第一篇：高等數(shù)學(xué)上冊(cè)總結(jié)

《工程應(yīng)用數(shù)學(xué)A》課程總結(jié)

無論我們做什么事都要不斷地思考，不斷地總結(jié)，學(xué)習(xí)也是這樣，所以這次就借此機(jī)會(huì)對(duì)于這一學(xué)期所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行一次總結(jié)，也算是對(duì)自我的一次思考。

一、課程主要知識(shí)

本課程主要以函數(shù)為起始，然后引出極限的定義以及極限的應(yīng)用。然后以極限為基礎(chǔ)介紹導(dǎo)數(shù)，微分。在微分中主要講了一些求微分的定理，例如拉格朗日中值定理，柯西中值定理等等。其次講了函數(shù)微積分，重點(diǎn)講了一些求積分的方法，例如換元積分法，分部積分法。最后學(xué)習(xí)微分方程，這一塊可以說是比較難的一章，什么一階微分方程，二階微分方程，二階常系數(shù)齊次線性微分方程等等，計(jì)算量也比較大。所以總的來說全書的知識(shí)點(diǎn)都是相連起來的。后面知識(shí)總是以前面所學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)，一層一層展開的。

二、個(gè)人學(xué)習(xí)心得體會(huì)

其實(shí)不瞞老師，我高中的時(shí)候數(shù)學(xué)不是太好，平時(shí)考試數(shù)學(xué)有就有點(diǎn)拖后腿，而且我高考數(shù)學(xué)只考了70多分。有一天老師說，高考沒及格的同學(xué)數(shù)學(xué)一定要好好學(xué)，否則極有可能掛科。當(dāng)時(shí)，我還不相信，至少認(rèn)為這種事不會(huì)發(fā)生在我身上。自己平時(shí)在數(shù)學(xué)上多少也花了點(diǎn)功夫?？梢哉f做的準(zhǔn)備工作比高中還多?；旧显诿看紊险n前

都能預(yù)習(xí)，課上也認(rèn)真聽，而且課也差不多都能聽懂，作業(yè)也都是自己獨(dú)立完成的。我想及格應(yīng)該不是問題，但后來的第一次過程考核，我才發(fā)現(xiàn)差距在哪，題目基本上不怎么會(huì)寫，而且后來成績(jī)出來，剛好考了60分。當(dāng)時(shí)心就碎了。感覺落差好大。于是感嘆“高樹”太高了！我想是不是我題目做少了，難道說大學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)也要用題海戰(zhàn)術(shù)嗎？可是我看班里有些同學(xué)平時(shí)上課也不聽，作業(yè)基本靠抄，有事沒事就拿著手機(jī)看電子書，但是考試卻比我高，我就很郁悶，難道是他們比我聰明還是他們另有技巧？

經(jīng)過一段時(shí)間的學(xué)習(xí)之后，我發(fā)現(xiàn)課前預(yù)習(xí)很重要。課前預(yù)習(xí)能夠讓你上課更有效率，也不會(huì)那么累。老師上課在黑板上的板書很多都是書上的。如果你課前預(yù)習(xí)了，就會(huì)知道老師說的在哪，書上有沒有，記筆記的時(shí)候就可以抓住重點(diǎn)。不用完整地抄下來。但是你不預(yù)習(xí)的話，因?yàn)椴恢罆嫌袥]有或是哪里是重點(diǎn)就得全部抄下來，很浪費(fèi)時(shí)間，這樣一來一節(jié)課就全部用在記筆記上了，根本沒什么時(shí)間去聽課，上課也就不會(huì)有效率。所以課前預(yù)習(xí)很重要。其次必要的練習(xí)也不可缺少。比如說上課老師說的定理不太懂，這時(shí)候就需要用練習(xí)來加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的理解。

三、本課程對(duì)個(gè)人的影響

高等數(shù)學(xué)在整個(gè)大學(xué)的學(xué)習(xí)過程中占有一定的重要地位，它不僅對(duì)以后將會(huì)學(xué)到的線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)有影響，而且還是考研必考的科目。對(duì)于我們網(wǎng)絡(luò)工程專業(yè)準(zhǔn)備考研的同學(xué)來說，這絕對(duì)是一個(gè)重

頭戲。對(duì)于不準(zhǔn)備考研的同學(xué)來說，也有一定的影響，它可以培養(yǎng)我們的邏輯思維能力、計(jì)算能力，使我們的思維更縝密。數(shù)學(xué)是科學(xué)之母，任何學(xué)科的發(fā)展都離不開它。所以高數(shù)一定要學(xué)好。

四、總結(jié)

學(xué)習(xí)如逆水行舟不進(jìn)則退，對(duì)于高數(shù)這門課程尤其是這樣。因?yàn)橹灰阋还?jié)課沒跟上就會(huì)步步跟不上，所以高數(shù)的學(xué)習(xí)不能放松，必須抓緊。相信我能學(xué)好！一定可以的！

第二篇：高等數(shù)學(xué)上冊(cè)

《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)

一、函數(shù)與極限

1.函數(shù)基本概念—了解

1． 集合及集合的運(yùn)算

2． 數(shù)軸、無窮大和無窮小的幾何表示、區(qū)間 3． 常量和變量

4． 函數(shù)的定義和函數(shù)的表達(dá)方式 5． 函數(shù)的定義域和函數(shù)的計(jì)算 6． 基本初等函數(shù)

7． 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù) 8． 分段函數(shù)

2.函數(shù)的極限及運(yùn)算法則—理解極限的含義，會(huì)計(jì)算求極限的題目；涉及范圍較廣，高等數(shù)學(xué)上冊(cè)下冊(cè)均有求極限的題目，極限的方法是研究函數(shù)的工具。（不會(huì)涉及證明用極限定義證明極限的題目）

1． 數(shù)列及數(shù)列極限 2． 函數(shù)的極限

3． 無窮大和無窮小的極限表示

4． 無窮大和無窮小的關(guān)系及無窮小的性質(zhì)（運(yùn)算注意前提條件有限個(gè)和無限個(gè)的區(qū)別）5． 極限的有界性定理及應(yīng)用

6． 復(fù)合函數(shù)求極限（變量代換的方法）

3.兩個(gè)重要極限（兩個(gè)極限的運(yùn)算法則的條件、推廣和應(yīng)用）

1． 第一個(gè)重要極限

2． 第一個(gè)重要極限的應(yīng)用 3． 第二個(gè)重要極限

4． 第二個(gè)重要極限的應(yīng)用（注意：?jiǎn)握{(diào) 且有界是證明題的關(guān)鍵部分）4.無窮小的比較

等價(jià)無窮小及其應(yīng)用

重要部分！5.函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn)

1． 增量

2． 函數(shù)連續(xù)的兩個(gè)定義 3． 左連續(xù)和右連續(xù)

4． 函數(shù)的間斷點(diǎn)分類（重要，出小題）

5． 連續(xù)函數(shù)四則運(yùn)算的連續(xù)性（運(yùn)算法則的條件、推廣和應(yīng)用）6． 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

7． 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，重要，但一般不單獨(dú)出題）一致連續(xù)性不用看 練習(xí)題一

2.導(dǎo)數(shù)與微分（重要,小題必考章節(jié)?。?.導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則

1． 導(dǎo)數(shù)的定義（重要），2． 導(dǎo)數(shù)的幾何意義（理解；其中數(shù)一數(shù)二導(dǎo)數(shù)的物理意義；數(shù)三，經(jīng)濟(jì)意義、邊際函數(shù)、彈性函數(shù)）

3． 函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系（必需的?。?． 求導(dǎo)公式表（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>

5． 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算（必需的，熟悉到1+1=2?。?.不同類型函數(shù)的求導(dǎo)法則及高階導(dǎo)數(shù)

1． 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（必需的，熟悉到1+1=2！）2． 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>

3． 參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則（小題，理解！多元隱函數(shù)的求導(dǎo)）4． 高階導(dǎo)數(shù)（重要）

3.函數(shù)的微分及應(yīng)用（理解，重要同導(dǎo)數(shù)必考，小題）

1． 微分的定義

2． 微分的幾何意義

3． 微分的基本公式和運(yùn)算法則 4． 復(fù)合函數(shù)的微分公式

5． 利用微分進(jìn)行近似計(jì)算（除去不用看）練習(xí)題二

3.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（考大題 難題，重要章節(jié)?。?/p>

1.中值定理和洛必達(dá)法則（中值定理包括費(fèi)馬定理的應(yīng)用及相關(guān)的證明題，必須會(huì)做證明題?。?/p>

1． 羅爾定理及幾何意義

2． 拉格郎日中值定理及幾何意義

3． 利用拉格郎日中值定理證明不等式

4． 洛必達(dá)法則（必考;泰勒公式及其應(yīng)用，參照張宇的老師的導(dǎo)學(xué)或視頻）2.函數(shù)的極值和最值（考小題，單調(diào)性及極值點(diǎn)、最大值最小值）

1． 函數(shù)的單調(diào)性及判斷 2． 函數(shù)的極值 3． 函數(shù)的最值

3.曲線的凸凹性，拐點(diǎn)及函數(shù)作圖（考小題，單調(diào)性及極值點(diǎn)、凹凸性及拐點(diǎn)、漸近線的定義理解）

1． 曲線的凸凹性及判斷 2． 曲線的拐點(diǎn) 3.曲線的漸近線

4.函數(shù)作圖（會(huì)大致描繪圖形幫助做題）5.曲率

（了解即可）練習(xí)題三

4.不定積分（重要！運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí)。與數(shù)

一、數(shù)三相比，數(shù)二有可能大題。）

1.不定積分的概念和基本公式

1． 原函數(shù)與不定積分（理解原函數(shù)）

2． 不定積分的定義（必需的，熟悉到1+1=2?。?． 不定積分的性質(zhì)（必需的，熟悉到1+1=2?。?． 基本積分表（必需的，熟悉到1+1=2！）5． 直接積分法（必需的，熟悉到1+1=2?。?.換元積分法

1． 換元積分法的引入

2． 第一類換元法（必需的，熟悉到1+1=2！）

3． 第一類換元法的應(yīng)用（必需的，熟悉到1+1=2?。?． 第二類換元法（必需的，熟悉到1+1=2！）

5． 第二類換元法的應(yīng)用（必需的，熟悉到1+1=2！）3.分部積分法和不定積分技巧的綜合應(yīng)用

1． 分部積分法（必需的，熟悉到1+1=2！）

2． 被積函數(shù)和積分變量的選?。ū匦璧模煜さ?+1=2?。?/p>

3.有理函數(shù)的積分（重要，常見的一些題型，基本的運(yùn)算方法的綜合利用）4.綜合題舉例（積分表不必看）

5.定積分（重要！非常重要，是多元函數(shù)的二重積分，三重積分，線面積分的基礎(chǔ)）1.定積分的定義和基本運(yùn)算

1． 定積分的定義（理解?。?/p>

2． 定積分的性質(zhì)

3． 變上限的積分函數(shù)（理解?。?/p>

4． 牛頓—萊布尼茲公式 各種題型的必需的，熟悉到1+1=2！

2.定積分的換元法和分部積分法

若不定積分學(xué)好，這一部分涉及的計(jì)算應(yīng)該1． 定積分的換元法 很簡(jiǎn)單！2． 定積分的分部積分法

3． 利用方程和數(shù)列求定積分

常見的各種類型的題目一定要熟悉，再熟悉，3.廣義積分（理解！考小題）再再熟悉，怎么熟悉都不為過！

1． 積分區(qū)間為無窮區(qū)間的廣義積分 一元函數(shù)的極限，導(dǎo)數(shù)，微分，不定積分，定2． 被積函數(shù)有無窮間斷點(diǎn)的廣義積分（Г積分這是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，根本所在；然后多函數(shù)不用看）元函數(shù)（二元函數(shù)）的類似運(yùn)算，只要把定義4.定積分的運(yùn)用（會(huì)應(yīng)用）相關(guān)推理過程理解了，則 自然會(huì)有 水到渠成1． 定積分的元素法 效果，難點(diǎn)不再難點(diǎn)！2． 利用定積分求平面圖形面積

3． 利用定積分求體積（數(shù)三只看旋轉(zhuǎn)體 體積）

4.曲線的弧長(zhǎng)（數(shù)

一、數(shù)二公式記住，數(shù) 三不考）

第三篇：高等數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)

第一章復(fù)習(xí)提要 第一節(jié) 映射與函數(shù)

1、注意幾個(gè)特殊函數(shù)：符號(hào)函數(shù)，取整函數(shù)，狄利克雷函數(shù)；這些函數(shù)通常用于判斷題中的反例

2、注意無界函數(shù)的概念

3、了解常用函數(shù)的圖像和基本性質(zhì)（特別是大家不太熟悉的反三角函數(shù)）第二節(jié) 數(shù)列的極限 會(huì)判斷數(shù)列的斂散性 第三節(jié) 函數(shù)的極限

1、函數(shù)極限存在的充要條件：左右極限存在并相等。（重要）

2、水平漸近線的概念，會(huì)求函數(shù)的水平漸近線（p37）。（重要）

3、了解函數(shù)極限的局部有界性、局部保號(hào)性。第四節(jié) 無窮大和無窮小

1、無窮小和函數(shù)極限的關(guān)系：limf(x)?A?f(x)?A??，其中?是無窮小。

x?x0x??

2、無窮大和無窮小是倒數(shù)關(guān)系

3、鉛直漸近線的概念（p41）, 會(huì)求函數(shù)的鉛直漸近線

4、無界與無窮大的關(guān)系：無窮大一定無界，反之不對(duì)。

5、極限為無窮大事實(shí)上意味著極限不存在，我們把它記作無窮大只是為了描述函數(shù)增大的這種狀態(tài) 第五節(jié) 極限的運(yùn)算法則

1、極限的四則運(yùn)算法則：兩個(gè)函數(shù)的極限都存在時(shí)才能用。以乘法為例比如f(x)?x,g(x)?但是limf(x)?g(x)?1

x?01。limf(x)?0，limg(x)??。xx?0x?02、會(huì)求有理分式函數(shù)

p(x)的極限（P47 例3-例7）（重要）q(x)x?x0時(shí):若分母q(x0)?0，則極限為函數(shù)值

0型極限，約去公因子 0 若只是分母為零，則極限為無窮大。（p75頁(yè)9（1））

x??時(shí)，用抓大頭法，分子、分母同時(shí)約去x的最高次冪。第六節(jié) 極限存在的準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限（重要）

1、利用夾逼準(zhǔn)則求極限： 例 p56也習(xí)題4（1）（2），及其中考試題（B）卷第三題（1）

2、利用兩個(gè)重要極限求其他的極限（p56習(xí)題2）

1sinxsinx?0；lim?1 3 注意下面幾個(gè)極限：limxsin?0；limx?0x??x?0xxx第七節(jié) 無窮小的比較（重要）

1、會(huì)比較兩個(gè)無窮之間的關(guān)系（高階、低階、同階，k 階還是等價(jià)窮小）若分子和分母同時(shí)為零，則為

x22、常見的等價(jià)無窮?。簊inx,tanx,arcsinx~x；1?cosx~

2ex?1~x；(1?x)~1nx n13、若?(x)為無窮小，則sin?(x)~?(x)，(1??(x))n~?(x)n，ln(1??(x))~?(x)，e?(x)?1~?(x)。

4、替換無窮小時(shí)必須是因式

x?0limtanx?sinxx3?limx?x3x?0x?0

應(yīng)該

x2xtanx?sinxtanx(1?cosx)1lim?lim?lim2?

2x?0x?0x?0x3x3x35、會(huì)利用等價(jià)無窮小計(jì)算極限（p60頁(yè)習(xí)題4）

第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)（重要）

1、函數(shù)在點(diǎn)x0連續(xù) ?limf(x)?f(x0)

x?x0?左連續(xù)limf(x)?f(x0)且

x?x?0f(x)?f(x0)

右連續(xù)lim?x?x02、會(huì)判斷間斷點(diǎn)及其類型。討論分段函數(shù)的連續(xù)性。

3、f(x)在點(diǎn)a連續(xù)?f(x)在點(diǎn)a連續(xù)；但反之不對(duì)。

第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

初等函數(shù)在其定義域上都是連續(xù)的，因而求某點(diǎn)處極限時(shí)可以直接把點(diǎn)代入求值。

4.注意三個(gè)例題：例6-例8（重要）

5、冪指函數(shù)u(x)v(x)求極限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)來求。（重要）

6、若含有根式，則分子或者分母有理化（p75頁(yè)9（2））是求極限的一種重要方法。（重要）

7、利用分段函數(shù)的連續(xù)性求未知數(shù)的值（如p70頁(yè) 6）（重要）第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

最大值最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定理的內(nèi)容 會(huì)零點(diǎn)定理證明方程根的存在性。（重要）補(bǔ)充說明 請(qǐng)熟悉函數(shù)e當(dāng)x?0?,x?0?,x??時(shí)的極限。第二章復(fù)習(xí)提要

1、導(dǎo)數(shù)的定義

（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義求一些極限的值：例如P86頁(yè)第6題 例

1、設(shè)f(0)?0,f?(0)?k0,則limf(x)?____.x?0x1x例

2、設(shè)f?(x0)存在，則limf(x0?h)?f(x0)?________.（重要）

hh?0（2）利用左右導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的可導(dǎo)性：P125頁(yè)第7題

?sinx,x?0例

3、已知f(x)??，求f?(x)

?x,x?0注意分點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)應(yīng)該用定義來求。（重要）

（3）利用左右導(dǎo)數(shù)求未知數(shù)的值：P87頁(yè)第17題（重要）

?sinx,x?0例

4、設(shè)f(x)??為可導(dǎo)的，求a的值

ax,x?0?（4）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線和法線方程（重要）

（5）可導(dǎo)?連續(xù)，反之不成立！

2、求導(dǎo)法則

（1）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)不要掉項(xiàng)；

（2）冪指函數(shù)u(x)v(x)?ev(x)lnu(x)轉(zhuǎn)化成指數(shù)來求導(dǎo)

3、高階導(dǎo)數(shù)

（1）一般的函數(shù)求到2階即可；（2）幾個(gè)初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：

??(eax)(n)?aneax；y(n)?sin(x?n)；(cosx)(n)?cos(x?n)

22[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(n?1)!(1?x)n，(n?1)!(1?x)n[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(?1)n(n?1)!(1?x)n??

由上面的求導(dǎo)公式我們?nèi)菀淄瞥鱿铝星髮?dǎo)公式：

1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?(?1)nn?11?x(1?x)1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?n?11?x(1?x)(1(n)n!)?[ln(a?x)](n?1)?(?1)nn?1a?x(a?x)1(n)n!)?[ln(1?x)](n?1)?n?1a?x(a?x)((3)二項(xiàng)式定理

(uv)(n)(n?k)(k)??Ckuv nk?0n（4）間接法求高階導(dǎo)數(shù)：

1?x2例

5、求y?的n階導(dǎo)數(shù)：提示y??1?。

1?x1?x（5）注意下列函數(shù)的求導(dǎo)

例

6、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：P103頁(yè)第3題（重要）（1）y?f(x2)；（2）y?ln[f(x)]

4、隱函數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)（重要）（1）一般方法，兩邊對(duì)x球到后解出

dy。dx（2）會(huì)求二階導(dǎo)數(shù)

（3）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指函數(shù)和連乘或連除的函數(shù)（4）注意參數(shù)方程二階導(dǎo)數(shù)的公式

dydyd()2()?tdydtdx。（重要）??dxdx2dtdxdxdt（5）相關(guān)變化率問題：

根據(jù)題意給出變量x和y之間的關(guān)系；

?

兩邊對(duì)t（或者是其他變量）求導(dǎo)

?

dydx和之間的關(guān)系，已知其中一個(gè)求另外一個(gè)。dtdt5、函數(shù)的微分

（1）微分與可導(dǎo)的關(guān)系：可微?可導(dǎo)且dy?f?(x)dx（2）利用微分的形式不變性求隱函數(shù)或顯函數(shù)的微分： 顯函數(shù)的例子見課本的例題；下面給出隱函數(shù)的例子 例

7、設(shè)ysinx?cos(x?y)?0,求dy。解: 利用一階微分形式不變性 , 有

d(ysinx)?d(cos(x?y))?0

sinxdy?ycosxdx?sin(x?y)(dx?dy)?0

dy?ycosx?sin(x?y)dx。

sin(x?y)?sinx（3）近似計(jì)算公式：注意x0的選取原則。(一般不會(huì)考)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

第三章：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)提要 3.1 微分中值定理（重要）

羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理應(yīng)用： 證明等式，一般通過證明導(dǎo)數(shù)為零

證明不等式：若不等式中不含x，則取x作為輔助函數(shù)的自變量；若含有x，則取t作為輔助函數(shù)的自變量。（重要）

判斷方程的根（存在性用零點(diǎn)定理，唯一性或判斷根的個(gè)數(shù)用中值定理，有時(shí)還要結(jié)合單調(diào)性，見153也習(xí)題6）（重要）

利用輔助函數(shù)和中值定理證明等式（一個(gè)函數(shù)用拉格朗日，二個(gè)用柯西）例1 設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)?0，證明至少存在一點(diǎn)??(0,1)使得f?(?)??2f(?)?。

證明：上述問題等價(jià)于?f?(?)?2f(?)?0。

令f(x)?x2f(x)，則f(x)在[0,1]上滿足羅爾定理?xiàng)l件，于是少存在一點(diǎn)??(0,1)使得

??(?)?2?f(?)??2f?(?)?0 即有?f?(?)?2f(?)?0。

（5）請(qǐng)熟悉132頁(yè)例1.3.2 洛必達(dá)法則（重要）

（1）(其他類型的未定式)最終轉(zhuǎn)化成0?型和型未定式 0?（2）每次用前需判斷

（3）結(jié)合等價(jià)無窮小效果更佳。3.3 泰勒公式

（1）一般方法：求各階導(dǎo)數(shù)代入公式即可；

（2）常見函數(shù)ex,ln(1?x)，sinx,cosx的麥克勞林公式 3.4 函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性（1）會(huì)用列表法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間（注意一般是閉區(qū)間），拐點(diǎn)。注意不要漏掉導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是單調(diào)區(qū)間的分點(diǎn)； 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是拐點(diǎn)。（2）利用單調(diào)性證明不等式（重要）（3）利用單調(diào)性判斷方程的根（重要）3.5 極值和最值（重要）

（1）列表法求極值（極值可能點(diǎn)為駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)）（2）最值（找出極值可能點(diǎn)再與端點(diǎn)比較）

（3）對(duì)于時(shí)間問題，若極值點(diǎn)唯一，則也為最值點(diǎn)。3.6 函數(shù)圖形的描繪 注意漸近線 3.7 曲率

（1）弧微分公式

（2）曲率和曲率半徑的計(jì)算公式（重要）第四章復(fù)習(xí)提要

4.1 不定積分的概念和性質(zhì)

1、基本積分表

?

2、公式?f(x)dx?f(x)和?f?(x)dx?f(x)?C ??

3、注意如下問題：（填空、選擇、判斷）若e?x是f(x)的原函數(shù)，則?x2f(lnx)dx??若f(x)是e?x的原函數(shù)，則?12x?C 2f(lnx)1dx? ?C0lnx?C xx若f(x)的導(dǎo)數(shù)為sinx，則f(x)的一個(gè)原函數(shù)是（B）。A 1?sinx;B 1?sinx;C 1?cosx;D 1?cosx

4.2 換元積分法（重要）

1、第一換元法的原理：?g(x)dx

把被積函數(shù)g(x)湊成g(x)?f(?(x))??(x)的形式，因而這種方法也稱為湊微分法。

2、一些規(guī)律： ①?f(x)1xdx?2?f(x)(x)??2?f(x)dx

11?f(ax?b)(ax?b)dx?f(ax?b)d(ax?b)

a?a?②?f(ax?b)dx?1③?f(lnx)dx??f(lnx)(lnx)?dx??f(lnx)d(lnx)

x④?sin(2k?1)xcosnxdx??sin2kxcosnxsinxdx???(1?cos2x)cosnxdcosx ⑤?cos(2k?1)kxsinxdx??cosxsinxcosxdx??(1?sinx)sinnxdsinx n2kn2k注：?sin(2k?1)xdx和?cos(2k?1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。⑥?sin2kxcos2nxdx用公式sin2x?⑦?tanxsecn2k?2n2k1?cos2x1?cos2x和cos2x?降次。22n2kxdx??tanxsecxdtanx??tanx(1?tanx)dtanx

注?sec2kxdx可以看做⑦的特殊情形

⑧?csc2k?2xdx??csc2kxcsc2xdx???(1?cot2x)dcotx

⑨?tan(2k?1)xsecnxdx??tan2kxsecn?1xdsecx??(sec2x?1)secn?1xdsecx ⑩利用積化和差公式：

1cosAcosB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

21sinAcosB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21cosAsinB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21sinAsinB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

2第二換元法

被積函數(shù)中含有a2?x2，利用代換x?asint,t?(?被積函數(shù)中含有a2?x2，利用代換x?atant,t?(?kk??,)22,)22??被積函數(shù)中含有x2?a2，利用代換x?asect,t?(0,?)（一般要分情況討論）被積函數(shù)為分式，分母次數(shù)比分子次數(shù)高，到代換 利用下列積分公式：

⒃?tanxdx??ln|cosx|?C；⒄?cotxdx?ln|sinx|?C

⒅?secxdx?ln|secx?tanx|?C；⒆?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C ⒇?dx1xdx1x?a?arctan?C；（21）?ln?x2?a22ax?a?C aa2?x2a（22）?xdx?arcsin?C；?ln(x?a2?x2)?C（23）?ax2?a2a2?x2dx（24）?dxx2?a2?lnx?x2?a2?C

4.3 分部積分法（重要）

1、分部積分公式：?udv?uv??vdu

2、u的選取原則：反?對(duì)?冪?指?三。

這個(gè)原則不是絕對(duì)的，如通常?exsinxdx??sinxdex。

3、如果遇到反三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的高次冪，通常先換元更容易算。如?(arcsinx)2dxarcsinx?t?t2dsint；

ln2x2?ttdxlnx?t?edt ?x2遇到根式ax?b，先令t?ax?b去根號(hào)。會(huì)做形如例7、8那樣具有典型特點(diǎn)的題目。

4.4 有理函數(shù)的積分（重要）

1、P(x)，先用多項(xiàng)式除法化成真分式； Q(x)P(x)的分解式： Q(x)

2、對(duì)Q(x)分解因式，根據(jù)分解結(jié)果用待定系數(shù)法確定x?1x?1AB??：應(yīng)設(shè)

(x?2)(x?3)(x?2)(x?3)x?2x?3 ?x?2x?2ABx?C：應(yīng)設(shè) ???(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)x?2x?2ABx3?Cx2?Dx?E?(2x?1)(x2?x?1)2：應(yīng)設(shè)(2x?1)(x2?x?1)?(2x?1)?(x2?x?1)2

原則就是分子的次數(shù)總是要比分母低一次。

3、三角函數(shù)可以通過如下?lián)Q元法轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分

xxx2tan1?tan22tan2；cosx?2；tanx?2 sinx?xxx1?tan21?tan21?tan2222x令tan?t，則三角函數(shù)就轉(zhuǎn)化成為有理函數(shù)

24.被積函數(shù)含有nax?b或nax?bcx?d，則令t?nax?b或t?nax?bcx?d 幾個(gè)典型題目 P207頁(yè)（42）?x?1dxdx，（43）?x?1?x2P211頁(yè)例7、8 x2?2x?3補(bǔ)充說明：這一章的內(nèi)容需要大家在掌握一定規(guī)律的前提下多做練習(xí)，方能取得比較好的效果 第五章：定積分

5.1 定積分的概念和性質(zhì)

1、定積分的定義：?f(x)dx?lim?f(?i)?xi

abni??02、定積分的幾何意義：曲邊梯形的面積

3、定積分的性質(zhì)：利用定積分的性質(zhì)判斷積分的取值范圍或比較兩個(gè)積分的大?。╬235,10,13）(重要)5.2 微積分基本公式

1、y?f(x),a?x?b的積分上限的函數(shù)（重要）

?(x)??xaf(t)dt,a?x?b

及其導(dǎo)數(shù)：（如p243,5題）（1）??(x)?f(x)

d?(x)f(t)dt?f(?(x))??(x)?adxda（3）?f(t)dt??f(?(x))??(x)

dx?(x)d?(x)（4）?f(t)dt?f(?(x))??(x)?f(?(x))??(x)

dx?(x)

2、利用上面的公式計(jì)算極限、判斷函數(shù)單調(diào)性等： 相應(yīng)例題（p242,例7，8），相應(yīng)習(xí)題（p243-244:習(xí)題9，12，12，14）（重要）（2）

3、牛頓-萊布尼茨公式：函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則

?baf(x)dx?F(b)?F(a)，記作[F(x)]a或F(x)bba

注意：分段函數(shù)(或者帶絕對(duì)值的函數(shù))的積分應(yīng)為分段積分的和：典型題目p244，習(xí)題10.5.3 定積分的換元法和分布積分法（重要）

1、第一換元公式：?f[?(x)]??(x)dt??f(t)dt

ab??

2、第二還原公式：?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt

ab??注意：一般來說應(yīng)用第一換元公式，我們一般不需要把新變量寫出來，因而也就

?cos?2不需要寫出新變量的積分限，如?cossinxdx??? 但是應(yīng)用第二換元?。

3??0公式，一般要寫出新變量及其積分限，如

202??3?a??asinta2?x2dx(a?0)?x???a2?2cos2tdt

003、分布積分公式：?u(x)dv(x)??u(x)v(x)?a??v(x)du(x)

baabb說明：無論是還原法還是分布積分法，定積分和不定積分的計(jì)算過程都是相似的。

4、利用下面的公式能幫助我們簡(jiǎn)化計(jì)算：（重要）（1）偶倍寄零

?0?0（2）?2f(sinx)dx??2f(cosx)dx（3）?xf(sinx)dx?0??2??0f(sinx)dx（p248, 例6，p270, 10(6)）

（4）設(shè)f(x)是周期為T的連續(xù)函數(shù)：則

?a?Taf(x)dx??f(x)dx；?0Ta?nTaf(x)dx?n?f(x)dx(n?N).(p249，例7，p253，0T1(26))

5、形如例9這樣的積分。5.4 反常積分

1、無窮限的反常積分：設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，引入記號(hào)

F(??)?limF(x);F(??)?limF(x)

x???x???則

????a???f(x)dx?F(x)|?a??F(??)?F(a)；??f(x)dx?F(x)|?????F(??)?F(??).b??f(x)dx?F(x)|b????F(b)?F(??)；

??反常積分收斂意味著相應(yīng)的F(??),F(??)存在；特別的積分?F(??),F(??)同時(shí)存在。

????f(x)dx收斂必須注意：對(duì)于無窮限積分來說，偶倍寄零原則不在成立！

2、無界函數(shù)的反常積分（瑕積分）：設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，則 若b為瑕點(diǎn)，?f(x)dx ??F(x)?a?F(b?)?F(a)；

bab若a為瑕點(diǎn)，則?f(x)dx??F(x)?a?F(b)?F(a?)；

bab若a,b都為瑕點(diǎn)，?f(x)dx ??F(x)?a?F(b?)?F(a?)；

bab則c?(a,b)為瑕點(diǎn)，則?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??F(x)?c。a??F(x)?caacbcbb反常積分收斂意味著相應(yīng)的F(a?),F(b?)存在；特別的積分?f(x)dx（c?(a,b)ab為瑕點(diǎn)）收斂必須F(c?),F(c?)同時(shí)存在。

說明：由上面的公式看出，反常積分與定積分的計(jì)算方法是一樣的。都是先求原函數(shù)然后代入兩個(gè)端點(diǎn)，只是對(duì)于非正常點(diǎn)（如?和瑕點(diǎn)）算的是函數(shù)的極限。

3、換元法也適用于反常積分

4、會(huì)利用下面的兩個(gè)重要反常積分來討論一些函數(shù)的收斂性（重要）

???ap?1???,dx???(a?0)1,p?1xp?p?1?(p?1)a?(b?a)1?qb,q?1dx?? 1?q?a(x?a)q????,q?1?練習(xí)：p260,2題；求積分?bdx的收斂性。

b(x?b)qa5、遇到形如?f(x)dx積分時(shí)，注意[a,b]是否含有瑕點(diǎn)。否則會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果：

adx。?1x第六章 定積分的應(yīng)用

6.2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

1、平面圖形的面積（直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)下）（重要）

2、體積（特別是旋轉(zhuǎn)體的體積）（重要）

3、三個(gè)弧長(zhǎng)公式（重要）

6.3 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用（做功、水壓力重要，引力了解）如?1

第四篇：高等數(shù)學(xué)總結(jié)

FROM BODY TO SOUL

高等數(shù)學(xué)

第一講 函數(shù)、極限和連續(xù)

一、函數(shù) 1.函數(shù)的概念

幾種常見函數(shù) 絕對(duì)值函數(shù)： 符號(hào)函數(shù)： 取整函數(shù)： 分段函數(shù)：

最大值最小值函數(shù)：

2.函數(shù)的特性

有界性： 單調(diào)性： 奇偶性： 周期性：

3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

反函數(shù)：

復(fù)合函數(shù)：

第五篇：高等數(shù)學(xué)上冊(cè)總結(jié)(張守剛)

高等數(shù)學(xué)上冊(cè)總結(jié) 張守剛

一、主要內(nèi)容

一元函數(shù)，極限，導(dǎo)數(shù)，微分，微分中值定理，不定積分，定積分，微分方程。從某種角度來說，主要是函數(shù)。

學(xué)習(xí)的目的是認(rèn)知，很小的時(shí)候我們經(jīng)常被談?wù)J識(shí)客觀世界，改造客觀世界，因而學(xué)習(xí)就是必經(jīng)之捷徑。

人類社會(huì)存在著萬千事物，它們之間的紐帶或聯(lián)系用量的方法來陳述也許就可以用函數(shù)來表示。因此，從這種角度來說，高數(shù)主要研究函數(shù)。

二、內(nèi)容探討

1、關(guān)于函數(shù)

（1）什么是函數(shù)？為什么研究函數(shù)？

客觀世界中，事物與事物之間的具有千絲萬縷的聯(lián)系或者關(guān)系。從哲學(xué)角度來說，研究這種聯(lián)系可以更好的幫助我們認(rèn)識(shí)客觀世界。但這是不夠的，因?yàn)槭挛锱c事物還存在著豐富的數(shù)量關(guān)系，函數(shù)就是表現(xiàn)這種數(shù)量關(guān)系的工具，能夠更加精確的幫助人類認(rèn)識(shí)客觀世界，改造客觀世界。

客觀世界中，相互之間的聯(lián)系主要有四種表現(xiàn)形式，一對(duì)一，一對(duì)多，多對(duì)一，多對(duì)多。一對(duì)一表現(xiàn)出來的數(shù)量關(guān)系就可以用一元函數(shù)來刻畫，而一對(duì)多可以分成有限個(gè)一對(duì)一，故我們需要研究一元函數(shù)，這就是上冊(cè)的研究對(duì)象。（現(xiàn)在很多教材將一對(duì)多也看做是一元函數(shù)，我個(gè)人覺得這不好，因?yàn)槲覀冄芯康囊欢ㄊ亲詈?jiǎn)單的，最基本的）多對(duì)一表現(xiàn)出來的數(shù)量關(guān)系就可以用多元函數(shù)來刻畫，同樣，多對(duì)多可以分解為有限個(gè)多對(duì)一，故多元函數(shù)也是我們的研究重點(diǎn)，這是我們下冊(cè)的主要研究對(duì)象。

因?yàn)橛梢辉瘮?shù)推廣到二元函數(shù)存在著突變過程，有著顯著區(qū)別，故單獨(dú)分開來研究。而二元函數(shù)到多元函數(shù)是一個(gè)漸變過程，區(qū)別不大，因此，我們主要以二元函數(shù)為代表研究多元函數(shù)。

（2）如何研究函數(shù)？

第一、一元函數(shù)的定義、基本初等函數(shù)，初等函數(shù)，以及函數(shù)的結(jié)構(gòu)，即加減乘除、求逆、復(fù)合六種運(yùn)算法則；

第二、一元函數(shù)的基本性態(tài)，主要有：有界性，單調(diào)性，奇偶性，周期性，凹凸性，連續(xù)性等，以及單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間、最小正周期等的確定；

第三、重點(diǎn)要談一下連續(xù)性。因?yàn)檫B續(xù)函數(shù)我高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象。連續(xù)的客觀世界表現(xiàn)是漸變，間斷的本質(zhì)是突變。但需要注意，漸變突變都不是絕對(duì)的，客觀世界的發(fā)展很多方面都是基于漸變突變的基礎(chǔ)上所推動(dòng)的。關(guān)于這方面略?？陀^世界中，絕對(duì)的連續(xù)也許不存在，我是這么認(rèn)為的。但我們學(xué)習(xí)本來就是研究的理想狀態(tài)下，因此，假定連續(xù)，理想狀態(tài)下。那么，如何刻畫連續(xù)呢？這需要研究漸變，從而建立極限思想。

第四、函數(shù)的構(gòu)造，或者數(shù)量關(guān)系的建立，其實(shí)這里面也必須用到極限的思想。關(guān)于函數(shù)構(gòu)造這是一個(gè)非常重要的問題，以后同學(xué)們的學(xué)習(xí)過程中必須經(jīng)常遇到。而我們上課時(shí)卻談的很少，這也許就是所謂的教學(xué)脫離實(shí)際吧？

2、關(guān)于極限

（1）什么是極限？為什么研究極限？

客觀世界是不變與變的矛盾統(tǒng)一。不變就跟死水一樣，沒有生機(jī)；變創(chuàng)造了客觀世界的生動(dòng)與美麗。而極限就是刻畫客觀世界變化的一個(gè)美麗的武器。有很多案例可以查詢，比如我們后面要談到的分割、近似、求和、取極限思想。在此不贅述。

簡(jiǎn)單來說，極限是對(duì)事物未來變化趨勢(shì)的一種肯定。最簡(jiǎn)單的莫過于唯一的、確定的變化趨勢(shì)，這就是極限。因?yàn)楹瘮?shù)就是刻畫客觀世界理想變化的一種工具，因此，我們主要研究函數(shù)的變化趨勢(shì)，即函數(shù)的極限。

在研究函數(shù)極限時(shí)，必須很好的認(rèn)識(shí)到定義，因?yàn)檫@是基礎(chǔ)。它用符號(hào)刻畫了極限存在的充分必要條件。

基于定義，我們可以建立16個(gè)基本初等函數(shù)的極限公式、極限的加減乘除、求逆、復(fù)合六種運(yùn)算法則，從而可以建立初等函數(shù)的極限公式，以及展開后續(xù)討論。（2）如何研究極限？

第一、當(dāng)然是極限的定義，包括哲學(xué)定義與數(shù)學(xué)定義，以及極限的判定準(zhǔn)則； 第二、極限的計(jì)算方法。

1）16個(gè)基本初等函數(shù)的極限公式，應(yīng)用六種運(yùn)算法則。這是最最基本的。當(dāng)其它方法不能解決極限時(shí)，就需要回到基本定義及基本法則。2）兩個(gè)重要準(zhǔn)則，即夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界準(zhǔn)則；這是判斷極限是否存在的非常重要的準(zhǔn)則； 3）兩個(gè)常用極限公式；

4）等價(jià)無窮小量。其實(shí)無窮小量，無窮大量的提出不是為了求極限，其只是完善了誤差理論。因?yàn)闃O限等價(jià)于逼近，逼近又約等于近似，這就建立了客觀世界與理想世界之間的橋梁。后面我們可以看到，誤差理論才是我們工科學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的核心。5）L’Hospital法則。這是非常重要的求極限方法。

6）Taylor中值定理。Taylor定理非常漂亮，是誤差理論的一個(gè)基礎(chǔ)。7）定積分。

（3）極限就是理論聯(lián)系實(shí)際的橋梁，當(dāng)然是在認(rèn)識(shí)、改造客觀世界中。這一點(diǎn)大家需要時(shí)間慢慢去體會(huì)。

3、關(guān)于微分學(xué)

微積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)最基本、最重要的組成部分，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多分支的基礎(chǔ)，是人類認(rèn)識(shí)客觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類自身的典型數(shù)學(xué)模型之一。簡(jiǎn)單的來說，微分學(xué)就是從微觀角度研究客觀世界，而積分學(xué)從宏觀角度。微積分學(xué)中一個(gè)重要的數(shù)學(xué)符號(hào)是，微小的形變，很好的理解微小的形變是學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ)。

（1）連續(xù)函數(shù)

連續(xù)函數(shù)是微積分研究對(duì)象。連續(xù)函數(shù)等價(jià)于漸變，理想狀態(tài)下的漸變通過極限刻畫，即通過之間的關(guān)系刻畫。（2）導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)刻畫了事物隨事物變化的相對(duì)趨勢(shì)，當(dāng)一個(gè)事物發(fā)生變化時(shí)，另外一個(gè)事物也隨著發(fā)生相應(yīng)變化。最簡(jiǎn)單的一類是線性變化，即成比例。但客觀世界當(dāng)中大量的是非線性變化，導(dǎo)數(shù)就是刻畫這種變化趨勢(shì)大小的一個(gè)指標(biāo)，即也通過來刻畫。從哲學(xué)角度來談的話，其等價(jià)于平均與瞬時(shí)問題。（3）微分

微分與導(dǎo)數(shù)是一個(gè)相對(duì)的概念，但有著本質(zhì)區(qū)別。微分概念是基于線性逼近理論基礎(chǔ)上所提出來的，或者說是基于誤差理論所提出來的。關(guān)于線性逼近或者線性近似的理論及線性近似的優(yōu)越性在這里不詳談。相對(duì)于導(dǎo)數(shù)刻畫了變化趨勢(shì)大小，而微分刻畫了一個(gè)事物有確定變化量時(shí)，引起的另一個(gè)事物的近似變化量，是一個(gè)相對(duì)變化量，只不過這個(gè)相對(duì)量剛好是導(dǎo)數(shù)而已。但可以非常美妙的詮釋復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，呵呵。（4）導(dǎo)數(shù)的計(jì)算問題 1）基本定義，可以建立16個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，加減乘除四則運(yùn)算、求逆、復(fù)合運(yùn)算法則，可以建立初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式； 2）隱函數(shù)求導(dǎo)問題，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則等；（5）微分的計(jì)算問題

一元函數(shù)微分等價(jià)于導(dǎo)數(shù)。（6）導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用 1）近似計(jì)算，逼近理論

2）5大微分中值定理：Fermat引理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor定理。該5大定理很好的從理論角度詮釋了微積分學(xué)的應(yīng)用。3）利用導(dǎo)數(shù)刻畫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，凹凸區(qū)間；

4）優(yōu)化問題或者極值最值問題。優(yōu)化問題生活中處處存在，可以說我們的生活跟優(yōu)化息息相關(guān)，這點(diǎn)請(qǐng)讀者自己領(lǐng)會(huì)。

5）不定積分。及已知導(dǎo)數(shù)，求原函數(shù)；

6）微分方程。包括微分方程的建立與常見微分方程求解問題。關(guān)于微分學(xué)的應(yīng)用實(shí)在是非常重要的一件事情，只不過我們?cè)谡n堂上體會(huì)甚少，我們老師也是身不由己。

4、關(guān)于積分學(xué)

積分學(xué)主要包含不定積分與定積分。從本質(zhì)上來說，而這風(fēng)馬牛不相干。但Newton-Leibniz將二者很好的統(tǒng)一在了一起。（1）不定積分

不定積分是求導(dǎo)的逆過程。一方面為定積分建立基礎(chǔ)，一方面為微分方程求解提供理論基礎(chǔ)。不定積分的計(jì)算還是一樣，16個(gè)基本初等函數(shù)的積分公式，加減乘除四則運(yùn)算法則，以及由復(fù)合求導(dǎo)法則所導(dǎo)出的換元法和分部積分法。（2）定積分

定積分的本質(zhì)是分割、近似、求和、取極限思想的應(yīng)用?？陀^世界可以分為規(guī)則或均勻與不規(guī)則或不均勻構(gòu)成。當(dāng)我們認(rèn)識(shí)客觀世界時(shí)，我們首先建立標(biāo)準(zhǔn)，確定某些基本的度量，如，我們規(guī)定單位長(zhǎng)度、單位面積、體積；規(guī)定單位重量，等等，從而很多理想狀態(tài)下規(guī)則的、或均勻問題我們都能夠量化，如長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量、位移、速度等等。但記住，理想狀態(tài)，客觀世界很難存在的，這里面就有可以忽略的誤差。

那么不規(guī)則、不均勻問題如何處理呢？有人說近似，關(guān)鍵是如何近似？誤差大?。空`差能不能接受？

古人談到，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，大事化小，小事化了，其實(shí)積分學(xué)就是這么一種道理。我們首先對(duì)不規(guī)則問題進(jìn)行分割，然后對(duì)其進(jìn)行近似，然后求和，從而可以得到原問題的一個(gè)近似解決方案，但誤差不可控制，可以想象，分割的越細(xì)，誤差肯定越小，因此，當(dāng)分割的塊數(shù)無窮多，每一個(gè)小塊無限逼近于0時(shí)，最終求和結(jié)果能夠無限逼近真實(shí)值。這就是定積分的基本思想。大量案例我就不在這里贅述。

第一、積分學(xué)三大理論：連續(xù)函數(shù)原函數(shù)存在定理、原函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù)定理、Newton-Leibniz定理。

該三大定理與微分學(xué)5大定理構(gòu)成了微積分學(xué)8大基本定理，是整個(gè)微積分學(xué)的基礎(chǔ)理論。第二，定積分的計(jì)算。第三，定積分的應(yīng)用。

三、展望高等數(shù)學(xué)下冊(cè)

1、解析幾何 空間解析幾何的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)史上一個(gè)劃時(shí)代的成就。法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬均于十七世紀(jì)上半葉對(duì)此做出了開創(chuàng)性的工作。我們知道，代數(shù)學(xué)的優(yōu)越性在于推理方法的程序化，鑒于這種優(yōu)越性，人們產(chǎn)生了用代數(shù)方法研究幾何問題的思想，這就是解析幾何的基本思想。要用代數(shù)方法研究幾何問題，就必須溝通代數(shù)與幾何的聯(lián)系，而代數(shù)和幾何中最基本的概念分別是數(shù)和點(diǎn)。于是首先要找到一種特定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，來建立數(shù)與點(diǎn)的聯(lián)系，這種結(jié)構(gòu)就是坐標(biāo)系。通過坐標(biāo)系，建立起數(shù)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，就可以把數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)基本對(duì)象數(shù)和形結(jié)合起來、統(tǒng)一起來，使得人們既可以用代數(shù)方法研究解決幾何問題（這是解析幾何的基本內(nèi)容），也可以用幾何方法解決代數(shù)問題.平面解析幾何的知識(shí)對(duì)學(xué)習(xí)一元函數(shù)微積分是不可缺少的一樣，空間解析幾何對(duì)多元函數(shù)的微分學(xué)和積分學(xué)將起到重要的作用。

2、多元函數(shù)微分學(xué)

多元函數(shù)中代表性函數(shù)是二元函數(shù)，由二元函數(shù)推廣到多元函數(shù)是很容易的，但由一元函數(shù)到二元函數(shù)有著突變的現(xiàn)象。

第一、多元函數(shù)的定義，基本性態(tài)，以及基本結(jié)構(gòu)。多元函數(shù)由一元基本初等函數(shù)函數(shù)通過6種運(yùn)算構(gòu)成。

第二、多元函數(shù)的極限。這里要強(qiáng)調(diào)，一元函數(shù)的極限是從兩個(gè)方向逼近，而多元函數(shù)的極限是沿著任意方向逼近，更復(fù)雜。

第三、多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)，包括偏導(dǎo)數(shù)與方向?qū)?shù)。二元函數(shù)的幾何意義是空間曲面，因此，沿著任何方向，函數(shù)都在變化，故沿著任何方向都有變化趨勢(shì)，即方向?qū)?shù)。但任何方向的變化趨勢(shì)與X方向和Y方向都滿足三角分解關(guān)系。故我們主要研究X方向變化率與Y方向變化率，即俗稱偏導(dǎo)數(shù)，其計(jì)算跟導(dǎo)數(shù)計(jì)算一致。

第四、多元函數(shù)全微分，區(qū)別于一元函數(shù)微分。二元函數(shù)幾何含義是空間曲面。一元函數(shù)可微等價(jià)于在某一點(diǎn)處可以用切線近似，故二元函數(shù)可微等價(jià)于在某一點(diǎn)處可用切平面近似。還是誤差理論，需要好好研究。

第四、多元函數(shù)最優(yōu)化問題，即極值最值問題。這是很重要的一塊內(nèi)容。

3、多元函數(shù)積分學(xué)

一共包含定積分（一重積分），二重積分，三重積分，兩類曲線積分，兩類曲面積分。定積分本質(zhì)是沿直線分割。

二重積分本質(zhì)沿平面分割，如空間幾何形體體積，不均勻平板質(zhì)量等。三重積分本質(zhì)沿空間分割，如空間不均勻幾何形體質(zhì)量等。

曲線積分本質(zhì)是沿曲線分割，之所以分為兩類，是包含方向與否。如教室中椅子靠背面積，可以直接對(duì)曲線分割，不帶方向；如物理中變力沿曲線做功，帶方向。因我們分割對(duì)象是曲線，故命名為曲線積分。

曲面積分本質(zhì)沿空間曲面分割，同樣分為帶不帶方向。如水流從曲面左側(cè)流向右側(cè)與右側(cè)流向最側(cè)，在物理學(xué)中是兩個(gè)量，需要考慮方向。

總之，積分的基本思想就是分割，近似，求和，取極限。針對(duì)問題的不同，所提出的不同概念，請(qǐng)讀者在學(xué)習(xí)過程中慢慢體會(huì)。（1）關(guān)于定義

所有定義形式都跟定積分定義一致。（2）關(guān)于計(jì)算

最終都是回到定積分的計(jì)算。（3）關(guān)于應(yīng)用 慢慢理解學(xué)習(xí)。

4、無窮級(jí)數(shù) 簡(jiǎn)單來說，無窮多個(gè)數(shù)之和是否是個(gè)常數(shù)？無窮多個(gè)函數(shù)之和是否是個(gè)函數(shù)？反過來，任何一個(gè)初等函數(shù)，能否找到一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)去近似？任何一個(gè)周期函數(shù)，能否用三角函數(shù)系去表示？

第一二個(gè)問題等價(jià)，我們主要研究?jī)绾瘮?shù)系，對(duì)于無窮多個(gè)函數(shù)的和的問題，當(dāng)確定x的取值時(shí)，就可以得到一個(gè)常數(shù)級(jí)數(shù)。如果和是確定常數(shù)，稱為收斂，反之發(fā)散。對(duì)于無數(shù)多個(gè)函數(shù)，我們要做的工作有兩個(gè)：在那些點(diǎn)處收斂，即收斂于；和是多少，或和函數(shù)。用多項(xiàng)式函數(shù)去近似初等函數(shù)，實(shí)際上是taylor公式的延伸，是誤差理論的核心。