第一篇：數(shù)學(xué)分析讀書(shū)心得
數(shù)學(xué)分析讀書(shū)心得
王俊艷 2011212106 摘要：通過(guò)這 幾個(gè)月對(duì)數(shù)學(xué)分析這門(mén)課程的學(xué)習(xí)，對(duì)這門(mén)課程有一定認(rèn)識(shí)的同時(shí)，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中遇到了各式各樣的難題與困惑，因此，特對(duì)在學(xué)習(xí)中的遇到困難與將來(lái)如何更好的努力，不斷提高學(xué)習(xí)這門(mén)課的能力進(jìn)行了總結(jié)，希望在以后的時(shí)間里可以有所進(jìn)步。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析 讀書(shū)心得 極限 總結(jié)進(jìn)步
尚在高中時(shí)，就不斷聽(tīng)到有人告訴我說(shuō)：好好學(xué)習(xí)吧，等到上大學(xué)時(shí)就輕松了。然而悲劇的是，當(dāng)我們進(jìn)入大學(xué)時(shí)，才發(fā)現(xiàn)在大學(xué)里我們?nèi)孕枰煤脤W(xué)習(xí)，甚至說(shuō)即使在課堂上好好聽(tīng)了，有時(shí)也不一定聽(tīng)得懂。
就拿數(shù)學(xué)分析來(lái)說(shuō)，不同于高中的思維方式，它著重培養(yǎng)我們的邏輯思維能力，不單單是機(jī)械的使用公式，而是讓我們理解并掌握這些公式成立的原因。這對(duì)于剛開(kāi)始接觸這門(mén)新課程的我們來(lái)講，很難，對(duì)我來(lái)說(shuō)，那些公式的證明是難上加難。
說(shuō)起來(lái)，接觸數(shù)分已經(jīng)好幾個(gè)月了，回過(guò)頭來(lái)看，剛開(kāi)始，第一章中上下確界很難懂，不過(guò)，當(dāng)這一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)學(xué)完后，覺(jué)得也不是那么難了。那么，就現(xiàn)在來(lái)說(shuō)，我人仍然覺(jué)得很難的是極限，尤其是關(guān)于極限的證明。極限涉及兩個(gè)章節(jié)，數(shù)列極限和函數(shù)極限，暫且不說(shuō)在這兩個(gè)章節(jié)中定義與性質(zhì)非常多，難以記憶，即便勉強(qiáng)記憶，又很難熟練掌握，題的形式變化多樣，不易觀察出使用哪種方法來(lái)得出結(jié)果，再加上自從進(jìn)入大學(xué)后，資料相對(duì)較少，沒(méi)有高中的練習(xí)習(xí)題多，因此做題相對(duì)較少，沒(méi)有從做題中總結(jié)出解這類(lèi)題的一般規(guī)律，光學(xué)不練等于沒(méi)學(xué)。普通的計(jì)算還好，一旦遇上證明題，思路很狹窄，不能很靈活的運(yùn)用自己所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，思考過(guò)程比較混亂，還有就是在課堂上沒(méi)有聽(tīng)懂的地方，在課下沒(méi)有主動(dòng)地去解決，在證明的過(guò)程中每一步驟為什么要這樣寫(xiě)沒(méi)有弄得的很明白?？傊?，我認(rèn)為極限很難。
但是，作為一個(gè)數(shù)應(yīng)并且?guī)煼秾?zhuān)業(yè)的學(xué)生，學(xué)好自己主專(zhuān)業(yè)是最基本的要求，更何況，四年過(guò)后，我就會(huì)站上講臺(tái)，擔(dān)負(fù)起培養(yǎng)下一代的重任，因此在這四年期間，培養(yǎng)成為老師的素養(yǎng)固然重要，同時(shí)，優(yōu)異的學(xué)習(xí)成績(jī)也必不可少，因此，及時(shí)再難學(xué)，我認(rèn)為我們也不應(yīng)該放棄，我們應(yīng)該慢慢的解決每一個(gè)困惑，逐漸的進(jìn)步。
首先，要保持對(duì)學(xué)習(xí)的熱情。對(duì)自己有信心，不會(huì)因?yàn)槟且话鎵K難學(xué)，就不學(xué)了，俗話說(shuō)：興趣是最好的老師。畢竟，只有我們對(duì)數(shù)分感興趣了，愿意學(xué)了，數(shù)分才又可能聽(tīng)懂，并且學(xué)好。再有就是好好做筆記，本來(lái)我們就缺乏相關(guān)資料輔助學(xué)習(xí)，老師上課所講的東西就顯的彌足珍貴了，把握好老師課堂上所講的知識(shí)點(diǎn)，認(rèn)真做好筆記，及時(shí)表明不理解的地方，等到有時(shí)間時(shí)，主動(dòng)解決這些不懂的。另外就是，在課下做好預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)，好好地把書(shū)和筆記看一遍，這兩步是必不可少的，無(wú)論是在大學(xué)還是高中。再有就是盡可能的抽出時(shí)間做點(diǎn)練習(xí)題，不僅可以鞏固我們?cè)谡n堂上所學(xué)的，還可以拓展我們的思維面，使我們的頭腦更加的靈活。最后要說(shuō)的是，我們要盡可能的多與我們老師溝通交流，遇到不明白的地方要及時(shí)的解決。進(jìn)入大學(xué)，并不代表著我們可以徹底的放縱去玩，我們可以放松，但切記不要忘記完成我們的學(xué)習(xí)任務(wù)。時(shí)間千萬(wàn)不要浪費(fèi)在沒(méi)有價(jià)值的事情上，大學(xué)里各式各樣的誘惑固然很多，但我們要學(xué)會(huì)抵制這些誘惑，靜下心來(lái)，給自己一定時(shí)間去學(xué)習(xí)，去沉淀，這樣的大學(xué)生活才是充實(shí)的。
大學(xué)是我們進(jìn)入社會(huì)的最后一次歷練了，要好好的把握，在盡可能的多參加各種活動(dòng)的同時(shí)，還要好好的學(xué)習(xí)，爭(zhēng)取在這四年期間，過(guò)的不留遺憾，為自己交上一個(gè)滿(mǎn)意的答卷。
參考文獻(xiàn)
數(shù)學(xué)分析上冊(cè)：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編 第三版 高等教育出版社 出版年份2011年 1-130 數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)中最重要的一門(mén)基礎(chǔ)課，是幾乎所有后繼課程的基礎(chǔ)，在培養(yǎng)具有良好素養(yǎng)的數(shù)學(xué)及其應(yīng)用方面起著特別重要的作用。從近代微積分思想的產(chǎn)生、發(fā)展到形成比較系統(tǒng)、成熟的“數(shù)學(xué)分析”課程大約用了 300 年的時(shí)間，經(jīng)過(guò)幾代杰出數(shù)學(xué)家的不懈努力，已經(jīng)形成了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)和邏輯體系?；仡檾?shù)學(xué)分析的歷史，有以下幾個(gè)過(guò)程。從資料上得知，過(guò)去該課程一般分兩步：初等微積分與高等微積分。初等微積分主要講授初等微積分的運(yùn)算與應(yīng)用，高等微積分才開(kāi)始涉及到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論，如實(shí)數(shù)理論、極限、連續(xù)等。上世紀(jì) 50 年代以來(lái)學(xué)習(xí)蘇聯(lián)教材，從而出現(xiàn)了所謂的“大頭分析”體系，即用較大的篇幅講述極限理論，然后把微積分、級(jí)數(shù)等看成不同類(lèi)型的極限。這說(shuō)明了只要真正掌握了極限理論，整個(gè)數(shù)學(xué)分析學(xué)起來(lái)就快了，而且理論水平比較高。在我國(guó)，人們改造“大頭分析”的試驗(yàn)不斷，大體上都是把極限分成幾步完成。我們的做法是：期望在“初高等微積分”和“大頭分析”之間，走出一條循序漸進(jìn)的道路，而整個(gè)體系在邏輯上又是完整的。這樣我們既能掌握嚴(yán)格的分析理論，又能比較容易、快速的接受理論。
我們都知道，數(shù)學(xué)對(duì)于理學(xué)，工學(xué)研究是相當(dāng)重要。在中國(guó)科技大學(xué)計(jì)算機(jī)應(yīng)用碩士培養(yǎng)方案中，必修課：組合數(shù)學(xué)、算法設(shè)計(jì)與分析，高級(jí)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、高級(jí)數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)，人工智能高級(jí)教程 現(xiàn)代計(jì)算機(jī)控制理論與技術(shù)。山西大學(xué)通信與信息系統(tǒng)碩士培養(yǎng)方案中，專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課：（1）矩陣?yán)碚摚?）隨機(jī)過(guò)程（3）信息論與編碼（4）現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理（5）通信網(wǎng)絡(luò)管理：其中有運(yùn)籌學(xué)內(nèi)容，屬于數(shù)學(xué)。（6）模糊邏輯與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是研究非線性的數(shù)學(xué)。大連理工大學(xué)微電子和固體電子碩士培養(yǎng)方案中，必修課：工程數(shù)學(xué)，專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課： 物理、半導(dǎo)體發(fā)光材料、半導(dǎo)體激光器件物理 西北大學(xué)經(jīng)管學(xué)院金融碩士培養(yǎng)方案中，學(xué)位課： 中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)（數(shù)學(xué)）中級(jí)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué) 中國(guó)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)研究 經(jīng)濟(jì)分析方法（數(shù)學(xué)）經(jīng)濟(jì)理論與實(shí)踐前沿 金融理論與實(shí)踐 必須使用數(shù)學(xué)的研究專(zhuān)業(yè)有：理工科幾乎所有專(zhuān)業(yè)，分子生物學(xué)，統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)，（理論、微觀）經(jīng)濟(jì)學(xué)，邏輯學(xué)而這些數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課就有一門(mén)叫做數(shù)學(xué)分析的課程！數(shù)學(xué)是所有學(xué)科的基礎(chǔ)，可以說(shuō)自然學(xué)科中的所有的重大發(fā)現(xiàn)和成就都離不開(kāi)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，而數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)！基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)！
正因?yàn)槿绱耍疑羁痰卣J(rèn)識(shí)到基礎(chǔ)的重要性。經(jīng)過(guò)本學(xué)期，我已學(xué)習(xí)了極限理論，單變量微積分等知識(shí)，其中極限續(xù)論是理論要求最高的，積分學(xué)是計(jì)算要求最高的部分。兩者均是我學(xué)習(xí)中的困難。在本書(shū)中，以有界數(shù)集的確界定理作為出發(fā)點(diǎn)，不加證明地承認(rèn)該定理，利用它證明了單調(diào)有界數(shù)列的極限存在定理，然后逐步展開(kāi)證明了其他幾個(gè)基本定理。定理雖易記誦，但對(duì)于理解的要求甚高，舉例來(lái)說(shuō)，在課后習(xí)題中有這樣一題，證明單調(diào)有界函數(shù)存在左右極限。這題著實(shí)將我難住許久許久，盡管該題在數(shù)學(xué)分析中只是初級(jí)的難度，但初學(xué)者的我起初甚是無(wú)解。寫(xiě)到這里，我又發(fā)現(xiàn)我的一個(gè)問(wèn)題，當(dāng)然這個(gè)問(wèn)題也是共性的。許多同學(xué)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的過(guò)程存在著這樣的問(wèn)題：上課能聽(tīng)懂，課后解題卻不知所措。這一問(wèn)題的產(chǎn)生由于一方面對(duì)基本概念、基本定理理解得不夠深入，對(duì)定理的條件、結(jié)論理解得不夠貼切，對(duì)各部分知識(shí)之間的聯(lián)系區(qū)別不甚清楚。在極限續(xù)論中，由于內(nèi)容相當(dāng)抽象，在老師一次次的詳細(xì)講解下，上課基本能聽(tīng)懂，但這就可能是大學(xué)與高中最大的區(qū)別，特別是我的專(zhuān)業(yè)要求——理論要求，自己不反思，不更深刻去想，去悟，想學(xué)好很難，所以另一方面，做題太少，類(lèi)型太少，并且對(duì)做過(guò)學(xué)過(guò)的題目缺少歸納總結(jié)，因而不清楚常見(jiàn)的題目都有哪些類(lèi)型，也不明了各類(lèi)型題目常常采用什么方法，用什么知識(shí)去解釋這些理論問(wèn)題，總之，是心中無(wú)數(shù)。著名數(shù)學(xué)家、教育家喬治·波利亞說(shuō)過(guò)：“解題可以是人的最富有特征性的活動(dòng)······假如你想要從解題中得到最大的收獲，你就應(yīng)該在所做的題目中去找出它的特征，那些特征在你以后求解其他問(wèn)題時(shí)，能起到指導(dǎo)的作用?！碧卣鳎拇_每位老師在講課時(shí)都會(huì)將同類(lèi)題一起講解，這對(duì)我們的幫助是相當(dāng)大的，在寒假，我重溫了一下我的數(shù)學(xué)分析書(shū)和相關(guān)資料，從中，我發(fā)現(xiàn)在特征中顯現(xiàn)出我曾經(jīng)并未發(fā)現(xiàn)的，并未熟知的，甚至將我某些一學(xué)期都未曾搞清的問(wèn)題駕馭自如，觸類(lèi)旁通！
盡管我們要把理論學(xué)好學(xué)扎實(shí)，但我自己也要培養(yǎng)實(shí)際操作能力，在本書(shū)與高等數(shù)學(xué)中都有積分計(jì)算，某些積分計(jì)算往往是難到要做好幾小時(shí)的，在王老師的推薦下買(mǎi)了吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解，很有用，這書(shū)就好比是字典，題典，有不會(huì)，我就向它尋求適當(dāng)?shù)慕夥ǎ袝r(shí)，閑暇之余還會(huì)與同寢室同學(xué)共同研究方法的優(yōu)劣，我發(fā)現(xiàn)我的解法往往麻煩繁瑣。蔣科偉，呂孫權(quán)的做法有時(shí)可作為我修改的借鑒，其實(shí)，作為一名數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，應(yīng)該具有團(tuán)隊(duì)配合的意識(shí)，加強(qiáng)對(duì)實(shí)際應(yīng)用知識(shí)的學(xué)習(xí)，更多關(guān)注學(xué)科的變化，培養(yǎng)對(duì)問(wèn)題的思考。在研究積分題的過(guò)程中，我鞏固了所學(xué)的積分概念，有效地提高我的運(yùn)算能力，特別是有些難題還迫使我學(xué)會(huì)綜合分析的思維方法。寫(xiě)到這我想起高中老師曾講過(guò)在不等式證明中的綜合法，原來(lái)在高中我已接觸了大學(xué)知識(shí)，忽然又發(fā)現(xiàn)高中老師講過(guò)許多上海高考都不考的知識(shí)，都是對(duì)我大學(xué)學(xué)習(xí)的良好鋪墊，受益匪淺。實(shí)踐出真知，至理啊！在自學(xué)高等數(shù)學(xué)期間也有過(guò)困難，有時(shí)感到學(xué)的太多，雜了。遇到困難，幸好有數(shù)學(xué)分析這門(mén)課給與理論支持！在統(tǒng)計(jì)班同學(xué)考試資料的支持下，我還是多少學(xué)到點(diǎn)東西與解題技巧的。這很是讓我感到欣慰啊。
現(xiàn)在是科技的時(shí)代，在掌握好基本運(yùn)算后我們接觸了數(shù)學(xué)軟件——Mathematica。該軟件是應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)軟件，它不僅可以進(jìn)行各種數(shù)值運(yùn)算，而且可以進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算、函數(shù)作圖等。此軟件使我理解導(dǎo)數(shù)、微分概念，理解泰勒公式，函數(shù)的N次近似多項(xiàng)式及余項(xiàng)概念，了解N次近似多項(xiàng)式隨N增大一般是逐步逼近原函數(shù)的結(jié)果。熟悉了Mathematica數(shù)學(xué)軟件的求導(dǎo)數(shù)和求微分命令，以及求n階泰勒公式命令和求函數(shù)的n次近似多項(xiàng)式命令。不僅如此，我還通過(guò)它理解了不定積分、變上限函數(shù)和定積分概念，了解定積分的簡(jiǎn)單近似計(jì)算方法。這些正如諾基亞的廣告詞：科技以人為本。有了這些，對(duì)于我們來(lái)說(shuō)，計(jì)算不再是困難，在高等數(shù)學(xué)的計(jì)算部分的自學(xué)中也可操作自如，再加上我的英語(yǔ)基礎(chǔ)較好，在寒假下載了MATHEMATICA6操作軟件，初試時(shí)還是有難度的，但在王老師下發(fā)的操作資料中還是有很強(qiáng)的輔助作用的。現(xiàn)在數(shù)學(xué)給了我自信，讓我尋找其中的樂(lè)趣！
在這第一學(xué)期，王老師對(duì)我的幫助太大了！原來(lái)的我雖然數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，但初學(xué)分析我是真的一籌莫展，這時(shí)，王老師對(duì)我學(xué)習(xí)中的的問(wèn)題耐心又仔細(xì)地回答，讓我在一次次郁悶中尋找到真知！正因?yàn)槔蠋煹牟晦o辛勞的幫助，讓我取得現(xiàn)有的成績(jī)，這還僅僅是一部分，老師對(duì)我思想與在帶班級(jí)上也給出過(guò)幫助，讓我各方面都在原有的基礎(chǔ)上得到巨大的提高，使我更能看清自己的能力與潛力，老師謝謝你對(duì)我在一學(xué)期的幫助，我會(huì)繼續(xù)努力的，盡管我離班級(jí)學(xué)習(xí)最好的同學(xué)差距甚遠(yuǎn)，但我不會(huì)放棄努力與奮斗的目標(biāo)，我會(huì)達(dá)到更高的數(shù)學(xué)領(lǐng)地，取得更好的成績(jī).此次聽(tīng)陳教授的課，收益頗多。陳教授的這些講座，不僅是在教我們?nèi)绾翁幚怼稊?shù)學(xué)分析》中一些教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)，更是幾堂非常出色的示范課。我們不妨來(lái)溫習(xí)一下。
第一講、微積分思想產(chǎn)生與發(fā)展的歷史
法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家H.龐加萊說(shuō)過(guò)：“如果我們想要預(yù)見(jiàn)數(shù)學(xué)的將來(lái)，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門(mén)科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀?！?那么，如果你要學(xué)好并用好《數(shù)學(xué)分析》，那么，掌故微積分思想產(chǎn)生與發(fā)展的歷史是非常必要的。陳教授就是以這一專(zhuān)題開(kāi)講的。
在學(xué)校中，我不僅講授《數(shù)學(xué)分析》，也講授《數(shù)學(xué)史》，所以我非常贊同陳教授在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史的想法，這應(yīng)該也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效途徑。
在這一講中，陳教授脈絡(luò)清晰，分析精當(dāng)，這是我自嘆不如的。講《數(shù)學(xué)史》也有些年頭，但僅滿(mǎn)足于史料的堆砌，沒(méi)有對(duì)一些精彩例子加以剖析。如陳教授對(duì)祖暅?zhǔn)侨绾斡?“祖暅原理”求出球的體積的分析，這不僅對(duì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是有益的（以疑激趣、以奇激趣），而且有利于提高學(xué)生的民族自豪感（陳教授也提到了這一點(diǎn)）。
在這一講中，陳教授對(duì)weierstrass的“ε?N”、“ε?δ”語(yǔ)言的評(píng)述是“它實(shí)現(xiàn)了靜態(tài)語(yǔ)言對(duì)動(dòng)態(tài)極限過(guò)程的刻畫(huà)”。這句話是非常精當(dāng)?shù)?，如果意識(shí)不到這一點(diǎn)，你就很難理解這一點(diǎn)。在此我還想明確一點(diǎn)：《數(shù)學(xué)分析》的研究對(duì)象是函數(shù)，主要是研究其分析性質(zhì)，即連續(xù)性、可微性及可積性，而使用的工具就是極限。如果仔細(xì)盤(pán)點(diǎn)一下，在《數(shù)學(xué)分析》中，無(wú)論是數(shù)、函數(shù)、數(shù)列、函數(shù)列，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)等相關(guān)問(wèn)題，無(wú)不用到這一語(yǔ)言，你應(yīng)該能理解陳教授的“對(duì)于數(shù)學(xué)類(lèi)學(xué)生來(lái)說(shuō)，沒(méi)有“ε?N”、“ε?δ”語(yǔ)言，在《數(shù)學(xué)分析》中幾乎是寸步難行的”這一觀點(diǎn)。第二講、實(shí)數(shù)系的基本定理
在這一講中，陳教授從《實(shí)變函數(shù)》中對(duì)集合基數(shù)的討論展開(kāi)，對(duì)實(shí)數(shù)系的連續(xù)性作了有趣的討論。首先是從紳士開(kāi)party的禮帽問(wèn)題，帶我們走進(jìn)了“無(wú)窮的世界”。我在開(kāi)《數(shù)學(xué)賞析》時(shí)有一個(gè)專(zhuān)題就是“無(wú)窮的世界”，我給學(xué)生講禮帽問(wèn)題、也講希爾伯特?zé)o窮旅館問(wèn)題，但遺憾的是，當(dāng)我剖析“若無(wú)窮旅館住滿(mǎn)了人，再來(lái)兩個(gè)時(shí)，可將住１號(hào)房間的移往３號(hào)房間，?。蔡?hào)房間的移往４號(hào)房間，從而空出兩個(gè)房間”時(shí)，學(xué)生對(duì)我“能移”表示懷疑。這一點(diǎn)我往往只能遺憾的說(shuō)“跳不出有限的圈子，用有限的眼光來(lái)看無(wú)限，只能是‘只在此山中，云深不知處’”。當(dāng)然，我還是會(huì)進(jìn)一步考慮如何來(lái)講好這一講。若陳教授或其他老師有好的建議，能指點(diǎn)一下，則不勝感激。
對(duì)于集合[0,1]與(0,1)的對(duì)等關(guān)系，包括Q與Ｒ的對(duì)等關(guān)系，或者說(shuō)他們之間雙射的構(gòu)造。關(guān)鍵在于“求同存異”，找一個(gè)可數(shù)集來(lái)“填補(bǔ)”他們之間的差距，這相當(dāng)于希爾伯特?zé)o窮旅館問(wèn)題中來(lái)了兩個(gè)人和來(lái)了可數(shù)個(gè)人。
對(duì)于實(shí)數(shù)集中的有理數(shù)，“廖若晨星”是非常形象的描述。一聲集合的哨響，我們發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)在實(shí)數(shù)軸上幾乎是沒(méi)有位置的（mQ=0），用一系列的帽子來(lái)蓋住這些點(diǎn)，而這些帽子的大小是ε，這是非常精彩的結(jié)果。
從可數(shù)集到不可數(shù)集，再加上無(wú)最大基數(shù)定理，讓我們看到了“無(wú)窮的層次性”，由此我們不難理解“人外有人，天外有天，無(wú)窮之外有無(wú)窮”。我們不能不發(fā)出“哀吾生之須臾，羨長(zhǎng)江之無(wú)窮”的感慨。
陳教授對(duì)單調(diào)確界原理的證明非常清晰明了，幾何直觀的描述形象直觀。第三講 《數(shù)學(xué)分析》課程中最重要的兩個(gè)常數(shù)
法國(guó)著名雕塑家羅丹曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“生活中從不缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛”。我想說(shuō)：“數(shù)學(xué)中并不缺少美，缺少的是揭示數(shù)學(xué)美的老師”。陳教授是一個(gè)出色的老師，他不僅發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美，而且為我們展示了數(shù)學(xué)的美。
?i著名的歐拉公式：e?1?0，實(shí)現(xiàn)了有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、超越數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)完美統(tǒng)一，獲得“最美的數(shù)學(xué)定理”稱(chēng)號(hào)。歐拉建立了在他那個(gè)時(shí)代，數(shù)學(xué)中最重要的幾個(gè)常數(shù)（0,1,i,e,?）之間的絕妙的有趣的聯(lián)系，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)奇異美的典例。
在本講中，陳教授以李大潛院士訪問(wèn)法國(guó)“引入”的一個(gè)有趣例子開(kāi)講，讓我們體會(huì)了數(shù)學(xué)中的美，這個(gè)不等式還有許多有意思的地方，無(wú)論是不等式的形式，還是他的證明，都非常深刻地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美。Pi是無(wú)理數(shù)的證明，吸引了與會(huì)學(xué)員的眼球，贊嘆之余，有學(xué)員問(wèn)這一證法的出處，我也還真想知道，請(qǐng)陳教授不吝指教。
本講最后將函數(shù)sinx/x展成無(wú)窮乘積形式，并妙用此形式求出p級(jí)數(shù)中p為偶數(shù)值時(shí)的和，對(duì)我而言是耳目一新的。在我記憶中好像菲爾金哥爾茨的《微積分學(xué)教程》(第二卷)中也有求出的方法，而p為奇數(shù)的情形好像至今尚未解決。對(duì)p=2的情形，歐拉至少用兩種方法得到結(jié)果，其中一種方法妙用了L’Hospital法則(《數(shù)學(xué)譯林》09.3)。第四講 級(jí)數(shù)與反常積分收斂的A.D判別法 恰逢這個(gè)學(xué)期講《數(shù)學(xué)分析》(3)，在講授含參變量反常積分時(shí)，先復(fù)習(xí)了反常積分，再?gòu)?fù)習(xí)了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，并將幾個(gè)判別法列表比較，尤其是A.D判別法，能與陳教授不謀而合，真是倍感榮幸。
陳教授對(duì)Abel引理的直觀刻畫(huà)，也是深得學(xué)員好評(píng)。我對(duì)陳教授從Abel引理分析?anbn收斂條件的分析而得到Dilichlet判別法和Abel判別法的相關(guān)條件深感佩服，尤其是分析得絲絲入扣。
第五講 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與含參變量反常積分的一致收斂
一致收斂性無(wú)疑是《數(shù)學(xué)分析》中的一個(gè)重要概念。陳教授對(duì)“點(diǎn)點(diǎn)收斂”與“一致收斂”的剖析是非常到位的，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)如果是只能注意到在定義的陳述“?x”的位置不相同，而不明其所以時(shí)，這樣的教學(xué)肯定是失敗的。陳教授例子選擇精當(dāng)，語(yǔ)言使用精辟，問(wèn)題分析精準(zhǔn)。請(qǐng)注意陳教授的這句話：“毛病出在點(diǎn)態(tài)收斂的情況下，在某些點(diǎn)附近，N無(wú)法控制”（類(lèi)似的話在第九講中說(shuō)過(guò)）。
第六講 Weierstrass函數(shù)：處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)
陳教授分析了為何在Weierstrass之前的數(shù)學(xué)家不能構(gòu)造出這樣的函數(shù)。原來(lái)在此之前，數(shù)學(xué)家們所掌握的函數(shù)是不足以構(gòu)造出這樣的函數(shù)的。
Weierstrass在1872年構(gòu)造出了如下處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)： ?ansin(bnx)0
本講陳教授從一個(gè)幾何問(wèn)題入手，得到一個(gè)條件極值問(wèn)題?？紤]了條件極值的必要條件，引入Lagrange乘數(shù)法，化條件極值問(wèn)題為無(wú)極條件極值問(wèn)題。這部分內(nèi)容中，本人認(rèn)為幾何解釋最有啟發(fā)性。
對(duì)于具體使用Lagrange乘數(shù)法的例子中，如何解方程組，陳教授給了很好的建議。第二個(gè)例子，即求平面x+y+z=0與橢球面x2+y2+4z2=1相交而成的橢圓面積。這個(gè)例子我很喜歡，只可惜不能用來(lái)做期末考題（不要問(wèn)我為什么?。５诎酥v 重積分的變量代換
本講陳教授從定積分的換元的計(jì)算公式分析入手，對(duì)二重積分的相應(yīng)的代換公式作出類(lèi)比猜想（在教學(xué)中注重滲透數(shù)學(xué)思想方法，如此妙哉?。┰僮鞣治?，然后得出代換公式。
為證明代換公式，陳教授引入本原映射，化“矩形”為“梯形”，化變換T為兩個(gè)本原變換的復(fù)合，實(shí)現(xiàn)了化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化困難為容易。第九講 《數(shù)學(xué)分析》課程中的否定命題
《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)中，說(shuō)說(shuō)“反話”很重要！（請(qǐng)不要誤解?。?/p>
兩個(gè)命題A與B如果既不能同時(shí)成立，也不能同時(shí)不成立，就稱(chēng)A與B互為否定命題。若A與B互為否定命題，則A與B一定滿(mǎn)足：一個(gè)成立，另一個(gè)必然不成立；一個(gè)不成立，另一個(gè)必定成立。（廢話?。?/p>
有界與無(wú)界、收斂于a與不收斂于a、收斂與不收斂、（注意前邊兩對(duì)的區(qū)別?。⒖蓪?dǎo)與不可導(dǎo)、Cauchy收斂準(zhǔn)則及其否定命題，等等。這些“反話”不說(shuō)，大量的題做不了。我在講《數(shù)學(xué)分析》(1)時(shí)會(huì)有一講（幾個(gè)概念的否定敘述）就是來(lái)講否定命題的。陳教授在這部分的例子非常好，分析得也清楚！陳教授的九講，給了我們太多的啟示：
一、在我們的教學(xué)中，不僅要教其所以然，而且要教其所以然。陳教授的這九講，應(yīng)該是我們講授《數(shù)學(xué)分析》的經(jīng)典案例，當(dāng)然，我們不一定是講這一些內(nèi)容！正確的思想從哪里來(lái)，是從天上掉下來(lái)的嗎？不是！
二、在我們的教學(xué)，不僅要傳授知識(shí)，而且要傳授思想方法，也就是教學(xué)中要注 重思想方法的滲透。
三、在我們的教學(xué)中，不僅要傳授知識(shí)，而且要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓他們了解數(shù)學(xué)的過(guò)去、現(xiàn)在，以便開(kāi)創(chuàng)數(shù)學(xué)的將來(lái)。
四、在我們的教學(xué)中，或許會(huì)遇的許多困難：教學(xué)時(shí)數(shù)少，教學(xué)對(duì)象差等等，但我們應(yīng)從我們自身積極的尋找對(duì)策。陳教授就是這樣的。
以上所述，僅憑個(gè)人聽(tīng)課記錄，又僅憑個(gè)人理解。若是有誤，請(qǐng)陳教授見(jiàn)諒并斧正。最后，向陳紀(jì)修教授致以崇高的敬意！如何學(xué)好數(shù)學(xué)分析 劉軾波
數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)系最重要的課程。許多后續(xù)課程都以它為基礎(chǔ)，例如常微分方程、偏微分方程、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)，以及泛函分析。這些都屬于分析數(shù)學(xué)的范疇。此外，作為幾何學(xué)一分支的拓?fù)鋵W(xué)，主要研究拓?fù)淇臻g在連續(xù)映射下不變的性質(zhì)，而連續(xù)映射是數(shù)學(xué)分析中研究的連續(xù)函數(shù)的推廣。而當(dāng)今數(shù)學(xué)研究中最重要的部門(mén)——微分幾何，乃是在微積分對(duì)幾何學(xué)的應(yīng)用過(guò)程中發(fā)展起來(lái)的，因此也離不開(kāi)數(shù)學(xué)分析的理論和方法。所以，要順利完成數(shù)學(xué)系本科階段的學(xué)習(xí)，學(xué)好數(shù)學(xué)分析非常重要。說(shuō)得更長(zhǎng)遠(yuǎn)一點(diǎn)，任何有志于從事數(shù)學(xué)研究的青年學(xué)子，好好掌握數(shù)學(xué)分析的理論和方法是關(guān)鍵的第一步。要學(xué)好數(shù)學(xué)分析是沒(méi)有捷徑可走的。對(duì)其他課程，也是如此。如果真有這樣的捷徑，老師在上課時(shí)早就告訴大家了。這樣的話，是否不必管太多，只管硬下功夫就可以了呢? 如果只是蠻干，是不會(huì)有好的結(jié)果的，而且會(huì)很累。我見(jiàn)過(guò)不少同學(xué)，書(shū)都讀破了，書(shū)頁(yè)上也寫(xiě)滿(mǎn)了筆記或是在讀書(shū)過(guò)程中的心得，看來(lái)還是很用功的。但是他跑來(lái)問(wèn)我的問(wèn)題卻很簡(jiǎn)單，有些甚至在書(shū)上就有明白的解釋。我把書(shū)翻給他看，他才恍然大悟。我想，這是由于他雖然花了很多時(shí)間，但卻沒(méi)有認(rèn)真對(duì)以下要提到的幾個(gè)方面進(jìn)行思考。所以他對(duì)基本內(nèi)容沒(méi)有很深的印象。下面我想就數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)，談?wù)勎业目捶?。一談到?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，很多人想到的就是要多做習(xí)題。但是，我認(rèn)為最重要的還是要先仔細(xì)研讀教科書(shū)，搞清楚每個(gè)定義和定理。在這個(gè)基礎(chǔ)上適當(dāng)做些習(xí)題才會(huì)事半功倍。沒(méi)有弄清基本的概念，對(duì)學(xué)過(guò)的定理也沒(méi)有吃透，就急急忙忙去做習(xí)題，必然會(huì)碰到很多困難，甚至?xí)适ё孕判?。這是一種不可取的學(xué)習(xí)方法。
首先，要徹底弄清楚接觸到的每個(gè)定義。數(shù)學(xué)上的定義，都是從許多具體的事例中抽象出來(lái)的。這些定義雖然是具體事例的抽象，但卻又是很自然的。我們?cè)趯W(xué)習(xí)中要多思考，并且通過(guò)具體的例子來(lái)掌握各個(gè)定義的內(nèi)涵。數(shù)學(xué)的定義中往往有各種各樣的條件。對(duì)這些條件要仔細(xì)揣摩，體會(huì)它們的作用。有時(shí)還需要通過(guò)正反兩方面的例子來(lái)辨析不同的概念。只有這樣才能真正掌握，并能在推理中做到靈活運(yùn)用。
其次，每學(xué)習(xí)一個(gè)定理時(shí)，就要從內(nèi)涵上弄清這個(gè)定理的含義，即它到底說(shuō)了什么事情。這往往可以結(jié)合幾何直觀來(lái)把握。然后就是研究定理中要求的條件。這可以通過(guò)研究定理的證明了解這些條件的作用，還可以通過(guò)反例來(lái)弄清當(dāng)某個(gè)條件不成立時(shí)，結(jié)論為何不對(duì)。通過(guò)這樣正反面的思考，就會(huì)對(duì)這個(gè)定理有比較好的理解。我見(jiàn)到很多數(shù)學(xué)系的學(xué)生，在解題時(shí)說(shuō)“因?yàn)閒是閉集F上的連續(xù)函數(shù)，所以f有界”。之所以犯這樣的錯(cuò)誤，就是因?yàn)闆](méi)有很好地掌握“有界閉集上的連續(xù)函數(shù)必有界”這個(gè)定理。
再者，定理的證明也值得我們好好研究。通過(guò)研讀定理的證明，可以加深我們對(duì)這個(gè)定理的理解。而且，在定理的證明過(guò)程中我們還可以學(xué)習(xí)到本學(xué)科的各種基本的論證方法。熟悉這些方法之后，我們就自然能夠把它們應(yīng)用到我們面臨的問(wèn)題中去。有些定理的證明是很漂亮的，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美。我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中還要好好體會(huì)這種美，這對(duì)提高我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不無(wú)益處。當(dāng)然，有些定理的證明比較繁難，為了不打擊自信心，我們可以先跳過(guò)它，等過(guò)后有機(jī)會(huì)再回來(lái)研究它。事實(shí)上，有些定理本身很重要，但它的證明卻未必非常重要。關(guān)于這一點(diǎn)，大家可以去看伍洪熙先生在北京大學(xué)出版社出版的《黎曼幾何初步》前面的“致讀者的話”第iv頁(yè)關(guān)于弧長(zhǎng)的二次變分公式的敘述。這整篇“致讀者的話”對(duì)學(xué)數(shù)學(xué)的人都是很有啟發(fā)性的。另外，學(xué)了一個(gè)定理后，一個(gè)很重要的方面就是如何把它應(yīng)用到各種問(wèn)題中去。這甚至比定理本身的證明更為重要。設(shè)想，如果你由一個(gè)定理推出一些有趣的結(jié)論，那你一定會(huì)覺(jué)得這個(gè)定理妙不可言。數(shù)學(xué)分析中的許多定理都有很直觀的幾何意義。許多證明題，如果從幾何直觀上看就很好理解。這樣的幾何直觀往往會(huì)啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)解題的思路。
我們還可以從全局的角度來(lái)看我們學(xué)過(guò)的定理，看它和數(shù)學(xué)分析中的其它定理有什么聯(lián)系。比方說(shuō)為什么需要這個(gè)定理? 想象一下，如果沒(méi)有閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的各個(gè)定理，整個(gè)數(shù)學(xué)分析的理論會(huì)是什么樣子。把各個(gè)定義、定理聯(lián)系起來(lái)，在我們的頭腦中形成一個(gè)有機(jī)的網(wǎng)絡(luò)，我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)才能更靈活地運(yùn)用所掌握的知識(shí)。
在牢固地掌握了各個(gè)定義和定理后。一定要做一些習(xí)題，以加深理解。好的教科書(shū)每節(jié)后面的習(xí)題都是對(duì)本節(jié)所學(xué)知識(shí)的運(yùn)用。做這些習(xí)題有助于更好地掌握該節(jié)的內(nèi)容。做習(xí)題的過(guò)程也是對(duì)自己的一種訓(xùn)練，這是做習(xí)題的另一個(gè)目的。正如長(zhǎng)期的體育鍛煉會(huì)使身體逐漸強(qiáng)壯一樣，堅(jiān)持做習(xí)題，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力就會(huì)逐漸提高。
數(shù)學(xué)分析的習(xí)題，靈活性比較強(qiáng)。我們常常有面對(duì)一個(gè)問(wèn)題卻束手無(wú)策的經(jīng)歷。這是很正常的現(xiàn)象，千萬(wàn)不要失去信心。這是由于我們的閱歷比較少的原因?，F(xiàn)在出版了不少解題指南之類(lèi)的參考書(shū)。這些書(shū)上有很多很典型的例題，有些是很有啟發(fā)性的。大家可以根據(jù)自身情況選讀一些。不過(guò)，每道好的習(xí)題都是非常珍貴的。如果遇到題目，沒(méi)有經(jīng)過(guò)深入的思考就急于去看答案，那么你雖然也知道這道題乃至這類(lèi)題的解法，但卻失去了一次獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)。這道題就被你浪費(fèi)掉了。所以，對(duì)于習(xí)題大家一定要獨(dú)立思考(也可以幾個(gè)同學(xué)一起討論)，實(shí)在做不出來(lái)再去看答案，并認(rèn)真總結(jié)自己失敗的原因。對(duì)于參考書(shū)中的例題，如果時(shí)間允許，也應(yīng)先自己試做一下。如果沒(méi)有試做參考書(shū)中的例題，就一定要選做它里面的一些習(xí)題。
最后，數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容非常豐富，它跟后續(xù)的許多課程有著密切的聯(lián)系。我們?cè)诤罄m(xù)課程的學(xué)習(xí)中，有時(shí)還應(yīng)該回來(lái)看看數(shù)學(xué)分析中的有關(guān)內(nèi)容，厘清它們之間的聯(lián)系。這對(duì)更好地掌握數(shù)學(xué)分析，以及后續(xù)課程的學(xué)習(xí)，都有好處。
第二篇：數(shù)學(xué)分析習(xí)作讀書(shū)報(bào)告格式
云 南 大 學(xué)
數(shù)學(xué)分析習(xí)作課（1）讀書(shū)報(bào)告
題 目：
學(xué) 院： 專(zhuān) 業(yè)： 姓名、學(xué)號(hào)： 任課教師： 時(shí) 間：
摘 要
關(guān)鍵詞：
以下為正文部分：小標(biāo)題四號(hào)宋體字，其余均為小四號(hào)宋體字。撰寫(xiě)時(shí)請(qǐng)刪除！
參考文獻(xiàn)
[1] 數(shù)學(xué)分析習(xí)題集解，吉米多維奇原著，費(fèi)定暉等編著，山東大學(xué)出版社，2005.[2] 論如何加強(qiáng)數(shù)學(xué)人才在求職中的優(yōu)勢(shì)，楊漢春，張 慶，高等理科教育，No.4（2003）：22－26.
第三篇：數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)心得和讀書(shū)體會(huì)
從分析學(xué)發(fā)展史看大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的嚴(yán)密化
數(shù)學(xué)作為一門(mén)古老的學(xué)科，已經(jīng)被人類(lèi)研究有數(shù)千年的歷史。那么為什么這門(mén)艱深的學(xué)問(wèn)能夠以“科學(xué)皇冠上的明珠”這樣一個(gè)身份對(duì)人們產(chǎn)生經(jīng)久不衰的吸引力呢？我認(rèn)為，數(shù)學(xué)最為迷人之處，就是其所特有的精準(zhǔn)與和諧。簡(jiǎn)單的說(shuō)，嚴(yán)密性造就了數(shù)學(xué)的美，也構(gòu)成數(shù)學(xué)的基石?？梢哉f(shuō)，數(shù)學(xué)的發(fā)展史，就是它本身嚴(yán)密性不斷加深加強(qiáng)的歷史。這一點(diǎn)，我們這些大學(xué)新生就有著切身的體會(huì)。比方說(shuō)現(xiàn)在提出這樣幾個(gè)問(wèn)題：
1、3-5=？
2、自然數(shù)多還是整數(shù)多？整數(shù)多還是分?jǐn)?shù)多？
3、若y=f（x），那么當(dāng) x→0，y/x=？
對(duì)于這幾個(gè)問(wèn)題，我們?cè)诓煌膶W(xué)習(xí)階段都會(huì)給出不同的答案。對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，小學(xué)生可能根本無(wú)法解答，對(duì)于一個(gè)中學(xué)生就沒(méi)有絲毫的難度；對(duì)于第二題，小學(xué)生會(huì)說(shuō)自然數(shù)比整數(shù)多，中學(xué)生則可能表現(xiàn)出迷惑；而對(duì)于最后一題，即使是高中生也不見(jiàn)得會(huì)給出合乎邏輯的答案，卻又是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)題。也就是說(shuō)，在過(guò)去的學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，無(wú)論是從小學(xué)數(shù)學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)，還是從中學(xué)數(shù)學(xué)到大學(xué)數(shù)學(xué)，無(wú)不伴隨著數(shù)學(xué)學(xué)科從方法、技巧乃至于思想上嚴(yán)密性和邏輯性上的提升。一些即便在原來(lái)看來(lái)是無(wú)懈可擊的結(jié)論與定理，稍有疏忽也許就成為了謬誤。
進(jìn)入大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)階段之后，這一點(diǎn)更有了在根本上的飛躍，這就需要我們擺脫過(guò)去直觀的思考方式，建立更加抽象而嚴(yán)密的思維體系。就這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，我們到現(xiàn)在為止的學(xué)習(xí)教程于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展史是相契合的。我們以數(shù)學(xué)分析的發(fā)展為例。
早在古希臘時(shí)期，對(duì)實(shí)數(shù)及其極限的分析和計(jì)算就已經(jīng)成為了數(shù)學(xué)家的課題。古代數(shù)學(xué)家圍繞原始的極限思想做出了大量的研究，并取得了許多成果，例如窮竭法（《幾何原本》Euclid），割圓術(shù)（《九章算術(shù)》劉徽）等等。但直到
十六世紀(jì)中葉，微積分才正式進(jìn)入了醞釀階段。事實(shí)上微分和積分原本被稱(chēng)為無(wú)
窮小演算，其最初的目的就是“試圖去計(jì)算曲線所包圍的平面圖形的面積以及曲
面所包圍的立體的體積”（《Encounter with Mathematics》P160 Lars Garding）。但
是，這種幾何直觀的概念給理論本身的嚴(yán)密性帶來(lái)了先天上的不足，無(wú)論是最初的Kepler和Cavalieri，還是后來(lái)的Pascal和Fermata，乃至最終創(chuàng)建微積分理論的兩位巨人Newton和Leibniz，這些優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家都沒(méi)能對(duì)此拿出真正意義上嚴(yán)格的解決方案。盡管?chē)@建立在不可靠基礎(chǔ)之上的微積分理論人們還是做出了大量
工作并取得了許多驚人的成就，微積分也迅速滲透到了力學(xué)，天文，航海等各種
學(xué)科乃至于生活生產(chǎn)的方方面面。然而，后來(lái)因?yàn)榛A(chǔ)概念的不明確導(dǎo)致理論根
基上的動(dòng)搖，從而引起所謂“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”的爆發(fā)，使得幾何直觀的理論基
礎(chǔ)帶來(lái)的麻煩完全超過(guò)了人們從它那里獲得的便利。
現(xiàn)在我們知道，當(dāng)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)進(jìn)入了高等數(shù)學(xué)階段時(shí)，有關(guān)于實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)
集完備概念的建立就成為擺在我們面前的頭號(hào)問(wèn)題。原則上，我們?cè)诟咧须A段所
學(xué)習(xí)的一些導(dǎo)數(shù)知識(shí)即可視作微分的入門(mén)。但是當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)依然沒(méi)有能夠擺
脫所謂的“導(dǎo)數(shù)是函數(shù)曲線上確定一點(diǎn)切線的斜率”這類(lèi)不嚴(yán)密的幾何直觀概念，這使得我們對(duì)完全理解其所敘述的數(shù)學(xué)模型中出現(xiàn)的各種概念和理論造成了困
難。介于此，在正式進(jìn)入數(shù)學(xué)分析的領(lǐng)域之前，我們迫切需要對(duì)實(shí)數(shù)的基本理論
進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)和掌握，構(gòu)建起新的思維體系。
幸運(yùn)的是，這些問(wèn)題都已經(jīng)由前人所解決了。正如上文所提及的那樣，盡管
成就卓著，建立在不牢固基礎(chǔ)之上的分析學(xué)出現(xiàn)了越來(lái)越多的謬誤，例如Fourier
經(jīng)過(guò)推理竟然認(rèn)為數(shù)列an??(?1)i?1的極限為1/2（如果把這個(gè)數(shù)列寫(xiě)成i?1n
{1,0,1,0??}的話，我們很容易看出這是典型的非收斂數(shù)列）。這些荒謬的結(jié)論
使得當(dāng)時(shí)的分析學(xué)漸漸為眾多人所攻訐。人們最終還是發(fā)現(xiàn)微積分和分析學(xué)的不
嚴(yán)密性到達(dá)了了一個(gè)非解決不可的程度。之前就有一些數(shù)學(xué)家試圖對(duì)此作出嚴(yán)謹(jǐn)
而符合邏輯的解釋?zhuān)T如Taylor,Euler,Maclauin等人，卻始終沒(méi)有找到合適的途徑。
事實(shí)上，在集合論出現(xiàn)之前，對(duì)這一問(wèn)題做出真正意義上嚴(yán)密的解答是相當(dāng)困難的。此后，Cauchy在他的著作中首次提出了用數(shù)列的無(wú)限趨近來(lái)定義極限，導(dǎo)數(shù)
差量商形式的表達(dá)等重要思想，為后人鋪平了道路。利用他的思想，后來(lái)的Heine,Cantor等人用今天我們所熟悉的柯西收斂準(zhǔn)則的想法證實(shí)了“無(wú)理數(shù)是實(shí)數(shù)
迫近的極限”（《Cours d’analyse algébrique》Cauchy）這一猜想，由此最終得到六條
實(shí)數(shù)完備性定理（事實(shí)上我們已經(jīng)知道這六條定理是完全等價(jià)的），為建立實(shí)數(shù)
理論打下了基礎(chǔ)。與此同時(shí)Weierstrass（此君即實(shí)數(shù)定理中的聚點(diǎn)定理和
Weierstrass function：f(x)??ancos(bn?x)的發(fā)現(xiàn)者）提出了現(xiàn)在廣泛使用的ε-δ
n?0?
定義法，終于使分析學(xué)完全擺脫了幾何直觀的含糊概念。
由此看來(lái)，數(shù)學(xué)分析發(fā)展過(guò)程與我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程是極為相似的，從最初
用“從特殊跳到一般的不可靠的推理方法”（Abel）建立直觀的理論概念，經(jīng)過(guò)
不斷深入的學(xué)習(xí)和研究，最終獲得從一般到特殊的構(gòu)筑的嚴(yán)密理論基礎(chǔ)，這其中
伴隨著我們的恰恰是對(duì)數(shù)學(xué)根基和本源不斷深入的探尋和挖掘。從這個(gè)意義上來(lái)
說(shuō)，我想我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)際不是在向上而始終是在向下行進(jìn)著的。換句話說(shuō)，越是深入的學(xué)習(xí)，我們也就越接近數(shù)學(xué)的的本質(zhì)。事實(shí)上，過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)證明，越是看似簡(jiǎn)單而顯而易見(jiàn)的東西，越是需要深層次理解和剖析，因?yàn)樗赡苌婕?/p>
到的恰恰是根本上的思想變化，我們以這樣一個(gè)問(wèn)題為例：
證明：若一個(gè)數(shù)列存在極限，那么該數(shù)列的極限是唯一的。
如果讓一位知識(shí)基礎(chǔ)比較好的高中生來(lái)做，乍一看這個(gè)問(wèn)題，他會(huì)覺(jué)得需要
這個(gè)結(jié)論是如此顯而易見(jiàn)，以至于對(duì)它的證明也是多此一舉的，然而細(xì)想之下，他才會(huì)發(fā)現(xiàn)就是這樣一個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題，他也沒(méi)有足夠的數(shù)學(xué)思維與工具對(duì)其
進(jìn)行嚴(yán)密而精確的闡述。
事實(shí)上這是大學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常基本的定理，我們只需構(gòu)造收斂數(shù)列{an}
兩個(gè)不相同極限，然后利用簡(jiǎn)單的歸謬法推出矛盾就可以給出完全嚴(yán)格的證明。
只要是保證沒(méi)有極其離譜的上課走神或是翹課，凡是入校超過(guò)兩個(gè)月的大學(xué)
生都能夠輕松解決這類(lèi)問(wèn)題。很難說(shuō)這樣一名大學(xué)新生相比一名學(xué)習(xí)扎實(shí)的高考
生在知識(shí)水平上有著多大的差異。正如在數(shù)學(xué)分析的發(fā)展過(guò)程中，盡管它是由后
人完全奠定了基礎(chǔ)，但是這樣就可以說(shuō)之前的數(shù)學(xué)家在思維水平或是智商上有著
什么缺陷嗎？答案顯然是否定的，我們只能說(shuō)是這是數(shù)學(xué)發(fā)展帶來(lái)思想體系上的深刻變革而導(dǎo)致的必然結(jié)局。同樣的，從中學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，我們所感受到的種種不同也正是因?yàn)樗伎挤绞降纳?jí)所帶來(lái)的結(jié)果。當(dāng)我們進(jìn)入這一片全新的領(lǐng)域的時(shí)候，原本一些看似正確的觀念也許就會(huì)顯得不合時(shí)宜，這時(shí)候就需要我們自己去理解，去辨別，并在需要的時(shí)候?qū)⒛切╆惻f的觀念加以改造或摒棄，這
樣對(duì)我們分析學(xué)乃至于整體的大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會(huì)是有利的。
僅僅是簡(jiǎn)單的了解了一下分析學(xué)的發(fā)展歷史，我們就看到了它與我們學(xué)習(xí)教
程進(jìn)程驚人的相似和吻合。在這里我可以大膽地說(shuō)，數(shù)學(xué)的進(jìn)步就是思想的進(jìn)步，而我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)實(shí)際上就是學(xué)習(xí)思想。對(duì)過(guò)去經(jīng)驗(yàn)結(jié)論不加辨別的使用，不僅大
大降低了數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性，而且有時(shí)甚至?xí)玫剿剖嵌巧踔劣谕耆闹嚨慕Y(jié)
果，分析學(xué)的發(fā)展歷史就是最好的證明。
在這一番思考的最后，我想以分析學(xué)嚴(yán)密化的先驅(qū)Cauchy 的話作為結(jié)尾：
認(rèn)為只有在幾何證明里或者在感覺(jué)的證明里才有必然，錯(cuò)誤往往來(lái)源于此。
參 考 書(shū) 目
Morris Kline：Mathematics Thought From Ancient To Modern Times，1972，Chap.40 and 41
混合班1004朱恒
3100103211
第四篇：數(shù)學(xué)分析習(xí)作讀書(shū)報(bào)告格式
云 南 大 學(xué)
數(shù)學(xué)分析習(xí)作課讀書(shū)報(bào)告
題 目： 一元函數(shù)與二元函數(shù)連續(xù)性的對(duì)比
學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院
專(zhuān) 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓名、學(xué)號(hào)： 任課教師： 時(shí) 間：
摘 要
討論一元、二元函數(shù)連續(xù)性的對(duì)比，首先我們要討論一元函數(shù)與二元函數(shù)的連續(xù)性的聯(lián)系，從函數(shù)連續(xù)性的定義和一些性質(zhì)中找出與一元函數(shù)與二元函數(shù)連續(xù)性的關(guān)系，再?gòu)暮瘮?shù)連續(xù)性與極限、導(dǎo)數(shù)、微分的聯(lián)系來(lái)分析一元函數(shù)與二元函數(shù)連續(xù)性的不同。如同極限一樣，二元函數(shù)的連續(xù)性問(wèn)題要比一元函數(shù)要求更高，處理起來(lái)也更復(fù)雜，但是，一切從基本概念出發(fā)，熟知連續(xù)性的定義和定理，參考一元函數(shù)連續(xù)性問(wèn)題的解決方法，二元函數(shù)連續(xù)性問(wèn)題就不難解決。
關(guān)鍵詞：
函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性 函數(shù)的左、右連續(xù) 間斷點(diǎn) 導(dǎo)數(shù) 極限 偏導(dǎo)數(shù) 積分
以下為正文部分：小標(biāo)題四號(hào)宋體字，其余均為小四號(hào)宋體字。撰寫(xiě)時(shí)請(qǐng)刪除！
一、函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性
（一）函數(shù)在x。連續(xù)，滿(mǎn)足三個(gè)條件：（1）函數(shù)?(x)在x。點(diǎn)點(diǎn)某領(lǐng)域U(x。，δ)內(nèi)有定義（2）lim?(x)存在△x→x。
（3）lim?(x)=?(x。)△x→x。
用增量形式表示連續(xù)性：lim[?(x。+△x)-?(x。)]=lim△y=0 △x→0 △x→0
定義：設(shè)?(x)在x。及其領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果對(duì)于任意的ε﹥0，都有δ=δ（x。，ε）﹥0，使當(dāng)|x-x。|﹤δ時(shí)，有|?(x)-?(x。)|﹤ε成立，即lim?(x)= ?(x。)，則稱(chēng)函數(shù)?(x)在x=x。(或點(diǎn)x。)處連續(xù)。x→x。
?(x)在點(diǎn)x。出處有定義，且?(x)在分界點(diǎn)x。的極限lim?(x)存在 x→x。lim?(x)=(x。)x→x。
所有初等函數(shù)在它的定義域內(nèi)都連續(xù)
一個(gè)連續(xù)而另一個(gè)不連續(xù)的函數(shù)，其和、差一定不連續(xù)，但其積不然
例1． 例 設(shè)函數(shù)?(x)在（a,b）內(nèi)每一點(diǎn)處的左、右極限都存在，又?x,y∈（a,b）,有?(x?y2)≤[?(x)+ ?(y)](1)21證明 ?在（a,b）內(nèi)連續(xù)
分析 若想證明?(x)在（a,b）內(nèi)連續(xù)，由題設(shè)即證 ? x?！剩╝,b），lim?(x)= lim?(x)= ?(x。)(2)x→x-。x→x+。
即可，在式（1）中先令某一變量為x。（這是想當(dāng)然的，因?yàn)槎ㄒ疾?在x。處的情況，不妨設(shè)x=x。），則得
?(x。?y2)≤[?(x。)+ ?(y)](3)
21如果y在x0的左側(cè)，即y y﹤即y與x。?y2x。?y2x。?y2﹤x。 x。?y2均在x。的左側(cè)。如此，y →x-。時(shí)，→x-。亦成立。在式（3）中自然要想到令y →x-。，則得 lim?()≤[?(x。)+ lim?(y)](4)y →x-。y →x-。令 A= lim?(y)y →x-。 則 lim?（x。?y2）=A y →x-。則式（4）表明 A≤?(x。)（5） 同樣，若在式（3）中令y →x+。，則當(dāng)記B=lim?(y)時(shí)，便有不等式 y →x-。 B≤12?(x。)+ 21在式（1）中如果想辦法令 2x?yB?B≤?(x。)（6） =x。，這樣x。便成為x與y中間的點(diǎn)了，在式（1）中令x?x。、y?y。，便會(huì)得到另一個(gè)不等式，為此，不妨令x=x。-h,y=y。+h,h>0.則式（1）成為 ?(x。)≤[?(x。-h)+ ?(x。+h)]（7） 21令h?0.則式（7）成為 ?(x。)≤聯(lián)立式（5）、(6)、(8)便得 A=B= ?(x。)問(wèn)題獲證。 （二）、函數(shù)在一點(diǎn)的左（右）連續(xù) 1、函數(shù)?(x)在點(diǎn)x。左連續(xù), 滿(mǎn)足三個(gè)條件: 12??(A+B)(8) （1）函數(shù)?(x)在x。點(diǎn)點(diǎn)某領(lǐng)域Uˉ(x。，δ)=（x。-δ,x。）內(nèi)有定義（2）lim?(x)存在△x→x-。（3）lim?(x)=?(x。)△x→x-。 用增量形式表示左連續(xù)性：lim[?(x。+△x)-?(x。)]=lim△y=0 △x→0-△x→0- 2、函數(shù)?(x)在點(diǎn)x。右連續(xù), 滿(mǎn)足三個(gè)條件:（1）函數(shù)?(x)在x。點(diǎn)點(diǎn)某領(lǐng)域U+(x。+δ，x。)有定義（2）lim?(x)存在△x→x+。（3）lim?(x)=?(x。)△x→x+。 用增量形式表示連續(xù)性：lim[?(x。+△x)-?(x。)]=lim△y=0 △x→0+ △x→0+ 分段函數(shù)是刻畫(huà)左右連續(xù)的最好例證 例2 設(shè) ?sin2x,??xf(x)??2?3x?2x?k,??limx?0，x?0,問(wèn)k為何值時(shí)，?(x)在其定義域內(nèi)事連續(xù)的？ 解：當(dāng)x。?0時(shí)，x?x。?(x)= ?(x。)，所以，在x?0處，?(x)是連續(xù)的。當(dāng)x?0時(shí)，由于?(0)=k；且 lim?lim ?(x)= x?0?x?0limx?0?f(x)?limx?0?(3xsin2xx2?2; ?2x?k)?k，所以，令k=2, 則?(x)在x?0處連續(xù)。 （三）、間斷點(diǎn)及其分類(lèi) 1、函數(shù)?(x)在x。間斷，必出現(xiàn)如下三種情形之一； （1）?(x)在x。點(diǎn)無(wú)定義（2）lim?(x)不存在 x→x。 （3）?(x)在x。點(diǎn)有定義，且lim?(x)存在，但lim?(x)≠?(x。)x→x。x→x。 2、間斷點(diǎn)分兩類(lèi) （1）第一類(lèi)間斷點(diǎn);函數(shù)在該點(diǎn)處的左、右極限都存在 ①可去間斷點(diǎn)，lim?(x)存在，但?(x)在x。點(diǎn)間斷 x→x。 ②跳躍間斷點(diǎn)，?(x)在x。點(diǎn)的左右側(cè)極限存在，但lim?(x)≠lim?(x)x→x+。x→x-。 (2)第二類(lèi)間斷點(diǎn)；函數(shù)?在點(diǎn)x。的左右極限至少有一個(gè)不存在 ①振動(dòng)間斷點(diǎn)，如y=sin(x=0)②無(wú)窮間斷點(diǎn)，如?(x)= xsinx1x （x/sinx）(x=n?)下面我們看一下關(guān)于這些的例題 ??0,?f(x)??3x?1,?2x?3,??x?0,0?x?2, x?2,例3 設(shè)函數(shù)求?(x)的間斷點(diǎn)和連續(xù)區(qū)間。 解：該分段函數(shù)在區(qū)間（-∞，0），（0，2）,(2,+∞)內(nèi)分別都是多項(xiàng)式函數(shù)，因此，如果該函數(shù)有間斷點(diǎn)，其間斷點(diǎn)只可能是分段點(diǎn)x=0,x=2.由于?(0)=1, ?(2)=7, 且lim?(x)=lim 0=0, lim?(x)=lim(3x+1)=1, x→0-x→0-x→0+ x→0+ lim?(x)=lim(3x+1)=7, lim?(x)=lim(x?3)=7 x→2-x→2-x→2+ x→2+ 所以，x= 0是?(x)的跳躍間斷點(diǎn)，x=2是?(x)的連續(xù)點(diǎn)，其連續(xù)區(qū)間是（-∞，0）和(0,+∞)例4 求函數(shù)?(x)=sinxsin 1x2的簡(jiǎn)斷點(diǎn)，并說(shuō)明這些間斷點(diǎn)是哪類(lèi)間斷點(diǎn)。若是可 去間斷點(diǎn)，則補(bǔ)充定義，使函數(shù)連續(xù)。 解：因?yàn)?(x)在x=0處沒(méi)有定義，所以x=0是?(x)的間斷點(diǎn)。因?yàn)閘im sinxsin x→0 所以x=0是?(x)的可去間斷點(diǎn)，補(bǔ)充定義?(0)=0，即令 ?1??sinxsin,(x)=?x??0,x?0,x?0,1x=0 則?(x)在x=0處連續(xù)。 數(shù)學(xué)分析名師導(dǎo)學(xué)（上冊(cè)）《大學(xué)數(shù)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)叢書(shū)》編寫(xiě)組 編 本冊(cè)編寫(xiě) 楊萬(wàn)利 中國(guó)水利水電出版社 2005 P102～105 定理5.?(x)在x。處連續(xù)的充分必要條件為?(x)即為左連續(xù)，又為右連續(xù) 定義6.（函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)）函數(shù)?(x)在[a,b]上連續(xù)是指：對(duì)任意x。?(a,b), ?(x)在x。處連續(xù)，且?(x)在 a處右連續(xù)，在b處左連續(xù)。 性質(zhì)8.若?(x)，g(x)在x。處連續(xù)且?(x。)>g(x。)，則在x。的領(lǐng)域U，使?(x)﹥g(x)，x?U 性質(zhì)9.連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）仍然連續(xù) sinx例5 證明?(x)=｛x,x?0x?0 在x=0處連續(xù)。 cosx,證 首先，?(0)=cos0=1.當(dāng)x>0時(shí)，?(x)= sinxx?1(x?0) ?5 又當(dāng)x﹤0時(shí)，x2?x2?0?(x?0)︳?(x)-1︳=︳cosx-1︳=2sin故知lim?(x)=1 x→x-。 222從而，?(x)既為左連續(xù)又為右連續(xù)，即?(x)在0處連續(xù)。 數(shù)學(xué)分析 龔懷云主編 劉躍武 陳紅斌 向淑晃 西安交通大學(xué)出版社 2000 P52～53 二、二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)連續(xù)的定義：若f(M)在M。有定義，lim?(M)存在，且二者相等，即 M→M。 limf(M)=f(M。) M→M。 時(shí)，則稱(chēng)f(M)在點(diǎn)M。連續(xù)。 二元函數(shù)f(M)在點(diǎn)M。連續(xù)的“ε-δ”定義可敘述為： 任意的ε>0，存在δ>0時(shí)，r(M,M。)<δ時(shí),有 |f(M)-f(M。)|<ε.(一)、若二元函數(shù)?(x，y)定義在點(diǎn)集點(diǎn)集D上，點(diǎn)P（a,b)∈D,并且并且P(a,b)是是D的聚點(diǎn)，若 limx?ay?bf(x,y)?f(a,b) 則稱(chēng)二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(a,b)連續(xù)。 二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(a,b)連續(xù)的“ε-δ”定義可敘述為：limx?ay?bf(x,y)?f(a,b) 當(dāng)且僅當(dāng)任意的ε>0，存在δ>0時(shí)，使得任意的（x,y)∈D:|x-a|<δ, |y-b|<δ,恒有 |f(x,y)-f(a,b)|<ε.f(a,y)在y=b處連續(xù)，f(x,b)在x=a處連續(xù)。 （二）、若點(diǎn)集點(diǎn)集D的任意點(diǎn)都是D的聚點(diǎn)，并且 二元函數(shù)f(x,y)在任意一點(diǎn)一點(diǎn)P(x,y)∈D都連續(xù)，則稱(chēng)f(x.y)在D連續(xù).(2)若二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(a,b)不連續(xù)，則稱(chēng)點(diǎn)P(a,b)是二元函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)。 例6 設(shè)函數(shù)f(x,y)在域D內(nèi)對(duì)變量x是連續(xù)的，并對(duì)變量y滿(mǎn)足李卜希茲條件，即任意的(x,y'),(x,y“)?D，有f(x,y')?f(x,y”)?Ly'?y“,其中其中L是常數(shù)。證明：f(x,y)在D上連續(xù)。證明：任意的(x。，y。)?D，由于f(x,y)對(duì)x連續(xù)，則f(x,y)在x。連續(xù)，任意的ε>0，存在?1(x。，y。)>0，使得當(dāng)|x-a|<δ1時(shí)，有|f(x,y)-f(x。,y。)|<ε/2.取?2??/(2L)?0,則當(dāng)y?y。??時(shí)，由條件有 f(x,y)?f(x,y。)?Ly?y。?L?/(2L)??/2。故取??min??1,?2?，則當(dāng)x?x。??, y?y。??，且U((x。,y。),?)?D時(shí)，有，f(x,y)?f(x。,y。)?f(x,y)?f(x,y。)?f(x,y。)?f(x。,y。）??/2??/2??即知f(x,y)在點(diǎn)(x。，y。由(x。，y。)連續(xù)，)的任意性知，f(x,y)在D上連續(xù)。三、二元連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算定理和復(fù)合運(yùn)算定理與一元函數(shù)的情形基本相似。 （一）若二元函數(shù)f(x,y)與g(x,y)在點(diǎn)P(a,b)處都是連續(xù)的，則二元函數(shù)f(x,y)?g(x,y),f(x,y)?g(x,y),f(x,y)g(x,y)(g(x,y)?0)在點(diǎn)點(diǎn)P(a,b)也都連續(xù)。 （二）若二元函數(shù)u??(x,y),v??(x,y)在點(diǎn)點(diǎn)P(a,b)連續(xù)，并且二元函數(shù)f(u,v)在點(diǎn)(?,?)?(?(a,b),?(a,b))連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)f(?(x,y),?(x,y))在點(diǎn)連續(xù)P(a,b)連續(xù).二元連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)仍是連續(xù)的二元函數(shù)。若一元函數(shù)z?f(x)在區(qū)間(a,b)連續(xù)，將它看作是二元函數(shù)函數(shù)z?f(x)在區(qū)域D??(x,y)x?(a,b),y?R?也是連z?f(x,y)?f(x)時(shí)，續(xù)的。 數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）主編 朱培勇 黃家琳 副主編 張利平唐再良 陳順清 曾意 王良成 四川大學(xué)出版社 2002、8 P53∽P54 四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。 函數(shù)?(x)在x= x。處連續(xù)，僅僅是函數(shù)?(x)在x= x。處可導(dǎo)彈必要條件，而不是充分條件。 ?(x。+△x)-?(x。)lim△y= lim[?(x。+△x)-?(x。)]= lim——————————· △x △x→0 △x→0 △x→0 △x = ?′(x。)·0=0 所以?(x)在x。處可導(dǎo)。 單側(cè)倒數(shù) 由于倒數(shù)的定義是借助于極限來(lái)給出的，則由單側(cè)極限的概念出發(fā) lim?、??x)?f(x。)?f(x。?f（x。)?，右導(dǎo)數(shù)，?x?0?x??? ?lim?、??x)?f(x。)?f(x。f（x。）?,左導(dǎo)數(shù)。??x?0??x??、、、f(x。)存在?f（x。）?f（x。） ??分段函數(shù)是解釋、處理單側(cè)倒數(shù)的較好模型。 函數(shù)?(x)在點(diǎn)x。可導(dǎo)，則?(x)在x。點(diǎn)連續(xù)，一般有、f（x。）存在??f、(x。)存在???(x)在點(diǎn)x。點(diǎn)右連續(xù) ?(x)在x。點(diǎn)左連續(xù) 稱(chēng)?(x)在[a,b]上可導(dǎo)，是指?x?！剩╝,b），?(x)在x。可導(dǎo)，且x。=a或b時(shí)，?(x)在x。的右、左導(dǎo)數(shù)存在。 例6 討論分段函數(shù)? ??x,x?0;(x)=︱x︱=?在分界點(diǎn)x= 0 ?x,x?0.?處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。 解：先討論?(x)在x= 0處的連續(xù)性，由于 左極限：lim?(x)=lim(-x)=0=右極限：lim?(x)=lim(+x)，x→0-x→0-x→0+ x→0+ 所以，極限值lim?(x)==0=函數(shù)值?(0)，因此分段函數(shù)?(x)=︱x︱在 x→0 分段點(diǎn)x= 0處是連續(xù)的。 再討論?(x)在x= 0處的可導(dǎo)性，在x。=0處左極限值 limlim、f(0??x)?f(0)???(0??x)?0??1 f（x。)???x?0?x?0??x?x在x。=0處右極限值 limlim、f(0??x)?f(0)??(0??x)?0?1 f（x。)???x?0?x?0??x?x分段函數(shù)?(x)=︱x︱在分段點(diǎn)x= 0處是不可導(dǎo)的 所以，可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。 數(shù)學(xué)分析名師導(dǎo)學(xué)（上冊(cè)）《大學(xué)數(shù)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)叢書(shū)》編寫(xiě)組 編 本冊(cè)編寫(xiě) 楊萬(wàn)利 中國(guó)水利水電出版社 2005 P129～130 P132 五、可微、偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)之間的關(guān)系 偏導(dǎo)數(shù)的定義： 設(shè)函數(shù)f(x,y)定義在D上，若(x。，y。)?D，且f(x,y)在x。的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，則稱(chēng)極限(x。，y。)關(guān)于x lim?x?0f(x。??x,y。)?f(x。,y。)?x(x。,y。)或x為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù)，記作f?f?x.x?x。類(lèi)似地，定義極限 lim?y?0f(x。,y。??y)?f(x。,y。)?y 為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x。，y。)關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù).若函數(shù)f(x,y)在D上每一點(diǎn)(x，y)都存在關(guān)于x(或y)的偏導(dǎo)函數(shù)，記作 fx(x,y),fy(x,y);?f?x?y,?f;簡(jiǎn)記為fx,z.x9 設(shè)u?但fxf(x,y),fx(x,y)存在?f(x,y)在（x,y)點(diǎn)關(guān)于x連續(xù) 點(diǎn)關(guān)于(x，y)連續(xù)。(x,y),fy(x,y)都存在，不能推出f(x,y)在(x，y)22例7 ?xy?2?x?yf(x,y)????0,?,2x?y?0 x?y22?0?x?0limf(0??x,0)?f(0,0)?x?0?0?0解：fx(0,0)?lim?y?0?x?y?lim?x?0?x2?x.fy(0,0)?'xf(0,?y?0)?f(0,0)'y2?0.?f(0,0)?f(0,0)?0 y2y12limf(x,y)?limx?yy?0y?0?2 limf(x,y)x?0y?0不存在 所以f(x,y)在o(0,0)不連續(xù).函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P。（x。,y。)連續(xù)，則z=f(x,y)在點(diǎn)P。（x。,y。)的偏導(dǎo)數(shù)不一定存在。反之，函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P。（x。,y。)的偏導(dǎo)數(shù)存在也不能確定函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P。（x。,y。)連續(xù)。 對(duì)于二元函數(shù)來(lái)說(shuō)，偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù)，而連續(xù)函數(shù)也不一定有偏導(dǎo)數(shù)，這與一元函數(shù)的情形（可導(dǎo)必連續(xù)）有些不同。 函數(shù)在一點(diǎn)可微，則在該點(diǎn)也一定存在偏導(dǎo)數(shù)?？晌⒈剡B續(xù)，連續(xù)不一定可微。10 定理 若fx(x,y)及fy(x,y)在點(diǎn)(x,y及其某一領(lǐng)域內(nèi)存在，且在這一點(diǎn)他們連續(xù)，則函數(shù)在z?f(x,y)該點(diǎn)可微。 若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P。（x。,y。)可微，則f(x,y)在點(diǎn)（x。,y。)的偏導(dǎo)數(shù)必存在，因?yàn)閒(x,y)在點(diǎn)（x。,y。)偏導(dǎo)數(shù)存在是f(x,y)在點(diǎn)P。（x。,y。)可微的必要條件，且df(x。,y。)?fx(x。,y。)dx?fy(x。,y。)dy.但反過(guò)來(lái)不一定成立。 若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P。（x。,y。)的某領(lǐng)域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)存在，且導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)P。（x。,y。)連續(xù)，則哈、函數(shù)在點(diǎn)P。（x。,y。)可微。但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)P。（x。,y。)連續(xù)不是函數(shù)可微的必要條件。 二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)（x。,y。)的可微、連續(xù)、極限與偏導(dǎo)數(shù)存在之間有如下關(guān)系： ?偏導(dǎo)數(shù)存在???極限存在?連續(xù)? 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)? 可微 函數(shù)在一點(diǎn)可微，則在該點(diǎn)也一定存在偏導(dǎo)數(shù)。二元函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)函數(shù)仍可能可微。偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分條件，而不是充要條件。?????f(x,y)????0,???(x22?y)sinx12?y2,x2?y2?0,例8 x2?y2?0,討論f(x,y)在點(diǎn)（0,0)：（1）偏導(dǎo)數(shù)是否存在；（2）偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)；（3）是否可微。解：（1）由定義知 f(0,0)?limx?0limy?0f(x,0)?f(0,0)x?limx?02limy?011 xsin(1x)x2?0,22x ?0,fy(0,0)?f(0,y)?f(0,0)yysin(1y)y? 所以f(x,y)在點(diǎn)（0,0）偏導(dǎo)數(shù)存在。 （2）因?yàn)楫?dāng)x?y?0時(shí)，f(x,y)偏導(dǎo)數(shù)存在，故 ????1?2x?sin2???f?x?y?????x???0,??????1?2y?sin2???f?x?y?????y???0,????1?,x2??y??222?21x2cos22?y2?0,?yx2 x?y2?0,?21x2cos2?yx2??1?,x2??y??22?y2?0，x?y2?0,lim?f?xlim?f?y而x?0y?0與x?0y?0不存在，故偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)（0，0）不連續(xù)。 22??1,（3）?z??(?x)?(?y)?sin22??(?x)?(?y)??z??flim???0(0,0)?x?fx2?(0,0)?y?y?2?lim??0?sin1?0，2(?x)?(?y)?所以f(x,y)在點(diǎn)（0,0）可微，且全微分dz=0.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）主編 朱培勇 黃家琳 副主編 張利平唐再良 陳順清 曾意 王良成 四川大學(xué)出版社 2002、8 P57∽P59，P63∽P65 數(shù)學(xué)分析 內(nèi)容、方法與技巧(下)孫清華 孫昊 華中科技大學(xué)出版社 2003、11 P259∽264 六、可積與連續(xù)的之間內(nèi)的關(guān)系 定理1.1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上一定存在可導(dǎo)函數(shù)F(x),使對(duì)任一x?I,都有F'(x)?f(x).即連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)。 定積分存在的第二充要條件可以證明若有界函數(shù)f(x)在[a,b] 內(nèi)具有無(wú)窮多個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，但這些不連續(xù)點(diǎn)存在一個(gè)極限點(diǎn)，那么f(x)在[a,b]上可積。（1）[a,b]上的連續(xù)函數(shù)在[a,b]上必可積。 證明：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必定是一致連續(xù)的，所以對(duì)任意的ε>0，存在δ>0，對(duì)于[a,b]上任意兩點(diǎn)x',x”,只要x'?x“??,就有f(x')?f(x”)?一分法a?x。?x?x????x12n?1?b?a。只要對(duì)[a,b]的任,在每一個(gè)部分區(qū) ?xnmax???b滿(mǎn)足????x???ii??間?x??,x?(i?1,2,3,??,n)上?i??i?1n?i?b?a。所以s?s????xi?1i?i?b?a(b?a)??這就證明了連續(xù)函數(shù)一定可積。 （2）只有有限個(gè)第一類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)點(diǎn)函數(shù)是可積的，即分段連續(xù)函數(shù)是可積的。 定理 1、（積分第一中值定理）若f(x)在[a,b]上連續(xù)，g(x)在[a,b]上不變號(hào)，且在[a,b]上可積，則在[a,b]中存在一點(diǎn)?，使 baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx。 ab定理 2、設(shè)f(x)在[a,b]上可積，作函數(shù)F(x)??xa則F(x)是[a,b]上的f(t)dt(a?x?b)，連續(xù)函數(shù)。 證明：設(shè)x是[a,b]上任一點(diǎn)，由于f(x)在[a,b]上可積，所以f(x)有界，設(shè)f(x)?M(M為常數(shù)），于是 F(x??x)?F(x)?x??xxx??xx??x?af(t)dt??af(t)dt??xf(t)dt??xf(t)dt?M?x，從而當(dāng)?x?0時(shí)，F(xiàn)(x??x)?F(x)?0，這就證明了F(x)的連續(xù)性。 例9 設(shè)f(x)在[a,b]連續(xù)，f(x)f(x)?0,f(x)不恒為零，求證：?f(x)dx?0。 ab?[a,b], 證明：?f(x)?0,f(x)不恒為零，??x。?f(x)在x。點(diǎn)連續(xù)，s.tf(x)?0,12?對(duì)?。?f(x。),???0。 當(dāng)x?[x。??,x。??]時(shí)，有f(x)?f(x。)??。??f(x)?于是12f(x。)，12bf(x。)f(x)dx??a?x。??af(x)dx??x。??x。??f(x)dx??bx。??f(x)dx?0??x。??x??f(x)dx??x。??12x。??f(x。)dx?f(x。)?當(dāng)x。?a時(shí)，閉區(qū)間[a,a??].當(dāng)x。?b時(shí)，閉區(qū)間[b??,b].結(jié)論成立 注；去掉連續(xù)性，結(jié)論未必成立。定理1 若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)G(x)?G'(x)?f(x)。 ?xaf(t)dt必在[a,b]上可導(dǎo)，且基本公式 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)，即F'(x)?f(x)，那么?f(x)dx?F(b)?F(a)。 ab定理2 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，作代換x??(t),其中?(t)在閉區(qū)間[α,β]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)?'(t),當(dāng)??t??時(shí)，a??(t)?b,且?(?)?a,?(?)?b，則?f(x)dx?ab???f[?(t)]?'(t)dt。 定理12.1.1 若函數(shù) f(x,y)在有界閉區(qū)域D連續(xù)，則f(x,y)在D可積（即f(x,y)在D內(nèi)二重積分存在）。 定理12.1.9 若函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D連續(xù)，則至少存在一點(diǎn) （?，?）?D，使得??Df(x,y)d??f(?,?)D,其中，D是區(qū)域D的面積。 定理12.2.1若f(x,y)在D=[a,b]x[c,d]連續(xù)，則 ??Df(x,y)dxdy???badx?f(x,y)dy。 cd若f(x,y)在D=[a,b]x[c,d]連續(xù)，則 ??Df(x,y)dxdy?dcdy?f(x,y)dx。 ab 這個(gè)定理證明；二重積分可化成兩個(gè)定積分來(lái)進(jìn)行計(jì)算。 ??定理12.2.2 若f(x,y)在D??(x,y)y(x)?y?y(x),a?x?b?12??y(x),y(x)在[a,b]連續(xù)，則 12連 ??Df(x,y)dxdy??badx?y(x)2y(x)1f(x,y)dy。形如D的區(qū)域稱(chēng)為x形區(qū)域。 ??若f(x,y)在D??(x,y)x(x)?x?x(x),c?y?d?連?12? x(x),x(x)在[c,d]連續(xù)，則??f(x,y)dxdy?12D?dcdy?x(x)2f(x,y)dxx(x)1。形如D的區(qū)域稱(chēng)為x形區(qū)域。 數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）主編 朱培勇 黃家琳 副主編 張利平唐再良 陳順清 曾意 王良成 四川大學(xué)出版社 2002、8 P105∽P108 數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）第三版 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系 歐陽(yáng)光中 朱學(xué)炎 金福臨 陳傳璋編 高等教育出版社 2007、4 P296 P303∽P304 P306∽P307 P312∽P313 總結(jié) 綜上所述，一元函數(shù)的連續(xù)性與二元函數(shù)的連續(xù)性雖有相同，但也有不同，二者相比可知，一元函數(shù)連續(xù)與極限、導(dǎo)數(shù)和微分都有一定的聯(lián)系，二元函數(shù)與之也有些聯(lián)系，從定義出發(fā)，若無(wú)極限就沒(méi)有函數(shù)的連續(xù)，也無(wú)導(dǎo)數(shù)、微分，從定理、性質(zhì)來(lái)看，沒(méi)有函數(shù)的連續(xù)也就沒(méi)有導(dǎo)數(shù)微分的存在，與一元函數(shù)不同的是二元函數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)不一定存在，偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù)，相同的也有連續(xù)可積，可積不一定連續(xù)。關(guān)于極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則以及連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則，二元函數(shù)與一元函數(shù)的情形是完全相似的，并且其證明也大體相同，只要把一元函數(shù)中的0?x?x。??改為M。點(diǎn)的圓領(lǐng)域或正方形領(lǐng)域即可。又由連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)的連續(xù)性也可找到多元函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)。二重積分和定積分一樣，在一定區(qū)域連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)域就可積。但也有不同，定積分中積分區(qū)域是數(shù)軸上的區(qū)間，被積函數(shù)是一元函數(shù)，而二重積分中的積分區(qū)域是平面區(qū)域，被積函數(shù)是二元函數(shù)。 參考文獻(xiàn) [1] 數(shù)學(xué)分析習(xí)題集解，吉米多維奇原著，費(fèi)定暉等編著，山東大學(xué)出版社，2005.[2] 論如何加強(qiáng)數(shù)學(xué)人才在求職中的優(yōu)勢(shì)，楊漢春，張 慶，高等理科教育，No.4（2003）：22－26.[1]數(shù)學(xué)分析名師導(dǎo)學(xué)（上）《大學(xué)數(shù)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)叢書(shū)》編寫(xiě)組 編 本冊(cè)編寫(xiě) 楊萬(wàn)利 中國(guó)水利水電出版社 2005 [2] 數(shù)學(xué)分析 龔懷云主編 劉躍武 陳紅斌 向淑晃 西安交通大學(xué)出版社 2000 [3]高等數(shù)學(xué)（全一冊(cè)）高等數(shù)學(xué)練習(xí)冊(cè)（全一冊(cè)）教育部普通高等學(xué)校少數(shù)民族預(yù)科教材編寫(xiě)委員會(huì) 編 國(guó)家行政學(xué)院出版社 紅旗出版社 [4]數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）主編 朱培勇 黃家琳 副主編 張利平唐再良 陳順清 曾意 王良成 四川大學(xué)出版社 2002、8 P53∽P54 [5]數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）主編 朱培勇 黃家琳 副主編 張利平唐再良 陳順清 曾意 王良成 四川大學(xué)出版社 2002、8 P57∽P59，P63∽P65 [6]數(shù)學(xué)分析 內(nèi)容、方法與技巧(下)孫清華 孫昊 華中科技大學(xué)出版社 2003、11 P259∽264 [7]數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）主編 朱培勇 黃家琳 副主編 張利平唐再良 陳順清 曾意 王良成 四川大學(xué)出版社 2002、8 P105∽P108 [8]數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）第三版 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系 歐陽(yáng)光中 朱學(xué)炎 金福臨 陳傳璋編 高等教育出版社 2007、4 P296 P303∽P304 P306∽P307 P312∽P313 360《數(shù)學(xué)分析》考試大綱 一． 考試要求：掌握函數(shù)，極限，微分，積分與級(jí)數(shù)等內(nèi)容。 二． 考試內(nèi)容： 第一篇 函數(shù) 一元與多元函數(shù)的概念，性質(zhì)，若干特殊函數(shù)，連續(xù)性。第二篇 極限 數(shù)列極限，一元與多元函數(shù)極限的概念及其性質(zhì)，實(shí)數(shù)的連續(xù)性（確界原理，單調(diào)有界原理，區(qū)間套定理，聚點(diǎn)定理，有限覆蓋定理等）。 第三篇 微分 一元與多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）與微分的概念，性質(zhì)，公式，法則及應(yīng)用；函數(shù)的單調(diào)性與凸性，極值與拐點(diǎn)，漸進(jìn)線，函數(shù)作圖；隱函數(shù)。 第三篇 積分 不定積分的概念，性質(zhì)，公式，法則；定積分的概念，性質(zhì)，公式，法則及應(yīng)用；反常積分與含參積分；重積分與曲線曲面積分。第四篇 級(jí)數(shù) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)與傅立葉級(jí)數(shù)的概念，性質(zhì)，公式，法則及應(yīng)用。 參考書(shū)目：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（上，下，第三版），高等教育出版社，2001年。第五篇：數(shù)學(xué)分析
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