第一篇：高等數(shù)學(xué)下冊公式總結(jié)

高等數(shù)學(xué)(向量代數(shù)—>無窮級數(shù))

向量與空間幾何

向量：向量表示((a^b));向量運(yùn)算(向量積)；向量的方向和投影空間方程：曲面方程(旋轉(zhuǎn)曲面和垂直柱面)；直線方程(參數(shù)方程和投影方程)

平面方程：點(diǎn)法式(法向量)、一般式、截距式；平面夾角和距離直線方程：一般式、對稱式(方向向量)、參數(shù)式；直線夾角；平面交線(法向量積)

切平面和切線：切線與法平面；切平面與法線

多元函數(shù)微分學(xué)

多元函數(shù)極限：趨近方式，等階代換

偏微分和全微分：高階微分(連續(xù)則可等)；復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(Jacobi行列式)；

多元函數(shù)極值：偏導(dǎo)數(shù)判定；拉格朗日乘數(shù)法(條件極值)重積分

二重積分：直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)；對稱性；換元法

三重積分：直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)；對稱性

重積分的應(yīng)用：曲面面積；質(zhì)心；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；引力

曲線與曲面積分

曲線積分：弧長積分；坐標(biāo)曲線積分(參數(shù)方程)；格林公式面積積分：對面積積分；坐標(biāo)面積積分；高斯公式

無窮級數(shù)

級數(shù)收斂：通項(xiàng)極限

正項(xiàng)級數(shù)：調(diào)和級數(shù)；比較法和比較極限法；根值法；極限法；絕對收斂和條件收斂

冪級數(shù)：收斂半徑和收斂域；和函數(shù)；麥克勞林級數(shù)(二次展開)Fourier級數(shù)：傅里葉系數(shù)(高次三角函數(shù)積分)；奇偶延拓；正弦和余弦級數(shù)；一般周期的傅里葉級數(shù)

矢量分析與場論(空間場基礎(chǔ))

方向?qū)?shù)與梯度

方向?qū)?shù)：向量參數(shù)式；偏導(dǎo)數(shù)；方向余弦

梯度(grad)：方向?qū)?shù)的最值；梯度方向；物理意義(熱導(dǎo)方向與電場方向)

格林公式：曲線積分—>二重積分；曲線方向與曲面方向全微分原函數(shù)：場的還原；折線積分

通量與散度

高斯公式：閉合曲面—>三重積分；曲面外側(cè)定向；曲面補(bǔ)齊；向量表達(dá)(通量)

散度(div)：通量的體積元微分；物理意義(有源場(電場))環(huán)流量與旋度

斯托克斯公式：閉合曲線—>曲面積分；向量積定向；行列式表達(dá)；向量表達(dá)；物理意義(環(huán)通量)

旋度(rot)：行列式斯托克斯公式；物理意義(有旋場(磁場))

第二篇：考研數(shù)學(xué)公式總結(jié)之高等數(shù)學(xué)曲率公式

凱程考研輔導(dǎo)班，中國最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)

考研數(shù)學(xué)公式總結(jié)之高等數(shù)學(xué)曲率公式

考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，公式是基礎(chǔ)也是關(guān)鍵，高等數(shù)學(xué)中公式眾多，大家要加深理解記憶。下面帶著大家一起來鞏固熟悉高等數(shù)學(xué)各類重要公式，下面是曲率公式。

曲率：

凱程提醒各位考生考研數(shù)學(xué)公式的記憶一定要準(zhǔn)、牢，否則就沒辦法進(jìn)行做題和運(yùn)算。

第三篇：考研數(shù)學(xué)公式總結(jié)之高等數(shù)學(xué)拉格朗日中值定理公式

凱程考研輔導(dǎo)班，中國最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)

考研數(shù)學(xué)公式總結(jié)之高等數(shù)學(xué)拉格朗日

中值定理公式

考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，公式是基礎(chǔ)也是關(guān)鍵，高等數(shù)學(xué)中公式眾多，大家要加深理解記憶。下面帶著大家一起來鞏固熟悉高等數(shù)學(xué)各類重要公式，下面是拉格朗日中值定理公式。

凱程考研提醒各位考生考研數(shù)學(xué)公式的記憶一定要準(zhǔn)、牢，否則就沒辦法進(jìn)行做題和運(yùn)算。

第四篇：高等數(shù)學(xué)等價(jià)替換公式

無窮小 極限的簡單計(jì)算

【教學(xué)目的】

1、理解無窮小與無窮大的概念；

2、掌握無窮小的性質(zhì)與比較 會(huì)用等價(jià)無窮小求極限；

3、不同類型的未定式的不同解法?！窘虒W(xué)內(nèi)容】

1、無窮小與無窮大；

2、無窮小的比較；

3、幾個(gè)常用的等價(jià)無窮小 等價(jià)無窮小替換；

4、求極限的方法?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn)是掌握無窮小的性質(zhì)與比較

用等價(jià)無窮小求極限。難點(diǎn)是未定式的極限的求法。

【教學(xué)設(shè)計(jì)】首先介紹無窮小和無窮大的概念和性質(zhì)（30分鐘），在理解無窮小與無窮大的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生重點(diǎn)掌握用等價(jià)無窮小求極限的方法（20分鐘）。最后歸納總結(jié)求極限的常用方法和技巧（25分鐘），課堂練習(xí)（15分鐘）。

【授課內(nèi)容】

一、無窮小與無窮大

1.定義

前面我們研究了n??數(shù)列xn的極限、x??（x???、x???）函數(shù)f?x?的極限、x?x0（x?x0、x?x0）函數(shù)f(x)的極限這七種趨近方式。下面我們用

??x?＊表示上述七種的某一種趨近方式，即

＊?n??x??x???x???x?x0?x?x0??x?x0

?定義：當(dāng)在給定的x?＊下，f(x)以零為極限，則稱f(x)是x?＊下的無窮小，即limf?x??0。

x?＊例如, ?limsinx?0, ?函數(shù)sinx是當(dāng)x?0時(shí)的無窮小.x?0?lim11?0, ?函數(shù)是當(dāng)x??時(shí)的無窮小.x??xx(?1)n(?1)n?lim?0, ?數(shù)列{}是當(dāng)n??時(shí)的無窮小.n??nn【注意】不能把無窮小與很小的數(shù)混淆；零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)，任何非零常量都不是無窮小。

定義： 當(dāng)在給定的x?＊下，f?x?無限增大，則稱f?x?是x?＊下的無

?都是無窮大量，窮大，即limf?x???。顯然，n??時(shí)，n、n2、n3、x?＊【注意】不能把無窮大與很大的數(shù)混淆；無窮大是極限不存在的情形之一。無窮小與無窮大是相對的，在不同的極限形式下，同一個(gè)函數(shù)可能是無窮小也可能是無窮大，如

limex?0，limex???，x???x???所以ex當(dāng)x???時(shí)為無窮小，當(dāng)x??? 時(shí)為無窮大。

2．無窮小與無窮大的關(guān)系：在自變量的同一變化過程中，如果f?x?為無窮大，則11為無窮小；反之，如果f?x?為無窮小，且f?x??0，則為無窮大。f?x?f?x?小結(jié)：無窮大量、無窮小量的概念是反映變量的變化趨勢，因此任何常量都不是無窮大量，任何非零常量都不是無窮小，談及無窮大量、無窮小量之時(shí)，首先應(yīng)給出自變量的變化趨勢。

3.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系: 定理1 limf(x)=A?f(x)x?x0xA+?(x),其中?(x)是自變量在同一變化過程x?x0（或x??）中的無窮小.證：（必要性）設(shè)limf(x)=A,令?(x)=f(x)-A,則有l(wèi)im?(x)=0，x?x0x?x0?f(x)?A??(x).（充分性）設(shè)f(x)=A+?(x),其中?(x)是當(dāng)x?x0時(shí)的無窮小，則

xx0limf(x)=lim(A+?(x))?A?lim?(x)?A.xx0x?x0【意義】

（1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);（2）給出了函數(shù)f(x)在x0附近的近似表達(dá)式f(x)?A,誤差為?(x).3.無窮小的運(yùn)算性質(zhì)

定理2 在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.【注意】無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.但n個(gè)之和為1不是無窮小.例如,n??時(shí),是無窮小，nn定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.如：lim(?1)n111?0，limxsin?0，limsinx?0 n??x?0x??xnx推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.二、無窮小的比較

例如，當(dāng)x?0時(shí),x,x2,sinx,x2sinx2lim?0,x2比3x要快得多;x?03xsinx?1,sinx與x大致相同;

x?0x1x2sinx?limsin1不存在.不可比.limx?0x?0xx2極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.lim1都是無窮小，觀察各極限： x1．定義: 設(shè)?,?是自變量在同一變化過程中的兩個(gè)無窮小，且?10.?=0,就說?是比?高階的無窮小,記作?=o(?);??(2)如果lim?C(C?0),就說?與?是同階的無窮小;

??特殊地如果lim=1,則稱?與?是等價(jià)的無窮小，記作?~?;

??(3)如果limk=C(C?0,k0),就說?是?的k階的無窮小.?(1)如果lim例1 證明:當(dāng)x?0時(shí),4xtan3x為x的四階無窮小.tanx34xtan3x?4lim()?4,故當(dāng)x?0時(shí),4xtan3x為x的四階無窮小證：lim.4x?0x?0xx例2 當(dāng)x?0時(shí),求tanx?sinx關(guān)于x的階數(shù).解?limx?0tanx?sinxtanx1?cosx1?lim(?)?,?tanx?sinx為x的三階無窮小.x?0x3xx222．常用等價(jià)無窮小:當(dāng)x?0時(shí)，（1）sinx～x；（2）arcsinx～x；（3）tanx～x；（4）arctanx～x；（5）ln(1?x)～x；（6）ex?1～x

x2（7）1?cosx～（8）(1?x)??1～?x（9）ax-1～lna*x

2用等價(jià)無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式: ?????lim?1,?lim?0,即????o(?),于是有????o(?).??1例如sinx?x?o(x),cosx?1?x2?o(x2).23．等價(jià)無窮小替換 定理：設(shè)?~??,?~??且lim證：lim?????存在,則lim?lim.???????????????????lim(??)?lim?lim?lim?lim.?????????????2tan22xex?1.；

（2）lim例3（1）求lim x?01?cosxx?0cosx?112(2x)2解:（1）當(dāng)x?0時(shí),1?cosx~x,tan2x~2x.故原極限=lim= 8

x?012x22x2（2）原極限=limx?0x2?2=?1

2例4 求limx?0tanx?sinx.sin32x錯(cuò)解: 當(dāng)x?0時(shí),tanx~x,sinx~x.原式?limx?x=0

x?0(2x)313x, 2正解: 當(dāng)x?0時(shí),sin2x~2x,tanx?sinx?tanx(1?cosx)~13x12?.故原極限=limx?0(2x)316【注意】和、差形式一般不能進(jìn)行等價(jià)無窮小替換，只有因子乘積形式才可以進(jìn)行等價(jià)無窮小替換。

tan5x?cosx?1.例5 求limx?0sin3x1解: ?tanx?5x?o(x),sin3x?3x?o(x),1?cosx?x2?o(x2).12o(x)1o(x2)25x+o(x)+x+o(x)5??x?2x2x?5.原式=lim?limx?0x?0o(x)3x+o(x)33?x

三、極限的簡單計(jì)算

1.代入法：直接將x?x0的x0代入所求極限的函數(shù)中去，若f?x0?存在，2x5?3x4?2x?12?；若f?x0?不存在，我們也能知道屬即為其極限，例如limx?193x3?2x?4x2?9于哪種未定式，便于我們選擇不同的方法。例如，lim就代不進(jìn)去了，但

x?3x?3我們看出了這是一個(gè)

0型未定式，我們可以用以下的方法來求解。02.分解因式，消去零因子法

x2?9?lim?x?3??6。例如，limx?3x?3x?33.分子（分母）有理化法 例如，limx?2x2?5?32x?1?5??limx?2?x2?5?32x?1???2x?1?5?

5??2x?1?5??x?5?3?x2?5?32??x2? ?lim

x?22x?4

?lim?x?2??x?2? x?22?x?2?1x?1?x

2?2 又如，limx????x2?1?x?lim?x????0

4.化無窮大為無窮小法

1-3x2+x-7x例如，lim2=limx2x-x+4x12-+x這個(gè)無窮大量。由此不難得出

3+7x2=3，實(shí)際上就是分子分母同時(shí)除以x242x25

?a0，n?m?ba0xm?a1xm?1???am?0lim??0，n?m x??bxn?bxn?1???b01n??，n?m??

1?xx?21??limx???又如，limx???1x（分子分母同除x）。?1，21?x?2????12n?5n?5?n5?lim??1再如，limn，（分子分母同除）。nn??3?5nn???3????1?5?n5.利用無窮小量性質(zhì)、等價(jià)無窮小量替換求極限

xarctan?x?1??0，例如，lim（無窮小量乘以有界量）。x??3x2?x?14x?1.又如，求lim2x?1x?2x?3解：?lim(x2?2x?3)?0,商的法則不能用

x?1x2?2x?30又?lim(4x?1)?3?0,?lim??0.x?1x?134x?14x?1??.x?1x2?2x?3再如，等價(jià)無窮小量替換求極限的例子見本節(jié)例3—例5。由無窮小與無窮大的關(guān)系,得lim6.利用兩個(gè)重要極限求極限（例題參見§1.4例3—例5）7.分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求極限

?1?x,x?0例如，設(shè)f(x)??2,求limf(x).x?0?x?1,x?0解: x?0是函數(shù)的分段點(diǎn),兩個(gè)單側(cè)極限為

x?0limf(x)?lim(1?x)?1,limf(x)?lim(x2?1)?1, ????x?0x?0x?0左右極限存在且相等, 故limf(x)?1.x?0【啟發(fā)與討論】 思考題1：當(dāng)x?0時(shí),y11sin是無界變量嗎？是無窮大嗎？ xx6

解：(1)取x0?12k???2(k?0,1,2,3,?)

21(2)取x0?2k?y(x0)?2k???, 當(dāng)k充分大時(shí),y(x0)?M.無界，(k?0,1,2,3,?)

當(dāng)k充分大時(shí),xk??, 但y(xk)?2k?sin2k? ?0?M.不是無窮大． 結(jié)論：無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.思考題2：若f(x)?0，且limf(x)?A，問：能否保證有A?0的結(jié)論？試舉例

x???說明.解：不能保證.例f(x)?lim1 ?x?0, xf(x)?1?0 limf(x)?

x???x1?A?0.x???x思考題3：任何兩個(gè)無窮小量都可以比較嗎？

1sinx解：不能．例如當(dāng)x???時(shí)f(x)?,g(x)?都是無窮小量

xx但lim較.x???g(x)?limsinx不存在且不為無窮大，故當(dāng)x???時(shí)f(x)和g(x)不能比f(x)x???【課堂練習(xí)】求下列函數(shù)的極限

ex?cosx（1）lim；

x?0xex?cosxex?11?cosx?lim?lim?1 解：原極限=limx?0x?0x?0xxx7

1x（2）求limx?0(1?cosx)ln(1?x)3sinx?x2cos0【分析】 “”型，拆項(xiàng)。

01?1???22?3sinx?xcos??3sinxxcos?3x?=lim?x?= ?解：原極限=lim?x?0?2x2x?2?x?0?2x????????5x5?4x4?3x2（3）lim ；

5x??2x?4x?1【分析】“抓大頭法”，用于

?型 ?5?4?3355x55xx解：原極限=lim=，或原極限=lim5= x??41222?x2x4?5xx（4）lim(x2?x?x)；

x??【分析】分子有理化 解：原極限=limxx2?x?xx???=limx???1=

1?1x?121x21?)（5）lim(2x?2x?4x?2【分析】???型，是不定型，四則運(yùn)算法則無法應(yīng)用，需先通分，后計(jì)算。

x?13x2?x?2x21lim?)=lim解：lim(2== 2x?2x?2x?4x?2x?24x?2x?4（6）limx?0x2x?9?32

【分析】“子。0”型，是不定型，四則運(yùn)算法則失效，使用分母有理化消零因0解：原極限=limx?0x2?x2?9?3x2?=6（7）求lim(n??12n????).222nnn8

解:

n??時(shí),是無窮小之先變形再求極限.和1n(n?1)12n1?2???n1112lim(2?2???2)?lim?lim(1?)?.?lim2n??nn??n??n??nnn22n2n【內(nèi)容小結(jié)】

一、無窮?。ù螅┑母拍?/p>

無窮小與無窮大是相對于過程而言的.1、主要內(nèi)容: 兩個(gè)定義;四個(gè)定理;三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意:(1)

無窮小（大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；

（2）無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變量未必是無窮大.二、無窮小的比較: 1.反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較。高(低)階無窮小;等價(jià)無窮小;無窮小的階。

2.等價(jià)無窮小的替換:

求極限的又一種方法, 注意適用條件.三、極限求法（不同類型的未定式的不同解法）;a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.

第五篇：高等數(shù)學(xué)總結(jié)

FROM BODY TO SOUL

高等數(shù)學(xué)

第一講 函數(shù)、極限和連續(xù)

一、函數(shù) 1.函數(shù)的概念

幾種常見函數(shù) 絕對值函數(shù)： 符號函數(shù)： 取整函數(shù)： 分段函數(shù)：

最大值最小值函數(shù)：

2.函數(shù)的特性

有界性： 單調(diào)性： 奇偶性： 周期性：

3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

反函數(shù)：

復(fù)合函數(shù)：