第一篇：專題：線段的和差問題

專題：線段和差問題

線 段 的 和 差 問 題

幾何中有許多題目要證明一線段等于另兩線段的和（或差），解決這類問題常用的方法大體有五種，即，利用等量線段代換、截短法、接長法、利用面積證明、旋轉等五種。

一、利用等量線段代換：證一線段等于另兩線段的和（或差），只需證這條全線段的兩部分，分別等于較短的兩條線段，問題就解決了。

例1 已知：已知：如圖，在△ABC中，∠B和∠C的角平分線BD、CD相交于一點D，過D點作EF∥BC交AB與點E，交AC與點F。求證：EF=BE+CF

例2 已知：如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB相鄰外角∠ACG的平分線相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F.求證：EF=BE-CF.AEFDB

CG

二、截長法（在第三條線段上截取一段等于第一條線段，然后證明余下的線段等于第二條線段）

三、補短法（延長一條線段，作出兩條線段的和，然后證明這條線段等于第三條線段）

專題：線段和差問題

例3 如圖所示，已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC.四、旋轉法：通過旋轉變換，而得全等三角形是解決正方形中有關題目類型的一種技巧。

例4 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=45°，求證：EF=BE+FD

專題：線段和差問題

五、等積變換法：利用三角形的面積進行證明。

例5 已知:如圖，已知在△ABC中，AB=AC，BD為AC邊上的高，如果在BC上取一點F，過F作FG⊥AB于G，作FH⊥AC于H.求證：FG+FH=BD.練習：

1、已知：如圖，△ABC中，∠BAC=90o，AB=AC，AE是過點A的一條直線且B，C在AE的異側，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求證：BD=DE+CE.ADBCE

2、如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于 D．求證：AD+BC=AB． 專題：線段和差問題

3、如圖，已知在△ABC中，∠BAC為直角，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于E．求證CE=1/2 BD

4、已知:如圖，在△ABC中，∠A=90o，D是AC上一點，BD=CD，P是BC上任一點，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F.求證：PE+PF=AB.

第二篇：“截長補短法”證明線段的和差問題

“截長補短法”證明線段的和差問題典例分析 河大附中 桑靜華

線段的和差問題常常借助于全等三角形的對應邊相等,將不在一條直線的兩條（或幾條）線段轉化到同一直線上．實際上是通過翻折構造全等三角形,目的是為了轉移的邊、角和已知條件中的邊、角有機的結合在一起．在無法進行直接證明的情形下，利用“截長補短”作輔助線的方法常可使思路豁然開朗，問題迎刃而解。CED例

1、如圖，已知AC∥BD、EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E，則AB與AC+BD?相等嗎？請說明理由．

A

B 分析：證明一條線段等于另兩條線段之和（差）常見的方法是：

（1）在長線段上截取一條線段等于短線段，再證明余下的線段等于另一條短 線段，這種方法叫“截長法”

（2）在其中一條短線段的延長線上截取另一條短線段，再證明它們與長線段相等，這種方法叫“補短法”．

FCEDC5E6D1A25634F(1)BA1234

證法一：如圖（1）在AB上截取AF=AC，連結EF． 在△ACE和△AFE中

(2)B ?AC?AF ???1??2

??AE?AE ∴△ACE≌△AFE（SAS）

∵,∴,又,∴∠6=∠D 在△EFB和△BDE中

???6??D??3??4 ??BE?BE ∴△EFB≌△EDB（AAS）∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB 證法二：如圖（2），延長BE，與AC的延長線相交于點F ∵ ∴?F??4,又∵?3??4 ∴∠F=∠3 在△AEF和△AEB中

??F?? ?3??1??2

??AE?AE ∴△AEF≌△AEB（AAS）, ∴AB=AF，BE=FE 在△BED和△FEC中

???5??6?BE?FE ???4??F ∴△BED≌△FEC（ASA）∴BD=FC, ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD． 例

2、如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，A ∠BAC的平分線交BC于D，求證：AB+BD=AC．

分析1： 因為∠B=2∠C，所以AC＞AB，可以在AC上取一點E，使得AB=AE，B

D 構造△ABD≌△AED，把AB邊轉移到AE上，BD轉移到DE上，要證AB+BD=AC． 即可轉化為證AE+BD=AE+EC，即證明BD=EC．

C

證明：在AC上取一點E，使AB=AE，連結DE．

在△ABD和△AED中，?AB?AE???BAD??DAE ?AD?AD?A

∴△ABD≌△AED（SAS）．

∴ BD=DE，∠B=∠AED．

又∠AED=∠EDC+∠C=∠B=2∠C，B

∴ ∠EDC=∠C．

∴ ED=EC．

∴ AB+BD=AC． 分析2： 因為∠B=2∠C，所以AB＜AC，可以在AB的延長線上取一點E，使得AE=AC，構造△AED≌△ACD，把AC邊轉移到AE上，DC轉移到DE上，要證AB+BD=AC． 即可轉化為證AB+BD=AB+BE，即證明BD=BE． B 證明：在AB的延長線上取一點E，使AC=AE，連結DE． 在△AED和△ACD中，?AE?AC???BAD??DAC

?AD?AD?E

E

D C

A

D C

∴ △AED≌△ACD（SAS）．∴∠C=∠E．

又∠ABC=∠E+∠BDE=2∠C=2∠BDE，∴ ∠E=∠BDE．∴ BE=BD．

∴ AB+BD=AE＝AC． A 分析3：若延長DB到點E，使得AB=BE，有AB+BD=ED，只要證出ED=AC即可． 證明：延長DB到點E，使AB=BE，連結AE，E B D 則有∠EAB=∠E，∠ABC=∠E+∠EAB=2∠E．

又∠ABC=2∠C，∴ ∠E＝∠C． ∴ AE=AC．

又∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠E+∠DAC=∠C+ ∠DAC=∠ADE，C ∴ AE=DE．

∴ AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC．

學以致用：

1、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求證：∠BAD+∠BCD=180°

ADB

C

第三篇：初一數(shù)學教案 線段的和差

第二課時

一、教學目標

1、理解兩點間距離的感念和線段中點的感念及表示方法

2、學會線段中點的簡單應用

3、借助具體情境，了解“兩點間線段最短”這一性質，并學會簡單應用

4、培養(yǎng)學生交流合作的意識，進一步提高觀察、分析和抽象的能力

二、教學重點

線段中點的感念及表示方法

三、教學難點 線段中點的應用

四、學用具： 投影片、刻度尺

五、學過程：

（一）習回顧：線段長短比較的兩種方法

（二）感念分析

1、線段性質和兩點間距離 “想一想”

出示課本圖片，從上面的兩個事例中，你能發(fā)現(xiàn)有什么共同之處？（可讓學生稍作討論后回答）學生：選擇直路，路程較短

讓學生在黑板上畫出圖7-18（見課本），從A到B的幾種路線，并用紅色粉筆標出最短的路線

教師：你是怎樣比較出最短的路線的？ 學生：利用觀察、測量 根據(jù)學生的畫圖，師生共同總結出線段的性質： “兩點之間的所有連線中，線段最短”

兩點之間的距離：兩點之間的線段的長度叫做這兩點之間的距離。要強調兩點之間的線段的長度叫兩點間的距離，而不是兩點間的線段，線段是圖形，線段的長度是數(shù)值。

教師：“兩點間線段最短”的性質在實際生活中應用較廣，你能否舉一些例子？

學生：從A到B架電線，總是盡可能沿著線段AB架設等。

2、線段的中點

請按下面的步驟操作：（學生做）①

在一張透明紙上畫一條線段AB ②

對折這張紙，使線段AB的兩個端點重合 ③

把紙展開鋪平，標明折痕點C

如圖1：

ACB

教師：線段AC和線段BC相等嗎？你可以用是么方法去說明？ 學生1：相等。用刻度尺測出它們的長度，再比較 學生2：相等。用圓規(guī)測量比較

教師：象圖1這樣，點C把線段AB分成相等的兩條線段AC與BC，點C叫做線段AB的中點。用幾何語言表示：

AC=BC=1/2AB（或AB=2AC=2BC）

教師：剛才用折紙的方法找出AB的中點C，你還能通過什么方法得到中點C呢？ 學生：用刻度尺去量出AB的長，再除以2，就得到點C（讓學生板演）填空：如圖2 已知點是線段的中點，點是線段的中點，ADCB

（1）AB=＿＿ BC

（2）BC= ＿＿ AD（3）BD=_____AD “想一想”如圖3，點P是線段的中點，點C、D把線段AB三等分。已知線段CP的長為1.5cm，求線段AB的長。如圖3：

ACPDB

可讓學生討論后再作答（教師可作如下分析：如果能得到線段CP與線段AB之間的長度比，就能求出線段AB的長。）由學生回答，教師板書完成。

解：∵

點P把線段二等分，∴

AP=PB=1/2AB ∵

點C、D把線段AB三等分，∴

AC=CD=DB=1/3AB ∴

AP－AC=1/2AB－1/3AB=1/6AB, 即

CP=1/6AB ∴

AB=6CP=6×1.5=9cm

即AB的長為9cm 課內練習P172 1、2及 P17

談談收獲：①

兩點間距離的感念

②

線段的性質“兩點間線段最短”及應用

③

線段的中點的感念及簡單的應用 作業(yè)： 板書：

1、線段的性質：

例解：

2、兩點之間的距離：

3、線段的中點：

（板演處）

第四篇：和差問題

和差問題

志向是天才的幼苗，經過熱愛勞動的雙手培育，在沃土里將成長為粗壯的大樹，不熱愛勞動，不進行自我教育，志向這根幼苗也會連根枯死。———書霍姆林斯基

方法：畫線段圖。

公式：大數(shù)=（和+差）÷2小數(shù)=（和和—差）÷2

例

1、把一條長100米的繩子剪成兩段，第二段比第一段長16米。第一段長多少米? 例

2、今年小強7歲，爸爸35歲，當兩人年齡和是58歲時，爸爸多少歲？

例

3、紅紅期末測試語文和數(shù)學的平均分是94分，數(shù)學比語文多8分，語文得多少分? 例

4、甲、乙兩校共有學生864人，為了執(zhí)行教育局規(guī)定照顧學生就進入學，從甲校調入

乙校32人，這樣甲校就比乙校多48人。甲校原來有多少人/

例

5、四個人年齡之和是88歲，最小是3歲，他與最大年齡之和比另外兩個人年齡之和大

8歲，最大年齡是多少歲？

例

6、有灰兔、白兔、和黑兔若干只。白兔和灰兔關在一起共有10只，灰兔和黑兔關在一

起共有7只，黑兔和白兔關在一起共有5只，黑兔有多少支？

練習

1、期終考試王平和李揚語文成績的總和是188分，李揚比王平少4分，李揚考了多少分/

2、小寧和小慧身高總和是264厘米，已知小寧比小慧矮8厘米，小慧身高多少厘米？

3、父親今年44歲，兒子今年8歲，當兩人年齡和是60歲時，父親有多少歲？

4、

第五篇：和差問題

和差問題

教學目標：

1、通過直觀演示的教學，讓學生理解和差問題的特點及其解題思路，學會解決身邊的數(shù)學問題。

2、了解數(shù)學在現(xiàn)實生活中的作用，體會學習數(shù)學的重要性.教學重點：

讓學生通過直觀演示，合作探究，掌握和差問題的特點及其解題思路。教學難點：

理解和差問題的解題思路。教學過程：

一、談話引入

我們在小學中學習了和差問題，誰能說一說什么是和差問題嗎？

二、典型例題

例1：小寧和小芳的年齡和是28歲，小寧比小芳大2歲，小芳今年幾歲？小寧今年幾歲？

1.學生讀題，思考。2.指定學生畫圖分析。

師：據(jù)圖所知：如果小芳增加2歲，年齡和也增加2；即28+2=30歲，30歲相當于2個小寧的年齡，因此小寧： 30 ÷2=15（歲）小芳： 15-2=13（歲）。

師：剛才我們把小芳的年齡增加了2歲，那我們能否把小寧地年齡減少2歲呢？

師：據(jù)圖所知：如果小芳減少2歲，年齡和也減少2；即28-2=26歲，26歲相當于2個小芳的年齡，因此，小芳： 26 ÷2=13（歲）；小寧： 13+2=15（歲）師：我們一起來總結一下解題方法。

1）已知兩個數(shù)的和與它們的差，求兩個數(shù)各是多少的應用題叫做和差應用題。2）解答方法：

方法一：可以假設小數(shù)增加到與大數(shù)同樣多，先求大數(shù)再求小數(shù)。方法二：假設大數(shù)減少到與小數(shù)同樣多，先求出小數(shù)再求出大數(shù)。3）數(shù)量關系：（和+差）÷2=大數(shù)（和-差）÷2=小數(shù)

例2： 小王、小張共買了20本書，如果小王給小張6本書那么小王就比小張少2本書。問：小王、小張各買了多少本書？

師：根據(jù)“小王、小張共買了20本書”，你們知道了什么？ 生：知道了“和”

師：根據(jù)“小王給小張6本書那么小王就比小張少2 本書”，請問小王比小張多了多少本？先看PPT的演示。生：小王比小張多10本。

師：現(xiàn)在請同學們開始根據(jù)分析解題。解： 6+6-2=10（本）小王：（20+10）÷2=15（本）小張： 20-15=5（本）

答：小王買書15本，小張買書5本。三．鞏固練習

(1)甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？(2)長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。(3)甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？

（4）甲乙兩車發(fā)車時共有乘客75人，到某站時甲車增加12人，乙車減少17人，此時兩車乘客人數(shù)恰好相等，兩車發(fā)車時車上各有乘客多少人？

5、甲、乙兩筐香蕉共64千克，從甲筐里取出5千克放到乙筐里去，結果甲筐的香蕉比乙筐的香蕉多2千克。甲、乙兩筐原有香蕉各有多少千克？

6、甲乙兩船共載客623人,若甲船增加34人,乙船減少57人,這時兩船乘客同樣多,甲船原有乘客多少人？

和倍問題

教學目標：

1、通過復習，讓學生理解和倍問題的特點及其解題思路，學會解決身邊的數(shù)學問題。

2、了解數(shù)學在現(xiàn)實生活中的作用，體會學習數(shù)學的重要性.教學重點：

讓學生掌握和倍問題的特點及其解題思路。教學難點：

理解和倍問題的解題思路。教學過程：

一、復習舊知，引入問題。根據(jù)題意寫出關系式。

（1）白兔的只數(shù)是灰兔的4/5（2）美術小組的人數(shù)是航模小組的 1/4（3）小明的體重是爸爸的7/15（4）男生人數(shù)是女生的一半。

二、典型例題

二、探究交流解決問題。1.出示例題6

1、六（1）班參加籃球比賽，全場得了42分。下半場得分是上半場的一半，上半場和下半場各得多少分？

2.提問 ：從題目中獲得了哪些信息？

3.閱讀與理解、重點分析：下半場得分是上半場的一半，“這句話（上半場得分× ＝下半場的得分或下半場的得分×２＝上半場的得分）。” 4.解答例題。（1）畫線段圖，學生理解等量關系。

（2）對照板演的同學，檢查自己的線段圖有什么不足。（3）提問：根據(jù)題意，題中數(shù)量間有怎樣的等量關系？

學生回答，教師板書：

上半場的得分＋下半場的得分＝比賽的總得分。

上半場得分× 1/2 ＝下半場的得分 下半場的得分×２＝上半場的得分（4）學生嘗試列方程解答。

解：設上半場得ｘ分 解：設下半場得ｘ分 X＋ Ｘ=42 2Ｘ＋Ｘ=42 42÷（2+1）=14

【含義】 已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做和倍問題。

【數(shù)量關系】 總和 ÷（幾倍＋1）＝較小的數(shù)

總和 － 較小的數(shù) ＝ 較大的數(shù)

較小的數(shù) ×幾倍 ＝ 較大的數(shù)

【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。也可以利用比例的方法進行練習，還可以列方程解答。

三、課堂練習：

1、商店有洗衣機和冰箱共40臺，洗衣機的臺數(shù)是冰箱的 2/3，洗衣機和冰箱各有多少臺？

2、李明爸爸媽媽每月的總收入是8000元，媽媽的收入是爸爸的3/5，李明爸爸媽媽的月收入分別是多少元？

3、果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？

4、東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？

5、甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？

6、修一條公路，已修的長度是未修的 3/4，已修的長度比未修的少50千米，這條路共有多少千米？

7、公園里有樟樹和柳樹共420棵，樟樹比柳樹少 1/4，樟樹和柳樹各有多少棵？

差倍問題

教學目標：

1、通過復習，讓學生理解差倍問題的特點及其解題思路，學會解決身邊的數(shù)學問題。

2、了解數(shù)學在現(xiàn)實生活中的作用，體會學習數(shù)學的重要性.教學重點：

讓學生掌握差倍問題的特點及其解題思路。教學難點：

理解差倍問題的解題思路。教學過程：

1、已知兩個數(shù)量的和（或差）與它們的倍數(shù)關系，求這兩個數(shù)量。關鍵找出1倍數(shù)量（或說單位1），畫線段圖表示題意。

【含義】 已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做差倍問題。

【數(shù)量關系】 兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）＝較小的數(shù) 較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)

【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式、方程或者比例解決問題。典型例題

1.一張課桌比一把椅子貴10元，如果椅子的單價是課桌單價的3/5，課桌和椅子的單價各是多少元？

2.某班男女生人數(shù)的比是4：5，已知女生比男生多5人，男生和女生各多少人？全班多少人？

1、學生說思路

2、指名匯報

3、集體講解。

4、小結方法。

鞏固練習(1)果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？

(2)爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？

(3)商場改革經營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？

4、一根繩子長48米，截成甲、乙兩段，其中乙段繩子長度是甲段繩子的3/5。甲、乙兩繩各長多少米？

5、一套桌椅的價格是78元，其中椅子的價格是桌子價格的3/10。桌子和椅子的價格各是多少元？

6、體育館內排球的個數(shù)是籃球的3/4，籃球比排球多6個?；@球和排球各有多少個？

7、一張課桌比一把椅子貴10元，如果椅子的單價是課桌單價的6/10，課桌和椅子的單價各是多少元？

8、六一班男生比女生多6人，已知男生女生人數(shù)之比為5:4，男女各有多少人，全班有多少人？（多種方法解決）