第一篇：林壽數(shù)學史教案-選講：數(shù)學論文寫作初步

選講：數(shù)學論文寫作

凡是運用概念、判斷、推理、證明或反駁等邏輯思維手段來分析、表達自然科學的理論和技術(shù)研究中的各種問題、成果的文章，都屬于科技學術(shù)論文的范疇。科技學術(shù)論文最重要的特點是科學性和創(chuàng)造性。

1、論文的撰寫

數(shù)學論文的撰寫過程分準備和寫作兩個階段。

準備階段首先搜集資料和研究資料，發(fā)現(xiàn)問題，提出猜想，逐步論證，對獲得的結(jié)果進行整理和提煉。寫作階段按列出的提綱寫作草稿，修改定稿。

1.1文獻搜集

運用適當?shù)臋z索方法，注意搜集與選擇的方向。文獻的搜集與選擇之要點，一是多，注意其全面性；二是精，注意其權(quán)威性。

1.2資料整理

資料整理是根據(jù)課題要求對已有的資料進行閱讀、記錄、分類、剔選、匯總的操作過程。

1.3論文選題

論文的價值主要在于選擇一個什么樣的課題。選題主要應(yīng)遵循創(chuàng)新性原則和適應(yīng)性原則，切忌題目雷同，內(nèi)容重復(fù)或立題貪大，內(nèi)容求全。

實例： “數(shù)學分析”選題10例；“數(shù)學教育”選題10例；“數(shù)學史” 選題10例。

1.4擬定提綱

擬定提綱有兩層含意，一是謀篇構(gòu)思；二是擬寫提綱。

謀篇構(gòu)思就是對研究工作的成果作合理安排的思維過程，要求作者對論文的思路、層次、順序等進行思考。擬寫提綱包括的至少有六個項目：題目；課題研究的目的；證明論點所用的概念、定理；采用的論證方法；結(jié)論；需進一步討論的問題。

1.5寫作初稿

數(shù)學論文已形成一定的撰寫格式，其結(jié)構(gòu)一般由標題、署名、摘要、關(guān)鍵詞、分類號、正文（含引言和結(jié)論）、致謝、參考文獻等8個部分組成。

1（1）標題

一是準確得體，恰如其分；二是簡短精煉，高度概括；三是意義完整，體例規(guī)范。

（2）署名

一則表示擁有版權(quán)的聲明；二則反映文責自負的精神；三則有利于讀者同作者聯(lián)系。

（3）摘要

一份文獻內(nèi)容的縮短的精確的表達，而無須補充解釋或評論。按功能劃分大體上可分為報道性摘要、指示性摘要和題錄式摘要。

（4）關(guān)鍵詞

從論文的正文、摘要或篇名中抽出的，并在表達論文內(nèi)容主題方面具有實在意義起關(guān)鍵作用的詞匯稱為關(guān)鍵詞，一般為3－8個。

（5）分類號

論文主題所屬類別，采用《中圖法》的分類體系或美國《數(shù)學評論》的分類體系，具體要看所投刊物的要求。

（6）引言、正文及結(jié)論

引言是用于說明論文寫作的目的、理由、背景、研究成果和意義的部分，主要內(nèi)容有：研究主題、目的和理由，對本課題已有研究成果的述評，本文所要解決的問題和采用的方法，概述成果及意義等。

正文的基本要求是以某一基本觀點為核心，貫穿全文，將已有的概念、定理與自己探索到的新思想、新結(jié)論，用清晰的邏輯方法撰寫為一個完整、無誤的統(tǒng)一體。它應(yīng)包括理論分析，論證的新手段及方法和結(jié)論。

結(jié)論是整篇論文的歸結(jié)，集中反映作者的成果，表達作者對所研究課題的見解和主張，對全篇論文起畫龍點睛的作用。

（7）致謝

當科研成果以論文形式發(fā)表時，有時需要對他人的勞動給予充分肯定，鄭重地以書面形式表示感謝。它與論文的作者之間應(yīng)有一定的區(qū)別。

（8）參考文獻

引用參考文獻的主要原因有三，一是說明研究課題范圍內(nèi)前人的工作成果和 2 背景，并為證實自己的論點提供足夠的證據(jù)材料；二是承認科學的繼承性，表明尊重他人的勞動成果；三是便于自己寫作和讀者查閱，復(fù)核，了解相關(guān)領(lǐng)域里前人所做的貢獻。

著錄參考文獻的原則有三，一是只著錄最必要、最新的文獻；二是只著錄公開發(fā)表的文獻；三是采用規(guī)范化的著錄格式。

1.6修改定稿

一是錘煉課題，二是精思布局，三是檢驗材料，四是斟酌字句。

2、論文的發(fā)表

一篇學術(shù)論文只有正式發(fā)表后才能承認為正式文獻。注意發(fā)表形式，發(fā)表程序和校對工作。

作者如何提高投稿命中率？一是選題新穎實用，二是文章簡明可讀，三是了解征稿要求，四是細處一絲不茍；退稿原因多數(shù)為缺乏創(chuàng)新，論據(jù)不充分或沒有達到刊物要求的學術(shù)價值等。

3、科研成果的保管

保管好科研成果的有效手段是建立科研檔案。科研檔案是在科研活動中逐步做出并經(jīng)整理和篩選，確有保留價值和有必要作為原始記錄而立卷存檔，長期保存的資料。

就其表現(xiàn)形式來說，科研檔案可以歸納為兩大類，一是實物檔案，二是記錄檔案。

采用科研檔案形式保管科研成果，其作用體現(xiàn)在歷史性的憑證，原始性的證據(jù)，供檢查、復(fù)核、校閱，供使用和參考，確立發(fā)現(xiàn)發(fā)明權(quán)，正式紀錄科學貢獻。

第二篇：林壽數(shù)學史教案-第八講：19世紀的代數(shù)

第八講：19世紀的代數(shù)

19世紀的代數(shù)稱之“代數(shù)學的新生“。

1、代數(shù)方程根式解

高斯（德，1777－1855年），11歲發(fā)現(xiàn)了二項式定理，1795年進入哥廷根大學學習，1796年發(fā)現(xiàn)了正17邊形的尺規(guī)作圖法，1799年證明了代數(shù)基本定理。

高斯，“數(shù)學王子”，18－19世紀之交的中堅人物，歐拉以后最重要的數(shù)學家，數(shù)學研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，發(fā)表論文155篇。

1770年拉格朗日（法，1736－1813年）發(fā)表《關(guān)于代數(shù)方程解的思考》，認識到求解一般五次方程的代數(shù)方法可能不存在。1799年魯菲尼（意，1765－1822年）明確提出要證明高于四次的一般方程不可能用代數(shù)方法求解。

1824年阿貝爾（挪，1802－1829年）出版《論代數(shù)方程，證明一般五次方程的不可解性》，證明了阿貝爾定理。

阿貝爾簡介及數(shù)學獎：阿貝爾獎（2003－）。

1829－1831年，伽羅瓦（法，1811－1832年）建立了判別方程根式解的充分必要條件，宣告了方程根式解難題的徹底解決。

伽羅瓦簡介。

伽羅瓦的工作可以看成是近世代數(shù)的發(fā)端，現(xiàn)代數(shù)學醞釀的標志之一。

2、數(shù)系擴張

1873年埃爾米特（法，1822－1901年）和1882年林德曼（德，1852－1939年）分別證明了e和π是超越數(shù)。虛數(shù)（即復(fù)數(shù)）的出現(xiàn)，承認與反承認一直在歐洲徘徊。19世紀復(fù)數(shù)在數(shù)學中起著舉足輕重的作用。1811年高斯（德，1777－1855年）討論了復(fù)數(shù)幾何表示。

對復(fù)數(shù)推廣的重要貢獻是哈密頓（愛爾蘭，1805－1865年），1843年定義了四元數(shù)。

哈密頓簡介。

1844年格拉斯曼（德，1809－1877年）在《線性擴張性》引進了n個分量的超復(fù)數(shù)，1847年凱萊（英，1821－1895年）定義了八元數(shù)。

3、行列式與矩陣

關(guān)于線性方程組解的發(fā)展，形成了行列式和矩陣的理論。

1683年關(guān)孝和（日，1642－1708年）完成《解伏題之法》，提出行列式理論和代數(shù)方程變換理論，尤其在行列式方面的研究是世界領(lǐng)先的。

1750年克萊姆（瑞士，1704－1752年）法則，1772年范德蒙（法，1735－1796年）、拉普拉斯（法，1749－1827年）行列式展開定理。

1841年凱萊（英，1821－1895年）行列式記號，1852年西爾維斯特（英，1814－1897年）慣性定理，1854年埃爾米特（法，1822－1901年）使用了正交矩陣，1858年凱萊證明了凱萊－哈密頓定理，1870年若爾當（法，1838－1921年）建立了若爾當標準形，1879年弗羅貝尼斯（德，1849－1917年）引入矩陣的秩。

4、布爾代數(shù)

來源于對數(shù)學和邏輯基礎(chǔ)的探討。

德?摩根（英，1806－1871年），1847年《形式邏輯》，突破古典的主謂詞邏輯的局限，影響到數(shù)理邏輯的發(fā)展。

布爾（英，1815－1864年），1847年《邏輯的數(shù)學分析，論演繹推理的演算法》和1854年《思維規(guī)律的研究，作為邏輯與概率的數(shù)學理論的基礎(chǔ)》為數(shù)理邏輯的發(fā)展鋪平了道路。

施羅德（德，1841－1902年）《邏輯代數(shù)講義》（3卷，1890－1905年）把布爾的邏輯代數(shù)推向頂峰。

5、數(shù)論

費馬（法，1601－1665年），“業(yè)余數(shù)學家之王”，獨騁17世紀數(shù)論天地，17世紀法國最偉大的數(shù)學家，《數(shù)學論集》（1670）。

18世紀的數(shù)論受到費馬思想的主宰。有影響的數(shù)學家是歐拉（瑞，1701－1783年），拉格朗日（法，1736－1813年），哥德巴赫（德，1690－1764年）和華林（英，1734－1798年）。

高斯（德，1777－1855年）的數(shù)論研究總結(jié)在1801年的《算術(shù)研究》中，它不僅是數(shù)論方面的劃時代之作，也是數(shù)學史上不可多得的經(jīng)典著作之一。

代數(shù)數(shù)論是研究代數(shù)數(shù)域的數(shù)論性質(zhì)。整數(shù)最基本的性質(zhì)是唯一因子分解定理。1844－1847年庫默爾（德，1810－1893年）創(chuàng)立了理想數(shù)理論，1871年戴德金（德，1831－1916年）創(chuàng)立了代數(shù)數(shù)理論，1897年希爾伯特（德，1862－ 2 1943年）“代數(shù)數(shù)域理論”。

梅森素數(shù)。梅森素數(shù)是確定大素數(shù)的一種途徑。1644年梅森（法，1588－1648年）《物理數(shù)學隨感》。在“手算筆錄年代”僅找到12個梅森素數(shù)，近10年來通過GIMPS項目找到了10個（35至44個）梅森素數(shù)。

第三篇：林壽數(shù)學史教案-第九講：19世紀的幾何

第九講：19世紀的幾何

1、幾何學的變革

幾何學的基礎(chǔ)：現(xiàn)實空間與思維空間。1.1 微分幾何

平面曲線理論17世紀基本完成。1696年洛比塔（法，1661－1704年）的《無窮小分析》完成并傳播了平面曲線理論。

1760年歐拉（瑞，1707－1783年）《關(guān)于曲面上曲線的研究》，建立了曲面理論，1795年蒙日（法，1746－1818年）《關(guān)于分析的幾何應(yīng)用的活頁論文》借助微分方程對曲面族深入研究。

蒙日簡介。1.2 非歐氏幾何

從公元前3世紀到18世紀末，數(shù)學家們雖然一直堅信歐氏幾何的完美與正確，但“平行公設(shè)”始終讓他們耿耿于懷。

薩凱里（意，1667－1733年）1733年《歐幾里得無懈可擊》提出“薩凱里四邊形”。1763年克呂格爾（德，1739－1812年）對平行線公設(shè)是否能由其它公理加以證明表示懷疑。1766年蘭伯特（法，1728－1777年）《平行線理論》指出通過替換平行公設(shè)而展開新的無矛盾的幾何學道路。

1813年高斯（德，1777－1855年）：反歐幾里得幾何，非歐幾里得幾何，擔心世俗的攻擊而未發(fā)表。1826年羅巴切夫斯基（俄，1792－1856年）《簡要論述平行線定理的一個嚴格證明》，歷史上第一篇公開發(fā)表的非歐幾何文獻。1832年J?鮑約（匈，1802－1860年）《絕對空間的科學》，所謂“絕對幾何”就是非歐幾何。

黎曼（德，1826－1866年）1854年《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》建立了黎曼幾何。在黎曼幾何中，過已知直線外一點不能作任何平行于該給定直線的直線。

黎曼簡介。

1868年貝爾特拉米（意，1835－1899年）《論非歐幾何學的解釋》，在“偽球面”模型上實現(xiàn)（片段上）羅巴切夫斯基幾何。1871年克萊因（德，1849－1925年）“圓”模型實現(xiàn)羅巴切夫斯基幾何，1882年龐加萊（法，1854－1912年）也對羅巴切夫斯基幾何給出了一個歐氏模型，克萊因－龐加萊圓。

1.3 射影幾何

將射影幾何變革為具有獨立目標與方法的學科的數(shù)學家是龐斯列。綜合方法。1822年龐斯列（法，1788－1867年）的《論圖形的射影性質(zhì)》，探討圖形在投射和截影下保持不變的性質(zhì)，闡述了連續(xù)性原理、對偶原理。

代數(shù)方法。1827年默比烏斯（德，1790－1868年）的《重心計算》中的齊次坐標，1829年普呂克（德，1801－1868年）的三線坐標。

1847年施陶特（德，1798－1867年）的《位置幾何學》不借助長度概念就得以建立射影幾何。凱萊（英，1821－1895年）和克萊因（德，1849－1925年）在射影幾何基礎(chǔ)上建立歐氏幾何和非歐幾何。

1.4 統(tǒng)一的幾何學

1872年克萊因（德，1849－1925年）在埃爾朗根大學的教授就職演講《關(guān)于近代幾何研究的比較考察》，闡述了幾何學統(tǒng)一的思想。

克萊因簡介。1.5 幾何學的公理化

19世紀的數(shù)學家重新審視《原本》時發(fā)現(xiàn)它有許多弱點。1899年希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》，提出了對現(xiàn)代數(shù)學影響深遠的統(tǒng)一幾何學的途徑：公理化方法。

希爾伯特在歷史上第一次明確地提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的三原則：相容性、獨立性、完備性。

希爾伯特簡介。2、19世紀的中國數(shù)學

西方數(shù)學在中國早期傳播的第二次高潮是從19世紀中葉開始。李善蘭、華蘅芳等為中國近代科學事業(yè)的先行者。

2.1 李善蘭（清，1811－1882年）

李善蘭：1850年完成著作《垛積比類》，翻譯了《幾何原本》（1857）、《代微積拾級》（1859）和《代數(shù)學》（1859）。

2.2 華蘅芳（清，1833－1902年）

華蘅芳：1868年到江南制造總局翻譯館，翻譯了《代數(shù)術(shù)》（1872）、《微積溯源》（1874）和《決疑數(shù)學》（1880）。

西方數(shù)學在中國的早期傳播對中國現(xiàn)代數(shù)學的形成功效并不顯著。自19世 2 紀末開始，一批中國留學生到日本、歐美學習數(shù)學，回國后創(chuàng)辦數(shù)學系，1919年“五四”運動前后，中國現(xiàn)代數(shù)學稍具雛形。

第四篇：林壽數(shù)學史教案-第五講：文藝復(fù)興時期的數(shù)學

第五講：文藝復(fù)興時期的數(shù)學

1、文明背景 1.1 文藝復(fù)興

文藝復(fù)興是指14世紀意大利各城市興起，15世紀后期起擴展到西歐各國，16世紀在歐洲盛行的一場思想文化運動。在這歷時約200年的歷史中，揭開了現(xiàn)代歐洲歷史的序幕，被認為是中古時代和近代的分界，數(shù)學活動也以空前的規(guī)模和深度蓬勃興起。

1.2 技術(shù)進步

歐洲文藝復(fù)興時期的主要成就之一，是在15世紀后半葉開始產(chǎn)生近代自然科學。四大發(fā)明相繼傳入歐洲。1450年，德意志人古騰堡發(fā)明了金屬活字印刷術(shù)，歐幾里得的《原本》1482年在威尼斯出版了第一個印刷版。

1.3 航海探險

1488年，迪亞士（葡，1450－1500年）進入印度洋，發(fā)現(xiàn)好望角。1498年，達?伽馬（葡，1469－1524年）到達印度海岸，找到了通向東方的新航路。1492年，哥倫布（西，1451－1506年）到達美洲。1519－1522年，麥哲倫（葡，1480－1521年）船隊完成了首次環(huán)球航行。

1.4 天文學的革命

哥白尼（波，1473－1543年）提出“日心說”，1543年出版《天體運行論》。布魯諾（意，1548－1600年）1584年在《論無限、宇宙及世界》提出了宇宙無限的思想。

2、文藝復(fù)興時期的歐洲數(shù)學

近代始于對古典時代的復(fù)興，但人們很快看到，它遠不是一場復(fù)興，而是一個嶄新的時代。

2.1 代數(shù)學

歐洲人在數(shù)學上的推進是從代數(shù)學開始的，它是文藝復(fù)興時期成果最突出、影響最深遠的領(lǐng)域，拉開了近代數(shù)學的序幕。

帕西奧里（意，1445－1517年），1494年出版《算術(shù)集成》是一部數(shù)學百科全書，其中采用了優(yōu)越的記號及大量的數(shù)學符號，推進了代數(shù)學的發(fā)展。

塔塔利亞（意，1499－1557年）發(fā)表了《論數(shù)字與度量》（1556－1560），1 16世紀最好的數(shù)學著作之一，發(fā)現(xiàn)了三次方程的代數(shù)解法。

卡爾丹（意，1501－1576年）最重要的數(shù)學著作是1545年出版的《大術(shù)》，內(nèi)有三次、四次方程的解法。

邦貝利（意，1526－1573），意大利文藝復(fù)興時期最后一位代數(shù)學家，1572年出版《代數(shù)》，引進了虛數(shù)，正式給出了負數(shù)的明確定義。

施蒂費爾（德，1487－1567年），16世紀德國最大的數(shù)學家，1544年《綜合數(shù)學》中指出：符號使用是代數(shù)學的一大進步。

韋達（法，1540－1603年），16世紀法國最大、最有影響的數(shù)學家，被西方稱為“代數(shù)學之父”，1591年出版《分析引論》是最早的符號代數(shù)專著。

2.2 三角學

在16世紀，三角學已從天文學中分離出來，成為一個獨立的數(shù)學分支。雷格蒙塔努斯（德，1436－1476年），1464年完成《論各種三角形》（1533年出版），是歐洲人對平面和球面三角學所作的第一個完整、獨立的闡述。

韋達（法，1540－1603年），1579年《應(yīng)用于三角形的數(shù)學定律》系統(tǒng)講述了各鐘三角函數(shù)，1615年《截角術(shù)》系統(tǒng)化了球面三角和平面三角學。

2.3 射影幾何

文藝復(fù)興時期給人印象最深的幾何創(chuàng)造其動力卻來自藝術(shù)。正是由于繪畫、制圖中提出的問題的刺激導(dǎo)致了富有文藝復(fù)興特色的學科，誕生了射影幾何學。

阿爾貝蒂（意，1404－1472年），1435年發(fā)表《論繪畫》，闡述了最早的數(shù)學透視法思想，是射影幾何發(fā)展的起點。

德沙格（法，1591－1661年）主要著作是1639年《試論錐面截一平面所得結(jié)果的初稿》，射影幾何早期發(fā)展的代表作。

帕斯卡（法，1623－1662年）1640年《圓錐曲線論》（1779年發(fā)現(xiàn)），內(nèi)有帕斯卡定理：圓錐曲線的內(nèi)接六邊形對邊交點共線。

射影幾何產(chǎn)生后很快讓位于代數(shù)、解析幾何和微積分，他們的工作也漸被遺忘，遲至19世紀才又被人們重新發(fā)現(xiàn)。

2.4 對數(shù)

1585年史蒂文（荷，1548－1620年）著作《十進算術(shù)》，系統(tǒng)地探討了十進制記數(shù)及其運算理論，并提倡用十進制小數(shù)來書寫分數(shù)。

納皮爾（蘇格蘭，1550－1617年）至少花了20年的時間，于1590年左右開始寫關(guān)于對數(shù)的著作，1614年發(fā)表《奇妙對數(shù)規(guī)則的說明》。

到16世紀末、17世紀初，整個初等數(shù)學的主要內(nèi)容基本定型，文藝復(fù)興促成的東西方數(shù)學的融合，為近代數(shù)學的興起及以后的驚人發(fā)展鋪平了道路。3、15－17世紀的中國數(shù)學

3.1 珠算

珠算盤是算籌的發(fā)展。珠算盤的記載最早見于元末陶宗儀的《南村輟（chuò）耕錄》（1366年）。

程大位（明，1533－1606年）1592年編著了《直指算法統(tǒng)宗》。從它流傳的長久和廣泛方面來講，那是中國古代數(shù)學史上任何著作也不能與之相比。

3.2 西方數(shù)學的傳入

西方數(shù)學在中國早期傳播的第一次高潮是從17世紀初到18世紀初（明末清初），標志性事件是歐幾里得《原本》的首次翻譯。

最早來中國從事傳教活動的是明萬歷年間（1582年）來華的意大利傳教士利瑪竇（1552－1610年），被中國人尊稱為“西學東漸第一師”。

徐光啟（明，1562—1633年），中國近代科學的啟蒙大師。1607年，徐光啟與利瑪竇合作翻譯的歐幾里得《原本》前6卷出版?！稁缀卧尽肥侵袊g西方數(shù)學書籍的開始，相繼出現(xiàn)了許多歐洲數(shù)學著作。

3.3 明末的中國科技

李時珍（1518－1593年）《本草綱目》，徐光啟（1562－1633年）《農(nóng)政全書》，徐霞客（1586－1641年）《徐霞客游記》，宋應(yīng)星（1587－

？）《天工開物》。

第五篇：林壽數(shù)學史教案-第十講：19世紀的分析

第十講：19世紀的分析

1、分析的嚴格化

經(jīng)過近一個世紀的嘗試與醞釀，數(shù)學家們在嚴格化基礎(chǔ)上重建微積分的努力到19世紀初開始獲得成效。

1.1 分析的算術(shù)化

所謂分析是指關(guān)于函數(shù)的無窮小分析，主要貢獻歸功于柯西（法，1789－1857年）和魏爾斯特拉斯（德，1815－1897），前者著有《分析教程》（1821）、《無窮小分析教程概論》（1823）和《微分學教程》（1829），后者創(chuàng)造了ε－δ語言，是“現(xiàn)代分析之父”。

1837年狄里克雷（德，1805－1859年）的函數(shù)定義。魏爾斯特拉斯簡介。1.2 實數(shù)理論

19世紀60年代魏爾斯特拉斯提出“單調(diào)有界原理”，康托、戴德金各自獨立地給出了無理數(shù)定義，建立了嚴格的實數(shù)論。實數(shù)的定義及其完備性的確立，標志著由魏爾斯特拉斯倡導(dǎo)的分析算術(shù)化運動大致宣告完成。

1.3 集合論

康托（德，1845－1918年），1874年發(fā)表了“關(guān)于一切代數(shù)實數(shù)的一個性質(zhì)”，引入了無窮的概念。

康托簡介。

2、分析的拓展 2.1 復(fù)變函數(shù)論

在18世紀后半葉到19世紀初，開始了復(fù)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與積分性質(zhì)的探索。復(fù)分析真正作為現(xiàn)代分析的一個研究領(lǐng)域是在19世紀建立起來的，主要奠基人：柯西（法，1789－1857年）、黎曼（德，1826－1866年）和魏爾斯特拉斯（德，1815－1897年）。

柯西建立了復(fù)變函數(shù)的微分和積分理論。1814年、1825年的論文《關(guān)于積分限為虛數(shù)的定積分的報告》建立了柯西積分定理，1826年提出留數(shù)概念，1831年獲得柯西積分公式，1846年發(fā)現(xiàn)積分與路徑無關(guān)定理。

柯西簡介。

背景：波旁王朝、捷克簡史、哈布斯堡王朝、拿破侖三世、歐洲1848年革命。

黎曼的幾何觀點，引入“黎曼面”的概念。1851年博士論文《單復(fù)變函數(shù)一般理論基礎(chǔ)》，建立了柯西－黎曼條件、黎曼映射定理。

魏爾斯特拉斯于19世紀40年代，以追求絕對的嚴格性為特征，建立了冪級數(shù)基礎(chǔ)上的解析函數(shù)理論，解析開拓。

魏爾斯特拉斯的方法與柯西－黎曼的觀點相互統(tǒng)一。2.2 解析數(shù)論

1737年歐拉（瑞，1707－1783年）在數(shù)論的研究中引進了分析方法：解析數(shù)論。1837年狄里克雷（德，1805－1859年）用分析方法證明了歐拉－勒讓德提出的素數(shù)問題，1863年出版《數(shù)論講義》，是解析數(shù)論的經(jīng)典文獻。

1859年黎曼《論不超過一個給定值的素數(shù)個數(shù)》，開創(chuàng)了解析數(shù)論的新時期，提出了著名的黎曼猜想，使復(fù)分析成為這一領(lǐng)域的重要工具。1896年阿達瑪（法，1865－1963年）和瓦萊?普桑（比利時，1866－1962年）證明了素數(shù)定理。

2.3 偏微分方程

19世紀，偏微分方程的求解成為數(shù)學家和物理學家關(guān)注的重心。

弦振動方程。1747年達朗貝爾（法，1717－1783年）發(fā)表《弦振動研究》和1749年歐拉導(dǎo)出了弦振動方程并求出解，是偏微分方程研究的開端。

位勢方程。1752年歐拉提出，拉普拉斯（法，1749－1827年）1785年用球調(diào)和函數(shù)求解，稱為拉普拉斯方程。格林（英，1793－1841年），1828年完成成名之作（1850年發(fā)表）《關(guān)于數(shù)學分析應(yīng)用于電磁學理論的一篇論文》提出位勢方程的求解方法。

拉普拉斯簡介。格林簡介。

熱傳導(dǎo)方程。傅里葉（法，1768－1830年）1807年就寫成關(guān)于熱傳導(dǎo)的基本論文，1822年出版了《熱的解析理論》，對19 世紀的理論物理學的發(fā)展產(chǎn)生深遠影響。

傅里葉簡介。背景：巴黎科學院。2.4 常微分方程

以海王星的發(fā)現(xiàn)說明微分方程的作用。

解的存在性。1820－1830年柯西獲得第一個解的存在性定理，1869年李普希茨（德, 1832－1903年）條件，1890年皮卡（法, 1856－1941年）逐步逼近定理。

關(guān)于偏微分方程解的存在唯一性定理：柯西－柯瓦列夫斯卡婭定理?？峦吡蟹蛩箍▼I（俄，1850－1891年）簡介。

解的定性與穩(wěn)定性理論。1881－1886年龐加萊（法，1854－1912年）《由微分方程定義的曲線》創(chuàng)建了微分方程的定性理論。1892年李雅普諾夫（俄，1857－1918年）《運動穩(wěn)定性的一般問題》開創(chuàng)了微分方程的穩(wěn)定性理論。

龐加萊簡介：歐拉、柯西之后最多產(chǎn)的數(shù)學家，開辟了微分方程、動力系統(tǒng)、代數(shù)拓撲、代數(shù)幾何等新方向的研究，19世紀最后四分之一和20世紀初世界數(shù)學的領(lǐng)袖人物。