第一篇：問題設計要有梯度

問題設計要有梯度、有層次

黃正滿

在課堂教學中，教師的主導作用首先體現(xiàn)在教師對課堂的整體把握，提問是課堂教學的一個重要組成部分，通過問題的步步深入，可以引導學生發(fā)現(xiàn)問題，分析和解決問題，培養(yǎng)學生的思維能力，所以設問是體現(xiàn)教師主導作用的重要方面。教師在課堂教學中，需三思而后問，對問題進行系統(tǒng)設計。問題設計要有梯度，有層次，難易兼有，由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，層層推進，符合學生認知規(guī)律，符合學生思維發(fā)展的規(guī)律，符合學生的思維過程和不同層次的分析能力。教師整堂課的問題設計，既要兼顧知識型問題的設計又要兼顧理解、應用型問題的設計。比如，我在設計《男生女生》問題時，設計問題為：

1、男生女生該不該交往？

2、男生女生交往有什么好處？

3、男生女生之間怎樣進行正常、健康的交往？這樣，問題層層遞進，既貼近學生生活，又符合學生邏輯思維，達到了解決問題的效果。

第二篇：作業(yè)梯度

作業(yè)梯度、套餐化

激發(fā)學生學習興趣

內(nèi)容概要：

一、問題的提出

傳統(tǒng)的教學布置給學生的作業(yè)是機械的、重復的題海訓練，忽視了學生學習數(shù)學的興趣的培養(yǎng)，導致有些學生不愿做數(shù)學作業(yè)。面對如此現(xiàn)狀，我在設計作業(yè)的方法和布置作業(yè)的形式上做了以下改進，并取得了較好的成效。

二、問題的解決

1、我們改變了以往“拿來主義”，親自動手設計作業(yè)；

2、讓學生相互設計作業(yè)，增強學生自主意識和合作交往能力；

3、分層設計作業(yè)，讓每個學生都能體驗到成功；

4、設計趣味性作業(yè)，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣；

5、布置數(shù)學日記，培養(yǎng)學生的反思能力；

6、布置實踐性的作業(yè)，讓學生學會學用結合。

三、實施效果

我們在設計作業(yè)時以學生發(fā)展為本，作業(yè)梯度、套餐化，經(jīng)過了近兩年的作業(yè)實踐探索，已取得了初步成效：學生學習興趣明顯提高，學生學習方式的明顯轉變，學生學會了自己提出問題、解決問題和應用問題，學習的自覺性和自學能力得到極大提高；學生的數(shù)學成績也整體上了一個臺階。豐富多彩、形式多樣的開放性課外作業(yè)，激發(fā)了學生進行多方面的感官體驗，在愉悅合理的環(huán)境中獲取知識，培養(yǎng)可持續(xù)發(fā)展的學習能力，并積累大量的愉快而幸福的經(jīng)歷。

A組，基本題，重在雙基練習，一般適合學困生；

B組，綜合題，重在培養(yǎng)學生的遷移能力，一般適合中等生； C組，創(chuàng)新題，重在培養(yǎng)學生創(chuàng)造性解決問題的能力，一般適合班上少數(shù)尖子生。

這樣，不同層次的學生完成自定作業(yè)時不再有困難，即使有，只要同學或老師加以點撥，他們便會完成。這極大的培養(yǎng)了他們的自信心，使他們的數(shù)學都能在原有的基礎上得到很大的提高。同時，還可以借機鼓勵大家向更高層次的作業(yè)挑戰(zhàn)，培養(yǎng)他們戰(zhàn)勝困難的勇氣。

4、設計趣味性作業(yè)，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣

在作業(yè)設計中，要增強作業(yè)的趣味性，讓學生以飽滿的熱情對待數(shù)學作業(yè)，從而提高作業(yè)的質量，形成在快樂中做，在做中樂學的良性循環(huán)。例如當學生學完了《勾股定理》后，為激發(fā)學生的探究愛好，我們設計了如下作業(yè)題：有一蓋子封著的長方體盒子，①、若沿棱將這個長方體剪開，至少需要剪幾刀，才能攤開鋪成一個平面？②、今有一只螞蟻從A點出發(fā)，沿著盒子的表面爬行到B點，請你為它設計一條最短路線？假如這個長方體的長為5，寬為3，高為4，求這條最短路線的長？這類問題地設計，極大地調(diào)動了學生做作業(yè)的積極性。

5、布置數(shù)學日記，培養(yǎng)學生的反思能力

嘗試讓學生寫“數(shù)學日記”的方法來培養(yǎng)學生的反思意識和反思習慣。課后，讓學生在作業(yè)本上記錄他們對這堂課的理解、評價。包括自己的教學活動中真實心態(tài)和想法，尤其是哪此方面知識不夠清楚，需要老師幫助、指導，第二天早讀課時交上來。對于學生數(shù)學日記，認真批閱，寫好批語；對他們在數(shù)學日記中反映的情況和問題，要進行分析、歸納、總結，并寫好教學日記，以便日后進行整改。這樣，不僅可以準確地了解學生的心理、思維和非智力因素等個別差異，而且能提高學生的數(shù)學能力和自我評價意識。同時，此法也有利于在師生間創(chuàng)設共同探討，平等協(xié)商的寬松環(huán)境和氛圍。有利于消除學生在學習中的心理障礙，真正體驗到學生數(shù)學的樂趣。

6、布置實踐性的作業(yè)，讓學生學會學用結合

第三篇：企業(yè)管理五梯度

企業(yè)管理五梯度

概括的講，企業(yè)的管理內(nèi)容包括：計劃管理、流程管理、組織管理、戰(zhàn)略管理、文化管理。這五項內(nèi)容是一個遞增的梯度關系，要求企業(yè)需要依次實現(xiàn)這些管理內(nèi)容，換句話說，就是第一先解決計劃管理的問題，之后解決流程管理的問題，依次是組織管理，然后是戰(zhàn)略管理，最后是文化管理。這個順序不能夠顛倒，不能夠打亂，也不能夠只作一個而忽略其他，一個好的企業(yè)管理，是需要這五個內(nèi)容和諧發(fā)展，協(xié)同作用的，而這五項內(nèi)容的協(xié)同就是企業(yè)的系統(tǒng)能力。一個具備了系統(tǒng)能力的企業(yè)才有希望具有核心能力。

計劃管理：回答資源與目標是否匹配的問題

計劃管理常常被人們和計劃經(jīng)濟聯(lián)系在一起，這種偏見帶來的直接后果是我們的管理處在無序狀態(tài)。而對于計劃本身的理解當中，無論是企業(yè)內(nèi)部還是企業(yè)外部，都認為計劃是一組數(shù)據(jù)，是一個考核指標的指導文本，沒有人認真的想過，計劃本身是一個管理內(nèi)容。計劃管理要解決的問題，不是數(shù)據(jù)，不是年終的考核指標，更不是文本。計劃管理要解決的問題是對于目標和資源之間關系是否匹配的問題，計劃管理就是要目標與資源的關系處在匹配的狀態(tài)，這是一個最為基礎的管理內(nèi)容，因此，計劃管理由三個關鍵元素構成：目標、資源和兩者匹配的關系。

目標是計劃管理的基準。計劃管理在管理理論中也被確認為目標管理，目標管理的實現(xiàn)需要三個條件：第一，高層強有力的支持;第二，目標要能夠檢驗;第三，清楚目標是高層管理者的目標。資源是計劃管理的對象。計劃管理事實上是管理資源，而不是管理目標。很多人對于計劃管理的理解多是與目標聯(lián)系在一起的，也通常會以為目標是計劃管理的對象，其實計劃管理的對象是資源，資源是目標實現(xiàn)的條件，如果我們超越變化讓計劃得以實現(xiàn)，唯一的辦法是獲得資源。目標與資源兩者匹配的關系是計劃管理的結果。也可以說兩者的匹配關系是衡量計劃管理好壞的標準，當所擁有的資源能夠支撐目標的時候，計劃管理得以實現(xiàn)，當資源無法支撐目標或者大過目標的時候，要么浪費資源，要么“做白日夢”。所以很多時候我并不關心企業(yè)確定什么樣的目標，企業(yè)設立多大的目標，我只是關心這個企業(yè)有否資源來支撐它的目標。當我們的企業(yè)高調(diào)進入國際市場的時候，我會看它是否擁有國際的人才、國際渠道、國際標準的產(chǎn)品，如果沒有這些，空有一個理想，一腔鴻鵠之志也是徒勞。

流程管理：解決企業(yè)運營效率的問題

我可能比很多人都熱衷于流程，在前后的文章中也不斷的提倡流程的作用，因為解決企業(yè)效率的問題，流程是關鍵。我總是想，為什么流程管理我們總是做不到位，也許文化是一個借口，因為中國人的行為習慣決定了我們更喜歡職位多過流程?？墒?，我們還是看到把流程處理的很好的中國企業(yè)，如海爾、華為、聯(lián)想，歸結起來，流程管理還是能夠做得到。實現(xiàn)流程管理需要改變管理的一些習慣，我簡單歸納為三點：一個是打破職能習慣，二是培養(yǎng)系統(tǒng)思維習慣，三是形成績效導向的企業(yè)文化。

打破職能習慣。受中國古代幾千年官制的品位等級制影響，中國企業(yè)中的職能部門很大程度上秉承古代官制沿襲下的“自利取向”而非“服務取向”。在“自利取向”情況下，各職能部門特權膨脹，擁有更大空間來牟取一己私利，導致效率下降。職能導向側重于對職能管理和控制，關注部門的職能完成程度和垂直性的管理控制，部門之間的職能行為往往缺少完整有機的聯(lián)系。它沒有確定時間標準，這一最重要的工作標準一般是由該部門的主管領導臨時確定的，這就大幅加重了主管領導的工作量;又由于標準不確定，導致整體工作效率大幅降低，因此我們必須打破職能的習慣。培養(yǎng)系統(tǒng)思維習慣。流程導向側重的是目標和時間，即，以顧客、市場需求為導向，將企業(yè)的行為視為一個總流程上的流程集合，對這個集合進行管理和控制，強調(diào)全過程的協(xié)調(diào)及目標化。每一件工作都是流程的一部分，是一個流程的節(jié)點，它的完成必須滿足整個流程的時間要求，時間是整個流程中最重要的標準之

一。因此在流程的前提下，時間作為基本坐標決定了我們需要系統(tǒng)的思考問題，而不是僅僅依據(jù)自己所在的部門或者所處的位置，我們必須學會系統(tǒng)思維。形成績效導向的企業(yè)文化?！叭巳硕加幸粋€市場，人人都面對一個市場”，實施流程導向中激勵各成員共同追求流程的績效，重視顧客需求的價值是海爾實施流程管理的一種灌輸方式，這個方式恰恰讓我們看到形成以績效為導向的企業(yè)文化是流程管理的保障，從職能到流程，我稱之為“先鋒企業(yè)”的管理層對“轉變員工觀念”尤其重視，通過讓員工理解的概念，激勵每個員工參與流程再造，重視員工的建議等等完成這個艱巨的管理方式改變，沒有這樣的文化氛圍，流程管理只能夠是流于形式，這也是中國很多企業(yè)引入流程再造不能夠取得成功的根本原因。

組織管理：回答權力與責任是否匹配的問題

權力與責任一直是管理中需要平衡的兩個方面，讓這兩個方面處于平衡狀態(tài)是組織管理要解決的問題。從古典組織理論中，我們知道組織結構設計需要遵循四個基本的原則，一是指揮統(tǒng)一，一個人只能夠有一個直接上司;二是管理幅度，有效的管理幅度是5-6個人;三是分工，根據(jù)權責和專業(yè)化來劃分橫向與縱向的分工;四是部門化，把分工所產(chǎn)生的專技員工集合于一個部門內(nèi)，由一個經(jīng)理來領導并加以協(xié)調(diào)。細細理會組織設計的古典原則，你不難發(fā)現(xiàn)它只是想力圖平衡權力和責任兩者之間的關系。因此實現(xiàn)組織管理需要兩個條件：專業(yè)化與分權

專業(yè)化。我自己也發(fā)現(xiàn)自己除了對于流程的偏愛之外，還有一個我喜歡的詞“專業(yè)化”。專業(yè)化能夠解決很多東西，包括服務的意識、分享的可能，更重要的是專業(yè)化解決人們對于權力的崇拜。如果說我們還需要保留職能的話，那么解決職能所帶來的負面影響的有效途徑是專業(yè)化的水平，如果一切以專業(yè)為標準，我們尊重的是標準和科學，人們不再依靠權力和職位來傳遞信息和指令。分權。分權是我看到組織中最難做到的一個方面，有時候看到企業(yè)也有分權手冊，也有分權制度，但是

實施起來常常走樣，很多高層經(jīng)理人喜歡把分權看作是調(diào)整的武器或者把分權看成是一種政策的資源。如果分權作為政策資源，這個時候經(jīng)理人做的不是組織管理，是領導管理，也不是分權而是授權。分權的根本標志是一旦權力做了分配，分配者不再擁有這個權力，當權力可以調(diào)整的時候一定是授權不是分權，很多人喜歡混淆分權與授權的界限。

戰(zhàn)略管理：解決企業(yè)核心競爭力的問題

按照C.K.普拉哈拉德(C.K.Prahalad)和G.哈默(Gary Hamel)在1990年出版的《哈佛商業(yè)評論》上發(fā)表的“公司的核心競爭力”一文中有關企業(yè)的核心競爭力的定義，有三個基本特征組成了企業(yè)核心競爭能力：

1、核心競爭力提供了進入多樣化市場的潛能;

2、核心競爭力應當對最終產(chǎn)品中顧客重視的價值作出關鍵貢獻;

3、核心競爭力應當是競爭對手難以模仿的能力。顯然，這三個特性都反映出核心競爭力的最關鍵要素是從顧客需求的角度定義企業(yè)的核心競爭力。不符合顧客需求、不能為顧客最重視的價值作出關鍵貢獻的能力不是核心競爭力;核心競爭力首先應當是深入理解和準確把握市場和顧客需求的能力;對于這一點，海爾是這么總結的：“與顧客零距離就是與競爭對手遠距離”。核心競爭力的建立和培育對于確立企業(yè)的市場領導地位和競爭實力是極為重要的。

為此，企業(yè)必須站在戰(zhàn)略的高度上從長計議。企業(yè)自己需要審察經(jīng)營的業(yè)務、所擁有的資源和能力，觀察市場需求和技術演變的發(fā)展趨勢;通過運用企業(yè)的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力，獨具慧眼地識別本企業(yè)的核心競爭力發(fā)展方向，并界定構成企業(yè)核心競爭力的技術有哪些，這些就是戰(zhàn)略管理需要回答的問題。因此簡單的講戰(zhàn)略管理就是為得到核心競爭力所作的獨特的管理努力，在企業(yè)核心競爭力要素的整合過程中，需要相關的機制與環(huán)境條件加以支持。戰(zhàn)略管理包括：有利于學習和創(chuàng)新的組織管理機制，以團隊管理為中心的分權化扁平狀網(wǎng)絡組織;創(chuàng)造充滿活力的創(chuàng)新激勵機制;如：海爾的“賽馬”機制和“市場鏈”機制(市場效應的內(nèi)部化)。還有通過以

市場為導向、以顧客價值追求為中心的企業(yè)文化氛圍。如海爾集團通過向紅星電器廠注入自己的以“產(chǎn)業(yè)報國，追求卓越”為核心價值觀念的企業(yè)文化來實施企業(yè)收購兼并后的整合管理工作。另外是依賴既開放又相互信任的合作環(huán)境。更簡潔的說，當企業(yè)通過實現(xiàn)市場和顧客價值得到了效益，企業(yè)就必須通過內(nèi)部管理進一步提高效率，這樣內(nèi)外結合可構成既有企業(yè)自身特色又符合外部市場需求的差異競爭優(yōu)勢?；谶@些，我們認為企業(yè)核心競爭力同樣是一種以企業(yè)資源為基礎的能力優(yōu)勢，而且是異質性戰(zhàn)略資源，如技術、品牌、企業(yè)文化、營銷網(wǎng)絡、人力資源管理、信息系統(tǒng)、管理模式等。只有在這些方面進行強化突出，建立互補性知識與技能體系，才能使企業(yè)獲得持續(xù)性差異競爭優(yōu)勢。

文化管理：解決企業(yè)持續(xù)經(jīng)營的問題

《福布斯》每年一度的美國富豪排行榜揭曉，這通常是英雄的盛典。因為進入美國富豪榜的人，很少新鮮的面孔，他們的財富是慢慢積累起來并可以公開度量的。而每到中國富豪榜揭曉，卻都讓我們感到生存和毀滅的神秘矛盾。因為除了一些傳奇故事，大多都經(jīng)不住理性的推究和考量。隨著福布斯中國富豪的一個個落馬或遭遇不測，中國人開始對財富有了戒心，人們于是注意到了富豪與企業(yè)領袖的區(qū)別，單憑財富并不能成為這個社會的棟梁，企業(yè)領袖終于成為人們關注的焦點。企業(yè)領袖成為聚焦的中心，反映了一種深刻的社會過程。而企業(yè)領袖代表著民族精神的方向標，一個企業(yè)的企業(yè)文化之根源，是企業(yè)領導人的思維因果和管理方式的體現(xiàn)。因為思維方式不同我們看到企業(yè)的持續(xù)與否。企業(yè)文化既是企業(yè)的核心靈魂也是企業(yè)的本質特征，是基于企業(yè)家推崇和執(zhí)行的管理方式下產(chǎn)生的團隊績效的;從管理方式的角度(定量)管理方式對企業(yè)文化的推動有這樣的發(fā)展過程：人事制度→人的管理→企業(yè)管理方式→核心價值觀→企業(yè)文化。隨著企業(yè)的發(fā)展，企業(yè)文化的發(fā)展通常歷經(jīng)企業(yè)家個性魅力(企業(yè)家文化)→團隊個性魅力(團隊文化)→企業(yè)個性魅力(企業(yè)文化)→到最終形成的社會個性魅力(競爭性文化)。所以企業(yè)文化管理要經(jīng)歷：生存目標導向、規(guī)則導向、績效導向、創(chuàng)新導向、愿景導向的逐步過渡，才可以保

證企業(yè)能夠逐步成長。從企業(yè)文化的發(fā)展進程來看，中國企業(yè)在過去的近20年時間里已經(jīng)逐步形成和提煉了具有創(chuàng)新導向的企業(yè)文化;隨著市場競爭及國際化競爭的日益劇烈，中國企業(yè)正在推動著自己的企業(yè)文化向愿景導向的競爭性文化轉形，這其中必然還有相當長的路要走。所以企業(yè)文化建設是一條漫長的路，這條路伴隨著企業(yè)持續(xù)成長的腳步。

計劃管理、流程管理和組織管理和稱為基礎管理，這是企業(yè)生存的關鍵。戰(zhàn)略管理和文化管理是更高一個層面的管理，不要把戰(zhàn)略管理和文化管理放在企業(yè)管理的基礎上來作，這樣會適得其反。

第四篇：語文課堂三個梯度

語文課堂三個梯度

陜西漢中劉興聰

編者按

語文課堂，應該體現(xiàn)三個梯度：讓學生近能看到急流，中能看到河流，遠能看到海洋。

一、“獨上高樓”

抓住文章“穴位”，點開來，讓課堂學習，激流滾滾，浪花飛濺。

李華平教授說：“沒有聚焦就沒有力量。不管是閱讀教學課還是作文教學課，都必須聚焦，只有聚焦到某一個點上，聚焦得準，聚焦得穩(wěn)，聚焦得狠，這節(jié)課才是高效的”，這“焦”在哪里？我覺得便是精準地挖掘教材內(nèi)涵，找到文章的“穴位”。

比如，魯迅的《雪》，很多老師步入了“錯誤路線”：打外圍戰(zhàn)，用作者的經(jīng)歷或者思想來詮釋、曲解文本，而本文理應從文本形式和內(nèi)容的設置出發(fā)，順藤摸瓜，找到作者的思想情感。作品的開頭和結尾是很講究的事情，文章標題是雪，而開頭和結尾都寫雨，這個問題就是文章的穴位，是剖開文章的關鍵，通過去掉相關內(nèi)容，進行比較，引導學生探究出：“暖國的雨”其實就是活潑美麗的世界，具體以“江南的雪”為嫁衣，滋潤明艷，但它終歸是“溫室里”的“嬌貴之花”，很快在江南溫和的天氣中融化不見。而“雨的精魂”其實就是朔方的雪，為改變寒冷的世界，永遠的旋轉升騰抗爭,是永恒的生命。所以，魯迅先生喜歡江南的雪，更鐘情于朔方的雪——努力讓死寂的世界煥發(fā)活力。再看語言形式，為了再現(xiàn)南方雪的甜美與生機，用形容詞、長句；為了表現(xiàn)北方雪的壯美與張揚，用動詞、短句。

再如，《喂，出來》，對誰“喂”？表面洞，實則人。什么“出來”？表面石頭，實則人性與道德。所以，文中的“洞”，便是人性之漏洞，道德之漏洞，所有的黑暗之洞。

再比如《送東陽馬生序》，“苦學”，顯然不符合擁有優(yōu)越條件的馬生，并非是要馬生摒棄優(yōu)越的條件，去感受苦難，即成才的關鍵不是苦難，而是“嗜學”，心中有學習之志趣，便用心專，便學有成。

又如《醉翁亭記》抓住“樂”“醉”“醒”和幾個稱呼，便能讓學生領略到“問君何能爾，心遠地自偏。此中有真意，欲辨已忘言.”的歐陽修的那種與民同醉、與己同醒的狀態(tài)與情懷。

再如胡適《我的母親》寫道“我母親23歲做了寡婦”，為什么不說是死了丈夫？兒子稱母親為“寡婦”，母親是何等的艱難不易，兒子是何等濃郁而悠長的哀傷與疼痛。還有，“恩師、慈母、嚴父、嚴師、后母”，按理說只一個稱呼“母親”，這么多稱呼，飽含的是滿滿的敬重感激和深沉而綿長的愛戴與心疼！

《傷仲永》，悲劇的條件？主觀上：仲永；客觀上：仲父（家庭環(huán)境），邑人（社會環(huán)境）。悲劇根源?“世隸耕”?！栋职值幕▋郝淞恕?，“父愛”“別離”“成長”的傷與美。《貓》，愛與和諧；愛的自私與偏見?！缎∈队洝?，小石潭的象征性。等等，才是我們該聚焦、掀起狂瀾的地方。

二、“山長水闊”

抓住文章的“血脈”，散開來，讓課堂學習，滴水匯河，波光粼粼。

歌德說過：“內(nèi)容人人看得見，涵義只有有心人得之，而形式對于大多數(shù)人是一個秘密。”歌德對文章寫作奧秘的揭示，對探究文本同理。

如《端午的鴨蛋》《吆喝》，兩文為什么都用方言寫作？在探究中，我們可以讓學生通過轉換成書面語，加以比較，讓學生明白：因為方言鮮活生動親切，很地道，很質感，對于事物的表述功能比普通話更強、更細、更具體，能最貼切地表達出人的思想感情和心理變化。所以，作者以方言為外衣，包裹的是那份難以釋懷的沉甸甸的家鄉(xiāng)情結。滿懷故鄉(xiāng)情結的人沉淀在內(nèi)心深處的綿長思緒，與之相匹配的最佳語言形式即就是方言。文章的篇章形式同樣需要破譯。如，杜牧詠史詩，是晚唐詠史詩的高峰。所以在學習《赤壁賦》時，不但要讀懂該詩，還應該借這首“二十八字史論”，引導學生體會杜牧詩高在何處。

學習《醉翁亭記》《岳陽樓記》《小石潭記》等等篇目，我們要歸類出：1.他們都革新，都失敗，都被貶，這些高貴的靈魂在用文字向我們傾訴他們的狀態(tài)和理想，這是珍貴文化遺產(chǎn)和精神財富。2.“記”這種散文體裁的借景言情、感世抒懷的特色與行文方式。

三、“望盡天涯路”

抓住文章的“脈息”，蕩開去，讓課堂學習，漂洋過海，一目千里。

李華平教授提出語文教師要遵循課堂教學的基本規(guī)律，即“為了誰”，“往哪里走”。往哪里走？我覺得，縱橫捭闔，帶學生到天涯海角去,讓他們豁然開朗、明了通透。還是以《端午的鴨蛋》《吆喝》為例，在學習了這兩文的方言使用，我們可以推及其他文學作品，比如賈平凹、莫言、韓少功、孫犁、沈從文等等的作品，讓學生鑒賞：方言中有許多很有表現(xiàn)力的東西，普通話中沒有相應的表達形式。適當采用方言成分，可增添作品的地方特色、鄉(xiāng)土氣息，有利于塑造人物形象、傳遞人物情感，在文學作品中尤其如此。鄉(xiāng)土文學就得力于方言的鮮活質感，親切溫馨，更具張力，最民間，它承載著厚重的地域文化，折射出方言區(qū)域的人們的性情喜好、鄉(xiāng)土人情，名家大師都很善于對方言進行挖掘復活、過濾拋光，賦予新的生命力，增強藝術表現(xiàn)力和感染力，給人全新的閱讀享受。

同理，學了《我的母親》《醉翁亭記》《五柳先生傳》等等文章，我們可以讓學生探究文章稱呼的妙用。

余映潮老師說，課堂教學核心技術有三項：教材研讀技術、教學設計技術、課堂實用技術。我認為就著穴位點開、靠著血脈散開、順著脈息蕩開，三個梯度也可以算是課堂教學技術。

劉興聰，女，陜西專家型教師、教學能手，漢中教學能手、名師、學科帶頭人，縣在職教研員，歷屆歷學期學科第一。數(shù)十篇論文在《中學語文教與學》等各級刊物發(fā)表，詩歌散文在《星星》等百多家刊物發(fā)表，在一些文學大賽中多次獲獎，第五屆“圣陶杯”二等獎。參與五個國家級、省級和市級課題研究，并獲一等獎和優(yōu)秀獎，被評為“優(yōu)秀學術指導”。指導學生作文，數(shù)十篇獲國家級省級一二三等獎，被評為“優(yōu)秀指導老師”。

第五篇：共軛梯度法實驗報告

數(shù)值代數(shù)實驗報告 一、實驗名稱：

用共軛梯度法解線性方程組。

二、實驗目的：

進一步熟悉理解掌握共軛梯度法解法思路，提高 matlab 編程能力。

三、實驗要求：

已知線性方程矩陣，應用共軛梯度法在相關軟件編程求解線性方程 組的解。

四、實驗原理：

1．共軛梯度法：

考慮線性方程組 Ax b 的求解問題，其中 A 是給定的 n 階對稱正定矩陣，b 是給定的 n 維向量，x 是待求解 的 n 維向量.為此, 定義二次泛函 T T(x)x Ax 2b x.定理 1 設 A 對稱正定 , 求方程組 Ax b 的解，等價于求二次泛函(x)的極小值點.定理 1 表明，求解線性方程組問題就轉化為求二次泛函(x)的極小值點問題.求解二次函數(shù)極小值問題，通常好像盲人下山那樣，先給定一個初始向量 x 0，確定 一個下山方向 p 0，沿著經(jīng)過點 x 0 而方向為 p 0 的直線 x x 0 p 0 找一個點 x x p，1 0 0 0 使得對所有實數(shù) 有 x p x p，0 0 0 0 0 即在這條直線上 x 1 使(x)達到極小.然后從 x 1 出發(fā)，再確定一個下山的方向 p 1，沿著 直

線

x x p 再 跨 出 一 步，即 找 到 1 使 得 x 在 x 2 x 1 1 p 1 達 到 極 小 ：1 x p x p.1 1 1 1 1 重復此步驟，得到一串 0 , 1 , 2 ,L 和 p 0 , p 1 , p 2 ,L，稱 p k 為 搜索方向，k 為步長.一般情況下，先在 x k 點找下山方向 p k，再在直線 x x p 上確定步長 k 使 k k

x p x p k k k k k,最后求出

x x p.然而對不同的搜索方向和步長，得到各種不同的算法.k 1 k k k 1

由此，先考慮如何確定 k.設從 x k 出發(fā)，已經(jīng)選定下山方向 p k.令 f x p k k T T x p A x p 2b x p k k k k k k 2 T 2 T p Ap r p x，k k k k k 其中 r k b Ap k.由一元函數(shù)極值存在的必要條件有 T T f 2 p Ap 2r p 0 k k k k 所確定的 即為所求步長，即

k 步長確定后，即可算出

T r p k k k T p Ap k k

.x x p.k 1 k k k T 此時，只要 r p 0，就有 k k 即

x x.k 1 k

x x x p x 2 k 1 k k k k k T r p k k 2 T 2 T 0 p Ap r p k k k k k k T p Ap k k 再考慮如何確定下山方向 p k.易知負梯度方向是(x)減小最快的方向，但簡單分 析就會發(fā)現(xiàn)負梯度方向只是局部最佳的下山方向，而從整體來看并非最佳.故采用新 的方法尋求更好的下山方向—— 共軛梯度法.下面給出共軛梯度法的具體計算過程 : 給定初始向量 x 0，第一步仍選用負梯度方向為下山方向，即 p 0 r 0，于是有 T r r 0 0 ,x x p ,r b Ax.0 T 1 0 0 0 1 0 p Ap 0 0 對以后各步，例如第 k+1 步（k 1）, 下山方向不再取 r k，而是在過點由向量 r k 和 p k 1

所張成的二維平面 2 { x | x x k r k p k 1 , , R} 內(nèi)找出使函數(shù) 下降最快的方向作為新的下山方向 p k.考慮 在 2 上的限制：,(x k r k p k)1 T(x r p)A(x r p)k k k 1 k k k 1 T 2b(x r p).k k k 1 計算 關于 , 的偏導得：

T T T r Ar r Ap r r , k k k k 1 k k T T 2 r Ap p Ap , T 其中最后一式用到了 r p 1 0，這可由 r k 的定義直接驗證.令 k k 1 k 1 k 1 k k 0，即知 在 2 內(nèi)有唯一的極小值點 x% x r p，k 0 k 0 k 1 2

其中 0 和 0 滿足

T T T r Ar r Ap r r 0 k k 0 k k 1 k k,T T r Ap p Ap 0 k k 1 0 k 1 k 1

0.由于 r k 0 必有 0 0，所以可取 1 0 p x% x r p k k k k0 0 作為新的下山方向.顯然，這是在平面 2 內(nèi)可得的最佳下山方向.令 0 k，則可 1 得 T r Ap k k 1.k 1 T p Ap

k 1 k 1 T 注：這樣確定的 p k 滿足 p Ap 1 0，即 p k 與 p k 1 是相互共軛的.k k

0 總結上面的討論，可得如下的計算公式：

T r p k k，x k 1 x k k p k，k T p Ap k k r b Ax，k 1 k 1 T r Ap k 1 k，p k 1 r k 1 k p k.k T p Ap k k 在實際計算中，常將上述公式進一步簡化，從而得到一個形式上更為簡單而且對稱 的計算公式.首先來簡化 r k 1 的計算公式：

r 1 b Ax 1 b A(x p)r Ap.k k k k k k k k 因為 Ap k 在計算 k 是已經(jīng)求出，所以計算 r k 1 時可以不必將 x k 1 代入方程計算，而是 從遞推關系 r k 1 b k Ap k 得到.再來簡化 k 和 k 的計算公式.此處需要用到關系式 T T T r r 1 r p 1 r 1 p 0, k 1,2,K.k k k k k k 從而可導出 1 T T r r r ,，k 1 k 1 k 1 1 1 k T T T p Ap p r r p r k k k k k 1 k k 1 T 1 T k k r r p r r.k k k 1 k 1 k k k k 由此可得

T T r r r r k k 1 1.k k ,.，k T k T p Ap r r k k k k 從而有求解對稱正定方程組的共軛梯度法算法如下：

x 初值 0 r b Ax ； k 0 0 0 while r k 0 k k 1 if k 1 p r 0 0 3

else T T k r k r k r k r k1 1 2 2 p r p k 1 k 1 k 2 k 2 end T T k r k r k p k Ap k1 1 1 1 x x p k k 1 k 1 k 1 r r Ap k k 1 k 1 k 1 end x x k 注：該算法每迭代一次僅需要使用系數(shù)矩陣 A 做一次矩陣向量積運算.定理 2 由共軛梯度法得到的向量組

r 和 p i 具有如下基本性質：

i T（1）

p r 0，0 i j k;i j T（2）

r r 0，i j，0 i, j k;i j T（3）

p Ap 0，i j，0 i, j k;i j（4）

span{ r ,K , r k } span{ p ,K , p k }(A, r ,k 1)，0 0 0 其中 k(A,r , k 1)span{ r , Ar ,K , A r }，0 0 0 0 通常稱之為 Krylov 子空間.下面給出共軛梯度法全局最優(yōu)性定理：

定理 3 用共軛梯度法計算得到的近似解 x k 滿足 x min x : x x(A,r ,k)k 0 0 或 x x x x x x A r k，* min * : 0(, 0 ,)k A A 其中

T x x Ax，x * 是方程組 Ax b 的解，(A, r 0 ,k)是由所定義的 Krylov 子空間.A 定理 2 表明，向量組 r 0 ,K ,r k 和 p 0 ,K , p k 分別是 Krylov 子空間(A, r 0 ,k 1)的正 交基和共軛正交基.由此可知，共軛梯度法最多 n 步便可得到方程組的解 x *.因此，理論上來講，共軛梯度法是直接法.然而實際使用時，由于誤差的出現(xiàn)，使 r k 之間的正交性很快損失，以致于其有 限步終止性已不再成立.此外，在實際應用共軛梯度法時，由于一般 n 很大，以至于 迭代 O n 次所耗費的計算時間就已經(jīng)使用戶無法接受了.因此，實際上將共軛梯度 法作為一種迭代法使用，而且通常是

r 是否已經(jīng)很小及迭代次數(shù)是否已經(jīng)達到最大

k 允許的迭代次數(shù) k max 來終止迭代.從而得到解對稱正定線性方程組的實用共軛梯度 法，其算法如下：

x 初值 4

k 0;r b Ax;

T r r

while

b and k k max 2 k k 1 if k 1 p r else %;p r p end T;;Ap p x x p T r r;%;r r end 算法中，系數(shù)矩陣 A 的作用僅僅是用來由已知向量 p 產(chǎn)生向量 Ap，這不僅可以 充分利用 A 的稀疏性，而且對某些提供矩陣 A 較為困難而由已知向量 p 產(chǎn)生向量 Ap 又十分方便的應用問題是十分有益的。

2．算例 10 13 4

x 1運用共軛梯度法求解下述方程，并解釋你所觀察到的結果 1 9-1 2-3 x 27 2-1 7 3-5

x 33 2 3 12-1 x 17 解：已知共軛梯度法的 MATLAB 程序代碼如下所示：4-3-5-1 15 x 12 function[x,n]=conjgrad(A,b,x0)5 %采用共軛梯度法求線性方程組 Ax=b 的解 %線性方程組的系數(shù)矩陣：

A %線性方程組中的常數(shù)向量：

b %迭代初始向量：

x0 %線性方程組的解：

x %求出所需精度的解實際的迭代步數(shù)：

n r1=b-A*x0;p=r1;n=0;for i=1:rank(A)if(dot(p,A*p)<1.0e-50)break;end

alpha=dot(r1,r1)/dot(p,A*p);5

x=x0+alpha*p;r2=r1-alpha*A*p;if(r2<1.0e-50)break;end belta=dot(r2,r2)/dot(r1,r1);p=r2+belta*p;n=n+1;end 用共軛梯度法求解，在 MATLAB 命令窗口中輸入求解程序：

>> A=[10 1 2 3 4 2 4 2 1 1;1 9-1 2-3 3-3-1 9 2;2-1 7 3-5 4-5 7-1 3;3 2 3 12-1 5-1 3 2 4;4-3-5-1 15 1 3 2 3 2;2 3 4 5 1 10 4 5 3 4;4-3-5-1 3 4 9 1-3 2;2-1 7 3 2 5 1 7-1 1;1 9-1 2-3 3-3-1 12 10;1 2 3 4 2 4 2 1 10 15];>> b=[12;-27;14;-17;12;12;-27;14;-17;12];>> x0=[0;0;0;0;0;0;0;0;0;0];>> [x,n]=conjgrad(A,b,x0)輸出的計算結果為：

x = 8.5669-7.1981-7.3479-13.9388 1.1303 11.5188-26.8966-2.2388 0.0829 13.2786 輸出的迭代次數(shù)為 n = 10 共軛梯度法理論上只要迭代 n 步，就能得出方程組的解，但是由于存在計算誤差，即分數(shù)向小數(shù)轉化時存在舍入誤差，很難保證在第 n 步時得到準確解。

3． 總結 本文首先給出最小二乘問題的定義，隨后從盲人下山法開始討論了共軛梯度法 的具體推導過程及其相關性質與算法.繼而重點給出正則化方法的實用共軛梯度算 法并舉例進行檢驗.最后，需要說明雖然正則化方法是求一般線性方程組 Ax b，m n A R m n 且 A 列滿秩的最小二乘解的一種方法且簡單易行，但是也有許多不

足之處，如 m n 時一般無解；

T A A 形成時運算量大，A 中某些信息會丟失；當 A病

態(tài)時其收斂性速度由于

T 2 2(A A)2(A)很大變得非常之慢等，故為了避免正則化方 法的缺點，還可運用殘量極小化方法或殘量正交化方法等更好的方法來解決此類問 題.在實際的科學與工程問題中，常常將問題歸結為一個線性方程組的求解問題，而求解線性方程組的數(shù)值解法大體上可分為直接法和迭代法兩大類.直接法是指在 沒有舍入誤差的情況下經(jīng)過有限次運算可求得方程組的精確解的方法.因此，直接法 又稱為精確法.迭代法則是采取逐次逼近的方法，亦即從一個初始向量出發(fā)，按照一 定的計算格式，構造一個向量的無窮序列 , 其極限才是方程組的精確解，只經(jīng)過有限 次運算得不到精確解.當線性方程組的系數(shù)矩陣為對稱正定矩陣時，我們常用共軛梯 度法（或簡稱 CG 法）求解，目前有關的方法與理論已經(jīng)相當成熟，并且已成為求解 大型稀疏線性方程組最受歡迎的一類方法.7