第一篇：數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法·等比數(shù)列前n項和的公式

數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法·等比數(shù)列前n項和的公式·教案

教學(xué)目標

1．掌握求等比數(shù)列前n項和的公式及其推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的思維． 2．初步掌握公式的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力． 教學(xué)重點與難點

等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo) 教學(xué)過程設(shè)計

課堂教學(xué)設(shè)計說明

本課知識與前面的知識——等差數(shù)列求和公式，教學(xué)內(nèi)容聯(lián)系緊密，只要學(xué)生掌握好舊知識，再經(jīng)過分析、綜合、歸納、推理，就能導(dǎo)出所學(xué)內(nèi)容．采用這種教學(xué)方法，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性高，因而教學(xué)效率高、效果好，同時，對完善學(xué)生的認知過程，提高他們分析問題、解決問題的能力大有裨益． 本節(jié)課教學(xué)過程可概括如下：（1）復(fù)習(xí)舊知識，引出新課題；（2）推導(dǎo)公式，弄清條件，認識新知識；（3）運用公式，鞏固新知識；（4）小結(jié)，布置作業(yè)．

對全課作了如此設(shè)計，主要基于以下幾點：

（1）對公式的教學(xué)，要充分揭示公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握與理解公式的來龍去脈，掌握公式的導(dǎo)出方法，理解公式的成立條件．也就是讓學(xué)生對本課要學(xué)習(xí)的新知識有一個清晰的、完整的認識、忽視公式的推導(dǎo)和條件，直接記憶公式的結(jié)論是降低教學(xué)要求，違背教學(xué)規(guī)律的做法．

（2）本課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的教學(xué)方法，既發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，又體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，學(xué)生獲取知識必須通過學(xué)生自己的一系列思維活動來完成，課堂上教師的作用主要在于給學(xué)生設(shè)計好符合他們學(xué)習(xí)心理過程的學(xué)習(xí)程序，通過設(shè)疑、暗示、課堂討論、自編習(xí)題等多種教學(xué)形式和方法，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們自始至終處于一種積極進取的興奮狀態(tài)，使他們通過在教師引導(dǎo)下的獨立活動，自然而有效地獲取知識、技能和技巧．同時在數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐活動中形成、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力．

第二篇：等比數(shù)列前n項和公式教案

課題: §2.5等比數(shù)列的前Ⅱ.講授新課

n項和

[分析問題]如果把各格所放的麥粒數(shù)看成是一個數(shù)列，我們可以得到一個等比數(shù)列，它的首項是1，公比是2，求第一個格子到第64個格子各格所放的麥粒數(shù)總合就是求這個等比數(shù)列的前64項的和。下面我們先來推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式。

1、等比數(shù)列的前n項和公式：

當(dāng)q?1時，Sn?a1(1?q)1?qn ①

或Sn?a1?anq1?q

②

當(dāng)q=1時，Sn?na1

當(dāng)已知a1, q, n 時用公式①；當(dāng)已知a1, q, an時，用公式②.公式的推導(dǎo)方法一：

一般地，設(shè)等比數(shù)列a1,a2?a3,?an?它的前n項和是

Sn?a1?a2?a3??an

?Sn?a1?a2?a3??an由? n?1a?aq1?n2n?2n?1??a1q?Sn?a1?a1q?a1q??a1q得?

23n?1n??a1q?qSn?a1q?a1q?a1q??a1qn?(1?q)Sn?a1?a1q

∴當(dāng)q?1時，Sn?a1(1?q)1?qn ①

或Sn?a1?anq1?q

②

當(dāng)q=1時，Sn?na1

公式的推導(dǎo)方法二：

有等比數(shù)列的定義，a2a1?a3a2???anan?1??q

根據(jù)等比的性質(zhì)，有a2?a3???ana1?a2???an?1Sn?a1Sn?an?q

即 Sn?a1Sn?an?q?(1?q)Sn?a1?anq（結(jié)論同上）

圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運用等比定理，導(dǎo)出了公式． 公式的推導(dǎo)方法三：

Sn?a1?a2?a3??an＝a1?q(a1?a2?a3??an?1)

＝a1?qSn?1＝a1?q(Sn?an)

?(1?q)Sn?a1?anq（結(jié)論同上）

課題: §2.5等比數(shù)列的前●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入

首先回憶一下前一節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容： 等比數(shù)列的前n項和公式： 當(dāng)q?1時，Sn?a1(1?q)1?qnn項和

①

或Sn?a1?anq1?q

②

當(dāng)q=1時，Sn?na1

當(dāng)已知a1, q, n 時用公式①；當(dāng)已知a1, q, an時，用公式②

課 題：數(shù)列復(fù)習(xí)小結(jié)

教學(xué)過程：

一、本章知識結(jié)構(gòu)

二、知識綱要

(1)數(shù)列的概念，通項公式，數(shù)列的分類，從函數(shù)的觀點看數(shù)列．(2)等差、等比數(shù)列的定義．(3)等差、等比數(shù)列的通項公式．(4)等差中項、等比中項．

(5)等差、等比數(shù)列的前n項和公式及其推導(dǎo)方法．

三、方法總結(jié)

1．?dāng)?shù)列是特殊的函數(shù)，有些題目可結(jié)合函數(shù)知識去解決，體現(xiàn)了函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想．

2．等差、等比數(shù)列中，a1、an、n、d(q)、Sn “知三求二”，體現(xiàn)了方程(組)的思想、整體思想，有時用到換元法．

3．求等比數(shù)列的前n項和時要考慮公比是否等于1，公比是字母時要進行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想． 4．?dāng)?shù)列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，錯位相減法，拆項法，裂項法，累加法，等價轉(zhuǎn)化等．

四、知識精要：

1、數(shù)列

[數(shù)列的通項公式] an2、等差數(shù)列 [等差數(shù)列的概念] [定義]如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。[等差數(shù)列的判定方法]

1． 定義法：對于數(shù)列?an?，若an?1?an?d(常數(shù))，則數(shù)列?an?是等差數(shù)列。2．等差中項：對于數(shù)列?an?，若2an?1?an?an?2，則數(shù)列?an?是等差數(shù)列。[等差數(shù)列的通項公式]

如果等差數(shù)列?an?的首項是a1，公差是d，則等差數(shù)列的通項為an?a1?(n?1)d。[說明]該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)。[等差數(shù)列的前n項和] 1．Sn?n(a1?an)2?a1?S1(n?1)???Sn?Sn?1(n?2)[數(shù)列的前n項和] Sn?a1?a2?a3???an

2.Sn?na1?n(n?1)2d

[說明]對于公式2整理后是關(guān)于n的沒有常數(shù)項的二次函數(shù)。[等差中項] 如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項。即：A?a?b2或2A?a?b

[說明]：在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項（有窮等差數(shù)列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項；事實上等差數(shù)列中某一項是與其等距離的前后兩項的等差中項。[等差數(shù)列的性質(zhì)]

1．等差數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果an是等差數(shù)列的第n項，am是等差數(shù)列的第m項，且m?n，公差為d，則有an?am?(n?m)d

2.對于等差數(shù)列?an?，若n?m?p?q，則an?am?ap?aq。

3．若數(shù)列?an?是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等差數(shù)列。

3、等比數(shù)列 [等比數(shù)列的概念] [定義]如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q?0）。[等比中項] 如果在a與b之間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項。即G2?ab。[等比數(shù)列的判定方法] 1． 定義法：對于數(shù)列?an?，若an?1an?q(q?0)，則數(shù)列?an?是等比數(shù)列。

22．等比中項：對于數(shù)列?an?，若anan?2?an，則數(shù)列?an?是等比數(shù)列。?1[等比數(shù)列的通項公式]

n?1如果等比數(shù)列?an?的首項是a1，公比是q，則等比數(shù)列的通項為an?a1q。

[等比數(shù)列的前n項和] Sn?a1(1?q)1?qn(q?1)Sn?a1?anq1?q(q?1)當(dāng)q?1時，Sn?na1

[等比數(shù)列的性質(zhì)] 1．等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：an?amqn?m

2． 對于等比數(shù)列?an?，若n?m?u?v，則an?am?au?av

4．若數(shù)列?an?是等比數(shù)列，Sn是其前n項的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比數(shù)列。如下圖所示：

4、數(shù)列前n項和（1）重要公式：

1?2?3??n?1?2?3??n222n(n?1)22；

； ?n(n?1)(2n?1)61?2??n333?[121n(n?1)] 2（2）裂項求和：

n(n?1)?1n?1n?1；

第三篇：等比數(shù)列前n項和公式教學(xué)設(shè)計（模版）

等比數(shù)列前n項和公式教學(xué)設(shè)計 1.復(fù)習(xí):(1)等比數(shù)列的定義

(2)等比數(shù)列的通項公式: 2.引例：

一個窮人到富人那里去借錢,原以為富人不愿意，哪知富人一口答應(yīng)了下來,但提出了如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元,第二天借給窮人2萬元,以后每天所借的錢數(shù)都比上一天多1萬;但借錢第一天,窮人還1分錢,第二天還2分錢,以后每天所還的錢數(shù)都是上一天的兩倍,30天后互不相欠.窮人聽后覺得挺劃算,本想定下來,但又想到此富人是吝嗇出了名的,怕上當(dāng)受騙,所以很為難?！闭堅谧耐瑢W(xué)思考討論一下,窮人能否向富人借錢?（1）啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地觀察問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

學(xué)生直覺認為窮人可以向富人借錢，教師引導(dǎo)學(xué)生自主探求，得出：

S窮人30天借到的錢：

'30?1?2???30?229(1?30)?302??465（萬元）

窮人需要還的錢：S30?1?2?2???2?

29（2）教師緊接著把如何求S學(xué)生探究，30?1?2?2???22?？的問題讓S30?1?2?2???2229

①若用公比2乘以上面等式的兩邊，得到

2S30?2?2???2229?230②

若②式減去①式，可以消去相同的項，得到：

S30?230?1?1073741823(分)≈1073(萬元)＞ 465（萬元）

由此得出窮人不能向富人借錢

（3）小組合作

仿照公比為2的等比數(shù)列求和方法，推倒等比數(shù)列前 項和公式：

等式兩邊應(yīng)同乘以等比數(shù)列的公比，即（板書）

③兩端同乘以，得 ④，③－④得

醒學(xué)生注意 的取值）當(dāng) 當(dāng) 時，由③可得 時，由⑤得

（不必導(dǎo)出④，但當(dāng)時設(shè)想不到）.⑤，（提問學(xué)生如何處理，適時提于是

（4）教師：還有沒有其他推導(dǎo)方法？

?a2a1?a3a2???anan?1?q

?a2?a3???ana1?a2???an?1?q

即

sn?a1sn?an?q?sn?a1?anq1?q(q?1)。

學(xué)生B：

sn?a1?a1q???a1q?a1?qa1?a1q???a1qn?2?a1q1n?1

?n?2??a?qsn?1?a1?q?sn?an??a1?qsn?anqa1?anq1?q(q?1)?sn?qsn?a1?anq?sn?

3．練習(xí)：

求下列等比數(shù)列的各項和：

(1)1，3，9，…，2187

（2）1,?1,1,?1,?,?2481512

2、根據(jù)下列條件求等比數(shù)列?a?的前n項和S

nn①a1?2,q?2,n?8

②a1?8,q?2,an?12

4．布置作業(yè)：

1、根據(jù)下列條件，求等比數(shù)列?an?的前n項和S

n①: a1?3,q?2,n?6

②: a1?8,q?12,an?12

0,n?049 ③：a2?0.12,a5?0.0 ④: a1?a3?10,a4?a6?54，2、在等比數(shù)列?an?中，①:已知a1?2,S3?26，求q和Sn ②:已知S2?30,S3?115，求Sn

第四篇：關(guān)于自然數(shù)數(shù)列前n項和公式證明

自然數(shù)平方與立方數(shù)列前n項和公式證明

huangjianwxyx

以下公式，尤其是二、三公式的推導(dǎo)體現(xiàn)了遞推消項數(shù)學(xué)思想。

一、證明：Sn=?k=1＋2＋3＋…＋n＝(1+n)n/2證：(略)

二、證明：Sn=?k2=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6

k?1k?1nn

證：?(n＋1)3－n3=(n3＋3n2＋3n＋1)－n3=3n2＋3n＋1，則：

23－13=3×12＋3×1＋1（n從1開始）

33－23=3×22＋3×2＋1

43－33=3×32＋3×3＋1

53－43=3×42＋3×4＋1

63－53=3×52＋3×5＋1

…

(n＋1)3－n3=3×n2＋3×n＋1（至n結(jié)束）

上面左右所有的式子分別相加，得：

(n＋1)3－13=3×[12＋22＋32＋…＋n2]＋3×[1＋2＋3＋…＋n]＋n ?(n＋1)3－1=3Sn＋3×[n(n＋1)/2]＋n

?Sn=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6

三、證明：Sn=?k3=13+23+.....+n3=n2(n+1)2/4=[n(n+1)/2] 2

k?1n

證：?(n+1)4-n4=[(n+1)2+n2][(n+1)2-n2]=(2n2+2n+1)(2n+1)=4n3+6n2+4n+1則：

24-14=4*13+6*12+4*1+1（n從1開始）

34-24=4*23+6*22+4*2+1

44-34=4*33+6*32+4*3+1

...(n+1)4-n4=4*n3+6*n2+4*n+1（至n結(jié)束）

上面左右所有的式子分別相加，得：

(n+1)4-1=4*(13+23+.....+n3)+6*(12＋22＋32＋…＋n2)+4*(1+2+3+...+n)+n?4*(13+23+.....+n3)=(n+1)4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]2

?Sn=13+23+.....+n3=[n(n+1)/2] 2

第五篇：等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用

第2課時等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用

學(xué)習(xí)目標

1.掌握等比數(shù)列 的 前n項和公式及有關(guān)性質(zhì)，能熟練運用公式解決簡單的相關(guān)問題。

2.自助學(xué)習(xí)，合作探究，掌握等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)與運用。

3.激情投入，全力以赴，享受學(xué)習(xí)成功的快樂，激勵學(xué)生創(chuàng)新，勇于探索。重點：等比數(shù)列的前n項和公式及有關(guān)性質(zhì)。

難點：等比數(shù)列的前n項和公式及有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。

預(yù)習(xí)案

Ⅰ相關(guān)知識

等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)方法；等比數(shù)列的前n項和公式。

Ⅱ教材助讀

1.等比數(shù)列中的Sn與an具有什么關(guān)系？

2.等比數(shù)列{an}中，a2?a3?na(?a1?a2??n表示?)a用qnS，即1,Sn?a1?_________q

3.等比數(shù)列{an}中，an?1?an?2??a2n?(a1?a2??an)__

4.若某數(shù)列的前n項和公式為Sn??Aqn?A(A?0,q?0且q?1,n?N?),此數(shù)列是等比數(shù)列，這個結(jié)論對嗎？

5.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則a1?a2,a3?a4,a5?a6,a7?a8,能構(gòu)成一個等比數(shù)列嗎？S3,S6?S3,S9?S6,Ⅲ預(yù)習(xí)自測 呢？

1.一個公比q為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，若a1?a2?20,a3?a4?80,則a5?a6=（）

A120B240C320D480

2.等比數(shù)列{an}中，S2?7,S6?91,則S4?()

A28B32C35D49

探究案

導(dǎo)入新課

一個窮人到一個婦人那里去借錢，原以為婦人會不愿意