第一篇：高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2角的概念的推廣教案北師大版

1.2 角的概念的推廣

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

教材首先通過實(shí)際問題的展示,引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,然后通過具體例子,將初中學(xué)過的角的概念推廣到任意角,在此基礎(chǔ)上引出終邊相同的角的集合的概念.這樣可以使學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)(生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn))的基礎(chǔ)上,更好地認(rèn)識任意角、象限角、終邊相同的角等概念.讓學(xué)生體會到把角推廣到任意角的必要性,引出角的概念的推廣問題.本節(jié)充分結(jié)合角和平面直角坐標(biāo)系的關(guān)系,建立了象限角的概念.使得任意角的討論有一個(gè)統(tǒng)一的載體.教學(xué)中要特別注意這種利用幾何的直觀性來研究問題的方法,引導(dǎo)學(xué)生善于利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來認(rèn)識問題、解決問題.讓學(xué)生初步學(xué)會在平面直角坐標(biāo)系中討論任意角.能熟練寫出與已知角終邊相同的角的集合,是本節(jié)的一個(gè)重要任務(wù).學(xué)生的活動過程決定著課堂教學(xué)的成敗,教學(xué)中應(yīng)反復(fù)挖掘“分析理解”欄目及“分析理解”示圖的過程功能,在這個(gè)過程上要不惜多花些時(shí)間,讓學(xué)生進(jìn)行操作與思考,自然地、更好地歸納出終邊相同的角的一般形式,也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含義.如能借助信息技術(shù),則可以動態(tài)表現(xiàn)角的終邊旋轉(zhuǎn)的過程,更有利于學(xué)生觀察角的變化與終邊位置的關(guān)系,讓學(xué)生在動態(tài)的過程中體會,既要知道旋轉(zhuǎn)量,又要知道旋轉(zhuǎn)方向,才能準(zhǔn)確刻畫角的形成過程的道理,更好地了解任意角的深刻涵義.三維目標(biāo)

1.通過實(shí)例的展示,使學(xué)生理解角的概念推廣的必要性,理解并掌握正角、負(fù)角、零角、象限角、終邊相同角的概念及表示,樹立運(yùn)動變化的觀點(diǎn),并由此深刻理解推廣之后的角的概念.2.通過自主探究、合作學(xué)習(xí),認(rèn)識集合S中k、α的準(zhǔn)確含義,明確終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無限多個(gè),它們相差360°的整數(shù)倍.這對學(xué)生的終身發(fā)展,形成科學(xué)的世界觀、價(jià)值觀具有重要意義.3.通過類比正、負(fù)數(shù)的規(guī)定,讓學(xué)生認(rèn)識正角、負(fù)角并體會類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用,為今后的學(xué)習(xí)與發(fā)展打下良好的基礎(chǔ).重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):將0°—360°范圍的角推廣到任意角,終邊相同的角的集合.教學(xué)難點(diǎn):用集合來表示終邊相同的角.課時(shí)安排 1課時(shí)

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

思路1.(情境導(dǎo)入)可由學(xué)生所熟悉的游戲引入,激起學(xué)生的探求興趣.如圖1,在許多學(xué)校的門口都有擺設(shè)的一些游戲機(jī),只要指針旋轉(zhuǎn)到陰影部分即可獲得高額獎品.由此發(fā)問:指針怎樣旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)多少度才能贏?還有我們所熟悉的體操運(yùn)動員旋轉(zhuǎn)的角度,自行車車輪旋轉(zhuǎn)的角度,螺絲扳手的旋轉(zhuǎn)角度,這些角度都怎樣解釋?在學(xué)生急切想知道的渴望中引入角的概念的推廣,進(jìn)而引入角的概念的推廣的問題.圖1 思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)回憶初中我們是如何定義一個(gè)角的?所學(xué)的角的范圍是什么?用這些角怎樣解釋現(xiàn)實(shí)生活的一些現(xiàn)象,比如你原地轉(zhuǎn)體一周的角度,應(yīng)怎樣修正角的定義才能解釋這些現(xiàn)象?由此讓學(xué)生展開討論,進(jìn)而引入角的概念的推廣問題.推進(jìn)新課 知識探究 提出問題

①你的手表慢了5分鐘,你將怎樣把它調(diào)整準(zhǔn)確?假如你的手表快了1.25小時(shí),你應(yīng)當(dāng)怎樣將它調(diào)整準(zhǔn)確?當(dāng)時(shí)間調(diào)整準(zhǔn)確后,分針轉(zhuǎn)過了多少度角? ②體操運(yùn)動中有轉(zhuǎn)體兩周,在這個(gè)動作中,運(yùn)動員轉(zhuǎn)體多少度? ③請兩名男生(或女生、或多名男女學(xué)生)起立,做由“面向黑板轉(zhuǎn)體背向黑板”的動作.在這個(gè)過程中,他們各轉(zhuǎn)體了多少度? 活動:讓學(xué)生到講臺利用準(zhǔn)備好的教具——鐘表,實(shí)地演示撥表的過程.讓學(xué)生站立原地做轉(zhuǎn)體動作.教師強(qiáng)調(diào)學(xué)生觀察旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量,并思考怎樣表示旋轉(zhuǎn)方向.對回答正確的學(xué)生及時(shí)給予鼓勵、表揚(yáng),對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.角可以看作是平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形,設(shè)一條射線的端點(diǎn)是O,它從起始位置OA按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB,則形成了一個(gè)角α,點(diǎn)O是角的頂點(diǎn),射線OA、OB分別是角α的始邊和終邊.如圖2.圖2 我們規(guī)定:一條射線繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫作正角,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫作負(fù)角.鐘表的時(shí)針和分針在旋轉(zhuǎn)過程中所形成的角總是負(fù)角,為了簡便起見,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以簡記作“α”.如果一條射線從起始位置OA沒有作任何旋轉(zhuǎn),終止位置OB與起始位置OA重合,我們稱這樣的角為零度角,又稱零角,零角的始邊和終邊重合,如果α是零角,記作α=0°.討論結(jié)果:①順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了30°;逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了450°.②順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了720°或逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了720°.③-180°或+180°或-540°或+540°或900°或1 260°…… 提出問題

①能否以同一條射線為始邊作出下列角:210°,-45°,-150°.②如何在坐標(biāo)系中作出這些角,象限角是什么意思?0°角又是什么意思? 活動:先讓學(xué)生看書、思考、并討論這些問題,教師提示、點(diǎn)撥,并對回答正確的學(xué)生及時(shí)表揚(yáng),對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生,教師提示、引導(dǎo)考慮問題的思路.學(xué)生作這樣的角,使用一條射線作為始邊,沒有固定的參照,所以會作出很多形式不同的角.教師可以適時(shí)地提醒學(xué)生:如果將角放到平面直角坐標(biāo)系中,問題會怎樣呢?并讓學(xué)生思考討論在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的好處:使角的討論得到簡化,還能有效地表現(xiàn)出角的終邊“周而復(fù)始”的現(xiàn)象.今后我們在坐標(biāo)系中研究和討論角,為了討論問題的方便,我們使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么角的終邊在第幾象限,我們就說這個(gè)角是第幾象限角.要特別強(qiáng)調(diào)角與直角坐標(biāo)系的關(guān)系——角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.討論結(jié)果:①能.如圖3.圖3 ②使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.角的終邊在第幾象限,我們就說這個(gè)角是第幾象限角.這樣: 210°角是第三象限角;-45°角是第四象限角;-150°角是第三象限角.特別地,終邊落在坐標(biāo)軸上的角不屬于任何一個(gè)象限,比如0°角.可以借此進(jìn)一步設(shè)問: 銳角是第幾象限角?鈍角是第幾象限角?直角是第幾象限角?反之如何? 將角按照上述方法放在直角坐標(biāo)系中,給定一個(gè)角,就有唯一一條終邊與之對應(yīng),反之,對于直角坐標(biāo)系中的任意一條射線OB,以它為終邊的角是否唯一?如果不唯一,那么終邊相同的角有什么關(guān)系? 提出問題

①在直角坐標(biāo)系中標(biāo)出210°,-150°的角的終邊,你有什么發(fā)現(xiàn)?它們有怎樣的數(shù)量關(guān)系?328°,-32°,-392°角的終邊及數(shù)量關(guān)系是怎樣的?終邊相同的角有什么關(guān)系? ②所有與α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),怎樣用一個(gè)式子表示出來? 活動:讓學(xué)生從具體問題入手,探索終邊相同的角的關(guān)系,再用所準(zhǔn)備的教具或是多媒體給學(xué)生演示:演示象限角、終邊相同的角,并及時(shí)地引導(dǎo):終邊相同的一系列角與0°到360°間的某一角有什么關(guān)系,從而為終邊相同的角的表示作好準(zhǔn)備.為了使學(xué)生明確終邊相同的角的表示方法,還可以用教具作一個(gè)32°角,放在直角坐標(biāo)系內(nèi),使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,形成-32°角后提問學(xué)生這是第幾象限角?是多少度角?學(xué)生對后者的回答是多種多樣的.至此,教師因勢利導(dǎo),予以啟發(fā),學(xué)生對問題探究的結(jié)果已經(jīng)水到渠成,本節(jié)難點(diǎn)得以突破.同時(shí)學(xué)生也在這一學(xué)習(xí)過程中,體會到了探索的樂趣,激發(fā)起了極大的學(xué)習(xí)熱情,這是比學(xué)習(xí)知識本身更重要的.討論結(jié)果:①210°與-150°角的終邊相同;328°,-32°,-392°角的終邊相同.終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍.設(shè)S={β|β=-32°+k·360°,k∈Z},則328°,-392°角都是S的元素,-32°角也是S的元素(此時(shí)k=0).因此,所有與-32°角的終邊相同的角,連同-32°在內(nèi),都是集合S的元素;反過來,集合S的任何一個(gè)元素顯然與-32°角終邊相同.②所有與α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可以構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=k·360°+α,k∈Z}, 即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與周角的整數(shù)倍的和.教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識: ①k∈Z;②α是任意角;

③終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數(shù)多個(gè),它們相差360°的整數(shù)倍.應(yīng)用示例

例1 判定下列各角是第幾象限角:(1)-60°;(2)585°;

(3)-950°12′.解:(1)因?yàn)?60°角的終邊在第四象限,所以它是第四象限角.(2)因?yàn)?85°=360°+225°,所以585°與225°角的終邊重合,而225°的終邊在第三象限,所以585°是第三象限角.(3)因?yàn)?950°12′=(-2)·360°-230°12′,而-230°12′的終邊在第二象限,所以-950°12′是第二象限角.變式訓(xùn)練

在0°—360°范圍內(nèi),找出與-950°12′角終邊相同的角,并判定它是第幾象限角.解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范圍內(nèi),與-950°12′角終邊相同的角是129°48′,它是第二象限的角.點(diǎn)評:教師可引導(dǎo)學(xué)生先估計(jì)-950°12′大致是360°的幾倍,然后再具體求解.例2 在直角坐標(biāo)系中,寫出終邊在y軸上的角的集合.(用0°—360°的角表示)活動:終邊落在y軸上,應(yīng)分y軸的正方向與y軸的負(fù)方向兩個(gè).學(xué)生很容易分別寫出所有與90°,270°的終邊相同的角構(gòu)成集合,這時(shí)應(yīng)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考:能否化簡這兩個(gè)式子,用一個(gè)式子表示出來.讓學(xué)生觀察、討論、思考,并逐漸形成共識,教師再規(guī)范地板書出來.并強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的簡捷性.在數(shù)學(xué)表達(dá)式子不唯一的情況下,注意采用簡約的形式.解:在0°—360°范圍內(nèi),終邊在y軸上的角有兩個(gè), 即90°和270°角,如圖4.圖4 因此,所有與90°的終邊相同的角構(gòu)成集合 S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z}.而所有與270°角的終邊相同的角構(gòu)成集合 S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z}.于是,終邊在y軸上的角的集合 S=S1∪S2

={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°,k∈Z} ={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z} ={β|β=90°+n·180°,n∈Z}.點(diǎn)評:本例是讓學(xué)生理解終邊在坐標(biāo)軸上的角的表示.教學(xué)中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會用集合表示終邊相同的角時(shí),表示方法不唯一,要注意采用簡約的形式.變式訓(xùn)練

寫出終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合.答案:S={β|β=n·90°,n∈Z}.3.寫出與60°角終邊相同的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β＜720°的元素β寫出來.解:S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.S中適合-360°≤β＜720°的元素是: 60°-1×360°=-300°, 60°+0×360°=60°, 60°+1×360°=420°.變式訓(xùn)練

寫出終邊在直線y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β＜720°的元素β寫出來.解:如圖5,在直角坐標(biāo)系中畫出直線y=x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸夾角是45°,在0°—360°范圍內(nèi),終邊在直線y=x上的角有兩個(gè):45°和225°,因此,終邊在直線y=x上的角的集合

圖5 S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}.S中適合-360°≤β＜720°的元素是: 45°-2×180°=-315°, 45°-1×180°=-135°, 45°+0×180°=45°, 45°+1×180°=225°, 45°+2×180°=405°, 45°+3×180°=585°.點(diǎn)評:本例是讓學(xué)生表示終邊在已知直線的角,并找出某一范圍的所有的角,即按一定順序取k的值,應(yīng)訓(xùn)練學(xué)生掌握這一方法.例4 寫出在下列象限的角的集合: ①第一象限;②第二象限;③第三象限;④第四象限.活動:本題關(guān)鍵是寫出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此類推即可,如果學(xué)生閱讀例題后沒有解題思路,或者把①中的范圍寫成0°—90°,可引導(dǎo)學(xué)生分析360°—450°范圍的角是不是第一象限的角呢?進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生寫出所有終邊相同的角.解:①終邊在第一象限的角的集合:{β|n·360°＜β＜n·360°+90°,n∈Z}.②終邊在第二象限的角的集合:{β|n·360°+90°＜β＜n·360°+180°,n∈Z}.③終邊在第三象限的角的集合:{β|n·360°+180°＜β＜n·360°+270°,n∈Z}.④終邊在第四象限的角的集合:{β|n·360°+270°＜β＜n·360°+360°,n∈Z}.點(diǎn)評:教師給出以上解答后可進(jìn)一步提問:以上的解答形式是唯一的嗎?充分讓學(xué)生思考、討論后形成共識,并進(jìn)一步深刻理解終邊相同角的意義.知能訓(xùn)練

課本習(xí)題1—2 1、2.課堂小結(jié)

提問的方式與學(xué)生一起回顧順理本節(jié)所學(xué)內(nèi)容并簡要總結(jié).讓學(xué)生自己回憶:本節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些新知識?你是怎樣獲得這些新知識的?你從本節(jié)課上都學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)方法?讓學(xué)生自己得到以下結(jié)論: 本節(jié)課推廣了角的概念,學(xué)習(xí)了正角、負(fù)角、零角的定義,象限角的概念以及終邊相同的角的表示方法,零角是射線沒有作任何旋轉(zhuǎn).一個(gè)角是第幾象限的角,關(guān)鍵是看這個(gè)角的終邊落在第幾象限,終邊相同的角的表示有兩方面的內(nèi)容:(1)與角α終邊相同的角,這些角的集合為S={β|β=k·360°+α,k∈Z};(2)在0°—360°內(nèi)找與已知角終邊相同的角α,其方法是用所給的角除以360°,所得的商為k,余數(shù)為α(α必須是正數(shù)),α即為所找的角.數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)動變化觀點(diǎn)都是學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的重要思想方法,也是我們學(xué)習(xí)本章知識的常用思想方法,要細(xì)心領(lǐng)悟.作業(yè)

①習(xí)題1—2 3.②預(yù)習(xí)下一節(jié):弧度制.設(shè)計(jì)感想

1.本節(jié)課設(shè)計(jì)的容量較大,學(xué)生的活動量也較大,若用信息技術(shù)輔助教學(xué)效果會很好.教師可充分利用多媒體做好課件,在課堂上演示給學(xué)生;有條件的學(xué)校,可以讓學(xué)生利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器進(jìn)行探究,讓學(xué)生在動態(tài)中掌握知識、提煉方法.2.本節(jié)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是充分利用實(shí)際背景加強(qiáng)直觀.利用幾何直觀有利于對抽象概念的理解.在學(xué)生得出象限角的概念后,可以充分讓學(xué)生討論在直角坐標(biāo)系中研究角的好處.前瞻性地引導(dǎo)學(xué)生體會:在直角坐標(biāo)系中角的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律,為研究三角函數(shù)的周期性奠定基礎(chǔ).3.幾點(diǎn)說明:(1)列舉不在0°—360°的角時(shí),應(yīng)注意所有的角在同一個(gè)平面內(nèi),且終邊在旋轉(zhuǎn)的過程中,角的頂點(diǎn)不動.(2)在研究終邊相同的兩個(gè)角的關(guān)系時(shí),k的正確取值是關(guān)鍵,應(yīng)讓學(xué)生獨(dú)立思考領(lǐng)悟.(3)在寫出終邊相同的角的集合時(shí),可根據(jù)具體問題,對相應(yīng)的集合內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí).習(xí)題詳解

習(xí)題1—2 1.點(diǎn)撥:由銳角的集合(0°,90°);第一象限角的集合{x|k·360°＜x＜k·360°+90°，k∈Z}可知,銳角是第一象限角,而第一象限角不一定是銳角,對于直角不屬于任何象限,軸線角不一定是直角.鈍角是第二象限角,第二象限角不一定是鈍角.2.解:①-54°18′=-1×360°+305°42′，故0°到360°范圍內(nèi)與其終邊相同的角為305°42′,第四象限角.②395°8′=1×360°+35°8′，故0°到360°范圍內(nèi)與其終邊相同的角為35°8′,第一象限角.③-1 190°30′=-4×360°+249°30′，故0°到360°范圍內(nèi)與其終邊相同的角為249°30′,第三象限角.④1 563°=4×360°+123°，故0°到360°范圍內(nèi)與其終邊相同的角為123°,第二象限角.點(diǎn)撥:把角化為k·360°+α,k∈Z,0°≤α＜360°的形式,即可回答.3.解:①｛β|β=k·360°+60°,k∈Z}, 當(dāng)-720°≤β＜360°時(shí),β為-300°,-660°,60° ②｛β|β=k·360°-45°,k∈Z｝，當(dāng)-720°≤β＜360°時(shí),β為-405°,-45°,315°.③｛β|β=k·360°+1 303°18′,k∈Z｝, 當(dāng)-720°≤β＜360°時(shí),β為-136°42′,223°18′,-496°42′.④｛β|β=k·360°-225°,k∈Z｝, 當(dāng)-720°≤β＜360°時(shí),β為-225°,-585°,135°.點(diǎn)撥:利用終邊相同的角的定義寫出β的集合,再取k的值,求出符合條件的角.備課資料

備用習(xí)題

1.若角α與β終邊相同,則一定有()A.α+β=180° B.α+β=0°

C.α-β=k·360°(k∈Z)D.α+β=k·360°(k∈Z)2.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°＜β＜180°},則A∩B等于()A.{-36°,54°} B.{-126°,144°} C.{-126°,-36°,54°,144°} D.{-126°,54°}

3.在直角坐標(biāo)系中,若角α與角β的終邊互相垂直,則角α與角β的關(guān)系是()A.β=α+90° B.β=α±90°

C.β=α+90°+k·360°(k∈Z)D.β=α±90°+k·360°(k∈Z)4.集合Z={x|x=(2n+1)·180°,n∈Z},Y={x|x=(4k±1)·180°,k∈Z}之間的關(guān)系是()A.ZY B.ZY C.Z=Y D.Z與Y之間的關(guān)系不確定 5.已知角θ的終邊與168°角的終邊相同,則在(0°,360°)范圍內(nèi)終邊與

?角的終邊相同3的角是_____________________.6.若集合A={α|k·180°+30°＜α＜k·180°+90°,k∈Z},集合B={β|k·360°+315°＜β＜k·360°+

405°,k∈Z},求A∩B.7.寫出終邊在四個(gè)象限角平分線上的角的集合.參考答案: 1.C 2.C 3.答案:D 點(diǎn)撥:將角的終邊按逆(或順)時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,知α±90°與角β的終邊重合.4.答案:C 點(diǎn)撥:先分別將n和k賦以不同的整數(shù)值,找出角x的終邊,然后再比較.5.答案:56°,176°,296°

點(diǎn)撥:根據(jù)已知條件有θ=k·360°+168°,k∈Z,?=k·120°+56°,k∈Z.又30≤k·120°+56°

＜360°,滿足條件的k為0,1,2.6.解:B={β|k·360°-45°＜β＜k·360°+45°,k∈Z}.采用數(shù)形結(jié)合法,在直角坐標(biāo)系內(nèi),分別尋找集合A和集合B中的角的終邊所在的區(qū)域,終邊在這兩個(gè)區(qū)域的公共部分內(nèi)的角的集合就是A∩B,可以求得

A∩B={x|30°+k·360°＜x＜45°+k·360°,k∈Z}.7.解:終邊在四個(gè)象限角平分線上的角的集合為 {β|β=n·90°-45°,n∈Z}.

第二篇：高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2角的概念的推廣幫你認(rèn)識角素材北師大版4教案

幫你認(rèn)識角

角是平面幾何中的一個(gè)基本圖形，對角的圖形特點(diǎn)，一般有以下兩種認(rèn)識：(1)角可以看成是平面內(nèi)一點(diǎn)引出的兩條射線所組成的圖形，(2)平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形叫做角．下面我們通過幾個(gè)例子理解角的概念.一.任意角

規(guī)定:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角．如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角．這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角，包括正角、負(fù)角和零角.例1.畫圖表示下列各角:?=390, ??-210，?=-330.0

0

0分析: ?為正角，將射線繞其端點(diǎn)逆時(shí)針旋390,?、?為負(fù)

0角，將射線繞其端點(diǎn)順時(shí)針分別旋轉(zhuǎn)210和330.解: 如圖.點(diǎn)評: 畫圖表示一個(gè)大小為定值的角，先要畫一條射線作為角的始邊（一般畫成水平向右的射線），再由角的正負(fù)確定角的旋轉(zhuǎn)方向，再由角的絕對值大小確定角的旋轉(zhuǎn)量，畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標(biāo)注． 二.象限角和軸線角

為了便于討論角，我們常常將角放到直角坐標(biāo)系中，并且使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，這樣就出現(xiàn)了象限角和軸線角．

(1)象限角：當(dāng)角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角．

(2)軸線角：當(dāng)角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，那么角的終邊落在坐標(biāo)軸上，稱做軸線角，這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．例如0，90，180，270,360,-90,-180，-270，-360，-1080等都是軸線角．

例2 已知角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角：

(1)225；（2）-300；（3）-450.分析：以原點(diǎn)為頂點(diǎn),x軸的正半軸為始邊作出 0

0

00000

0

0

0

0

0

0

00225,-300，-450.解答：如圖，觀察角的終邊所在位置，知225,-300分別是第三象限角和第一象限角，-450的終邊在y軸負(fù)半軸上，不屬于任何象限．

點(diǎn)評：在直角坐標(biāo)系內(nèi)作角，其始邊位置及角的頂點(diǎn)是統(tǒng)一固定的，結(jié)合角的正負(fù)符號和角的絕對值大小作出其終邊，并用帶箭頭的螺旋線標(biāo)注就行了．確定一個(gè)角是第幾象限角，可以通過在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出這個(gè)角來說明，這是象限角概念的直接應(yīng)用． 三.終邊相同的角

所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360,k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．

例3 求與3900終邊相同的最小正角和最大負(fù)角，并指出它們是第幾象限角． 分析：與3900終邊相同的最小正角和最大負(fù)角，就是分別在0～360;-360～0范圍內(nèi)，與3900終邊相同的角．找出了在0～360范圍內(nèi)與3900終邊相同的角，就能指出它的象限位置．

解：設(shè)β=3900+k·360,(k∈Z).則當(dāng)k=-l0時(shí),β=3900-10×360=300 當(dāng)k=-11時(shí)，β=3900-11×360=-60.∴與3 900終邊相同的最小正角是300,最大負(fù)角是-60,且3900是第四象限的角.點(diǎn)評：求在某個(gè)范圍內(nèi)與α終邊相同的角，先要寫出其一般表達(dá)式：β=α+k·360(k∈Z)，再根據(jù)β的取值范圍確定整數(shù)k的取值.確定絕對值較大的角的象限位置，可先在0～360范圍內(nèi)找出其終邊相同的角，再作出判斷.四.半角與倍角

已知α角的象限，確定α角的半角、倍角的象限是學(xué)習(xí)和、差、倍、半三角公式的基礎(chǔ)，解決這類問題一般是根據(jù)終邊相同的角的集合表示，再通過分類討論的方法進(jìn)行．

例4 已知角θ的終邊與30的終邊關(guān)于x軸對稱，試在0～360范圍內(nèi)找出與同的角．

分析：利用角θ的終邊與30角的終邊關(guān)于x軸對稱，可得到θ的一般表達(dá)式，進(jìn)而得到

00

0

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000

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00

0

0000

?終邊相3??00的一般表達(dá)式．再由0≤<360,確定k的取值，就能得出結(jié)論． 33解答：∵角θ的終邊與30角的終邊關(guān)于x軸對稱，0 2 ∴θ=k·360-30，∴由0≤0000

?00

＝k·120-10(k∈Z)． 3?0<360，300

0得0≤k·120-10<360?∵k∈Z，∴k=1，2，3.137?k?.1212??00=110，當(dāng)k=2時(shí)，=230，33?0當(dāng)k=3時(shí)，=350.3?00000故在0～360內(nèi)與終邊相同的角是110,230,350.3?0000點(diǎn)評：求在0～360范圍內(nèi)與終邊相同的角，也可轉(zhuǎn)化為先求在0～1080范圍內(nèi)與

3當(dāng)k=1時(shí)，θ終邊相同的角，共有3個(gè)角，即330,690，1 050．再分別除以3即得結(jié)果．

0

0

0 3

第三篇：高中數(shù)學(xué)--三角函數(shù)公式doc

高中數(shù)學(xué)—三角函數(shù)公式大全

銳角三角函數(shù)公式

sin α=∠α的對邊 / 斜邊

cos α=∠α的鄰邊 / 斜邊

tan α=∠α的對邊 / ∠α的鄰邊

cot α=∠α的鄰邊 / ∠α的對邊

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A））三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推導(dǎo)

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

輔助角公式

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B降冪公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

推導(dǎo)公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina

成都家教濟(jì)南家教

=3sina-4sin³a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa

=4cos³a-3cosa

sin3a=3sina-4sin³a

=4sina(3/4-sin²a)

=4sina[(√3/2)²-sin²a]

=4sina(sin²60°-sin²a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos³a-3cosa

=4cosa(cos²a-3/4)

=4cosa[cos²a-(√3/2)²]

=4cosa(cos²a-cos²30°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述兩式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

三角和

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

兩角和差

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

和差化積

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ =-2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

積化和差

sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2

cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

誘導(dǎo)公式

sin(-α)=-sinα

cos(-α)= cosα

tan(—a)=-tanα

sin(π/2-α)= cosα

cos(π/2-α)= sinα

sin(π/2+α)= cosα

cos(π/2+α)=-sinα

sin(π-α)= sinα

cos(π-α)=-cosα

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tanA= sinA/cosA

tan（π/2＋α）＝－cotα

tan（π/2－α）＝cotα

tan（π－α）＝－tanα

tan（π＋α）＝tanα

誘導(dǎo)公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限

萬能公式

sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］

cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］

tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］

其它公式

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)^2,第二個(gè)除(cosα)^2即可

(4)對于任意非直角三角形,總有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

證:

A+B=π-C

tan(A+B)=tan(π-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得證

同樣可以得證,當(dāng)x+y+z=nπ(n∈Z)時(shí),該關(guān)系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC

(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC

(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

第四篇：高中數(shù)學(xué)-三角函數(shù)公式

兩角和公式

sin(A+B)= sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)= sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)= cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)= cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)倍角公式

tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A)Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A=2Cos^2 A—1=1—2sin^2 A 三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)^3;cos3A = 4(cosA)^3-3cosA

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)半角公式

sin(A/2)= √{(1--cosA)/2}cos(A/2)= √{(1+cosA)/2}

tan(A/2)= √{(1--cosA)/(1+cosA)}

tan(A/2)=(1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)和差化積

sin(a)+sin(b)= 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sin(a)-sin(b)= 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]cos(a)+cos(b)= 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cos(a)-cos(b)=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 積化和差

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b)= 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b)= 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b)= 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)] 誘導(dǎo)公式

sin(-a)=-sin(a)cos(-a)= cos(a)sin(π/2-a)= cos(a)cos(π/2-a)= sin(a)sin(π/2+a)= cos(a)cos(π/2+a)=-sin(a)sin(π-a)= sin(a)cos(π-a)=-cos(a)sin(π+a)=-sin(a)cos(π+a)=-cos(a)tanA = sinA/cosA 萬能公式

sin(a)= [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]^2}

cos(a)= {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]^2} tan(a)= [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}

其它公式

a·sin(a)+b·cos(a)= [√(a^2+b^2)]*sin(a+c)[其中，tan(c)=b/a]a·sin(a)-b·cos(a)= [√(a^2+b^2)]*cos(a-c)[其中，tan(c)=a/b]

1+sin(a)= [sin(a/2)+cos(a/2)]^2;1-sin(a)= [sin(a/2)-cos(a/2)]^2;;公式一：

設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：

sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanα公式二：

設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π＋α）=-sinαcos（π＋α）=-cosαtan（π＋α）= tanα公式三：

任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（-α）=-sinαcos（-α）= cosαtan（-α）=-tanα公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanα公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2π-α）=-sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）=-tanα公式六：

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）=-sinαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαsin（3π/2+α）=-cosαcos（3π/2+α）= sinαsin（3π/2-α）=-cosαcos（3π/2-α）=-sinα

第五篇：高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)及數(shù)列練習(xí)題

一、選擇題（每題5分，共35分）1．若sin θcos θ＞0，則θ在（）．

A．第一、二象限

C．第一、四象限

B．第一、三象限 D．第二、四象限

2、已知函數(shù)f(x)?(1?cos2x)sin2x,x?R，則f(x)是（）A、奇函數(shù) B、非奇非偶函數(shù) C、偶函數(shù) D、不能確定

3.設(shè)Sn是等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，已知a2?3，a6?11，則S7等于（）A．13

B．35

C．49

D． 63

4.函數(shù)f(x)?(1?3tanx)cosx的最小正周期為（）A．2? B．

3?? C．? D． 225.已知?an?為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,則公差d＝（）A.－2 B.－C.D.2 226.函數(shù)f(x)?cos2x?2sinx的最小值和最大值分別為（）A.－3，1

B.－2，2

C.－3，32 D.－2，7．把函數(shù)y＝sin x(x∈R)的圖象上所有點(diǎn)向左平行移動象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 A．y＝sin?2x － ?，x∈R

C．y＝sin?2x ＋ ?，x∈R ??π?3???π?3?π個(gè)單位，再把所得圖332

1倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)圖象是（）． 2

?26?2π??D．y＝sin?2x ＋ ?，x∈R

3???xπ?B．y＝sin? ＋ ?，x∈R

二、填空題（每題5分，共10分）

8.在等差數(shù)列{an}中,a3?7,a5?a2?6,則a6?____________ 9.已知函數(shù)f(x)?sin(?x??)(??0)的圖象如圖所示, 則? ＝

三、計(jì)算題（共55分）10．求函數(shù)f(x)＝lgsin x＋

?11.已知函數(shù)f(x)?sinx?sin(x?),x?R.（10分）

2（5分）2cosx?1的定義域．(I)求f(x)的最小正周期；(II)求f(x)的的最大值和最小值；

12．求函數(shù)y＝sin?2x － ?的圖象的對稱中心和對稱軸方程．（5分）

13．已知等差數(shù)列{an}中，a2＝8，前10項(xiàng)和S10＝185.，求通項(xiàng)；（10分）

14.在等差數(shù)列{an}中，a1＝－60，a17＝－12.（10分）

(1)求通項(xiàng)an；(2)求此數(shù)列前30項(xiàng)的絕對值的和.15.設(shè)數(shù)列?an?滿足a1?2,an?1?an?322n?1（15分）

（1）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（2）令bn?nan，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn

??π?6?