第一篇：反三角函數(shù)(教案)

第4節(jié) 反三角函數(shù)（2課時(shí)）

第1課時(shí)

[教材分析]：反三角函數(shù)的重點(diǎn)是概念，關(guān)鍵是反三角函數(shù)與三角函數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別。內(nèi)容上，自然是定義和函數(shù)性質(zhì)、圖象；教學(xué)方法上，著重強(qiáng)調(diào)類比和比較。

另外，函數(shù)與反函數(shù)之間的關(guān)系，是本節(jié)內(nèi)容中的一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)涉及上學(xué)期內(nèi)容，可能是個(gè)值得復(fù)習(xí)的機(jī)會(huì)。

[課題引入]：在輔助角公式中，我們知道

其中cos??asinx?bcosx?a2?b2sin?x???，aa?b22,sin??ba?b22，這樣表述相當(dāng)煩瑣，我們想是否有比較簡明的方法來表示輔助角?呢？這就是我們今天要引入的問題——反三角函數(shù)。

[教學(xué)過程]：

師：首先我們回顧一下，什么樣的函數(shù)才有反函數(shù)？

答：一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)具有反函數(shù)，最典型的例子就是單調(diào)函數(shù)具有反函數(shù)（但反之不真）。師：我們知道正弦函數(shù)y?sinx在定義域R上是周期函數(shù)，當(dāng)然不是一一對(duì)應(yīng)的，因而沒有反函數(shù)。但是，如果我們截取其中的一個(gè)單調(diào)區(qū)間，比方說我們研究函數(shù)：

????y?sinx,x???,?，這個(gè)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，因而有反函數(shù)。

?22?師：現(xiàn)在我們來求這個(gè)函數(shù)的反函數(shù)，那么求反函數(shù)有哪些步驟？（反解，互換x,y）（這里我們使用符號(hào)arcsin表示反解）反解得x?arcsiny，互換得y?arcsinx，其中????x???1,1?,y???,?，這就是要求的反正弦函數(shù)。

?22?1． 反正弦函數(shù)的圖象

反正弦函數(shù)y?arcsinx，x???1,1?與函數(shù)y?sinx,x???個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線y?x對(duì)稱。2． 反正弦函數(shù)的性質(zhì)（由函數(shù)圖象可得）

????因此兩,?互為反函數(shù)，?22?，1?，值域?yàn)??①定義域?yàn)??1????,?； 22??，1?上單調(diào)遞增； ②y?arcsinx在定義域??1??x???arcsinx ③y?arcsinx是奇函數(shù)，即對(duì)任意x???1,1?，有arcsin3． 反正弦函數(shù)的恒等式

①由“一一對(duì)應(yīng)”的性質(zhì)知：對(duì)任意值x???1,1?，在??????,?上都有唯一對(duì)應(yīng)的角?22?arcsinx，使得它的正弦值為x，即得恒等式sin?arcsinx??x,x???1,1?；

②由“一一對(duì)應(yīng)”的性質(zhì)知：對(duì)任意角x???????在??1，1?上都有唯一對(duì)應(yīng)的值sinx，,?，?22?????,?。22???sinx??x,x???使得它的反正弦值為x，即得恒等式arcsin例題選編：

[例1]：求下列反三角函數(shù)值：（1）arcsin3?1? ；（2）arcsin0（3）arcsin??? 2?2?解：利用恒等式1來理解題意（1）： 記arcsin?33???sinx?3?sinx，也就是在???,??上找?x?sin?arcsin?22??22?2????一個(gè)角x，使得sinx?3；（2）（3）類似。2說明：對(duì)于特殊值的反正弦函數(shù)值的處理，利用恒等式1理解是一種本人以為較為機(jī)械的方法；但不知是否適合于初學(xué)者，有待討論?？赡苤苯幼屗麄兏惺芨拍顣?huì)來得更為簡單些吧，實(shí)際上教材P98的思路有點(diǎn)類似于本文的處理方式。[例2]：用反正弦函數(shù)值的形式表示下列各式中的x ：（1）sinx?3????,x???,?，5?22?1????,x???,?，4?22?（2）sinx??（3）sinx?3,x??0,?? 3解：利用恒等式2來理解題意：

sinx?（1）33?????sinx??arcsin3，?arcsin而x???,?，故有x?arcsin；

55522??3????sinx??arcsin3，而x???arcsin?,?，故不能直接利用恒?33?22?（3）sinx?等式2，需要利用誘導(dǎo)公式，將角度轉(zhuǎn)化到??????,?上，此時(shí)涉及討論： 22??若x??0,33?????，則 arcsinsinx?arcsin?x?arcsin?332??若x????????,??，則??x??0,?，故有 ?2??2?3?sin???x???arcsin3???x?arcsin3 ?arcsin333?sinx??arcsinarcsin即x???arcsin3。3[例3]：化簡下列各式：

（1）arcsin?sin?（2）arcsin?sin????9???5???sin3.49?? ?（3）arcsin6?解：此題直接利用恒等式2，當(dāng)區(qū)間不滿足要求時(shí)，需要利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化區(qū)間。（1）????????????，?，由恒等式2得arcsin?sin??； 9?22?9?9???5?5??????轉(zhuǎn)化了； ??arcsin?sin??，這里將66?66??（2）arcsin?sin?sin3.49???arcsin??sin0.49?? ?sin?3??0.49????arcsin（3）arcsin?sin0.49????0.49?。??arcsin[例4]：判斷下列各式是否成立：（1）arcsin?3??31?2k??,k?Z ?；（2）arcsin?；（3）arcsin22332（4）arcsin?????????arcsin；（5）sinarcsin2?2

3?3?????2??2?（6）sin?arcsin10???10 ??解：（1）對(duì)；（2）錯(cuò)；（3）當(dāng)k?0時(shí)對(duì)；（4）錯(cuò)，?[例5]：寫出下列函數(shù)的定義域和值域：

（1）y?2arcsinx；（2）y?arcsinx?x 解：（1）

?3???1,1?；（5）錯(cuò)；（6）對(duì)。

?2?x???1,1??x??0,1?，由反正弦函數(shù)的單調(diào)性知y??0,??（2）x?x???1,1??x??2????1?5?1?5?,?，22??這是典型的復(fù)合函數(shù)求值域問題，由u?x2?x????1?,1?和反正弦函數(shù)的單調(diào)性可知： ?4?1???y???arcsin,?

42??[例6]：求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）y?sin2x,x???????,? ?44???3??,? 22??（2）y?2sinx,x??（3）y?2?1arcsinx 2?sin2x??2x，解：（1）反解得arcsiny?arcsin（恒等式2的運(yùn)用，注意區(qū)間）

互換x,y即得反函數(shù)為y?1arcsinx 2?sinx??arcsin?sin???x?????x，互換x,y即得反函（2）反解得arcsin?arcsin數(shù)為y???arcsin。（3）

作業(yè)：P99 練習(xí)1、2、3

[課題總結(jié)]： [試題選編]： y2x2

第二篇：三角函數(shù)教案

三角函數(shù)

1教學(xué)目標(biāo)

⑴: 使學(xué)生理解直角三角形中五個(gè)元素的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形

⑵: 通過綜合運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力． ⑶: 滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

2學(xué)情分析

學(xué)生在具備了解直角三角形的基本性質(zhì)后再對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行整合后利用才學(xué)習(xí)直角三角形邊角關(guān)系來解直角三角形。所以以舊代新學(xué)生易懂能理解。

3重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：直角三角形的解法

難點(diǎn)：三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運(yùn)用 以實(shí)例引入，解決重難點(diǎn)。

4教學(xué)過程 4.1 第一學(xué)時(shí) 教學(xué)活動(dòng) 活動(dòng)1【導(dǎo)入】

一、復(fù)習(xí)舊知，引入新課

一、復(fù)習(xí)舊知，引入新課

1．在三角形中共有幾個(gè)元素？ 2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B這五個(gè)元素間有哪些等量關(guān)系呢？

答：(1)、三邊之間關(guān)系 ： a2 +b2 =c2(勾股定理)(2)、銳角之間關(guān)系：∠A+∠B=90°(3)、邊角之間關(guān)系

以上三點(diǎn)正是解的依據(jù)．

3、如果知道直角三角形2個(gè)元素，能把剩下三個(gè)元素求出來嗎？經(jīng)過討論得出解直角三角形的概念。

復(fù)習(xí)直角三角形的相關(guān)知識(shí)，以問題引入新課

注重學(xué)生的參與，這個(gè)過程一定要學(xué)生自己思考回答，不能讓老師總結(jié)得結(jié)論。

PPT，使學(xué)生動(dòng)態(tài)的復(fù)習(xí)舊知

活動(dòng)2【講授】

二、例題分析教師點(diǎn)撥

例1在△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且b=，a=，解這個(gè)直角三角形． 例2在Rt△ABC中，∠B =35o，b=20，解這個(gè)直角三角形

活動(dòng)3【練習(xí)】

三、課堂練習(xí)學(xué)生展示

完成課本91頁練習(xí)

1、Rt△ABC中，若sinA= ,AB=10，那么BC=_____，tanB=______．

2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=，c=，解這個(gè)直角三角形.3、如圖，在△ABC中，∠C=90°，sinA= AB=15，求△ABC的周長和tanA的值

4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=72°，c=14，解這個(gè)直角三角形（結(jié)果保留三位小數(shù)）.活動(dòng)4【活動(dòng)】

四、課堂小結(jié)

1)、邊角之間關(guān)系 2)、三邊之間關(guān)系

3)、銳角之間關(guān)系∠A+∠B=90°．

4)、“已知一邊一角，如何解直角三角形？”

活動(dòng)5【作業(yè)】

五、作業(yè)設(shè)置

課本 第96頁習(xí)題28．2復(fù)習(xí)鞏固第1題、第2題．

第三篇：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教案1解讀

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教案1

教學(xué)目的

1．通過復(fù)習(xí)提問使學(xué)生鞏固反函數(shù)的概念；

2．使學(xué)生掌握反函數(shù)求導(dǎo)法則及其推導(dǎo)方法；

3．使學(xué)生會(huì)用反函數(shù)求導(dǎo)公式推導(dǎo)并熟練掌握四個(gè)反三角函數(shù)的求導(dǎo)公式．

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

反函數(shù)的求導(dǎo)法則和四個(gè)反三角函數(shù)的求導(dǎo)公式是本節(jié)課的重點(diǎn)．本節(jié)課的難點(diǎn)是反函數(shù)的求導(dǎo)．

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)提問

1．什么叫函數(shù) y＝f(x)的反函數(shù)？

(請(qǐng)一名學(xué)生回答．因?yàn)榉春瘮?shù)是高中一年級(jí)所學(xué)內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)生疏，可能答得不好，可由其他學(xué)生補(bǔ)充或糾正，最后教師應(yīng)準(zhǔn)確地給學(xué)生講述反函數(shù)概念．另外，上一節(jié)課應(yīng)布置學(xué)生預(yù)先復(fù)習(xí)反函數(shù)概念．)

如果給定函數(shù)y＝f(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系f是一一對(duì)應(yīng)，那么f的逆對(duì)應(yīng)f-1所確定的函數(shù)x＝

f-1(y)就叫做函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)．

強(qiáng)調(diào)指出：這里所說的函數(shù)關(guān)系f應(yīng)是一一對(duì)應(yīng)，否則就沒有逆對(duì)應(yīng)f-1，也就不可能有反函數(shù)x＝f-1(y)．

2．下列函數(shù)有反函數(shù)嗎？若有請(qǐng)寫出它的反函數(shù)表示式：

(1)y＝2x－3；(2)y＝xn(n為正整數(shù))．

(請(qǐng)一名學(xué)生板演．)

n為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)關(guān)系不是一一對(duì)應(yīng)，故沒有反函數(shù)．

二、引入新課

為求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，自然會(huì)想到互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間有無關(guān)系，如果有，其規(guī)律是什么？為此，我們先就提問第2題的兩個(gè)實(shí)例進(jìn)行探討．

(1)求y＝2x－3的導(dǎo)數(shù)．

yx'＝2．

(2)求函數(shù)y＝xn(n為奇數(shù))的導(dǎo)數(shù)

yx'＝nxn-1．

觀察：由(1)可見

那么(2)是否也有同樣的規(guī)律呢？不妨試一試：

講解新課

如果Δy≠0，上等式顯然成立．

事實(shí)上，當(dāng)Δx≠0時(shí)，一定有Δy≠0(為什么？請(qǐng)學(xué)生思考并回答)．否則不等

至此，我們可以肯定上面所提出的反函數(shù)的求導(dǎo)法則如下：

或記作

2．幾何解釋(圖2－7)：

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知

yx'＝tanα，xy'＝tanβ．

3．反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

有了反函數(shù)的求導(dǎo)法則，我們就可以求得反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)了．

由反函數(shù)的求導(dǎo)法則有

因此我們得到公式：

追問：在(3)處為什么要陳述這些條件？沒有這些條件可以嗎？

因?yàn)閷?dǎo)數(shù)yx'應(yīng)是x的函數(shù)，因此必須將y還原為x的表達(dá)式．

用類似的方法，可求得另外三個(gè)反三角函數(shù)的求導(dǎo)公式：

(這三個(gè)公式的證明由學(xué)生課下完成．)

追問：題目所給的條件x＞0，在解題過程中用于何處？

例4 求y＝arctan2x的導(dǎo)數(shù)．

四、課堂練習(xí)

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(請(qǐng)兩名學(xué)生分別板演1、2兩題和3、4兩題，其余學(xué)生做在課堂練習(xí)本上．最后教師帶領(lǐng)全體學(xué)生訂正學(xué)生所做練習(xí)題．)

五、小結(jié)

1．反函數(shù)求導(dǎo)法則：

2．根據(jù)反函數(shù)求導(dǎo)法則求得四個(gè)反三角函數(shù)的求導(dǎo)公式：

這里要注意兩點(diǎn)：(1)反正弦函數(shù)和反余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不包括x＝－1和x＝1兩個(gè)點(diǎn)；(2)反正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與反余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)只差一個(gè)符號(hào)；反正切函數(shù)與反余切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也只差一個(gè)符號(hào)．

六、布置作業(yè)

1．試證明后三個(gè)反三角函數(shù)的求導(dǎo)公式．

2．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

3．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

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第四篇：高中數(shù)學(xué)反三角函數(shù)的公式小結(jié)

高中數(shù)學(xué)反三角函數(shù)的公式小結(jié)

反三角函數(shù)主要是三個(gè)：

y＝arcsin(x)，定義域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]圖象用紅色線條；

y=arccos(x)，定義域[-1,1]，值域[0,π]，圖象用藍(lán)色線條；

y=arctan(x)，定義域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，圖象用綠色線條；

sin(arcsin x)=x,定義域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx 其他公式:

三角函數(shù)其他公式

arcsin(-x)=-arcsinx

arccos(-x)=π－arccosx

arctan(-x)=-arctanx

arccot(-x)=π－arccotx

arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)

當(dāng)x∈[—π/2，π/2]時(shí)，有arcsin(sinx)=x

當(dāng)x∈[0,π],arccos(cosx)=x

x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x

x∈(0，π),arccot(cotx)=x

x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx類似

若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),則arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

第五篇：三角函數(shù)教案及反思

課

題：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

（一）教

者：王永濤（寧縣四中）

教學(xué)目標(biāo)：1.知識(shí)與技能：借助單位圓，推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，能正確運(yùn)用誘導(dǎo)公式

將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，掌握有關(guān)三角函數(shù)求值問

題。

2.過程與方法：經(jīng)歷誘導(dǎo)公式的探索過程，體驗(yàn)未知到已知、復(fù)雜到

簡單的轉(zhuǎn)化過程，培養(yǎng)化歸思想。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：感受數(shù)學(xué)探索的成功感，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱

情，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

重

點(diǎn)：誘導(dǎo)公式二、三、四的探究，運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的求

值，提高對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)部聯(lián)系的認(rèn)識(shí)。

難

點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)圓的對(duì)稱性與任意角終邊的坐標(biāo)之間的聯(lián)系；誘導(dǎo)公式的合理運(yùn)

用。

教學(xué)方法：合作探究式 教學(xué)手段：多媒體 教學(xué)過程：

一、前置檢測(cè)

1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎樣定義的？

2.2kπ＋α（k∈Z）與α的三角函數(shù)之間的關(guān)系是什么？

3.你能求sin750°和sin930°的值嗎？

二、精講點(diǎn)撥

知識(shí)探究

（一）：π＋α的誘導(dǎo)公式（師生共同探究）。

思考1：210°角與30°角有何內(nèi)在聯(lián)系？240°角與60°角呢? 思考2：若α為銳角，則（180°，270°）范圍內(nèi)的角可以怎樣表示？

思考3：對(duì)于任意給定的一個(gè)角α，角π＋α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系？

思考4：設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），則角π＋α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)如何？

思考5：根據(jù)三角函數(shù)定義，sin（π＋α）、cos（π＋α）、tan（π＋α）的值分別是什么？

思考6：對(duì)比sinα，cosα，tanα的值，π＋α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)有什么關(guān)系？

公式二 ：sin（π＋α）=－sinα，cos（π＋α）=－cosα，tan（π＋α）=tanα。

知識(shí)探究

（二）（三）：－α，π－α的誘導(dǎo)公式（學(xué)生自主合作探究）。

引導(dǎo)學(xué)生回顧剛才探索公式二的過程，明確研究三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的路線圖：角間關(guān)系→對(duì)稱關(guān)系→坐標(biāo)關(guān)系→三角函數(shù)值間關(guān)系。為學(xué)生指明探索公式三、四的方向。

學(xué)生小組自主合作探究，然后讓小組學(xué)生代表闡述探究的過程和結(jié)果。根據(jù)三角函數(shù)定義，得出－α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)的關(guān)系及π－α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)的關(guān)系。

公式三：sin（－α）= －sinα、公式四：sin(π－α)=sinα，cos（－α）=cosα、cos(π－α)=-－cosα，tan（－α）=－tanα。

tan(π－α)=－tanα。思考1：利用π－α＝π＋(－α)，結(jié)合公式二、三，你能得到什么結(jié)論？ sin(π－α)= sin[π+（－α）] = －sin（－α）=sinα

cos(π－α)= cos[π+（－α）]= －cos（－α）=－cosα

tan(π－α)= tan[π+（－α）] = tan（－α）=－tanα

思考2：公式一～四都叫做誘導(dǎo)公式，他們分別反映了2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)之間的關(guān)系，你能概括一下這四組公式的共同特點(diǎn)和規(guī)律嗎？

2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把a(bǔ)看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。即“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”。

例1 利用公式求下列三角函數(shù)值：

（1）cos225°；

（2）sin660°；

（3）tan（??）；

（4）cos（－2040°）。3[變式訓(xùn)練] 將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，并填在題中橫線上：(1)cos??_______;9?

(3)sin()?_______;5例2 化簡

(2)sin(1??)?_______;(4)cos(?70?6')?_______.??cos1(80??)?sin?(?360)??sin?(??180)?cos?(180??)

[變式訓(xùn)練] 化簡：

cos190??sin(?210?)?cos(350?)?tan58

5三、當(dāng)堂檢測(cè)

1.利用公式求下列三角函數(shù)值

7?（2）sin(?);

（1）cos(?420?);6

79?(3)sin(330?);（4）cos(?);6

2.化簡

sin3(??)cos(2???)tan(????).（1）sin(??180?)cos(??)sin(???180?);（2）

四、總結(jié)提升

1.誘導(dǎo)公式都是恒等式，即在等式有意義時(shí)恒成立。

2.2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把a(bǔ)看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。即“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”。

3.利用誘導(dǎo)公式一～四，可以求任意角的三角函數(shù)，其基本思路是：任意負(fù)角的三角函數(shù)→任意正角的三角函數(shù)→0~2π的角的三角函數(shù)→銳角三角函數(shù)。

五、布置作業(yè)

1書面作業(yè)：必做：課本29頁習(xí)題1.3A組 1、2；

選做：課本29頁習(xí)題B組1.2預(yù)習(xí)作業(yè)：《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》

（二），試用所學(xué)推導(dǎo)公式（五、六）。