選填題(一)

一、單項選擇題

1．(2020·北京高考)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|0＜x＜3}，則A∩B＝()

A．{－1,0,1}

B．{0,1}

C．{－1,1,2}

D．{1,2}

答案　D

解析　A∩B＝{－1,0,1,2}∩(0,3)＝{1,2}．故選D.2．(2020·山東新高考質(zhì)量測評聯(lián)盟5月聯(lián)考)若復(fù)數(shù)z滿足z(－1＋2i)＝|1－i|2(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的虛部為()

A．－

B．i

C．

D．－i

答案　A

解析　因為z(－1＋2i)＝|1－i|2，所以z＝＝＝＝＝－－i，所以復(fù)數(shù)z的虛部為－，故選A.3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是()

A．AB∥m

B．AC⊥m

C．AB∥β

D．AC⊥β

答案　D

解析　m∥α，m∥β?m∥l，又AB∥l，∴m∥AB，A正確；m∥l，又l⊥AC，∴m⊥AC，B正確；AB∥l，AB?β，l?β，∴AB∥β，C正確；要使AC⊥β，AC應(yīng)在平面α內(nèi)，∴D不一定成立，故選D.4．(2020·全國卷Ⅱ)在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者()

A．10名

B．18名

C．24名

D．32名

答案　B

解析　由題意，第二天需要志愿者完成的訂單數(shù)為500＋1600－1200＝900，故需要志愿者＝18名．故選B.5．(2020·山東濰坊6月模擬)函數(shù)f(x)＝的部分圖象大致為()

答案　B

解析　因為f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，故排除A，C；因為f＝，且3－1>0,3＋1>0，ln

2<0，所以f<0，故選B.6．(2020·海南中學(xué)高三第六次月考)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比為q，若S6＝9S3，S5＝62，則a1＝()

A.B．2

C．

D．3

答案　B

解析　根據(jù)題意，等比數(shù)列{an}中，若S6＝9S3，則q≠±1，則＝9×，解得q3＝8，則q＝2，又S5＝62，則有S5＝＝31a1＝62，解得a1＝2.故選B.7．(2020·山東省實驗中學(xué)高三4月高考預(yù)測)已知點P在橢圓τ：＋＝1(a>b>0)上，點P在第一象限，點P關(guān)于原點O的對稱點為A，點P關(guān)于x軸的對稱點為Q，設(shè)＝，直線AD與橢圓τ的另一個交點為B，若PA⊥PB，則橢圓τ的離心率e＝()

A.B．

C．

D．

答案　C

解析　設(shè)P(x1，y1)，則A(－x1，－y1)，Q(x1，－y1)，＝，則D，設(shè)B(x2，y2)，則兩式相減得＝－，kPB＝＝－·，kAD＝kAB，即＝，kPA＝＝，PA⊥PB，故kPA·kPB＝－1，即－＝－1，a2＝4b2，又a2＝b2＋c2，故3a2＝4c2，故e＝.故選C.8．(2020·寧夏六盤山高級中學(xué)第四次模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝2cos2＋sin，x∈(0,3π)，則下列判斷正確的是()

A．函數(shù)的一條對稱軸為直線x＝

B．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增

C．?x0∈(0,3π)，使f(x0)＝－1

D．?a∈R，使得函數(shù)y＝f(x＋a)在其定義域內(nèi)為偶函數(shù)

答案　D

解析　函數(shù)f(x)＝1＋cos＋sin＝1＋cos2x，當(dāng)x＝時，2x＝不能使函數(shù)取得最值，所以直線x＝不是函數(shù)的對稱軸，A錯誤；當(dāng)x∈時，2x∈，函數(shù)先增后減，B不正確；若f(x)＝－1，則cos2x＝－不成立，所以C錯誤；當(dāng)a＝時，f(x＋a)＝1－cos2x，函數(shù)是偶函數(shù)，D正確．故選D.二、多項選擇題

9．(2020·山東菏澤高三聯(lián)考)Keep是一款具有社交屬性的健身APP，致力于提供健身教學(xué)、跑步、騎行、交友及健身飲食指導(dǎo)、裝備購買等一站式運動解決方案．Keep可以讓你隨時隨地進行鍛煉，記錄你每天的訓(xùn)練進程．不僅如此，它還可以根據(jù)不同人的體質(zhì)，制定不同的健身計劃．小吳根據(jù)Keep記錄的2019年1月至2019年11月期間每月跑步的里程(單位：十公里)數(shù)據(jù)整理并繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是()

A．月跑步里程逐月增加

B．月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月

C．月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應(yīng)的里程數(shù)

D．1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小

答案　BCD

解析　由所給折線圖可知，月跑步里程并不是逐月遞增，故A錯誤；月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月，故B正確；月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應(yīng)的里程數(shù)，故C正確；1月至5月的月跑步里程相對6月至11月，波動性更小，故D正確．故選BCD.10．(2020·山東聊城一模)若雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的實軸長為6，焦距為10，右焦點為F，則下列結(jié)論正確的是()

A．C的漸近線上的點到F距離的最小值為4

B．C的離心率為

C．C上的點到F距離的最小值為2

D．過F的最短的弦長為

答案　AC

解析　由題意知，2a＝6,2c＝10，即a＝3，c＝5，所以右焦點為F(5,0)，因為b2＝c2－a2，所以b2＝25－9＝16，解得b＝4，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，對于A，由點F向雙曲線C的漸近線作垂線時，垂線段的長度即為C的漸近線上的點到F距離的最小值，由點到直線的距離公式可得，d＝＝4，故A正確；對于B，因為a＝3，c＝5，所以雙曲線C的離心率為e＝＝，故B錯誤；對于C，當(dāng)雙曲線C上的點為其右頂點(3,0)時，此時雙曲線C上的點到F的距離最小，為2，故C正確；對于D，過點F且斜率為零的直線與雙曲線的交點為A(－3,0)，B(3,0)，此時為過點F的最短弦，為AB＝6，故D錯誤．故選AC.11．(2020·海南三模)如圖，四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD是等邊三角形，底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，M為棱PD的中點，N為菱形ABCD的中心，下列結(jié)論正確的有()

A．直線PB與平面AMC平行

B．直線PB與直線AD垂直

C．線段AM與線段CM長度相等

D．PB與AM所成角的余弦值為

答案　ABD

解析　如圖，連接MN，易知MN∥PB，又MN?平面AMC，∴PB∥平面AMC，A正確；在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，∴△BAD為等邊三角形，設(shè)AD的中點為O，連接OB，OP，則OP⊥AD，OB⊥AD，∴AD⊥平面POB，∴AD⊥PB，B正確；∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OP⊥AD，OP?平面PAD，∴OP⊥平面ABCD，又OB?平面ABCD，∴OP⊥OB，∴△POB為直角三角形，設(shè)AD＝4，則OP＝OB＝2，∴PB＝2，∴MN＝PB＝，在△MAN中，AM＝AN＝2，MN＝，可得cos∠AMN＝.故異面直線PB與AM所成角的余弦值為，在△MAC中，可判斷AM

A．函數(shù)g(x)＝f(x)－2在[－3,9]上有兩個零點

B．函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)

C．函數(shù)y＝f(x)在[－8，－6]上單調(diào)遞增

D．對任意的x∈R，都有f(x＋4)＝－

答案　AB

解析　當(dāng)以A點為中心滾動時，B點軌跡為以(－2,0)為圓心，2為半徑的圓??；當(dāng)以D點為中心滾動時，B點軌跡為以(0,0)為圓心，2為半徑的圓?。划?dāng)以C點為中心滾動時，B點軌跡為以(2,0)為圓心，2為半徑的圓?。划?dāng)以B點為中心滾動時，B點不動，然后周期循環(huán)，周期為8.畫出函數(shù)圖象，如圖所示，g(0)＝f(0)－2＝0，g(8)＝f(8)－2＝f(0)－2＝0，A正確；根據(jù)圖象和周期知B正確；函數(shù)y＝f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減，故在[－8，－6]上單調(diào)遞減，C錯誤；取x＝－2，易知f(2)≠－，故D錯誤．故選AB.三、填空題

13．(2020·山東日照一模)已知向量m＝(a，－1)，n＝(－1，3)，若m⊥n，則a＝________.答案　－3

解析　因為m⊥n，所以－a－3＝0，即a＝－3.14．已知x∈(0，π)，且cos＝sin2x，則tan等于________．

答案

解析　由cos＝sin2x得sin2x＝sin2x，∵x∈(0，π)，∴tanx＝2，∴tan＝＝.15．(2020·浙江寧波二模)某會議有來自6個學(xué)校的代表參加，每個學(xué)校有3名代表．會議要選出來自3個不同學(xué)校的3人構(gòu)成主席團，不同的選取方法數(shù)為________．

答案　540

解析　第一步：從6個學(xué)校中選出3個學(xué)校，方法數(shù)有C＝20；

第二步：從選出的3個學(xué)校中各選取1個代表，方法數(shù)有3×3×3＝27；

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，總的方法數(shù)有20×27＝540種．

16．(2020·四川成都石室中學(xué)一診)若函數(shù)f(x)＝恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．

答案　∪{2}∪[e，＋∞)

解析　當(dāng)a≤0時，不滿足題意；當(dāng)0＜a＜2時，要使函數(shù)f(x)恰有2個零點，即?≤a<1；當(dāng)a＝2時，由ex－2＝0，得到x＝ln

2滿足x＜1，由(x－2a)(x－a2)＝0，得到x＝4，共有2個零點，滿足題意；當(dāng)a＞2時，a2＞2a＞4，要使函數(shù)f(x)恰有2個零點，即e－a≤0，所以a≥e.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是∪{2}∪[e，＋∞)．