第一篇：精品教案：第五章 平面向量講解

2010屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案――平面向量

一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu):

二、重點(diǎn)知識(shí)回顧

1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量 , 有二個(gè)要素:大小、方向.2.向量的表示方法:①用有向線段表示;②用字母 a、b 等表示;③平面向量的坐標(biāo)表

示:分別取與 x 軸、y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量 i、j 作為基底。任作一個(gè)向量 a ,由平

面向量基本定理知, 有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) x、y ,使得 a xi yj =+ , ,(y x 叫做向量 a 的(直

角坐標(biāo),記作(, a x y = ,其中 x 叫做 a 在 x 軸上的坐標(biāo), y 叫做 a 在 y 軸上的坐標(biāo), 特 別地, i(1,0=, j(0,1=, 0(0,0=

。a = ,(11y x A , ,(22y x B ,則(1212, y y x x--= , AB =3.零向量、單位向量:①長度為 0的向量叫零向量,記為;②長度為 1個(gè)單位長度 的向量,叫單位向量.就是單位向量

4.平行向量:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我們規(guī)定 0 與任一向量平行.向量 a、b、c平行,記作 a ∥ b ∥ c.共線向量與平行向量關(guān)系:平行向量就是共線向量.5.相等向量:長度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法、減法 : ①求兩個(gè)向量和的運(yùn)算, 叫做向量的加法。向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。②向

量的減法向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 與 b 的差。即:a-b = a +(-b;差向量的意義: = a , =b , 則 =a,(2121y y x x--=,(, a x y λλλ=。

④向量加法的交換律 :+=+;向量加法的結(jié)合律:(+ +=+(+ 7.實(shí)數(shù)與向量的積:實(shí)數(shù) λ與向量 a 的積是一個(gè)向量,記作:λa

(1 |λa |=|λ||a |;(2 λ>0時(shí) λa 與 a 方向相同;λ<0時(shí) λa 與 a 方向相反;λ=0時(shí) λa =;(3運(yùn)算定律 λ(μa =(λμa ,(λ+μa =λa +μa , λ(a +b =λa +λb

8.向量共線定理 向量 b 與非零向量 a 共線(也是平行的充要條件是:有且只有一 個(gè)非零實(shí)數(shù) λ,使 b =λa。

9.平面向量基本定理:如果 1e , 2e 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 a ,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) λ1, λ2使 a =λ11e +λ22e。(1不共線向量 1e、2e 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;(2基底不惟一,關(guān)鍵是不共線;(3由定理可將 任一向量 a 在給出基底 1e、2e 的條件下進(jìn)行分解;(4基底給定時(shí),分解形式惟一.λ1, λ2是被 a , 1e , 2e 唯一確定的數(shù)量。

10.向量 和 的數(shù)量積:① ·=| |·||cosθ,其中 θ∈ [0, π ]

為 a 和 b 的夾角。② |b |cosθ稱為 b 在 a 的方向上的投影。③ a ·b 的幾何意義是:b 的長 度 ||在 的方向上的投影的乘積,是一個(gè)實(shí)數(shù)(可正、可負(fù)、也可是零,而不是向量。④若 =(1x , 1y , =(x 2, 2y , 則 2121y y x x b a +=?

⑤運(yùn)算律:a · b =b ·a ,(λa · b =a ·(λb =λ(a ·b ,(a +b ·c =a ·c +b ·c。⑥ 和 的夾角公式:cos θ=a b a b

?? =222221212121y x y x y y x x +?++ ⑦ ==?2a a a |a |2=x2+y2,或 |a

|=22y x =+⑧ | a ·b |≤ | a |·| b |。

11.兩向量平行、垂直的充要條件 設(shè) =(1x , 1y , =(2x , 2y ① a ⊥ b ?a ·b =0 , ?⊥a b ?

=1x 2x +1y 2y =0;② //(a ≠ 充要條件是:有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù) λ,使 b =λa。0//1221=-?y x y x b a 向量的平行與垂直的坐標(biāo)運(yùn)算注意區(qū)別,在解題時(shí)容易混淆。

12.點(diǎn) P 分有向線段 21P P 所成的比的 λ: 21PP P P λ=, P 內(nèi)分線段 21P P 時(shí) , 0>λ;P 外分線段 21P P 時(shí) , 0<λ.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、三角形重心公式: ???????++=++=λλλλ112121y y y x x x(1-≠λ、???

????+=+=222121y y y x x x、3, 3(321321y y y x x x ++++

三、考點(diǎn)剖析 考點(diǎn)一 :向量的概念、向量的基本定理

【內(nèi)容解讀】了解向量的實(shí)際背景,掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、單位向 量、相等向量等概念,理解向量的幾何表示,掌握平面向量的基本定理。

注意對(duì)向量概念的理解, 向量是可以自由移動(dòng)的,平移后所得向量與原向量相同;兩個(gè) 向量無法比較大小,它們的?？杀容^大小。

如果 1e 和 2e 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線...向量, 那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量 a 有且只有一 對(duì)實(shí)數(shù) λ

1、λ2,使 a =λ11e +λ22e.注意:若 1e 和 2e 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線...向量, 【命題規(guī)律】 有關(guān)向量概念和向量的基本定理的命題, 主要以選擇題或填空題為主, 考 查的難度屬中檔類型。

例

1、(2007上海直角坐標(biāo)系 xOy 中, i j , 分別是與 x y , 軸正方向同向的單位向 量.在直角三角形 ABC 中, 若 j k i j i +=+=3, 2, 則 k 的可能值個(gè)數(shù)是(A.1 B.2 C.3 D.4 解:如圖,將 A 放在坐標(biāo)原點(diǎn),則 B 點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1, C 點(diǎn)坐標(biāo)為(3,k,所以 C

點(diǎn)在直線 x=3上,由圖知,只可能 A、B 為直角, C 不可能為直角.所以 k 的可 能值個(gè)數(shù)是 2,選 B 點(diǎn)評(píng) :本題主要考查向量的坐標(biāo)表示,采用數(shù)形結(jié)合法,巧妙求解,體現(xiàn)平面向量中的數(shù)形結(jié)合思想。

例

2、(2007陜西如圖,平面內(nèi)有三個(gè)向量 OA、、, 其中與 OA 與 的夾角為 120°, OA 與 的夾角為 30°, 且 |OA |=||=1, || =2,若 =λOA +μ(λ, μ∈ R ，則 λ+μ的值為.解 :過 C 作 OA 與 OC 的平行線與它們的延長線相交, 可得平行四邊形, 由角 BOC=90°角 AOC=30 =32得平行四邊形的邊長為 2和 4, =+μλ2+4=6

點(diǎn)評(píng) :本題考查平面向量的基本定理, 向量 OC 用向量 OA 與向量 OB 作為基底表示出 來后,求相應(yīng)的系數(shù),也考查了平行四邊形法則。

考點(diǎn)二 :向量的運(yùn)算

【內(nèi)容解讀】 向量的運(yùn)算要求掌握向量的加減法運(yùn)算, 會(huì)用平行四邊形法則、三角形法 則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算;掌握實(shí)數(shù)與向量的積運(yùn)算, 理解兩個(gè)向量共線的含義, 會(huì)判斷兩個(gè) 向量的平行關(guān)系;掌握向量的數(shù)量積的運(yùn)算, 體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系, 并 理解其幾何意義, 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式, 會(huì)進(jìn)行平面向量積的運(yùn)算, 能運(yùn)用數(shù)量積表示 兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用向量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。

【命題規(guī)律】命題形式主要以選擇、填空題型出現(xiàn),難度不大,考查重點(diǎn)為模和向量夾 角的定義、夾角公式、向量的坐標(biāo)運(yùn)算,有時(shí)也會(huì)與其它內(nèi)容相結(jié)合。

例

3、(2008湖北文、理 設(shè) a =(1,-2,b =(-3,4,c =(3,2,則(a +2b ·c =(A.(-15,12 B.0 C.-3 D.-11

解 :(a +2b(1, 2 2(3,4(5,6-+-=-,(a +2b ·c(5,6(3,23=-?=-,選 C 點(diǎn)評(píng) :本題考查向量與實(shí)數(shù)的積,注意積的結(jié)果還是一個(gè)向量,向量的加法運(yùn)算,結(jié)果 也是一個(gè)向量,還考查了向量的數(shù)量積,結(jié)果是一個(gè)數(shù)字。

例

4、(2008廣東文 已知平面向量 , 2(, 2, 1(m b a-==, 且 a ∥ b , 則 b a 32+=(A.(-2,-4 B.(-3,-6 C.(-4,-8 D.(-5,-10 解 :由 ∥ ,得 m =-4,所以, b a 32+=(2, 4+(-6,-12=(-4,-8,故選(C。

點(diǎn)評(píng) :兩個(gè)向量平行,其實(shí)是一個(gè)向量是另一個(gè)向量的 λ倍,也是共線向量, 注意運(yùn)算 的公式,容易與向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算混淆。

例

5、(2008海南、寧夏文 已知平面向量 a =(1,-3, b =(4,-2, a b λ+ 與 a 垂直,則 λ是(A.-1 B.1 C.-2 D.2 解 :由于((4, 32, 1, 3, a b a a b a λ+=λ+-λ-=-λ+⊥ ∴((43320λ+--λ-=,即 101001λ+=∴λ=-,選A 點(diǎn)評(píng) :本題考查簡單的向量運(yùn)算及向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算, 注意不要出現(xiàn)運(yùn)算出錯(cuò), 因?yàn)?這是一道基礎(chǔ)題,要爭取滿分。

例

6、(2008廣東理 在平行四邊形 ABCD 中, AC 與 BD 交于點(diǎn) O , E 是線段 OD 的中 點(diǎn), AE 的延長線與 CD 交于點(diǎn) F.若 =, =, 則 =(A.1142a b + B.2133a b + C.1124a b + D.1233

a b + 解 :21=, 2

121+=+=, 4 12121212121(21+=??? ??++=+=, 由 A、E、F 三點(diǎn)共線 , 知 1, >=λλAE AF 而滿足此條件的選擇支只有 B ,故選 B.點(diǎn)評(píng) :用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行向量的加減法運(yùn)算是向量運(yùn)算的一個(gè)難點(diǎn), 體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。例

7、(2008江 蘇 已 知 向 量 a 和 b 的 夾 角 為 0120, ||1,||3a b == , 則

|5|a b-=.解 :(2222552510a b a b a a b b-=-=-?+ =22125110133492???-???-+= ??? ，點(diǎn)評(píng)：向量的模、向量的數(shù)量積的運(yùn)算是經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容，難度不大，只要細(xì)心，運(yùn)算 不要出現(xiàn)錯(cuò)誤即可。考點(diǎn)三：定比分點(diǎn) 【內(nèi)容解讀】掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并能熟練應(yīng)用，求點(diǎn)分有向線段所 成比時(shí)，可借助圖形來幫助理解。【命題規(guī)律】重點(diǎn)考查定義和公式，主要以選擇題或填空題型出現(xiàn)，難度一般。由于向 量應(yīng)用的廣泛性，經(jīng)常也會(huì)與三角函數(shù)，解析幾何一并考查，若出現(xiàn)在解答題中，難度以中 檔題為主，偶爾也以難度略高的題目。例 8、(2008 湖南理 設(shè) D、E、F 分別是△ ABC 的三邊 BC、CA、AB 上的點(diǎn)，且

則

與 BC(A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直

解：由定比分點(diǎn)的向量式得AB, 同理，有：

所以選 A.3 D.既不平行也不垂直

以上三式相加得 3 3 3 3 點(diǎn)評(píng)：利用定比分點(diǎn)的向量式，及向量的運(yùn)算，是解決本題的要點(diǎn).考點(diǎn)四：向量與三角函數(shù)的綜合問題 【內(nèi)容解讀】向量與三角函數(shù)的綜合問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題，考查了向量的知識(shí)，三角函數(shù)的知識(shí)，達(dá)到了高考中試題的覆蓋面的要求?！久}規(guī)律】 命題以三角函數(shù)作為坐標(biāo)，以向量的坐標(biāo)運(yùn)算或向量與解三角形的內(nèi)容相 結(jié)合，也有向量與三角函數(shù)圖象平移結(jié)合的問題，屬中檔偏易題。例 9、（2008 深圳福田等）已知向量 x , 函數(shù) 2 ] 時(shí), 若 求 x 的值． 解：

所以，T＝，∵，∴

∴

∴

由

得

求 f(x 的最小正周期;(2當(dāng)

點(diǎn)評(píng)：向量與三角函數(shù)的綜合問題是當(dāng)前的一個(gè)熱點(diǎn)，但通常難度不大，一般就是 以向量的坐標(biāo)形式給出與三角函數(shù)有關(guān)的條件，并結(jié)合簡單的向量運(yùn)算，而考查的主體 部分則是三角函數(shù)的恒等變換，以及解三角形等知識(shí)點(diǎn).例

10、（2007 山東文）在 △ ABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，tan C ．（1）求 cos C ；（2）若 解：（1）．，又．，cos C 又，是銳角． ．（2）由

．，且

．，2 2 解得 ．，求 c ． 2 sin C

． 點(diǎn)評(píng)：本題向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，考查向

平移，則平移后所 例

11、的圖象按向量，得量的數(shù)量積，余弦定理等內(nèi)容。（2007 湖北）將

圖象的解析式為（Ａ．）

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ． 的圖像上任意取一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn) P x , y，解： 由向量平移的定義，在平移前、后，代入到已知解析式中可 則，得選Ａ 點(diǎn)評(píng)：本題主要考察向量與三角函數(shù)圖像的平移的基本知識(shí)，以平移公式切入，為中檔 題。注意不要將向量與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的順序搞反，或死記硬背以為是先向右平移 下平移 2 個(gè)單位，誤選Ｃ 考點(diǎn)五：平面向量與函數(shù)問題的交匯

個(gè)單位，再向 4 【內(nèi)容解讀】平面向量與函數(shù)交匯的問題，主要是向量與二次函數(shù)結(jié)合的問題為主，要 注意自變量的取值范圍?！久}規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中檔題。例

12、（2008 廣東六校聯(lián)考）已知向量 a ＝(cos 且 x∈[0，sin，x，sin x，b ＝函數(shù)，．（1）求

（2）設(shè)，求函數(shù) f(x 的最值及相應(yīng)的 x 的值。解：（錯(cuò)誤！，得： 未找到引用源。）由已知條件：

（2）

因?yàn)椋?，所以：，?時(shí)，所以，只有當(dāng)：

時(shí)，點(diǎn)評(píng)：本題考查向量、三角函數(shù)、二次函數(shù)的知識(shí)，經(jīng)過配方后，變成開口向下的二次 函數(shù)圖象，要注意 sinx 的取值范圍，否則容易搞錯(cuò)?？键c(diǎn)六：平面向量在平面幾何中的應(yīng)用 【內(nèi)容解讀】向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上就是向量的代數(shù)表示．在引入向量的坐標(biāo)表示后，使向量之間的運(yùn)算代數(shù)化，這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起．因此，許多平面幾何問題中較難解決的問題，都可以轉(zhuǎn)化為大家熟悉的代數(shù)運(yùn)算的論證． 也就是把平面幾 何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，賦予幾何圖形有關(guān)點(diǎn)與平面向量 y 具體的坐標(biāo)，這樣將有關(guān)平面幾何問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算 C 和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決． 【命題規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中等偏難的試題。例

13、如圖在 Rt

中，已知 BC=a，若長為 2a 的線 段 PQ 以 A 為中點(diǎn)，問 PQ 與 BC 的夾角 取何值時(shí)，例 13 圖 O B x Q 的值最大？并求出這個(gè)最大值。解：以直角頂點(diǎn) A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角 坐標(biāo)系。設(shè)|AB|=c，|AC|=b，則 A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.設(shè) 點(diǎn) P 的 坐 標(biāo) 為（x，y），則 Q（-x，-y），（，b），（（，y），）

（，），BC a2 ∴cx-∴-故當(dāng)，即（PQ 與BC 方向相同）時(shí)，的值最大，其最大值為 0.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的概念，運(yùn)算法則及函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，平面向量與幾何問題 的融合?？疾閷W(xué)生運(yùn)用向量知識(shí)解決綜合問題的能力。

四、方法總結(jié)與 2010 年高考預(yù)測(cè)(一方法總結(jié) 1.以“基底”形式出現(xiàn)的向量問題通常將題中的化為以某一點(diǎn)為統(tǒng)一起點(diǎn)，再進(jìn)行向量 運(yùn)算會(huì)非常方便； 2.以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的向量問題可以盡可能利用解析思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程方法求解；(二2010 高考預(yù)測(cè) 預(yù)計(jì)向量基本概念、向量基本運(yùn)算等基礎(chǔ)問題，通常為選擇題或填空題出現(xiàn)；而用向量 與三角函數(shù)、解三角形等綜合的問題，通常為解答題，難度以中檔題為主。

五、復(fù)習(xí)建議

1、平面向量部分的復(fù)習(xí)應(yīng)該注重向量的工具作用，緊緊圍繞數(shù)形結(jié)合思想，揚(yáng)長避短，解決問題；

2、平面向量與三角函數(shù)的交匯是近年來的考查熱點(diǎn)，一般服出現(xiàn)在解答題的前三大題 里，在復(fù)習(xí)中，應(yīng)加強(qiáng)這種類型試題的訓(xùn)練。

第二篇：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．課題：平面向量概念

二、教學(xué)目標(biāo)

1、使學(xué)生了解向量的物理實(shí)際背景，理解平面向量的一些基本概念，能正確進(jìn)行平面向量的幾何表示。

2、讓學(xué)生經(jīng)歷類比方法學(xué)習(xí)向量及其幾何表示的過程，體驗(yàn)對(duì)比理解向量基本概念的簡易性，從而養(yǎng)成科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。

3、通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受向量的概念方法源于現(xiàn)實(shí)世界，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

三．教學(xué)類型：新知課

四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1、重點(diǎn)：向量及其幾何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、難點(diǎn)：向量的概念及對(duì)平行向量的理解。

五、教學(xué)過程

（一）、問題引入

1、在物理中，位移與距離是同一個(gè)概念嗎？為什么？

2、在物理中，我們學(xué)到位移是既有大小、又有方向的量，你還能舉出一些這樣的量嗎？

3、在物理中，像這種既有大小、又有方向的量叫做矢量。在數(shù)學(xué)中，我們把這種既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，沒有方向的量叫數(shù)量。

（二）講授新課

1、向量的概念

練習(xí)1 對(duì)于下列各量：

①質(zhì)量 ② 速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 ⑨體積 ⑩溫度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的幾何表示

請(qǐng)表示一個(gè)豎直向下、大小為5N的力，和一個(gè)水平向左、大小為8N的力（1厘米表示1N）。思考一下物理學(xué)科中是如何表示力這一向量的？

（1）有向線段及有向線段的三要素（2）向量的模

（4）零向量，記作＿＿＿＿；（5）單位向量

練習(xí)2 邊長為6的等邊△ABC中，＝＿＿，與 相等的還有哪些？

總結(jié)向量的表示方法： 1）、用有向線段表示。

2）、用字母表示。

3、相等向量與共線向量（1）相等向量的定義（2）共線向量的定義

六．教具：黑板 七．作業(yè) 八．教學(xué)后記

第三篇：平面向量教案

平面向量教案

課

件004km.cn

二、復(fù)習(xí)要求

、向量的概念;

2、向量的線性運(yùn)算:即向量的加減法,實(shí)數(shù)與向量的乘積,兩個(gè)向量的數(shù)量積等的定義,運(yùn)算律;

3、向量運(yùn)算的運(yùn)用

三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)、向量是數(shù)形結(jié)合的典范。向量的幾何表示法--有向線段表示法是運(yùn)用幾何性質(zhì)解決向量問題的基礎(chǔ)。在向量的運(yùn)算過程中,借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運(yùn)算以直觀解釋,有時(shí)甚至更簡捷。

向量運(yùn)算中的基本圖形:①向量加減法則:三角形或平行四邊形;②實(shí)數(shù)與向量乘積的幾何意義--共線;③定比分點(diǎn)基本圖形--起點(diǎn)相同的三個(gè)向量終點(diǎn)共線等。

2、向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。

向量的加減法,實(shí)數(shù)與向量的乘積,兩個(gè)向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運(yùn)算,前兩者的結(jié)果是向量,兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式:圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語言。

主要內(nèi)容列表如下:

運(yùn)算圖形語言符號(hào)語言坐標(biāo)語言

加法與減法

=

-=

記=,=

則=

-==

實(shí)數(shù)與向量

的乘積

=λ

λ∈R記=

則λ=兩個(gè)向量

的數(shù)量積

·=||||

cos<,>

記=,=

則·=x1x2y1y2

3、運(yùn)算律

加法:=,=

實(shí)數(shù)與向量的乘積:λ=λλ;=λμ,λ=

兩個(gè)向量的數(shù)量積:·=·;·=·=λ,·=··

說明:根據(jù)向量運(yùn)算律可知,兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則,正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡化向量的運(yùn)算,例如2=

4、重要定理、公式

平面向量基本定理;如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于該平面內(nèi)任一向量,有且只有一對(duì)數(shù)數(shù)λ1,λ2,滿足=λ1λ2,稱λ1λλ2為,的線性組合。

根據(jù)平面向量基本定理,任一向量與有序數(shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng),稱為在基底{,}下的坐標(biāo),當(dāng)取{,}為單位正交基底{,}時(shí)定義為向量的平面直角坐標(biāo)。

向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系:當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo),即若A,則=;當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí),向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo),即若A,B,則=

兩個(gè)向量平行的充要條件

符號(hào)語言:若∥,≠,則=λ

坐標(biāo)語言為:設(shè)=,=,則∥=λ,即,或x1y2-x2y1=0

在這里,實(shí)數(shù)λ是唯一存在的,當(dāng)與同向時(shí),λ>0;當(dāng)與異向時(shí),λ<0。

|λ|=,λ的大小由及的大小確定。因此,當(dāng),確定時(shí),λ的符號(hào)與大小就確定了。這就是實(shí)數(shù)乘向量中λ的幾何意義。

兩個(gè)向量垂直的充要條件

符號(hào)語言:⊥·=0

坐標(biāo)語言:設(shè)=,=,則⊥x1x2y1y2=0

線段定比分點(diǎn)公式

如圖,設(shè)

則定比分點(diǎn)向量式:

定比分點(diǎn)坐標(biāo)式:設(shè)P,P1,P2

則

特例:當(dāng)λ=1時(shí),就得到中點(diǎn)公式: ，實(shí)際上,對(duì)于起點(diǎn)相同,終點(diǎn)共線三個(gè)向量，,總有=uv,uv=1,即總可以用其中兩個(gè)向量的線性組合表示第三個(gè)向量,且系數(shù)和為1。

平移公式:

①點(diǎn)平移公式,如果點(diǎn)P按=平移至P',則

分別稱,為舊、新坐標(biāo),為平移法則

在點(diǎn)P新、舊坐標(biāo)及平移法則三組坐標(biāo)中,已知兩組坐標(biāo),一定可以求第三組坐標(biāo)

②圖形平移:設(shè)曲線c:y=f按=平移,則平移后曲線c'對(duì)應(yīng)的解析式為y-k=f

當(dāng)h,k中有一個(gè)為零時(shí),就是前面已經(jīng)研究過的左右及上下移

利用平移變換可以化簡函數(shù)解析式,從而便于研究曲線的幾何性質(zhì)

正弦定理,余弦定理

正弦定理:

余弦定理:a2=b2c2-2cbcosA

b2=c2a2-2cacosB

c2=a2b2-2abcosc

定理變形:cosA=,cosB=,cosc=

正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過閱讀課本,理解用向量法推導(dǎo)正、余弦定理的重要思想方法。

5、向量既是重要的數(shù)學(xué)概念,也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直,線線平行,求夾角等,特別是直角坐標(biāo)系的引入,體現(xiàn)了向量解決問題的“程序性”特點(diǎn)。

四、典型例題

例

1、如圖，為單位向量,與夾角為1200,與的夾角為450,||=5,用,表示。

分析:

以,為鄰邊,為對(duì)角線構(gòu)造平行四邊形

把向量在,方向上進(jìn)行分解,如圖,設(shè)=λ,=μ,λ>0,μ>0

則=λμ

∵||=||=1

∴λ=||,μ=||

△oEc中,∠E=600,∠ocE=750,由得:

∴

∴

說明:用若干個(gè)向量的線性組合表示一個(gè)向量,是向量中的基本而又重要的問題,通常通過構(gòu)造平行四邊形來處理

例

2、已知△ABc中,A,B,c,Bc邊上的高為AD,求點(diǎn)D和向量坐標(biāo)。

分析:

用解方程組思想

設(shè)D,則=

∵=,·=0

∴-6-3=0,即2xy-3=0①

∵=,∥

∴-6=-3,即x-2y1=0②

由①②得:

∴D,=

例

3、求與向量=,-1)和=夾角相等,且模為的向量的坐標(biāo)。

分析:

用解方程組思想

法一:設(shè)=,則·=x-y,·=xy

∵<,>=<,>

∴&nb ∴

即①

又||=

∴x2y2=2②

由①②得或

∴=

法二:從分析形的特征著手

∵||=||=2

·=0

∴△AoB為等腰直角三角形,如圖

∵||=,∠Aoc=∠Boc

∴c為AB中點(diǎn)

∴c

說明:數(shù)形結(jié)合是學(xué)好向量的重要思想方法,分析圖中的幾何性質(zhì)可以簡化計(jì)算。

例

4、在△oAB的邊oA、oB上分別取點(diǎn)m、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,設(shè)線段AN與Bm交于點(diǎn)P,記=,=,用,表示向量。

分析:

∵B、P、m共線

∴記=s

∴①

同理,記

∴=②

∵,不共線

∴由①②得解之得:

∴

說明:從點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線,進(jìn)而引入?yún)?shù)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用該定理唯一性的性質(zhì)得到關(guān)于s,t的方程。

例

5、已知長方形ABcD,AB=3,Bc=2,E為Bc中點(diǎn),P為AB上一點(diǎn)

利用向量知識(shí)判定點(diǎn)P在什么位置時(shí),∠PED=450;

若∠PED=450,求證:P、D、c、E四點(diǎn)共圓。

分析:

利用坐標(biāo)系可以確定點(diǎn)P位置

如圖,建立平面直角坐標(biāo)系

則c,D,E

設(shè)P

∴=,=

∴

·=3y-1

代入cos450=

解之得,或y=2

∴點(diǎn)P為靠近點(diǎn)A的AB三等分處

當(dāng)∠PED=450時(shí),由知P

∴=,=

∴·=0

∴∠DPE=900

又∠DcE=900

∴D、P、E、c四點(diǎn)共圓

說明:利用向量處理幾何問題一步要驟為:①建立平面直角坐標(biāo)系;②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo);③求出有關(guān)向量的坐標(biāo);④利用向量的運(yùn)算計(jì)算結(jié)果;⑤得到結(jié)論。

同步練習(xí)

選擇題、平面內(nèi)三點(diǎn)A,B,c,若∥,則x的值為:

A、-5B、-1c、1D、5

2、平面上A,B,D,c點(diǎn)滿足,連Dc并延長至E,使||=||,則點(diǎn)E坐標(biāo)為:

A、B、c、D、或

2、點(diǎn)沿向量平移到,則點(diǎn)沿平移到:

3、A、B、c、D、4、△ABc中,2cosB·sinc=sinA,則此三角形是:

A、直角三角形B、等腰三角形c、等邊三角形D、以上均有可能

5、設(shè)，是任意的非零平面向量,且相互不共線,則:

①-=0

②||-||<|-|

③-不與垂直

④·=9||2-4|2中，真命題是:

A、①②B、②③c、③④D、②④

6、△ABc中,若a4b4c4=2c2,則∠c度數(shù)是:

A、600B、450或1350c、1200D、300

7、△oAB中,=,=,=,若=,t∈R,則點(diǎn)P在

A、∠AoB平分線所在直線上B、線段AB中垂線上

c、AB邊所在直線上D、AB邊的中線上

8、正方形PQRS對(duì)角線交點(diǎn)為m,坐標(biāo)原點(diǎn)o不在正方形內(nèi)部,且=,=,則=

A、B、c、D、填空題

9、已知{,|是平面上一個(gè)基底,若=λ,=-2λ-,若,共線,則λ=__________。

0、已知||=,||=1,·=-9,則與的夾角是________。

1、設(shè),是兩個(gè)單位向量,它們夾角為600，則·=____________。

2、把函數(shù)y=cosx圖象沿平移,得到函數(shù)___________的圖象。

解答題

3、設(shè)=,=,⊥,∥,試求滿足=的的坐

14、若=,-=,求、及與夾角θ的余弦值。

5、已知||=,||=3,和夾角為450,求當(dāng)向量λ與λ夾角為銳角時(shí),λ的取值范圍。

參考答案

1、c2、B3、D4、B5、D6、B7、A8、9、10、11、12、y=sinx1 13、4、=,=，5、λ<,或λ>且λ≠ 課

件004km.cn

A

第四篇：平面向量教案

平面向量的綜合應(yīng)用 執(zhí)教人： 執(zhí)教人：易燕子
考綱要求： “從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，使 考綱要求：
對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查達(dá)到必要的深度”。向量以其獨(dú)特的數(shù)形結(jié)合和坐標(biāo)運(yùn)算，成為銜接代數(shù)與幾何的最佳紐帶，故以向量知識(shí)與三角函數(shù)、解析幾何、數(shù)列、不等式等多項(xiàng)內(nèi)容的交匯作為設(shè)計(jì)綜合性試題考查考生的綜合能力，是高考的一 個(gè)熱點(diǎn)，也是重點(diǎn)。教學(xué)目標(biāo)（1）進(jìn)一步理解平面向量的有關(guān)知識(shí)； 教學(xué)目標(biāo)：（2）了解在平面向量與其他知識(shí)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題的幾種形式；（3）能綜合運(yùn)用平面向量和相關(guān)知識(shí)解決問題。教學(xué)重點(diǎn)： 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量與其他知識(shí)的相互聯(lián)系。教學(xué)難點(diǎn)： 教學(xué)難點(diǎn)：平面向量與其他知識(shí)的相互轉(zhuǎn)化。

評(píng)述：通過平面向量的運(yùn)算得出二次不等式，利用恒成立解決。

“ 訓(xùn)練：（2010 北京）a、b 為非零向量，a ⊥ b ”是“函數(shù) f(x)=(xa + b)? xb ? a)為一次(函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 四．與三角知識(shí)的交匯 例 4．（2009 湖北）已知向量 a =(cos α , sin α), b =(cos β , sin β), c =(? 1,0)（1）求向量 b + c 的長度的最大值；（2）設(shè) a =

r

r

r

r

r

r

r r

r r

π

4

，且 a ⊥(b + c)，求 cos β 的值.

r

r r

教學(xué)設(shè)計(jì)： 教學(xué)設(shè)計(jì)：
一．與集合的交匯 例 1.(2009 湖北)已知 P = {a | a =(1, 0)+ m(0,1), m ∈ R}，Q = {b | b =(1,1)+ n(?1,1), n ∈ R} 是兩個(gè)向量集合，則 P I Q = A．〔1，1〕 ｛ ｝(B.｛ 〔-1，1〕 ｝)C.｛ 〔1，0〕 ｝

r r

r r

評(píng)述：以平面向量(三角函數(shù))為載體，與三角函數(shù)(平面向量)的交叉與綜合，是高考命題的一個(gè) 重要考點(diǎn)，其解法是利用向量的數(shù)量積和模的概念等脫去向量的“外衣”，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問 題，即可解決。訓(xùn)練：（2009 江蘇）設(shè)向量 a =(4 cos α ,sin α), b =(sin β , 4 cos β), c =(cos β , ?4 sin β)（1）若 a 與 b ? 2c 垂直，求 tan(α + β)的值；（2）求 | b + c | 的最大值；

r

r

r

D.｛ 〔0，1〕 ｝

r

r

r

r r uuu uuu uuur uuu uuu uuur r r r uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r | OA |=| OB |=| OC |, NA + NB + NC = 0，且 PA ? PB = PB ? PC = PC ? PA, 則點(diǎn) O，N，P 依 次是 ?ABC 的()
A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 B.重心 外心 內(nèi)心 D.外心 重心 內(nèi)心

變式：若將 Q 集合中的 n 改為 m，結(jié)果又如何呢？ 評(píng)述：借助平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把集合的交集運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量相等，考查了方程思想和等價(jià) 轉(zhuǎn)化的思想。二．與平面幾何的交匯 例 2.（2009 寧夏海南）已知 O，N，P 在 ?ABC 所在平面內(nèi)，且

r r

（3

第五篇：平面向量基本定理教案

§2.3.1平面向量基本定理教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問題的重要思想方法；（3）能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理.教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.授課類型：新授課 教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

??1．實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作：λa

??（1）|λa|=|λ||a|；

?????（2）λ>0時(shí)λa與a方向相同；λ<0時(shí)λa與a方向相反；λ=0時(shí)λa=0

2．運(yùn)算定律

??結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a ；

???????分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

??3.向量共線定理 向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零??實(shí)數(shù)λ，使b=λa.二、講解新課：

1．提出問題：由平行四邊形想到：

（1）是不是每一個(gè)向量都可以分解成兩個(gè)不共線向量？且分解是唯一？（2）對(duì)于平面上兩個(gè)不共線向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它們來表示？

2．設(shè)e1，e2是不共線向量，a是平面內(nèi)任一向量，e1 a

MC

N B e2

O OA=e1，OM=λ

1e2； OB=e2，ON=λe2

21OC=a=OM+ON=λ

e1+λe2，2平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)

??于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；

?(4)基底給定時(shí)，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)量

3、兩個(gè)非零向量的夾角：

???????????? 如圖所示，已知兩個(gè)非零向量a,b，在平面上任取一點(diǎn)O，作OA?aO ,B?b，??則?AOB???0?????叫做向量a與b的夾角，ba BAO θbθ bAOB aa【說明】（1）研究兩個(gè)非零向量的夾角時(shí)，必須先將這兩個(gè)向量的起點(diǎn)移至同一個(gè)點(diǎn)；但是當(dāng)兩個(gè)向量的終點(diǎn)重合時(shí)，表示向量的這兩條線段所成的?0,??范圍內(nèi)的角也等于這兩個(gè)向量之間的夾角。（2）只有非零向量之間才存在夾角；

??（3）如果∠AOB=0°a與b同向；

????（4）如果∠AOB=90°，我們就說向量a與b垂直，記作：a?b；

??（5）如果∠AOB=180°a與b反向。

三、講解范例：

例1 已知向量e1，e2 求作向量?2.5e1+3e2.作法：見教材

四、課堂練習(xí)：

1.設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有()A.e1、e2一定平行

e2e1B.e1、e2的模相等

C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c =6e1-2e2的關(guān)系

A.不共線 B.共線 C.相等 D.無法確定

3.已知向量e1、e2不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的值等于()A.3 B.-3 C.0 D.2

五、小結(jié)：平面向量基本定理，其實(shí)質(zhì)在于：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合．

六、課后作業(yè)：課本：101頁1,2 板書設(shè)計(jì)：略