第一篇:高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇__44_數(shù)列
數(shù)列
教材分析
這節(jié)課主要研究數(shù)列的有關(guān)概念,并運(yùn)用概念去解決有關(guān)問題,其中,對數(shù)列概念的理解及應(yīng)用,既是教學(xué)的重點(diǎn),也是教學(xué)的難點(diǎn).
教學(xué)目標(biāo)
1.理解數(shù)列及數(shù)列的通項(xiàng)公式等有關(guān)概念,會(huì)根據(jù)一個(gè)數(shù)列的有限項(xiàng)寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.
2.了解遞推數(shù)列,并會(huì)由遞推公式寫出此數(shù)列的若干項(xiàng). 3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納和猜想的能力.
任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容以往很少涉及,對學(xué)生來說,既新又抽象,所以,須要依靠實(shí)例進(jìn)行教學(xué).?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系應(yīng)在函數(shù)定義的基礎(chǔ)上加以理解.由若干項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是難點(diǎn),但這又是鍛煉學(xué)生的歸納、猜想能力的極好機(jī)會(huì),應(yīng)大膽讓學(xué)生親自歸納和猜想.
教學(xué)設(shè)計(jì)
一、問題情景
傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題,他們在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子來表示數(shù).比如,他們研究過1,3,6,10,…由于這些數(shù)都能夠表示成三角形(如圖44-1),他們就將其稱為三角形數(shù).類似地,1,4,9,16,…能夠表示成正方形(如圖44-2),他們就將其稱為正方形數(shù).
二、建立模型
1.引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析數(shù)列的順序要求,設(shè)法用自己的語言描述出數(shù)列的定義及有窮數(shù)列、無窮數(shù)列、遞增數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列等有關(guān)概念像1,4,9,16,…等按照一定規(guī)律排列的一列數(shù),就叫作數(shù)列.
[練習(xí)]
下面的數(shù)列,哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列?(1)全體自然數(shù)構(gòu)成數(shù)列
0,1,2,3,…
(2)1996~2002年某市普通高中生人數(shù)(單位:萬人)構(gòu)成數(shù)列
82,93,105,119,129,130,132.
(3)無窮多個(gè)3構(gòu)成數(shù)列
3,3,3,3,…
(4)目前通用的人民幣面額按從大到小的順序構(gòu)成數(shù)列(單位:元)
100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01.
(5)-1的1次冪,2次冪,3次冪,4次冪,……構(gòu)成數(shù)列
-1,1,-1,1,…
(6)的精確到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值與過剩近似值分別構(gòu)成數(shù)列
1,1.4,1.41,1.414,… 2,1.5,1.42,1.415,…
2.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)例、項(xiàng)和第n項(xiàng)等概念發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
如:數(shù)列1,2,0,-1,3,8,…,第1項(xiàng)是1,第4項(xiàng)是-1,……由此可以發(fā)現(xiàn),對于一個(gè)給定的數(shù)列,當(dāng)確定了項(xiàng)的位置后,這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)也隨之唯一確定.一般地,數(shù)列可以看作定義域?yàn)椋危ɑ蚱渥蛹┑暮瘮?shù)當(dāng)自變量依次為1,2,3,…時(shí)的一系列函數(shù)值.
[問 題] 數(shù)列既然可以看作一列函數(shù)值,那么“這個(gè)函數(shù)”可以如何表示?一定有解析式嗎?你能舉出一些有解析式的例子嗎?根據(jù)學(xué)生的討論,探究,得出:數(shù)列可以用列表、圖像和函數(shù)解析式來表示,從而,解析式即為數(shù)列的通項(xiàng)公式.
三、解釋應(yīng)用 [例 題]
1.寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù).
(1)1,-,-.
(2)2,0,2,0.
解:(1).(2)可以寫成n-
1也可以寫成an=1+(-1),(其中n=1,2,…).
注:對于(2),可以引導(dǎo)學(xué)生得到不同的結(jié)論,從而發(fā)現(xiàn),根據(jù)數(shù)列的前若干項(xiàng)寫出的通項(xiàng)公式不一定唯一.
2.下圖中的三角形稱為希爾賓斯基三角形.在下圖4個(gè)三角形中,黑色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng),請寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,并在直角坐標(biāo)系中畫出它的圖像.
解:如圖44-3,這4個(gè)三角形中的黑色三角形的個(gè)數(shù)依次為1,3,9,27,則所求數(shù)列的前4項(xiàng)都是3的指數(shù)冪,并且指數(shù)為序號減1.所以,這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=3n-1.
在直角坐標(biāo)系中的圖像見下圖:
3.設(shè)數(shù)列滿足試寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng). 解:∵a1=1,注:像這樣給出數(shù)列的方法叫逆推法. [練習(xí)]
1.數(shù)列的前5項(xiàng)分別是以下各數(shù),試分別寫出各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.
2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=
-1(n>1),試寫出它的前5項(xiàng). 3.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n2-10n+10,那么這個(gè)數(shù)列從第n項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值是否逐漸增大?從第n項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值是否均為正數(shù)?
四、拓展延伸
教師引導(dǎo)學(xué)生分析思考下面的兩個(gè)問題(可以在課堂上或課后完成):
1.已知數(shù)列{an}滿足,問:此數(shù)列有無最大項(xiàng)和最小項(xiàng)?
2.通常用Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和,即Sn=a1+a2+a3+…+an.已知{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-3n+2,試求{an}的通項(xiàng)公式.一般地,如何用Sn表示an呢?
點(diǎn) 評
這篇案例通過實(shí)例闡述了數(shù)列的有關(guān)概念,注意揭示了知識發(fā)生、發(fā)展的過程,比較好地調(diào)動(dòng)了學(xué)生參與探索的積極性和主動(dòng)性.問題情景設(shè)計(jì)新穎,合理;問題提出得準(zhǔn)確,恰當(dāng);總體設(shè)計(jì)完整,清晰.另外,該案例還關(guān)注了學(xué)生科學(xué)地提出和解決問題的能力的培養(yǎng). 美中不足的是,自“問題情景”到“建立模型”兩個(gè)環(huán)節(jié)的“交接處”顯得有些跳躍,步驟有些過簡.
第二篇:第二部分高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例
第二部分 高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例
正弦函數(shù)的性質(zhì)
教材分析
這篇案例的內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握正弦函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上,通過觀察、歸納和總結(jié),得出正弦函數(shù)的五個(gè)重要性質(zhì),即正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性.教學(xué)重點(diǎn)是正弦函數(shù)的圖像特征及五個(gè)重要性質(zhì),難點(diǎn)是周期函數(shù)及最小正周期的意義.由于周期函數(shù)的概念比較抽象,因此,在引入定義之前,應(yīng)注意通過具體實(shí)例讓學(xué)生充分體會(huì)這種“周而復(fù)始”的現(xiàn)象,體會(huì)新概念的形成過程.
教學(xué)目標(biāo)
1.引導(dǎo)學(xué)生通過觀察,分析y=sinx的圖像,進(jìn)而歸納、總結(jié)出正弦函數(shù)的圖像特征,并抽象出函數(shù)性質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析圖像的能力和數(shù)形結(jié)合的能力.
2.理解和掌握正弦函數(shù)的五個(gè)重要性質(zhì),能夠解決與正弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域、最小正周期及單調(diào)區(qū)間等簡單問題.
3.使學(xué)生進(jìn)一步了解從特殊到一般、從一般到特殊的思維方法,體會(huì)分析、探索、化歸、類比的科學(xué)研究方法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用.
4.使學(xué)生初步體會(huì)事物周期變化的一些奧秘,進(jìn)一步提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣.
任務(wù)分析
這節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握了正弦函數(shù)圖像特征的基礎(chǔ)上,運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號語言把圖像特征進(jìn)一步“量化”,從而得出正弦函數(shù)的五個(gè)性質(zhì).一般來說,從正弦曲線的形狀,可以很清晰地看出正弦函數(shù)的定義域、值域、最值、符號、周期性、奇偶性、單調(diào)性等,但對于周期性及單調(diào)區(qū)間的表述,學(xué)生可能會(huì)有一定的困難.因此,在引入周期函數(shù)的定義之前,要讓學(xué)生充分觀察圖像,必要時(shí)可把物理中的彈簧振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)再做一做,讓學(xué)生體會(huì)“周而復(fù)始”的現(xiàn)象,體會(huì)概念的形成過程.
此外,對于周期函數(shù),還應(yīng)強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn): 1.x應(yīng)是“定義域內(nèi)的每一個(gè)值”.
2.對于某些周期函數(shù),在它所有的周期中,不一定存在一個(gè)最小的正周期,即某些周期函數(shù)沒有最小正周期. 3.對于一個(gè)周期函數(shù)f(x),如果在它的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期.今后涉及的周期,如果不加特殊說明,一般都是指函數(shù)的最小正周期.
教學(xué)設(shè)計(jì)
一、問題情境
1.教師提出問題,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)
我們學(xué)習(xí)過正弦函數(shù)圖像的畫法,并通過觀察圖像,得到了正弦曲線的一些特征,那么這些特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)怎樣的性質(zhì)呢?
用投影膠片展示正弦曲線,引導(dǎo)學(xué)生探索正弦函數(shù)的性質(zhì):
注:由此學(xué)生得出正弦函數(shù)的如下性質(zhì):(1)定義域?yàn)镽.
(2)值域?yàn)椋郏?,1],當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ-
(k∈Z)時(shí),正弦函數(shù)取得最大值1,(k∈Z)時(shí),正弦函數(shù)取得最小值-1.
注:在此處,教師應(yīng)提醒學(xué)生注意前面的“2kπ”,使學(xué)生初步感受一下正弦函數(shù)的“周而復(fù)始”性.
2.教師進(jìn)一步提出問題
從正弦曲線我們注意到,函數(shù)y=sinx在x∈[-2π,0],x∈[2π,4π],x∈[4π,6π],…時(shí)的圖像與x∈[0,2π]的形狀完全一樣,只是位置不同,這種特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)的什么性質(zhì)呢?
(設(shè)計(jì)目的:引導(dǎo)學(xué)生從物理中彈簧的振動(dòng),即小球在平衡位置的往復(fù)運(yùn)動(dòng),體會(huì)事物的“周期性”變化)
(2)數(shù)學(xué)中的這種周期性變化能否用一個(gè)數(shù)學(xué)式子來體現(xiàn)?
二、建立模型 1.引導(dǎo)學(xué)生探究
2.教師明晰
通過學(xué)生的討論,歸納出周期函數(shù)的定義:
一般地,對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使定義域內(nèi)的每一個(gè)x值,都滿足f(x±T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫作周期函數(shù),非零常數(shù)T叫作這個(gè)函數(shù)的周期.
說明:若學(xué)生歸納和總結(jié)出周期函數(shù)的如下定義,也應(yīng)給以充分的肯定.
如果某函數(shù)對于自變量的一切值每增加或減少一個(gè)定值,函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn),那么這個(gè)函數(shù)就叫作周期函數(shù).
給出最小正周期的概念:對于一個(gè)周期函數(shù)f(x),如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作它的最小正周期.教科書中今后涉及的周期,如果不加特殊說明,一般都是指函數(shù)的最小正周期.
3.深化定義的內(nèi)涵
(1)觀察等式sin(y=sinx的周期?為什么?
+)=sin是否成立?如果成立,能不能說是正弦函數(shù)(2)函數(shù)f(x)=c是周期函數(shù)嗎?它有沒有最小正周期? 3.歸納正弦函數(shù)的性質(zhì)
通過觀察圖像,我們得到了正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性等性質(zhì),除此之外,正弦函數(shù)還有哪些性質(zhì)呢?
教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出以下兩條性質(zhì):
奇偶性:由誘導(dǎo)公式sin(-x)=-sinx,知正弦函數(shù)是奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱. 單調(diào)性:觀察正弦曲線可以看出,當(dāng)x由-由-1增大到1;當(dāng)x由
增大到
增大到時(shí),曲線逐漸上升,sinx的值
時(shí),曲線逐漸下降,sinx的值由1減小到-1.因此,+2kπ](k∈Z)上都是增函數(shù),其值從-1+2kπ](k∈Z)上都是減函數(shù),其值從1減正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間[-增大到1;在每一個(gè)閉區(qū)間[小到-1.
三、解釋應(yīng)用 1.例題分析
+2kπ,+2kπ,例1 求使下列函數(shù)取得最大值和最小值的x的集合,并說出最大值和最小值是什么.(1)y=sin2x.
(2)y=sinx+2.
(3)y=asinx+b.
(4)y=2cos2x+5sinx-4.
解:(1)當(dāng)2x=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)時(shí),函數(shù)y=sin2x取得最
(k∈Z)時(shí),函數(shù)y=sin2x大值,最大值是1;當(dāng)2x=2kπ-取得最小值,最小值是-1.
(k∈Z),即x=kπ-∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為{x|x=kπ+取得最小值的x的集合為{x|x=kπ-
(k∈Z)},最大值是1;使函數(shù)
(k∈Z)},最小值是-1.
(2)由于函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=sinx+2同時(shí)取得最大值和最小值.因此,當(dāng)x=2kπ+(k∈Z)時(shí),函數(shù)y=sinx+2取得最大值,最大值為3;當(dāng)x=2kπ-
(k∈Z)時(shí),函數(shù)y=sinx+2取得最小值,最小值為1.
∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為{x|x=2kπ+取得最小值的x的集合為{x|x=2kπ-
(k∈Z)},最大值為3;使函數(shù)
(k∈Z)},最小值為1.
(3)當(dāng)a>0時(shí),使函數(shù)取得最大值時(shí)的x的集合為{x|x=2kπ+=a+b;使函數(shù)取得最小值時(shí)的x的集合為{x|x=2kπ-
(k∈Z)},ymax
(k∈Z)},ymin=-a+b. 當(dāng)a<0時(shí),使函數(shù)取得最大值時(shí)的x的集合為{x|x=2kπ-a+b;使函數(shù)取得最小值時(shí)的x的集合為{x|x=2kπ+
(k∈Z)},ymax=-
(k∈Z)},ymin=a+b.
(4)y=2cos2x+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2=
設(shè)t=sinx,則y=二次函數(shù)的最大值和最小值問題了.,且t∈[-1,1],于是問題就變成求閉區(qū)間上當(dāng)t=1,即sinx=1時(shí),ymax=1,取最大值時(shí)x的集合為{x|x=2kπ+
(k∈Z)};
當(dāng)t=-1,即sinx=-1時(shí),ymin=-9,取最小值時(shí)x的集合為{x|x=2kπ-∈Z)}.[練習(xí)]
求下列函數(shù)的最值,以及使函數(shù)取得值時(shí)的自變量x的集合.
(k(1)y=|a|sinx+b.
(2)y=-sin2x+例2 求下列函數(shù)的周期.
sinx+.
(1)y=sin2x.
(2)y=.
解:(1)要求函數(shù)y=sin2x的周期,只須尋求使等式sin2(x+T)=sin2x恒成立的最小正數(shù)T即可.
∵使sin(2x+2T)=sin2x恒成立的正數(shù)2T的最小值是2π,∴當(dāng)2T=2π時(shí),T=π. 因此,函數(shù)y=sin2x的周期為π.
(2)要求函數(shù)y=的周期,只須尋求使等式 2.教師啟發(fā),誘導(dǎo)學(xué)生自主反思
(1)從上面的例題分析中,你是否有所發(fā)現(xiàn)?(這類函數(shù)的周期好像只與x的系數(shù)有關(guān))
(2)一般地,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0,x∈R)的周期是多少? [要求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的周期,只須尋求使等式Asin[ω(x+T)+φ]=Asin(ωx+φ),即Asin(ωx+φ+ωT)=Asin(ωx+φ)恒成立的最小正數(shù)T即可.
∵使Asin(ωx+φ+ωT)=Asin(ωx+φ)恒成立的正數(shù)ωT,最小值是2π,∴當(dāng)ωT=2π時(shí),T=.因此,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0,x∈R)的周期為3.鞏 固 [練習(xí)] 求下列函數(shù)的周期.
4.進(jìn)一步強(qiáng)化
例3 不求值,指出下列各式大于零還是小于零.
例4 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(1)y=1-sin3x.
(2)y=log2sin3x.
四、拓展延伸
1.若常數(shù)T為f(x)的周期,nT(n∈N*)是否也是它的周期? 2.你能證明正弦函數(shù)的最小正周期是2π嗎?
3.某港口的水深y(m)是時(shí)間t(0≤t≤24,單位:h)的函數(shù),下面是該港口的水深表: 表35-1
經(jīng)過長時(shí)間的觀察,描出的曲線如圖所示,經(jīng)擬合,該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y=Asinωt+B的圖像.
(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線,求出函數(shù)y=Asinωt+B的表達(dá)式.
(2)一般情況下,船舶航行時(shí)船底同海底的距離不少于4.5m時(shí)是安全的.如果某船的吃水深度(船底與水面的距離)為7m,那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港?若該船欲當(dāng)天安全離港,它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長時(shí)間(忽略離港用的時(shí)間)?
第三篇:新課程高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與案例
新課程高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與案例
李代友
直線與平面平行的性質(zhì)
1.教學(xué)目的
(1)通過教師的適當(dāng)引導(dǎo)和學(xué)生的自主學(xué)習(xí),使學(xué)生由直觀感知、獲得猜想,經(jīng)過邏輯論證,推導(dǎo)出直線與平面平行的性質(zhì)定理,并掌握這一定理;
(2)通過直線與平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)際應(yīng)用,讓學(xué)生體會(huì)定理的現(xiàn)實(shí)意義與重要性;
(3)通過命題的證明,讓學(xué)生體會(huì)解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想,培養(yǎng)、提高學(xué)生分析、解決問題的能力。2.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn):直線與平面平行的性質(zhì)定理;
難點(diǎn):直線與平面平行性質(zhì)定理的探索及P61例3。(人教版)3.教學(xué)基本流程
復(fù)習(xí)相關(guān)知識并由現(xiàn)實(shí)問題引入課題
引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)直線與平面平行的性質(zhì)定理 分析定理,深化定理的理解 直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用 學(xué)生練習(xí),反饋學(xué)習(xí)效果 小結(jié)與作業(yè)4.教學(xué)過程
教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖【復(fù)習(xí)】以提問的形式引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)的知識:線線、線面的位置關(guān)系及判定線面平行的方法。思考并回答問題。溫故知新,為新課的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備?!疽搿?1)提出例3給出的實(shí)際問題,讓學(xué)生稍作思考;
(2)點(diǎn)明該問題解決的關(guān)鍵是由條件“棱BC平行于面AC”如何在木料表面畫線,使得工人師傅按照畫線加工出滿足要求的工件;
(3)引入課題——在我們學(xué)習(xí)了《直線與平面平行的性質(zhì)》這一節(jié)課之后,我們就知道如何解決這個(gè)實(shí)際問題了。思考問題,進(jìn)入新課的學(xué)習(xí)。通過實(shí)際例子,引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,突出學(xué)習(xí)直線和平面平行性質(zhì)的現(xiàn)實(shí)意義?!驹O(shè)問】
(1)提出本節(jié)《思考》的問題(1):如果一條直線與平面平行,那么這條直線是否與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行? 1 引導(dǎo)學(xué)生做小實(shí)驗(yàn):利用筆和桌面做實(shí)驗(yàn),把一支筆放置到與桌面所在平面平行的位置上,把另一支筆放置在桌面,筆所在的直線代表桌面所在平面上的一條直線,移動(dòng)桌面上的筆到不同的位置,觀察兩筆所在直線的位置關(guān)系。
(2)一條直線與平面平行,那么這條直線與平面內(nèi)的直線有哪些位置關(guān)系? 分析:a∥αa與α無公共點(diǎn) a與α內(nèi)的任何直線都無公共點(diǎn) a與α內(nèi)的直線是異面直線或平行直線。
(1)學(xué)生動(dòng)手做實(shí)驗(yàn),并觀察得出問題的結(jié)論:與平面平行的直線并不與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行。(2)學(xué)生由實(shí)驗(yàn)結(jié)果猜想問題的答案,再由教師的引導(dǎo)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治?,確定猜想的正確性。通過學(xué)生的動(dòng)手實(shí)驗(yàn),得出問題的結(jié)論,提高學(xué)生的探索問題的熱情。續(xù)表
教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖【探究】一條直線與一個(gè)平面平行,在什么條件下,平面內(nèi)的直線與這條直線平行? 講述:與平面平行的直線,和平面內(nèi)的直線或是異面直線或是平行直線,它們有一個(gè)區(qū)別是異面直線不共面,而平行直線共面,那么如何利用這個(gè)不同點(diǎn),尋找這些平行直線呢? 長方體ABCD-AB(yǎng)CD中,AC平行于面ABCD,請?jiān)诿鍭BCD內(nèi)找出一條直線與AC平行。分析:AC與AC這兩條平行直線共面,同在面AACC內(nèi),可見AC是過AC的平面AACC與面ABCD的交線。
(2)在面ABCD內(nèi),除了AC還有直線與AC平行嗎?如果有,可以通過什么方法找到? 利用課件演示AC任意作一平面AEFC與面ABCD相交于線EF,驗(yàn)證學(xué)生的猜想。
分析:因?yàn)锳C∥面ABCD,所以AC與這個(gè)面內(nèi)的直線EF沒有公共點(diǎn),由大家的這個(gè)方法做出直線EF,就使得EF與AC共面,故EF∥AC。學(xué)生隨著教師的引導(dǎo),思考問題,回答問題。(1)根據(jù)長方體的知識,學(xué)生能夠找到直線AC與AC平行。隨教師的引導(dǎo),發(fā)現(xiàn)AC的特殊位置關(guān)系。(2)由上面特殊例子的啟發(fā),學(xué)生逐漸形成對問題答案的猜想,隨教師的引導(dǎo),證明猜想的正確性。以長方體為載體,引導(dǎo)學(xué)生猜想問題成立的條件,推導(dǎo)出定理。續(xù)表教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖【剖析定理】(1)證明定理;(2)分析定理成立的條件和結(jié)論;(3)指導(dǎo)學(xué)生閱讀課本60頁倒數(shù)第一段的內(nèi)容。要求學(xué)生認(rèn)真聽教師的分析,看定理的證明過程,閱讀和理解課本60頁倒數(shù)第一段的內(nèi)容。深化學(xué)生對定理的理解,明確該定理給出了一種作平行線的重要方法?!眷柟叹毩?xí)】
一、提出本節(jié)開始提出的問題(2),讓學(xué)生自由發(fā)言。(不局限只有引平行線的方法)
二、判斷題
(1)如果a、b是兩條直線,且a∥b,那么a平行于經(jīng)過b的任何平面。(2)如果直線a和平面α滿足a∥α,那么a與α內(nèi)的任何直線平行。
(3)如果直線a、b和平面α滿足a∥α,b∥α,那么a∥b。學(xué)生自由舉手發(fā)言,說明理由。通過練習(xí)再次深化對定理的理解?!局v解例題】例
3、例4要求學(xué)生跟隨教師的分析引導(dǎo),自己思考和解決問題。讓學(xué)生體會(huì)定理的現(xiàn)實(shí)意義與重要性及解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想【課堂練習(xí)】 已知:α∩=CD,β∩γ=AB,AB∥α,α∩γ=EF, 求證:CD∥EF
選取幾份有代表性的做法,利用投影儀,講評練習(xí),反饋學(xué)習(xí)效果。及時(shí)解決學(xué)生學(xué)習(xí)上存在的問題【小結(jié)】(1)直線與平面平行的性質(zhì)定理;(2)直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用。
【作業(yè)】習(xí)題22A組第5、6題總結(jié)歸納學(xué)習(xí)內(nèi)容,安排適當(dāng)?shù)恼n后練習(xí)
第四篇:高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇31-34_三角函數(shù)
角的概念的推廣
教材分析
這節(jié)課主要是把學(xué)生學(xué)習(xí)的角從不大于周角的非負(fù)角擴(kuò)充到任意角,使角有正角、負(fù)角和零角.首先通過生產(chǎn)、生活的實(shí)際例子闡明了推廣角的必要性和實(shí)際意義,然后又以“動(dòng)”的觀點(diǎn)給出了正、負(fù)、零角的概念,最后引入了幾個(gè)與之相關(guān)的概念:象限角、終邊相同的角等.在這節(jié)課中,重點(diǎn)是理解任意角、象限角、終邊相同的角等概念,難點(diǎn)是把終邊相同的角用集合和符號語言正確地表示出來.理解任意角的概念,會(huì)在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,通過數(shù)形結(jié)合來認(rèn)識角的幾何表示和終邊相同的角的表示,是學(xué)好這節(jié)的關(guān)鍵.
教學(xué)目標(biāo)
1.通過實(shí)例,體會(huì)推廣角的必要性和實(shí)際意義,理解正角、負(fù)角和零角的定義. 2.理解象限角的概念、意義及表示方法,掌握終邊相同的角的表示方法.
3.通過對“由一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線形成的圖形”到“射線繞著其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成角”的認(rèn)識過程,使學(xué)生感受“動(dòng)”與“靜”的對立與統(tǒng)一.培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)審視事物,用對立統(tǒng)一規(guī)律揭示生活中的空間形式和數(shù)量關(guān)系.
教學(xué)設(shè)計(jì)
一、問題情境 [演 示] 1.觀覽車的運(yùn)動(dòng).
2.體操運(yùn)動(dòng)員、跳臺(tái)跳板運(yùn)動(dòng)員的前、后轉(zhuǎn)體動(dòng)作. 3.鐘表秒針的轉(zhuǎn)動(dòng). 4.自行車輪子的滾動(dòng). [問 題]
1.如果觀覽車兩邊各站一人,當(dāng)觀覽車轉(zhuǎn)了兩周時(shí),他們觀察到的觀覽車上的某個(gè)座位上的游客進(jìn)行了怎樣的旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)了多大的角?
2.在運(yùn)動(dòng)員“轉(zhuǎn)體一周半動(dòng)作”中,運(yùn)動(dòng)員是按什么方向旋轉(zhuǎn)的,轉(zhuǎn)了多大角? 3.鐘表上的秒針(當(dāng)時(shí)間過了1.5min時(shí))是按什么方向轉(zhuǎn)動(dòng)的,轉(zhuǎn)動(dòng)了多大角? 4.當(dāng)自行車的輪子轉(zhuǎn)了兩周時(shí),自行車輪子上的某一點(diǎn),轉(zhuǎn)了多大角?
顯然,這些角超出了我們已有的認(rèn)識范圍.本節(jié)課將在已掌握的0°~360°角的范圍的基礎(chǔ)上,把角的概念加以推廣,為進(jìn)一步研究三角函數(shù)作好準(zhǔn)備.
二、建立模型
1.正角、負(fù)角、零角的概念
在平面內(nèi),一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)有兩個(gè)方向:順時(shí)針方向和逆時(shí)針方向.習(xí)慣上規(guī)定,按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的角叫作正角;按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫作負(fù)角;當(dāng)射線沒有旋轉(zhuǎn)時(shí),我們也把它看成一個(gè)角,叫作零角.
2.象限角
當(dāng)角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合、角的始邊與x軸正半軸重合時(shí),角的終邊在第幾象限,就把這個(gè)角叫作第幾象限的角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限.
3.終邊相同的角
在坐標(biāo)系中作出390°,-330°角的終邊,不難發(fā)現(xiàn),它們都與30°角的終邊相同,并且這兩個(gè)角都可以表示成0°~360°角與k個(gè)(k∈Z)周角的和,即
390°=30°+360°,(k=1); -330°=30°-360°,(k=-1).
設(shè)S={β|β=30°+k·360°,k∈Z},則390°,-330°角都是S中的元素,30°角也是S中的元素(此時(shí)k=0).容易看出,所有與30°角終邊相同的角,連同30°角在內(nèi),都是S中的元素;反過來,集合S中的任一元素均與30°角終邊相同.一般地,所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合:S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與α終邊相同的角,都可以表求成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.
三、解釋應(yīng)用 [例 題]
1.在0°~360°范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并判斷它們是第幾象限的角.(1)-150°.
(2)650°.
(3)-950°5′.
2.分別寫出與下列角終邊相同的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β<720°的元素寫出來.
(1)60°.(2)-21°.(3)363°14′. 3.寫出終邊在y軸上的角的集合.
解:在0°~360°范圍內(nèi),終邊在y軸上的角有兩個(gè),即90°,270°.因此,與這兩個(gè)角終邊相同的角構(gòu)成的集合為
S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z}={β|β=90°+2k·180°,k∈Z},而所有與270°角終邊相同的角構(gòu)成的集合為
S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z}= {β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}. 于是,終邊在y軸上的角的集合為
S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=90°+n·180°,n∈Z}.
注:會(huì)正確使用集合的表示方法和符號語言. [練習(xí)]
1.寫出與下列各角終邊相同的角的集合,并把集合中適合不等式-720°≤β<360°的元素β寫出來.
(1)45°.(2)-30°.(3)420°.(4)-225°. 2.辨析概念.(分別用集合表示出來)
(1)第一象限角.(2)銳角.(3)小于90°的角.(4)0°~90°的角. 3.一角為30°,其終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為.
4.終邊在x軸上的角的集合為;終邊在第一、三象限的角的平分線上的角集合為.
四、拓展延伸
1.若角α與β終邊重合,則α與β的關(guān)系是;若角α與β的終邊互為反向延長線,則角α與β的關(guān)系是.
2.如果α在第二象限時(shí),那么2α,是第幾象限角?
注:(1)不能忽略2α的終邊可能在坐標(biāo)軸上的情況.
(2)研究在哪個(gè)象限的方法:討論k的奇偶性.(如果是呢?)
任意角的三角函數(shù)
教材分析
這節(jié)課是在初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù).任意角的三角函數(shù)通常是借助直角坐標(biāo)系來定義的.三角函數(shù)的定義是本章教學(xué)內(nèi)容的基本概念和重要概念,也是學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ),更是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵.因此,要重點(diǎn)地體會(huì)、理解和掌握三角函數(shù)的定義.在此基礎(chǔ)上,這節(jié)課又進(jìn)一步研討了三角函數(shù)的定義域,函數(shù)值在各象限的符號,以及誘導(dǎo)公式
(一),這既是對三角函數(shù)的簡單應(yīng)用,也是為學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容做了必要準(zhǔn)備.
教學(xué)目標(biāo)
1.讓學(xué)生認(rèn)識三角函數(shù)推廣的必要性,經(jīng)歷三角函數(shù)的推廣的過程,增強(qiáng)對數(shù)的理解能力.
2.理解和掌握三角函數(shù)的定義,在此基礎(chǔ)上探索與研究三角函數(shù)定義域、三角函數(shù)值的符號和誘導(dǎo)公式
(一),并能初步應(yīng)用它們解決一些問題.
3.通過對任意角的三角函數(shù)的學(xué)習(xí),初步體會(huì)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和運(yùn)用的過程,提高學(xué)生的科學(xué)思維水平.
教學(xué)設(shè)計(jì)
一、情景設(shè)置
初中我們學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù),知道它們都是以銳角為自變量,由其所在的直角三角形的對應(yīng)邊的比值為函數(shù)值,并且定義了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函數(shù).這節(jié)課,我們研究當(dāng)α是一個(gè)任意角時(shí)的三角函數(shù)的定義.
在初中,三角函數(shù)的定義是借助直角三角形來定義的.如圖32-1,在Rt△ABC中,現(xiàn)在,把三角形放到坐標(biāo)系中.如圖32-2,設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,y),則OC=b=x,CB=a=y(tǒng),OB=,從而
即角α的三角函數(shù)可以理解為坐標(biāo)的比值,在此意義下對任意角α都可以定義其三角函數(shù).
二、建立模型
一般地,設(shè)α是任意角,以α的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以角α的始邊的方向作為x軸的正方向,建立直角坐標(biāo)系xOy.P(x,y)為α終邊上不同于原點(diǎn)的任一點(diǎn).如圖:
那么,OP=,記作r,(r>0).
對于三個(gè)量x,y,r,一般地,可以產(chǎn)生六個(gè)比值:.當(dāng)α確定時(shí),根據(jù)初中三角形相似的知識,可知這六個(gè)比值也隨之相應(yīng)的唯一確定.根據(jù)函數(shù)的定義可以看出,這六個(gè)比值都是以角為自變量的函數(shù),分別把角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函數(shù),記為
稱之為α
對于定義,思考如下問題:
1.當(dāng)角α確定后,比值與P點(diǎn)的位置有關(guān)嗎?為什么?
2.利用坐標(biāo)法定義三角函數(shù)與利用直角三角形定義三角函數(shù)有什么關(guān)系? 3.任意角α的正弦、余弦、正切都有意義嗎?為什么?
三、解釋應(yīng)用 [例 題]
1.已知角α的終邊經(jīng)過P(-2,3),求角α的六個(gè)三角函數(shù)值. 思考:若P(-2,3)變?yōu)椋ǎ?m,3m)呢?(m≠0)2.求下列角的六個(gè)三角函數(shù)值.
注:強(qiáng)化定義. [練習(xí)]
1.已知角α的終邊經(jīng)過下列各點(diǎn),求角α的六個(gè)三角函數(shù)值.(1)P(3,-4).(2)P(m,3). 2.計(jì) 算.
(1)5sin90°+2sin0°-3sin270°+10cos180°.
四、拓展延伸 1.由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系,三角函數(shù)可以看成以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù),如sina=,不論α取任何實(shí)數(shù),恒有意義,所以sina的定義域?yàn)椋粒痢蔙}.類似地,研究cosa,tana,cota的定義域.
2.根據(jù)三角函數(shù)的定義以及x,y,r在不同象限內(nèi)的符號,研究sina,cosa,tana,cota的值在各個(gè)象限的符號.
3.計(jì)算下列各組角的函數(shù)值,并歸納和總結(jié)出一般性的規(guī)律.(1)sin30°,sin390°.
(2)cos45°,cos(-315°).
規(guī)律:終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值,即sin(α+k360°)=sina,cos(α+k·360°)=cosa,tan(α+k·360°)=tana,(k∈Z).
五、應(yīng)用與深化 [例 題]
1.確定下列三角函數(shù)值的符號.
2.求證:角α為第三象限角的充要條件是sinθ<0,并且tanθ>0. 證明:充分性:如果sinθ<0,tanθ>0都成立,那么θ為第三象限角.
∵sinθ<0成立,所以θ的終邊可能位于第三或第四象限,也可能位于y軸的負(fù)半軸上. 又∵tanθ>0成立,∴θ角的終邊可能位于第一或第三象限. ∵sinθ<0,tanθ>0都成立,∴θ角的終邊只能位于第三象限.
必要性:若θ為第三象限角,由三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號,知sinθ<0,tanθ>0. 從而結(jié)論成立. [練習(xí)]
1.設(shè)α是三角形的一個(gè)內(nèi)角,問:在sina,cosa,tana,tan取負(fù)值?為什么?
中,哪些三角函數(shù)可能2.函數(shù) 的值域是 ____________ .
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
教材分析
這節(jié)課主要是根據(jù)三角函數(shù)的定義,導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式sina+cosa=1與=1與,并初步進(jìn)行這些公式的兩類基本應(yīng)用.教學(xué)重點(diǎn)是公式sina+cosa的推導(dǎo)及以下兩類基本應(yīng)用:
2(1)已知某角的正弦、余弦、正切中的一個(gè),求其余兩個(gè)三角函數(shù).(2)化簡三角函數(shù)式及證明簡單的三角恒等式.
其中,已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值,求它的其余各三角函數(shù)值時(shí),正負(fù)號的選擇是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn),正確運(yùn)用平方根及象限角的概念是突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵;證明恒等式是這節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn).課堂上教師應(yīng)放手讓學(xué)生獨(dú)立解決問題,優(yōu)化自己的解題過程.
教學(xué)目標(biāo)
1.讓學(xué)生經(jīng)歷同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的探索、發(fā)現(xiàn)過程,培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、探索、研究能力.
2.理解和掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,并能初步運(yùn)用它們解決一些三角函數(shù)的求值、化簡、證明等問題,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力,邏輯推理能力.
3.通過同角三角函數(shù)基本關(guān)系的學(xué)習(xí),揭示事物之間的普遍聯(lián)系規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義世界觀.
任務(wù)分析 這節(jié)課的主要任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義探索出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式:sin2a+cos2a=1及,并進(jìn)行初步的應(yīng)用.由于該節(jié)內(nèi)容比較容易,所以,課堂上無論是關(guān)系式的探索還是例、習(xí)題的解決都可以放手讓學(xué)生獨(dú)立完成,即由學(xué)生自己把要學(xué)的知識探索出來,并用以解決新的問題.必要時(shí),教師可以在以下幾點(diǎn)上加以強(qiáng)調(diào):(1)“同角”二字的含義.(2)關(guān)系式的適用條件.(3)化簡題最后結(jié)果的形式.(4)怎樣優(yōu)化解題過程.
教學(xué)設(shè)計(jì)
一、問題情境
教師出示問題:上一節(jié)內(nèi)容,我們學(xué)習(xí)了任意角α的六個(gè)三角函數(shù)及正弦線、余弦線和正切線,你知道它們之間有什么聯(lián)系嗎?你能得出它們之間的直接關(guān)系嗎?
二、建立模型
1.引導(dǎo)學(xué)生寫出任意角α的六個(gè)三角函數(shù),并探索它們之間的關(guān)系
在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(x,y),它與原點(diǎn)的距離是r(r>0),則角α的六個(gè)三角函數(shù)值是
2.推導(dǎo)同角三角函數(shù)關(guān)系式
引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析和討論,消元(消去x,y,r),從而獲取下述基本關(guān)系.(1)平方關(guān)系:sin2a+cos2a=1.
(2)商數(shù)關(guān)系:t:
說明:①當(dāng)放手讓學(xué)生推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時(shí),部分學(xué)生可能會(huì)利用三角函數(shù)線,借助勾股定理及相似三角形的知識來得出結(jié)論.對于這種推導(dǎo)方法,教師也應(yīng)給以充分肯定,并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生得出|sinα|+|c(diǎn)osα|≥1.
②除以上兩個(gè)關(guān)系式外,也許部分學(xué)生還會(huì)得出如下關(guān)系式:.教師點(diǎn)撥:這些關(guān)系式都很對,但最基本的還是(1)和(2),故為了減少大家的記憶負(fù)擔(dān),只須記住(1)和(2)即可.以上關(guān)系式均為同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.
教師啟發(fā):(1)對“同角”二字,大家是怎樣理解的?(2)這兩個(gè)基本關(guān)系式中的角α有沒有范圍限制?
(3)自然界的萬物都有著千絲萬縷的聯(lián)系,大家只要養(yǎng)成善于觀察的習(xí)慣,也許每天都會(huì)有新的發(fā)現(xiàn).剛才我們發(fā)現(xiàn)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,那么這些關(guān)系式能用于解決哪些問題呢?
三、解釋應(yīng)用 [例 題]
1.已知sinα=,且α是第二象限角,求角α的余弦值和正切值.
2.已知tanα=-,且α是第二象限角,求角α的正弦和余弦值.
說明:這兩個(gè)題是關(guān)系式的基本應(yīng)用,應(yīng)讓學(xué)生獨(dú)立完成.可選兩名同學(xué)到黑板前板書,以便規(guī)范解題步驟.
變式1 在例2中若去掉“且α是第二象限角”,該題的解答過程又將如何? 師生一起完成該題的解答過程.
解:由題意和基本關(guān)系式,列方程組,得
由②,得sinα=-
cosα,代入①整理,得6cos2α=1,cos2α=
.
∵tanα=-<0,∴角α是第二或第四象限角.
當(dāng)α是第二象限角時(shí),cosα=-,代入②式,得;
當(dāng)α是第四象限角時(shí),cosα=,代入②式,得.小結(jié):由平方關(guān)系求值時(shí),要涉及開方運(yùn)算,自然存在符號的選取問題.由于本題沒有具體指明α是第幾象限角,因此,應(yīng)針對α可能所處的象限,分類討論.
變式2 把例2變?yōu)椋?/p>
已知tanα=-,求的值.
解法1:由tanα=-及基本關(guān)系式可解得
針對兩種情況下的結(jié)果居然一致的情況,教師及時(shí)點(diǎn)撥:
觀察所求式子的特點(diǎn),看能不能不通過求sinα,cosα的值而直接得出該分式的值. 學(xué)生得到如下解法:
由此,引出變式3.
已知:tanα=-,求(sinα-cosα)2的值.
有了上一題的經(jīng)驗(yàn),學(xué)生會(huì)得到如下解法:
教師歸納、啟發(fā):這個(gè)方法成功地避免了開方運(yùn)算,因而也就避開了不必要的討論.遺憾的是,因?yàn)樗皇欠质叫问剑越忸}過程不像“變式2”那樣簡捷.那么,能解決這一矛盾嗎?
學(xué)生得到如下解法:
教師引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié):(1)由于開方運(yùn)算一般存在符號選取問題,因此,在求值過程中,若能避免開方的應(yīng)盡量避免.
(2)當(dāng)式子為分式且分子、分母都為三角函數(shù)的n(n∈N且n≥1)次冪的齊次式時(shí),采用上述方法可優(yōu)化解題過程.
[練習(xí)]
當(dāng)學(xué)生完成了以上題目后,教師引導(dǎo)學(xué)生討論如下問題:
(1)化簡題的結(jié)果一定是“最簡”形式,對三角函數(shù)的“最簡”形式,你是怎樣理解的?(2)關(guān)于三角函數(shù)恒等式的證明,一般都有哪些方法?你是否發(fā)現(xiàn)了一些技巧?
四、拓展延伸
教師出示問題,啟發(fā)學(xué)生一題多解,并激發(fā)學(xué)生的探索熱情.
已知sinα-cosα=-,180°<α<270°,求tanα的值.
解法1:由sinα-cosα=-,得
反思:(1)解法1的結(jié)果比解法2的結(jié)果多了一個(gè),看來產(chǎn)生了“增根”,那么,是什么原因產(chǎn)生了增根呢?
(2)當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了由sinα-cosα=-α的范圍變大了時(shí),教師再點(diǎn)撥:
怎樣才能使平方變形是等價(jià)的呢? 由學(xué)生得出如下正確答案:
得到sin2α-2sinαcosα+cos2α=的過程中,∵180°<α<270°,且sinα-cosα=-cosα|,因此|tanα|>1,只能取tanα=2.
<0,∴sinα<0,cosα<0,且|sinα|>|強(qiáng)調(diào):非等價(jià)變形是解法1出錯(cuò)的關(guān)鍵!
誘導(dǎo)公式 教材分析
這節(jié)內(nèi)容以學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角的三角函數(shù)值為基礎(chǔ),利用單位圓和三角函數(shù)的定義,導(dǎo)出三角函數(shù)的五組誘導(dǎo)公式,即有關(guān)角k·360°+α,180°+α,-α,180°-α,360°-α的公式,并通過運(yùn)用這些公式,把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值,從而滲透了把未知問題化歸為已知問題的化歸思想.這節(jié)課的重點(diǎn)是后四組誘導(dǎo)公式以及這五組公式的綜合運(yùn)用.把這五組公式用一句話歸納出來,并切實(shí)理解這句話中每一詞語的含義,是切實(shí)掌握這五組公式的難點(diǎn)所在.準(zhǔn)確把握每一組公式的意義及其中符號語言的特征,并且把公式二、三與圖形對應(yīng)起來,是突破上述難點(diǎn)的關(guān)鍵.
教學(xué)目標(biāo)
1.在教師的引導(dǎo)下,啟發(fā)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式及其證明,培養(yǎng)學(xué)生勇于探求新知、善于歸納總結(jié)的能力.
2.理解并掌握正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式,并能應(yīng)用這些公式解決一些求值、化簡、證明等問題.
3.讓學(xué)生體驗(yàn)探索后的成功喜悅,培養(yǎng)學(xué)生的自信心.
4.使學(xué)生認(rèn)識到轉(zhuǎn)化“矛盾”是解決問題的有效途徑,進(jìn)一步樹立化歸思想.
任務(wù)分析
誘導(dǎo)公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值.在五組誘導(dǎo)公式中,關(guān)于180°+α與-α的誘導(dǎo)公式是最基本的,也是最重要的.在推導(dǎo)這兩組公式時(shí),應(yīng)放手讓學(xué)生獨(dú)立探索,尋求“180°+α與角α的終邊”及“-α與角α的終邊”之間的位置關(guān)系,從而完成公式的推導(dǎo).此外,要把90°~360°范圍內(nèi)的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù),除了利用第二、四、五個(gè)公式外,還可以利用90°+α,270°±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在掌握前五組誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探求新的關(guān)系式,從而使學(xué)生在頭腦中形成完整的三角函數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu).
教學(xué)設(shè)計(jì)
一、問題情境 教師提出系列問題
1.在初中我們學(xué)習(xí)了求銳角的三角函數(shù)值,現(xiàn)在角的概念已經(jīng)推廣到了任意角,能否把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值呢?
2.當(dāng)α=390°時(shí),能否求出它的正弦、余弦和正切值? 3.由2你能否得出一般性的結(jié)論?試說明理由.
二、建立模型 1.分析1 在教師的指導(dǎo)下,學(xué)生獨(dú)立推出公式
(一),即
2.應(yīng)用1 在公式的應(yīng)用中讓學(xué)生體會(huì)公式的作用,即把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0°~360°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值.
練習(xí):求下列各三角函數(shù)值.
(1)cos3.分析2 π.
(2)tan405°.
如果能夠把90°~360°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值,即可實(shí)現(xiàn)“把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值”的目標(biāo).例如,能否將120°,240°,300°角與我們熟悉的銳角建立某種聯(lián)系,進(jìn)而求出其余弦值?
引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)的定義并借助圖形,得到如下結(jié)果:
cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=-,cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°=-,cos300°=cos(360°+60°)=cos60°=4.分析3
.
一般地,cos(180°+α),cos(180°-α),cos(360°-α)與cosα的關(guān)系如何?你能證明自己的結(jié)論嗎?由學(xué)生獨(dú)立完成下述推導(dǎo): 設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y).由于角180°+α的終邊就是角α的終邊的反向延長線,則角180°+α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O對稱.
由此可知,點(diǎn)P′的坐標(biāo)是(-x,-y).
又∵單位圓的半徑r=1,∴cosα=x,sinα=y(tǒng),tanα=(180°+α)=-y,tan(180°+α)=從而得到:
.,cos(180°+α)=-x,sin
5.分析4 在推導(dǎo)公式三時(shí),學(xué)生會(huì)遇到如下困難,即:若α為任意角,180°-α與角α的終邊的位置關(guān)系不容易判斷.這時(shí),教師可引導(dǎo)學(xué)生借助公式二,把180°-α看成180°+(-α),即:先把180°-α的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為-α的三角函數(shù)值,然后通過尋找-α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系,使原問題得到解決.
由學(xué)生獨(dú)立完成如下推導(dǎo):
如圖,設(shè)任意角α的終邊與單位圓相交于P(x,y),角-α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P′.∵這兩個(gè)角的終邊關(guān)于x軸對稱,∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)是(x,-y).又∵r=1,∴cos(-α)=x,sin(-α)=-y,tan(-α)=從而得到:
進(jìn)而推出:
注:在問題的解決過程中,教師要注意讓學(xué)生充分體驗(yàn)成功的快樂. 6.教師歸納
公式
(一)、(二)、(三)、(四)、(五)都叫作誘導(dǎo)公式,利用它們可以把k·360°+α,180°±α,-α,360°-α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù).那么,在轉(zhuǎn)化過程中,發(fā)生了哪些變化?這種變化是否存在著某種規(guī)律?
引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下概括:α+k·360°(k∈Z),-α,180°±α,360°-α的三角函數(shù)值,等于α的同名函數(shù)值,前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號.為了便于記憶,還可編成一句口訣“函數(shù)名不變,符號看象限”.
三、解釋應(yīng)用 [例 題]
1.求下列各三角函數(shù)值.
通過應(yīng)用,讓學(xué)生體會(huì)誘導(dǎo)公式的作用:
①把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù),其一般步驟為
評注:本題中,若代入cosα·cot3α形式,就須先求得cosα的值.由于不能確定角α所在象限,解題過程將變得煩鎖.以此提醒學(xué)生注意選取合理形式解決問題.
四、拓展延伸
教師出示問題:前面我們利用三角函數(shù)的定義及對稱性研究了角α+k·360°(k∈Z),-α,180°±α,360°-α的三角函數(shù)與角α的三角函數(shù)之間的關(guān)系,這些角有一個(gè)共同點(diǎn),即:均為180°的整數(shù)倍加、減α.但是,在解題過程中,還會(huì)遇到另外的情況,如前面遇到的120°角,它既可以寫成180°-60°,也可以寫成90°+30°,那么90°+α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)有著怎樣的關(guān)系呢?
學(xué)生探究:經(jīng)過獨(dú)立探求后,有學(xué)生可能會(huì)得到如下結(jié)果:
設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),角90°+α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P′(x′,y′)(如圖),則cosα=x,sinα=y(tǒng),cos(90°+α)=x′,sin(90°+α)=y(tǒng)′. 過P作PM⊥x軸,垂足為M,過P′作P′M′⊥y軸,垂足為M′,則△OPM≌△OP′M′,∴OM=OM′,MP=M′P′,即x=y(tǒng)′,y=x′.
進(jìn)而得到cos(90°+α)=sinα,sin(90°+α)=cosα.對此結(jié)論和方法,教師不宜作任何評論,而應(yīng)放手讓學(xué)生展開辯論和交流,最后得到正確結(jié)果:
由于OM與OM′,MP與M′P′僅是長度相等,而當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí),P′在第二象限,∴x′<0,y′>0,又∵x>0,y>0,∴x′=-y,y′=x. 從而得到:
教師進(jìn)一步引導(dǎo):
(1)推導(dǎo)上面的公式時(shí),利用了點(diǎn)P在第一象限的條件.當(dāng)點(diǎn)P不在第一象限時(shí),是否仍有上面的結(jié)論?
(通過多媒體演示角α的終邊在不同象限的情景,使學(xué)生理解公式六中的角α可以為任意角)
(2)推導(dǎo)公式六時(shí),采用了初中的平面幾何知識.是否也能像推導(dǎo)前五組公式那樣采用對稱變換的方式呢?
學(xué)生探究:學(xué)生先針對α為銳角時(shí)的情況進(jìn)行探索,再推廣到α為任意角的情形. 設(shè)角α的終邊與單位圓交點(diǎn)為P(x,y),(如圖).由于角α的終邊經(jīng)過下述變換:2(軸的對稱點(diǎn)P′(-y,-x),∴x′=-y,y′=x.
+α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P′(x′,y′)-α)+2a=,即可得到
+α的終邊.這是兩次對稱變換,即先作P關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)M(y,x),再作點(diǎn)M關(guān)于y
由此,可進(jìn)一步得到:
教師歸納:公式六、七、八、九也稱作誘導(dǎo)公式,利用它們可以把90°±α,270°±α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù).
引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出:
90°±α,270°±α的三角函數(shù)值等于α的余名函數(shù)值,前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號.
兩套公式合起來,可統(tǒng)一概括為 對于k·90°±α(k∈Z)的各三角函數(shù)值,當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),得α的同名函數(shù)值;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),得α的余名函數(shù)值.然后,均在前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號.為了便于記憶,也可編成口訣:“奇變偶不變,符號看象限”.
第五篇:高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇___45_等差數(shù)列
等差數(shù)列
教材分析
等差數(shù)列是高中階段研究的兩種最常見的數(shù)列之一.這節(jié)內(nèi)容在一些具體實(shí)例的基礎(chǔ)上,歸納、抽象、概括出了等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式.教學(xué)重點(diǎn)是等差數(shù)例的定義及通項(xiàng)公式的發(fā)現(xiàn)過程及有關(guān)知識的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)是理解公式的實(shí)質(zhì)并加以靈活運(yùn)用.
教學(xué)目標(biāo)
1.理解等差數(shù)列的概念,掌握其通項(xiàng)公式及實(shí)質(zhì)并會(huì)熟練應(yīng)用.
2.通過對等差數(shù)列概念及通項(xiàng)公式的歸納、抽象和概括,體驗(yàn)等差數(shù)列概念的形成過程,培養(yǎng)學(xué)生的抽象、概括能力.
3.培養(yǎng)從特殊到一般,再從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想,并鍛煉學(xué)生歸納、猜想、論證的能力.
任務(wù)分析
這節(jié)課是在實(shí)例的基礎(chǔ)上,采用從特殊到一般,再從一般到特殊的思想,對此,學(xué)生接受起來并不太困難.對于等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式的發(fā)現(xiàn),要完全地放給學(xué)生自己討論,探究,以便于充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性,使其充分體驗(yàn)到成功的樂趣.對于通項(xiàng)公式,不要只看表面,更要看到公式的實(shí)質(zhì)———四個(gè)量之間的一個(gè)等量關(guān)系,以便于以后運(yùn)用方程思想靈活解決有關(guān)問題.
教學(xué)設(shè)計(jì)
一、問題情景
在現(xiàn)實(shí)生活中,經(jīng)常會(huì)遇到下面的特殊數(shù)列.
1.我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù),從0開始,每隔5個(gè)數(shù)一次,可以得到數(shù)列:
0.5,______________,______________,______________,______________,… 2.水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境,用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚.如果一個(gè)水庫的水位為18m,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m,那么從開始放水算起,到可以進(jìn)行清理工作的那天,水庫每天的水位組成數(shù)列(單位:m): 18,______________,______________,______________,______________,5.5. 3.我國現(xiàn)行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利,即不把利息加入本金計(jì)算下一期的利息.按照單利計(jì)算本利和的公式是:
本利和=本金×(1+利率×存期).
例如,按活期存入10000元錢,年利率是0.72%,那么按照單利,5年內(nèi)各年末的本利和組成的數(shù)列是
______________,______________,______________,______________,______________ .
問題:上面的數(shù)列有什么共同特點(diǎn)? 你能用數(shù)學(xué)語言(符號)描述這些特點(diǎn)嗎?
二、建立模型
一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示,即an+1-an=d(n∈N+).
[問 題]
(1)如果三個(gè)數(shù)a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫a,b的等差中項(xiàng).你能用a,b表示A嗎?
(2)你能猜想出問題情景中的3個(gè)數(shù)列各自的通項(xiàng)公式嗎?
(3)一般地,對于等差數(shù)列{an},你能用基本量a1,d來表示其通項(xiàng)嗎? 解法1:歸納:a1=a1,a2=a1+d,a3=a1+2d,…,an=a1+(n-1)d.
解法2:累加:a2-a1=d,a3-a2=d,…,an-an-1=d,各式相加,得an-a1=(n-1)d,∴an=a1+(n-1)d. [思 考]
(1)這個(gè)通項(xiàng)公式有何特點(diǎn)?是關(guān)于n的幾次式的形式?d可以等0嗎?(2)此公式中有幾個(gè)量? [結(jié) 論](1)等差數(shù)列通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次式的形式,n的系數(shù)為d.當(dāng)d=0時(shí),該數(shù)列為常數(shù)列.
(2)此公式中有四個(gè)量,即an,a1,n,d,知道其中任何三個(gè)可求另外一個(gè),所以,通項(xiàng)公式實(shí)質(zhì)是四個(gè)量之間的關(guān)系.
三、解釋應(yīng)用
[例 題]
1.(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項(xiàng).
(2)-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13,…的項(xiàng)?如果是,是第幾項(xiàng)?
2.某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/千米,起步價(jià)為10元,即最初的4km(不含4km)計(jì)費(fèi)10元.如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地,且一路暢通,等候時(shí)間為0,須要支付多少車費(fèi)?
解:根據(jù)題意,當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時(shí),每增加1km,乘客須要支付1.2元.所以,可建立一個(gè)等差數(shù)列{an}來計(jì)算車費(fèi).
令a1=11.2,表示4km處的車費(fèi),公差d=1.2.那么,當(dāng)出租車行至14km處時(shí),n=11,此時(shí)須要支付車費(fèi)a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).
答:須要支付車費(fèi)23.2元.
3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=pn+q,其中p,q為常數(shù),且p≠0,那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎?
分析:判定{an}是不是等差數(shù)列,可以利用等差數(shù)列的定義,也就是看an-an-1(n>1)是不是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù).
解:取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項(xiàng)an與an-1(n>1),求差,得 an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]= pn+q-(pn-p+q)=p.
它是一個(gè)與n無關(guān)的數(shù).所以{an}是等差數(shù)列. [練習(xí)] 1.在等差數(shù)列中,(1)已知a5=-1,a8=2,求a1與d.(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9. 2.已知{an}是等差數(shù)列.
(1)2a5=a3+a7是否成立?2a5=a1+a9是否成立?
(2)2an=an-2+an+2(n>2)是否成立?2an=an-k+an+k(n>k>0)是否成立?
3.已知數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=an+2,bn=bn+1(a,b是常數(shù)),且a>b,那么這兩個(gè)數(shù)列中的序號與數(shù)值均相等的項(xiàng)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)?
四、拓展延伸
(1)在直角坐標(biāo)系中,畫出通項(xiàng)公式為an=3n-5的數(shù)列的圖像,并說出這個(gè)數(shù)列的圖像有什么特點(diǎn).該圖像與y=3x-5的圖像有什么關(guān)系?據(jù)此,你能得出一般性的結(jié)論嗎?
(2)通項(xiàng)公式的四個(gè)量中知道其中三個(gè)量可求另一個(gè)量,你能據(jù)此編出一些不同的題目嗎?
(3)對于兩個(gè)次數(shù)相同的等差數(shù)列{an}和{bn},{an+bn},{an·bn},(bn≠0)是否為等差數(shù)列?
點(diǎn) 評
教師能否調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和能否真正培養(yǎng)學(xué)生能力,提高課堂效率,很大程度上取決于教師能否設(shè)計(jì)出既符合教材要求又符合學(xué)生的認(rèn)知水平的問題.這節(jié)課正是通過恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)一系列問題,層層遞進(jìn),使問題得到了全面解決,這樣不僅鍛煉了學(xué)生思維,培養(yǎng)了學(xué)生能力,而且也充分體現(xiàn)了新課程的理念.
值得一提的是,利用歸納的方式引導(dǎo)學(xué)生建立概念并及時(shí)在應(yīng)用中深化,是這篇案例的突出特點(diǎn).