第一篇：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)分析電子教案1-2

110；

110)作10等分,分點(diǎn)為：n.n11,n.n12,?,n.n19，則存在0,1,2,?,9中的一個(gè)數(shù)n2第一章 實(shí)數(shù)集與函數(shù)

§2 數(shù)集.確界原理

《數(shù)學(xué)分析》電子教案

（1）對任何x?S，有x?n.n1n2?（2）存在a2?S，使a2?n.n1n2.1102；

如此不斷10等分前一步驟所得區(qū)間，可知對任何k?1,2,?存在0,1,2,?,9中的一個(gè)數(shù)nk，使得：（1）對任何x?S，有x?n.n1n2?nk?（2）存在ak?S，使ak?n.n1n2?nk.將以上步驟無限進(jìn)行下去，得到實(shí)數(shù)??n.n1n2?nk?，以下證明??supS，即證：（?。σ磺衳?S，有x??；（ⅱ）對任何???,存在x0?S使得x0?S.110k；

先證(ⅰ):(反證)假設(shè)存在x?S,使x??,則可找到非負(fù)整數(shù)k,使xk??k,而x?xk且?k?n.n1n2?nk?110k,故x?n.n1n2?nk?110k與(1)矛盾,故對一切x?S，有x??.再證(ⅱ): 由???知存在非負(fù)整數(shù)k,使?k??k,而?k?n.n1n2?nk,?k??,故n.n1n2?nk??，由(2)便知存在x0?S使x0?n.n1n2?nk??

確界原理是數(shù)學(xué)分析極限理論的基礎(chǔ),因此具有極其重要的地位，應(yīng)對定理的內(nèi)容充分理解，給予充分重視.例4 設(shè)數(shù)集S有上界，證明：??supS?S???maxS.分析：由確界原理，supS意義，按確界定義證明。

證（必要性）因?yàn)??supS，所以對一切x?S有x??，又??S，故??maxS.（充分性）設(shè)??maxS，則：對一切x?S，有x??；對任何???，只需取x0???S，則x0??，故??supS。

例5 設(shè)Ａ、Ｂ為非空數(shù)集，滿足：對一切x?A和y?B有x?y.證明：數(shù)集Ａ有上確界，數(shù)集Ｂ有下確界，且supA?infB.分析：首先，證明supA,infB.有意義，用確界原理.其次，證明supA?infB.證

由假設(shè)，數(shù)集Ｂ中任一數(shù)y都是數(shù)集Ａ的上界，Ａ中任一數(shù)x都是Ｂ的下界，故由確界原理推知數(shù)集Ａ有上確界，數(shù)集Ｂ有下確界.對任何y?B,y是數(shù)集Ａ的一個(gè)上界,而由上確界的定義知,supA是數(shù)集Ａ的最小上界,故有supA?y.而此式又表明supA是數(shù)集Ｂ的一個(gè)下界,故由下確界定義證得supA?infB.

第二篇：華東師范大學(xué)2008年數(shù)學(xué)分析考研試題（范文模版）

華東師范大學(xué)

2008年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)試題

考試科目代碼及名稱：數(shù)學(xué)分析

一、判別題（6*6=30分）（正確的說明理由，錯(cuò)誤的舉出反例）

1．?dāng)?shù)列?an?n?1收斂的充要條件是對任意??0，存在正整數(shù)N使得當(dāng)n?N時(shí)，恒有 ?

a2n?an??.2．若f(x,y)在(x0,y0)處可微，則在(x0,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)

b?f?x?y,?f存在。

3．設(shè)f(x)在?a,b?上連續(xù)且?f?x?dx?0，則f(x)在?a,b?上有零點(diǎn)。

a??4．設(shè)級數(shù)?an收斂，則?n?1n?1ann收斂。

5．設(shè)f(x,y)在(x0,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義且

x?x0y?y0limlimf?x,y??limlimf?x,y??f?x0,y0?，y?y0x?x0

則f(x,y)在(x0,y0)處連續(xù)。

6.對任意給定的x0?R，任意給定的嚴(yán)格增加正整數(shù)列nk,k?1,2,?，存在定義在R上的函數(shù)

f(x)使得f

二、計(jì)算題（10*3=30分）（計(jì)算應(yīng)包括必要的計(jì)算步驟）

1．求 lim1(nk)(k)(x0)?0,k?1,2,?，（f(x0)表示f(x)在點(diǎn)x0處的k階導(dǎo)數(shù)）。

?1?(x?1)sinx?4e?1x?1x?0.?x?eucosv2?z?z?z?u，.2．設(shè) z?z?x,y? 為由方程組?y?esinv所確定的隱函數(shù)。求

?x?y?x?y?z?uv?x?1y?2z?3222dydz?dzdx?dxdy, 其中r??x?1???y?2???z?3?，3．計(jì)算??333SirrrS1:?x?1???y?2???z?3??1，S2:222?x?1?21??y?2?221n??z?3?23?1，積分沿曲面的外側(cè)。

三、證明題（14*6=84分）

?1．設(shè)級數(shù)?an收斂于A（有限數(shù)）。證明：limn?1n??(an?2an?1???(n?1)a2?na1)?A.2．設(shè)f(x)在?a,b?上的不連續(xù)點(diǎn)都是第一類間斷點(diǎn)。證明：f(x)在?a,b?上有界。

求證：存在??0使得在?a,b?上有f(x)??.3．已知在?a,b?上，函數(shù)列fn(x)一致收斂于f(x)，函數(shù)列g(shù)n(x)一致收斂于g(x).證明：函數(shù)列max?fn(x),gn(x)?一致收斂于max?f(x),g(x)?.4．設(shè)數(shù)列?an?n?1為?a,b?中互不相同的點(diǎn)列，an為函數(shù)fn(x)在?a,b?上的唯一間斷點(diǎn)。設(shè)??fn(x):n即存在正數(shù)M使得fn(x)?M對所有的n與所有?1,2,??在?a,b?上一致有界，x??a,b?均成立。證明：函數(shù)h?x????n?1fn?x?2n在?a,b?內(nèi)的間斷點(diǎn)集為?an:n?1,2,??.5．設(shè)f?x????n?1ne?n（1）f(x)在?0,2??上連續(xù)；（2）f?(x)在cosnx,x??0,2??，證明：

e0?x?2?

?0,2??上存在且連續(xù)；（3）maxf?x???e?1?2.6．（1）設(shè)F(x)在???,???上可導(dǎo)。若存在xn???,yn??使

limF?xn??limF?yn??c????,???，證明存在?????,???使得F?(?)?0.n??n??????,yn???使

（2）設(shè)f(x)，g(x)在???,???上可導(dǎo)，設(shè)存在xn???,yn??，xnn???limf?xn??B????,???,limf?yn??A????,???

n???n??????b????,???,limg?yn???a????,???.limg?xnn???設(shè)g?(x)?0,x????,???，證明：存在?????,???使

f????g?????B?Ab?a.

第三篇：數(shù)學(xué)分析教案

《數(shù)學(xué)分析Ⅲ》教案編寫目錄（1—16周，96學(xué)時(shí)）

課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-1）

課題：§21-1二重積分的概念

一、教學(xué)目的：

1．理解二重積分的概念，其中包括二重積分的定義、幾何意義和存在性。2．理解二重積分的7條性質(zhì)。

二、教學(xué)重點(diǎn)：二重積分的概念；二重積分的存在性和性質(zhì)。

三、教學(xué)難點(diǎn)：二重積分的定義；二重積分的存在性。

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由平面圖形的面積和曲頂柱體的體積引出二重積分的概念。?平面圖形的面積

（約40min，投影、圖示與黑板講解）

1．平面圖形面積的定義；

2．平面圖形可求面積的充分必要條件；

?二重積分的定義及其存在性

1.2.? 二重積分的定義；

二重積分存在的充分條件和必要條件。

二重積分的性質(zhì)

（約25min，圖示與黑板講解）

結(jié)合二重積分的定義講解二重積分的7條性質(zhì)。

? 補(bǔ)充例子：

（約10min，黑板講解）

1．根據(jù)二重積分的定義計(jì)算二重積分； 2．根據(jù)二重積分的性質(zhì)證明不等式。

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

二重積分的定義；二重積分性質(zhì)。

八、作業(yè)：P217習(xí)題

1，2，3，4，5，6，8。

課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-2）

課題：§21-2直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

一、教學(xué)目的：

掌握在直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法。

二、教學(xué)重點(diǎn)：直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法。

三、教學(xué)難點(diǎn)：定理21.8，21.9。

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

[引例]：

由曲頂柱體的體積引出二重積分計(jì)算的直觀概念。? 定理21.8，21.9的證明

?

X型、y型區(qū)域的講解及其定理21.10的證明

? 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算舉例

教材中例1—例4。

? 補(bǔ)充例子：

利用二重積分計(jì)算體積；

七、課程小結(jié)：

直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算。

八、作業(yè)：P222習(xí)題

1，2，3，4，5，6，8。

（約5min，語言表述）

15min，投影、圖示與黑板講解）

（約25min，圖示與黑板講解）

（約30min，圖示與黑板講解）

（約20min，黑板講解）

（約5min，黑板講解）

（約

課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-3）

課題：二重積分的概念與計(jì)算習(xí)題課

一、教學(xué)目的：

1．鞏固二重積分的概念，其中包括二重積分的定義、幾何意義和存在性。2．鞏固在直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法。

二、教學(xué)重點(diǎn)：直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法。

三、教學(xué)難點(diǎn)：直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法。

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 二重積分的概念與性質(zhì)

（約95min，投影、圖示與黑板講解）

1．二重積分的概念復(fù)習(xí)； 2．二重積分的性質(zhì)復(fù)習(xí)。

?

二重積分的計(jì)算

1.2.利用二重積分的定義和限制計(jì)算二重積分和某些不等式； 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分。

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

二重積分的定義；二重積分性質(zhì)；二重積分的計(jì)算。

八、作業(yè)：P278

總練習(xí)題

1，2。

課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-4）

課題：§21-3格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性

一、教學(xué)目的：

1.理解格林公式；

2.掌握格林公式在計(jì)算二重積分和曲線積分的方法。3.掌握曲線積分與路線無關(guān)的條件和應(yīng)用方法。

二、教學(xué)重點(diǎn)：格林公式的理解和方法。

三、教學(xué)難點(diǎn)：定理21.11，21.12。

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 格林公式，定理21.11的證明

?

例1—例3的講解

? 曲線積分與路線的無關(guān)性，定理21.12的證明

例4的講解。

? 補(bǔ)充例子：

利用二重積分計(jì)算曲線積分。

七、課程小結(jié)：

格林公式與曲線積分與路徑無關(guān)的概念。

八、作業(yè)：P231習(xí)題

1，2，3，4，5，6，8。

15min，投影、圖示與黑板講解）

（約25min，圖示與黑板講解）

（約30min，圖示與黑板講解）

（約20min，黑板講解）

（約5min，黑板講解）

（約

課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-5）

課題：§21-4二重積分的變量變換

一、教學(xué)目的：

1.理解二重積分的變量變換的基本思想；

2.3.掌握二重積分變量變換的方法特別是極坐標(biāo)變換。掌握在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的方法。

二、教學(xué)重點(diǎn)：二重積分的變量變換。

三、教學(xué)難點(diǎn)：引理和定理21.13，21.14。

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 二重積分的變量變換公式

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

引理證明，定理21.13證明，例1，例2講解

（約25min，圖示與黑板講解）

? ? 用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分，定理21.14證明

（約20min，圖示與黑板講解）二重積分在極坐標(biāo)系下化為累次積分，例3，例4，例5，例6講解

（約35min，圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

二重積分的變量變換，在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的方法。

八、作業(yè)：P242習(xí)題

1，2，3，4，5。

課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-6）

課題：格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性

及積分變換習(xí)題課

一、教學(xué)目的：

1.2.鞏固格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性及積分變換；

鞏固格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性及積分變換的計(jì)算方法。

二、教學(xué)重點(diǎn)：格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性及積分變換

三、教學(xué)難點(diǎn)：格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性及積分變換

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 講解格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性的計(jì)算題

（約95min，投影、圖示與黑板講解）

?

講解積分變換的計(jì)算題

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

二重積分的定義；二重積分性質(zhì)；二重積分的計(jì)算。

八、作業(yè)：P243

總練習(xí)題

7，8 6

課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-7）

課題：§21-5 三重積分

一、教學(xué)目的：

1.2.3.理解三重積分的概念；

掌握化三重積分為累次積分的方法； 掌握三重積分換元法。

二、教學(xué)重點(diǎn)：三重積分換元法

三、教學(xué)難點(diǎn)：定義和定理21.15

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 三重積分的定義

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

定理21.15證明，例1，例2講解

（約25min，圖示與黑板講解）

? ? 三重積分還原公式，柱面坐標(biāo)變換，球面坐標(biāo)變換（約20min，圖示與黑板講解）例3，例4，例5講解

（約35min，圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

三重積分的定義，在直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)下計(jì)算三重積分的方法。

八、作業(yè)：P251習(xí)題

1，2，3，4，5。

課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-8）

課題：§21-6 重積分的應(yīng)用

一、教學(xué)目的：

1.2.3.掌握重積分在求曲面面積的應(yīng)用； 了解重積分在重心的應(yīng)用； 了解重積分在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的應(yīng)用。

二、教學(xué)重點(diǎn)：重積分求曲面面積

三、教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用重積分公式求解曲面面積

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由曲面的面積引出重積分的應(yīng)用。

?

建立曲面面積的計(jì)算公式

（約40min，圖示與黑板講解）

? ? 例1講解

（約35min，圖示與黑板講解）簡單介紹重積分在重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的應(yīng)用

（約15min，圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

曲面面積的概念，重積分在計(jì)算曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中的應(yīng)用。

八、作業(yè)：P259 1，2。

課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-9）

課題：§21-8 反常二重積分

一、教學(xué)目的：

掌握反常二重積分及其計(jì)算

二、教學(xué)重點(diǎn)：反常二重積分及其計(jì)算

三、教學(xué)難點(diǎn)：反常二重積分及其計(jì)算

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

?

無界區(qū)域上的二重積分

（約10min，圖示與黑板講解）

? ? ? ? 定理21.16，定理21.17的證明

（約40min，圖示與黑板講解）例1的講解

（約15min，圖示與黑板講解）定理21.18，定理21.19

（約15min，圖示與黑板講解）無界函數(shù)上的二重積分及定理21.20

（約15min，圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

曲面面積的概念，重積分在計(jì)算曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中的應(yīng)用。

八、作業(yè)：P272 1，2，3。

課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-10）

課題：三重積分及重積分的應(yīng)用習(xí)題課

一、教學(xué)目的：

1.鞏固三重積分的概念，其中包括三重積分的定義、幾何意義和存在性。2.鞏固在直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算方法。3.鞏固化三重積分為累次積分的方法。4.鞏固三重積分換元法。

二、教學(xué)重點(diǎn)：直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算方法。

三、教學(xué)難點(diǎn)：三重積分換元法

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 二重積分的概念與性質(zhì)

1.三重積分的概念復(fù)習(xí)； 2.三重積分的性質(zhì)復(fù)習(xí)。

?

三重積分的計(jì)算

1.化三重積分為累次積分；

2.在柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)下計(jì)算三重積分； 3.計(jì)算曲面面積。

七、課程小結(jié)：

三重積分的定義；三重積分性質(zhì)；三重積分的計(jì)算。

八、作業(yè)：P278

總練習(xí)題

15min，投影、圖示與黑板講解）

（約80min，投影、圖示與黑板講解）

（約5min，黑板講解）

（約

課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案22-1）

課題：§22-1第一型曲面積分

一、教學(xué)目的：

1.2.第一型曲面積分的概念。第一型曲面積分的計(jì)算。

二、教學(xué)重點(diǎn)：第一型曲面積分計(jì)算

三、教學(xué)難點(diǎn)：第一型曲面積分計(jì)算

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由求曲面的質(zhì)量引出第一型曲面積分的概念。

? 第一型曲面積分的概念

（約25min，投影、圖示與黑板講解）

?

第一型曲面積分的計(jì)算

1.2.定理22.1第一型曲面積分計(jì)算公式

（約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解

（約35min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

第一型曲面積分的定義；第一型曲面積分的計(jì)算。

八、作業(yè)：P282 1，2，3，4

課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案22-2）

課題：§22-2第二型曲面積分

一、教學(xué)目的：

1.2.第二型曲面積分的概念。第二型曲面積分的計(jì)算。

二、教學(xué)重點(diǎn)：第二型曲面積分計(jì)算

三、教學(xué)難點(diǎn)：第二型曲面積分計(jì)算

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由求流量問題引出第二型曲面積分的概念。

? 第二型曲面積分的概念

（約25min，投影、圖示與黑板講解）

?

第二型曲面積分的計(jì)算

1.2.3.定理22.2第二型曲面積分計(jì)算公式

（約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解

（約35min，投影、圖示與黑板講解）

簡單介紹兩類曲面積分的聯(lián)系

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

第二型曲面積分的定義；第二型曲面積分的計(jì)算。

八、作業(yè)：P289 1，2 12 課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案22-3）

課題：第一、二型曲面積分復(fù)習(xí)課

一、教學(xué)目的：

1.2.鞏固第一型曲面積分、第二型曲面積分的概念。鞏固第一型曲面積分、第二型曲面積分的計(jì)算。

二、教學(xué)重點(diǎn)：第一、二型曲面積分計(jì)算

三、教學(xué)難點(diǎn)：第一、二型曲面積分計(jì)算

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 第一、二型曲面積分的概念

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

?

第一、二型曲面積分的計(jì)算

1.2.習(xí)題鞏固第一、二型曲面積分計(jì)算公式

（約75min，投影、圖示與黑板講解）簡單介紹兩類曲面積分的聯(lián)系

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

第一、二型曲面積分的定義；第一、二型曲面積分的計(jì)算。

八、作業(yè)：P305 1，2

課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案22-4）

課題：§22-3高斯公式與斯托克斯公式

一、教學(xué)目的：

1.2.掌握高斯公式 掌握斯托克斯公式

二、教學(xué)重點(diǎn)：高斯公式與斯托克斯公式

三、教學(xué)難點(diǎn)：高斯公式與斯托克斯公式

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 高斯公式的重要意義

（約5min，投影、圖示與黑板講解）

?

高斯公式

1.2.? 定理22.3證明

（約25min，投影、圖示與黑板講解）例1的求解

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

斯托克斯公式的重要意義

（約5min，投影、圖示與黑板講解）

?

斯托克說公式

1.2.3.定理22.4證明

（約15min，投影、圖示與黑板講解）例2的求解

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

定理22.5及例3

（約20min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

高斯公式與斯托克斯公式；高斯公式與斯托克斯公式的計(jì)算

八、作業(yè)：P296 1，2，3，4 14 課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案22-5）

課題：§22-4場論初步

一、教學(xué)目的：

1.2.了解場的概念 掌握梯度場、散度場

二、教學(xué)重點(diǎn)：梯度場、散度場

三、教學(xué)難點(diǎn)：梯度場、散度場

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 場的概念、向量場線

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

梯度場的定義及其基本性質(zhì)

（約20min，投影、圖示與黑板講解）?

例1求解

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

? 散度場的定義及其基本性質(zhì)

（約20min，投影、圖示與黑板講解）

?

例2求解

（約15min，投影、圖示與黑板講解）?

了解其他場

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

場的概念；梯度場、散度場。

八、作業(yè)：P296 1，2，3，4。

課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案22-6）

課題：高斯公式與斯托克斯公式和場論初步復(fù)習(xí)課

一、教學(xué)目的：

1.2.鞏固高斯公式與斯托克斯公式 鞏固梯度場、散度場

二、教學(xué)重點(diǎn)：高斯公式與斯托克斯公式

三、教學(xué)難點(diǎn)：高斯公式與斯托克斯公式

四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。

五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學(xué)過程：

? 高斯公式與斯托克斯公式

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

高斯公式與斯托克斯公式的計(jì)算

（約65min，投影、圖示與黑板講解）?

復(fù)習(xí)場論知識

（約15min，黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

高斯公式與斯托克斯公式；高斯公式與斯托克斯公式的計(jì)算； 場的概念；梯度場、散度場。

八、作業(yè)：P305 3，4。

第四篇：數(shù)學(xué)分析 教案

第九章

空間解析幾何

教學(xué)目標(biāo)：

1．理解空間直角坐標(biāo)系的概念,掌握兩點(diǎn)間的距離公式.2．理解向量的概念、向量的模、單位向量、零向量與向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、數(shù)乘、點(diǎn)積與叉積的概念.4．理解基本單位向量，熟練掌握向量的坐標(biāo)表示，熟練掌握用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘、點(diǎn)積與叉積的運(yùn)算.5．理解平面的點(diǎn)法式方程和空間直線的點(diǎn)向式方程（標(biāo)準(zhǔn)方程）、參數(shù)方程，了解平面和空間直線的一般式方程.6．理解曲面及其方程的關(guān)系，知道球面、柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的概念，掌握球面、以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸、準(zhǔn)線在坐標(biāo)面上的旋轉(zhuǎn)曲面及以坐標(biāo)軸為軸的圓柱面和圓錐面的方程及其圖形.7．了解空間曲線及其方程，會(huì)求空間曲線在坐標(biāo)面內(nèi)的投影.8．了解橢球面、橢圓拋物面等二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖形.教學(xué)重點(diǎn)：向量的概念，向量的加法、數(shù)乘、點(diǎn)積與叉積的概念，用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘、點(diǎn)積與叉積的運(yùn)算，平面的點(diǎn)法式方程，空間直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程和參數(shù)方程，球面、以坐標(biāo)軸為軸的圓柱面和圓錐面方程及其圖形，空間曲線在坐標(biāo)面內(nèi)的投影.教學(xué)難點(diǎn)：向量的概念，向量的點(diǎn)積與叉積的概念與計(jì)算，利用向量的點(diǎn)積與叉積去建立平面方程與空間直線方程的方法，利用曲面的方程畫出空間圖形.教學(xué)方法：講授為主的綜合法 教學(xué)學(xué)時(shí)：14學(xué)時(shí) 教學(xué)手段：板書

學(xué)法建議：解析幾何的實(shí)質(zhì)是建立點(diǎn)與實(shí)數(shù)有序數(shù)組之間的關(guān)系，把代數(shù)方程與曲線、曲面對應(yīng)起來，從而能用代數(shù)方法研究幾何圖形建議在本章的學(xué)習(xí)中，應(yīng)注意對空間圖形想象能力的培養(yǎng)，有些空間圖形是比較難以想像和描繪的，這是學(xué)習(xí)本章的一個(gè)難點(diǎn).為了今后學(xué)習(xí)多元函數(shù)重積分的需要，同學(xué)們應(yīng)自覺培養(yǎng)這方面的能力.參考資料： 使用教材：《高等數(shù)學(xué)》（第三版），高職高專十一五規(guī)劃教材，高等教育出版社，2011年5月，侯**主編.參考教材： 1.《高等數(shù)學(xué)》，21世紀(jì)高職高專精品教材，北京理工大學(xué)出版社，2005年5月，宋立溫等主編.2.《高等數(shù)學(xué)》，教育部高職高專規(guī)劃教材，高等教育出版社，2006年4月，盛祥耀主編.3.《高等數(shù)學(xué)》，第五版.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編，高等教育出版社.4.《高等數(shù)學(xué)應(yīng)用205例》，李心燦編，1986年，高等教育出版社.5.《高等數(shù)學(xué)》，宋立溫等主編，21世紀(jì)高職高專精品教材，北京理工大學(xué)出版社，2005年5月.第一節(jié) 空間直角坐標(biāo)系與向量的概念

教學(xué)目標(biāo)：

1．理解空間直角坐標(biāo)系的概念,掌握兩點(diǎn)間的距離公式.2．理解向量的概念、向量的模、單位向量、零向量與向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、數(shù)乘、點(diǎn)積與叉積的概念.4．理解基本單位向量，熟練掌握向量的坐標(biāo)表示，熟練掌握用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘的運(yùn)算.教學(xué)重點(diǎn)：向量的概念，向量的加法、數(shù)乘的概念，用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘的運(yùn)算.教學(xué)難點(diǎn)：向量的概念.教學(xué)方法：講授為主的綜合法 教學(xué)學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí) 教學(xué)手段：板書

一、引入新課（3分鐘）

(提問)舉幾個(gè)既有大小又有方向的量.(溫故知新,進(jìn)行一些必要知識鋪墊。)

二、講授新課（72分鐘）

（一）空間直角坐標(biāo)系（17分鐘）

在空間,使三條數(shù)軸相互垂直且相交于一點(diǎn)O，這三條數(shù)軸分別稱為x軸、y軸和z軸，一般是把x軸和y軸放置在水平面上，z軸垂直于水平面.z軸的正向按下述法則規(guī)定如下：伸出右手，讓四指與大拇指垂直，并使四指先指向x軸的正向，然后讓四指沿握拳方向旋轉(zhuǎn)090指向y軸的正向，這時(shí)大拇指所指的方向就是z軸的正向(該法則稱為右手法則).這樣就組成了右手空間直角坐標(biāo)系Oxyz.在此空間直角坐標(biāo)系中，x軸稱為橫軸，y軸稱為縱軸，簡稱坐標(biāo)面.x軸與yz軸稱為豎軸，O稱為坐標(biāo)原點(diǎn);每兩軸所確定的平面稱為坐標(biāo)平面，軸所確定的坐標(biāo)面稱為xOy坐標(biāo)面，類似地有yOz坐標(biāo)面，zOx坐標(biāo)面。這些坐標(biāo)面把空間分為八個(gè)部分，每一部分稱為一個(gè)卦限.在空間直角坐標(biāo)系中建立了空間的一點(diǎn)M與一組有序數(shù)(x,y,z)之間的一一對應(yīng)關(guān)系。有序數(shù)組(x,y,z)稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)；x,y,z分別稱為x坐標(biāo)，y坐標(biāo)，z坐標(biāo).(提問)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)定，點(diǎn)（0,0,c）在哪條坐標(biāo)軸上，點(diǎn)（a，b，0）(a,0,c)在哪個(gè)坐標(biāo)面上？（目的在于檢驗(yàn)學(xué)生能否正確理解點(diǎn)與有序數(shù)組的對應(yīng)關(guān)系，并在問題中正確應(yīng)用.）

（二）向量的基本概念及線性運(yùn)算（15分鐘）1.向量的基本概念

（此部分內(nèi)容在高中階段已學(xué)，故可由教師引導(dǎo)，師生共同回憶完成）⑴向量的定義：既有大小，又有方向的量，稱為向量或矢量．

?⑵向量的模：向量的大小稱為向量的模，用a或AB表示向量的模． ⑶單位向量 模為1的向量稱為單位向量． ⑷零向量 模為０的向量稱為零向量，零向量的方向是任意的.⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量稱為相等的向量.⑹自由向量 在空間任意地平行移動(dòng)后不變的向量,稱為自由向量.2.向量的線性運(yùn)算 ⑴ 向量的加法

① 三角形法則 若將向量a的終點(diǎn)與向量b的起點(diǎn)放在一起，則以a的起點(diǎn)為起點(diǎn)，以b的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量稱為向量a與b的和向量，記為a?b.這種求向量和的方法稱為向量加法的三角形法則.②平行四邊形法則 將兩個(gè)向量a和b的起點(diǎn)放在一起，并以a和b為鄰邊作平行四邊形，則從起點(diǎn)到對角頂點(diǎn)的向量稱為a?b.這種求向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則.向量的加法滿足下列運(yùn)算律.交換律：a?b=b?a； 結(jié)合律：（a?b）+c=a+（b+c）.⑵ 向量與數(shù)的乘法運(yùn)算

實(shí)數(shù)?與向量a的乘積是一個(gè)向量，稱為向量a與數(shù)?的乘積，記作?a，并且規(guī)定：

①?a?? a；

②當(dāng)??0時(shí)，?a與a的方向相同；當(dāng)??0時(shí)，?a與a的方向相反； ③當(dāng)??0時(shí)，?a是零向量.設(shè)?,?都是實(shí)數(shù)，向量與數(shù)的乘法滿足下列運(yùn)算律：

結(jié)合律：?(?a)?(??)a??(?a)；

分配律：(???)a??a??a , ?(a+b)=?a+?b.向量的加法運(yùn)算和向量與數(shù)的乘法運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.⑶ 求與a同向的單位向量的方法 設(shè)向量a是一個(gè)非零向量，則與a同向的單位向量

ea?a.a ⑷ 負(fù)向量 當(dāng)???1時(shí)，記(-1)a=-a，則-a與a的方向相反，模相等，-a稱為向量a的負(fù)向量.⑸ 向量的減法 兩向量的減法（即向量的差）規(guī)定為 a-b=a +(-1)b.向量的減法也可按三角形法則進(jìn)行，只要把a(bǔ)與b的起點(diǎn)放在一起，a-b即是以b的終點(diǎn)為起點(diǎn)，以a的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.（三）向量的坐標(biāo)表示（40分鐘）

1、向徑及其坐標(biāo)表示

⑴ 基本單位向量 i,j,k分別為與x軸,y軸,z軸同向的單位向量.⑵ 向徑及其坐標(biāo)表示

向徑 終點(diǎn)為P的向量OP稱為點(diǎn)P的向徑,記為OP.點(diǎn)P(a1,a2,a3)的向徑OP的坐標(biāo)表達(dá)式為OP=a1i?a2j?a3k或簡記為 OP={a1,a2,a3}.講解例1（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗(yàn)學(xué)生能否正確應(yīng)用向徑的坐標(biāo)表示.）

2、向量M1M2的坐標(biāo)表示

設(shè)以M1(x1,y1,z1)為起點(diǎn),以M2(x2,y2,z2)為終點(diǎn)的向量M1M2的坐標(biāo)表達(dá)式為 M1M2=(x2?x1)i?(y2?y1)j?(z2?z1)k.講解例2（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗(yàn)學(xué)生能否正確應(yīng)用向量M1M2的坐標(biāo)表示.）

3、向量a?a1i?a2j?a3k的模 a=a1?a2?a3.4、空間兩點(diǎn)間距離公式

?222點(diǎn)M1(x1,y1,z1)與點(diǎn)M2(x2,y2,z2)間的距離記為d(M1M2),則d(M1M2)?M1M2, 而M1M2=(x2?x1)i?(y2?y1)j?(z2?z1)k 所以d(M1M2)?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2

講解例

3、例4（學(xué)生講解，考察學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行運(yùn)用的情況）5.坐標(biāo)表示下的向量運(yùn)算

設(shè)a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k，則有（1）a?b?(a1?b1)i?(a2?b2)j?(a3?b3)k；（2）a?b?(a1?b1)i?(a2?b2)j?(a3?b3)k；（3）?a??(a1i?a2j?a3k)??a1i??a2j??a3k；（4）a?b?a1?b1,a2?b2,a3?b3（5）a∥b?a=?b?a1a2a3??.b1b2b3引導(dǎo)學(xué)生看書、探究證明方法.由老師分析歸納證明思路，指出定理的作用與用法.講解例5（師生共同完成，讓學(xué)生熟悉解題過程，旨在規(guī)范學(xué)生解題步驟，培養(yǎng)科學(xué)的學(xué)習(xí)方法與態(tài)度）

三、課堂練習(xí)（9分鐘）教材169頁1—5題.（檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果，讓學(xué)生在會(huì)的基礎(chǔ)上，訓(xùn)練解題速度。旨在訓(xùn)練學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)思想的能力，并在學(xué)習(xí)中注意這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用）

四、內(nèi)容小結(jié)（4分鐘）

（教師引導(dǎo)學(xué)生一起完成，讓學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)歸納）

（一）空間直角坐標(biāo)系

（二）向量的基本概念及線性運(yùn)算 1.向量的基本概念 2.向量的線性運(yùn)算

（三）向量的坐標(biāo)表示 1.向徑及其坐標(biāo)表示 2.向量M1M2的坐標(biāo)表示

3.向量a?a1i?a2j?a3k的模 a=a1?a2?a3.4.空間兩點(diǎn)間距離公式 5.坐標(biāo)表示下的向量運(yùn)算

五、布置作業(yè)(2分鐘)1.教材169頁2、4、6題

2.預(yù)習(xí)第二節(jié)向量的點(diǎn)積與叉積

222第二節(jié) 向量的點(diǎn)積與叉積

教學(xué)目標(biāo)：熟練掌握用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量點(diǎn)積與叉積的運(yùn)算.教學(xué)重點(diǎn)：向量點(diǎn)積與叉積的概念.教學(xué)難點(diǎn)：用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量點(diǎn)積與叉積的運(yùn)算.教學(xué)方法：講授為主的綜合法 教學(xué)學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí) 教學(xué)手段：板書

一、引入新課（5分鐘）

(提問)1.向徑及其坐標(biāo)表示2.向量M1M2的坐標(biāo)表示3.向量a?a1i?a2j?a3k的模

222?a2?a34.空間兩點(diǎn)間距離公式 a=a1(溫故知新,為用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量點(diǎn)積與叉積的運(yùn)算做一些必要的知識鋪墊。)

二、講授新課（64分鐘）

（一）向量的點(diǎn)積（34分鐘）

1、引例

已知力F與x軸正向夾角為?，其大小為F,在力F的作用下，一質(zhì)點(diǎn)M沿x軸由x=a移動(dòng)到x=b,求力F所做的功？（創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)的情景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣）

分析：在力F使質(zhì)點(diǎn)M沿x軸由x=a移動(dòng)到x=b,所做的功等于F的模與位移的模及其夾角余弦的積.解略.這個(gè)特殊問題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義？引起思維的碰撞，引出向量的點(diǎn)積的定義.2、定義 設(shè)向量a,b之間的夾角為?(0???π)，則稱abcos?為向量a與b的數(shù) 量積，記作a·b，即 a·b=abcos?.向量的點(diǎn)積又稱“點(diǎn)積”或“內(nèi)積”.講解例1.（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗(yàn)學(xué)生能否正確理解向量的點(diǎn)積的定義.）

向量的點(diǎn)積還滿足下列運(yùn)算律: 交換律：a·b= b·a；

分配律：(a+b)·c= a·c+b·c；

結(jié)合律：?(a·b)=(?a)·b(其中?為常數(shù)).3、點(diǎn)積的坐標(biāo)表示

（1）設(shè)a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k,則a·b=a1b1?a2b2?a3b3.（由學(xué)生自行得出點(diǎn)積的坐標(biāo)表示公式，進(jìn)一步加深對向量點(diǎn)積的定義的理解）（2）定理1：a⊥b?a?b?0?a1b1?a2b2?a3b3?0

講解例2.（學(xué)生講解，考察學(xué)生對兩向量正交充分必要條件的理解與應(yīng)用能力）

4、向量a與b的夾角余弦

設(shè)a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k,則 cos??a1b1?a2b2?a3b3a?b =(0???π).222222aba1?a2?a3b1?b2?b35、向量的方向余弦

設(shè) 向 量 a?a1i?a2j?a3k與 x 軸 ,y 軸 ,z 軸 的 正 向 夾 角 分 別 為

?,?,?(0??,?,??π),稱其為向量a的三個(gè)方向角，并稱cos? ,cos?,cos?為a的方向余弦，向量a的方向余弦的坐標(biāo)表示為

cos??且cos2??cos2a1a?a?a212223, cos??a2a?a?a212223, cos??a3a?a?a212223，??cos2??1.講解例4（（師生共同完成.利用數(shù)學(xué)建模解決物理問題，讓學(xué)生熟悉建模過程，規(guī)范解題步驟.數(shù)學(xué)來源于生活、服務(wù)生活，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識.）

（二）向量的叉積（30分鐘）1.引例

設(shè)點(diǎn)O為一杠桿的支點(diǎn)，力F作用于杠桿上點(diǎn)P處，求力F對支點(diǎn)O的力矩.分析：力F對支點(diǎn)O的力矩等于F的模與向量OP的模及其夾角正弦的積.解略.（這個(gè)特殊問題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義？引起思維的碰撞，引出向量的叉積的定義.）

2.叉積的定義

(1)定義 兩個(gè)向量a與b的叉積是一個(gè)向量，記作a×b，它的模和方向分別規(guī)定如下：

①a×b=absin? 其中?是向量a與b的夾角；

②a×b的方向?yàn)榧却怪庇赼又垂直于b，并且按順序a,b,a×b符合右手法則.（2）向量的叉積滿足如下運(yùn)算律.反交換律：a×b=-b×a；

分配律：(a+b)×c=a×c+b×c；

結(jié)合律：?(a×b)=(?a)×b=a×(?b)(其中?為常數(shù)).講解例5（學(xué)生講解，考察學(xué)生對向量叉積定義的理解與應(yīng)用能力）（3）定理2：a∥b?a?b?0.3.叉積的坐標(biāo)表示

設(shè)a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k，則

a×b=(a2b3?a3b2)i?(a1b3?a3b1)j?(a1b2?a2b1)k.可將a×b表示成一個(gè)三階行列式的形式，計(jì)算時(shí)，只需將其按第一行展開即可.即

i j k a×b= a1 a2 a3.b1 b2 b3

講解例6（師生共同完成，加深學(xué)生對叉積的坐標(biāo)表示公式的記憶，讓學(xué)生熟悉解題過程，旨在規(guī)范學(xué)生解題步驟，培養(yǎng)科學(xué)的學(xué)習(xí)方法與態(tài)度）

講解例8(師生共同完成，訓(xùn)練學(xué)生解決實(shí)際問題的能力)

三、課堂練習(xí)（15分鐘）

教材174頁思考題1—3題.（檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果，讓學(xué)生在會(huì)的基礎(chǔ)上，訓(xùn)練解題速度.）

四、內(nèi)容小結(jié)（4分鐘）

（教師引導(dǎo)學(xué)生一起完成，讓學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)歸納，訓(xùn)練學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)思想的能力，并在學(xué)習(xí)中注意這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.）

（一）向量的點(diǎn)積定義、坐標(biāo)表示；

（二）向量的叉積定義、坐標(biāo)表示及記憶方法.五、布置作業(yè)(2分鐘)1.教材174頁2、4、6、8題 2.預(yù)習(xí)第三節(jié)平面與直線

第五篇：《數(shù)學(xué)分析》教案

《數(shù)學(xué)分析》教案

S F 01(數(shù))

C h0 數(shù)學(xué)分析課程簡介

C h 1 實(shí)數(shù)集與函數(shù)

計(jì)劃課時(shí)： Ch 0

2時(shí)

Ch 1

6時(shí)

P 1—8

說 明：

1．這是給數(shù)學(xué)系2001屆學(xué)生講授《數(shù)學(xué)分析》課編制的教案.該課程開設(shè)兩學(xué)期, 總課時(shí)為1 8 0 學(xué)時(shí), 是少課時(shí)型教案（后來又開設(shè)了一學(xué)期，增加了8 0 學(xué)時(shí)）.按照學(xué)分制的要求, 只介紹數(shù)學(xué)分析最基本的內(nèi)容.本教案共2 7 9頁，分2 1章.2.取材的教材: [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析，高等教育出版社，1996；

[2] 鄭英元，毛羽輝，宋國東，數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教程，高等教育出版社，1991； [3] 馬振民，數(shù)學(xué)分析的方法與技巧選講，蘭州大學(xué)出版社，1999； [4] 馬振民，呂克璞，微積分習(xí)題類型分析, 蘭州大學(xué)出版社，1999； [5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.Ch 0

數(shù)學(xué)分析課程簡介(2 時(shí))一.數(shù)學(xué)分析(mathematical analysis)簡介:

1.背景: 從切線、面積、計(jì)算sin32?、實(shí)數(shù)定義等問題引入.2.極限(limit)—— 變量數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算：

3.數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容：數(shù)學(xué)分析以極限為基本思想和基本運(yùn)算研究實(shí)變實(shí)值

函數(shù).主要研究微分(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運(yùn)算,利用這兩種運(yùn)算從微觀和宏觀兩個(gè)方面研究函數(shù), 并依據(jù)這些運(yùn)算引進(jìn)并研究一些非初等函數(shù).數(shù)學(xué)分析基本上是連續(xù)函數(shù)的微積分理論.微積運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算.數(shù)學(xué)分析與微積分(calculus)的區(qū)別..二． 數(shù)學(xué)分析的形成過程：

1． 孕育于古希臘時(shí)期： 在我國，很早就有極限思想.紀(jì)元前三世紀(jì), Archimedes 就有了積分思想.2.十七世紀(jì)以前是一個(gè)漫長的醞釀時(shí)期,是微積分思想的發(fā)展、成果的積累時(shí)期: 3． 十七世紀(jì)下半葉到十九時(shí)紀(jì)上半葉 —— 微積分的創(chuàng)建時(shí)期: 參閱《數(shù)學(xué)分

析選講》講稿(1997.8.10.)第三講P72.4.十九時(shí)紀(jì)上半葉到二十時(shí)紀(jì)上半葉 —— 分析學(xué)理論的完善和重建時(shí)期：參閱 《數(shù)學(xué)分析選講》講稿第三講P72—75.三.數(shù)學(xué)分析課的特點(diǎn):

邏輯性很強(qiáng), 很細(xì)致, 很深刻;先難后易, 是說開頭四章有一定的難度, 倘能努力學(xué)懂前四章(或前四章的8000), 后面的學(xué)習(xí)就會(huì)容易一些;只要在課堂上專心聽講, 一般是可以聽得懂的, 但即便能聽懂,習(xí)題還是難以順利完成.這是因?yàn)閿?shù)學(xué)分析技巧性很強(qiáng), 只了解基本的理論和方法, 不輔以相應(yīng)的技巧, 是很難順利應(yīng)用理論和方法的.論證訓(xùn)練是數(shù)學(xué)分析課基本的,也是重要的內(nèi)容之一, 也是最難的內(nèi)容之一.一般懂得了證明后，能把證明準(zhǔn)確、嚴(yán)密、簡練地用數(shù)學(xué)的語言和符號書寫出來，似乎是更難的一件事.因此, 理解證明的思維方式, 學(xué)習(xí)基本的證明方法, 掌握敘述和書寫證明的一般語言和格式, 是數(shù)學(xué)分析教學(xué)貫穿始終的一項(xiàng)任務(wù).有鑒于此, 建議的學(xué)習(xí)方法是: 預(yù)習(xí), 課堂上認(rèn)真聽講, 必須記筆記, 但要注意以聽為主, 力爭在課堂上能聽懂七、八成.課后不要急于完成作業(yè), 先認(rèn)真整理筆記, 補(bǔ)充課堂講授中太簡或跳過的推導(dǎo), 閱讀教科書, 學(xué)習(xí)證明或推導(dǎo)的敘述和書寫.基本掌握了課堂教學(xué)內(nèi)容后, 再去做作業(yè).在學(xué)習(xí)中, 要養(yǎng)成多想問題的習(xí)慣.四.課堂講授方法:

1.關(guān)于教材: 沒有嚴(yán)格意義上的教科書.這是大學(xué)與中學(xué)教學(xué)不同的地方, 本課程主要從以下教科書中取材:

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析，高等教育出版社，1996；

[2] 鄭英元，毛羽輝，宋國東，數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教程，高等教育出版社，1991；

[3] 馬振民，數(shù)學(xué)分析的方法與技巧選講，蘭州大學(xué)出版社，1999；

[4] 馬振民，呂克璞，微積分習(xí)題類型分析, 蘭州大學(xué)出版社，1999；

[5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.本課程基本按[1]的邏輯順序, 主要在[1]、[4]、[3]中取材.在講授中, 有時(shí)會(huì)指出所講內(nèi)容的出處.本課程為適應(yīng)課時(shí)少和學(xué)分制的要求，只介紹數(shù)學(xué)分析最基本的內(nèi)容.因此刪去了[1]中第八、十五、十九和二十二等四章，相應(yīng)的內(nèi)容作為選修課將在學(xué)完數(shù)學(xué)分析課之后開設(shè).2.內(nèi)容多, 課時(shí)緊: 大學(xué)課堂教學(xué)與中學(xué)不同的是, 這里每次課介紹的內(nèi)容很多, 因此, 內(nèi)容重復(fù)的次數(shù)少, 講課只注重思想性與基本思路, 具體內(nèi)容或推導(dǎo), 特別是同類型或較簡的推理論證及推導(dǎo)計(jì)算, 可能講得很簡, 留給課后的學(xué)習(xí)任務(wù)一般很重.3.講解的重點(diǎn): 概念的意義與理解, 幾何直觀, 理論的體系, 定理的意義、條件、結(jié)論.定理證明的分析與思路, 具有代表性的證明方法, 解題的方法與技巧.某些精細(xì)概念之間的本質(zhì)差別.在第一、二章教學(xué)中, 可能會(huì)寫出某些定理證明, 以后一般不會(huì)做特別具體的證明敘述.五.要求、輔導(dǎo)及考試：

1.學(xué)習(xí)方法: 盡快適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)方法, 盡快進(jìn)入角色.課堂上以聽為主, 但要做課堂筆記.課后一定要認(rèn)真復(fù)習(xí)消化, 補(bǔ)充筆記.一般課堂教學(xué)與課外復(fù)習(xí)的時(shí)間比例應(yīng)為1 : 3(國外這個(gè)比例通常是 1 : 4.參《西北師大報(bào)》№191，2000.9.30.第二版:

本科節(jié)段如何培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新人材 ——

伯利克大學(xué)的啟示.注: 伯利克大學(xué)乃美國加州大學(xué)伯利克分校.)對將來從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作的師范大學(xué)本科生來說, 課堂聽講的內(nèi)容應(yīng)該更為豐富:

要認(rèn)真評價(jià)教師的課堂教學(xué), 把教師在課堂上的成功與失敗變?yōu)樽约旱慕?jīng)驗(yàn).這對未來的教學(xué)工作是很有用的.2.作業(yè):

作業(yè)以[1]的練習(xí)題中劃線以上的部分習(xí)題和[4]中的計(jì)算題為主要內(nèi)容.大體上每兩周收一次作業(yè), 一次收清.每次重點(diǎn)檢查作業(yè)總數(shù)的三分之一.作業(yè)的收交和完成情況有一個(gè)較詳細(xì)的登記, 缺交作業(yè)將直接影響學(xué)期總評成績.作業(yè)要按數(shù)學(xué)排版格式書寫恭整.要求活頁作業(yè), 最好用西北師大稿紙.要有作業(yè)封面, 尺寸為19.5?27.5cm.作業(yè)布置方式: [1]P…, [4]P…

3.輔導(dǎo): 大體每周一次, 第一學(xué)期要求輔導(dǎo)時(shí)不缺席.4.考試: 按學(xué)分制的要求, 只以最基本的內(nèi)容進(jìn)行考試, 大體上考課堂教學(xué)和所布置作業(yè)的內(nèi)容, 包括[1]和[4]中的典型例題.考試題為標(biāo)準(zhǔn)化試題.Ch 1 實(shí)數(shù)集與函數(shù)(6時(shí))

§ 1

實(shí)數(shù)集與確界（3時(shí)）

一．

實(shí)數(shù)集R：回顧中學(xué)中關(guān)于實(shí)數(shù)集的定義.1.四則運(yùn)算封閉性: 2.三歧性(即有序性): 3.Rrchimedes性: ?a,b?R, b?a?0, ?n?N, ? na?b.4.稠密性: 有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性, 給出稠密性的定義.5.實(shí)數(shù)集的幾何表示 ─── 數(shù)軸: 6.兩實(shí)數(shù)相等的充要條件: a?b, ? ???0, a?b ? ?.7.區(qū)間和鄰域:

二.幾個(gè)重要不等式:

1.絕對值不等式: 定義 a ?max??a , a ?.[1]P2 的六個(gè)不等式.2.其他不等式:

⑴ a2?b2?2ab, sinx ? 1.sinx ? x.⑵

均值不等式: 對?aa?1,a2,?,n?R, 記

M(aa1?a2???anni)? n? 1n?ai,(算術(shù)平均值)

i?11n

G(ai)?na?1a2?an??n???ai??,(幾何平均值)?i?1?

H(ai)?n1?1n?nna?1???111?1.(調(diào)和平均值)1a2ann?i?1aii?1ai有平均值不等式:

H(ai)? G(ai)? M(ai),等號當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an時(shí)成立.⑶

Bernoulli 不等式:(在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過)?x??1,有不等式(1?x)n?1?nx, n?N.當(dāng)x??1 且 x?0, n?N且n?2時(shí), 有嚴(yán)格不等式(1?x)n?1?nx.(現(xiàn)采用《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》1991.№ 1馬德堯文 “均值不等式妙用兩則”中的證明)證 由 1?x?0且1?x?0, ?(1?x)n?n?1?(1?x)n?1?1???1? ?n n(1?x)n?n(1?x).?(1?x)n?1?nx.⑷ 利用二項(xiàng)展開式得到的不等式: 對?h?0, 由二項(xiàng)展開式(1?h)n?1?nh?n(n?1)2!h?2n(n?1)(n?2)3!h???h，3n 有(1?h)n?上式右端任何一項(xiàng).三.有界數(shù)集與確界原理: 1.有界數(shù)集:

定義(上、下有界, 有界)，閉區(qū)間、(a,b)(a,b為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，集合 E??y y?sinx, x?(?? , ??)?也是有界數(shù)集.無界數(shù)集: 定義,(?? , ??),(?? , 0),(0 , ??)等都是無界數(shù)集，??1?, x?(0 , 1)?也是無界數(shù)集.x?集合 E??y y?2.確界: 給出直觀和刻畫兩種定義.n?(?1)

例

1⑴

S??1?n???,則supS?______, infS?_______.?

⑵ E??y y?sinx, x?(0,?)?.則

supE?________, infE?_________.例2 非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的.例3 設(shè)S和A是非空數(shù)集，且有S?A.則有 supS?supA, infS?infA..例4 設(shè)A和B是非空數(shù)集.若對?x?A和?y?B,都有x?y, 則有

supA?infB.證 ?y?B, y是A的上界, ? supA?y.? supA是B的下界, ? supA?infB.例5 A和B為非空數(shù)集, S?A?B.試證明: infS?min? infA , infB ?.證

?x?S,有x?A或x?B, 由infA和infB分別是A和B的下界,有

x?infA或x?infB.? x?min? infA , infB ?.即min? infA , infB ?是數(shù)集S的下界, ? infS?min? infA , infB ?.又S?A, ? S的下界就是A的下界,infS是S的下界, ? infS是A的下界, ? infS?infA;同理有infS?infB.于是有 infS?min? infA , infB ?.綜上, 有 infS?min? infA , infB ?.3.數(shù)集與確界的關(guān)系: 確界不一定屬于原集合.以例1⑵為例做解釋.4.確界與最值的關(guān)系: 設(shè) E為數(shù)集.⑴

E的最值必屬于E, 但確界未必, 確界是一種臨界點(diǎn).⑵

非空有界數(shù)集必有確界(見下面的確界原理), 但未必有最值.⑶

若maxE存在, 必有 maxE?supE.對下確界有類似的結(jié)論.四.確界原理:

Th(確界原理).Ex

[1]P4 3，4，9，10；

P9

2，4，7⑴⑶.§ 2 初等函數(shù)(3時(shí))

一.函數(shù):

1.函數(shù):

[1]P10—12的五點(diǎn)說明.2.定義域: 定義域和存在域.3.函數(shù)的表示法:

4.反函數(shù):

一 一 對應(yīng), 反函數(shù)存在定理.5.函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算:

?1?x, x?1,?f(x)??2, x?1，?2?x, x?1

二.分段函數(shù): 以函數(shù)介紹概念.??2?x, x?1,和g(x)??2為例

??x, x?1例1 f(x)?3?2x?1, 去掉絕對值符號.x ? 1,?x, ?1?x, x ?1.例

2f(x)??

求 f(0), f(1), f(2).例

3設(shè) f(x)???x?3, x?10,?f?f(x?5)?, x?10.求 f(5).(答案為8)

三.函數(shù)的復(fù)合:

例4 y?f(u)?定義域.例

5⑴

f(1?x)?x?x?1, f(x)?_____________.??1?12??x?2.則f(x)?()x?x222u, u ?g(x)?1?x.求

2?f?g?(x)?f?g(x).?并求

⑵

f?x?2

A.x, B.x?1, C.x?2, D.x?2.[4]P407 E62.2四.初等函數(shù):

1.基本初等函數(shù):

2.初等函數(shù): 3.初等函數(shù)的幾個(gè)特例: 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)都是初等函數(shù), 則

⑴ f(x)是初等函數(shù), 因?yàn)? f(x)??f(x)?2.⑵ ?(x)?max?f(x), g(x)? 和 ?(x)?min?f(x), g(x)?都是初等函數(shù), 因?yàn)??(x)?max?f(x), g(x)?? ?(x)?min?f(x), g(x)? ? ⑶ 冪指函數(shù) ?f(x)? ?f(x)?g(x)1212?f(x)?g(x)??f(x)?g(x)?f(x)?g(x)? , f(x)?g(x)?.g(x)?f(x)?0?是初等函數(shù),因?yàn)?/p>

g(x)?eln?f(x)??eg(x)lnf(x).五.有界函數(shù): 有界函數(shù)概念.例6

驗(yàn)證函數(shù) f(x)?225x2x?32在R內(nèi)有界.2解法一 由2x?3?(2x)?(3)?25x2x?322x?3?26x, 當(dāng)x?0時(shí),有

f(x)??5x2x?32?5x26x?526?3.f(0)?0?3，?

對 ?x?R, 總有 f(x)?3, 即f(x)在R內(nèi)有界.解法二

令 y?5x2x?32, ? 關(guān)于x的二次方程 2yx22?5x?3y?0有實(shí)數(shù)根.22

? ??5?24y?0, ? y?2524?4, ? y?2.解法三

令 x?????tgt, t???,?對應(yīng)x?(?? , ??).于是 2?22?3f(x)?5x2x?325??2???332tgt2?533tgt2?tgt??3?2?2tgt?1?5sint126costsect?

? 526sin2t, ? f(x)?526sin2t?526.關(guān)于奇偶函數(shù)、周期函數(shù)和單調(diào)函數(shù)，參閱[1]P22—25，[4]P19—24.Ex [1]P19—20 1⑸，3，4，6；

P25 1，2，5，8，12；

[4]P34—36 54，55，56，67，68，71，81.