第一篇：期末復(fù)習(xí)教案-二次函數(shù)(北師大版 九年級(jí)下)

二次函數(shù)復(fù)習(xí)學(xué)案

【【知識(shí)梳理】

1.定義：一般地，如果，（是常數(shù)，的二次函數(shù).2.二次函數(shù)

用配方法可化成：的形式，其中，那么

叫做

.3.拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).①的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.②平行于軸（或重合）的直線記作

.特別地，軸記作直線

.時(shí)，開(kāi)口 ；當(dāng)

時(shí)，開(kāi)口 ；

4.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.5.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

（1）公式法：，∴頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線.的形式，（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱軸是直線

.（3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.6.拋物線

中，的作用

中的完全一樣.的對(duì)稱軸是直（1）決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與（2）和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線線，故：①時(shí)，對(duì)稱軸為軸；②（即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在 1

軸左側(cè)；③（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在與

軸右側(cè).（3）的大小決定拋物線 當(dāng)①軸.時(shí)，∴拋物線,與

軸交點(diǎn)的位置.與

軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）：,與

軸交于負(fù)半，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn);②軸交于正半軸；③ 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在7.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：（2）頂點(diǎn)式：

軸右側(cè)，則..已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式..已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.、，通常選用交點(diǎn)式：（3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

.12.直線與拋物線的交點(diǎn)（1）（2）與(,軸與拋物線軸平行的直線).得交點(diǎn)為(0,).與拋物線

有且只有一個(gè)交點(diǎn)（3）拋物線與軸的交點(diǎn) 二次函數(shù)次方程程的根的判別式判定：

①有兩個(gè)交點(diǎn)

拋物線與軸相交；

拋物線與軸相切； 的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方 ②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）③沒(méi)有交點(diǎn)

拋物線與軸相離.（4）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相 2

等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是（5）一次函數(shù)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組與與的解的數(shù)目來(lái)確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)

與

只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)沒(méi)有交點(diǎn).（6）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線，由于、是方程的兩個(gè)根，故

與軸兩交點(diǎn)為

【能力訓(xùn)練】

1．二次函數(shù)y=－x＋6x－5，當(dāng) 時(shí)，2.拋物線A．

B．

2，且隨的增大而減小。的值為（）D．

． 的頂點(diǎn)坐標(biāo)在第三象限，則

C．3．拋物線y=x2－2x＋3的對(duì)稱軸是直線（）

A．x =2

B．x =－2 C．x =－1 D．x =1

4． 二次函數(shù)y=x2+2x－7的函數(shù)值是8，那么對(duì)應(yīng)的x的值是（）

A．3

B．5

C．－3和5 D．3和－5

5．拋物線y=x2－x的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

6．二次函數(shù)大小關(guān)系是（）的圖象，如圖1－2－40所示，根據(jù)圖象可得a、b、c與0的 3

A．a(chǎn)＞0，b＜0，c＜0

B．a(chǎn)＞0，b＞0，c＞0

C．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜0 D．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0

7．小敏在今年的校運(yùn)動(dòng)會(huì)跳遠(yuǎn)比賽中跳出了滿意一跳，函數(shù)h=3．5 t－4．9 t2(t的單位s；h中的單位：m）可以描述他跳躍時(shí)重心高度的變化．如圖，則他起跳后到重心最高時(shí)所用的時(shí)間是（）

A．0．71s

B．0.70s C．0.63s

D．0．36s 8．已知拋物線的解析式為y=－（x—2）2＋l，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A．（－2，1）B．（2，l）C．（2，－1）D．（1，2）

9．若二次函數(shù)y=x2－x與y=－x2+k的圖象的頂點(diǎn)重合，則下列結(jié)論不正確的是（）

A．這兩個(gè)函數(shù)圖象有相同的對(duì)稱軸

B．這兩個(gè)函數(shù)圖象的開(kāi)口方向相反

C．方程－x2+k=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根

D．二次函數(shù)y=－x2＋k的最大值為

10．拋物線y=x2 +2x－3與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（）

A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)

11．拋物線y=（x—l）2 +2的對(duì)稱軸是（）

A．直線x=－1 B．直線x=1 C．直線x=2 D．直線x=2 12．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則在“①

a＜0，②b＞0，③c＜ 0，④b2－4ac＞0”中，正確的判斷是（）

A、①②③④

B、④

C、①②③

D、①④ 13．已知二次函數(shù)

(a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①a、b同號(hào)；②當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=－2時(shí)，x的值只能取0．其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A．l個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

14．如圖，拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，－3），則此拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)有（）

A．最大值1

B．最小值－3

C．最大值－3

D．最小值1

15．用列表法畫(huà)二次函數(shù)的圖象時(shí)先列一個(gè)表，當(dāng)表中對(duì)自變量x的值

以相等間隔的值增加時(shí)，函數(shù)y所對(duì)應(yīng)的值依次為：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一個(gè)值不正確，這個(gè)不正確的值是（）

A．506

B．380

C．274

D．182

16．將二次函數(shù)y=x2－4x+ 6化為 y=(x—h)2+k的形式：y=___________

17．把二次函數(shù)y=x2－4x+5化成y=(x—h)2+k的形式：y=___________

18．若二次函數(shù)y=x2－4x+c的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，其中c為整數(shù)，則c=__ _________________（只要求寫(xiě)一個(gè)）．

19．拋物線y=(x－1)2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是____________．

20．二次函數(shù)y=x2－2x－3與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為_(kāi)________.21.已知拋物線y=ax+bx+c經(jīng)過(guò)A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三點(diǎn)，（1）

求拋物線的解析式和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，并在給定的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這條拋物線。（2）

若點(diǎn)（x0,y0）在拋物線上，且0≤x0≤4,試寫(xiě)出y0的取值范圍。

22．華聯(lián)商場(chǎng)以每件30元購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)每天的銷售量銷售價(jià)（元）滿足一次函數(shù)y=162－3x；（1）寫(xiě)出商場(chǎng)每天的銷售利潤(rùn)為多少？

23．某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過(guò)程．下面的二次函數(shù)圖像（部分）刻畫(huà)了該公司年初以來(lái)累積利潤(rùn)s（萬(wàn)元）與銷售時(shí)間t（月）之間的關(guān)系（即前t個(gè)月的利潤(rùn)總和s與t之間的關(guān)系）．

根據(jù)圖像提供的信息，解答下列問(wèn)題：

（1）求累積利潤(rùn)s（萬(wàn)元）與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求截止到幾月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)到30萬(wàn)元；

（3）求第8個(gè)月公司所獲利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

（元）與每件的銷售價(jià)（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果商場(chǎng)要想獲得最大利潤(rùn)，每件商品的銷售價(jià)定為多少為最合適？最大銷售利潤(rùn)

（件）與每件的

24．如圖，有一座拋物線型拱橋，在正常水位時(shí)水面AB的寬是20米，如果水位上升3米時(shí)，水面CD的寬為10米，（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的解析式；

（2）現(xiàn)有一輛載有救援物質(zhì)的貨車從甲地出發(fā)，要經(jīng)過(guò)此橋開(kāi)往乙地，已知甲地到此橋千米，（橋長(zhǎng)忽略不計(jì)）貨車以每小時(shí)40千米的速度開(kāi)往乙地，當(dāng)行駛到1小時(shí)時(shí)，米的速度持續(xù)上漲，（貨車接到忽然接到緊急通知，前方連降大雨，造成水位以每小時(shí)通知時(shí)水位在CD處），當(dāng)水位達(dá)到橋拱最高點(diǎn)O時(shí)，禁止車輛通行；試問(wèn)：汽車按原來(lái)速度行駛，能否安全通過(guò)此橋？若能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不能，要使貨車安全通過(guò)此橋，速度應(yīng)超過(guò)多少千米？

25.已知直線y＝－2x＋b(b≠0)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；一拋物線的解析式為y＝x－(b＋10)x＋c.⑴若該拋物線過(guò)點(diǎn)B，且它的頂點(diǎn)P在直線y＝－2x＋b上，試確定這條拋物線的解析式；

⑵過(guò)點(diǎn)B作直線BC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，若拋物線的對(duì)稱軸恰好過(guò)C點(diǎn)，試確定直線y＝－2x＋b的解析式.26．已知拋物線y=(1-m)x+4x-3開(kāi)口向下，與x軸交于A(x1,0)和B(x2,0)兩點(diǎn)，其中xl

22的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這條拋物線；

27．如圖，等腰梯形ABCD的邊BC在x軸上，點(diǎn)A在y軸的正方向上，A(0, 6)，D(4，6)，且AB=2.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（3）在（2）中所求的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得S△PBD=S梯形ABCD。若存在，請(qǐng)求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第二篇：九年級(jí)數(shù)學(xué)下二次函數(shù)教案

教學(xué)課題：二次函數(shù)（1）

教案背景

這節(jié)課是在學(xué)完正、反比例、一次函數(shù)，認(rèn)識(shí)了一元二次方程之后的二次函數(shù)的第一節(jié)課。本章內(nèi)容，既是對(duì)之前所學(xué)函數(shù)知識(shí)的一個(gè)補(bǔ)充，對(duì)函數(shù)知識(shí)系統(tǒng)的一個(gè)完善，也是以后學(xué)習(xí)高等函數(shù)知識(shí)的一個(gè)基礎(chǔ)。因此，本章的內(nèi)容在學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)中起著一個(gè)承上啟下的作用。而本節(jié)課又是本章的第一節(jié)課，是本章內(nèi)容的一個(gè)開(kāi)端，對(duì)整章內(nèi)容的學(xué)習(xí)起著非常重要的作用。從課本的體系來(lái)看，這節(jié)課明顯是要讓學(xué)生明白什么是二次函數(shù)，能區(qū)別二次函數(shù)與其他函數(shù)的不同，能深刻理解二次函數(shù)的一般形式，并能初步理解實(shí)際問(wèn)題中對(duì)定義域的限制。

教材分析

二次函數(shù)是一種常見(jiàn)的函數(shù)，應(yīng)用非常廣泛，它是客觀地反映現(xiàn)實(shí)世界中變量之間的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的一種非常重要的數(shù)學(xué)模型。許多實(shí)際問(wèn)題往往可以歸結(jié)為二次函數(shù)加以研究.在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)過(guò)了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和一次函數(shù)等幾例特殊函數(shù)。學(xué)生對(duì)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系已經(jīng)有一個(gè)基礎(chǔ)的認(rèn)識(shí)。本節(jié)課通過(guò)實(shí)例引入二次函數(shù)的概念，并學(xué)習(xí)求一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題中二次函數(shù)的解析式和它的定義域.在教學(xué)中要重視二次函數(shù)概念的形成和建構(gòu)，在概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，讓學(xué)生體驗(yàn)從問(wèn)題出發(fā)到列二次函數(shù)解析式的過(guò)程，體驗(yàn)用函數(shù)思想去描述、研究變量之間變化規(guī)律的意義.這節(jié)課又是學(xué)生初中階段研究的最后一個(gè)具體的函數(shù)，也是最重要的，在歷年來(lái)的中考題中占有較大比例。同時(shí)，二次函數(shù)和以前學(xué)過(guò)的一元二次方程、以后學(xué)習(xí)的一元二次不等式有著密切的聯(lián)系。進(jìn)一步學(xué)習(xí)二次函數(shù)將為它們的解法提供新的方法和途徑，并使學(xué)生更為深刻的理解“數(shù)形結(jié)合”的重要意義。

教學(xué)目標(biāo)

1、在實(shí)際問(wèn)題情境中讓學(xué)生經(jīng)歷、分析和探索建立兩個(gè)變量之間的二次函數(shù)關(guān)系的過(guò)程，進(jìn)一步體驗(yàn)如何用數(shù)學(xué)的方法去描述變量之間的數(shù)量關(guān)系。

2、理解二次函數(shù)的概念掌握二次函數(shù)的形式。

3、會(huì)建立簡(jiǎn)單的二次函數(shù)的模型，并能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定自變量的取值范圍。

4、會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式。

教學(xué)重難點(diǎn)

1、本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是二次函數(shù)的概念及解析式。

2、本節(jié)“合作學(xué)習(xí)”涉及的實(shí)際問(wèn)題情境比較復(fù)雜，要求學(xué)生有較強(qiáng)的概括能力，是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)。

教學(xué)過(guò)程

Ⅰ．創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課

[師]對(duì)于“函數(shù)”這個(gè)詞我們并不陌生，大家還記得我們學(xué)過(guò)哪些函數(shù)嗎?

[生]學(xué)過(guò)正比例函數(shù)，一次函數(shù)，反比例函數(shù)．

[師]那函數(shù)的定義是什么，大家還記得嗎?

[生]記得，在某個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x和y，如果給定一個(gè)x值，相應(yīng)地就確定了一個(gè)y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量．

[師]能把學(xué)過(guò)的函數(shù)回憶一下嗎?

[生]可以，一次函數(shù)y=kx+b．(其中k、b是常數(shù)，且k≠0)

正比例函數(shù)y＝kx(k是不為0的常數(shù))．

反比例函數(shù)y=k(A是不為0的常數(shù))． x

[師]很好，從上面的幾種函數(shù)來(lái)看，每一種函數(shù)都有一般的形式．那么二次函數(shù)的一般形式究竟是什么呢?本節(jié)課我們將揭開(kāi)它神秘的面紗．

Ⅱ．合作學(xué)習(xí)，探索新知

請(qǐng)用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)解析式表示下列問(wèn)題情境中的兩個(gè)y與x之間的關(guān)系。

(1)圓的面積y(cm2)與圓的半徑x(cm)；

(2)王先生存入銀行2萬(wàn)元，先存一個(gè)一年定期，一年后銀行將本息自動(dòng)轉(zhuǎn)存為又一個(gè)一年定期，設(shè)一年定期的年存款利率為x，兩年后王先生共得本息y元；

(3)擬建中的一個(gè)溫室的平面圖如圖1，如果溫室外圍是一個(gè)矩形，周長(zhǎng)為120m,室內(nèi)通道的尺寸如圖，設(shè)一條邊長(zhǎng)為x(m)，種植面積為y(m2)

（一）教師組織合作學(xué)習(xí)活動(dòng)

1、先個(gè)體探求，嘗試寫(xiě)出與之間的函數(shù)解析式。

2、上述三個(gè)問(wèn)題先易后難，在個(gè)體探求的基礎(chǔ)上，小組進(jìn)行合作交流，共同探討第（2）特別是第（3）題的函數(shù)解析式，老師巡回指導(dǎo)，并參與到小組活動(dòng)中去。

3、請(qǐng)小組代表上黑板寫(xiě)出三個(gè)問(wèn)題的函數(shù)解析式樣并進(jìn)行化簡(jiǎn)。

（二）老師問(wèn)：上述三個(gè)函數(shù)解析式具有哪些共同的特征？

讓學(xué)生充分發(fā)表意見(jiàn)，提出各自看法。

2教師歸納總結(jié)：上述三個(gè)函數(shù)解析式樣并進(jìn)行化簡(jiǎn)后都具有y＝ax+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的形式。

2（板書(shū)）一般地，形如y＝ax+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)(quadratic

function)．

師：請(qǐng)同學(xué)依次說(shuō)出上述三個(gè)解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。

（三）學(xué)生完成“做一做”

P27：

1、2

在評(píng)價(jià)學(xué)生作業(yè)時(shí)，對(duì)于第1小題，老師強(qiáng)調(diào)二次函數(shù)解析式中（1）是整式，（2）二次項(xiàng)

2系數(shù)a≠0，對(duì)于第2題（3）老師提醒：先化簡(jiǎn)，寫(xiě)成y＝ax+bx+c形式后，再判斷各項(xiàng)系

數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。

三、例題示范，了解規(guī)律

例1：如圖2，一張正方形紙板的邊長(zhǎng)為2cm，將它剪去4個(gè)全等的直角三角形（圖中陰影部分），設(shè)AE=BF=CG=DH=x(cm),四邊形EFGH的面積為y(cm2),求：

1、y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量的取值范圍；

2、當(dāng)x分別為0.25,0.5,1,1.5,1.75時(shí)，對(duì)誤碼的四邊形EFGH的面積，并列表表示。

（一）學(xué)生獨(dú)立分析思考，嘗試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，教學(xué)巡回輔導(dǎo)，適

時(shí)點(diǎn)撥。

（二）引導(dǎo)學(xué)生加以分析總結(jié)：

1、求差法

2、直接法

3、自變量的取值范圍。

2例2：已知二次函數(shù)y＝ax+px+q,當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值是4，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)值是-5，求這個(gè)

二次函數(shù)的解析式。

此例題難度較小，但卻反映求二次函數(shù)解析式的一般方法，可讓學(xué)生一邊說(shuō)，老師一邊板書(shū)示范，強(qiáng)調(diào)書(shū)寫(xiě)格式和思考方法，結(jié)束后讓學(xué)生完成強(qiáng)化。

練習(xí)：“課內(nèi)練習(xí)”第2題。

Ⅳ．課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：

1.經(jīng)歷探索和表示二次函數(shù)關(guān)系的過(guò)程．猜想并歸納二次函數(shù)的定義及一般形式．

2．二次函數(shù)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的概念。

3、如何求二次函數(shù)的解析式。

Ⅴ．課后作業(yè)

課本“作業(yè)題”

Ⅵ．活動(dòng)與探究

2m2-m若y＝(m+m)x是二次函數(shù)，求m的值．

教學(xué)反思

整節(jié)課的流程可以這樣概括：學(xué)生感興趣的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題——引出學(xué)過(guò)的一次函數(shù)——復(fù)習(xí)學(xué)過(guò)的所有函數(shù)形式——設(shè)問(wèn)：有沒(méi)有新的函數(shù)形式呢？——探索新的問(wèn)題——形成關(guān)系式——是函數(shù)嗎？——是學(xué)過(guò)的函數(shù)嗎？——探索出新的函數(shù)形式——概括新函數(shù)形式的特點(diǎn)——將特點(diǎn)公式化——形成二次函數(shù)定義——有練習(xí)鞏固定義特點(diǎn)——返回實(shí)際問(wèn)題討論實(shí)際問(wèn)題對(duì)自變量的限制——提出新的問(wèn)題，深入討論——課堂的小結(jié)，這樣設(shè)計(jì)一氣呵成，感覺(jué)上無(wú)拖沓生硬之處，最關(guān)鍵的是我認(rèn)為這符合學(xué)生的基本認(rèn)知規(guī)律，是容易讓

學(xué)生理解和接受的。

對(duì)于練習(xí)的設(shè)計(jì)，仍然采取了不重復(fù)的原則性，盡量做到每題針對(duì)一個(gè)問(wèn)題，并進(jìn)行及時(shí)的小結(jié)，也遵循了從開(kāi)放到封閉的原則，達(dá)到了良好的效果。

對(duì)于最后討論題的設(shè)計(jì)和提出，是我在進(jìn)行了整個(gè)一章的單元備課后發(fā)現(xiàn)，我們其實(shí)對(duì)二次函數(shù)的最值問(wèn)題是不講的，但是不講并不代表一點(diǎn)都不會(huì)涉及到，其中用到的思想方法還是相當(dāng)重要的，在圖象的觀察中也具有了重要的地位，再加上這個(gè)問(wèn)題在進(jìn)行了前面的實(shí)際問(wèn)題的解答之后是呼之欲出的：多種樹(shù)——想提高產(chǎn)量——多種幾棵好呢？，所以我設(shè)計(jì)了這個(gè)探索性的問(wèn)題：假如你是果園的主人，你準(zhǔn)備多種幾棵？注意這里我并沒(méi)有提出最大最小值的問(wèn)題，但是所有的學(xué)生都能理解到，這是數(shù)學(xué)的魅力。這個(gè)問(wèn)題的提出是整節(jié)課的一個(gè)高潮和精華，是學(xué)生學(xué)完二次函數(shù)定義之后，綜合利用函數(shù)的基本知識(shí)，代數(shù)式的知識(shí)和一元二次方程的知識(shí)進(jìn)行的思考，因而他們的想法和說(shuō)法，不論對(duì)錯(cuò)，不論全面還是有所偏頗，其中都涉及到了重要的數(shù)學(xué)思想方法，而這些恰恰是非常重要的。事實(shí)證明學(xué)生的思維真的是非?；钴S的，你要你給了足夠的空間，他們總能從各方各面進(jìn)行思考和解釋，我也從中看到了他們智慧的火花，這是很令人欣慰的。

第三篇：二次函數(shù)復(fù)習(xí)教案

中學(xué)美術(shù)課水彩畫(huà)技法教學(xué)

摘要：水彩畫(huà)在中學(xué)美術(shù)教育中占據(jù)著重要的地位，它不僅可以提升中學(xué)生的造型能力、色彩能力，同時(shí)也可以強(qiáng)化他們的審美素養(yǎng)。這里，筆者將結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，來(lái)談一談水彩畫(huà)技法教學(xué)的一點(diǎn)心得，以期大方之家給予批評(píng)指正。

關(guān)鍵詞：中學(xué)美術(shù)課；水彩畫(huà)；技法教學(xué)

一、水彩畫(huà)技法指導(dǎo)

學(xué)生在畫(huà)水彩畫(huà)之前需要有這樣的理念：從整體著眼，從局部入手。在腦海中必須有畫(huà)面的整體構(gòu)思與布局，在這個(gè)大前提下，再將畫(huà)面有效地分成若干個(gè)小部分，逐一完成。具體過(guò)程下面將分條闡述。

（一）畫(huà)面勾勒輪廓階段

第一步就是教師指導(dǎo)學(xué)生先勾勒出素描稿，整體與局部的分配情況需要合理、恰切。為了提升上色的準(zhǔn)確性、恰切性，整個(gè)過(guò)程需要運(yùn)用鉛筆來(lái)完成，并且在素描的過(guò)程中，需要有效地表現(xiàn)反光、高光、投影以及明暗交界線等。其中投影、暗部需要淡淡地用鉛筆進(jìn)行標(biāo)記。這個(gè)素描過(guò)程至關(guān)重要，成為關(guān)鍵的開(kāi)端。

（二）畫(huà)面著色階段

接下來(lái)就需要用刷子蘸上清水，在畫(huà)紙上刷一遍，讓水完全浸濕畫(huà)紙。吃水飽和的畫(huà)紙，在短時(shí)間內(nèi)，就不會(huì)立刻干燥，在這種情況下，才有助于具體干濕畫(huà)法的實(shí)踐、運(yùn)用。

水彩的透明特點(diǎn)需要被全面地觀照、審視，主要著色程序是由淺至深，特定物體的受光面需要先畫(huà)出來(lái)，緊接著再對(duì)其背光面進(jìn)行繪畫(huà)。只有這樣才能夠有效地表現(xiàn)水彩畫(huà)的明調(diào)與暗調(diào)。最后，將特定物體顏色最深的細(xì)部完成?？梢哉f(shuō)水彩的表現(xiàn)方法，通常來(lái)說(shuō)，主要分為干畫(huà)法、濕畫(huà)法以及干濕并用法。在中學(xué)美術(shù)教學(xué)中，我們提倡采用干濕并用法，即有的地方使用干畫(huà)法，而有的地方則采用濕畫(huà)法。這種方法易于被中學(xué)生接受，并且表現(xiàn)力相對(duì)較強(qiáng)。再者，我們可以有效利用濕畫(huà)法來(lái)繪畫(huà)每一個(gè)客觀物象。

最后就是畫(huà)面的整理、完善環(huán)節(jié)。局部獨(dú)立物象的逐一繪畫(huà)，這種羅列可能會(huì)導(dǎo)致整個(gè)畫(huà)面的融合程度不足，進(jìn)而容易產(chǎn)生層次方面的誤差感，給觀賞者一種拼湊的印象。鑒于此，教師必須指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行畫(huà)面的整體處理，旨在讓每一個(gè)局部都被統(tǒng)攝到整個(gè)畫(huà)面中去，成為一個(gè)部分分割的成分。例如前景特定物象應(yīng)該是實(shí)的，需要在這個(gè)物象的主要部位，將輪廓線凸顯。而后面的特定物象應(yīng)該是虛的。較之前者，后者需要淡化其色彩和形體方面的處理，只有這樣才能夠創(chuàng)設(shè)出層次分明、立體感較強(qiáng)的畫(huà)面效果。如果整個(gè)畫(huà)面色彩顯得有些亂，就應(yīng)該在基調(diào)的范圍內(nèi)進(jìn)行有效整理。如果整個(gè)畫(huà)面較為單調(diào)的話，就應(yīng)該將環(huán)境色恰當(dāng)?shù)厝谌肫渲?，進(jìn)而色彩的豐富感就可以被提升。

二、重要注意事項(xiàng)強(qiáng)調(diào)

在學(xué)生對(duì)范畫(huà)的欣賞、感悟過(guò)程中，教師需要對(duì)每一張畫(huà)，它的具體畫(huà)法、運(yùn)用色彩等方面進(jìn)行全面而細(xì)致地解讀，這樣才能使得學(xué)生對(duì)水彩畫(huà)的特點(diǎn)、畫(huà)法有一個(gè)整體的了解和體認(rèn)。同時(shí)，需要提醒學(xué)生：如果調(diào)色過(guò)多，就可能喪失水彩畫(huà)明快、透明的風(fēng)格特征。而且涂色需要爭(zhēng)取一次性完成，至多不可以超過(guò)三次，涂色越多，整個(gè)畫(huà)面就會(huì)變得更為臟亂。鑒于此，在涂色之前，教師必須講清楚調(diào)色與控制畫(huà)筆中水分的具體措施，并且讓學(xué)生全面把握繪畫(huà)所要使用的工具，只有充分熟悉工具的使用方法，才能談及具體涂色過(guò)程的開(kāi)展。

需要強(qiáng)化實(shí)踐教學(xué)，即可以將學(xué)生帶到大自然中去繪畫(huà)。教師可以一邊繪畫(huà)，一邊講解，在此過(guò)程中，將特定物象的具體畫(huà)法，普遍存在的問(wèn)題以及解決問(wèn)題的辦法，一一告訴學(xué)生。教師的這種示范教學(xué)，不僅可以給予學(xué)生直觀的感受，同時(shí)也讓學(xué)生了解了具體的繪畫(huà)方法，如何規(guī)避不該出現(xiàn)的失誤。另外，對(duì)于學(xué)生的作品不足之處，教師需要給予親自改正，這種教學(xué)方法會(huì)讓學(xué)生的繪畫(huà)技巧迅速提升的。

另外，教師也可以將水彩畫(huà)的繪畫(huà)技巧編成一系列的口訣，這樣，學(xué)生記憶與掌握水彩畫(huà)相關(guān)技法將會(huì)變得事半而功倍。

三、水彩畫(huà)技法教學(xué)示例

這里以水彩風(fēng)景寫(xiě)生為示例對(duì)象。在寫(xiě)生的起初，需要力求一次性完成天空的繪畫(huà)，當(dāng)整體基調(diào)確定之后，余下的景物色彩需要與之協(xié)調(diào)搭配。當(dāng)天空的繪畫(huà)尚未“風(fēng)干”之前，需要立刻將遠(yuǎn)山，抑或者是遠(yuǎn)樹(shù)勾畫(huà)出來(lái)。這樣就會(huì)使得它與天空疊加的部分自然融合，避免了分離之感的產(chǎn)生。這樣就契合了遠(yuǎn)虛近實(shí)的繪畫(huà)要求。

畫(huà)每一個(gè)特定物象之時(shí)，需要從左到右刷一遍清水，因?yàn)槭彝獾目諝馐潜容^干燥的，這樣的環(huán)境下，如果不刷水，濕畫(huà)法則難以為繼。倒映在水中的樹(shù)木和房屋需要在畫(huà)紙濕條件下，立刻涂色，進(jìn)而產(chǎn)生朦朦朧朧的倒影效果。待畫(huà)面干了之后，在使用干畫(huà)法，小心翼翼地在水面上畫(huà)出幾道波紋來(lái)，這樣房屋和樹(shù)木的倒影就顯得愈加真實(shí)生動(dòng)了。同時(shí)，水岸上的物象，需要使用干畫(huà)法進(jìn)行繪畫(huà)，這樣就會(huì)使得這些物象更為實(shí)在、凸顯。進(jìn)而與水中倒影構(gòu)成鮮明的對(duì)比。

畫(huà)面的主體部分需要著力進(jìn)行刻畫(huà)，進(jìn)而讓整個(gè)畫(huà)面具有凝聚力。在讓學(xué)生充分領(lǐng)悟水彩畫(huà)技法的同時(shí)，還需要讓學(xué)生懂得藝術(shù)地處理畫(huà)面的空間。最后，也就是對(duì)整個(gè)畫(huà)面進(jìn)行整理，濕畫(huà)法的缺陷在于使得畫(huà)面顯得很“碎”，因此需要在畫(huà)面的色彩和層次方面進(jìn)行整體的調(diào)整，這樣，整個(gè)畫(huà)面就會(huì)變得和諧統(tǒng)一了。

參考文獻(xiàn)

第四篇：二次函數(shù)復(fù)習(xí)教案

二次函數(shù)復(fù)習(xí)教案

一、備考策略：

通過(guò)研究分析近5年德州中考試題，二次函數(shù)中考命題主要有以下特點(diǎn)（1）二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以選擇題和填空題為主。

（2）直接考察二次函數(shù)表達(dá)式的確定的題目不是很多，大多與其他知識(shí)點(diǎn)相融合，以解答題居多。

（3）二次函數(shù)與方程結(jié)合考察以解答題居多，與不等式結(jié)合以選擇題為主。（4）二次函數(shù)圖象的平移考察以選擇題和填空題為主。（5）二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，以解答題為主。

二、.命題熱點(diǎn)：

（1）二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。（2）二次函數(shù)表達(dá)式的確定。

（3）二次函數(shù)與方程和不等式的關(guān)系。

（4）拋物線型實(shí)際問(wèn)題在二次函數(shù)中的應(yīng)用。（5）應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最優(yōu)化問(wèn)題。

三、教學(xué)目標(biāo)：

1、掌握二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)。

2、會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式。

3、能運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)：

二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)，并利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)：

二次函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用，能把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。

四、教學(xué)過(guò)程：

（一）基礎(chǔ)知識(shí)之自我建構(gòu)

（二）考點(diǎn)梳理過(guò)關(guān)

考點(diǎn)一、二次函數(shù)的定義 1.什么是二次函數(shù)？

2.二次函數(shù)的三種基本形式

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)；

(2)頂點(diǎn)式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，由頂點(diǎn)式可以直接寫(xiě)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)；

(3)交點(diǎn)式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

達(dá)標(biāo)練習(xí)1.(2017·百色中考)經(jīng)過(guò)A(4,0),B(-2,0), C(0,3)三點(diǎn)的拋物線解析式是__________.考點(diǎn)二、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

達(dá)標(biāo)練習(xí)

2、(2017·衡陽(yáng)中考)已知函數(shù)y=-(x-1)2圖象上兩點(diǎn)A(2,y1),B(a,y2),其中a>2,則y1與y2的大小關(guān)系是：y1________y2(填“<”“>”或“=”).考點(diǎn)三、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)a,b,c的關(guān)系

達(dá)標(biāo)練習(xí)

3、(2017·煙臺(tái)中考)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,對(duì)稱軸是直線x=1,下列結(jié)論: ①ab<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0.其中正確的是（）A.①④

B.②④

C.①②③

D.①②③④ 考點(diǎn)四

二次函數(shù)圖象的平移

達(dá)標(biāo)練習(xí)

4、(2017·常德中考)將拋物線y=2x2向右平移3個(gè)單位,再向下平移5個(gè)單位,得到的拋物線的表達(dá)式為（）

A.y=2(x-3)2-5 B.y=2(x+3)2+5 C.y=2(x-3)2+5 D.y=2(x+3)2-5 考點(diǎn)五

二次函數(shù)與方程和不等式

達(dá)標(biāo)練習(xí)5、1.(2017·徐州中考)若函數(shù)y=x2-2x+b的圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn),則b的取值范圍是（）

A.b<1且b≠0

B.b>1

C.0

D.b<1 【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】

二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

(1)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),則兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)解.(2)二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)由相應(yīng)的一元二次方程的根的判別式的符號(hào)確定.2、(2017·咸寧中考)如圖,直線y=mx+n與拋物線y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)兩點(diǎn),則關(guān)于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是____________.考點(diǎn)六

二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 列二次函數(shù)解應(yīng)用題的兩種類型 1.未告知是二次函數(shù)

（如求最大利潤(rùn),最大面積等最優(yōu)化問(wèn)題）2.已告知二次函數(shù)圖象

(如涵洞、橋梁、投籃等拋物型問(wèn)題)

五、堂清檢測(cè)

4、六、作業(yè)

必做題：

1、選做題：

第五篇：二次函數(shù)復(fù)習(xí)教案

第教學(xué)目標(biāo)

18課時(shí) 二次函數(shù)(二)

1.理解二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系；

2.結(jié)合方程根的性質(zhì)、一元二次方程根的判別式，判定拋物線與x軸的交點(diǎn)情況； 3.會(huì)利用韋達(dá)定理解決有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題。4.會(huì)利用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決有關(guān)幾何問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn) 二次函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用 教學(xué)難點(diǎn) 二次函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用 教法 講練結(jié)合 教學(xué)過(guò)程

一、知識(shí)梳理: 1．二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：

（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c當(dāng)函數(shù)值y為0時(shí)的情況．

（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y=0時(shí)自變量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．（3）①當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與 x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，△>0；

②當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，△=0；

③當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2+ bx+c的圖象與 x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程ax2+bx+c=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，△<0.2.二次函數(shù)的應(yīng)用：

（1）二次函數(shù)常用來(lái)解決優(yōu)化問(wèn)題，這類問(wèn)題實(shí)際上就是求函數(shù)最大（?。┲?；（2）二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實(shí)際問(wèn)題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題中的最大（?。┲担?）用函數(shù)表達(dá)式表示出它們之間的關(guān)系；（4）利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解；

二、經(jīng)典考題剖析: 例題1.已知二次函數(shù)y=x2－6x+8，求：（1）拋物線與x軸和y軸相交的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）畫(huà)出此拋物線圖象，利用圖象回答下列問(wèn)題：

①方程x2-6x＋8=0的解是什么？

②x取什么值時(shí)，函數(shù)值大于0？

③x取什么值時(shí)，函數(shù)值小于0？

解：（1）由題意，得x2－6x+8=0．則（x－2）(x－4）= 0，x1=2，x2=4．∴與x軸交點(diǎn)為（2,0）和（4，0）；當(dāng)x=0時(shí)，y=8．∴拋物線與y軸交點(diǎn)為（0，8）；（2）拋物線解析式可化為y=x2－6x+8=(x-3)2-1；

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，－1）

（3）如圖所示．①由圖象知，x2－6x+8=0的解為x1=2，x2=4．

②當(dāng)x＜2或x＞4時(shí)，函數(shù)值大于0；③當(dāng)2＜x＜4時(shí)，函數(shù)值小于0． 例題

2、已知二次函數(shù)y??x2?(m?2)x?m?1，(1)試說(shuō)明：不論m取任何實(shí)數(shù)，這個(gè)二次函數(shù)的圖象必與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)m為何值時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)都在原點(diǎn)的左側(cè)？

分析：(1)要說(shuō)明不論m取任何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y??x2?(m?2)x?m?1的圖象必與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，只要說(shuō)明方程?x2?(m?2)x?m?1?0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即△＞0．

(2)兩個(gè)交點(diǎn)都在原點(diǎn)的左側(cè)，也就是方程?x2?(m?2)x?m?1?0有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，因而必須符合條件①△＞0，②x1?x2?0，③x1?x2?0．綜合以上條件，可求得m的值的范圍．

三、合作交流：

1、若二次函數(shù)y=-x+2x+k的部分圖象如圖所示，關(guān)于x的一元二次方程-x+2x+k=0的一個(gè)解x1 = 3,則另一個(gè)解x2 = _____。

2、拋物線y=kx-7x-7的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是。

四、中考?jí)狠S題賞析：（分組合作）

已知：二次函數(shù)y?x2?(m?1)x?m的圖象交x軸于A(x1,0)、B(x2,0)兩點(diǎn)，2交y軸正半軸于點(diǎn)C，且x12?x2?10。2（1）求此二次函數(shù)的解析式；

5)的直線與拋物線交于點(diǎn)M、N，與x軸交于點(diǎn)E，2使得點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱？若存在，求直線MN的解析式；若不存在，說(shuō)明理由。（2）是否存在過(guò)點(diǎn)D(0，-解：（1）∵x1+x2=10，∴（x1+x2）-2x1x2=10，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2=m+1, x1x2=m 222∴（m+1）2-2m=10，∴m=3，m=-3，又∵點(diǎn)C在y軸的正半軸上，∴m = 3，∴所求拋物線的解析式為：y=x-4x+3；（2）假設(shè)過(guò)點(diǎn)D（0，-5）的直線與拋物線交于M（xM，yM）、N（xN，yN）兩22點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)E，使得M、N兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱．

5設(shè)直線MN的解析式：y=kx-，2則有：yM+yN=0，（6分）由 得x-4x+3=kx-，并同類項(xiàng)得x2-（k+4）x+11=0，2移項(xiàng)后

合52∴xM+xN=k+4．

∴52yM+yN=kxM-+kxN-=k（xM+xN）-5=0，即k（k+4）-5=0，∴k=1或k=-5．

當(dāng)k=-5時(shí)，方程x-（k+4）x+11=0的判別式△＜0，直線MN與拋物線無(wú)交點(diǎn)，2522∴k = 1，3

∴直線MN的解析式為y=x-5，2∴此時(shí)直線過(guò)一、三、四象限，與拋物線有交點(diǎn)；

∴存在過(guò)點(diǎn)D（0，-5）的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)E．使得

2M、N兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng)：此題巧妙利用了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．在（2）中，將直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解答，考查了同學(xué)們的整體思維能力．

五、反思與提高：

1、本節(jié)課主要復(fù)習(xí)了哪些知識(shí)，你印象最深的是什么？

2、通過(guò)本節(jié)課的函數(shù)學(xué)習(xí)，你認(rèn)為自己還有哪些地方是需要提高的？

六、備考訓(xùn)練：

初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試指南P64 T7 8 9