第一篇：考研數(shù)學(xué)：不可不看的高數(shù)知識點精華總結(jié)

凱程考研

歷史悠久，專注考研，科學(xué)應(yīng)試，嚴(yán)格管理，成就學(xué)員！

考研數(shù)學(xué)：不可不看的高數(shù)知識點精華

總結(jié)

如何讓高數(shù)摘去“掛科之王”的“美名”?考前突擊、臨時抱佛腳的做法一定不可取，只有按照自己的計劃，踏踏實實的準(zhǔn)備，綜合能力提高了，才能夠以不變應(yīng)萬變，取得考研數(shù)學(xué)的好成績?？佳袛?shù)學(xué)分為高等數(shù)學(xué)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計和線性代數(shù)三個科目，高等數(shù)學(xué)不拖后腿，以下高數(shù)備考精華不可不看。

1.幾個易混概念：連續(xù)，可導(dǎo)，存在原函數(shù)，可積，可微，偏導(dǎo)數(shù)存在他們之間的關(guān)系式怎么樣的?存在極限，導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，左連續(xù)，右連續(xù)，左極限，右極限，左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的左極限，導(dǎo)函數(shù)的右極限。

2.羅爾定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(其中a不等于b)，在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，那么至少存在一點ξ∈(a、b)，使得 f'(ξ)=0。羅爾定理是以法國數(shù)學(xué)家羅爾的名字命名的。羅爾定理的三個已知條件的意義，①f(x)在[a,b]上連續(xù)表明曲線連同端點在內(nèi)是無縫隙的曲線;②f(x)在內(nèi)(a,b)可導(dǎo)表明曲線y=f(x)在每一點處有切線存在;③f(a)=f(b)表明曲線的割線(直線AB)平行于x軸;羅爾定理的結(jié)論的直幾何意義是：在(a,b)內(nèi)至少能找到一點ξ，使f'(ξ)=0，表明曲線上至少有一點的切線斜率為0，從而切線平行于割線AB，與x軸平行。

3.泰勒公式展開的應(yīng)用專題：我以前，以及我所有的同學(xué)，看到泰勒公式就哆嗦，因為咋一看很長很恐怖，瞬間大腦空白，身體失重的感覺。其實在我搞明白一下幾點后，原來的癥狀就沒有了。第一：什么情況下要進(jìn)行泰勒展開;第二：以哪一點為中心進(jìn)行展開;第三：把誰展開;第四：展開到幾階?

4.應(yīng)用多次中值定理的專題：大部分的考研題，一般要考察你應(yīng)用多次中值定理，最重要的就是要培養(yǎng)自己對這種題目的敏感度，要很快反映老師出這題考哪幾個中值定理，我的敏感性是靠自己多練習(xí)綜合題培養(yǎng)出來的。我會經(jīng)常會去復(fù)習(xí)，那樣我對中值定理的題目早已沒有那種剛學(xué)高數(shù)時的害怕之極。要想對微分中值定理這塊的題目有條理的掌握，看我這個總結(jié)定會事半功倍的。

5.對稱性，輪換性，奇偶性在積分(重積分，線，面積分)中的綜合應(yīng)用：這幾乎每年必考，要么小題中考，要么大題中要用，這是必須掌握的知識，但是往往不是那么容易就靠做3，4個題目就能了解這知識點的應(yīng)用到底有多廣泛。我們做積分題，尤其多重積分和線面積分，死算也許能算出結(jié)果，但是要是能用以上性質(zhì)，那可真是三下五除二搞定，這方面的感覺相信大家有過，可是或許僅僅是曇花一現(xiàn)，因為你做出來了以為以后就一定會在相似的題目中用，其實不然，因為僅僅靠幾道題目很大程度上不能給你留下太深刻的印象，下次輪到的時候或許就是考場上了，你可能頓時苦思冥想，最終還是選擇了最傻的辦法，浪費了寶貴時間。說這些其實就是說明，考場上的正?；虺０l(fā)揮是建立在平時踏實做，見識廣，嚴(yán)要求的基礎(chǔ)上。

凱程考研，考研機(jī)構(gòu)，10年高質(zhì)量輔導(dǎo)，值得信賴！以學(xué)員的前途為已任，為學(xué)員提供高效、專業(yè)的服務(wù)，團(tuán)隊合作,為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)員引路。

凱程考研

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任何知識的積累都是長期努力的結(jié)果，都是需要我們踏踏實實來努力的，切勿投機(jī)。考研數(shù)學(xué)學(xué)科考試內(nèi)容多、知識面廣、綜合性強(qiáng)，提醒大家在復(fù)習(xí)期間掌握好適合自己的方法，并持之以恒、堅持到底，真正實現(xiàn)從量變到質(zhì)變的飛躍。最后，預(yù)祝廣大考生取得理想成績!

凱程考研：

凱程考研成立于2005年，具有悠久的考研輔導(dǎo)歷史，國內(nèi)首家全日制集訓(xùn)機(jī)構(gòu)考研，一直從事高端全日制輔導(dǎo)，由李海洋教授、張鑫教授、盧營教授、王洋教授、楊武金教授、張釋然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高級考研教研隊伍組成，為學(xué)員全程高質(zhì)量授課、答疑、測試、督導(dǎo)、報考指導(dǎo)、方法指導(dǎo)、聯(lián)系導(dǎo)師、復(fù)試等全方位的考研服務(wù)。凱程考研的宗旨：讓學(xué)習(xí)成為一種習(xí)慣； 凱程考研的價值觀：凱旋歸來，前程萬里； 信念：讓每個學(xué)員都有好最好的歸宿；

使命：完善全新的教育模式，做中國最專業(yè)的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)； 激情：永不言棄，樂觀向上；

敬業(yè)：以專業(yè)的態(tài)度做非凡的事業(yè)；

服務(wù)：以學(xué)員的前途為已任，為學(xué)員提供高效、專業(yè)的服務(wù)，團(tuán)隊合作，為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)員引路。

特別說明：凱程學(xué)員經(jīng)驗談視頻在凱程官方網(wǎng)站有公布，同學(xué)們和家長可以查看。扎扎實實的輔導(dǎo)，真真實實的案例，凱程考研的價值觀：凱旋歸來，前程萬里。

如何選擇考研輔導(dǎo)班：

在考研準(zhǔn)備的過程中，會遇到不少困難，尤其對于跨專業(yè)考生的專業(yè)課來說，通過報輔導(dǎo)班來彌補(bǔ)自己復(fù)習(xí)的不足，可以大大提高復(fù)習(xí)效率，節(jié)省復(fù)習(xí)時間，大家可以通過以下幾個方面來考察輔導(dǎo)班，或許能幫你找到適合你的輔導(dǎo)班。

師資力量：師資力量是考察輔導(dǎo)班的首要因素，考生可以針對輔導(dǎo)名師的輔導(dǎo)年限、輔導(dǎo)經(jīng)驗、歷年輔導(dǎo)效果、學(xué)員評價等因素進(jìn)行綜合評價，詢問往屆學(xué)長然后選擇。判斷師資力量關(guān)鍵在于綜合實力，因為任何一門課程，都不是由

一、兩個教師包到底的，是一批教師配合的結(jié)果。還要深入了解教師的學(xué)術(shù)背景、資料著述成就、輔導(dǎo)成就等。凱程考研名師云集，李海洋、張鑫教授、方浩教授、盧營教授、孫浩教授等一大批名師在凱程授課。而有的機(jī)構(gòu)只是很普通的老師授課，對知識點把握和命題方向，欠缺火候。

對該專業(yè)有輔導(dǎo)歷史：必須對該專業(yè)深刻理解，才能深入輔導(dǎo)學(xué)員考取該校。在考研輔導(dǎo)班中，從來見過如此輝煌的成績：凱程教育拿下2015五道口金融學(xué)院狀元，考取五道口15人，清華經(jīng)管金融碩士10人，人大金融碩士15個，中財和貿(mào)大金融碩士合計20人，北師

凱程考研，考研機(jī)構(gòu)，10年高質(zhì)量輔導(dǎo)，值得信賴！以學(xué)員的前途為已任，為學(xué)員提供高效、專業(yè)的服務(wù)，團(tuán)隊合作,為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)員引路。

凱程考研

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大教育學(xué)7人，會計碩士保錄班考取30人，翻譯碩士接近20人，中傳狀元王園璐、鄭家威都是來自凱程，法學(xué)方面，凱程在人大、北大、貿(mào)大、政法、武漢大學(xué)、公安大學(xué)等院校斬獲多個法學(xué)和法碩狀元，更多專業(yè)成績請查看凱程網(wǎng)站。在凱程官方網(wǎng)站的光榮榜，成功學(xué)員經(jīng)驗談視頻特別多，都是凱程戰(zhàn)績的最好證明。對于如此高的成績，凱程集訓(xùn)營班主任邢老師說，凱程如此優(yōu)異的成績，是與我們凱程嚴(yán)格的管理，全方位的輔導(dǎo)是分不開的，很多學(xué)生本科都不是名校，某些學(xué)生來自二本三本甚至不知名的院校，還有很多是工作了多年才回來考的，大多數(shù)是跨專業(yè)考研，他們的難度大，競爭激烈，沒有嚴(yán)格的訓(xùn)練和同學(xué)們的刻苦學(xué)習(xí)，是很難達(dá)到優(yōu)異的成績。最好的辦法是直接和凱程老師詳細(xì)溝通一下就清楚了。

凱程考研歷年戰(zhàn)績輝煌，成就顯著！

在考研輔導(dǎo)班中，從來見過如此輝煌的成績：凱程教育拿下國內(nèi)最高學(xué)府清華大學(xué)五道口金融學(xué)院金融碩士29人，占五道口金融學(xué)院錄取總?cè)藬?shù)的約50%，五道口金融學(xué)院歷年狀元均出自凱程.例如，2014年狀元武玄宇,2013年狀元李少華，2012年狀元馬佳偉，2011年狀元陳玉倩;考入北大經(jīng)院、人大、中財、外經(jīng)貿(mào)、復(fù)旦、上財、上交、社科院、中科院金融碩士的同學(xué)更是喜報連連，總計達(dá)到150人以上，此外，還有考入北大清華人大法碩的張博等10人，北大法學(xué)考研王少棠，北大法學(xué)經(jīng)濟(jì)法狀元王yuheng等5人成功考入北大法學(xué)院，另外有數(shù)10人考入人大貿(mào)大政法公安大學(xué)等名校法學(xué)院。北師大教育學(xué)和全日制教育碩士輔導(dǎo)班學(xué)員考入15人，創(chuàng)造了歷年最高成績。會計碩士保錄班考取30多人，中傳鄭家威勇奪中傳新聞傳播碩士狀元，王園璐勇奪中傳全日制藝術(shù)碩士狀元，（他們的經(jīng)驗談視頻在凱程官方網(wǎng)站有公布，隨時可以查看播放。）對于如此優(yōu)異的成績，凱程輔導(dǎo)班班主任邢老師說，凱程如此優(yōu)異的成績，是與我們凱程嚴(yán)格的管理，全方位的輔導(dǎo)是分不開的，很多學(xué)生本科都不是名校，某些學(xué)生來自二本三本甚至不知名的院校，還有很多是工作了多年才回來考的，大多數(shù)是跨專業(yè)考研，他們的難度大，競爭激烈，沒有嚴(yán)格的訓(xùn)練和同學(xué)們的刻苦學(xué)習(xí)，是很難達(dá)到優(yōu)異的成績。

考研路上，拼搏和堅持，是我們成功的必備要素。

王少棠

本科學(xué)校：南開大學(xué)法學(xué)

錄取學(xué)校：北大法學(xué)國際經(jīng)濟(jì)法方向第一名 總分：380+ 在來到凱程輔導(dǎo)之前，王少棠已經(jīng)決定了要拼搏北大法學(xué)院，他有自己的理想，對法學(xué)的癡迷的追求，決定到最高學(xué)府北大進(jìn)行深造，他的北大的夢想一直激勵著他前進(jìn)，在凱程輔導(dǎo)班的每一刻，他都認(rèn)真聽課、與老師溝通，每一個重點知識點都不放過，對于少棠來說，無疑是無比高興的是，圓夢北大法學(xué)院。在復(fù)試之后，王少棠與凱程老師進(jìn)行了深入溝通，凱程考研，考研機(jī)構(gòu)，10年高質(zhì)量輔導(dǎo)，值得信賴！以學(xué)員的前途為已任，為學(xué)員提供高效、專業(yè)的服務(wù)，團(tuán)隊合作,為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)員引路。

凱程考研

歷史悠久，專注考研，科學(xué)應(yīng)試，嚴(yán)格管理，成就學(xué)員！

講解了自己的考研經(jīng)驗，與廣大考北大法學(xué)，人大法學(xué)、貿(mào)大法學(xué)等同學(xué)們進(jìn)行了交流，錄制為經(jīng)驗談，在凱程官方網(wǎng)站能夠看到。

王少棠參加的是凱程考研輔導(dǎo)班，回憶自己的輔導(dǎo)班的經(jīng)歷，他說：“這是我一輩子也許學(xué)習(xí)最投入、最踏實的地方，我有明確的復(fù)習(xí)目標(biāo)，有老師制定的學(xué)習(xí)計劃、有生活老師、班主任、授課老師的管理，每天6點半就起床了，然后是吃早餐，進(jìn)教室里早讀，8點開始單詞與長難句測試，9點開始上課，中午半小時吃飯，然后又回到教室里學(xué)習(xí)了，夏天比較困了就在桌子上睡一會，下午接著上課，晚上自習(xí)、測試、答疑之類，晚上11點30熄燈睡覺?！?/p>

這樣的生活，貫穿了我在輔導(dǎo)班的整個過程，王少棠對他的北大夢想是如此的堅持，無疑，讓他忘記了在考研路上的辛苦，只有堅持的信念，只有對夢想的勇敢追求。

龔輝堂

本科西北工業(yè)大學(xué)物理

考入:五道口金融學(xué)院金融碩士(原中國人民銀行研究生部)作為跨地區(qū)跨?？鐚I(yè)的三跨考生,在凱程輔導(dǎo)班里經(jīng)常遇到的,五道口金融學(xué)院本身公平的的傳統(tǒng),讓他對五道口充滿了向往,所以他來到了凱程輔導(dǎo)班,在這里嚴(yán)格的訓(xùn)練,近乎嚴(yán)苛的要求,使他一個跨專業(yè)的學(xué)生,成功考入金融界的黃埔軍校,成為五道口金融學(xué)院一名優(yōu)秀的學(xué)生,實現(xiàn)了人生的重大轉(zhuǎn)折。

在凱程考研輔導(dǎo)班，雖然學(xué)習(xí)很辛苦，但是每天他都能感覺到自己在進(jìn)步，改變了自己以往在大學(xué)期間散漫的學(xué)習(xí)狀態(tài)，進(jìn)入了高強(qiáng)度學(xué)習(xí)狀態(tài)。在這里很多課程讓他收獲巨大，例如公司理財老師，推理演算，非常純熟到位，也是每個學(xué)生學(xué)習(xí)的榜樣，公司理財老師帶過很多學(xué)生，考的非常好。在學(xué)習(xí)過程中，拿下了這塊知識，去食堂午餐時候加一塊雞翅，經(jīng)常用小小的獎勵激勵自己，尋找學(xué)習(xí)的樂趣。在輔導(dǎo)班里，學(xué)習(xí)成績顯著上升。

在暑期，輔導(dǎo)班的課程排得非常滿，公共課、專業(yè)課、晚自習(xí)、答疑、測試，一天至少12個小時及以上。但是他們?nèi)匀惶貏e認(rèn)真，在這個沒有任何干擾的考研氛圍里，充實地學(xué)習(xí)。

在經(jīng)過暑期嚴(yán)格的訓(xùn)練之后，龔對自己考入五道口更有信心了。在與老師溝通之后，最終確定了五道口金融學(xué)院作為自己最后的抉擇，決定之后，讓他更加發(fā)奮努力。

五道口成績公布，龔輝堂成功了。這個封閉的考研集訓(xùn)，優(yōu)秀的學(xué)習(xí)氛圍，讓他感覺有質(zhì)的飛躍，成功的喜悅四處飛揚。

另外，在去年，石繼華，本科安徽大學(xué)，成功考入五道口金融學(xué)院，也就是說，我們只要努力，方向正確，就能取得優(yōu)異的成績。師弟師妹們加油，五道口、人大、中財、貿(mào)大這些名校等著你來。

黃同學(xué)(女生)本科院校：中國青年政治學(xué)院 報考院校：中國人民大學(xué)金融碩士 總分：跨專業(yè)380+

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凱程考研

歷史悠久，專注考研，科學(xué)應(yīng)試，嚴(yán)格管理，成就學(xué)員！

初試成績非常理想，離不開老師的辛勤輔導(dǎo)，離不開班主任的鼓勵，離不開她的努力，離不開所有關(guān)心她的人，圓夢人大金融碩士，實現(xiàn)了跨專業(yè)跨校的金融夢。

黃同學(xué)是一個非常靦腆的女孩子，英語基礎(chǔ)算是中等，專業(yè)課是0基礎(chǔ)開始復(fù)習(xí)，剛剛開始有點吃力，但是隨著課程的展開，完全能夠跟上了節(jié)奏。

初試成績公布下來，雖然考的不錯，班主任老師沒有放松對復(fù)試的輔導(dǎo)，確保萬無一失，拿到錄取通知書才是最終的塵埃落地，開始了緊張的復(fù)試指導(dǎo)，反復(fù)的模擬訓(xùn)練，常見問題、禮儀訓(xùn)練，專業(yè)知識訓(xùn)練，每一個細(xì)節(jié)都訓(xùn)練好之后，班主任終于放心地讓她去復(fù)試，果然，她以高分順利通過復(fù)試，拿到了錄取通知書。這是所有凱程輔導(dǎo)班班主任、授課老師、生活老師的成功。

張博，從山東理工大學(xué)考入北京大學(xué)法律碩士，我復(fù)習(xí)的比較晚，很慶幸選擇了凱程，法碩老師講的很到位，我復(fù)習(xí)起來減輕了不少負(fù)擔(dān)。愿大家在考研中馬到成功，也祝愿凱程越辦越好。

張亞婷，海南師范大學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)，考入了北京師范大學(xué)教育學(xué)部課程與教學(xué)論方向，成功實現(xiàn)了自己的北師大夢想。特別感謝凱程的徐影老師全方面的指導(dǎo)。

孫川川，西南大學(xué)考入中國傳媒大學(xué)藝術(shù)碩士，播音主持專業(yè)。在考研輔導(dǎo)班，進(jìn)步飛快，不受其他打擾，能夠全心全意投入到學(xué)習(xí)中。凱程老師也很負(fù)責(zé)，真的很感謝他們。

在凱程考研輔導(dǎo)班，他們在一起創(chuàng)造了一個又一個奇跡。從河南理工大學(xué)考入人大會計碩士的李夢說：考取人大，是我的夢想，我一直努力，肯定能夠成功的，只要我們不放棄，不拋棄，并且一直在努力前進(jìn)創(chuàng)造成功的條件，每個人都能夠成功。正確的方法+不懈的努力+良好的環(huán)境+嚴(yán)格的管理=成功。我相信，每個人都能夠成功。

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第二篇：考研高數(shù)知識點總結(jié)

綜合理解是在基礎(chǔ)知識點基礎(chǔ)上進(jìn)行的,加強(qiáng)綜合解題能力的訓(xùn)練,熟悉常見的考題的類型，下面是小編為你帶來的考研高數(shù)知識點總結(jié)，希望對你有所幫助。

高等數(shù)學(xué)是考研數(shù)學(xué)的重中之重，所占的比重較大，在數(shù)學(xué)一、三中占56%，數(shù)學(xué)二中占78%，重點難點較多。具體說來，大家需要重點掌握的知識點有幾以下幾點：

1.函數(shù)、極限與連續(xù)：主要考查極限的計算或已知極限確定原式中的常數(shù);討論函數(shù)連續(xù)性和判斷間斷點類型;無窮小階的比較;討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間上零點的個數(shù)或確定方程在給定區(qū)間上有無實根。

2.一元函數(shù)微分學(xué)：主要考查導(dǎo)數(shù)與微分的定義;各種函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的計算;利用洛比達(dá)法則求不定式極限;函數(shù)極值;方程的的個數(shù);證明函數(shù)不等式;與中值定理相關(guān)的證明;最大值、最小值在物理、經(jīng)濟(jì)等方面實際應(yīng)用;用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖形;求曲線漸近線。

3.一元函數(shù)積分學(xué)：主要考查不定積分、定積分及廣義積分的計算;變上限積分的求導(dǎo)、極限等;積分中值定理和積分性質(zhì)的證明;定積分的應(yīng)用，如計算旋轉(zhuǎn)面面積、旋轉(zhuǎn)體體積、變力作功等。

4.多元函數(shù)微分學(xué)：主要考查偏導(dǎo)數(shù)存在、可微、連續(xù)的判斷;多元函數(shù)和隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù);多元函數(shù)極值或條件極值在與經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用;二元連續(xù)函數(shù)在有界平面區(qū)域上的最大值和最小值。此外，數(shù)學(xué)一還要求會計算方向?qū)?shù)、梯度、曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線。

5.多元函數(shù)的積分學(xué)：包括二重積分在各種坐標(biāo)下的計算，累次積分交換次序。數(shù)一還要求掌握三重積分，曲線積分和曲面積分以及相關(guān)的重要公式。

6.微分方程及差分方程：主要考查一階微分方程的通解或特解;二階線性常系數(shù)齊次和非齊次方程的特解或通解;微分方程的建立與求解。差分方程的基本概念與一介常系數(shù)線形方程求解方法

由于微積分的知識是一個完整的體系，考試的題目往往帶有很強(qiáng)的綜合性，跨章節(jié)的題目很多，需要考生對整個學(xué)科有一個完整而系統(tǒng)的把握。最后凱程考研名師預(yù)祝大家都能取得好成績。

凱程教育張老師整理了幾個節(jié)約時間的準(zhǔn)則：一是要早做決定，趁早備考;二是要有計劃，按計劃前進(jìn);三是要跟時間賽跑，爭分奪秒?？傊佳惺且粓觥皶r間戰(zhàn)”，誰懂得抓緊時間，利用好時間，誰就是最后的勝利者。

1.制定詳細(xì)周密的學(xué)習(xí)計劃。

這里所說的計劃，不僅僅包括總的復(fù)習(xí)計劃，還應(yīng)該包括月計劃、周計劃，甚至是日計劃。努力做到這一點是十分困難的，但卻是非常必要的。我們要把學(xué)習(xí)計劃精確到每一天，這樣才能利用好每一天的時間。當(dāng)然，總復(fù)習(xí)計劃是從備考的第一天就應(yīng)該指定的;月計劃可以在每一輪復(fù)習(xí)開始之前，制定未來三個月的學(xué)習(xí)計劃。以此類推，具體到周計劃就是要在每個月的月初安排一月四周的學(xué)習(xí)進(jìn)程。那么，具體到每一天，可以在每周的星期一安排好周一到周五的學(xué)習(xí)內(nèi)容，或者是在每一天晚上做好第二天的學(xué)習(xí)計劃。并且，要在每一天睡覺之前檢查一下是否完成當(dāng)日的學(xué)習(xí)任務(wù)，時時刻刻督促自己按時完成計劃。

方法一：規(guī)劃進(jìn)度。分別制定總計劃、月計劃、周計劃、日計劃學(xué)習(xí)時間表，并把它們

貼在最顯眼的地方，時刻提醒自己按計劃進(jìn)行。

方法二：互相監(jiān)督。和身邊的同學(xué)一起安排計劃復(fù)習(xí)，互相監(jiān)督，共同進(jìn)步。

方法三：定期考核。定期對自己復(fù)習(xí)情況進(jìn)行考察，靈活運用筆試、背誦等多種形式。

2.分配好各門課程的復(fù)習(xí)時間。

一天的時間是有限的，同學(xué)們應(yīng)該按照一定的規(guī)律安排每天的學(xué)習(xí)，使時間得到最佳利用。一般來說上午的頭腦清醒、狀態(tài)良好，有利于背誦記憶。除去午休時間，下午的時間相對會少一些，并且下午人的精神狀態(tài)會相對低落。晚上相對安靜的外部環(huán)境和較好的大腦記憶狀態(tài)，將更有利于知識的理解和記憶。據(jù)科學(xué)證明，晚上特別是九點左右是一個人記憶力最好的時刻，演員們往往利用這段時間來記憶臺詞。因此，只要掌握了一天當(dāng)中每個時段的自然規(guī)律，再結(jié)合個人的生活學(xué)習(xí)習(xí)慣分配好時間，就能讓每一分每一秒都得到最佳利用。方法一：按習(xí)慣分配。根據(jù)個人生活學(xué)習(xí)習(xí)慣，把專業(yè)課和公共課分別安排在一天的不同時段。比如：把英語復(fù)習(xí)安排在上午，練習(xí)聽力、培養(yǎng)語感，做英語試題;把政治安排在下午，政治的掌握相對來說利用的時間較少;把專業(yè)課安排在晚上，利用最佳時間來理解和記憶。

方法二：按學(xué)習(xí)進(jìn)度分配?？忌梢愿鶕?jù)個人成績安排學(xué)習(xí)，把復(fù)習(xí)時間向比較欠缺的科目上傾斜，有計劃地重點復(fù)習(xí)某一課程。

方法三：交叉分配。在各門課程學(xué)習(xí)之間可以相互穿插別的科目的學(xué)習(xí)，因為長時間接受一種知識信息，容易使大腦產(chǎn)生疲勞。另外，也可以把一周每一天的同一時段安排不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

第三篇：考研數(shù)學(xué)高數(shù)重要知識點

考研數(shù)學(xué)高數(shù)重要知識點

摘要：從整個學(xué)科上來看，高數(shù)實際上是圍繞著、導(dǎo)數(shù)和積分這三種基本的運算展開的。對于每一種運算，我們首先要掌握它們主要的計算方法;熟練掌握計算方法后，再思考利用這種運算我們還可以解決哪些問題，比如會計算以后：那么我們就能解決函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)間斷點的分類，導(dǎo)數(shù)的定義這些問題。這樣一梳理，整個高數(shù)的邏輯體系就會比較清晰。

函數(shù)部分：

函數(shù)的計算方法很多，總結(jié)起來有十多種，這里我們只列出主要的：四則運算，等價無窮小替換，洛必達(dá)法則，重要，泰勒公式，中值定理，夾逼定理，單調(diào)有界收斂定理。每種方法具體的形式教材上都有詳細(xì)的講述，考生可以自己回顧一下，不太清晰的地方再翻到對應(yīng)的章節(jié)看一看。

接下來，我們來說說直接通過定義的基本概念：

通過，我們定義了函數(shù)的連續(xù)性：函數(shù)在處連續(xù)的定義是，根據(jù)的定義，我們知道該定義又等價于。所以討論函數(shù)的連續(xù)性就是計算。然后是間斷點的分類，討論函數(shù)間斷點的分類，需要計算左右。

再往后就是導(dǎo)數(shù)的定義了，函數(shù)在處可導(dǎo)的定義是存在，也可以寫成存在。這里的式與前面相比要復(fù)雜一點，但本質(zhì)上是一樣的。最后還有可微的定義，函數(shù)在處可微的定義是存在只與有關(guān)而與無關(guān)的常數(shù)使得時，有，其中。直接利用其定義，我們可以證明函數(shù)在一點可導(dǎo)和可微是等價的，它們都強(qiáng)于函數(shù)在該點連續(xù)。

以上就是這個體系下主要的知識點。

導(dǎo)數(shù)部分：

導(dǎo)數(shù)可以通過其定義計算，比如對分段函數(shù)在分段點上的導(dǎo)數(shù)。但更多的時候，我們是直接通過各種求導(dǎo)法則來計算的。主要的求導(dǎo)法則有下面這些：四則運算，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，反函數(shù)求導(dǎo)法則，變上限積分求導(dǎo)。其中變上限積分求導(dǎo)公式本質(zhì)上應(yīng)該是積分學(xué)的內(nèi)容，但出題的時候一般是和導(dǎo)數(shù)這一塊的知識點一起出的，所以我們就把它歸到求導(dǎo)法則里面了。

能熟練運用這些基本的求導(dǎo)法則之后，我們還需要掌握幾種特殊形式的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算：隱函數(shù)求導(dǎo)，參數(shù)方程求導(dǎo)。我們對導(dǎo)數(shù)的要求是不能有不會算的導(dǎo)數(shù)。這一部分的題目往往不難，但計算量比較大，需要考生有較高的熟練度。

然后是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)主要有如下幾個方面的應(yīng)用：切線，單調(diào)性，極值，拐點。每一部分都有一系列相關(guān)的定理，考生自行回顧一下。

這中間導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系是核心的考點，考試在考查這一塊時主要有三種考法：

①求單調(diào)區(qū)間或證明單調(diào)性;

②證明不等式;

③討論方程根的個數(shù)。

同時，導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系還是理解極值與拐點部分相關(guān)定理的基礎(chǔ)。另外，數(shù)學(xué)三的考生還需要注意導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用;數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二的考生還要掌握曲率的計算公式。

積分部分：

一元函數(shù)積分學(xué)首先可以分成不定積分和定積分，其中不定積分是計算定積分的基礎(chǔ)。對于不定積分，我們主要掌握它的計算方法：第一類換元法，第二類換元法，分部積分法。這三種方法要融會貫通，掌握各種常見形式函數(shù)的積分方法。

熟練掌握不定積分的計算技巧之后再來看一看定積分。定積分的定義考生需要稍微注意一下，考試對定積分的定義的要求其實就是兩個方面：會用定積分的定義計算一些簡單的;理解微元法(分割、近似、求和、取)。至于可積性的嚴(yán)格定義，考生沒有必要掌握。

然后是定積分這一塊相關(guān)的定理和性質(zhì)，這中間我們就提醒考生注意兩個定理：積分中值定理和微積分基本定理。這兩個定理的條件要記清楚，證明過程也要掌握，考試都直接或間接地考過。

至于定積分的計算，我們主要的方法是利用牛頓—萊布尼茲公式借助不定積分進(jìn)行計算，當(dāng)然還可以利用一些定積分的特殊性質(zhì)(如對稱區(qū)間上的積分)。

一般來說，只要不定積分的計算沒問題，定積分的計算也就不成問題。定積分之后還有個廣義積分，它實際上就是把積分過程和求的過程結(jié)合起來了?？荚噷@一部分的要求不太高，只要掌握常見的廣義積分收斂性的判別，再會進(jìn)行一些簡單的計算就可以了。

會計算積分了，再來看一看定積分的應(yīng)用。定積分的應(yīng)用分為幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用。其中幾何應(yīng)用包括平面圖形面積的計算，簡單的幾何體(主要是旋轉(zhuǎn)體)體積的計算，曲線弧長的計算，旋轉(zhuǎn)曲面面積的計算。物理應(yīng)用主要是一些常見物理量的計算，包括功，壓力，質(zhì)心，引力，轉(zhuǎn)動慣量等。其中數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二的考生需要全部掌握;數(shù)學(xué)三的考生只需掌握平面圖形面積的計算，簡單的幾何體(主要是旋轉(zhuǎn)體)體積的計算。這一部分題目的綜合性往往比較強(qiáng)，對考生綜合能力要求較高。

這就是高等數(shù)學(xué)整個學(xué)科從三種基本運算的角度梳理出來的主要知識點。除此之外，考生需要掌握的知識點還有多元函數(shù)微積分，它實際上是將一元函數(shù)中的，連續(xù)，可導(dǎo)，可微，積分等概念推廣到了多元函數(shù)的情況，考生可以按照上面一樣的思路來總結(jié)。

第四篇：考研高數(shù)精華知識點總結(jié)：分段函數(shù)

凱程考研

歷史悠久，專注考研，科學(xué)應(yīng)試，嚴(yán)格管理，成就學(xué)員！

考研高數(shù)精華知識點總結(jié)：分段函數(shù)

高等數(shù)學(xué)是考研數(shù)學(xué)考試中內(nèi)容最多的一部分，分值所占比例也最高。為此我們?yōu)榇蠹艺矸窒砹丝佳懈邤?shù)精華知識點總結(jié)之分段函數(shù)。凱程考研將第一時間滿足莘莘學(xué)子對考研信息的需求，并及時進(jìn)行權(quán)威發(fā)布，敬請關(guān)注!

分段函數(shù)：

1、分段函數(shù)：定義域中各段的x與y的對應(yīng)法則不同，函數(shù)式是分兩段或幾段給出的;

分段函數(shù)是一個函數(shù)，定義域、值域都是各段的并集。

2、絕對值函數(shù)去掉絕對符號后就是分段函數(shù)。

3、分段函數(shù)中的問題一般是求解析式、反函數(shù)、值域或最值，討論奇偶性單調(diào)性等。

4、分段函數(shù)的處理方法：分段函數(shù)分段研究。

抽象函數(shù)：我們把沒有給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù);

一般形式為y=f(x)，或許還附有定義域、值域等，如：y=f(x)，(x>0，y>0)。

凱程考研，考研機(jī)構(gòu)，10年高質(zhì)量輔導(dǎo)，值得信賴！以學(xué)員的前途為已任，為學(xué)員提供高效、專業(yè)的服務(wù)，團(tuán)隊合作,為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)員引路。

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凱程考研：

凱程考研成立于2005年，具有悠久的考研輔導(dǎo)歷史，國內(nèi)首家全日制集訓(xùn)機(jī)構(gòu)考研，一直從事高端全日制輔導(dǎo)，由李海洋教授、張鑫教授、盧營教授、王洋教授、楊武金教授、張釋然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高級考研教研隊伍組成，為學(xué)員全程高質(zhì)量授課、答疑、測試、督導(dǎo)、報考指導(dǎo)、方法指導(dǎo)、聯(lián)系導(dǎo)師、復(fù)試等全方位的考研服務(wù)。凱程考研的宗旨：讓學(xué)習(xí)成為一種習(xí)慣； 凱程考研的價值觀：凱旋歸來，前程萬里； 信念：讓每個學(xué)員都有好最好的歸宿；

使命：完善全新的教育模式，做中國最專業(yè)的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)； 激情：永不言棄，樂觀向上；

敬業(yè)：以專業(yè)的態(tài)度做非凡的事業(yè)；

服務(wù)：以學(xué)員的前途為已任，為學(xué)員提供高效、專業(yè)的服務(wù)，團(tuán)隊合作，為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)員引路。

特別說明：凱程學(xué)員經(jīng)驗談視頻在凱程官方網(wǎng)站有公布，同學(xué)們和家長可以查看。扎扎實實的輔導(dǎo)，真真實實的案例，凱程考研的價值觀：凱旋歸來，前程萬里。

如何選擇考研輔導(dǎo)班：

在考研準(zhǔn)備的過程中，會遇到不少困難，尤其對于跨專業(yè)考生的專業(yè)課來說，通過報輔導(dǎo)班來彌補(bǔ)自己復(fù)習(xí)的不足，可以大大提高復(fù)習(xí)效率，節(jié)省復(fù)習(xí)時間，大家可以通過以下幾個方面來考察輔導(dǎo)班，或許能幫你找到適合你的輔導(dǎo)班。

師資力量：師資力量是考察輔導(dǎo)班的首要因素，考生可以針對輔導(dǎo)名師的輔導(dǎo)年限、輔導(dǎo)經(jīng)驗、歷年輔導(dǎo)效果、學(xué)員評價等因素進(jìn)行綜合評價，詢問往屆學(xué)長然后選擇。判斷師資力量關(guān)鍵在于綜合實力，因為任何一門課程，都不是由

一、兩個教師包到底的，是一批教師配合的結(jié)果。還要深入了解教師的學(xué)術(shù)背景、資料著述成就、輔導(dǎo)成就等。凱程考研名師云集，李海洋、張鑫教授、方浩教授、盧營教授、孫浩教授等一大批名師在凱程授課。而有的機(jī)構(gòu)只是很普通的老師授課，對知識點把握和命題方向，欠缺火候。

對該專業(yè)有輔導(dǎo)歷史：必須對該專業(yè)深刻理解，才能深入輔導(dǎo)學(xué)員考取該校。在考研輔導(dǎo)班

凱程考研，考研機(jī)構(gòu)，10年高質(zhì)量輔導(dǎo)，值得信賴！以學(xué)員的前途為已任，為學(xué)員提供高效、專業(yè)的服務(wù)，團(tuán)隊合作,為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)員引路。

凱程考研

歷史悠久，專注考研，科學(xué)應(yīng)試，嚴(yán)格管理，成就學(xué)員！

中，從來見過如此輝煌的成績：凱程教育拿下2015五道口金融學(xué)院狀元，考取五道口15人，清華經(jīng)管金融碩士10人，人大金融碩士15個，中財和貿(mào)大金融碩士合計20人，北師大教育學(xué)7人，會計碩士保錄班考取30人，翻譯碩士接近20人，中傳狀元王園璐、鄭家威都是來自凱程，法學(xué)方面，凱程在人大、北大、貿(mào)大、政法、武漢大學(xué)、公安大學(xué)等院校斬獲多個法學(xué)和法碩狀元，更多專業(yè)成績請查看凱程網(wǎng)站。在凱程官方網(wǎng)站的光榮榜，成功學(xué)員經(jīng)驗談視頻特別多，都是凱程戰(zhàn)績的最好證明。對于如此高的成績，凱程集訓(xùn)營班主任邢老師說，凱程如此優(yōu)異的成績，是與我們凱程嚴(yán)格的管理，全方位的輔導(dǎo)是分不開的，很多學(xué)生本科都不是名校，某些學(xué)生來自二本三本甚至不知名的院校，還有很多是工作了多年才回來考的，大多數(shù)是跨專業(yè)考研，他們的難度大，競爭激烈，沒有嚴(yán)格的訓(xùn)練和同學(xué)們的刻苦學(xué)習(xí)，是很難達(dá)到優(yōu)異的成績。最好的辦法是直接和凱程老師詳細(xì)溝通一下就清楚了。

凱程考研歷年戰(zhàn)績輝煌，成就顯著！

在考研輔導(dǎo)班中，從來見過如此輝煌的成績：凱程教育拿下國內(nèi)最高學(xué)府清華大學(xué)五道口金融學(xué)院金融碩士29人，占五道口金融學(xué)院錄取總?cè)藬?shù)的約50%，五道口金融學(xué)院歷年狀元均出自凱程.例如，2014年狀元武玄宇,2013年狀元李少華，2012年狀元馬佳偉，2011年狀元陳玉倩;考入北大經(jīng)院、人大、中財、外經(jīng)貿(mào)、復(fù)旦、上財、上交、社科院、中科院金融碩士的同學(xué)更是喜報連連，總計達(dá)到150人以上，此外，還有考入北大清華人大法碩的張博等10人，北大法學(xué)考研王少棠，北大法學(xué)經(jīng)濟(jì)法狀元王yuheng等5人成功考入北大法學(xué)院，另外有數(shù)10人考入人大貿(mào)大政法公安大學(xué)等名校法學(xué)院。北師大教育學(xué)和全日制教育碩士輔導(dǎo)班學(xué)員考入15人，創(chuàng)造了歷年最高成績。會計碩士保錄班考取30多人，中傳鄭家威勇奪中傳新聞傳播碩士狀元，王園璐勇奪中傳全日制藝術(shù)碩士狀元，（他們的經(jīng)驗談視頻在凱程官方網(wǎng)站有公布，隨時可以查看播放。）對于如此優(yōu)異的成績，凱程輔導(dǎo)班班主任邢老師說，凱程如此優(yōu)異的成績，是與我們凱程嚴(yán)格的管理，全方位的輔導(dǎo)是分不開的，很多學(xué)生本科都不是名校，某些學(xué)生來自二本三本甚至不知名的院校，還有很多是工作了多年才回來考的，大多數(shù)是跨專業(yè)考研，他們的難度大，競爭激烈，沒有嚴(yán)格的訓(xùn)練和同學(xué)們的刻苦學(xué)習(xí)，是很難達(dá)到優(yōu)異的成績。

考研路上，拼搏和堅持，是我們成功的必備要素。

王少棠

本科學(xué)校：南開大學(xué)法學(xué)

錄取學(xué)校：北大法學(xué)國際經(jīng)濟(jì)法方向第一名 總分：380+ 在來到凱程輔導(dǎo)之前，王少棠已經(jīng)決定了要拼搏北大法學(xué)院，他有自己的理想，對法學(xué)的癡迷的追求，決定到最高學(xué)府北大進(jìn)行深造，他的北大的夢想一直激勵著他前進(jìn)，在凱程凱程考研，考研機(jī)構(gòu)，10年高質(zhì)量輔導(dǎo)，值得信賴！以學(xué)員的前途為已任，為學(xué)員提供高效、專業(yè)的服務(wù)，團(tuán)隊合作,為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)員引路。

凱程考研

歷史悠久，專注考研，科學(xué)應(yīng)試，嚴(yán)格管理，成就學(xué)員！

輔導(dǎo)班的每一刻，他都認(rèn)真聽課、與老師溝通，每一個重點知識點都不放過，對于少棠來說，無疑是無比高興的是，圓夢北大法學(xué)院。在復(fù)試之后，王少棠與凱程老師進(jìn)行了深入溝通，講解了自己的考研經(jīng)驗，與廣大考北大法學(xué)，人大法學(xué)、貿(mào)大法學(xué)等同學(xué)們進(jìn)行了交流，錄制為經(jīng)驗談，在凱程官方網(wǎng)站能夠看到。

王少棠參加的是凱程考研輔導(dǎo)班，回憶自己的輔導(dǎo)班的經(jīng)歷，他說：“這是我一輩子也許學(xué)習(xí)最投入、最踏實的地方，我有明確的復(fù)習(xí)目標(biāo)，有老師制定的學(xué)習(xí)計劃、有生活老師、班主任、授課老師的管理，每天6點半就起床了，然后是吃早餐，進(jìn)教室里早讀，8點開始單詞與長難句測試，9點開始上課，中午半小時吃飯，然后又回到教室里學(xué)習(xí)了，夏天比較困了就在桌子上睡一會，下午接著上課，晚上自習(xí)、測試、答疑之類，晚上11點30熄燈睡覺?！?/p>

這樣的生活，貫穿了我在輔導(dǎo)班的整個過程，王少棠對他的北大夢想是如此的堅持，無疑，讓他忘記了在考研路上的辛苦，只有堅持的信念，只有對夢想的勇敢追求。

龔輝堂

本科西北工業(yè)大學(xué)物理

考入:五道口金融學(xué)院金融碩士(原中國人民銀行研究生部)作為跨地區(qū)跨?？鐚I(yè)的三凱程生,在凱程輔導(dǎo)班里經(jīng)常遇到的,五道口金融學(xué)院本身公平的的傳統(tǒng),讓他對五道口充滿了向往,所以他來到了凱程輔導(dǎo)班,在這里嚴(yán)格的訓(xùn)練,近乎嚴(yán)苛的要求,使他一個跨專業(yè)的學(xué)生,成功考入金融界的黃埔軍校,成為五道口金融學(xué)院一名優(yōu)秀的學(xué)生,實現(xiàn)了人生的重大轉(zhuǎn)折。

在凱程考研輔導(dǎo)班，雖然學(xué)習(xí)很辛苦，但是每天他都能感覺到自己在進(jìn)步，改變了自己以往在大學(xué)期間散漫的學(xué)習(xí)狀態(tài)，進(jìn)入了高強(qiáng)度學(xué)習(xí)狀態(tài)。在這里很多課程讓他收獲巨大，例如公司理財老師，推理演算，非常純熟到位，也是每個學(xué)生學(xué)習(xí)的榜樣，公司理財老師帶過很多學(xué)生，考的非常好。在學(xué)習(xí)過程中，拿下了這塊知識，去食堂午餐時候加一塊雞翅，經(jīng)常用小小的獎勵激勵自己，尋找學(xué)習(xí)的樂趣。在輔導(dǎo)班里，學(xué)習(xí)成績顯著上升。

在暑期，輔導(dǎo)班的課程排得非常滿，公共課、專業(yè)課、晚自習(xí)、答疑、測試，一天至少12個小時及以上。但是他們?nèi)匀惶貏e認(rèn)真，在這個沒有任何干擾的考研氛圍里，充實地學(xué)習(xí)。

在經(jīng)過暑期嚴(yán)格的訓(xùn)練之后，龔對自己考入五道口更有信心了。在與老師溝通之后，最終確定了五道口金融學(xué)院作為自己最后的抉擇，決定之后，讓他更加發(fā)奮努力。

五道口成績公布，龔輝堂成功了。這個封閉的考研集訓(xùn)，優(yōu)秀的學(xué)習(xí)氛圍，讓他感覺有質(zhì)的飛躍，成功的喜悅四處飛揚。

另外，在去年，石繼華，本科安徽大學(xué)，成功考入五道口金融學(xué)院，也就是說，我們只要努力，方向正確，就能取得優(yōu)異的成績。師弟師妹們加油，五道口、人大、中財、貿(mào)大這些名校等著你來。

黃同學(xué)(女生)本科院校：中國青年政治學(xué)院

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報考院校：中國人民大學(xué)金融碩士 總分：跨專業(yè)380+ 初試成績非常理想，離不開老師的辛勤輔導(dǎo)，離不開班主任的鼓勵，離不開她的努力，離不開所有關(guān)心她的人，圓夢人大金融碩士，實現(xiàn)了跨專業(yè)跨校的金融夢。

黃同學(xué)是一個非常靦腆的女孩子，英語基礎(chǔ)算是中等，專業(yè)課是0基礎(chǔ)開始復(fù)習(xí)，剛剛開始有點吃力，但是隨著課程的展開，完全能夠跟上了節(jié)奏。

初試成績公布下來，雖然考的不錯，班主任老師沒有放松對復(fù)試的輔導(dǎo)，確保萬無一失，拿到錄取通知書才是最終的塵埃落地，開始了緊張的復(fù)試指導(dǎo)，反復(fù)的模擬訓(xùn)練，常見問題、禮儀訓(xùn)練，專業(yè)知識訓(xùn)練，每一個細(xì)節(jié)都訓(xùn)練好之后，班主任終于放心地讓她去復(fù)試，果然，她以高分順利通過復(fù)試，拿到了錄取通知書。這是所有凱程輔導(dǎo)班班主任、授課老師、生活老師的成功。

張博，從山東理工大學(xué)考入北京大學(xué)法律碩士，我復(fù)習(xí)的比較晚，很慶幸選擇了凱程，法碩老師講的很到位，我復(fù)習(xí)起來減輕了不少負(fù)擔(dān)。愿大家在考研中馬到成功，也祝愿凱程越辦越好。

張亞婷，海南師范大學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)，考入了北京師范大學(xué)教育學(xué)部課程與教學(xué)論方向，成功實現(xiàn)了自己的北師大夢想。特別感謝凱程的徐影老師全方面的指導(dǎo)。

孫川川，西南大學(xué)考入中國傳媒大學(xué)藝術(shù)碩士，播音主持專業(yè)。在考研輔導(dǎo)班，進(jìn)步飛快，不受其他打擾，能夠全心全意投入到學(xué)習(xí)中。凱程老師也很負(fù)責(zé)，真的很感謝他們。

在凱程考研輔導(dǎo)班，他們在一起創(chuàng)造了一個又一個奇跡。從河南理工大學(xué)考入人大會計碩士的李夢說：考取人大，是我的夢想，我一直努力，肯定能夠成功的，只要我們不放棄，不拋棄，并且一直在努力前進(jìn)創(chuàng)造成功的條件，每個人都能夠成功。正確的方法+不懈的努力+良好的環(huán)境+嚴(yán)格的管理=成功。我相信，每個人都能夠成功。

凱程考研，考研機(jī)構(gòu)，10年高質(zhì)量輔導(dǎo)，值得信賴！以學(xué)員的前途為已任，為學(xué)員提供高效、專業(yè)的服務(wù)，團(tuán)隊合作,為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)員引路。

第五篇：考研.數(shù)學(xué) 高數(shù)總結(jié)3

定積分理論

一、實際應(yīng)用背景

1、運動問題—設(shè)物體運動速度為v?v(t)，求t?[a,b]上物體走過的路程。

（1）取a?t0?t1???tn?b，[a,b]?[t0,t1]?[t1,t2]???[tn?1,tn]，其中?ti?ti?ti?1(1?i?n)；

（2）任取?i?[xi?1,xi](1?i?n)，S?

n?f(?)?t； iii?1

iin（3）取??max{?xi}，則S?lim1?i?n??0?f(?)?x i?12、曲邊梯形的面積—設(shè)曲線L:y?f(x)?0(a?x?b)，由L,x?a,x?b及x軸圍成的區(qū)域稱為曲邊梯形，求其面積。

（1）取a?x0?x1???xn?b，[a,b]?[x0,x1]?[x1,x2]???[xn?1,xn]，其中?xi?xi?xi?1(1?i?n)；

（2）任取?i?[xi?1,xi](1?i?n)，A?

n?f(?)?x； iii?1

iin（3）取??max{?xi}，則A?lim1?i?n??0?f(?)?x。i?1

二、定積分理論

（一）定積分的定義—設(shè)f(x)為[a,b]上的有界函數(shù)，（1）取a?x0?x1???xn?b，[a,b]?[x0,x1]?[x1,x2]???[xn?1,xn]，其中?xi?xi?xi?1(1?i?n)；

（2）任取?i?[xi?1,xi](1?i?n)，作

n?f(?)?x； iii?1

inax{?xi}，（3）取??m若lim1?i?n??0?f(?)?x存在，稱f(x)在[a,b]上可積，極限稱為f(x)i

i?1

在[a,b]上的定積分，記?b

af(x)dx，即?f(x)dx?lim?f(?i)?xi。abn??0i?1

【注解】

（1）極限與區(qū)間的劃分及?i的取法無關(guān)。

n

?1,x?Q

【例題】當(dāng)x?[a,b]時，令f(x)??，對lim?f(?i)?xi，??0

i?1?0,x?RQ

n

n

情形一：取所有?i?Q(1?i?n)，則lim

??0

?f(?)?x

i

i?1

n

i

?lim??xi?b?a；

??0

i?1

情形二：取所有?i?RQ(1?i?n)，則lim

??0

n

?f(?)?x

i

i?1

i

?0，所以極限lim

??0

?f(?)?x不存在，于是f(x)在[a,b]上不可積。

i

i

i?1

（2）??0?n??，反之不對。

112n?1n1,]，?xi?(1?i?n)；

nnnnnn

i?1i

取法：取?i?或?i?(1?i?n)，則

nn

分法：等分，即[0,1]?[0,]?[,]???[

?

1ni1ni?1

f(x)dx?lim?f()?lim?f()。

n??nn??nni?1ni?1

則

?

b

a

b?anif(x)dx?limf[a?(b?a)]。?n??ni?1n

1n2i【例題1】求極限lim??。

n??nni?1

11n2i

【解答】lim?????2xdx。

0n??nni?1

【例題2】求極限lim（n??

1n?1

?

?

1n?2

???

???

1n?n)。

22)

【解答】lim（n??

1n?1

?

1n?

21n?n1n

?()2

n

1?lim[n??n

11?()2

n

2?()2

n

???

]??

dx?x

三、定積分的普通性質(zhì)1、2、3、4、?[f(x)?g(x)]dx??

a

bb

a

f(x)dx??g(x)dx。

a

b

?kf(x)dx?k?

a

bb

a

f(x)dx。

bc

?

b

a

f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx。

a

c

?

b

a

dx?b?a。

5、設(shè)f(x)?0(a?x?b)，則【證明】

?

b

a

f(x)dx?0。

?

b

a

f(x)dx?lim?f(?i)?xi，??0

i?1

n

因為f(x)?0，所以f(?i)?0，又因為a?b，所以?xi?0，于是

n

?f(?)?x

i

i?1

n

i

?0，由極限保號性得

lim?f(?i)?xi?0，即?f(x)dx?0。

??0

i?1

b

a

（1）

?

b

a

f(x)dx??|f(x)|dx(a?b)。

a

b

（2）設(shè)f(x)?g(x)(a?x?b)，則

?

b

a

f(x)dx??g(x)dx。

a

b

6（積分中值定理）設(shè)f(x)?C[a,b]，則存在??[a,b]，使得

四、定積分基本理論

定理1 設(shè)f(x)?C[a,b]，令?(x)?

?

b

a

f(x)dx?f(?)(b?a)。

?

x

a

f(t)dt，則?(x)為f(x)的一個原函數(shù)，即

??(x)?f(x)。

【注解】

（1）連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)。

dx

f(t)dt?f(x)，（2）?adx

d?(x)

f(t)dt?f[?(x)]??(x)。?adx

d?2(x)

?(x)?f[?1(x)]?1?(x)。f(t)dt?f[?2(x)]?2（3）

dx??1(x)

【例題1】設(shè)f(x)連續(xù)，且?(x)?【解答】?(x)?

x

?(x?t)f(t)dt，求???(x)。

0x0

x

?(x?t)f(t)dt?x?

0f(t)dt??tf(t)dt，x

??(x)??f(t)dt?xf(x)?xf(x)??f(t)dt，???(x)?f(x)。

xx

【例題2】設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且?(x)?【解答】?(x)?

x2?t2?u

?tf(x

x

?t2)dt，求??(x)。

?

x

tf(x2?t2)dt??

1x2222

f(x?t)d(x?t)2?0

101x2

???2f(u)du??f(u)du，2x20

f(x2)?2x?xf(x2)。2

??(x)?

定理2（牛頓—萊布尼茲公式）設(shè)f(x)?C[a,b]，且F(x)為f(x)的一個原函數(shù)，則

?

b

a

f(x)dx?F(b)?F(a)。

【證明】由F?(x)?f(x),??(x)?f(x)得[F(x)??(x)]??f(x)?f(x)?0，從而F(x)??(x)?constant，于是F(b)??(b)?F(a)??(a)，注意到?(a)?0，所以?(b)?F(b)?F(a)，即

五、定積分的積分法

（一）換元積分法—設(shè)f(x)?C[a,b]，令x??(t)，其中?(t)可導(dǎo)，且??(t)?0，其中

?

b

a

f(x)dx?F(b)?F(a)。

?(?)?a,?(?)?b，則?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt。

a

b?

?

（二）分部積分法—

?udv?uv??vdu。

a

a

a

b

b

b

六、定積分的特殊性質(zhì)

1、對稱區(qū)間上函數(shù)的定積分性質(zhì) 設(shè)f(x)?C[?a,a]，則（1）則

?

a

?a

f(x)dx??[f(x)?f(?x)]dx。

a

（2）若f(?x)?f(x)，則

?

a

?a

f(x)dx?2?f(x)dx。

a

（3）若f(?x)??f(x)，則

?

a

?a

f(x)dx?0。

【例題1】設(shè)f(x),g(x)?C[?a,a]，其中f(x)?f(?x)?A,g(x)為偶函數(shù)，證明：

?

a

?a

f(x)g(x)dx?A?g(x)dx。

a

【解答】

a

?

a

?a

f(x)g(x)dx??[f(x)g(x)?f(?x)g(?x)]dx

a0

a

??[f(x)?f(?x)]g(x)dx?A?g(x)dx。

?

（2）計算

??arctane

2?2

x

|sinx|dx。

?

?

【解答】

?

?

?

arctane|sinx|dx??2(arctanex?arctane?x)sinxdx，x

?x

x

exe?x

??0，因為(arctane?arctane)??2x?2x

1?e1?e

所以arctanex?arctane?x?C0，取x?0得C0?

?

?，于是

??arctane|sinx|dx?

2?2

x

?

?

2?

sinxdx?

?。

2、周期函數(shù)定積分性質(zhì) 設(shè)f(x)以T為周期，則（1）

?

a?T

a

。f(x)dx??f(x)dx，其中a為任意常數(shù)（周期函數(shù)的平移性質(zhì)）

T

如

?

3?

?

?

?

?

?

sinxdx??2?sinxdx?2?2sin2xdx。

（2）

?

nT

f(x)dx?n?f(x)dx。

T3、特殊區(qū)間上三角函數(shù)定積分性質(zhì)

?

?

（1）設(shè)f(x)?C[0,1]，則

?

?

f(sinx)dx??2f(cosx)dx，特別地，?

sinxdx??cosxdx?In，且In?

n

?

n

n?1?

In?2,I0?,I1?1。n2

sinx

【例題1】計算?2?dx。

?1?ex2

?

sin4xsin4xsin4x2【解答】??dx??(?)dx ?x01?ex?1?ex1?e2

??

1131?3?42sin4xdx?I???2(?)sinxdx????。4?x?01?ex0422161?e

??

【例題2】計算【解答】

?

?cos?xdx。

?

?cos?xdx?

??

?cos?xd(?x)?

??

100?

?cosxdx

?

?

?

?

2?

?cosxdx?

?

??

?

?

?cosxdx?

?

?

?

?cosxdx

?

?

?

?

1?cosx2?xx222

。dx?sind()?sinxdx???002?22??