第一篇：3.2 方程的根與函數(shù)的零點 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

1．知識與技能

①理解函數(shù)（結(jié)合二次函數(shù)）零點的概念，領(lǐng)會函數(shù)零點與相應方程根的關(guān)系，掌握零點存在的判定條件．

②培養(yǎng)學生的觀察能力． ③培養(yǎng)學生的抽象概括能力． 2．過程與方法

①通過觀察二次函數(shù)圖象，并計算函數(shù)在區(qū)間端點上的函數(shù)值之積的特點，找到連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判斷方法．

②讓學生歸納整理本節(jié)所學知識． 3．情感、態(tài)度與價值觀

在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想的意義和價值．

2.教學重點/難點

重點 零點的概念及存在性的判定． 難點 零點的確定．

3.教學用具

多媒體

4.標簽

方程的根與函數(shù)的零點

教學過程(一)創(chuàng)設情景，揭示課題

1、提出問題：一元二次方程的圖象有什么關(guān)系？

(a≠0)的根與二次函數(shù)2．先來觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應的二次函數(shù)的圖象：（用投影儀給出）①方程②方程 ③方程

與函數(shù)與函數(shù)與函數(shù)

1．師：引導學生解方程，畫函數(shù)圖象，分析方程的根與圖象和關(guān)系，引出零點的概念．

軸交點坐標的生：獨立思考完成解答，觀察、思考、總結(jié)、概括得出結(jié)論，并進行交流． 師：上述結(jié)論推廣到一般的一元二次方程和二次函數(shù)又怎樣？

（二）互動交流

研討新知 函數(shù)零點的概念： 對于函數(shù)，把使的零點．

成立的實數(shù)

叫做函數(shù)函數(shù)零點的意義：

函數(shù)的零點就是方程軸交點的橫坐標． 即：方程有實數(shù)根有零點． 函數(shù)零點的求法： 求函數(shù)的零點： 的實數(shù)根； 的圖象聯(lián)

函數(shù)的實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與的圖象與軸有交點函數(shù)①（代數(shù)法）求方程②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點． 1．師：引導學生仔細體會左邊的這段文字，感悟其中的思想方法． 生：認真理解函數(shù)零點的意義，并根據(jù)函數(shù)零點的意義探索其求法： ①代數(shù)法；

②幾何法．

2．根據(jù)函數(shù)零點的意義探索研究二次函數(shù)的零點情況，并進行交流，總結(jié)概括形成結(jié)論．

二次函數(shù)的零點：二次函數(shù)

軸有（１）△＞０，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點．

（２）△＝０，方程有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點．（３）△＜０，方程二次函數(shù)無零點． 3．零點存在性的探索：（Ⅰ）觀察二次函數(shù)① 在區(qū)間上有零點______；

_______，·② 在區(qū)間·

_______，圖象：

無實根，二次函數(shù)的圖象與

軸無交點，_____0（＜或＞＝）． 上有零點______； ____0（＜或＞＝）． 的圖象（Ⅱ）觀察下面函數(shù)

① 在區(qū)間上______(有/無)零點； ·② 在區(qū)間·③ 在區(qū)間·_____0（＜或＞＝）．

上______(有/無)零點； _____0（＜或＞＝）．

上______(有/無)零點； _____0（＜或＞＝）．

由以上兩步探索，你可以得出什么樣的結(jié)論？

怎樣利用函數(shù)零點存在性定理，斷定函數(shù)在某給定區(qū)間上是否存在零點？ 4．生：分析函數(shù)，按提示探索，完成解答，并認真思考．

師：引導學生結(jié)合函數(shù)圖象，分析函數(shù)在區(qū)間端點上的函數(shù)值的符號情況，與函數(shù)零點是否存在之間的關(guān)系．

生：結(jié)合函數(shù)圖象，思考、討論、總結(jié)歸納得出函數(shù)零點存在的條件，并進行交流、評析．

師：引導學生理解函數(shù)零點存在定理，分析其中各條件的作用．

（三）、鞏固深化，發(fā)展思維 1．學生在教師指導下完成下列例題

例

1、求函數(shù)f(x)=㏑x＋2x －6的零點個數(shù)。問題：

（1）你可以想到什么方法來判斷函數(shù)零點個數(shù)？

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性你能得該函數(shù)的單調(diào)性具有什么特性？ 例2．求函數(shù)，并畫出它的大致圖象．

師：引導學生探索判斷函數(shù)零點的方法，指出可以借助計算機或計算器來畫函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象對函數(shù)有一個零點形成直觀的認識．

生：借助計算機或計算器畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象確定零點所在的區(qū)間，然后利用函數(shù)單調(diào)性判斷零點的個數(shù)． 2．P88頁練習第二題的（1）、（2）小題

課堂小結(jié)

1． 請學生回顧本節(jié)課所學知識內(nèi)容有哪些，所涉及到的主要數(shù)學思想又有哪些；

2． 在本節(jié)課的學習過程中，還有哪些不太明白的地方，請向老師提出.課后習題

板書

第二篇：方程的根與函數(shù)的零點教學設計

教師的工作就不是原來的意義的教書，應改變?yōu)閷?，即指導學生去讀書，在指導學生學習的同時要點撥給學生學習的方法，幫助學生解疑析難，指導學生形成知識體系與思想方法，亦即將教法向?qū)ХㄞD(zhuǎn)變。例如：方程的根與函數(shù)的零點 ①首先開門見山地提出問題

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與二次函數(shù)b=ax2+bx+c(a≠0)圖象有什么關(guān)系? ②要解決上述問題還得先確定探索的方法，由特殊到一般：即通過具體的函數(shù)與方程來討論。③分組實施 ④交流匯報結(jié)果 ⑤老師精點 ⑥引導猜想 方程f(x)=0有實根零點。

⑦引導學生去總結(jié)出：函數(shù)y=f(x)有零點的特征(見課本P102)⑧應用

學生完成P102的例題、P103的練習⑨小結(jié)：(1)探問題的方法(2)得到的結(jié)果(3)能解決什么問題(4)解決問題的步驟 3

y=f(x)的圖象與x軸有交點

y=f(x)有零點。從而定義函數(shù)的要實現(xiàn)教法的改變，必須轉(zhuǎn)變學法，這更需學生樹立正確態(tài)度和思想：我要學習、我急需學習，由一段時間努力和體會，學法會形成的。16.在感受中發(fā)現(xiàn)，在領(lǐng)悟中升華——“函數(shù)的概念與圖象”教學的一點隨想深圳市平岡中學孫文彩當我拿著精美的新教材，看著一幅幅優(yōu)美的圖片時，給我最大的感觸就是：圖文并茂，內(nèi)容豐富，敘述形式充滿濃厚的人文時代氣息……，特別是當我上完“函數(shù)的概念與圖象”這部分內(nèi)容后，感慨很多，在此略加采擷，旨在拋磚引玉，懇請同行指正!(一)讓學生感受數(shù)學，體會數(shù)學的價值。

數(shù)學對是客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的描述，它來源于客觀世界的實際事物，學生們的生活中處處有數(shù)學。教學時如能善于挖掘生活中的數(shù)學素材，從生活實際出發(fā)，結(jié)合學生的生活實際，把教材內(nèi)容與“數(shù)學現(xiàn)實”有機結(jié)合起來，引入數(shù)學知識，讓數(shù)學貼近生活，使學生感受數(shù)學的實用性，對數(shù)學產(chǎn)生親切感。

教材中“函數(shù)的概念與圖象”內(nèi)容就是把學生身邊的素材：國民生產(chǎn)總值，一天的溫度變化曲線，自由落體運動函數(shù)，等等，教者如能把它制成幻燈片作為課堂引入，或者再因地制宜地舉出一些其它的實例，如飛機票價表，數(shù)學用表，股市走勢圖，家庭生活用電數(shù)……，使學生對熟悉的生活場景的回顧，感受到函數(shù)與我們現(xiàn)實生活的密切關(guān)系，消除同學們對函數(shù)這一概念的陌生感、恐懼感。堂課的背景材料取材于學生最熟悉的資料，當學生看到自己非常熟悉的材料出現(xiàn)在課堂上時，那種油然而生的親切感會使他們的情緒空前高漲，從而激發(fā)主動學習的愿望。有了學生情感的積極參與，課堂將會一片生機盎然。

《數(shù)學課程標準》指出：“學生的數(shù)學學習內(nèi)容應當是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流”，用數(shù)學眼光去觀察生活實際，從而讓學生感受生活化的數(shù)學，體驗數(shù)學化的生活，教材為我們提供了一定的讓學生進行主動探索的材料，同時更需要發(fā)揮教師的主導作用，創(chuàng)造性地使用教材，發(fā)揮教師的主觀能動性，使數(shù)學更貼近學生，拉近學生與書本，與數(shù)學的距離。(二)讓學生體驗數(shù)學，涵養(yǎng)數(shù)學的靈氣

體驗就是個體主動親歷和虛擬地親歷某件事并獲得相應的認知和情感的直接經(jīng)驗活動。新頒布的《高中數(shù)學課程標準》與原來的教學大綱相比，一個明顯的特征是增加了過程性目標和體驗性目標，特別強調(diào)學生“經(jīng)歷了什么”、“體會了什么”、“感受了什么”。對數(shù)學的認識不僅要從數(shù)學家關(guān)于數(shù)學本質(zhì)的觀點去領(lǐng)悟，更要從數(shù)學活動的親身實踐中去體驗，重視從學生的生活實踐和已有的知識經(jīng)驗中學習數(shù)學、理解數(shù)學和運用數(shù)學。所以數(shù)學教學必須引導學生通過主動參與和親身實踐，或獨立思考、或與同學教師合作探究，讓他們發(fā)展能力，感受自己的價值，從而激發(fā)對學習數(shù)學的興趣。

“函數(shù)的概念與圖象”設計了一個小組討論，讓學生舉出自己生活中遇到，見到的函數(shù)實例。同學們的熱烈討論，舉出許多生活中的函數(shù)實例，實實在在地體驗到數(shù)學就在自己身邊，原來函數(shù)就是如此!數(shù)學起源于生活，但經(jīng)過抽象后形成的書本知識遠比生活知識來的難以接受。如課本中的函數(shù)的概念，函數(shù)的三種表示，分段函數(shù)等等，學生覺得數(shù)學難懂、難學，一個重要的原因就是課程知識與生活的經(jīng)驗嚴重脫節(jié)，把學生死死地捆綁在課本里，死記那些學生認為枯燥的概念和公式。新教材的一個重要特征就是引導學生關(guān)注生活，讓學生在生活的問題情境中，學會應用數(shù)學的思想方法去觀察、分析；同時教師要把豐富的，貼近學生生活的素材展現(xiàn)在學生面前，并以此為基點，延伸，拓展，這種建立在學生生活經(jīng)驗上的知識就容易被他們掌握，理解，同化以致于轉(zhuǎn)化成學生的一種數(shù)學能力。(三)領(lǐng)悟數(shù)學，升華思想，呈現(xiàn)本質(zhì)

新的課程理念認為，學習任何知識的最佳途徑都是由自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。課堂上讓學生親歷體驗，有助于學生通過多種活動探究和掌握數(shù)學知識，達到對知識的深層理解，更重要的是學生在體驗中能夠逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認識數(shù)學的一般方法。

案例：某種筆記本每個5元，買x(x∈｛1，2，3，4｝)個筆記本的錢數(shù)記為y(元)，試分別用解析法，列表法，圖象法將y表示成x的函數(shù)。

學生通過自主探究，給出函數(shù)的三種表示，領(lǐng)悟到一個函數(shù)有時可以用不同方法表示，同時不同方法的表示又有助于對函數(shù)的本質(zhì)的深層理解。學生學習數(shù)學的過程不是一個被動吸收、機械記憶、反復練習的過程，它是一種在已有經(jīng)驗和原有認識的情況下解決問題，形成技能，鞏固新知識的有意義的過程，讓學生經(jīng)歷知識的再創(chuàng)造，體驗知識的形成過程，才能把新知識納入到原有知識中去，內(nèi)省為有效知識。(四)讓學生應用數(shù)學

新教材內(nèi)容特別注意加強數(shù)學應用意識的培養(yǎng)，這是因為隨著社會主義市場經(jīng)濟的發(fā)展，使得“數(shù)學從社會的幕后走到臺前”，在很多方面可以直接為社會創(chuàng)造價值。讓學生學會數(shù)學 認識數(shù)學、體驗數(shù)學、形成正確數(shù)學觀的過程，在這個過程中以數(shù)學知識為載體的數(shù)學，不能僅僅追求知識的獲得和問題的解決，更重要的是使學生通過這一過程學會數(shù)學的思維，體會數(shù)學的思想方法，感悟數(shù)學的精神并形成積極的數(shù)學態(tài)度。

案例：一座鋼索結(jié)構(gòu)橋的立柱PC與QD的高度都是60m，A，C間距離為200m，B，D間距離為250m，C，D間距離為2000m，E，F(xiàn)間距離為10m，P點與A點間，Q點與B點間分別用直線式橋索相連結(jié)，立柱PC，QD間可以近似看做是拋物線式鋼索PEQ相連結(jié)?，F(xiàn)有一只江歐從A點沿著鋼索AP，PEQ，QB走向B點，試寫出從A點走到B點江歐距離橋面的高度與移動的水平距離之間的函數(shù)關(guān)系。

這是課本中的一個問題，從中可以看出數(shù)學在建筑設計中的應用，教者引導學生完成對問題的分析，提取，抽象，解剖，計算，總結(jié)，導出了數(shù)學建模，分段函數(shù)，二次函數(shù)的解析式，待定系數(shù)等到數(shù)學概念，把學生的創(chuàng)造力發(fā)揮得淋漓盡致，學生學數(shù)學的過程成了“做數(shù)學”、“用數(shù)學”的過程。

在教學中，充分挖掘其人文的、科學的和應用的價值，讓學生通過對身邊具體的事例研究，體會數(shù)學和生活的緊密聯(lián)系，感受數(shù)學在科學決策中的價值，從而提高學習數(shù)學的興趣。學生在學習過程中因為數(shù)學的抽象性，數(shù)學問題解決經(jīng)常伴隨著困難，但難度只要不超過學生的能力，總有可能獲得成功。美國著名的數(shù)學教育家波利亞說過：“如果學生在學校里沒有機會嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，那么他的數(shù)學教育就在最重要的地方失敗了?！钡谑『蟮某晒κ歉钊伺d奮的，心中的愉悅是無法形容的，當學生有了這種情感體驗后，就會不斷地去追求，使自己的學習走向深入，就會感受到數(shù)學是偉大。

第三篇：“方程的根與函數(shù)的零點”教學設計

一.內(nèi)容和內(nèi)容解析

本節(jié)內(nèi)容有函數(shù)零點概念、函數(shù)零點與相應方程根的關(guān)系、函數(shù)零點存在性定理.函數(shù)零點是研究當函數(shù)的值為零時，相應的自變量的取值，反映在函數(shù)圖象上，也就是函數(shù)圖象與軸的交點橫坐標.由于函數(shù)的值為零亦即，其本身已是方程的形式，因而函數(shù)的零點必然與方程有著不可分割的聯(lián)系，事實上，若方程有解，則函數(shù)存在零點，且方程的根就是相應函數(shù)的零點，也是函數(shù)圖象與軸的交點橫坐標.順理成章的，方程的求解問題，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點的問題.這是函數(shù)與方程關(guān)系認識的第一步.零點存在性定理，是函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的充分不必要條件.如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且滿足f(a)f(b)0，則函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點，但零點的個數(shù)，需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)進行判斷.定理的逆命題不成立.方程的根與函數(shù)零點的研究方法，符合從特殊到一般的認識規(guī)律，從特殊的、具體的二次函數(shù)入手，建立二次函數(shù)的零點與相應二次方程的聯(lián)系，然后將其推廣到一般的、抽象的函數(shù)與相應方程的情形;零點存在性的研究，也同樣采用了類似的方法，同時還使用了數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化與化歸思想.方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系研究，不僅為用二分法求方程的近似解的學習做好準備，而且揭示了方程與函數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系，這種聯(lián)系正是中學數(shù)學重要思想方法函數(shù)與方程思想的理論基礎(chǔ).可見，函數(shù)零點概念在中學數(shù)學中具有核心地位.本節(jié)的教學重點是，方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系、函數(shù)零點存在性定理.二.目標和目標解析

通過本課教學，要求學生：理解并掌握方程的根與相應函數(shù)零點的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，學會將求方程的根的問題轉(zhuǎn)化為求相應函數(shù)零點的問題;理解零點存在性定理，并能初步確定具體函數(shù)存在零點的區(qū)間.1.能夠結(jié)合具體方程(如二次方程)，說明方程的根、相應函數(shù)圖象與軸的交點橫坐標以及相應函數(shù)零點的關(guān)系;

2.正確理解函數(shù)零點存在性定理：了解圖象連續(xù)不斷的意義及作用;知道定理只是函數(shù)存在零點的一個充分條件;了解函數(shù)零點只能不止一個;

3.能利用函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷某些函數(shù)的零點個數(shù);

4.能順利將一個方程求解問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)零點問題，寫出與方程對應的函數(shù);并會判斷存在零點的區(qū)間(可使用計算器).三.教學問題診斷分析

學生已有的認知基礎(chǔ)是，初中學習過二次函數(shù)圖象和二次方程，并且解過當函數(shù)值為0時，求相應自變量的值的問題，初步認識到二次方程與二次函數(shù)的聯(lián)系，對二次函數(shù)圖象與軸是否相交，也有一些直觀的認識與體會.在高中階段，已經(jīng)學習了函數(shù)概念與性質(zhì)，掌握了部分基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì).教學的重點是方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系及零點存在性定理的深入理解與應用.以二次方程及相應的二次函數(shù)為例，引入函數(shù)零點的概念，說明方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系，學生并不會覺得困難.學生學習的難點是準確理解零點存在性定理，并針對具體函數(shù)(或方程)，能求出存在零點(或根)的區(qū)間.教學過程中，通過引導學生通過探究，發(fā)現(xiàn)方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系;而零點存在性定理的教學，則應引導學生觀察函數(shù)圖象與軸的交點的情況，來研究函數(shù)零點的情況，通過研究：①函數(shù)圖象不連續(xù);②;③，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào);④，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，等各種情況，加深學生對零點存在性定理的理解.四.教學支持條件分析

本節(jié)教學目標的實現(xiàn)，需要借助計算機或者計算器，一方面是繪制函數(shù)圖象，通過觀察圖象加深方程的根、函數(shù)零點以及同時函數(shù)圖象與軸的交點的關(guān)系;另一方面，判斷零點所在區(qū)間過程中，一些函數(shù)值的計算也必須借助計算機或計算器.五.教學過程設計

1.方程的根與相應函數(shù)圖象的關(guān)系

復習總結(jié)一元二次方程與相應函數(shù)與軸的交點及其坐標的關(guān)系：

一元二次方程根的個數(shù)

圖象與軸交點個數(shù)

圖象與軸交點坐標

意圖：回顧二次函數(shù)圖象與軸的交點和相應方程的根的關(guān)系，為一般函數(shù)及相應方程關(guān)系作準備.問題

一、上述結(jié)論對其他函數(shù)成立嗎?為什么?

在《幾何畫板》下展示如下函數(shù)的圖象：、、、、，比較函數(shù)圖象與軸的交點和相應方程的根的關(guān)系。

函數(shù)的圖象與軸交點，即當，該方程有幾個根，的圖象與軸就有幾個交點，且方程的根就是交點的橫坐標.意圖：通過各種函數(shù)，將結(jié)論推廣到一般函數(shù)。

2.函數(shù)零點概念

對于函數(shù)，把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.說明：函數(shù)零點不是一個點，而是具體的自變量的取值.3.方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系

方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點以上關(guān)系說明：函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，從而有些方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，同樣，函數(shù)問題有時也可轉(zhuǎn)化為方程問題.這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ).4.零點存在性定理 問題

二、觀察圖象(氣溫變化圖)片段，根據(jù)該圖象片段，將其補充成完整函數(shù)圖象，并問：是否有某時刻的溫度為0℃?為什么?(假設氣溫是連續(xù)變化的)

意圖：通過類比得出零點存在性定理.給出零點存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點.即存在，使得，這個c也就是方程的根.問題

三、不是連續(xù)函數(shù)結(jié)論還成立嗎?請舉例說明。

在《幾何畫板》下結(jié)合函數(shù)的圖象說明。

問題

四、若，函數(shù)在區(qū)間在上一定沒有零點嗎?

問題

五、若，函數(shù)在區(qū)間在上只有一個零點嗎?可能有幾個?

問題

六、時，增加什么條件可確定函數(shù)在區(qū)間在上只有一個零點?

在《幾何畫板》下結(jié)合函數(shù)的圖象說明問題四、五、六。

意圖：通過四個問題使學生準確理解零點存在性定理.5.例題：求函數(shù)的零點的個數(shù).問題

七、能否確定一個區(qū)間，使函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有零點.問題

八、該函數(shù)有幾個零點?為什么?

意圖：通過例題分析，學會用零點存在性定理確定零點存在區(qū)間，并且結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，判斷零點個數(shù)的方法.六.目標檢測設計

1.已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應值表，則函數(shù)在哪幾個區(qū)間內(nèi)有零點?為什么?

x

2 3 4 6 10

f(x)20-5.5-2 6

2.函數(shù)在區(qū)間[-5，6]上是否存在零點?若存在，有幾個?

3.利用函數(shù)圖象判斷下列方程有幾個根

(1)

(2)

4.指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間

(1)

(2)

最后，師生共同小結(jié)(略)

思考題：函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)有零點，如何求出這個零點?設計意圖：為下一節(jié)二分法的學習做準備.

第四篇：方程的根與函數(shù)的零點教學設計

方程的根與函數(shù)的零點教學設計 教學內(nèi)容與任務分析 本節(jié)課的內(nèi)容選自《普通高中課程標準實驗教科書》人教A版數(shù)學必修一第三章第一節(jié)3.1.1方程的根與函數(shù)的零點。本節(jié)課的主要內(nèi)容為方程的根與函數(shù)零點之間的關(guān)系，連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的判定方法，是以之前的函數(shù)圖象、性質(zhì)為基礎(chǔ)，為之后學習用二分法其方程的近似解提供理論支持。學習者分析

學生已經(jīng)學習了函數(shù)的圖象及性質(zhì)，會畫基本的函數(shù)圖象，能通過圖象了解函數(shù)的性質(zhì)，但學生對一些特殊的方程還不熟悉，解題可能會感到困難。教學重難點

教學重點：方程的根與函數(shù)零點之間的關(guān)系，連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的判定方法 教學難點：函數(shù)的零點與方程的根的聯(lián)系的理解,零點的判定 教學目標

知識與技能目標

（1）理解零點的定義

（2）方程的零點與函數(shù)的根的聯(lián)系

（3）掌握連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的判定方法 過程與方法目標

（1）在合作探究的過程中，體會從特殊到一般，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想（2）培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力 情感態(tài)度與價值觀目標

通過方程的根與函數(shù)零點的學習，產(chǎn)生數(shù)學學習興趣 形成有序全面思考問題的意識 教學過程

問題引入，激發(fā)興趣

師：提出問題1：求的實數(shù)根，畫出函數(shù)的圖象；并觀察他們之間的聯(lián)系？

【學情預設】學生能夠解出方程的根，并從圖象上能獲得與方程的根的一些聯(lián)系?！驹O計意圖】通過學生熟悉的二次函數(shù)的圖象和一元二次方程讓學生觀察方程和函數(shù)形式上的聯(lián)系，從而得到方程實數(shù)根和函數(shù)圖象之間的關(guān)系。組織探究，得出概念 1.方程的根與函數(shù)的零點

師：我們可以發(fā)現(xiàn)1，2既是的根，也是函數(shù)圖象與x軸的交點橫坐標。那現(xiàn)在我們來思考一下一般方程的情況。我們是如何去判斷方程的個數(shù)的呢？是不是借助Δ，那大家通過小組合作一起來完成ppt上的這張表格。填表

Δ>0 Δ<0 Δ=0

方程實數(shù)根

函數(shù)圖象與x軸的交點

【設計意圖】通過合作填表的過程，讓學生體會方程的根與函數(shù)圖象的x軸的坐標的關(guān)系，通過對比教學，揭示知識點的聯(lián)系。

師：從表格中我們可以得出這樣的等價關(guān)系：

方程f(x)=0有實數(shù)根<==>函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點

那我們再來思考一下，假如我們求出函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點坐標為（x0,0），這個x0 是不是就是令y=0的x的值啊？

這個x0在方程中我們定義它為方程的根，那在函數(shù)中我們也給它一個定義，叫做函數(shù)的零點。師：現(xiàn)在老師給出函數(shù)零點的定義。對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點。

那函數(shù)的零點他是不是一個點呢？

大家一起來再將概念縮一下句，實數(shù)x叫做零點，那說明零點時一個數(shù)?！驹O計意圖】通過對概念中的關(guān)鍵進行提煉，加深對概念的理解。師：那現(xiàn)在我們又可以得出另一個等價關(guān)系：

函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點<==>函數(shù)y=f(x)有零點 又因為這兩個等價關(guān)系兩兩等價，因而可以得出 方程f(x)=0有實數(shù)根

<==>函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點 <==>函數(shù)y=f(x)有零點

【設計意圖】通過上述過程，讓學生領(lǐng)會求方程f(x)=0的實數(shù)根，就是確定函數(shù)y=f(x)的零點這一關(guān)鍵。

2.零點的存在性探究 師：探究

【設計意圖】通過層層遞進的問題鏈，教師引導學生探索，歸納總結(jié)函數(shù)的零點存在性定理，培養(yǎng)歸納總結(jié)的能力。師：一般的，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)*f(b)<0,那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在c?(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程y=f(x)=0的根。

提問：僅滿足f(a)·f(b)<0可以確定有零點嗎？ 引導學生構(gòu)造反例：

【設計意圖】通過反例，強調(diào)判定條件——圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，加深 對概念的認知。鞏固練習，提升能力 例1：

【設計意圖】通過例題，對所學知識進行及時鞏固，歸納小結(jié)，布置作業(yè)

學生自主對本節(jié)課的內(nèi)容進行歸納總結(jié) 函數(shù)零點的定義 三個等價關(guān)系 零點的存在性定理

【設計意圖】建立自主的知識體系，形成知識網(wǎng)絡，加深對知識的鞏固，培養(yǎng)總結(jié)歸納的能力。

布置分層作業(yè)：基礎(chǔ)題和提高題

【設計意圖】通過分層作業(yè)，注重學生的個體差異，因材施教，是每個層次的學生都有所進步。

第五篇：方程的根與函數(shù)的零點教學設計

方程的根與函數(shù)的零點教學設計

【教材分析】

函數(shù)是中學數(shù)學的核心概念。核心的原因之一就在于函數(shù)與其知識據(jù)有關(guān)煩的聯(lián)系性，而函數(shù)的零點就是其中的一個鏈接點，它從不同的角度，將數(shù)與形，函數(shù)與方程有機的聯(lián)系在一起。

本節(jié)課是在學生學習了函數(shù)的性質(zhì)，具備初步的數(shù)形結(jié)合知識，了解方程的根與函數(shù)零點之間的關(guān)系的基礎(chǔ)上，結(jié)合函數(shù)圖象和性質(zhì)來判斷方程的根的存在性及根的個數(shù)，從而掌握函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法，為下節(jié)“用二分法求方程的近似解”和后續(xù)學習奠定基礎(chǔ)。

因此本節(jié)內(nèi)容具有承前啟后的作用，地位重要． 【教學目標分析】

根據(jù)本節(jié)課教學內(nèi)容的特點以及新課標對本節(jié)課的教學要求，結(jié)合以上對教材以及學情的分析，我制定以下教學目標：

知識與技能目標：鞏固方程的根與函數(shù)零點之間的關(guān)系，學會函數(shù)零點存在的判定方法，理解利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)零點的個數(shù)。過程與方法目標：經(jīng)歷“類比——歸納——應用”的過程，培養(yǎng)學生分析問題探究問題的能力，感悟有具體到一抽象的研究方法，培養(yǎng)學生的歸納概括能力。過程與方法目標：培養(yǎng)學生自主探究，合作交流的能力，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目?/p>

學態(tài)度。

【教學重點分析】

教學重點：因為函數(shù)的零點與方程的關(guān)系至關(guān)重要，為下面二分法的學習奠定基礎(chǔ)，因此我把本節(jié)教學重點定為判定函數(shù)零點存在及其個數(shù)的方法。

教學難點：為了培養(yǎng)學生的探究精神，讓學生體驗學習的快樂和成果，故本節(jié)難點定為探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點的存在性，利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)零點的個數(shù)。

【教法分析和學法指導】

結(jié)合本節(jié)課的教學內(nèi)容和學生的和認知水平，在教法上，我借助多媒體和幾何畫板軟件，采用“啟發(fā)—探究—討論”式教學模式，充分發(fā)揮教師的主導作用，讓學生真正成為教學活動的主體。在學法上，我以培養(yǎng)學生探究精神為出發(fā)點，著眼于知識的形成和發(fā)展，著眼于學生的學習體驗，精心設置一個個問題鏈，由淺入深、循序漸進，給不同層次的學生提供思考、創(chuàng)造、表現(xiàn)和成功的機會。

【教學過程設計】

為了突出重點，突破難點，在教學上我做如下設計。

問題1：求方程的實數(shù)根，畫出函數(shù)觀察他們之間的聯(lián)系？

學生通過觀察分析易得：方程的實數(shù)根就是函數(shù)的圖像；并的圖像與x軸交點的橫坐標

[設計意圖說明]通過學生熟悉的二次函數(shù)的圖像和二次方程讓學生觀察方程和函數(shù)形式上的聯(lián)系，從而得到方程實數(shù)根和函數(shù)圖象之間的關(guān)系。理解零點是連接函數(shù)與方程的結(jié)點。

初步提出零點的概念：-1，2既是的根，又是函數(shù)在y=0時x的值，也是函數(shù)圖象與x軸的交點橫坐標。-1,2在方程中稱為實數(shù)根，在函數(shù)中稱為零點。

問題2：對于一般的一元二次方程和相應方程這種關(guān)系是否成立？ [設計意圖說明]利用幾何畫板，學生從動態(tài)的角度體會方程的跟與函數(shù)的零點之間的關(guān)系。引出函數(shù)零點的定義

對于函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x）=0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點 方程f(x)=0有實數(shù)根<=>函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點<=>函數(shù)y=f(x)

有零點

問題3：求函數(shù)零點

(1)(2)(3)

對于（1）（2）小題，學生容易求的函數(shù)零點，而（3）小題學生則意識到無論用代數(shù)還是幾何方法入手，再不借助計算機的前提下，不易求得函數(shù)

零點。

[設計意圖說明] 借助這個練習題既鞏固檢測了學生對知識點的掌握情況，又引發(fā)學生認知沖突，引出本節(jié)課題，為新課的教學作好鋪墊。

問題4：請同學們觀察動畫《小馬過河》

將河流抽象成x軸，將小馬前后的兩個位置抽象為A、B兩點。請問當A、B與x軸滿足怎樣的位置關(guān)系時AB間的一段函數(shù)圖象與x軸會

有交點。

通過觀察，學生不難發(fā)現(xiàn)只要滿足A、B兩點在X軸兩側(cè)這種位置關(guān)系就可以達到要求，這種位置關(guān)系引申為f(a)·f(b)<0來表示。

結(jié)合圖像，請同學們用恰當?shù)恼Z言表述如何判斷函數(shù)在某個區(qū)間上是否

存在零點？

學生容易表述為：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有f(a)·f(b)<0，那么函

數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點

[設計意圖說明] 將現(xiàn)實生活中的問題抽象成數(shù)學模型，進行合情推理，同時由原來的圖形語言抽象成數(shù)學語言，再轉(zhuǎn)換成函數(shù)圖像。培養(yǎng)學生的觀察能力和提取有效信息的能力。體驗語言轉(zhuǎn)化的過程，啟發(fā)學生自主發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點的判定方法，培養(yǎng)學生自主探究和歸納創(chuàng)造的能力。

問題5：僅滿足f(a)·f(b)<0可以確定有零點嗎？

引導學生構(gòu)造反例：

強調(diào)判定條件——圖像是連續(xù)不斷的一條曲線。

[設計意圖說明] 讓學生體驗從現(xiàn)實生活中抽象成數(shù)學模型時，需要一定修正。同時問題設計層層遞進，有助于學生理解概念，學生經(jīng)歷總結(jié)方法，發(fā)現(xiàn)缺陷，完善方法的過程，利于知識的理解和掌握，也培養(yǎng)了學生歸納概

括能力。

通過上述研究，學生可以自己概括出函數(shù)零點存在的定理： 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點，即存在，使得f(c)=0,這個c也是

方程f(x)=0的根。

為了加深對概念的認識，我設計如下三個問題，請同學們分組討論：

（1）函數(shù)具備了哪些條件，就可確定它有零點存在呢？

（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)有零點，一定能得出f(a)·f(b)<0的結(jié)論嗎？（3）如果函數(shù)具備上述兩個條件時，函數(shù)零點的個數(shù)是惟一嗎？ [設計意圖說明]這四個問題對學生而言存在一定的挑戰(zhàn)，但對定理的解卻至關(guān)重要，通過教師的設問讓學生進一步全面深入地領(lǐng)悟定理的內(nèi)容。同時鼓勵學生相互之間合作交流，培養(yǎng)學生的合作學習的能力。

問題6：為了加深概念，提高學生的應用意識，我們再次回到問題3第三小

題

已知函數(shù)f(x)=lnx+2x-6試判斷函數(shù)零點的個數(shù)？并說明。[設計意圖說明]針對疑難學生進一步領(lǐng)悟，并學會初步利用函數(shù)的單調(diào)性判斷零點的個數(shù)。教師可結(jié)合幾何畫板作出相應函數(shù)的圖象分析其零點問題，讓學生對函數(shù)的零點判斷形成更加直觀認識．

題組練習

題組1 1.函數(shù)的零點是（）A．（-1，0）

B.（3，0）

C.x=3

D-1和3 2.函數(shù)的零點是（）

A 1

B 2

C 3

D 不確定

題組2 已知函數(shù)

(1)m為何值時，函數(shù)有兩個零點？

(2)若函數(shù)恰有一個再遠點右側(cè)，求m的值

[設計意圖說明] 立足教材，選取難易適當且適量的習題，給學生提供一個完整運用知識的平臺，從而幫助學生進一步落實基本知識，提高基本能力。

歸納小結(jié)

（1）方程f(x)=0有實數(shù)根<=>函數(shù)y= f(x)的圖像與x軸有交點<=>函

數(shù)y= f(x)有零點

（2）f(x)連續(xù)且f(a)·f(b)<0,則函數(shù)f(x)在（a,b）內(nèi)存在零點

（3）f(x)連續(xù)且f(a)·f(b)<0且f(x)單調(diào)，則函數(shù)f(x)在（a,b）內(nèi)存

在唯一零點

[設計意圖說明]小結(jié)是一堂課的概括和總結(jié)，有利于優(yōu)化學生的認知結(jié)構(gòu)，能把課堂所學的知識與方法較快轉(zhuǎn)化為學生的素質(zhì)，也更進一步培養(yǎng)學

生的歸納概括能力。課后作業(yè)，自主學習

[設計意圖說明]對課后作業(yè)實施分層設置，分必做和選做，利于拓展學

生的自主發(fā)展的空間。

【教學反思】 方程的根與函數(shù)的零點是高中課程標準新增的內(nèi)容，表面上看，這一內(nèi)容的教學并不困難，但要讓學生能夠真正理解，教學還需要妥善處理其中的一些問題。首先要讓學生認識到學習函數(shù)的零點的必要性其次教學要把握內(nèi)容結(jié)構(gòu)，突出思想方法像這些中學新增內(nèi)容的教學，教學就要取得成功的確不易，需要一個不斷實踐以及實踐后的反思的過程，在實踐與反思的過程中，不僅要妥善解決上述問題，還要不斷地發(fā)現(xiàn)和解決新的問題，這樣，教學效果才會逐步得到改善。