是2π嗎？

3.某港口的水深y（m）是時(shí)間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，下面是該港口的水深表： 表35-1

經(jīng)過長時(shí)間的觀察，描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y＝Asinωt＋B的圖像．

（1）試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出函數(shù)y＝Asinωt＋B的表達(dá)式．

（2）一般情況下，船舶航行時(shí)船底同海底的距離不少于4.5m時(shí)是安全的．如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長時(shí)間（忽略離港用的時(shí)間）？

第三篇：新課程高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與案例

新課程高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與案例

李代友

直線與平面平行的性質(zhì)

1.教學(xué)目的

(1)通過教師的適當(dāng)引導(dǎo)和學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，使學(xué)生由直觀感知、獲得猜想，經(jīng)過邏輯論證，推導(dǎo)出直線與平面平行的性質(zhì)定理，并掌握這一定理；

(2)通過直線與平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)際應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)定理的現(xiàn)實(shí)意義與重要性；

(3)通過命題的證明，讓學(xué)生體會(huì)解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想，培養(yǎng)、提高學(xué)生分析、解決問題的能力。2.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：直線與平面平行的性質(zhì)定理；

難點(diǎn)：直線與平面平行性質(zhì)定理的探索及P61例3。(人教版)3.教學(xué)基本流程

復(fù)習(xí)相關(guān)知識并由現(xiàn)實(shí)問題引入課題

引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)直線與平面平行的性質(zhì)定理 分析定理，深化定理的理解 直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用 學(xué)生練習(xí)，反饋學(xué)習(xí)效果 小結(jié)與作業(yè)4.教學(xué)過程

教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖【復(fù)習(xí)】以提問的形式引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)的知識：線線、線面的位置關(guān)系及判定線面平行的方法。思考并回答問題。溫故知新，為新課的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備?！疽搿?1)提出例3給出的實(shí)際問題，讓學(xué)生稍作思考；

(2)點(diǎn)明該問題解決的關(guān)鍵是由條件“棱BC平行于面AC”如何在木料表面畫線，使得工人師傅按照畫線加工出滿足要求的工件；

(3)引入課題——在我們學(xué)習(xí)了《直線與平面平行的性質(zhì)》這一節(jié)課之后，我們就知道如何解決這個(gè)實(shí)際問題了。思考問題，進(jìn)入新課的學(xué)習(xí)。通過實(shí)際例子，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，突出學(xué)習(xí)直線和平面平行性質(zhì)的現(xiàn)實(shí)意義?！驹O(shè)問】

(1)提出本節(jié)《思考》的問題(1)：如果一條直線與平面平行，那么這條直線是否與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行? 1 引導(dǎo)學(xué)生做小實(shí)驗(yàn)：利用筆和桌面做實(shí)驗(yàn)，把一支筆放置到與桌面所在平面平行的位置上，把另一支筆放置在桌面，筆所在的直線代表桌面所在平面上的一條直線，移動(dòng)桌面上的筆到不同的位置，觀察兩筆所在直線的位置關(guān)系。

(2)一條直線與平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的直線有哪些位置關(guān)系? 分析：a∥αa與α無公共點(diǎn) a與α內(nèi)的任何直線都無公共點(diǎn) a與α內(nèi)的直線是異面直線或平行直線。

(1)學(xué)生動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)，并觀察得出問題的結(jié)論：與平面平行的直線并不與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行。(2)學(xué)生由實(shí)驗(yàn)結(jié)果猜想問題的答案，再由教師的引導(dǎo)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治?，確定猜想的正確性。通過學(xué)生的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，得出問題的結(jié)論，提高學(xué)生的探索問題的熱情。續(xù)表

教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖【探究】一條直線與一個(gè)平面平行，在什么條件下，平面內(nèi)的直線與這條直線平行? 講述：與平面平行的直線，和平面內(nèi)的直線或是異面直線或是平行直線，它們有一個(gè)區(qū)別是異面直線不共面，而平行直線共面，那么如何利用這個(gè)不同點(diǎn)，尋找這些平行直線呢? 長方體ABCD-AB(yǎng)CD中，AC平行于面ABCD，請?jiān)诿鍭BCD內(nèi)找出一條直線與AC平行。分析：AC與AC這兩條平行直線共面，同在面AACC內(nèi)，可見AC是過AC的平面AACC與面ABCD的交線。

(2)在面ABCD內(nèi)，除了AC還有直線與AC平行嗎?如果有，可以通過什么方法找到? 利用課件演示AC任意作一平面AEFC與面ABCD相交于線EF，驗(yàn)證學(xué)生的猜想。

分析：因?yàn)锳C∥面ABCD，所以AC與這個(gè)面內(nèi)的直線EF沒有公共點(diǎn)，由大家的這個(gè)方法做出直線EF，就使得EF與AC共面，故EF∥AC。學(xué)生隨著教師的引導(dǎo)，思考問題，回答問題。(1)根據(jù)長方體的知識，學(xué)生能夠找到直線AC與AC平行。隨教師的引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)AC的特殊位置關(guān)系。(2)由上面特殊例子的啟發(fā)，學(xué)生逐漸形成對問題答案的猜想，隨教師的引導(dǎo)，證明猜想的正確性。以長方體為載體，引導(dǎo)學(xué)生猜想問題成立的條件，推導(dǎo)出定理。續(xù)表教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖【剖析定理】(1)證明定理；(2)分析定理成立的條件和結(jié)論；(3)指導(dǎo)學(xué)生閱讀課本60頁倒數(shù)第一段的內(nèi)容。要求學(xué)生認(rèn)真聽教師的分析，看定理的證明過程，閱讀和理解課本60頁倒數(shù)第一段的內(nèi)容。深化學(xué)生對定理的理解，明確該定理給出了一種作平行線的重要方法?！眷柟叹毩?xí)】

一、提出本節(jié)開始提出的問題(2)，讓學(xué)生自由發(fā)言。(不局限只有引平行線的方法)

二、判斷題

(1)如果a、b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面。(2)如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行。

(3)如果直線a、b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b。學(xué)生自由舉手發(fā)言，說明理由。通過練習(xí)再次深化對定理的理解?！局v解例題】例

3、例4要求學(xué)生跟隨教師的分析引導(dǎo)，自己思考和解決問題。讓學(xué)生體會(huì)定理的現(xiàn)實(shí)意義與重要性及解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想【課堂練習(xí)】 已知：α∩=CD,β∩γ=AB,AB∥α,α∩γ=EF, 求證：CD∥EF

選取幾份有代表性的做法，利用投影儀，講評練習(xí)，反饋學(xué)習(xí)效果。及時(shí)解決學(xué)生學(xué)習(xí)上存在的問題【小結(jié)】(1)直線與平面平行的性質(zhì)定理；(2)直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用。

【作業(yè)】習(xí)題22A組第5、6題總結(jié)歸納學(xué)習(xí)內(nèi)容，安排適當(dāng)?shù)恼n后練習(xí)

第四篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇31-34_三角函數(shù)

角的概念的推廣

教材分析

這節(jié)課主要是把學(xué)生學(xué)習(xí)的角從不大于周角的非負(fù)角擴(kuò)充到任意角，使角有正角、負(fù)角和零角．首先通過生產(chǎn)、生活的實(shí)際例子闡明了推廣角的必要性和實(shí)際意義，然后又以“動(dòng)”的觀點(diǎn)給出了正、負(fù)、零角的概念，最后引入了幾個(gè)與之相關(guān)的概念：象限角、終邊相同的角等．在這節(jié)課中，重點(diǎn)是理解任意角、象限角、終邊相同的角等概念，難點(diǎn)是把終邊相同的角用集合和符號語言正確地表示出來．理解任意角的概念，會(huì)在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通過數(shù)形結(jié)合來認(rèn)識角的幾何表示和終邊相同的角的表示，是學(xué)好這節(jié)的關(guān)鍵．

教學(xué)目標(biāo)

1.通過實(shí)例，體會(huì)推廣角的必要性和實(shí)際意義，理解正角、負(fù)角和零角的定義． 2.理解象限角的概念、意義及表示方法，掌握終邊相同的角的表示方法．

3.通過對“由一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線形成的圖形”到“射線繞著其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成角”的認(rèn)識過程，使學(xué)生感受“動(dòng)”與“靜”的對立與統(tǒng)一．培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)審視事物，用對立統(tǒng)一規(guī)律揭示生活中的空間形式和數(shù)量關(guān)系．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問題情境 ［演 示］ 1.觀覽車的運(yùn)動(dòng)．

2.體操運(yùn)動(dòng)員、跳臺(tái)跳板運(yùn)動(dòng)員的前、后轉(zhuǎn)體動(dòng)作． 3.鐘表秒針的轉(zhuǎn)動(dòng)． 4.自行車輪子的滾動(dòng)． ［問 題］

1.如果觀覽車兩邊各站一人，當(dāng)觀覽車轉(zhuǎn)了兩周時(shí)，他們觀察到的觀覽車上的某個(gè)座位上的游客進(jìn)行了怎樣的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)了多大的角？

2.在運(yùn)動(dòng)員“轉(zhuǎn)體一周半動(dòng)作”中，運(yùn)動(dòng)員是按什么方向旋轉(zhuǎn)的，轉(zhuǎn)了多大角？ 3.鐘表上的秒針（當(dāng)時(shí)間過了1.5min時(shí)）是按什么方向轉(zhuǎn)動(dòng)的，轉(zhuǎn)動(dòng)了多大角？ 4.當(dāng)自行車的輪子轉(zhuǎn)了兩周時(shí)，自行車輪子上的某一點(diǎn)，轉(zhuǎn)了多大角？

顯然，這些角超出了我們已有的認(rèn)識范圍．本節(jié)課將在已掌握的0°～360°角的范圍的基礎(chǔ)上，把角的概念加以推廣，為進(jìn)一步研究三角函數(shù)作好準(zhǔn)備．

二、建立模型

1.正角、負(fù)角、零角的概念

在平面內(nèi)，一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)有兩個(gè)方向：順時(shí)針方向和逆時(shí)針方向．習(xí)慣上規(guī)定，按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的角叫作正角；按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫作負(fù)角；當(dāng)射線沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也把它看成一個(gè)角，叫作零角．

2.象限角

當(dāng)角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合、角的始邊與ｘ軸正半軸重合時(shí)，角的終邊在第幾象限，就把這個(gè)角叫作第幾象限的角．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限．

3.終邊相同的角

在坐標(biāo)系中作出390°，－330°角的終邊，不難發(fā)現(xiàn)，它們都與30°角的終邊相同，并且這兩個(gè)角都可以表示成0°～360°角與k個(gè)（k∈Z）周角的和，即

390°＝30°＋360°，（k＝1）； －330°＝30°－360°，（k＝－1）．

設(shè)S＝｛β｜β＝30°＋k·360°，k∈Z｝，則390°，－330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素（此時(shí)k＝0）．容易看出，所有與30°角終邊相同的角，連同30°角在內(nèi)，都是S中的元素；反過來，集合S中的任一元素均與30°角終邊相同．一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合：S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一與α終邊相同的角，都可以表求成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角．（1）－150°．

（2）650°．

（3）－950°5′．

2.分別寫出與下列角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β＜720°的元素寫出來．

（1）60°．（2）－21°．（3）363°14′． 3.寫出終邊在y軸上的角的集合．

解：在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在ｙ軸上的角有兩個(gè)，即90°，270°．因此，與這兩個(gè)角終邊相同的角構(gòu)成的集合為

S1＝｛β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝，而所有與270°角終邊相同的角構(gòu)成的集合為

S2＝｛β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z｝＝ ｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝． 于是，終邊在y軸上的角的集合為

S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋n·180°，n∈Z｝．

注：會(huì)正確使用集合的表示方法和符號語言． ［練習(xí)］

1.寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來．

（1）45°．（2）－30°．（3）420°．（4）－225°． 2.辨析概念．（分別用集合表示出來）

（1）第一象限角．（2）銳角．（3）小于90°的角．（4）0°～90°的角． 3.一角為30°，其終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為．

4.終邊在x軸上的角的集合為；終邊在第一、三象限的角的平分線上的角集合為．

四、拓展延伸

1.若角α與β終邊重合，則α與β的關(guān)系是；若角α與β的終邊互為反向延長線，則角α與β的關(guān)系是．

2.如果α在第二象限時(shí)，那么2α，是第幾象限角？

注：（1）不能忽略2α的終邊可能在坐標(biāo)軸上的情況．

（2）研究在哪個(gè)象限的方法：討論k的奇偶性．（如果是呢？）

任意角的三角函數(shù)

教材分析

這節(jié)課是在初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)．任意角的三角函數(shù)通常是借助直角坐標(biāo)系來定義的．三角函數(shù)的定義是本章教學(xué)內(nèi)容的基本概念和重要概念，也是學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，更是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵．因此，要重點(diǎn)地體會(huì)、理解和掌握三角函數(shù)的定義．在此基礎(chǔ)上，這節(jié)課又進(jìn)一步研討了三角函數(shù)的定義域，函數(shù)值在各象限的符號，以及誘導(dǎo)公式

（一），這既是對三角函數(shù)的簡單應(yīng)用，也是為學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容做了必要準(zhǔn)備．

教學(xué)目標(biāo)

1.讓學(xué)生認(rèn)識三角函數(shù)推廣的必要性，經(jīng)歷三角函數(shù)的推廣的過程，增強(qiáng)對數(shù)的理解能力．

2.理解和掌握三角函數(shù)的定義，在此基礎(chǔ)上探索與研究三角函數(shù)定義域、三角函數(shù)值的符號和誘導(dǎo)公式

（一），并能初步應(yīng)用它們解決一些問題．

3.通過對任意角的三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，初步體會(huì)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和運(yùn)用的過程，提高學(xué)生的科學(xué)思維水平．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、情景設(shè)置

初中我們學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，由其所在的直角三角形的對應(yīng)邊的比值為函數(shù)值，并且定義了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函數(shù)．這節(jié)課，我們研究當(dāng)α是一個(gè)任意角時(shí)的三角函數(shù)的定義．

在初中，三角函數(shù)的定義是借助直角三角形來定義的．如圖32-1，在Rt△ABC中，現(xiàn)在，把三角形放到坐標(biāo)系中．如圖32-2，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），則OC＝b＝x，CB＝a＝y(tǒng)，OB＝，從而

即角α的三角函數(shù)可以理解為坐標(biāo)的比值，在此意義下對任意角α都可以定義其三角函數(shù)．

二、建立模型

一般地，設(shè)α是任意角，以α的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以角α的始邊的方向作為ｘ軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系xOy．P（x，y）為α終邊上不同于原點(diǎn)的任一點(diǎn)．如圖：

那么，OP＝，記作r，（r＞0）．

對于三個(gè)量x，y，r，一般地，可以產(chǎn)生六個(gè)比值：.當(dāng)α確定時(shí)，根據(jù)初中三角形相似的知識，可知這六個(gè)比值也隨之相應(yīng)的唯一確定．根據(jù)函數(shù)的定義可以看出，這六個(gè)比值都是以角為自變量的函數(shù)，分別把角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函數(shù)，記為

稱之為α

對于定義，思考如下問題：

1.當(dāng)角α確定后，比值與P點(diǎn)的位置有關(guān)嗎？為什么？

2.利用坐標(biāo)法定義三角函數(shù)與利用直角三角形定義三角函數(shù)有什么關(guān)系？ 3.任意角α的正弦、余弦、正切都有意義嗎？為什么？

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.已知角α的終邊經(jīng)過P（－2，3），求角α的六個(gè)三角函數(shù)值． 思考：若P（－2，3）變?yōu)椋ǎ?m，3m）呢？（m≠0）2.求下列角的六個(gè)三角函數(shù)值．

注：強(qiáng)化定義． ［練習(xí)］

1.已知角α的終邊經(jīng)過下列各點(diǎn)，求角α的六個(gè)三角函數(shù)值．（1）P（3，－4）．（2）P（m，3）． 2.計(jì) 算．

（1）5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°．

四、拓展延伸 1.由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系，三角函數(shù)可以看成以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，如sina＝，不論α取任何實(shí)數(shù)，恒有意義，所以sina的定義域?yàn)椋粒痢蔙｝．類似地，研究cosa，tana，cota的定義域．

2.根據(jù)三角函數(shù)的定義以及x，y，r在不同象限內(nèi)的符號，研究sina，cosa，tana，cota的值在各個(gè)象限的符號．

3.計(jì)算下列各組角的函數(shù)值，并歸納和總結(jié)出一般性的規(guī)律．（1）sin30°，sin390°．

（2）cos45°，cos（－315°）．

規(guī)律：終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，即sin（α＋k360°）＝sina，cos（α＋k·360°）＝cosa，tan（α＋k·360°）＝tana，（k∈Z）．

五、應(yīng)用與深化 ［例 題］

1.確定下列三角函數(shù)值的符號．

2.求證：角α為第三象限角的充要條件是sinθ＜0，并且tanθ＞0． 證明：充分性：如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ為第三象限角．

∵sinθ＜0成立，所以θ的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的負(fù)半軸上． 又∵tanθ＞0成立，∴θ角的終邊可能位于第一或第三象限． ∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的終邊只能位于第三象限．

必要性：若θ為第三象限角，由三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號，知sinθ＜0，tanθ＞0． 從而結(jié)論成立． ［練習(xí)］

1.設(shè)α是三角形的一個(gè)內(nèi)角，問：在sina，cosa，tana，tan取負(fù)值？為什么？

中，哪些三角函數(shù)可能2.函數(shù) 的值域是 ____________ ．

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

教材分析

這節(jié)課主要是根據(jù)三角函數(shù)的定義，導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式sina＋cosa＝1與＝1與，并初步進(jìn)行這些公式的兩類基本應(yīng)用．教學(xué)重點(diǎn)是公式sina＋cosa的推導(dǎo)及以下兩類基本應(yīng)用：

2（1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一個(gè)，求其余兩個(gè)三角函數(shù)．（2）化簡三角函數(shù)式及證明簡單的三角恒等式．

其中，已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時(shí)，正負(fù)號的選擇是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)，正確運(yùn)用平方根及象限角的概念是突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵；證明恒等式是這節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn)．課堂上教師應(yīng)放手讓學(xué)生獨(dú)立解決問題，優(yōu)化自己的解題過程．

教學(xué)目標(biāo)

1.讓學(xué)生經(jīng)歷同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的探索、發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、探索、研究能力．

2.理解和掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并能初步運(yùn)用它們解決一些三角函數(shù)的求值、化簡、證明等問題，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，邏輯推理能力．

3.通過同角三角函數(shù)基本關(guān)系的學(xué)習(xí)，揭示事物之間的普遍聯(lián)系規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義世界觀．

任務(wù)分析 這節(jié)課的主要任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義探索出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式：sin2a＋cos2a＝1及，并進(jìn)行初步的應(yīng)用．由于該節(jié)內(nèi)容比較容易，所以，課堂上無論是關(guān)系式的探索還是例、習(xí)題的解決都可以放手讓學(xué)生獨(dú)立完成，即由學(xué)生自己把要學(xué)的知識探索出來，并用以解決新的問題．必要時(shí)，教師可以在以下幾點(diǎn)上加以強(qiáng)調(diào)：（1）“同角”二字的含義．（2）關(guān)系式的適用條件．（3）化簡題最后結(jié)果的形式．（4）怎樣優(yōu)化解題過程．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問題情境

教師出示問題：上一節(jié)內(nèi)容，我們學(xué)習(xí)了任意角α的六個(gè)三角函數(shù)及正弦線、余弦線和正切線，你知道它們之間有什么聯(lián)系嗎？你能得出它們之間的直接關(guān)系嗎？

二、建立模型

1.引導(dǎo)學(xué)生寫出任意角α的六個(gè)三角函數(shù)，并探索它們之間的關(guān)系

在角α的終邊上任取一點(diǎn)P（x，y），它與原點(diǎn)的距離是r（r＞0），則角α的六個(gè)三角函數(shù)值是

2.推導(dǎo)同角三角函數(shù)關(guān)系式

引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析和討論，消元（消去x，y，r），從而獲取下述基本關(guān)系．（1）平方關(guān)系：sin2a＋cos2a＝1．

（2）商數(shù)關(guān)系：t：

說明：①當(dāng)放手讓學(xué)生推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時(shí)，部分學(xué)生可能會(huì)利用三角函數(shù)線，借助勾股定理及相似三角形的知識來得出結(jié)論．對于這種推導(dǎo)方法，教師也應(yīng)給以充分肯定，并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生得出｜sinα｜＋｜c(diǎn)osα｜≥1．

②除以上兩個(gè)關(guān)系式外，也許部分學(xué)生還會(huì)得出如下關(guān)系式：.教師點(diǎn)撥：這些關(guān)系式都很對，但最基本的還是（1）和（2），故為了減少大家的記憶負(fù)擔(dān)，只須記住（1）和（2）即可．以上關(guān)系式均為同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式．

教師啟發(fā)：（1）對“同角”二字，大家是怎樣理解的？（2）這兩個(gè)基本關(guān)系式中的角α有沒有范圍限制？

（3）自然界的萬物都有著千絲萬縷的聯(lián)系，大家只要養(yǎng)成善于觀察的習(xí)慣，也許每天都會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)．剛才我們發(fā)現(xiàn)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，那么這些關(guān)系式能用于解決哪些問題呢？

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.已知sinα＝，且α是第二象限角，求角α的余弦值和正切值．

2.已知tanα＝－，且α是第二象限角，求角α的正弦和余弦值．

說明：這兩個(gè)題是關(guān)系式的基本應(yīng)用，應(yīng)讓學(xué)生獨(dú)立完成．可選兩名同學(xué)到黑板前板書，以便規(guī)范解題步驟．

變式1 在例2中若去掉“且α是第二象限角”，該題的解答過程又將如何？ 師生一起完成該題的解答過程．

解：由題意和基本關(guān)系式，列方程組，得

由②，得sinα＝－

cosα，代入①整理，得6cos2α＝1，cos2α＝

．

∵tanα＝－＜０，∴角α是第二或第四象限角．

當(dāng)α是第二象限角時(shí)，cosα＝－，代入②式，得；

當(dāng)α是第四象限角時(shí)，cosα＝，代入②式，得.小結(jié)：由平方關(guān)系求值時(shí)，要涉及開方運(yùn)算，自然存在符號的選取問題．由于本題沒有具體指明α是第幾象限角，因此，應(yīng)針對α可能所處的象限，分類討論．

變式2 把例2變?yōu)椋?/p>

已知tanα＝－，求的值．

解法1：由tanα＝－及基本關(guān)系式可解得

針對兩種情況下的結(jié)果居然一致的情況，教師及時(shí)點(diǎn)撥：

觀察所求式子的特點(diǎn)，看能不能不通過求sinα，cosα的值而直接得出該分式的值． 學(xué)生得到如下解法：

由此，引出變式3．

已知：tanα＝－，求（sinα－cosα）2的值．

有了上一題的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生會(huì)得到如下解法：

教師歸納、啟發(fā)：這個(gè)方法成功地避免了開方運(yùn)算，因而也就避開了不必要的討論．遺憾的是，因?yàn)樗皇欠质叫问剑越忸}過程不像“變式2”那樣簡捷．那么，能解決這一矛盾嗎？

學(xué)生得到如下解法：

教師引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié)：（1）由于開方運(yùn)算一般存在符號選取問題，因此，在求值過程中，若能避免開方的應(yīng)盡量避免．

（2）當(dāng)式子為分式且分子、分母都為三角函數(shù)的n（n∈N且n≥1）次冪的齊次式時(shí)，采用上述方法可優(yōu)化解題過程．

［練習(xí)］

當(dāng)學(xué)生完成了以上題目后，教師引導(dǎo)學(xué)生討論如下問題：

（1）化簡題的結(jié)果一定是“最簡”形式，對三角函數(shù)的“最簡”形式，你是怎樣理解的？（2）關(guān)于三角函數(shù)恒等式的證明，一般都有哪些方法？你是否發(fā)現(xiàn)了一些技巧？

四、拓展延伸

教師出示問題，啟發(fā)學(xué)生一題多解，并激發(fā)學(xué)生的探索熱情．

已知sinα－cosα＝－，180°＜α＜270°，求tanα的值．

解法1：由sinα－cosα＝－，得

反思：（1）解法1的結(jié)果比解法2的結(jié)果多了一個(gè)，看來產(chǎn)生了“增根”，那么，是什么原因產(chǎn)生了增根呢？

（2）當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了由sinα－cosα＝－α的范圍變大了時(shí)，教師再點(diǎn)撥：

怎樣才能使平方變形是等價(jià)的呢？ 由學(xué)生得出如下正確答案：

得到sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝的過程中，∵180°＜α＜270°，且sinα－cosα＝－cosα｜，因此｜tanα｜＞1，只能取tanα＝2．

＜0，∴sinα＜0，cosα＜0，且｜sinα｜＞｜強(qiáng)調(diào)：非等價(jià)變形是解法1出錯(cuò)的關(guān)鍵！

誘導(dǎo)公式 教材分析

這節(jié)內(nèi)容以學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角的三角函數(shù)值為基礎(chǔ)，利用單位圓和三角函數(shù)的定義，導(dǎo)出三角函數(shù)的五組誘導(dǎo)公式，即有關(guān)角k·360°＋α，180°＋α，－α，180°－α，360°－α的公式，并通過運(yùn)用這些公式，把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值，從而滲透了把未知問題化歸為已知問題的化歸思想．這節(jié)課的重點(diǎn)是后四組誘導(dǎo)公式以及這五組公式的綜合運(yùn)用．把這五組公式用一句話歸納出來，并切實(shí)理解這句話中每一詞語的含義，是切實(shí)掌握這五組公式的難點(diǎn)所在．準(zhǔn)確把握每一組公式的意義及其中符號語言的特征，并且把公式二、三與圖形對應(yīng)起來，是突破上述難點(diǎn)的關(guān)鍵．

教學(xué)目標(biāo)

1.在教師的引導(dǎo)下，啟發(fā)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式及其證明，培養(yǎng)學(xué)生勇于探求新知、善于歸納總結(jié)的能力．

2.理解并掌握正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，并能應(yīng)用這些公式解決一些求值、化簡、證明等問題．

3.讓學(xué)生體驗(yàn)探索后的成功喜悅，培養(yǎng)學(xué)生的自信心．

4.使學(xué)生認(rèn)識到轉(zhuǎn)化“矛盾”是解決問題的有效途徑，進(jìn)一步樹立化歸思想．

任務(wù)分析

誘導(dǎo)公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值．在五組誘導(dǎo)公式中，關(guān)于180°＋α與－α的誘導(dǎo)公式是最基本的，也是最重要的．在推導(dǎo)這兩組公式時(shí)，應(yīng)放手讓學(xué)生獨(dú)立探索，尋求“180°＋α與角α的終邊”及“－α與角α的終邊”之間的位置關(guān)系，從而完成公式的推導(dǎo)．此外，要把90°～360°范圍內(nèi)的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)，除了利用第二、四、五個(gè)公式外，還可以利用90°＋α，270°±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在掌握前五組誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探求新的關(guān)系式，從而使學(xué)生在頭腦中形成完整的三角函數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問題情境 教師提出系列問題

1.在初中我們學(xué)習(xí)了求銳角的三角函數(shù)值，現(xiàn)在角的概念已經(jīng)推廣到了任意角，能否把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值呢？

2.當(dāng)α＝390°時(shí)，能否求出它的正弦、余弦和正切值？ 3.由2你能否得出一般性的結(jié)論？試說明理由．

二、建立模型 1.分析1 在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生獨(dú)立推出公式

（一），即

2.應(yīng)用1 在公式的應(yīng)用中讓學(xué)生體會(huì)公式的作用，即把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0°～360°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值．

練習(xí)：求下列各三角函數(shù)值．

（1）cos3.分析2 π．

（2）tan405°．

如果能夠把90°～360°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值，即可實(shí)現(xiàn)“把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值”的目標(biāo)．例如，能否將120°，240°，300°角與我們熟悉的銳角建立某種聯(lián)系，進(jìn)而求出其余弦值？

引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)的定義并借助圖形，得到如下結(jié)果：

cos120°＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－，cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－，cos300°＝cos（360°＋60°）＝cos60°＝4.分析3

．

一般地，cos（180°＋α），cos（180°－α），cos（360°－α）與cosα的關(guān)系如何？你能證明自己的結(jié)論嗎？由學(xué)生獨(dú)立完成下述推導(dǎo)： 設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y）．由于角180°＋α的終邊就是角α的終邊的反向延長線，則角180°＋α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O對稱．

由此可知，點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（－x，－y）．

又∵單位圓的半徑r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y(tǒng)，tanα＝（180°＋α）＝－y，tan（180°＋α）＝從而得到：

．，cos（180°＋α）＝－x，sin

5.分析4 在推導(dǎo)公式三時(shí)，學(xué)生會(huì)遇到如下困難，即：若α為任意角，180°－α與角α的終邊的位置關(guān)系不容易判斷．這時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助公式二，把180°－α看成180°＋（－α），即：先把180°－α的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為－α的三角函數(shù)值，然后通過尋找－α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，使原問題得到解決．

由學(xué)生獨(dú)立完成如下推導(dǎo)：

如圖，設(shè)任意角α的終邊與單位圓相交于P（x，y），角－α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P′．∵這兩個(gè)角的終邊關(guān)于ｘ軸對稱，∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x，sin（－α）＝－y，tan（－α）＝從而得到：

進(jìn)而推出：

注：在問題的解決過程中，教師要注意讓學(xué)生充分體驗(yàn)成功的快樂． 6.教師歸納

公式

（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作誘導(dǎo)公式，利用它們可以把k·360°＋α，180°±α，－α，360°－α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù)．那么，在轉(zhuǎn)化過程中，發(fā)生了哪些變化？這種變化是否存在著某種規(guī)律？

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下概括：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號．為了便于記憶，還可編成一句口訣“函數(shù)名不變，符號看象限”．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.求下列各三角函數(shù)值．

通過應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)誘導(dǎo)公式的作用：

①把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，其一般步驟為

評注：本題中，若代入cosα·cot3α形式，就須先求得cosα的值．由于不能確定角α所在象限，解題過程將變得煩鎖．以此提醒學(xué)生注意選取合理形式解決問題．

四、拓展延伸

教師出示問題：前面我們利用三角函數(shù)的定義及對稱性研究了角α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函數(shù)與角α的三角函數(shù)之間的關(guān)系，這些角有一個(gè)共同點(diǎn)，即：均為180°的整數(shù)倍加、減α．但是，在解題過程中，還會(huì)遇到另外的情況，如前面遇到的120°角，它既可以寫成180°－60°，也可以寫成90°＋30°，那么90°＋α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)有著怎樣的關(guān)系呢？

學(xué)生探究：經(jīng)過獨(dú)立探求后，有學(xué)生可能會(huì)得到如下結(jié)果：

設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），角90°＋α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P′（x′，y′）（如圖），則cosα＝x，sinα＝y(tǒng)，cos（90°＋α）＝x′，sin（90°＋α）＝y(tǒng)′． 過P作PM⊥x軸，垂足為M，過P′作P′M′⊥y軸，垂足為M′，則△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y(tǒng)′，y＝x′．

進(jìn)而得到cos（90°＋α）＝sinα，sin（90°＋α）＝cosα．對此結(jié)論和方法，教師不宜作任何評論，而應(yīng)放手讓學(xué)生展開辯論和交流，最后得到正確結(jié)果：

由于OM與OM′，MP與M′P′僅是長度相等，而當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0，又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x． 從而得到：

教師進(jìn)一步引導(dǎo)：

（1）推導(dǎo)上面的公式時(shí)，利用了點(diǎn)P在第一象限的條件．當(dāng)點(diǎn)Ｐ不在第一象限時(shí)，是否仍有上面的結(jié)論？

（通過多媒體演示角α的終邊在不同象限的情景，使學(xué)生理解公式六中的角α可以為任意角）

（2）推導(dǎo)公式六時(shí)，采用了初中的平面幾何知識．是否也能像推導(dǎo)前五組公式那樣采用對稱變換的方式呢？

學(xué)生探究：學(xué)生先針對α為銳角時(shí)的情況進(jìn)行探索，再推廣到α為任意角的情形． 設(shè)角α的終邊與單位圓交點(diǎn)為P（x，y），（如圖）．由于角α的終邊經(jīng)過下述變換：2（軸的對稱點(diǎn)P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x．

＋α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P′（x′，y′）－α）＋2a＝，即可得到

＋α的終邊．這是兩次對稱變換，即先作P關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)M（y，x），再作點(diǎn)M關(guān)于y

由此，可進(jìn)一步得到：

教師歸納：公式六、七、八、九也稱作誘導(dǎo)公式，利用它們可以把90°±α，270°±α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù)．

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：

90°±α，270°±α的三角函數(shù)值等于α的余名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號．

兩套公式合起來，可統(tǒng)一概括為 對于k·90°±α（k∈Z）的各三角函數(shù)值，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，得α的同名函數(shù)值；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，得α的余名函數(shù)值．然后，均在前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號．為了便于記憶，也可編成口訣：“奇變偶不變，符號看象限”．

第五篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇___45_等差數(shù)列

等差數(shù)列

教材分析

等差數(shù)列是高中階段研究的兩種最常見的數(shù)列之一．這節(jié)內(nèi)容在一些具體實(shí)例的基礎(chǔ)上，歸納、抽象、概括出了等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式．教學(xué)重點(diǎn)是等差數(shù)例的定義及通項(xiàng)公式的發(fā)現(xiàn)過程及有關(guān)知識的應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)是理解公式的實(shí)質(zhì)并加以靈活運(yùn)用．

教學(xué)目標(biāo)

1.理解等差數(shù)列的概念，掌握其通項(xiàng)公式及實(shí)質(zhì)并會(huì)熟練應(yīng)用．

2.通過對等差數(shù)列概念及通項(xiàng)公式的歸納、抽象和概括，體驗(yàn)等差數(shù)列概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象、概括能力．

3.培養(yǎng)從特殊到一般，再從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，并鍛煉學(xué)生歸納、猜想、論證的能力．

任務(wù)分析

這節(jié)課是在實(shí)例的基礎(chǔ)上，采用從特殊到一般，再從一般到特殊的思想，對此，學(xué)生接受起來并不太困難．對于等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式的發(fā)現(xiàn)，要完全地放給學(xué)生自己討論，探究，以便于充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，使其充分體驗(yàn)到成功的樂趣．對于通項(xiàng)公式，不要只看表面，更要看到公式的實(shí)質(zhì)———四個(gè)量之間的一個(gè)等量關(guān)系，以便于以后運(yùn)用方程思想靈活解決有關(guān)問題．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問題情景

在現(xiàn)實(shí)生活中，經(jīng)常會(huì)遇到下面的特殊數(shù)列．

1.我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5個(gè)數(shù)一次，可以得到數(shù)列：

0.5，______________，______________，______________，______________，… 2.水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚．如果一個(gè)水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，那么從開始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）： 18，______________，______________，______________，______________，5.5． 3.我國現(xiàn)行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計(jì)算下一期的利息．按照單利計(jì)算本利和的公式是：

本利和＝本金×（1＋利率×存期）．

例如，按活期存入10000元錢，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和組成的數(shù)列是

______________，______________，______________，______________，______________ ．

問題：上面的數(shù)列有什么共同特點(diǎn)？ 你能用數(shù)學(xué)語言（符號）描述這些特點(diǎn)嗎？

二、建立模型

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，即ａn＋1－ａn＝d（n∈N＋）．

［問 題］

（1）如果三個(gè)數(shù)ａ，A，ｂ成等差數(shù)列，那么A叫ａ，ｂ的等差中項(xiàng)．你能用ａ，ｂ表示A嗎？

（2）你能猜想出問題情景中的3個(gè)數(shù)列各自的通項(xiàng)公式嗎？

（3）一般地，對于等差數(shù)列｛ａn｝，你能用基本量ａ1，ｄ來表示其通項(xiàng)嗎？ 解法1：歸納：ａ1＝ａ1，ａ2＝ａ1＋ｄ，ａ3＝ａ1＋2ｄ，…，ａn＝ａ1＋（ｎ－1）d．

解法2：累加：ａ2－ａ1＝ｄ，ａ3－ａ2＝ｄ，…，ａn－ａn-1＝ｄ，各式相加，得ａn－ａ1＝（ｎ－1）ｄ，∴ａn＝ａ1＋（ｎ－1）ｄ． ［思 考］

（1）這個(gè)通項(xiàng)公式有何特點(diǎn)？是關(guān)于n的幾次式的形式？ｄ可以等0嗎？（2）此公式中有幾個(gè)量？ ［結(jié) 論］（1）等差數(shù)列通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次式的形式，ｎ的系數(shù)為ｄ．當(dāng)ｄ＝0時(shí)，該數(shù)列為常數(shù)列．

（2）此公式中有四個(gè)量，即ａn，ａ1，ｎ，ｄ，知道其中任何三個(gè)可求另外一個(gè)，所以，通項(xiàng)公式實(shí)質(zhì)是四個(gè)量之間的關(guān)系．

三、解釋應(yīng)用

［例 題］

1.（1）求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項(xiàng)．

（2）－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

2.某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元／千米，起步價(jià)為10元，即最初的4km（不含4km）計(jì)費(fèi)10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，須要支付多少車費(fèi)？

解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時(shí)，每增加1km，乘客須要支付1.2元．所以，可建立一個(gè)等差數(shù)列｛ａn｝來計(jì)算車費(fèi)．

令ａ1＝11.2，表示4km處的車費(fèi)，公差ｄ＝1.2．那么，當(dāng)出租車行至14km處時(shí)，ｎ＝11，此時(shí)須要支付車費(fèi)ａ11＝11.2＋（11－1）×1.2＝23.2（元）．

答：須要支付車費(fèi)23.2元．

3.已知數(shù)列｛ａn｝的通項(xiàng)公式為ａn＝pn＋ｑ，其中ｐ，ｑ為常數(shù)，且ｐ≠０，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？

分析：判定｛ａn｝是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看ａn－ａn-1（ｎ＞1）是不是一個(gè)與ｎ無關(guān)的常數(shù)．

解：取數(shù)列｛ａn｝中的任意相鄰兩項(xiàng)ａn與ａn-1（ｎ＞1），求差，得 ａn－ａn-1＝（ｐｎ＋ｑ）－［ｐ（ｎ－１）＋ｑ］＝ ｐｎ＋ｑ－（ｐｎ－ｐ＋ｑ）＝ｐ．

它是一個(gè)與ｎ無關(guān)的數(shù)．所以｛ａn｝是等差數(shù)列． ［練習(xí)］ 1.在等差數(shù)列中，（1）已知ａ5＝－1，ａ8＝2，求ａ1與ｄ．（2）已知ａ1＋ａ6＝12，ａ4＝7，求ａ9． 2.已知｛ａn｝是等差數(shù)列．

（1）2ａ5＝ａ3＋ａ7是否成立？2ａ5＝ａ1＋ａ9是否成立？

（2）2ａn＝ａn－2＋ａn＋２（ｎ＞2）是否成立？2ａn＝ａn－k＋ａn＋k（ｎ＞ｋ＞0）是否成立？

3.已知數(shù)列｛ａn｝，｛bn｝的通項(xiàng)公式分別為ａn＝ａn＋2，bn＝bn＋1（ａ，ｂ是常數(shù)），且ａ＞ｂ，那么這兩個(gè)數(shù)列中的序號與數(shù)值均相等的項(xiàng)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)？

四、拓展延伸

（1）在直角坐標(biāo)系中，畫出通項(xiàng)公式為ａn＝3n－5的數(shù)列的圖像，并說出這個(gè)數(shù)列的圖像有什么特點(diǎn)．該圖像與ｙ＝3ｘ－5的圖像有什么關(guān)系？據(jù)此，你能得出一般性的結(jié)論嗎？

（2）通項(xiàng)公式的四個(gè)量中知道其中三個(gè)量可求另一個(gè)量，你能據(jù)此編出一些不同的題目嗎？

（3）對于兩個(gè)次數(shù)相同的等差數(shù)列｛ａn｝和｛bn｝，｛ａn＋bn｝，｛ａn·bn｝，（ｂｎ≠0）是否為等差數(shù)列？

點(diǎn) 評

教師能否調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和能否真正培養(yǎng)學(xué)生能力，提高課堂效率，很大程度上取決于教師能否設(shè)計(jì)出既符合教材要求又符合學(xué)生的認(rèn)知水平的問題．這節(jié)課正是通過恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)一系列問題，層層遞進(jìn)，使問題得到了全面解決，這樣不僅鍛煉了學(xué)生思維，培養(yǎng)了學(xué)生能力，而且也充分體現(xiàn)了新課程的理念．

值得一提的是，利用歸納的方式引導(dǎo)學(xué)生建立概念并及時(shí)在應(yīng)用中深化，是這篇案例的突出特點(diǎn)．