第一篇：高中數(shù)學(xué) (1.3.1 柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積)示范教案 新人教A版必修2

1.3 空間幾何體的表面積與體積 1.3.1 柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

本節(jié)一開(kāi)始的“思考”從學(xué)生熟悉的正方體和長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖入手，分析展開(kāi)圖與其表面積的關(guān)系，目的有兩個(gè)：其一，復(fù)習(xí)表面積的概念，即表面積是各個(gè)面的面積的和；其二，介紹求幾何體表面積的方法，把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積.接著，教科書安排了一個(gè)“探究”，要求學(xué)生類比正方體、長(zhǎng)方體的表面積，討論棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積問(wèn)題，并通過(guò)例1進(jìn)一步加深學(xué)生的認(rèn)識(shí).教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生討論得出：棱柱的展開(kāi)圖是由平行四邊形組成的平面圖形，棱錐的展開(kāi)圖是由三角形組成的平面圖形，棱臺(tái)的展形圖是由梯形組成的平面圖形.這樣，求它們的表面積的問(wèn)題就可轉(zhuǎn)化為求平行四邊形、三角形和梯形的面積問(wèn)題.教科書通過(guò)“思考”提出“如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積？”的問(wèn)題.教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生回憶圓柱、圓錐的形成過(guò)程及其幾何特征，在此基礎(chǔ)上得出圓柱的側(cè)面可以展開(kāi)成為一個(gè)矩形，圓錐的側(cè)面可以展開(kāi)成為一個(gè)扇形的結(jié)論，隨后的有關(guān)圓臺(tái)表面積問(wèn)題的“探究”，也可以按照這樣的思路進(jìn)行教學(xué).值得注意的是，圓柱、圓錐、圓臺(tái)都有統(tǒng)一的表面積公式，得出這些公式的關(guān)鍵是要分析清楚它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)的側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析，在分別學(xué)習(xí)了圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式后，可以引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)分析它們之間的關(guān)系.由于圓柱可看成上下兩底面全等的圓臺(tái)；圓錐可看成上底面半徑為零的圓臺(tái)，因此圓柱、圓錐就可以看成圓臺(tái)的特例.這樣，圓柱、圓錐的表面積公式就可以統(tǒng)一在圓臺(tái)的表面積公式之下.關(guān)于體積的教學(xué).我們知道，幾何體占有空間部分的大小，叫做幾何體的體積.這里的“大小”沒(méi)有比較大小的含義，而是要用具體的“數(shù)”來(lái)定量的表示幾何體占據(jù)了多大的空間，因此就產(chǎn)生了度量體積的問(wèn)題.度量體積時(shí)應(yīng)知道：①完全相同的幾何體，它的體積相等；②一個(gè)幾何體的體積等于它的各部分體積的和.體積相等的兩個(gè)幾何體叫做等積體.相同的兩個(gè)幾何體一定是等積體，但兩個(gè)等積體不一定相同.體積公式的推導(dǎo)是建立在等體積概念之上的.柱體和錐體的體積計(jì)算，是經(jīng)常要解決的問(wèn)題.雖然有關(guān)公式學(xué)生已有所了解，但進(jìn)一步了解這些公式的推導(dǎo)，有助于學(xué)生理解和掌握這些公式，為此，教科書安排了一個(gè)“探究”，要求學(xué)生思考一下棱錐與等底等高的棱柱體積之間的關(guān)系.教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生類比圓柱與圓錐之間的體積關(guān)系來(lái)得出結(jié)論.與討論表面積公式之間的關(guān)系類似，教科書在得出柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式后，安排了一個(gè)“思考”，目的是引導(dǎo)學(xué)生思考這些公式之間的關(guān)系，建立它們之間的聯(lián)系.實(shí)際上，這幾個(gè)公式之間的關(guān)系，是由柱體、錐體和臺(tái)體之間的關(guān)系決定的.這樣，在臺(tái)體的體積公式中，令S′=S，得柱體的體積公式；令S′=0，得錐體的體積公式.值得注意的是在教學(xué)過(guò)程中，要重視發(fā)揮思考和探究等欄目的作用，培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些公式之間的關(guān)系，建立它們的聯(lián)系.本節(jié)的重點(diǎn)應(yīng)放在公式的應(yīng)用上，防止出現(xiàn)：教師在公式推導(dǎo)過(guò)程中“糾纏不止”，要留出“空白”，讓學(xué)生自己去思考和解決問(wèn)題.如果有條件，可以借助于信息技術(shù)來(lái)展示幾何體的展開(kāi)圖.對(duì)于空間想象能力較差的學(xué)生，可以通過(guò)制作實(shí)物模型，經(jīng)過(guò)操作確認(rèn)來(lái)增強(qiáng)空間想象能力.三維目標(biāo)

1.了解柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積計(jì)算公式（不要求記憶），提高學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.2.掌握簡(jiǎn)單幾何體的體積與表面積的求法，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化、化歸以及類比的能力.重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：了解柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積計(jì)算公式及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：表面積和體積計(jì)算公式的應(yīng)用.課時(shí)安排 1課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

思路1.在過(guò)去的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過(guò)一些幾何體的面積和體積的求法及公式，哪些幾何體可以求出表面積和體積？（引導(dǎo)學(xué)生回憶，互相交流，教師歸類）幾何體的表面積等于它的展開(kāi)圖的面積，那么，柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面展開(kāi)圖是怎樣的？你能否計(jì)算？ 思路2.被譽(yù)為世界七大奇跡之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲爾鐵塔落成前的四千多年的漫長(zhǎng)歲月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生產(chǎn)工具很落后的中古時(shí)代，埃及人是怎樣采集、搬運(yùn)數(shù)量如此之多，每塊又如此之重的巨石壘成如此宏偉的大金字塔，真是一個(gè)十分難解的謎.胡夫大金字塔是一個(gè)正四棱錐外形的建筑，塔底邊長(zhǎng)230米，塔高146.5米，你能計(jì)算建此金字塔用了多少石塊嗎？ 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題

①在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體和長(zhǎng)方體的表面積，以及它們的展開(kāi)圖（圖1），你知道上述幾何體的展開(kāi)圖與其表面積的關(guān)系嗎？

正方體及其展開(kāi)圖(1)長(zhǎng)方體及其展開(kāi)圖(2)

圖1 ②棱柱、棱錐、棱臺(tái)也是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它們的表面積？

③如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積？

④聯(lián)系圓柱、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，你能想象圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖的形狀，并且畫出它嗎？如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是r′,r，母線長(zhǎng)為l，你能計(jì)算出它的表面積嗎？ ⑤圓柱、圓錐和圓臺(tái)的表面積之間有什么關(guān)系？

活動(dòng)：①學(xué)生討論和回顧長(zhǎng)方體和正方體的表面積公式.②學(xué)生思考幾何體的表面積的含義，教師提示就是求各個(gè)面的面積的和.③讓學(xué)生思考圓柱和圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的形狀.④學(xué)生思考圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖的形狀.⑤提示學(xué)生用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)看待這個(gè)問(wèn)題.討論結(jié)果：①正方體、長(zhǎng)方體是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的表面積就是各個(gè)面的面積的和.因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積.2

②棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是平行四邊形，其表面積等于圍成棱柱的各個(gè)面的面積的和；棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是由多個(gè)三角形拼接成的，其表面積等于圍成棱錐的各個(gè)面的面積的和；棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是由多個(gè)梯形拼接成的，其表面積等于圍成棱臺(tái)的各個(gè)面的面積的和.③它們的表面積等于側(cè)面積與底面積的和，利用它們的側(cè)面展開(kāi)圖來(lái)求得它們的側(cè)面積，由于底面是圓面，其底面積直接應(yīng)用圓的面積公式即得.其中，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形.我們知道，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形（圖2）.如果圓柱的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為

2l，那么圓柱的底面面積為πr,側(cè)面面積為2πrl.因此，圓柱的表面積2S=2πr+2πrl=2πr(r+l).圖2 圖3 圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形（圖3）.如果圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l，那么它2的表面積S=πr+πrl=πr(r+l).點(diǎn)評(píng)：將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，是解決立體幾何問(wèn)題基本的、常用的方法.④圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán)（圖4），它的表面積等于上、下兩個(gè)底面的面積和加上側(cè)22面的面積，即S=π(r+r′+rl+r′l).圖4 ⑤圓柱、圓錐、圓臺(tái)側(cè)面積的關(guān)系：

圓柱和圓錐都可以看作是圓臺(tái)退化而成的幾何體.圓柱可以看作是上下底面全等的圓臺(tái)，圓錐可看作是上底面退化成一點(diǎn)的圓臺(tái)，觀察它們的側(cè)面積，不難發(fā)現(xiàn)：

1212S圓柱表=2πr(r+l)????S圓臺(tái)表=π(r1l+r2l+r1+r2)?????S圓錐表=πr(r+l).r?r?r2

2r?0,r?r從上面可以很清楚地看出圓柱和圓錐的側(cè)面積公式都可以看作由圓臺(tái)側(cè)面積公式演變而來(lái).提出問(wèn)題

①回顧長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的體積公式，你能將它們統(tǒng)一成一種形式嗎？并依次類比出柱體的體積公式？

②比較柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式： V柱體=Sh(S為底面積，h為柱體的高)；

1Sh(S為底面積，h為錐體的高)； 31V臺(tái)體=(S?SS'?S')h(S′,S分別為上、下底面積，h為臺(tái)體的高).3V錐體=你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系嗎？柱體、錐體是否可以看作“特殊”的臺(tái)體？其體積公式是否可以看作臺(tái)體體積公式的“特殊”形式？

活動(dòng)：①讓學(xué)生思考和討論交流長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的體積公式.3

②讓學(xué)生類比圓柱、圓錐和圓臺(tái)的表面積的關(guān)系？ 討論結(jié)果：

32①棱長(zhǎng)為a的正方體的體積V=a=aa=Sh；

長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高分別為a,b,c，其體積為V=abc=(ab)c=Sh；

2底面半徑為r高為h的圓柱的體積是V=πrh=Sh，可以類比，一般的柱體的體積也是V=Sh，其中S是底面面積，h為柱體的高.11Sh(S為底面面積，h為高)，它是同底等高的圓柱的體積的.3311棱錐的體積也是同底等高的棱柱體積的,即棱錐的體積V=Sh(S為底面面積，h為高).33圓錐的體積公式是V=由此可見(jiàn)，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是底面面積乘高的1.31(S′+S'S+S)h, 3 由于圓臺(tái)（棱臺(tái)）是由圓錐（棱錐）截成的，因此可以利用兩個(gè)錐體的體積差，得到圓臺(tái)（棱臺(tái)）的體積公式V=其中S′，S分別為上、下底面面積，h為圓臺(tái)（棱臺(tái)）高.注意：不要求推導(dǎo)公式，也不要求記憶.②柱體可以看作是上、下底面相同的臺(tái)體，錐體可以看作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺(tái)體.因此柱體、錐體可以看作“特殊”的臺(tái)體.當(dāng)S′=0時(shí)，臺(tái)體的體積公式變?yōu)殄F體的體積公式;當(dāng)S′=S時(shí)，臺(tái)體的體積公式變?yōu)橹w的體積公式，因此，柱體、錐體的體積公式可以看作臺(tái)體體積公式的“特殊”形式.柱體和錐體可以看作由臺(tái)體變化得到，柱體可以看作是上、下底面相同的臺(tái)體，錐體可以看作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺(tái)體，因此很容易得出它們之間的體積關(guān)系,如圖5：

圖5 應(yīng)用示例

思路1

例1 已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面體S—ABC（圖6），求它的表面積.圖6

活動(dòng)：回顧幾何體的表面積含義和求法.分析：由于四面體S—ABC的四個(gè)面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個(gè)面面積的4倍.解：先求△SBC的面積，過(guò)點(diǎn)S作SD⊥BC，交BC于點(diǎn)D.4

因?yàn)锽C=a,SD=SB?BD?22a3a2?()2?a，22所以S△SBC=13321a?a.BC·SD=a?224232a?3a2.4因此，四面體S—ABC的表面積S=4×點(diǎn)評(píng)：本題主要考查多面體的表面積的求法.變式訓(xùn)練

1.已知圓柱和圓錐的高、底面半徑均分別相等.若圓柱的底面半徑為r，圓柱側(cè)面積為S，求圓錐的側(cè)面積.解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，因?yàn)閳A柱的側(cè)面積為S，圓柱的底面半徑為r，即S圓柱側(cè)=S，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式可得：圓柱的母線（高）長(zhǎng)為

SS，由題意得圓錐的高為，又圓錐2?r2?r2的底面半徑為r，根據(jù)勾股定理，圓錐的母線長(zhǎng)l=r?(得

S2)，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式2?rS2)?S圓錐側(cè)=πrl=π·r·r?(2?r24?2r4?S2.22.兩個(gè)平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，那么圓錐被分成的三部分的體積的比是（）

A.1∶2∶3 B.1∶7∶19 C.3∶4∶5 D.1∶9∶27 分析：因?yàn)閳A錐的高被分成的三部分相等，所以兩個(gè)截面的半徑與原圓錐底面半徑之比為1∶2∶3，于是自上而下三個(gè)圓錐的體積之比為（?3［r2h)∶

?3∶［(2r)2·2h］

?3(3r)2·3h］=1∶8∶27，所以圓錐被分成的三部分的體積之比為1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19.答案：B 3.三棱錐V—ABC的中截面是△A1B1C1，則三棱錐V—A1B1C1與三棱錐A—A1BC的體積之比是（）

A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8

分析：中截面將三棱錐的高分成相等的兩部分，所以截面與原底面的面積之比為1∶4，將三棱錐A—A1BC轉(zhuǎn)化為三棱錐A1—ABC，這樣三棱錐V—A1B1C1與三棱錐A1—ABC的高相等，底面積之比為1∶4，于是其體積之比為1∶4.答案：B 例2 如圖7，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑為20 cm，盆底直徑為15 cm，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長(zhǎng)為15 cm.為了美化花盆的外觀，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100個(gè)這樣的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，結(jié)果精確到1毫升，可用計(jì)算器）

圖7

活動(dòng)：學(xué)生思考和討論如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.只要求出每個(gè)花盆外壁的表面積，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面積等于花盆的側(cè)面積加上底面積，再減去底面圓孔的面積.解：如圖7，由圓臺(tái)的表面積公式得一個(gè)花盆外壁的表面積S=π［(-π（1521520)??15??15］2221.5222)≈1 000(cm)=0.1(m).2涂100個(gè)這樣的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.答：涂100個(gè)這樣的花盆需要1 000毫升油漆.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的表面積公式及其應(yīng)用.變式訓(xùn)練

21.有位油漆工用一把長(zhǎng)度為50 cm，橫截面半徑為10 cm的圓柱形刷子給一塊面積為10 m的木板涂油漆，且圓柱形刷子以每秒5周的速度在木板上勻速滾動(dòng)前進(jìn)，則油漆工完成任務(wù)所需的時(shí)間是多少?（精確到0.01秒）

解：圓柱形刷子滾動(dòng)一周涂過(guò)的面積就等于圓柱的側(cè)面積，2∵圓柱的側(cè)面積為S側(cè)=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m，又∵圓柱形刷子以每秒5周勻速滾動(dòng)，2∴圓柱形刷子每秒滾過(guò)的面積為0.5π m，10m220?因此油漆工完成任務(wù)所需的時(shí)間t=≈6.37秒.?0.5?m2點(diǎn)評(píng)：本題雖然是實(shí)際問(wèn)題，但是通過(guò)仔細(xì)分析后，還是歸為圓柱的側(cè)面積問(wèn)題.解決此題的關(guān)鍵是注意到圓柱形刷子滾動(dòng)一周所經(jīng)過(guò)的面積就相當(dāng)于把圓柱的側(cè)面展開(kāi)的面積，即滾動(dòng)一周所經(jīng)過(guò)的面積等于圓柱的側(cè)面積.從而使問(wèn)題迎刃而解.2.（2007山東濱州一模，文14）已知三棱錐O—ABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，OC=1,OA=x，OB=y，且x+y=4，則三棱錐體積的最大值是___________.11112?xy?x(4?x)??(x-2)2+，由于x＞0，則當(dāng)

332662x=2時(shí)，三棱錐的體積取最大值.32答案：

3分析：由題意得三棱錐的體積是例3 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是7.8 g/cm）六角螺帽（圖8）共重5.8 kg,已知底面是正六邊形，邊長(zhǎng)為12 mm,內(nèi)孔直徑為10 mm,高為10 mm，問(wèn)這堆螺帽大約有多少個(gè)?（π取3.14）

3圖8

活動(dòng)：讓學(xué)生討論和交流如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.六角帽表示的幾何體是一個(gè)組合體，在一個(gè)六棱柱中間挖去一個(gè)圓柱，因此它的體積等于六棱柱的體積減去圓柱的體積.解：六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，即V=3102233×12×6×10-3.14×()×10≈2 956(mm)=2.956(cm).42所以螺帽的個(gè)數(shù)為5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(個(gè)).答：這堆螺帽大約有252個(gè).點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的體積公式及其應(yīng)用.變式訓(xùn)練

如圖9，有個(gè)水平放置圓臺(tái)形容器，上、下底面半徑分別為2分米，4分米，高為5分米，現(xiàn)以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，當(dāng)水面的高度為3分米時(shí)，求所用的時(shí)間.（精確到0.01秒）

圖9

解：如圖10，設(shè)水面的半徑為r，則EH=r-2分米，BG=2分米，圖10 在△ABG中，∵EH∥BG，AHEH.∵AH=2分米, ?AGBG2r?214∴?.∴r=分米.525∴∴當(dāng)水面的高度為3分米時(shí)，容器中水的體積為

14214876?2)+×4+4］=立方分米，2555876?292?∴所用的時(shí)間為25?≈36.69秒.325V水=?·3［(13答：所用的時(shí)間為36.69秒.思路2

例1（2007山東煙臺(tái)高三期末統(tǒng)考，理8）如圖11所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，那么這個(gè)幾何體的體積為（）

圖11 A.1 B.111 C.D.236活動(dòng)：讓學(xué)生將三視圖還原為實(shí)物圖，討論和交流該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.分析：根據(jù)三視圖，可知該幾何體是三棱錐，圖12所示為該三棱錐的直觀圖，并且側(cè)棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.則該三棱錐的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以這個(gè)幾何體的體積為V=1111S?ABCPA???1?.3326

圖12

答案：D 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的三視圖和體積.給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或面積時(shí)，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用公式求得.此類題目成為新課標(biāo)高考的熱點(diǎn)，應(yīng)引起重視.變式訓(xùn)練

1.（2007山東泰安高三期末統(tǒng)考，理8）若一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖13所示，則這個(gè)正三棱柱的表面積為（）

圖13 A.183 B.153 C.24?83 D.24?163 分析：該正三棱柱的直觀圖如圖14所示，且底面等邊三角形的高為23，正三棱柱的高為

2，則底面等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，所以該正三棱柱的表面積為 3×4×2+2×1×4×23=24+83.2

圖14

答案：C 2.（2007山東濰坊高三期末統(tǒng)考，文3）如果一個(gè)空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為全等的等邊三角形，俯視圖為一個(gè)半徑為1的圓及其圓心，那么這個(gè)幾何體的體積為（）A.3?23?? B.C.3? D.333分析：由三視圖知該幾何體是圓錐，且軸截面是等邊三角形，其邊長(zhǎng)等于底面直徑2，則圓錐的高是軸截面等邊三角形的高為

3，所以這個(gè)幾何體的體積為V=13????12?3?.33答案：A 3.（2007廣東高考，文17）已知某幾何體的俯視圖是如圖15所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個(gè)底邊長(zhǎng)為

8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖（或稱左視圖）是一個(gè)底邊長(zhǎng)為

6、高為4的等腰三角形.圖15（1）求該幾何體的體積V；（2）求該幾何體的側(cè)面積S.解：由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)分別為6、8的矩形，高為4的四棱錐.設(shè)底面矩形為ABCD.如圖16所示，AB=8，BC=6，高VO=4.圖16（1）V=1×(8×6)×4=64.3AB28)?42?()2?42, 229(2)設(shè)四棱錐側(cè)面VAD、VBC是全等的等腰三角形，側(cè)面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，在△VBC中，BC邊上的高為h1=VO?（在△VAB中，AB邊上的高為h2=VO?(2BC26)?42?()2=5.22所以此幾何體的側(cè)面積S=2(?6?42?121?8?5)=40+242.2點(diǎn)評(píng)：高考試題中對(duì)面積和體積的考查有三種方式，一是給出三視圖，求其面積或體積；二是與的組合體有關(guān)的面積和體積的計(jì)算；三是在解答題中，作為最后一問(wèn).例2 圖17所示的幾何體是一棱長(zhǎng)為4 cm的正方體，若在它的各個(gè)面的中心位置上，各打一個(gè)直徑為2 cm、深為1 cm的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少?（π取3.14）

圖17 活動(dòng)：因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方體沒(méi)有被打透.這樣一來(lái)打孔后所得幾何體的表面積，等于原來(lái)正方體的表面積，再加上六個(gè)完全一樣的圓柱的側(cè)面積，這六個(gè)圓柱的高為1 cm，底面圓的半徑為1 cm.2解：正方體的表面積為16×6=96（cm），2一個(gè)圓柱的側(cè)面積為2π×1×1=6.28（cm），2則打孔后幾何體的表面積為96＋6.28×6=133.68（cm）.2答：幾何體的表面積為133.68 cm.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方體、圓柱的表面積.求幾何體的表面積問(wèn)題，通常將所給幾何體分成基本的柱、錐、臺(tái)，再通過(guò)這些基本柱、錐、臺(tái)的表面積，進(jìn)行求和或作差，從而獲得幾何體的表面積.本題中將幾何體的表面積表達(dá)為正方體的表面積與六個(gè)圓柱側(cè)面積的和是非常有創(chuàng)意的想法，如果忽略正方體沒(méi)有被打透這一點(diǎn)，思考就會(huì)變得復(fù)雜，當(dāng)然結(jié)果也會(huì)是錯(cuò)誤的.變式訓(xùn)練

圖18所示是由18個(gè)邊長(zhǎng)為1 cm的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積.圖18

分析：從圖18中可以看出，18個(gè)小正方體一共擺了三層，第一層2個(gè)，第二層7個(gè)，因?yàn)?8-7-2=9，所以第三層擺了9個(gè).另外，上、下兩個(gè)面的表面積是相同的，同樣，前、后,左、右兩個(gè)面的表面積也是分別相同的.22解：因?yàn)樾≌襟w的棱長(zhǎng)是1 cm，所以上面的表面積為1×9=9（cm），2222前面的表面積為1×8=8（cm），左面的表面積為1×7=7（cm），2則此幾何體的表面積為9×2+8×2+7×2=48(cm).2答：此幾何體的表面積為48 cm.知能訓(xùn)練

1.正方體的表面積是96，則正方體的體積是（）

A.486 B.64 C.16 D.96 分析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則6a=96，解得a=4，則正方體的體積是a=64.答案：B 2.（2007山東臨沂高三期末統(tǒng)考，文2）如圖19所示，圓錐的底面半徑為1，高為3，則圓錐的表面積為（）

A.π B.2π C.3π D.4π

3分析：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則l=3?1=2，所以圓錐的表面積為S=π×1×(1+2)=3π.答案：C 3.正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為23，則這個(gè)正三棱錐的體積是（）

A.27393279 B.C.D.444422分析：可得正三棱錐的高h(yuǎn)=(23)?(3)=3，于是V=?133293?3?3?.44答案：D 4.若圓柱的高擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，底面半徑不變，則圓柱的體積擴(kuò)大為原來(lái)的_________倍；若圓柱的高不變，底面半徑擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，則圓柱的體積擴(kuò)大為原來(lái)的_________倍.2分析：圓柱的體積公式為V圓柱=πrh，底面半徑不變，高擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，其體積也變?yōu)?/p>

2原來(lái)的4倍；當(dāng)圓柱的高不變，底面半徑擴(kuò)大為原來(lái)的4倍時(shí)，其體積變?yōu)樵瓉?lái)的4=16倍.答案：4 16 5.圖20是一個(gè)正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點(diǎn).現(xiàn)在沿△GFH所在平面鋸掉正方體的一個(gè)角，問(wèn)鋸掉部分的體積是原正方體體積的幾分之幾?

圖20

分析：因?yàn)殇彽舻氖钦襟w的一個(gè)角，所以HA與AG、AF都垂直，即HA垂直于立方體的上底面，實(shí)際上鋸掉的這個(gè)角，是以三角形AGF為底面，H為頂點(diǎn)的一個(gè)三棱錐.3解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則正方體的體積為a.三棱錐的底面是Rt△AGF，即∠FAG為90°，G、F又分別為AD、AA1的中點(diǎn)，所以AF=AG=

1a.2 11

1111?a?a?a2.又因AH是三棱錐的高，H又是AB的中點(diǎn)，所以2228111113AH=a.所以鋸掉的部分的體積為?a?a2?a.2328481311又因,所以鋸掉的那塊的體積是原正方體體積的.a?a3?484848所以△AGF的面積為6.（2007山東臨沂高三期末考試，理13）已知一圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，且面積為S，則圓錐的底面面積是____________.??2S?l?S,分析：如圖21，設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，由題意得?2解得r=，所

2????l?2?r,以圓錐的底面積為πr=??

2SS?.2?2

圖21

答案：S 27.如圖22，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長(zhǎng)為a，高為2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖23，這時(shí)水面恰好為中截面，則圖22中容器內(nèi)水面的高度是_________.圖22 圖23 分析：圖22中容器內(nèi)水面的高度為h，水的體積為V，則V=S△ABCh.又圖23中水組成了一個(gè)

3S?ABC?2a3334?a.直四棱柱，其底面積為S?ABC，高度為2a，則V=S?ABC·2a，∴h=

S?ABC244答案：3a 28.圓臺(tái)的兩個(gè)底面半徑分別為2、4，截得這個(gè)圓臺(tái)的圓錐的高為6，則這個(gè)圓臺(tái)的體積是_____________.12

分析：設(shè)這個(gè)圓臺(tái)的高為h，畫出圓臺(tái)的軸截面，可得臺(tái)的體積是

26?h，解得h=3，所以這個(gè)圓?46?22(2+2×4+4)×3=28π.3答案：28π

9.已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖24，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm）,可得這個(gè)幾何體的體積是（）

圖24 A.400080003333 cm B.cm C.2 000 cm D.4 000 cm 33分析：該幾何體是四棱錐，并且長(zhǎng)為20 cm的一條側(cè)棱垂直于底面，所以四棱錐的高為20 cm,2底面是邊長(zhǎng)為20 cm的正方形（如俯視圖），所以底面積是20×20=400 cm，所以該幾何體的體積是180003×400×20=cm.33答案：B 拓展提升

問(wèn)題：有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為

2，底面三角形的三邊長(zhǎng)分別為3a,4a,5a(a＞0).用它a們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面積最小的是一個(gè)四棱柱，則a的取值范圍是___________.探究：兩個(gè)相同的直三棱柱并排放拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，有三種情況：

2四棱柱有一種，就是邊長(zhǎng)為5a的邊重合在一起，表面積為24a+28，三棱柱有兩種，邊長(zhǎng)為

224a的邊重合在一起，表面積為24a+32，邊長(zhǎng)為3a的邊重合在一起，表面積為24a+36，兩

2個(gè)相同的直三棱柱豎直放在一起，有一種情況，表面積為12a+48, 最小的是一個(gè)四棱柱，這說(shuō)明24a+28＜12a+48?12a＜20?0＜a＜

15.3答案：0＜a＜15 3課堂小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了：

1.柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積公式.2.應(yīng)用體積公式解決有關(guān)問(wèn)題.作業(yè)

習(xí)題1.3 A組 第1、2、3題.設(shè)計(jì)感想

新課標(biāo)對(duì)本節(jié)內(nèi)容的要求是了解棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式），也就是說(shuō)對(duì)體積和面積公式的推導(dǎo)、證明和記憶不作要求，按通常的理解是會(huì)求體積和面積，以及很簡(jiǎn)單的應(yīng)用即可.因此本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)中就體現(xiàn)了這一點(diǎn)，沒(méi)有過(guò)多地在公式的推導(dǎo)上“糾纏不休”，把重點(diǎn)放在了對(duì)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用上.由于本節(jié)圖形較多，建議在使用時(shí)，盡量結(jié)合信息技術(shù).

第二篇：【數(shù)學(xué)】1.3.1《柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積(二)》教案(新人教A版必修2)

1.3.1 柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

（二）第二課時(shí)

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能

（1）通過(guò)對(duì)柱、錐、臺(tái)體的研究，掌握柱、錐、臺(tái)的體積的求法。

（2）能運(yùn)用公式求解，柱體、錐體和臺(tái)體的體積，并且熟悉臺(tái)體與柱體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。（3）培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力。

2、過(guò)程與方法

（1）讓學(xué)生經(jīng)歷幾何全的側(cè)面展一過(guò)程，感知幾何體的形狀。

（2）讓學(xué)生通對(duì)照比較，理順柱體、錐體、臺(tái)體三間的體積的關(guān)系。

3、情感與價(jià)值

通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受到幾何體體積的求解過(guò)程，對(duì)自己空間思維能力影響。從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算 難點(diǎn)：臺(tái)體體積公式的推導(dǎo)

三、學(xué)法與教學(xué)用具

1、學(xué)法：學(xué)生通過(guò)閱讀教材，自主學(xué)習(xí)、思考、交流、討論和概括，通過(guò)剖析實(shí)物幾何體感受幾何體的特征，從而更好地完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

2、教學(xué)用具：實(shí)物幾何體，投影儀

四、教學(xué)過(guò)程

1、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

(1).提問(wèn)：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積計(jì)算公式？(2).提問(wèn)：正方體、長(zhǎng)方體、圓柱的體積計(jì)算公式？

2、探究新知

教學(xué)柱錐臺(tái)的體積計(jì)算公式：

① 討論：等底、等高的棱柱、圓柱的體積關(guān)系？（祖暅(gèng，祖沖之的兒子)原理，教材P30）

② 根據(jù)正方體、長(zhǎng)方體、圓柱的體積公式，推測(cè)柱體的體積計(jì)算公式？

→給出柱體體積計(jì)算公式：V柱?Sh（S為底面面積，h為柱體的高）→V圓柱?Sh??r2h

③ 討論：等底、等高的棱柱與棱錐之間的體積關(guān)系？ 等底等高的圓錐、棱錐之間的體積關(guān)系？

④ 根據(jù)圓錐的體積公式公式，推測(cè)錐體的體積計(jì)算公式？

→給出錐體的體積計(jì)算公式：V錐?13Sh

S為底面面積，h為高）

⑤ 討論：臺(tái)體的上底面積S’，下底面積S，高h(yuǎn)，由此如何計(jì)算切割前的錐體的高？

→ 如何計(jì)算臺(tái)體的體積？ ⑥ 給出臺(tái)體的體積公式：V臺(tái)?

→ V圓臺(tái)?13(S?''13(S?132'SS?S)h

（S，S分別上、下底面積，h為高）

2''SS?S)h??(r?rR?R)h（r、R分別為圓臺(tái)上底、下底半徑）

⑦ 比較與發(fā)現(xiàn)：柱、錐、臺(tái)的體積計(jì)算公式有何關(guān)系？

從錐、臺(tái)、柱的形狀可以看出，當(dāng)臺(tái)體上底縮為一點(diǎn)時(shí)，臺(tái)成為錐；當(dāng)臺(tái)體上底放大為與下底相同時(shí)，臺(tái)成為柱。因此只要分別令S’=S和S’=0便可以從臺(tái)體的體積公式得到柱、錐的相應(yīng)公式。從而錐、柱的公式可以統(tǒng)一為臺(tái)體的體積公式

討論：側(cè)面積公式是否也正確？ 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積和體積公式又可如何統(tǒng)一？

3、例題分析講解

① 出示例：一堆鐵制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六邊形邊長(zhǎng)12mm，內(nèi)空直徑10mm，高10mm，估算這堆螺帽多少個(gè)？（鐵的密度7.8g/cm3）

討論：六角螺帽的幾何結(jié)構(gòu)特征？ → 如何求其體積？ → 利用哪些數(shù)量關(guān)系求個(gè)數(shù)？

→ 列式計(jì)算

→ 小結(jié)：體積計(jì)算公式

② 練習(xí)：將若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形容器中，量得水面高度為6cm；若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形容器中，求水面的高度.4、小結(jié)：柱錐臺(tái)的體積公式及相關(guān)關(guān)系；公式實(shí)際運(yùn)用.5、作業(yè)：P30 3題； P32習(xí)題 3、4題.五、教學(xué)后記:

第三篇：高中數(shù)學(xué) 課題：柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積(二)教案 新人教A版

課題：柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

（二）課 型：新授課 教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能

（1）通過(guò)對(duì)柱、錐、臺(tái)體的研究，掌握柱、錐、臺(tái)的體積的求法。

（2）能運(yùn)用公式求解，柱體、錐體和臺(tái)全的全積，并且熟悉臺(tái)體與術(shù)體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

（3）培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力。

2、過(guò)程與方法

讓學(xué)生通對(duì)照比較，理順柱體、錐體、臺(tái)體三間的體積的關(guān)系。

3、情感與價(jià)值

通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受到幾何體體積的求解過(guò)程，對(duì)自己空間思維能力影響。從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性。

教學(xué)要求：了解柱、錐、臺(tái)的體積計(jì)算公式；能運(yùn)用柱錐臺(tái)的表面積公式及體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用公式解決問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn)：理解計(jì)算公式之間的關(guān)系.教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.提問(wèn)：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積計(jì)算公式？

2.練習(xí)：正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6, 底面邊長(zhǎng)為4, 求其表面積.3.提問(wèn)：正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐的體積計(jì)算公式？

二、講授新課：

1.教學(xué)柱錐臺(tái)的體積計(jì)算公式： ① 討論：等底、等高的棱柱、圓柱的體積關(guān)系？（祖暅(gèng，祖沖之的兒子)原理，教材P30）② 根據(jù)正方體、長(zhǎng)方體、圓柱的體積公式，推測(cè)柱體的體積計(jì)算公式？

→給出柱體體積計(jì)算公式：V柱?Sh（S為底面面積，h為柱體的高）→V圓柱?Sh??r2h

③ 討論：等底、等高的圓柱與圓錐之間的體積關(guān)系？ 等底等高的圓錐、棱錐之間的體積關(guān)系？

④ 根據(jù)圓錐的體積公式公式，推測(cè)錐體的體積計(jì)算公式？

→給出錐體的體積計(jì)算公式：V錐?Sh S為底面面積，h為高）

⑤ 討論：臺(tái)體的上底面積S’，下底面積S，高h(yuǎn)，由此如何計(jì)算切割前的錐體的高？

→ 如何計(jì)算臺(tái)體的體積？

⑥ 給出臺(tái)體的體積公式：V臺(tái)?(S'?S'S?S)h（S，S分別上、下底面積，h為高）

→ V圓臺(tái)?(S'?S'S?S)h??(r2?rR?R2)h（r、R分別為圓臺(tái)上底、下底半徑）

⑦ 比較與發(fā)現(xiàn)：柱、錐、臺(tái)的體積計(jì)算公式有何關(guān)系？

從錐、臺(tái)、柱的形狀可以看出，當(dāng)臺(tái)體上底縮為一點(diǎn)時(shí)，臺(tái)成為錐；當(dāng)臺(tái)體上底放大為與下底相同時(shí)，臺(tái)成為柱。因此只要分別令S’=S和S’=0便可以從臺(tái)體的體積公式得到柱、錐的相應(yīng)公式。從而錐、柱的公式可以統(tǒng)一為臺(tái)體的體積公式

1313'1313

討論：側(cè)面積公式是否也正確？ 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積和體積公式又可如何統(tǒng)一？

公式記憶：V錐?Sh 131V臺(tái)?(S'?S'S?S)h

311V圓臺(tái)?(S'?S'S?S)h??(r2?rR?R2)h

332.教學(xué)體積公式計(jì)算的運(yùn)用：

例

1、一堆鐵制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六邊形邊長(zhǎng)12mm，內(nèi)空直徑10mm，高10mm，估

3算這堆螺帽多少個(gè)？（鐵的密度7.8g/cm）

討論：六角螺帽的幾何結(jié)構(gòu)特征？ → 如何求其體積？ → 利用哪些數(shù)量關(guān)系求個(gè)數(shù)？

→ 列式計(jì)算 → 小結(jié)：體積計(jì)算公式

② 練習(xí)：將若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形容器中，量得水面高度為6cm；若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形容器中，求水面的高度.三、鞏固練習(xí)：

1.把三棱錐的高分成三等分，過(guò)這些分點(diǎn)且平行于三棱錐底面的平面，把三棱錐分成三部分，求這三部分自上而下的體積之比。

2、棱臺(tái)的兩個(gè)底面面積分別是245c㎡和80ｃ㎡，截得這個(gè)棱臺(tái)的棱錐的高為35cm，3求這個(gè)棱臺(tái)的體積。（答案：2325cm）

3.已知圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，它的軸截面的面積為4，求圓錐的體積.234.高為12cm的圓臺(tái)，它的中截面面積為225πcm,體積為2800cm，求它的側(cè)面積。

5.倉(cāng)庫(kù)一角有谷一堆，呈1/4圓錐形，量得底面弧長(zhǎng)2.8m，母線長(zhǎng)2.2m，這堆谷多重？3720kg/m

四、小結(jié)：柱錐臺(tái)的體積公式及相關(guān)關(guān)系；公式實(shí)際運(yùn)用

五、作業(yè)：P28 2、3題； P30習(xí)題 3題.課后記

第四篇：高中數(shù)學(xué)_1.3.1單調(diào)性與最值教案_新人教A版必修1 2

1.3.1 單調(diào)性與最值（3）

教學(xué)目標(biāo)： 1.使學(xué)生理解函數(shù)最大（小）值及其幾何意義；

2.使學(xué)生掌握函數(shù)最值與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；

3.使學(xué)生掌握一些單調(diào)函數(shù)在給定區(qū)間上的最值的求法； 4.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、辯證思維的能力；

5.養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)最值的含義 教學(xué)難點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)最值的求法 教學(xué)方法：講授法

1．函數(shù)最大值與最小值的含義

①定義：一般地，設(shè)函數(shù)y?f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的x?I，都有f(x)?M；（2）存在x0?I，使得f(x0)?M。那么，我們稱M是函數(shù)y?f(x)的最大值（maximum value）.②幾何意義：函數(shù)y?f(x)的最大值是圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

思考：你能仿照函數(shù)最大值的定義，給出函數(shù)y?f(x)的最小值（minimum value）嗎？并說(shuō)明幾何意義？

一般地，設(shè)函數(shù)y?f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

（1）對(duì)于任意的x?I，都有f(x)?M；（2）存在x0?I，使得f(x0)?M。那么，我們稱M是函數(shù)y?f(x)的最小值（minimum value）.幾何意義：函數(shù)y?f(x)的最大值是圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)。2．最值的求法

①配湊法：研究二次函數(shù)y?ax2?bx?c(a?0)的最大（小）值，若給定區(qū)間是(??,??)，先配b24ac?b24ac?b2方成y?a(x?)?后，當(dāng)a?0時(shí)，函數(shù)取最小值為；當(dāng)a?0時(shí)，函數(shù)取最大值。2a4a4a若給定區(qū)間是[a,b]，則必須先判斷函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，然后再求最值（見(jiàn)下列例題）。（此處順帶說(shuō)出求值域的方法——配方法）

②單調(diào)法：一些函數(shù)的單調(diào)性，比較容易觀察出來(lái)，或者可以先證明出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值或最小值.③數(shù)形結(jié)合法：先作出其函數(shù)圖象后，然后觀察圖象得到函數(shù)的最大值或最小值.3．例題分析（講解最值求解方法時(shí)帶出值域）

例1．教材第30頁(yè)例題3。

用心

愛(ài)心

專心 例2．

1、求函數(shù)y?x2?1在下列各區(qū)間上的最值：

（1）(??,??)（2）[1，4]（3）[?6,?2]（4）[?2,2]（5）[?2,4]

6的最大值.2x?x?166133?8.解：配方為y?，由(x?)2??，得0?123123244(x?)?(x?)?2424

2、求函數(shù)y?例3．求函數(shù)y?2在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值（教材第31頁(yè)例4）。x?1 分析：先判定函數(shù)在區(qū)間[2，6]上的單調(diào)性，然后再求最大值和最小值。變式：若區(qū)間為[?6,?2]呢？

例4.求下列函數(shù)的最大值和最小值：

53（1）y?3?2x?x2,x?[?,]；（2）y?|x?1|?|x?2|.22b解：（1）二次函數(shù)y?3?2x?x2的對(duì)稱軸為x??，即x??1.2a39畫出函數(shù)的圖象，由圖可知，當(dāng)x??1時(shí)，ymax?4； 當(dāng)x?時(shí)，ymin??.24953所以函數(shù)y?3?2x?x2,x?[?,]的最大值為4,最小值為?.422?3(x?2)?（2）y?|x?1|?|x?2|??2x?1(?1?x?2).???3(x??1)作出函數(shù)的圖象，由圖可知，y?[?3,3].所以函數(shù)的最大值為3, 最小值為-3.點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值或最小值，常根據(jù)閉區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系，結(jié)合圖象進(jìn)行分析.含絕對(duì)值的函數(shù)，常分零點(diǎn)討論去絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)進(jìn)行研究.分段函數(shù)的圖象注意分段作出.直接觀察得到。隨堂鞏固：

1、指出下列函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，→ 能體現(xiàn)函數(shù)值有什么特征？ f(x)??2x?3，f(x)??2x?3 x?[?1,2]；f(x)?x2?2x?1，f(x)?x2?2x?1 x?[?2,2]

2在區(qū)間[2，4]上的最大值，最小值是（）x111111A．

1、B.、1 C.、D.、2224422、函數(shù)y?3函數(shù)4若0f(x)?1?x(11?x)的最大值

?t?14，那么1?tt的最小值 用心

愛(ài)心

專心

5、函數(shù)y?x?1?x?1的最大值是

能力提升

1已知f(x)?

2已知函數(shù)x?1,x?[3,5]函數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值。x?2f(x)?x2?2ax?2,x?[?5,5]

（1）當(dāng)a??1時(shí)，求f(x)的最值-5,37.（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y?f(x)在x?[?5,5]上的單調(diào)函數(shù)a??5或?5

x2?2x?a3已知函數(shù)f(x)?，若對(duì)任意x?[1,??)，f(x)?0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取x值范圍 a??3

用心

愛(ài)心

專心 3

第五篇：高中數(shù)學(xué) (4.1.2 圓的一般方程)示范教案 新人教A版必修2

4.1.2 圓的一般方程

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

教材通過(guò)將二元二次方程

x+y+Dx+Ey+F=0

2配方后化為D2F2D2?E2?4F222222(x+)+(y+)=后只需討論D+E-4F＞0、D+E-4F=0、D+E-4F＜0.與圓的224DE122標(biāo)準(zhǔn)方程比較可知D+E-4F＞0時(shí),表示以(-,-)為圓心,D2?E2?4F為半徑的222DDEE22圓；當(dāng)D+E-4F=0時(shí),方程只有實(shí)數(shù)解x=-,y=-,即只表示一個(gè)點(diǎn)(-,-);當(dāng)

2222D+E-4F＜0時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解,因而它不表示任何圖形.22 從而得出圓的一般方程的特點(diǎn)：(1)x和y的系數(shù)相同,不等于0；(2)沒(méi)有x·y這樣的2222二次項(xiàng)；(3)D+E-4F＞0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax＋Bxy＋Cy＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的必要條件,但不是充分條件,只有三條同時(shí)滿足才是充要條件.222 同圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)＋(y－b)=r含有三個(gè)待定系數(shù)a、b、r一樣,圓的一般方程22x+y+Dx+Ey+F=0中也含有三個(gè)待定系數(shù)D、E、F,因此必須具備三個(gè)獨(dú)立條件才能確定一個(gè)圓.同樣可以用待定系數(shù)法求得圓的一般方程.在實(shí)際問(wèn)題中,究竟使用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是使用圓的一般方程更好呢？應(yīng)根據(jù)具體問(wèn)題確定.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)是明確指出了圓心的坐標(biāo)和圓的半徑,因此,對(duì)于由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)和圓的半徑或需利用圓心坐標(biāo)列方程的問(wèn)題,一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.如果已知條件和圓心坐標(biāo)、圓的半徑都無(wú)直接關(guān)系,通常采用圓的一般方程；有時(shí)兩種方程形式都可用時(shí)也常采用圓的一般方程的形式,這是因?yàn)樗杀苊饨馊畏匠探M.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確直觀地指出圓心坐標(biāo)和半徑的長(zhǎng).我們知道,圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小,它有利于研究圓的有關(guān)性質(zhì)和作圖.而由圓的一般方程可以很容易判別一般的二元二次方程中,哪些是圓的方程,哪些不是圓的方程,它們各有自己的優(yōu)點(diǎn),在教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)當(dāng)使學(xué)生熟練地掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程的互化,尤其是由圓的一般方程通過(guò)配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,從而求出圓心坐標(biāo)和半徑.要畫出圓,就必須要將曲線方程通過(guò)配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后才能畫出曲線的形狀.這充分說(shuō)明了學(xué)生熟練地掌握這兩種方程互化的重要性和必要性.三維目標(biāo)

1.在掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上,理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征,由圓的一般方程確定

2222圓的圓心、半徑.掌握方程x＋y＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件,通過(guò)對(duì)方程x＋y＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件的探究,培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析、解決問(wèn)題的能力.2.能通過(guò)配方等手段,把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.能用待定系數(shù)法和軌跡法求圓的方程,同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,提高學(xué)生的整體素質(zhì),激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新,勇于探索,培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問(wèn)題的實(shí)際能力.重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：圓的一般方程的代數(shù)特征,一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化,根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)D、E、F.教學(xué)難點(diǎn):對(duì)圓的一般方程的認(rèn)識(shí)、掌握和運(yùn)用.課時(shí)安排 1課時(shí)

教學(xué)過(guò)程 22導(dǎo)入新課

思路1.①說(shuō)出圓心為(a,b),半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.②學(xué)生練習(xí):將以C(a,b)為圓心,r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi)并整理得22222x+y-2ax-2by+a+b-r=0.22222③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a+b-r,得到方程x+y+Dx+Ey+F=0,這說(shuō)明圓的方程還可以表示成另外一種非標(biāo)準(zhǔn)方程形式.22④能不能說(shuō)方程x+y+Dx+Ey+F=0所表示的曲線一定是圓呢?這就是我們本堂課的內(nèi)容,教師板書課題:圓的一般方程.思路2.問(wèn)題：求過(guò)三點(diǎn)A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圓的方程.利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問(wèn)題顯然有些麻煩,用直線的知識(shí)解決又有其簡(jiǎn)單的局限性,那么這個(gè)問(wèn)題有沒(méi)有其他的解決方法呢？帶著這個(gè)問(wèn)題我們來(lái)共同研究圓的方程的另一種形式.教師板書課題:圓的一般方程.推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題

①前一章我們研究直線方程用的什么順序和方法? ②這里我們研究圓的方程是否也能類比研究直線方程的順序和方法呢? 22③給出式子x+y+Dx+Ey+F=0,請(qǐng)你利用配方法化成不含x和y的一次項(xiàng)的式子.2222222④把式子(x－a)＋(y－b)=r與x+y+Dx+Ey+F=0配方后的式子比較,得出x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的條件.⑤對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程作一比較,看各自有什么特點(diǎn)? 討論結(jié)果：①以前學(xué)習(xí)過(guò)直線,我們首先學(xué)習(xí)了直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式,最后學(xué)習(xí)一般式.大家知道,我們認(rèn)識(shí)一般的東西,總是從特殊入手.如探求直線方程的一般形式就是通過(guò)把特殊的公式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、…)展開(kāi)整理而得到的.②我們想求圓的一般方程,可仿照直線方程試一試！我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,把標(biāo)準(zhǔn)形式展開(kāi),整理得到,也是從特殊到一般.D2E2D2?E2?4F③把式子x+y+Dx+Ey+F=0配方得(x+)+(y+)=.22422④(x－a)＋(y－b)=r中,r＞0時(shí)表示圓,r=0時(shí)表示點(diǎn)(a,b),r＜0時(shí)不表示任何圖形.222D2E2D2?E2?4F因此式子(x+)+(y+)=.224DE1,-)為圓心,D2?E2?4F為半徑的圓； 222DDEE22(ⅱ)當(dāng)D+E-4F=0時(shí),方程只有實(shí)數(shù)解x=-,y=-,即只表示一個(gè)點(diǎn)(-,-);

2222(ⅰ)當(dāng)D+E-4F＞0時(shí),表示以(-22(ⅲ)當(dāng)D+E-4F＜0時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解,因而它不表示任何圖形.22 綜上所述,方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,由此得到圓的方程都能寫成222222x+y+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有當(dāng)D+E-4F＞

22220時(shí),它表示的曲線才是圓.因此x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是D+E-4F＞0.22 我們把形如x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的方程稱為圓的一般方程.⑤圓的一般方程形式上的特點(diǎn): 22 x和y的系數(shù)相同,不等于0.沒(méi)有xy這樣的二次項(xiàng).圓的一般方程中有三個(gè)待定的系數(shù)D、E、F,因此只要求出這三個(gè)系數(shù),圓的方程就確定22了.與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小,幾何特征較明顯.應(yīng)用示例

思路1

例1 判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是,請(qǐng)求出圓的圓心及半徑.22(1)4x+4y-4x+12y+9=0;22(2)4x+4y-4x+12y+11=0.解:(1)由4x+4y-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=而D+E-4F=1+9-9=1＞0, 所以方程4x+4y-4x+12y+9=0表示圓的方程,其圓心坐標(biāo)為((2)由4x+4y-4x+12y+11=0,得 D=-1,E=3,F=22222222

29, 4131,-),半徑為； 2221122,D+E-4F=1+9-11=-1＜0, 42所以方程4x+4y-4x+12y+11=0不表示圓的方程.2222點(diǎn)評(píng):對(duì)于形如Ax+By+Dx+Ey+F=0的方程判斷其方程是否表示圓,要化為x+y+Dx+Ey+F=022的形式,再利用條件D+E-4F與0的大小判斷,不能直接套用.另外,直接配方也可以判斷.變式訓(xùn)練

求下列圓的半徑和圓心坐標(biāo)：

2222(1)x+y-8x+6y=0;(2)x+y+2by=0.22222解:(1)把x+y-8x+6y=0配方,得(x－4)＋(y+3)=5,所以圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5；

22222(2)x+y+2by=0配方,得x＋(y+b)=b,所以圓心坐標(biāo)為(0,-b),半徑為|b|.例2 求過(guò)三點(diǎn)O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圓的方程,并求圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo).22解:方法一：設(shè)所求圓的方程為x+y+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圓上,則有

?F?0.? ?D?E?F?2?0,?4D?2E?F?20?0.?解得D=-8,E=6,F=0, 22222故所求圓的方程為x+y-8x+6y=0,即(x－4)＋(y+3)=5.所以圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5.方法二：先求出OM1的中點(diǎn)E（1153,),M1M2的中點(diǎn)F(,), 222211再寫出OM1的垂直平分線PE的直線方程y-=-(x-), ①

2235AB的垂直平分線PF的直線方程y-=-3(x-)，22②

?x?y?1,?x?4,聯(lián)立①②得?得?則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,-3),即為圓心.OP=5為半徑.3x?y?9,y??3.??方法三：設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為P(a,b),根據(jù)圓的性質(zhì)可得|OP|=|AP|=|BP|, 222222即x+y=(x-1)+(y-1)=(x-4)+(y-2),解之得P(4,-3),OP=5為半徑.方法四：設(shè)所求圓的方程為(x－a)＋(y－b)=r,因?yàn)镺(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圓上,所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程,可以得到關(guān)于a、b、r的方程組,即

222?(1?a)2?(1?b)2?r2,?222 ?a?b?r,?(4?a)2?(2?b)2?r2.??a?4,?222解此方程組得?b??3,所以所求圓的方程為(x－4)＋(y+3)=5,圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為?r?5.?5.點(diǎn)評(píng)：請(qǐng)同學(xué)們比較,關(guān)于何時(shí)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,何時(shí)設(shè)圓的一般方程.一般說(shuō)來(lái),如果由已知條件容易求圓心的坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問(wèn)題,往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件和圓心坐標(biāo)或半徑都無(wú)直接關(guān)系,往往設(shè)圓的一般方程.22例3 已知點(diǎn)P(10,0),Q為圓x+y=16上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)Q在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程.活動(dòng):學(xué)生回想求曲線方程的方法與步驟,思考討論,教師適時(shí)點(diǎn)撥提示,本題可利用平面幾何的知識(shí),見(jiàn)中點(diǎn)作中線,利用中線定長(zhǎng)可得方程,再就是利用求曲線方程的辦法來(lái)求.圖1 解法一:如圖1,作MN∥OQ交x軸于N, 則N為OP的中點(diǎn),即N(5,0).因?yàn)閨MN|=1|OQ|=2(定長(zhǎng)).2

22所以所求點(diǎn)M的軌跡方程為(x-5)+y=4.點(diǎn)評(píng):用直接法求軌跡方程的關(guān)鍵在于找出軌跡上的點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件,然后再將條件代數(shù)化.但在許多問(wèn)題中,動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件較為隱蔽復(fù)雜,將它翻譯成代數(shù)語(yǔ)言時(shí)也有困難,這就需要我們探討求軌跡問(wèn)題的新方法.轉(zhuǎn)移法就是一種很重要的方法.用轉(zhuǎn)移法求軌跡方程時(shí),首先分析軌跡上的動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)情況,探求它是由什么樣的點(diǎn)控制的.解法二:設(shè)M(x,y)為所求軌跡上任意一點(diǎn)Q(x0,y0).?10?x0x?,????x0?2x?10.2因?yàn)镸是PQ的中點(diǎn),所以?(*)即??y?0?y0,??y0?2y.?2?又因?yàn)镼(x0,y0)在圓x+y=16上,所以x0+y0=16.將(*)代入得

22(2x-10)+(2y)=16.22故所求的軌跡方程為(x-5)+y=4.點(diǎn)評(píng):相關(guān)點(diǎn)法步驟:①設(shè)被動(dòng)點(diǎn)M(x,y),主動(dòng)點(diǎn)Q(x0,y0).2

2②求出點(diǎn)M與點(diǎn)Q坐標(biāo)間的關(guān)系???x?f1(x0,y0),(Ⅰ)

??y?f2(x0,y0).)

中

解

出③從(Ⅰ

??x0?g1(x,y), ???y0?g2(x,y).(Ⅱ)④將(Ⅱ)代入主動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程(已知曲線的方程),化簡(jiǎn)得被動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.這種求軌跡方程的方法也叫相關(guān)點(diǎn)法,以后要注意運(yùn)用.變式訓(xùn)練 已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓(x+1)+y=4上運(yùn)動(dòng),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y), 點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x0,y0).由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)且M是線段AB的中點(diǎn),所以x=

x0?4y?3,y=0.于是有22x0=2x-4,y0=2y-3.①

222222因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x+1)+y=4上運(yùn)動(dòng),所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程(x+1)+y=4,即(x0+1)+y0=4.② 把①代入②,得(2x-4+1)+(2y-3)=4,整理,得(x-所以點(diǎn)M的軌跡是以（2

3232)+(y-)=1.2233,)為圓心,半徑長(zhǎng)為1的圓.22思路2

2222例1 求圓心在直線l：x+y=0上,且過(guò)兩圓C1:x+y-2x+10y-24=0和C2:x+y+2x+2y-8=0的交點(diǎn)的圓的方程.活動(dòng):學(xué)生審題,教師引導(dǎo),強(qiáng)調(diào)應(yīng)注意的問(wèn)題,根據(jù)題目特點(diǎn)分析解題思路,確定解題方法.由于兩圓的交點(diǎn)可求,圓心在一直線上,所以應(yīng)先求交點(diǎn)再設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.22??x?y?2x?10y?24?0,解:解兩圓方程組成的方程組?2得兩圓交點(diǎn)為(0,2),(-4,0).2??x?y?2x?2y?8?0.設(shè)所求圓的方程為(x-a)+(y-b)=r,因?yàn)閮牲c(diǎn)在所求圓上,且圓心在直線l上,所以得方程組

222?(?4?a)2?b2?r2,?222?a?(2?b)?r, ?a?b?0.?解得a=-3,b=3,r=10.故所求圓的方程為(x+3)+(y-3)=10.2

2點(diǎn)評(píng)：由已知條件容易求圓心坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問(wèn)題,往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.例2 已知圓在x軸上的截距分別為1和3,在y軸上的截距為-1,求該圓的方程.解法一:利用圓的一般方程.22設(shè)所求的圓的方程為x+y+Dx+Ey+F=0,由已知,該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),(3,0)和(0,-1),則有?1?D?F?0,?222?3?3D?F?0，解之得D=-4,E=4,F=3.故所求圓的方程為x+y-4x+4y+3=0.?(?1)2?E?F?0.?解法二:利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.由題意該圓經(jīng)過(guò)P(1,0),Q(3,0),R(-1,0), 222設(shè)圓的方程為(x-a)+(y-b)=r,則圓心C(a,b)在PQ的垂直平分線上,故a=2.22因?yàn)閨PC|=|RC|,所以(a?1)?b?a2?(b?1)2.將a=2代入,得b=-2,所以C(2,-2).22而r=|PC|=5,故所求圓的方程為(x-2)+(y+2)=5.例3 試求圓C:x+y-x+2y=0關(guān)于直線l:x-y+1=0對(duì)稱的曲線C′的方程.活動(dòng)：學(xué)生先思考,然后解答,教師引導(dǎo)學(xué)生抓住本質(zhì)的東西,即圓的圓心坐標(biāo)變化、半徑不變,另外可利用相關(guān)點(diǎn)法來(lái)求.解法一:設(shè)P′(x,y)為所求曲線C′上任意一點(diǎn),P′關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為P(x0,y0),則P(x0,y0)在圓C上.22由題意可得

?x?x0y?y0??1?0,?2?2??y?y0?1??1,??x?x0解得

??x0?y?1, ???y0?x?1.(*)

22因?yàn)镻(x0,y0)在圓C上,所以x0+y0-x0+2y0=0.將(*)代入

22得(y-1)+(x+1)-(y-1)+2(x+1)=0, 22化簡(jiǎn)得x+y+4x-3y+5=0,即為C′的方程.解法二:(特殊對(duì)稱)圓C關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形仍然是圓,且半徑不變,故只需求圓心C′,即13,-1)關(guān)于直線l:x-y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)C′(-2,),因此所求圓C′的方程為223252(x+2)+(y-)=.24求(點(diǎn)評(píng)：比較解法一與解法二看出,利用幾何性質(zhì)解題往往較簡(jiǎn)單.知能訓(xùn)練

課本練習(xí)1、2、3.拓展提升

22問(wèn)題：已知圓x+y-x-8y+m=0與直線x+2y-6=0相交于P、Q兩點(diǎn),定點(diǎn)R(1,1),若PR⊥QR,求實(shí)數(shù)m的值.解:設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2), 22??x?y?x?8y?m?0,2由?消去y得5x+4m-60=0.① ??x?2y?6?0.由題意,方程①有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,所以60-4m＞0,m＜15.?x1?x2?0,?由韋達(dá)定理? 4?x1x2?m?12.5?因?yàn)镻R⊥QR,所以kPRkQR=-1.所以即② 因?yàn)閥1=3-

y1?1y2?1=-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0, ?x1?1x2?1x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0.x1xxxxxxx3,y2=3?2,所以y1y2=(3-1)(3?2)=9-(x1+x2)+12=9+12，2224422554x1x2+5=0,即(m-12)+5=0.445y1+y2=6,代入②得所以m=10,適合m＜15.所以實(shí)數(shù)m的值為10.課堂小結(jié)

22221.任何一個(gè)圓的方程都可以寫成x+y+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有D+E-4F＞0時(shí),方程表示圓心為(-r=

2DE,-),半徑為

2212D2?E2?4F的圓.2.求圓的方程,應(yīng)根據(jù)條件特點(diǎn)選擇合適的方程形式：若條件與圓心、半徑有關(guān),則宜用標(biāo)準(zhǔn)方程；若條件主要是圓所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo),則宜用一般方程.3.要畫出圓的圖像,必須要知道圓心坐標(biāo)和半徑,因此應(yīng)掌握利用配方法將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程的方法.作業(yè)

習(xí)題4.1 A組1、6,B組1、2、3.設(shè)計(jì)感想

這是一節(jié)介紹新知識(shí)的課,而且這節(jié)課還非常有利于展現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程.因此,在設(shè)計(jì)這節(jié)課時(shí),力求“過(guò)程、結(jié)論并重；知識(shí)、能力、思想方法并重”.在展現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程中,盡量避免學(xué)生被動(dòng)接受,引導(dǎo)學(xué)生探索,重視探索過(guò)程.一方面,把直線一般方程探求過(guò)程進(jìn)行回顧、類比,學(xué)生從中領(lǐng)會(huì)探求方法；另一方面,“把標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi)→認(rèn)識(shí)一般方程”這一過(guò)程充分運(yùn)用了“通過(guò)特殊認(rèn)識(shí)一般”的科學(xué)思想方法.同時(shí),通過(guò)

22類比進(jìn)行條件的探求——“D+E－4F”與“Δ”(判別式)類比.在整個(gè)探求過(guò)程中充分利用了“舊知識(shí)”及“舊知識(shí)的形成過(guò)程”,并用它探求新知識(shí).這樣的過(guò)程,既是學(xué)生獲得新知識(shí)的過(guò)程,更是培養(yǎng)學(xué)生能力的過(guò)程.