第一篇：第七章 推理與證明第2課時(shí) 直接證明與間接證明
第七章 推理與證明第(理)95～96頁(yè))2課時(shí) 直接證明與間接證明(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(文)、1.已知向量m＝(1，1)與向量n＝(x，2－2x)垂直，則x＝________．
答案：
2解析：m·n＝x＋(2－2x)＝2－x.∵ m⊥n，∴ m·n＝0，即x＝2.2.用反證法證明命題“如果a>b，那么a>b”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為_(kāi)_____________． 答案：a＝b或a 3333解析：根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定，即a＝b或a 解析：由分析法可得，要證6－22>5－7，只需證6＋7>5＋22，即證13＋242>13＋41010.因?yàn)?2>40，所以6－5－7成立． 4.定義集合運(yùn)算：A·B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，設(shè)集合A＝{－1，0，1}，B＝{sinα，cosα}，則集合A·B的所有元素之和為_(kāi)_______． 答案：0 π解析：依題意知α≠kπ＋，k∈Z.4?23π2?①α＝kπ＋(k∈Z)時(shí)，B＝?，42??2 ?22?A·B＝?0，?； 22?? π②α＝2kπ或α＝2kπ＋∈Z)時(shí)，B＝{0，1}，A·B＝{0，1，－1}； 2 π③α＝2kπ＋π或α＝2kπ－(k∈Z)時(shí)，B＝{0，－1}，A·B＝{0，1，－1}； 2 kπ3π④α≠α≠kπ＋∈Z)時(shí)，B＝{sinα，cosα}，A·B＝{0，sinα，cosα，－sinα，24 －cosα}． 綜上可知A·B中的所有元素之和為0.115.(選修12P44練習(xí)題4改編)設(shè)a、b為兩個(gè)正數(shù)，且a＋b＝1≥μ恒成立ab的μ的取值范圍是________． 答案：(－∞，4] 11?11ba＝2＋≥2＋2解析：∵ a＋b＝1，且a、b為兩個(gè)正數(shù)，∴ ＋＝(a＋b)??ab?ababab 1＝4.要使得≥μ恒成立，只要μ≤ 4.ab 1.直接證明 (1)定義：直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法．(2)一般形式 本題條件 已知定義已知公理已知定理TATBT C?本題結(jié)論． (3)綜合法 ① 定義：從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止．這種證明方法稱為綜合法． ② 推證過(guò)程 已知條件T ?T ? T結(jié)論 (4)分析法 ① 定義：從問(wèn)題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實(shí)吻合為止．這種證明方法稱為分析法． ② 推證過(guò)程 結(jié)論 ü?ü?ü 已知條件 2.間接證明 (1)常用的間接證明方法有(2)反證法的基本步驟 ① 反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真． ② 歸謬——從反設(shè)和已知出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果． ③ 存真——由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立． [備課札記](méi) 題型1 直接證明(綜合法和分析法) 例1 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝ ?S? (1)數(shù)列?n?是等比數(shù)列； ? ? n＋ 2(n＝1，2，3，?)，證明： nn (2)Sn＋1＝4an.n＋2 (n＝1，2，3，?)，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，nn Sn＋1S整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴，nn＋ 1Sn＋1n＋1?S?即2，∴ 數(shù)列?n是等比數(shù)列． S??n Sn＋1Sn－1Sn－1 (2)由(1)知：＝(n≥2)，于是Sn＋1＝4·(n＋4an(n≥2)．又a2＝3S1 n＋1n－1n－1 ＝3，∴ S2＝a1＋a2＝1＋3＝4a1，∴ 對(duì)一切n∈N*，都有Sn＋1＝4an.例2 設(shè)a、b、c均為大于1的正數(shù)，且ab＝10，求證：logac＋logbc≥4lgc.lgclgc 證明：(分析法)由于a>1，b>1，c>1，故要證明logac＋logbc≥4lgc，只要證明lgalgb lga＋lgb 14lgc，即≥4，因?yàn)閍b＝10，故lga＋lgb＝1.≥4，由于a>1，b>1，故 lgalgblga·lgb lga＋lgb?2?1211 lga>0，lgb>0，所以0 4lgalgb?2? 變式訓(xùn)練 設(shè)首項(xiàng)為a1的正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，q為非零常數(shù)，已知對(duì)任意正整數(shù)n、m，Sn＋m＝Sm＋qmSn總成立．求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列． 證明：因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n、m，Sn＋m＝Sm＋qmSn總成立，令n＝m＝1，得S2＝S1＋qS1，則a2＝qa1.令m＝1，得Sn＋1＝S1＋qSn ①，從而Sn＋2＝S1＋qSn＋1 ②，②－①得an＋2＝qan＋1(n≥1)，綜上得an＋1＝qan(n≥1)，所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列． 題型2 間接證明(反證法) 證明：(1)∵ an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝ 例3 證明：2，3，5不能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)． 證明：假設(shè)2，3，5為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)，則存在整數(shù)m、n滿足?3＝2＋md ①，? ?＝2＋nd②，①×n－②×m3n5m＝2(n－m)，兩邊平方得3n2＋5m2－15mn＝2(n－m)2，左邊為無(wú)理數(shù)，右邊為有理數(shù)，且有理數(shù)≠不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)． 備選變式（教師專享） 已知下列三個(gè)方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，其中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：若方程沒(méi)有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則 16a－4（3－4a）<0，?? 3?（a－1）2－4a2<0，解之得－2－1.??4a2＋8a<0，3?? a≥－1或a≤?.故三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根的a的取值范圍是?a? 2? ? ? 1.用反證法證明命題“a·b(a、b∈Z)是偶數(shù)，那么a、b中至少有一個(gè)是偶數(shù)．”那么反設(shè)的內(nèi)容是__________________________________． 答案：假設(shè)a、b都是奇數(shù)(a、b都不是偶數(shù)) 解析：用反證法證明命題時(shí)反設(shè)的內(nèi)容是否定結(jié)論． 2.已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＜c，b＜c＋1，若以a、b、c為三邊構(gòu)造三角形，ab 則c的取值范圍是________． 答案：(10，16) 解析：要以a、b、c為三邊構(gòu)造三角形，需要滿足任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊 19b9a＝10之差小于第三邊，而a 11111019 16，∴c<16.又>，＝1，∴c>10，∴10 1f0（x）－，fn(x)＝?fn－1（x，(n≥1，n≥N)，3.設(shè)函數(shù)f0(x)＝1－x2，f1(x)＝?22?? n11 則方程f1(x)＝________個(gè)實(shí)數(shù)根，方程fn(x)＝??3有________個(gè)實(shí)數(shù)根． 3＋ 答案：4 2n1 1111 51－x2＝?x2－＝ x2＝x2＝有4個(gè)解． 解析：f1(x)＝?2?23?66 ∵ 可推出n＝1，2，3?，根個(gè)數(shù)分別為22，23，24，1?n＋?∴ 通過(guò)類比得出fn(x)＝?3?有2n1個(gè)實(shí)數(shù)根． 4.若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x－m|＞|y－m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m.(1)若x2－1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍； (2)對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a3＋b3比a2b＋ab2遠(yuǎn)離ab.(1)解：x∈(－∞2)∪(2，＋∞)． (2)證明：對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，有 a3＋b3ab，a2b＋ab2ab.因?yàn)閨a3＋b3－ab|－|a2b＋ab2－2ab＝(a＋b)(a－b)2>0，所以|a 3＋b3－2abab|>|a2b＋ab2－2abab|，即a3＋b3比a2b＋ab2遠(yuǎn)離2abab.1.已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證：b－證明：要證b－ac<3a，只需證b2－ac<3a2.∵ a＋b＋c＝0，∴ 只需證b2＋a(a＋b)<3a2，只需證2a2－ab－b2>0，只需證(a－b)(2a＋b)>0，只需證(a－b)(a－c)>0.∵ a>b>c，∴ a－b>0，a－c>0，∴(a－b)(a－c)>0顯然成立．故原不等式成立． 2.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＞0，公差d＞0，前n項(xiàng)和為Sn，且m＋n＝2p(m、n、p∈N*)，求證：Sn＋Sm≥2Sp.證明：∵m2＋n2≥2mn，∴2(m2＋n2)≥(m＋n)2.又m＋n＝2p，∴m2＋n2≥2p2.3.如圖，ABCD為直角梯形，∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PB⊥BD.(1)求證：PA⊥BD； (2)若PC與CD不垂直，求證：PA≠PD.證明：(1)因?yàn)锳BCD為直角梯形，AD2AB2BD，所以AD2＝AB2＋BD2，因此AB⊥BD.又PB⊥BD，AB∩PB＝B，AB，PBì平面PAB，所以BD⊥平面PAB，又PAì平面PAB，所以PA⊥BD.(2)假設(shè)PA＝PD，取AD中點(diǎn)N，連結(jié)PN、BN，則PN⊥AD，BN⊥AD，且PN∩BN＝N，所以AD⊥平面PNB，得PB⊥AD.又PB⊥BD，且AD∩BD＝D，得PB⊥平面ABCD，所以PB⊥CD.又因?yàn)锽C⊥CD，且PB∩BC＝B，所以CD⊥平面PBC，所以CD⊥PC，與已知條件PC與CD不垂直矛盾，所以PA≠PD.x－ 24.已知f(x)＝ax(a＞1)． x＋ 1(1)證明f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)；(2)用反證法證明方程f(x)＝0沒(méi)有負(fù)數(shù)根． 證明：(1)設(shè)－1＜x1＜x2，則x2－x1＞0，ax2－x1＞1，ax1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，x－2x－23（x－x） 從而f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－ax1(ax2－x1－1)＋＞0，所以 x2＋1x1＋1（x2＋1）（x1＋1） f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． x0－2 (2)設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)＝0，則ax0＝－x0＋1 x0－21 由0＜ax0＜10＜－＜1，即＜x0＜2，此與x0＜0矛盾，故x0不存在． 2x0＋1 1.分析法的特點(diǎn)是從未知看已知，逐步靠攏已知，綜合法的特點(diǎn)是從已知看未知，逐步推出未知．分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)．分析法思考起來(lái)比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較煩；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，但不便于思考，實(shí)際證明時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來(lái)． 2.反證法是從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，說(shuō)明結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法．適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題：①結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題；②關(guān)于唯一性、存在性的命題；③結(jié)論以“至多”“至少”等形式出現(xiàn)的命題；④結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體更容易研究的命題． 請(qǐng)使用課時(shí)訓(xùn)練（B）第2課時(shí)（見(jiàn)活頁(yè)）.[備課札記](méi) 第2講 直接證明與間接證明 【2013年高考會(huì)這樣考】 1．在歷年的高考中，證明方法是?？純?nèi)容，考查的主要方式是對(duì)它們?cè)淼睦斫夂陀梅ǎy度多為中檔題，也有高檔題． 2．從考查形式上看，主要以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與方程、數(shù)列等知識(shí)為載體，考查綜合法、分析法、反證法等方法． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 在備考中，對(duì)本部分的內(nèi)容，要抓住關(guān)鍵，即分析法、綜合法、反證法，要搞清三種方法的特點(diǎn)，把握三種方法在解決問(wèn)題中的一般步驟，熟悉三種方法適用于解決的問(wèn)題的類型，同時(shí)也要加強(qiáng)訓(xùn)練，達(dá)到熟能生巧，有效運(yùn)用它們的目的． 基礎(chǔ)梳理 1．直接證明 (1)綜合法 ①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法． ②框圖表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q (其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證的結(jié)論)． (2)分析法 ①定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止．這種證明方法叫做分析法． ②框圖表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→?→ 得到一個(gè)明顯成立的條件.2．間接證明 一般地，由證明p?q轉(zhuǎn)向證明：綈q?r???t .t與假設(shè)矛盾，或與某個(gè)真命題矛盾．從而判定綈q為假，推出q為真的方法，叫做反證法． 一個(gè)關(guān)系 綜合法與分析法的關(guān)系 分析法與綜合法相輔相成，對(duì)較復(fù)雜的問(wèn)題，常常先從結(jié)論進(jìn)行分析，尋求結(jié)論與條件、基 礎(chǔ)知識(shí)之間的關(guān)系，找到解決問(wèn)題的思路，再運(yùn)用綜合法證明，或者在證明時(shí)將兩種方法交叉使用． 兩個(gè)防范 題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的． 證?”“就要證?”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng)，再說(shuō)明所要證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題成立． 雙基自測(cè) 1．(人教A版教材習(xí)題改編)p＝＋，q＝ma＋nc正數(shù))，則p、q的大小為()． A．p≥qB．p≤qC．p＞qD．不確定 解析 q＝ ab＋＋cd≥ab＋2abcd＋cd nm＋m、n、a、b、c、d均為mn madabc＝ab＋cd＝p，當(dāng)且僅當(dāng)＝ nm 答案 B 2．設(shè)a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，則a與b大小關(guān)系為()． A．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)＝b 解析 a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，當(dāng)x＜0時(shí)，0＜b＜1.∴a＞b.答案 A 3．否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)，正確的反設(shè)為()． A．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù) B．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù) C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù) D．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) 解析 ∵a，b，c恰有一個(gè)偶數(shù)，即a，b，c中只有一個(gè)偶數(shù)，其反面是有兩個(gè)或兩個(gè)以上偶數(shù)或沒(méi)有一個(gè)偶數(shù)即全都是奇數(shù)，故只有D正確． 答案 D 4．(2012·廣州調(diào)研)設(shè)a、b∈R，若a－|b|＞0，則下列不等式中正確的是()． A．b－a＞0B．a(chǎn)3＋b3＜0C．a(chǎn)2－b2＜0D．b＋a＞0 解析 ∵a－|b|＞0，∴|b|＜a，∴a＞0，∴－a＜b＜a，∴b＋a＞0.答案 D B．a(chǎn)＜b D．a(chǎn)≤b 5．在用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，如果原命題的否定事項(xiàng)不止一個(gè)時(shí)，必須將結(jié)論的否定情況逐一駁倒，才能肯定原命題的正確． 例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB＞∠APC，求證：∠BAP＜∠CAP，用反證法證明時(shí)應(yīng)分：假設(shè)________和________兩類． 答案 ∠BAP＝∠CAP ∠BAP＞∠CAP 考向一 綜合法的應(yīng)用 a2b2c2【例1】?設(shè)a，b，c＞0，證明：a＋b＋c.bca [審題視點(diǎn)] 用綜合法證明，可考慮運(yùn)用基本不等式． 證明 ∵a，b，c＞0，根據(jù)均值不等式，a2b2c2有＋b≥2a，c≥2b＋a≥2c.bca a2b2c2三式相加：＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)． bca 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)． a2b2c2即＋a＋b＋c .bca 綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法，即由已知條件出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的等式或不等式成立．因此，綜合法又叫做順推證法或由因?qū)Чǎ溥壿嬕罁?jù)是三段論式的演繹推理方法，這就要保證前提正確，推理合乎規(guī)律，才能保證結(jié)論的正確性． 11【訓(xùn)練1】 設(shè)a，b為互不相等的正數(shù)，且a＋b＝1，證明：＞4.ab 1111?ba·證明 ?(a＋b)＝2＋2＋2＝4.ab?ab?ab 11又a與b不相等．故＞4.ab 考向二 分析法的應(yīng)用 ?a＋mb?2≤a＋mb.【例2】?已知m＞0，a，b∈R，求證：??1＋m?1＋m? [審題視點(diǎn)] 先去分母，合并同類項(xiàng)，化成積式． 證明 ∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要證原不等式成立，只需證明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即證m(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立，2 2故原不等式得證． 逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過(guò)反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件，正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵． 【訓(xùn)練2】 已知a，b，m都是正數(shù)，且a＜b.a＋ma求證：b＋mb a＋ma證明 要證明，由于a，b，m都是正數(shù)，b＋mb 只需證a(b＋m)＜b(a＋m)，只需證am＜bm，由于m＞0，所以，只需證a＜b.已知a＜b，所以原不等式成立． (說(shuō)明：本題還可用作差比較法、綜合法、反證法) 考向三 反證法的應(yīng)用 【例3】?已知函數(shù)f(x)＝ax＋x－2(a＞1)． x＋ 1(1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． (2)用反證法證明f(x)＝0沒(méi)有負(fù)根． [審題視點(diǎn)] 第(1)問(wèn)用單調(diào)增函數(shù)的定義證明；第(2)問(wèn)假設(shè)存在x0＜0后，應(yīng)推導(dǎo)出x0的范圍與x0＜0矛盾即可． 證明(1)法一 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨設(shè)x1＜x2，則x2－x1＞0，ax2－x1＞1，且ax1＞0.所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.又因?yàn)閤1＋1＞0，x2＋1＞0，所以 ?x2－2??x1＋1?－?x1－2??x2＋1?3?x2－x1?＝0，?x2＋1??x1＋1??x2＋1??x1＋1? 于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x1－2＞0，x2＋1x1＋1x2－2x1－2－＝x2＋1x1＋1 故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． 法二 f′(x)＝axln a＋30，?x＋1?∴f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． x0－2x0－2(2)假設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0，則ax0＝－又0＜ax0＜1，所以0＜－x0＋1x0＋1 11，即＜x0＜2，與x0＜0(x0≠－1)假設(shè)矛盾．故f(x0)＝0沒(méi)有負(fù)根． 當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，宜 用反證法來(lái)證，反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①與已知條件矛盾；②與假設(shè)矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與事實(shí)矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器． 【訓(xùn)練3】 已知a，b為非零向量，且a，b不平行，求證：向量a＋b與a－b不平行． 證明 假設(shè)向量a＋b與a－b平行，即存在實(shí)數(shù)λ使a＋b＝λ(a－b)成立，則(1－λ)a＋(1＋λ)b＝0，∵a，b不平行，???1－λ＝0，?λ＝1，∴?得? ??1＋λ＝0，λ＝－1，?? 所以方程組無(wú)解，故假設(shè)不成立，故原命題成立． 規(guī)范解答24——怎樣用反證法證明問(wèn)題 【問(wèn)題研究】 反證法是主要的間接證明方法，其基本特點(diǎn)是反設(shè)結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，當(dāng)問(wèn)題從正面證明無(wú)法入手時(shí)，就可以考慮使用反證法進(jìn)行證明.在高考中，對(duì)反證法的考查往往是在試題中某個(gè)重要的步驟進(jìn)行.【解決方案】 首先反設(shè)，且反設(shè)必須恰當(dāng)，然后再推理、得出矛盾，最后肯定.【示例】?(本題滿分12分)(2011·安徽)設(shè)直線l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中實(shí)數(shù)k1，k2滿足k1k2＋2＝0.(1)證明l1與l2相交； (2)證明l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2＋y2＝1上． 第(1)問(wèn)采用反證法，第(2)問(wèn)解l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程驗(yàn)證． [解答示范] 證明(1)假設(shè)l1與l2不相交，則l1與l2平行或重合，有k1＝k2，(2分) 代入k1k2＋2＝0，得k21＋2＝0.(4分) 這與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾，從而k1≠k2，即l1與l2相交．(6分) ??y＝k1x＋1，(2)由方程組? ?y＝k2x－1，? ??解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)為?k＋ky＝??k－k.21 212x＝，k2－k1(9分) 2?2?k2＋k1?2?從而2x＋y＝2k－k＋? ?21??k2－k1??22 2228＋k22＋k1＋2k1k2k1＋k2＋4＝＝1，k2＋k1－2k1k2k1＋k2＋4 此即表明交點(diǎn)P(x，y)在橢圓2x2＋y2＝1上．(12分) 用反證法證明不等式要把握三點(diǎn)：(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；(2) 必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證；(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實(shí)矛盾等，但是推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的． 【試一試】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋Sn＝2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求證數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列． [嘗試解答](1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋S1＝2a1＝2，則a1＝1.1又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，兩式相減得an＋1＝an，2 11所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為an＝－.22 (2)反證法：假設(shè)存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列，記為ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，111－－則，所以2·2rq＝2rp＋1.① 222又因?yàn)閜＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*.所以①式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立，所以假設(shè)不成立，原命題得證． 響水二中高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí) 教案第十三編推理與證明主備人張靈芝總第67期 §13.2 直接證明與間接證明 基礎(chǔ)自測(cè) 1.分析法是從要證的結(jié)論出發(fā),尋求使它成立的條件.答案充分 2.若a＞b＞0,則a+答案＞ 3.要證明3+7＜25，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是（填序號(hào)）.①反證法 答案② 4.用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)中正確的是.①假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)；②假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù) ③假設(shè)a、b、c至多有一個(gè)偶數(shù)；④假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)偶數(shù) 答案② 5.設(shè)a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，則“PQR＞0”是“P、Q、R同時(shí)大于零”的條件.； 答案充要 ②分析法 ③綜合法 1b b+ 1a .(用“＞”,“＜”,“=”填空) 例題精講 例1設(shè)a,b,c＞0,證明： a 2b ? b 2c ? c a ≥a+b+c.a 證明∵a,b,c＞0，根據(jù)基本不等式，有 a b +b≥2a,a b c +c≥2b,c c a +a≥2c.三式相加： b + b c + c a +a+b+c≥2(a+b+c).即 1a b + b c 1a + a ≥a+b+c.例2（14分）已知a＞0,求證： a2?證明要證a2? 1a -2≥a+ 1a -2.1a -2≥a+ 1a -2,只要證a2? +2≥a++2.2分 ?∵a＞0,故只要證? ?? a ? 1a ?1?2?≥（a++?a? 2）,2 6分 427 即a+ 1a +4a2? 1a +4≥a+2+ ?? 1a +22?a? ? ? 1? ?+2, a? 8分 從而只要證2a2? 只要證4??a? 1a ≥2?a? 1? ?,a? 10分 ??1?112 ?≥2（a+2+）,即a2+≥2,而該不等式顯然成立，故原不等式成立.14分 2?22a?aa 例3若x,y都是正實(shí)數(shù)，且x+y＞2,求證：證明假設(shè) 1?xy 1?xy ＜2與 1?xy 1?yx ＜2中至少有一個(gè)成立.1?yx ＜2和 1?yx ＜2都不成立，則有≥2和≥2同時(shí)成立，因?yàn)閤＞0且y＞0,所以1+x≥2y，且1+y≥2x，兩式相加，得2+x+y≥2x+2y，所以x+y≤2，這與已知條件x+y＞2相矛盾，因此 1?xy ＜2與 1?yx ＜2中至少有一個(gè)成立 .鞏固練習(xí) 1.已知a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù).求證：a2+b2+c2＞abc(a+b+c).證明∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac.又∵a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù)，∴上面三個(gè)式子中都不能取“=”，∴a+b+c＞ab+bc+ac,∵ab+bc≥2ab2c,bc+ac≥2abc2,ab+ac≥2a2bc,又a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù)，∴ab+bc+ac＞abc(a+b+c),∴a2+b2+c2＞abc(a++c).2.已知a＞0,b＞0,且a+b=1,試用分析法證明不等式?a? ? 251??1?? 證明要證?a???b??≥ 4a??b?? ? 251??1? ??b??≥ 4a??b? .,只需證ab+ a ?bab ? 1≥ 54，只需證4(ab)+4(a+b)-25ab+4≥0,只需證4(ab)+8ab-25ab+4≥0, 只需證4(ab)2-17ab+4≥0,即證ab≥4或ab≤而由1=a+b≥2ab,∴ab≤ 14,只需證ab≤ ?? 14，成立.顯然成立，所以原不等式?a? 251??1? ??b??≥ 4a??b? 3.已知a、b、c∈（0，1），求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時(shí)大于.證明方法一假設(shè)三式同時(shí)大于，即(1-a)b＞ 4,(1-b)c＞ 14,(1-c)a＞ 14,428 ∵a、b、c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a＞同理（1-b）b≤ 4?1?a?a? .又(1-a)a≤??642?? = 14，(1-c)c≤ 14,∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤ 164,這與假設(shè)矛盾，故原命題正確.14 2方法二假設(shè)三式同時(shí)大于，∵0＜a＜1,∴1-a＞0,(1?a)?b ≥(1?a)b＞=,同理 (1?b)?c ＞ 12,(1?c)?a ＞ 12,三式相加得 ＞ 32,這是矛盾的，故假設(shè)錯(cuò)誤，∴原命題正確 .回顧總結(jié)知識(shí) 方法 思想 課后作業(yè) 一、填空題 1.（2008·南通模擬）用反證法證明“如果a＞b,那么a＞b”假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是.答案a=b或a＜b 2.已知a＞b＞0，且ab=1,若0＜c＜1,p=logc是.答案p＜q a ?b 2?,q=logc? ?? 1a? ? ?，則p,q的大小關(guān)系?? 3.設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合.在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”（即對(duì)任意的a,b∈S，對(duì)于有序元素對(duì)(a,b),在S中有唯一確定的元素a*b與之對(duì)應(yīng)）.若對(duì)任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,則對(duì)任意的a,b∈S，下列恒成立的等式的序號(hào)是.①（a*b）*a=a ③b*(b*b)=b答案②③④ ②［a*(b*a)］*(a*b)=a ④(a*b)*［b*(a*b)］=b 4.如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則△A1B1C1是三角形，△A2B2C2是三角形.（用“銳角”、“鈍角”或“直角”填空） 429 答案銳角鈍角 5.已知三棱錐S—ABC的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題： ①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中正確命題的序號(hào)是 .答案① 6.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b定義運(yùn)算a*b=（a+1）(b+1)-1,給出以下結(jié)論： ①對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c); ②對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c; ③對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,有a*0=a,則以上結(jié)論正確的是.（寫(xiě)出你認(rèn)為正確的結(jié)論的所有序號(hào)） 答案②③ 二、解答題 7.已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，?），a1=1.（1）設(shè)bn=an+1-2an(n=1,2,?)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）設(shè)cn= an2 n (n=1,2,?),求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列； （3）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式.（1）證明∵Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2，兩式相減，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,?), 即an+2=4an+1-4an,變形得an+2-2an+1=2(an+1-2an)∵bn=an+1-2an(n=1,2,?),∴bn+1=2bn.由此可知，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列.430 （2）證明由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2n.∵cn= an2 n (n=1,2,?),∴cn+1-cn= an?12 n?1 an2 n = an?1?2an n?1 = bn2 n?1 .將bn=3·2n-1代入得 cn+1-cn=(n=1,2,?),由此可知，數(shù)列{cn}是公差為 a12 34的等差數(shù)列，它的首項(xiàng)c1== 12，故cn= n- (n=1,2,?).-2 （3）解∵cn=n-= (3n-1).∴an=2n·cn=(3n-1)·2n(n=1,2,?) 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=4an-1+2=(3n-4)·2n-1+2.由于S1=a1=1也適合于此公式，所以{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn=（3n-4）·2n-1+2.8.設(shè)a,b,c為任意三角形三邊長(zhǎng)，I=a+b+c,S=ab+bc+ca,試證：I2＜4S.證明由I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2S,∵a,b,c為任意三角形三邊長(zhǎng)，∴a＜b+c,b＜c+a,c＜a+b,∴a2＜a(b+c),b2＜b(c+a),c2＜c(a+b)即(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)＜0∴a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)＜0∴a2+b2+c2＜2S ∴a2+b2+c2+2S＜4S.∴I2＜4S.9.已知a,b,c為正實(shí)數(shù),a+b+c=1.求證：（1）a2+b2+c2≥ ;(2)3a?2+ 3b?2+3c?2≤6.13 證明（1）方法一a2+b2+c2-13 = (3a2+3b2+3c2-1)= ［3a2+3b2+3c2-(a+b+c)2］ =(3a+3b+3c-a-b-c-2ab-2ac-2bc)=［(a-b)+(b-c)+(c-a)］≥0∴a+b+c≥ .方法二∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2 ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1∴a2+b2+c2≥ 1313 .方法三設(shè)a=∴a+b+c=（+?,b= +?,c= +?.∵a+b+c=1,∴?+?+?=0 +?）+（+?）+（+?）= + (?+?+?)+?+?+? 222 431 = +?2+?2+?2≥ ∴a2+b2+c2≥ .= 3a?32 (2)∵3a?2=(3a?2)?1≤ 3a?2?1,同理3b?2≤ 3b?32,3c?2≤ 3c?32 ∴3a?2+3b?2+3c?2≤ x?2x?1 3(a?b?c)?9 =6∴原不等式成立.10.已知函數(shù)y=ax+(a＞1).（1）證明：函數(shù)f(x)在（-1,+∞)上為增函數(shù)； （2）用反證法證明方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.證明（1）任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨設(shè)x1＜x2,則x2-x1＞0,由于a＞1,∴ax2?x1＞1且ax1＞0, ∴a∴ x2 -ax1=ax1(ax2?x1-1)＞0.又∵x1+1＞0,x2+1＞0,-x1?2x1?1 x2?2x2?1 = (x2?2)(x1?1)?(x1?2)(x2?1) (x1?1)(x2?1)x2?2x2?1 = 3(x2?x1)(x1?1)(x2?1) ＞0,于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+ x1?2x1?1 ＞0,故函數(shù)f(x)在(-1,+∞）上為增函數(shù).x0?2x0?1 （2）方法一假設(shè)存在x0＜0(x0≠-1)滿足f(x0)=0,則ax0=-∵a＞1,∴0＜ax0＜1,∴0＜-x0?2x0?1 .＜1,即 ＜x0＜2，與假設(shè)x0＜0相矛盾，故方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.方法二假設(shè)存在x0＜0(x0≠-1)滿足f(x0)=0, ①若-1＜x0＜0，則②若x0＜-1,則 x0?2x0?1 ＜-2,ax0＜1,∴f(x0)＜-1,與f(x0)=0矛盾.x0?2x0?1 ＞0,ax0＞0,∴f(x0)＞0,與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.432 2.1-2 合情推理與演繹推理、直接證明與間接證明 重難點(diǎn)：了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用；了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理；了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異；了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)；了解間接證明的一種基本方法――反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)． 考綱要求：①了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用． ②了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理． ③了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異． ④了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)． ⑤了解間接證明的一種基本方法――反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)． 經(jīng)典例題：25.通過(guò)計(jì)算可得下列等式： ┅┅ 將以上各式分別相加得： 即：類比上述求法：請(qǐng)你求出 當(dāng)堂練習(xí)： 1.如果數(shù)列A.的值.． 是等差數(shù)列，則()B.C.D.2.下面使用類比推理正確的是()A.“若B.“若,則 ”類推出“若”類推出“,則” ” C.“若” 類推出“（c≠0）” D.“” 類推出“” 3.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)” 結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，是因?yàn)?)A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤 4.設(shè)()A.B.－ C.D.－，那么在5進(jìn)制中數(shù)碼2004折合成，n∈N，則5.在十進(jìn)制中十進(jìn)制為()A.29 B.254 C.602 D.2004 6.函數(shù)的圖像與直線 相切，則 =()A.B.C.D.1 7.下面的四個(gè)不等式：①④A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 8.拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn) ；②；③ ； .其中不成立的有() 與拋物線焦點(diǎn)的距離為()A.2 B.3 C.4 D.5 9.設(shè) , 則()A.B.0 C.，D.1 ,且, 則由的值構(gòu)成的集合是()10.已知向量A.{2,3} B.{-1, 6} C.{2} D.{6} 11.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線 ”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?)A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤 12.已知，猜想的表達(dá)式為()A.B.C.D.13.類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長(zhǎng)之間滿足關(guān)系： 。若三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側(cè)面積與底面積之間滿足的關(guān)系為.14.從 中，可得到一般規(guī)律為(用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示)15.函數(shù)y＝f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，則f(1),f(2.5),f(3.5)的大小關(guān)系是.16.設(shè)平面內(nèi)有ｎ條直線點(diǎn)．若用，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一 = ；當(dāng)ｎ＞４時(shí)，表示這ｎ條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則＝（用含n的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示）17.證明： 不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng).18.在△ABC中，判斷△ABC的形狀.19.已知：空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，判斷直線EF與平面ABD的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.20.已知函數(shù) 21.△ABC三邊長(zhǎng)的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：角 .，求的最大值.22.在各項(xiàng)為正的數(shù)列（1）求 中，數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足的通項(xiàng)公式；（3）求 ；（2）由（1）猜想數(shù)列 23.自然狀態(tài)下魚(yú)類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響，用0.不考慮其它因素，設(shè)在第表示某魚(yú)群在第年年初的總量，且 ＞成正 年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都與 .成正比，死亡量與比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)（Ⅰ）求與的關(guān)系式；，（Ⅱ）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)要求證明） 24.設(shè)函數(shù)（1）證明： 滿足什么條件時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變？（不 .； （2）設(shè) 25.已知為的一個(gè)極值點(diǎn)，證明.恒不為0，對(duì)于任意 等式 恒成立.求證：是偶函數(shù).26.已知ΔABC的三條邊分別為 參考答案： 經(jīng)典例題： [解] 求證： ┅┅ 將以上 各 式 分 別 相 加 得 ：所以： 當(dāng)堂練習(xí)： 1.B;2.C;3.C;4.D;5.B;6.B;7.A;8.D;9.D;10.C;11.A;12.B;13.14.; 15.f(2.5)>f(1)>f(3.5); ;16.5； 17.證明：假設(shè)=①n-②;、、=n-為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)，則存在整數(shù)m,n滿足 +nd ② m= (n-m)兩邊平方得： 3n2+5m2- 2mn=2(n-m)2 +md ① m得： 左邊為無(wú)理數(shù)，右邊為有理數(shù)，且有理數(shù)無(wú)理數(shù) 所以，假設(shè)不正確。即、、不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng) 18.ABC是直角三角形； 因?yàn)閟inA= ABC的三邊，所以 b+c 0 據(jù)正、余弦定理得 ：（b+c）(a2-b2-c2)=0； 又因?yàn)閍,b,c為所以 a2=b2+c2 即ABC為直角三角形.19.平行； 提示：連接BD，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，EF∥BD.20.提示：用求導(dǎo)的方法可求得的最大值為0 21.證明：= 為△ABC三邊，22.（1），；（2） ；（3） ..23.解（I）從第n年初到第n+1年初，魚(yú)群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為 （II）若每年年初魚(yú)群總量保持不變，則xn恒等于x1，n∈N*，從而由（*）式得 因?yàn)閤1>0，所以a>b.猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且24.證明：1）= 2) = 時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變.① 又 ② 由①②知25.簡(jiǎn)證：令= 所以，則有，再令 即可 26.證明：設(shè)設(shè)是 上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，因?yàn)椋?。所以在上是增函?shù)。 由 知 即. 龍?jiān)雌诳W(wǎng) http://.cn 5直接證明與間接證明 作者： 來(lái)源：《數(shù)學(xué)金刊·高考版》2014年第03期 直接證明與間接證明貫穿在整張高考卷的始終，解題過(guò)程中處處離不開(kāi)分析與綜合.近年高考解答題的證明，主要考查直接證明，難度多為中檔或中偏高檔；有時(shí)以解答題的壓軸題的形式呈現(xiàn)，此時(shí)難度為高檔，分值約為4～8分.對(duì)于間接證明的考查，主要考查反證法，只在個(gè)別地區(qū)的高考卷中出現(xiàn)，難度一般為中檔或中偏高檔，分值約為4～6分.以數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、立體幾何、解析幾何等知識(shí)為背景的證明.（1）綜合法解決問(wèn)題的關(guān)鍵是從“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”.其逐步推理，實(shí)質(zhì)上是尋找已知的必要條件.分析法解決問(wèn)題的關(guān)鍵是從未知看需知，逐步靠攏已知，其逐步推理，實(shí)際上是尋找結(jié)論的充分條件.因此，在實(shí)際解題時(shí)，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過(guò)程，相得益彰.（2）對(duì)于某些看來(lái)明顯成立而又不便知道根據(jù)什么去推導(dǎo)（綜合法），甚至難于尋求到使之成立的充分條件（分析法）的“疑難”證明題，?？紤]用反證法來(lái)證明.一般地，可在假設(shè)原命題不成立的前提下，經(jīng)過(guò)正確的邏輯推理，最后得出矛盾，從而說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從反面證明原命題成立.第二篇：第2講 直接證明與間接證明
第三篇：推理與證明-13.2 直接證明與間接證明(教案)
第四篇：2.1-2 合情推理與演繹推理、直接證明與間接證明
第五篇：5直接證明與間接證明
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