選填題(三)

一、單項(xiàng)選擇題

1．設(shè)a為的虛部，b為(1＋i)2的實(shí)部，則a＋b＝()

A．－1

B．－2

C．－3

D．0

答案　A

解析　因?yàn)椋剑璱，所以a＝－1，又(1＋i)2＝2i，所以b＝0，所以a＋b＝－1，故選A.2．(2020·山東日照二模)已知A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝，則A∩B＝()

A.B．

C．(0，＋∞)

D．(－∞，0)∪

答案　B

解析　由題意，集合A＝{y|y＝log2x，x>1}＝{y|y>0}，集合B＝＝，所以A∩B＝＝.故選B.3．(2020·全國(guó)卷Ⅲ)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I(t*)＝0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t*約為(ln

19≈3)()

A．60

B．63

C．66

D．69

答案　C

解析　因?yàn)镮(t)＝，所以I(t*)＝＝0.95K，則e0.23(t*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln

19≈3，解得t*≈＋53≈66.故選C.4．已知(ax＋b)6的展開式中x4的系數(shù)與x5的系數(shù)分別為135與－18，則(ax＋b)6的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為()

A．－1

B．1

C．32

D．64

答案　D

解析　由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可知x4的系數(shù)為Ca4b2，x5的系數(shù)為Ca5b，則由題意可得解得或所以a＋b＝±2，故(ax＋b)6的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為(a＋b)6＝64，選D.5．(2020·山東菏澤高三聯(lián)考)從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)不同的數(shù)，其中一個(gè)作為對(duì)數(shù)的底數(shù)，另一個(gè)作為對(duì)數(shù)的真數(shù)，則對(duì)數(shù)值大于0且小于1的概率是()

A.B．

C．

D．

答案　C

解析　由于1只能作為真數(shù)，從其余各數(shù)中任取一數(shù)為底數(shù)，共得到4個(gè)對(duì)數(shù)，其值均為0.從1除外的其余各數(shù)中任取兩數(shù)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，基本事件為(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共12個(gè)，所以基本事件總數(shù)為16個(gè)，滿足題設(shè)條件的事件有(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，共6個(gè)，由古典概型的計(jì)算公式得所求事件的概率P＝＝.故選C.6．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，則其前100項(xiàng)和為()

A．250

B．200

C．150

D．100

答案　D

解析　因?yàn)閍n＋1＋(－1)n＋1an＝2，所以a2＋a1＝2，a4＋a3＝2，a6＋a5＝2，…a100＋a99＝2.以上50個(gè)等式相加可得，數(shù)列{an}的前100項(xiàng)和為2×50＝100.7．(2020·山東聊城二模)我國(guó)古代《九章算術(shù)》中將上、下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童．如圖的芻童ABCD－EFGH有外接球，且AB＝2，AD＝2，EH＝，EF＝，平面ABCD與平面EFGH間的距離為1，則該芻童外接球的體積為()

A．12π

B．24π

C．36π

D．48π

答案　C

解析　假設(shè)O為芻童外接球的球心，連接HF，EG交于點(diǎn)O1，連接AC，DB交于點(diǎn)O2，由球的幾何性質(zhì)可知O，O1，O2在同一條直線上，連接OB，OG，如圖所示．由題意可知，OO1⊥平面ABCD，OO1⊥平面EFGH，O2O1＝1.設(shè)O2O＝r，在Rt△OGO1中，OG2＝OO＋O1G2，在矩形EFGH中，EG＝＝

＝2.O1G＝EG＝.∴OG2＝OO＋O1G2＝(r＋1)2＋()2.在Rt△OBO2中，OB2＝OO＋O2B2，在矩形ABCD中，DB＝＝＝4.O2B＝DB＝2.∴OB2＝OO＋O2B2＝r2＋(2)2.設(shè)外接球的半徑OG＝OB＝R，∴(r＋1)2＋()2＝r2＋(2)2，解得r＝1.則OB＝＝3，即R＝3.則該芻童外接球的體積V＝πR3＝π×33＝36π.故選C.8．(2020·山東青島二模)已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)是周期為2的奇函數(shù)，y＝|f(x)|在區(qū)間[－1,1]上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間[0,2020]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A．5050

B．4041

C．4040

D．2020

答案　B

解析　由函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，可得f(0)＝0，f(－1)＋f(1)＝0，又由函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，且周期為2，所以f(－1)＝f(1)，所以f(－1)＝f(1)＝0.又由y＝|f(x)|在區(qū)間[－1,1]上恰有5個(gè)零點(diǎn)，可得函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,0)和(0,1]內(nèi)各有2個(gè)零點(diǎn)，其中f(－1)＝0，f(1)＝0，又因?yàn)閒(x)的周期為2，所以f(x)在區(qū)間(1,2]內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，其中f(2)＝0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2]內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)在區(qū)間[0,2020]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為×4＋1＝4041.故選B.二、多項(xiàng)選擇題

9．(2020·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)6月模擬)CPI是居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的簡(jiǎn)稱，是一個(gè)反映居民家庭一般所購買的消費(fèi)品和服務(wù)項(xiàng)目?jī)r(jià)格水平變動(dòng)情況的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)．同比，一般情況下是今年第n月與去年第n月之比；環(huán)比，表示連續(xù)2個(gè)統(tǒng)計(jì)周期(比如連續(xù)兩月)內(nèi)的量的變化比．如圖是根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2019年4月～2020年4月我國(guó)CPI漲跌幅數(shù)據(jù)繪制的折線圖，根據(jù)該折線圖，則下列說法正確的是()

A．2020年1月CPI同比漲幅最大

B．2019年4月與同年12月相比較，4月CPI環(huán)比更大

C．2019年7月至12月CPI一直增長(zhǎng)

D．2020年1月至4月CPI只跌不漲

答案　AB

解析　對(duì)于A，由同比折線可發(fā)現(xiàn)2020年1月CPI同比漲幅最大，故A正確；對(duì)于B，由圖可知2019年4月環(huán)比漲幅為0.1%,2019年12月為0%，故B正確；對(duì)于C,2019年7月至12月CPI不是一直增長(zhǎng)的，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,2020年1月至4月CPI有漲有跌，故D錯(cuò)誤．故選AB.10．(2020·新高考卷Ⅰ)如圖是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的部分圖象，則sin(ωx＋φ)＝()

A．sin

B．sin

C．cos

D．cos

答案　BC

解析　由函數(shù)圖象可知＝－＝，則|ω|＝＝＝2，所以A不正確．當(dāng)x＝＝時(shí)，y＝－1，取ω＝2，則2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，即函數(shù)的解析式為y＝sin＝sin＝cos＝sin.而cos＝－cos.故選BC.11．(2020·海南四模)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為4，且滿足2(n＋1)an－nan＋1＝0(n∈N*)，則()

A.為等差數(shù)列

B．{an}為遞增數(shù)列

C．{an}的前n項(xiàng)和Sn＝(n－1)·2n＋1＋4

D.的前n項(xiàng)和Tn＝

答案　BD

解析　由2(n＋1)an－nan＋1＝0，得＝2×，所以是以＝a1＝4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?×2n－1＝2n＋1，所以an＝n·2n＋1，顯然遞增，故B正確；因?yàn)镾n＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1,2Sn＝1×23＋2×24＋…＋n·2n＋2，所以－Sn＝1×22＋23＋…＋2n＋1－n·2n＋2＝－n·2n＋2，故Sn＝(n－1)×2n＋2＋4，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋剑絥，所以的前n項(xiàng)和Tn＝＝，故D正確．故選BD.12．(2020·山東聊城一模)已知直線l：2kx－2y－kp＝0與拋物線C：y2＝2px(p>0)相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M(－1，－1)是拋物線C的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的公共點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A．p＝2

B．k＝－2

C．|AB|＝5

D．△MAB的面積為5

答案　ABC

解析　由題意知，拋物線C的準(zhǔn)線為x＝－1，即＝1，解得p＝2，故A正確；因?yàn)閜＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x，其焦點(diǎn)為F(1,0)，又直線l：2kx－2y－kp＝0，即y＝k(x－1)，所以直線l恒過拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)．設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在拋物線C上，聯(lián)立方程兩式相減可得，＝＝k，設(shè)AB的中點(diǎn)為Q(x0，y0)，則y0＝，因?yàn)辄c(diǎn)Q(x0，y0)在直線l上，所以x0＝＋1，所以點(diǎn)Q是以AB為直徑的圓的圓心，由拋物線的定義知，圓Q的半徑r＝＝＝＝＋2，因?yàn)閨QM|2＝2＋2＝r2，所以2＋2＝2，解得k＝－2，故B正確；因?yàn)閗＝－2，所以弦長(zhǎng)|AB|＝2r＝2＝2×＝5，故C正確；因?yàn)閗＝－2，所以直線l的方程為y＋2(x－1)＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，點(diǎn)M到直線l的距離為d＝＝，所以S△MAB＝·d·|AB|＝××5＝，故D錯(cuò)誤．故選ABC.三、填空題

13．(2020·海南中學(xué)高三第七次月考)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝，a⊥(a＋b)，則a與b夾角的大小是________．

答案

解析　由a⊥(a＋b)得，a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0，據(jù)此可得a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－a2，∴cos〈a，b〉＝－＝－，又a與b的夾角的取值范圍為[0，π]，故a與b的夾角為.14．(2020·貴陽高三6月適應(yīng)性考試二)曲線y＝＋2在x＝1處的切線方程為________．

答案　x－y＋1＝0

解析　當(dāng)x＝1時(shí)，y＝＋2＝2，∵y′＝＝，∴y′|x＝1＝＝1，則曲線y＝＋2在x＝1處的切線方程為y－2＝1·(x－1)，即x－y＋1＝0.15．(2020·福建高三畢業(yè)班質(zhì)量檢查測(cè)試)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若＋＝，cosC＝，a2＋b2＝68，則△ABC的面積為________．

答案

解析　由＋＝，得＝，即＝，所以＝a，即c＝ab，又a2＋b2＝68，cosC＝，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝68－2c×，即2c2＋c－136＝0，解得c＝8或c＝－(舍去)，所以ab＝8，又sinC＝＝，所以△ABC的面積S△ABC＝absinC＝.16.如圖，記橢圓＋＝1，＋＝1內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界為曲線C，P是曲線C上的任意一點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：

①P到F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四點(diǎn)的距離之和為定值；

②曲線C關(guān)于直線y＝x，y＝－x均對(duì)稱；

③曲線C所圍區(qū)域的面積必小于36；

④曲線C的總長(zhǎng)度不大于6π.其中正確命題的序號(hào)為________．

答案?、冖?/p>

解析　對(duì)于①，若點(diǎn)P在橢圓＋＝1上，P到F1(－4，0)，F(xiàn)2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和為定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)兩點(diǎn)的距離之和不為定值，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，聯(lián)立兩個(gè)橢圓的方程，得得y2＝x2，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性知，曲線C關(guān)于直線y＝x，y＝－x均對(duì)稱，故②正確；對(duì)于③，曲線C所圍區(qū)域在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)部，所以其面積必小于36，故③正確；對(duì)于④，曲線C所圍區(qū)域的內(nèi)切圓為半徑為3的圓，所以曲線C的總長(zhǎng)度必大于圓的周長(zhǎng)6π，故④錯(cuò)誤．