選填題(五)
一、單項(xiàng)選擇題
1．(2020·湖南衡陽(yáng)高三下學(xué)期二模)已知集合A＝{x∈N|ln2x<1}，則A＝()
A.B．{1}
C．{2}
D．{1,2}
答案 D
解析 由ln2x<1，可得－1 x<1，所以 A．13 B．5 C． D． 答案 A 解析 ∵z1＝3＋2i是方程z2－6z＋b＝0(b∈R)的根，∴(3＋2i)2－6(3＋2i)＋b＝0，解得b＝13.故選A.3．(2020·山東青島一模)已知某市居民在2019年用于手機(jī)支付的個(gè)人消費(fèi)額ξ(單位：元)服從正態(tài)分布N(2000,1002)，則該市某居民手機(jī)支付的消費(fèi)額在(1900,2200)內(nèi)的概率為() 附：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.9974.A．0.9759 B．0.84 C．0.8185 D．0.4772 答案 C 解析 ∵ξ服從正態(tài)分布N(2000,1002)，∴μ＝2000，σ＝100，則P(1900<ξ<2200)＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＋[P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)]＝0.6826＋×(0.9544－0.6826)＝0.8185.故選C.4．(2020·山東德州一模)函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[－3,0)∪(0,3]上的大致圖象為() 答案 C 解析 f(x)＝，f(－x)＝＝－f(x)，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，排除A，D；f(3)＝>0，排除B.故選C.5．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則△ABC的形狀為() A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 答案 A 解析 ∵cos2＝＝，∴cosB＝＝，解得a2＋b2＝c2，則角C為直角，則△ABC的形狀為直角三角形．故選A.6．(2020·山東日照一模)已知f(x)＝x·2|x|，a＝f，b＝f，c＝f(ln 3)，則a，b，c的大小關(guān)系為() A．c>b>a B．b>c>a C．a(chǎn)>b>c D．c>a>b 答案 D 解析 由題意得，f(x)＝∴當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0.∵log3 2＝2x(1＋xln 2)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∵0＝log31 e 3，∴f(ln 3)>f(log3)>0.綜上所述，c>a>b.故選D.7．(2020·山東濰坊高密一模)已知拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，直線PF與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若＝3，則|MN|＝() A.B． C．2 D． 答案 B 解析 拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l為直線x＝－，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，M，N到準(zhǔn)線的距離分別為dM，dN，由拋物線的定義可知|MF|＝dM＝x1＋，|NF|＝dN＝x2＋，于是|MN|＝|MF|＋|NF|＝x1＋x2＋1.∵＝3，∴|PM|＝2dM，易知：直線MN的斜率為±，∵F，∴直線PF的方程為y＝±，將y＝±代入方程y2＝2x，得32＝2x，化簡(jiǎn)得12x2－20x＋3＝0，∴x1＋x2＝，于是|MN|＝x1＋x2＋1＝＋1＝.故選B.8．(2020·全國(guó)卷Ⅱ)已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上．若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為() A.B． C．1 D． 答案 C 解析 設(shè)球O的半徑為R，則4πR2＝16π，解得R＝2.設(shè)△ABC外接圓的半徑為r，邊長(zhǎng)為a,∵△ABC是面積為的等邊三角形，∴a2×＝，解得a＝3，∴r＝× ＝× ＝，∴球心O到平面ABC的距離d＝＝＝1.故選C.二、多項(xiàng)選擇題 9．(2020·海南二模)產(chǎn)能利用率是工業(yè)總產(chǎn)出對(duì)生產(chǎn)設(shè)備的比率，反映了實(shí)際生產(chǎn)能力到底有多少在運(yùn)轉(zhuǎn)發(fā)揮生產(chǎn)作用．汽車制造業(yè)的產(chǎn)能利用率的正常值區(qū)間為79%～83%，稱為“安全線”．如圖是2017年第3季度到2019年第4季度的中國(guó)汽車制造業(yè)的產(chǎn)能利用率的統(tǒng)計(jì)圖．以下結(jié)論正確的是() A．10個(gè)季度中，汽車產(chǎn)能利用率低于“安全線”的季度有5個(gè) B．10個(gè)季度中，汽車產(chǎn)能利用率的中位數(shù)為78.75% C．2018年4個(gè)季度的汽車產(chǎn)能利用率的平均數(shù)為79.9% D．與上一季度相比，汽車產(chǎn)能利用率變化最大的是2019年第4季度 答案 AC 解析 10個(gè)季度中，汽車產(chǎn)能利用率低于“安全線”的季度為2018年第4季度到2019年第4季度，共5個(gè)季度，A正確；10個(gè)季度中，汽車產(chǎn)能利用率的中位數(shù)為＝79.05%，B錯(cuò)誤；由題圖可知，2018年4個(gè)季度的汽車產(chǎn)能利用率的平均數(shù)為＝79.9%，C正確；與上一季度相比，汽車產(chǎn)能利用率變化最大的是2018年第1季度，與上一季度相差2.9%，而2019年第4季度與上一季度相差2.4%，D錯(cuò)誤．故選AC.10．設(shè){an}(n∈N*)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，Kn是其前n項(xiàng)的積，且K5 A．0 B．a(chǎn)7＝1 C．K9>K5 D．K6與K7均為Kn的最大值 答案 ABD 解析 由K5 A．若PA，PB的斜率分別為k1，k2，則k1k2＝－3 B．mn> C．4m＋n的最小值為 D．|AB|的最小值為 答案 ABD 解析 由題意，知雙曲線的漸近線為y＝±x，即x±y＝0，設(shè)P(x0，y0)，不妨設(shè)P在第一象限，A在漸近線x－y＝0上，則k1＝－，k2＝，k1k2＝－3，A正確；P在雙曲線上，則－y＝1，x－3y＝3，m＝，n＝，∴mn＝＝>，B正確；4m＋n≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)4m＝n時(shí)等號(hào)成立，即4m＋n的最小值為2，C錯(cuò)誤；漸近線y＝x的斜率為k＝＝，傾斜角為，兩漸近線夾角為，∴∠APB＝，|AB|2＝m2＋n2－2mncos＝m2＋n2＋mn≥3mn＝，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)等號(hào)成立，∴|AB|≥，∴|AB|的最小值為，D正確．故選ABD.12．(2020·山東臨沂二模、棗莊三調(diào))設(shè)函數(shù)f(x)＝，則下列結(jié)論正確的是() A．f(x)≤1 B．|f(x)|≤4|x| C．曲線y＝f(x)存在對(duì)稱軸 D．曲線y＝f(x)存在對(duì)稱軸中心 答案 ABC 解析 f(x)＝＝，2＋1≥1，sinπx≤1，所以f(x)≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)，f(x)＝1，故A正確；|f(x)|≤4|x|等價(jià)于|sinπx|≤4|x||x2－x＋|.當(dāng)x≥0時(shí)，設(shè)g(x)＝x－sinx，g′(x)＝1－cosx，g(x)單調(diào)遞增，g(x)≥g(0)＝0，所以x≥sinx，因?yàn)閥＝|x|，y＝|sinx|都是偶函數(shù)，所以|sinx|≤|x|恒成立，所以|sinπx|≤|πx|恒成立，4|x|·|x2－x＋|≥4|x|×1＝4|x|，又|4x|≥|πx|，所以|sinπx|≤|4x||x2－x＋|，故B正確；y＝sinπx的圖象關(guān)于x＝對(duì)稱，y＝x2－x＋＝2＋1關(guān)于x＝對(duì)稱，所以曲線y＝f(x)存在對(duì)稱軸x＝，故C正確；若曲線y＝f(x)存在對(duì)稱中心，設(shè)對(duì)稱中心為(a，b)，所以f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，令x＝0，f(a)＝b，令x＝a，f(2a)＝2b，則f(2a)＝2f(a)，即只有sinaπ＝0時(shí)成立，從而a為整數(shù)，b＝0，令x＝，f＋f＝0，不一定成立，故D不正確．故選ABC.三、填空題 13．(2020·湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)高考模擬二)設(shè)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)＝x＋ex，則f′(1)＝________.答案 2 解析 因?yàn)閒(ex)＝x＋ex，所以f(x)＝x＋ln x(x>0)，所以f′(x)＝1＋，所以f′(1)＝2.14．(2020·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三4月高考預(yù)測(cè))從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務(wù)，每天安排一人，每人只參加一天．若要求甲、乙兩人至少選一人參加，且當(dāng)甲、乙兩人都參加時(shí)，他們參加社區(qū)服務(wù)的日期不相鄰，那么不同的安排種數(shù)為________．(用數(shù)字作答) 答案 5040 解析 分兩類，一類是甲乙都參加，另一類是甲乙中選一人，故不同的安排種數(shù)為N＝AA＋CCA＝1440＋3600＝5040.15．(2020·山東菏澤高三聯(lián)考)已知直線Ax＋By＋C＝0(其中A2＋B2＝C2，C≠0)與圓x2＋y2＝6交于點(diǎn)M，N，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MN|＝________，·＝________.答案 2?。?0 解析 取MN的中點(diǎn)為D，連接OD，則OD⊥MN.由A2＋B2＝C2，C≠0可知，圓心到直線Ax＋By＋C＝0的距離d＝＝1，|MN|＝2＝2＝2.＝＋＝＋，·＝·＝－2＝－10.16．在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴(kuò)展”．將數(shù)列1,2進(jìn)行“擴(kuò)展”，第一次得到1,2,2；第二次得到數(shù)列1,2,2,4,2；…；第n次“擴(kuò)展”后得到的數(shù)列為1，x1，x2，…，xt,2.并記an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.答案 解析 由an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，得 an＋1＝log2(1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·x2·…·xt·(xt·2)·2) ＝log2＝3an－1，設(shè)an＋1＋k＝3(an＋k)，即an＋1＝3an＋2k，可得k＝－，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，故an－＝·3n－1，所以an＝.
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