比較與估算

教學(xué)目標(biāo)

本講是在分?jǐn)?shù)計(jì)算方面技巧的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)，只是從比較大小方面認(rèn)識(shí)它們，這一講主要介紹一些比較較為復(fù)雜的小數(shù)、分?jǐn)?shù)大小的方法，主要有通分子、通分母、倒數(shù)法、放縮法等。

知識(shí)點(diǎn)撥

一、小數(shù)的大小比較常用方法

為方便比較，往往把這些小數(shù)排成一個(gè)豎列，并在它們的末尾添上適當(dāng)?shù)摹?”，使它們都變成小數(shù)位數(shù)相同的小數(shù).(如果是循環(huán)小數(shù)，就把它改寫(xiě)成一般寫(xiě)法的形式)

二、分?jǐn)?shù)的大小比較常用方法

⑴通分母：分子小的分?jǐn)?shù)小.⑵通分子：分母小的分?jǐn)?shù)大.⑶比倒數(shù)：倒數(shù)大的分?jǐn)?shù)小.⑷與1相減比較法：分別與1相減，差大的分?jǐn)?shù)小．(適用于真分?jǐn)?shù))

⑸重要結(jié)論：

①對(duì)于兩個(gè)真分?jǐn)?shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子和分母都大的分?jǐn)?shù)比較大；

②對(duì)于兩個(gè)假分?jǐn)?shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子和分母都小的分?jǐn)?shù)比較大．

⑹放縮法

在實(shí)際解題的過(guò)程中，我們還會(huì)用到其它一些思路！同學(xué)們要根據(jù)具體情況展開(kāi)思維！

三、數(shù)的估算時(shí)常用方法

（1）放縮法：為求出某數(shù)的整數(shù)部分，設(shè)法放大或縮?。菇Y(jié)果介于某兩個(gè)接近數(shù)之間，從而估算結(jié)果．

（2）變換結(jié)構(gòu)：將原來(lái)算式或問(wèn)題變形為便于估算的形式．

例題精講

模塊一、兩個(gè)數(shù)的大小比較

【例

1】

如果a，b，那么a，b中較大的數(shù)是

【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，一試

【解析】

方法一：<與1相減比較法>

；1

．因?yàn)?，所以b較大；

方法二：<比倒數(shù)法>因?yàn)?，所以，進(jìn)而，即；

方法三：兩個(gè)真分?jǐn)?shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，分子和分母都大的分?jǐn)?shù)比較大，所以b大

【答案】

【鞏固】

試比較和的大小

【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較

【難度】2星

【題型】填空

【解析】

【答案】>

【鞏固】

比較和的大小

【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較

【難度】2星

【題型】填空

【解析】

因?yàn)?，顯然，根據(jù)被減數(shù)一定，減數(shù)越大差越小的道理，有：

【答案】

【例

2】

如果A，B,A與B中哪個(gè)數(shù)較大？

【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】迎春杯，決賽

【解析】

方法一：觀察可以發(fā)現(xiàn)A、B都很接近，且比它?。覀儾环琅c比較．

A,B,BA，即B比A更接近，換句話說(shuō)

BA

.方法二：，即.方法三：，顯然，則

【答案】

【鞏固】

如果，那么A和B中較大的數(shù)是

.【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】祖沖之杯

【解析】，即大

【答案】

【鞏固】

試比較和的大小

【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

方法一：觀察可知，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都比分子的10倍多1．對(duì)于這樣的分?jǐn)?shù)，可以利用它們的倒數(shù)比較大?。牡箶?shù)是1，的倒數(shù)是１，我們很容易看出10

10，所以；

方法二：，兩個(gè)真分?jǐn)?shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子和分母都大的分?jǐn)?shù)比較大，所以即

【答案】

【例

3】

在a=20032003×2002和

b=20022003×2003中，較大的數(shù)是______，比較小的數(shù)大______。

【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試

【解析】

b-a=20022003×2003-20032003×2002=20020000×2003+2003×2003-20030000×2002-2003×2002=2003×(2003-2002)=2003

所以a比b大2003

【答案】a比b大2003

【例

4】

設(shè)a=，b=,則在a與b中，較大的數(shù)是______。

【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

可采用放縮法。因?yàn)?

+

＞+，＞。所以＞，即a是較大的數(shù)。當(dāng)然這道題目我們也可采用通分求結(jié)果的一般方法。

【答案】a

【例

5】

比較與的大?。?/p>

【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

如果直接放縮：，但是，所以不能確定與的大小關(guān)系，同樣如果如下進(jìn)行放縮：，也不能確定．

但是如果保留，將進(jìn)行放縮，則有：，可見(jiàn)兩者中較大．

【答案】較大

【鞏固】

與相比，哪個(gè)更大，為什么？

【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

記，顯然有：，而，有，所以原分式比小

.【答案】更大

【例

6】

試比較:

與哪一個(gè)大?

【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

296=37×8，185=37×5，因?yàn)?/p>

所以＞

【答案】

【例

7】

圖中有兩個(gè)黑色的正方形，兩個(gè)白色的正方形，它們的面積已在圖中標(biāo)出(單位：厘米)．黑色的兩個(gè)正方形面積大還是白色的兩個(gè)正方形面積大?請(qǐng)說(shuō)明理由．

【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，口試

【解析】

此題利用到平方差公式：

19971996(19971996)(19971996)199719963993

***23985

所以***2

即***3，兩個(gè)白色正方形的面積大．

【答案】?jī)蓚€(gè)白色正方形的面積大

【例

8】

在中選出若干個(gè)數(shù)使它們的和大于3，最少要選多少個(gè)數(shù)?

【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

為了使選出的數(shù)最少，那么必須盡可能選擇較大的數(shù)．

有依次減小，所以我們選擇時(shí)應(yīng)從左至右的選擇．

有

而

所以最少選擇11個(gè)即可使它們的和大于3.【答案】11個(gè)

【例

9】

已知：，那么與中

比較大，說(shuō)明原因；

【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的大小比較

【難度】4星

【題型】填空

【解析】,即比大

【答案】比較大

模塊二、多個(gè)數(shù)的大小比較

【例

10】

⑴比較以下小數(shù)，找到最大的數(shù)：，，⑵比較以下5個(gè)數(shù)，排列大?。?，，.【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

⑴題目中存在循環(huán)小數(shù)，將所有小數(shù)位數(shù)補(bǔ)至相同的位數(shù)，如下所示：

→

1.12112112l

→

1.121000000

→1.121212121

→1.121210000

→1.120000000

于是可以得出結(jié)果，是最大的數(shù)．對(duì)于循環(huán)小數(shù)的問(wèn)題，首先考慮的就是將其展開(kāi)，從中獲得足夠的信息，然后按照小數(shù)比較原則判斷，不處理而一味的觀察是沒(méi)有意義的．

⑵題目中出現(xiàn)了整數(shù)、小數(shù)、假分?jǐn)?shù)，可以先把數(shù)分為兩個(gè)部分，一部分為小于1的數(shù)，一部分為大于等于1的數(shù)，然后兩部分內(nèi)部比較，無(wú)須兩部分間重復(fù)比較．

①小于l的部分為和，將小數(shù)展開(kāi)，并把化為小數(shù)得：，顯然，即；

②大于等于1的部分中，有整數(shù)、小數(shù)、假分?jǐn)?shù)：1，1.667，先將假分?jǐn)?shù)化為帶分?jǐn)?shù)，比較三數(shù)整數(shù)部分，發(fā)現(xiàn)都為1，然后比較其他部分：1.666666…<1.667，所以得到1<

<1.667．

即得：

1.667

.【答案】⑴

⑵

1.667

.【鞏固】

在，中，最小的數(shù)是______。

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，一試

【解析】

所以最小的是

【答案】

【鞏固】

在、、四個(gè)小數(shù)中，第二小的數(shù)是____

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級(jí)，初賽

【解析】

由于，可以看出，其中第二小的數(shù)為。

【答案】

【鞏固】

分?jǐn)?shù)中最大的一個(gè)是。

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級(jí)

【解析】

【答案】

【鞏固】

有8個(gè)數(shù)，，,是其中6個(gè)，如果按從小到大的順序排列時(shí)，第4個(gè)數(shù)是，那么按從大到小排列時(shí)，第4個(gè)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)?

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】，,，顯然有，即，8個(gè)數(shù)從小到大排列第4個(gè)是，所以有．(“□”表示未知的那2個(gè)數(shù)).所以，這8個(gè)數(shù)從大到小排列第4個(gè)數(shù)是．

【答案】

【鞏固】

在，中，最小的分?jǐn)?shù)是__________.【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)愛(ài)好者夏令營(yíng)

【解析】

因?yàn)?，根?jù)重要結(jié)論——對(duì)于兩個(gè)真分?jǐn)?shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子和分母都大的分?jǐn)?shù)比較大；而且：，所以，最小的是．

【答案】

【例

11】

（1）把下列各數(shù)按照從小到大的順序排列：，，（2）(幼苗杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)把下列分?jǐn)?shù)用“”號(hào)連接起來(lái)：，，【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

⑴我們可以用通分子的方法，可得：，分母大的反而小，所以．

⑵這五個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都不相同，要通分變成同分母的分?jǐn)?shù)比較麻煩．再看分子，60正好是10、12、15、20、60五個(gè)數(shù)的公倍數(shù)．利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，可以將題中的各分?jǐn)?shù)化為分子都是60的分?jǐn)?shù)．我們稱之為“通分子比大小”的方法．，，；可見(jiàn)；

也就是

.【答案】⑴

⑵

【鞏固】

將、、、、從小到大排列，第三個(gè)數(shù)是________.【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，六年級(jí)，決賽

【解析】，所以：，第三小的數(shù)是

【答案】

【鞏固】

這里有五個(gè)分?jǐn)?shù)：

如果按大小順序排列，排在中間的是哪個(gè)數(shù)?

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

【答案】

【鞏固】

將下列乘式結(jié)果按從小到大排序：，，．

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

看式子前兩位相同，于是我們想到可不可以變成“前面部分一樣一個(gè)簡(jiǎn)單算式”的形式．

看，我們的目標(biāo)是把十位和百位的6提取出來(lái)，轉(zhuǎn)化算式：

可以看到，這5個(gè)乘式的前兩項(xiàng)結(jié)果是一樣的，即我們只要比較，，的大小，就可以得出：＜＜＜＜．

【答案】＜＜＜＜

【鞏固】

編號(hào)為1、2、3的三只螞蟻分別舉起重量為，克的重物．問(wèn)：金、銀、銅牌應(yīng)分別發(fā)給幾號(hào)螞蟻?

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】

所以，【答案】

【鞏固】

請(qǐng)把這4個(gè)數(shù)從大到小排列。

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

將1與這四個(gè)分?jǐn)?shù)依次做差，得、、、,顯然有,被減數(shù)相同,差小的數(shù)反而大,所以.【答案】

【例

12】，在上式的方框內(nèi)填入一個(gè)整數(shù)，使兩端的不等號(hào)成立，那么要填的整數(shù)是多少?

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

將不等式中的三個(gè)數(shù)同時(shí)除以80，不等號(hào)的方向不改變，有，而、的倒數(shù)分別為、，而□應(yīng)該在之間，即在103.33～102.86之間(在計(jì)算循環(huán)小數(shù)時(shí)，將其小數(shù)點(diǎn)后保留2位數(shù)字)，其中的整數(shù)只有103，所以□內(nèi)所填的整數(shù)為103．

【答案】103

【鞏固】

⑴比大比小的分?jǐn)?shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)，則分子為27的分?jǐn)?shù)是_________.(寫(xiě)出一個(gè)即可)

⑵右面方框里填什么自然數(shù)時(shí)，不等式成立?

１

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

⑴設(shè)比大比小的分?jǐn)?shù)為，則：，即，所以，不妨取，那么，滿足題意．再比如等也滿足題意．

⑵分子549，可以把1看成，利用加成分?jǐn)?shù)原理得□13.【答案】⑴

⑵13

【鞏固】

比大，比小的分?jǐn)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，請(qǐng)寫(xiě)出三個(gè)：。

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，一試

【解析】，【答案】，【鞏固】

⑴找出一個(gè)比大，比小的分?jǐn)?shù)。

⑵滿足下式的括號(hào)里的數(shù)字有多少個(gè)自然數(shù)：

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

⑴方法一：任意兩個(gè)分?jǐn)?shù)，把分子和分子相加，分母和分母相加，所得的分?jǐn)?shù)叫做加成分?jǐn)?shù)．加

成分?jǐn)?shù)的值介于原來(lái)兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間．根據(jù)加成分?jǐn)?shù)原理，是介于和之間的一個(gè)分?jǐn)?shù)．

方法二：如果通分母，可以得到同分母分?jǐn)?shù)和．把這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母擴(kuò)大2倍，可以找出一個(gè)比大，比小的分?jǐn)?shù)；如果把這兩個(gè)分?jǐn)?shù)擴(kuò)大3倍，可以再得到兩個(gè)中間的分?jǐn)?shù)等等．

我們也可以用類似的方法，通過(guò)通分子去找比大、比小的分?jǐn)?shù)．同學(xué)們可以自己試一試．

⑵首先判斷第一個(gè)不等號(hào)兩邊的關(guān)系，因此（）35，再判斷第二個(gè)不等號(hào)兩邊的關(guān)系，因此（）15．根據(jù)以上分析，可以確定（）中能填入19個(gè)自然數(shù)．

根據(jù)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)等值放縮分?jǐn)?shù)是處理分?jǐn)?shù)問(wèn)題最常用的方法．

【答案】⑴

⑵19

【鞏固】

下式中五個(gè)分?jǐn)?shù)都是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，要使不等式成立，這些分母的和最小是多少？

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

由于要求分母的和最小，則從最小的自然數(shù)開(kāi)始考慮，1是不符合最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)要求的分母，因此可選擇的最小自然數(shù)為2，2只能放在第一個(gè)分?jǐn)?shù)上做分母．后面要找比小的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：3、4依次被淘汰，5被選中放入第二個(gè)分?jǐn)?shù)中．依次規(guī)律，可得結(jié)果：

.【答案】

【例

13】

在下面9個(gè)算式中:

①，②,③,④,⑤，⑥，⑦，⑧,⑨,第幾個(gè)算式的答數(shù)最小，這個(gè)答數(shù)是多少?

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

方法一：

①-②=,即①>②；

②-③=，即②>③；

③-④=，即③>④；

④-⑤=，即④<⑤；

⑤-⑥，⑥-⑦，⑦-⑧，⑧-⑨所得的差依次為，,均小于0,所以⑤<⑥，⑥<⑦，⑦<⑧，⑧<⑨，那么這些算式中最小的為④，有④為

方法二：注意到每組內(nèi)兩個(gè)分?jǐn)?shù)的乘積相等，均為．

因?yàn)楫?dāng)兩個(gè)數(shù)的乘積相等時(shí)，這兩個(gè)數(shù)越接近，和越小．其中第4個(gè)算式中、最接近，所以第4個(gè)算式最小·

【答案】第4個(gè)，【鞏固】

若a=，b=，c=，則有（）。

（A）a>b>c

（B）a>c>b

（C）a

（D）a

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】

略

【答案】

【鞏固】

甲、乙兩個(gè)天平上都放著一定重量的物體，問(wèn)：哪—個(gè)是平衡的?

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】

考慮除以3，所得的余數(shù)

因?yàn)?78除以3余1，9763除以3也余1(只要看4＋7＋8，9十7＋6十3除以3的余數(shù))，所以478×9763除以3余1×1＝1，而4666514除以3余2(即4＋6＋6＋6＋5＋1＋4除以3余2)，因此478×9763≠4666514，從而天平甲不平衡．天平乙是平衡的.【答案】天平乙是平衡的【例

14】

用“＞”號(hào)把下列分?jǐn)?shù)連接起來(lái)：

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

這道題目本身并不難，孩子們用自己的辦法可以很快的做出來(lái)，但如果數(shù)字變的復(fù)雜些，那么我們就必須找到一個(gè)有效方法了。從這道題目，我們可以給大家展示另外2種典型思路。

法1：

法2:

觀察可以發(fā)現(xiàn)分母都是4的倍數(shù)，所以我們不妨把分母都化為4，可得：

因?yàn)?，?/p>

【答案】

【鞏固】

這里有5個(gè)分?jǐn)?shù)：，如果按大小順序排列，排在中間的是哪個(gè)數(shù)？

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，試題

【解析】

分子的最小公倍數(shù)是60，給出的5個(gè)分?jǐn)?shù)依次等于：，比較分母的大小，居中的分?jǐn)?shù)是，即。

【答案】

【例

15】

從六個(gè)數(shù)中選出三個(gè)數(shù)，分別記為A，B，C.要求選出的三個(gè)數(shù)使得A×（B-C）盡量大，并寫(xiě)出A×（B-C）的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示。

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

要求A×（B-C）盡量大，顯然C取最小數(shù)，A、B取最大和次大數(shù)，利用和一定，差越小積越大，顯然A取次大數(shù)，B取最大數(shù)。六個(gè)數(shù)中分?jǐn)?shù)、小數(shù)并存，發(fā)現(xiàn)是比1小的數(shù)，所以C為。再看其它五個(gè)數(shù)字，本題將分?jǐn)?shù)化為小數(shù)容易判斷：因此，故有：

.【答案】

【例

16】

在四個(gè)算式6□0.3，6□，6□，6□的四個(gè)方框內(nèi)，分別填上加、減、乘、除四種運(yùn)算符號(hào)，使得到的四個(gè)算式的四個(gè)圓圈之和盡可能大，那么這個(gè)和等于多少？

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

所以，0.3前面應(yīng)填除號(hào),前面填減號(hào),前填加號(hào)，前填乘號(hào)，才能使這四個(gè)算式的答數(shù)之和最大．這個(gè)最大的和是：

【答案】

【例

17】

從1，2，3，4，5，6，7，8，9中隨意取出兩個(gè)數(shù)字，一個(gè)作分子，一個(gè)作分母，組成一個(gè)分?jǐn)?shù)，所有分?jǐn)?shù)中，最大的是，循環(huán)小數(shù)有個(gè)。

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，一試

【解析】

最大的為=9，循環(huán)小數(shù)的分母為3，分子為1、2、4、5、7、8；分母為6，分子為1、2、4、5、7、8；分母為7，分子為1、2、3、4、5、6、8、9；分母為9，分子為1、2、3、4、5、6、7、8；共28個(gè)。

【答案】9；共28個(gè)

【例

18】

從中去掉兩個(gè)數(shù)，使得剩下的三個(gè)數(shù)之和與接近，去掉的兩個(gè)數(shù)是（）.（A）（B）（C）（D）

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】

本題不是計(jì)算最大，而是計(jì)算哪個(gè)與接近，再找分母的最小公倍數(shù)比較大小，則以上分式分別可以寫(xiě)成：，，可以寫(xiě)成，顯然最接近。

【答案】D

【例

19】

已知A15=B15=C15.2=D14.8.A、B、C、D四個(gè)數(shù)中最大的是_____．

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】小數(shù)報(bào)，決賽

【解析】

找A、B、C、D中最大的，即找151、、15.2、14.8中最小的．容易求出最小，所以B最大．

【答案】B

【例

20】

已知，并且，都不等于0，把、、這三個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列是_________。

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級(jí)

【解析】

由于，且，所以。

【答案】

【例

21】

氣象局對(duì)部分旅游景區(qū)的某一天的氣溫預(yù)報(bào)如下表：

景區(qū)

千島湖

張家界

廬山

三亞

麗江

大理

九寨溝

鼓浪嶼

武夷山

黃山

氣溫(℃)

11/1

8/4

3/-2

27/19

17/3

18/3

8/-8

15/9

15/1

0/-5

其中，溫差最小的景區(qū)是______，溫差最大的景區(qū)是______。

【考點(diǎn)】多個(gè)數(shù)的大小比較

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試．

【解析】

表中溫差從左到右分別為：10、4、5、8、14、15、16、6、14、5

所以溫差最小的景區(qū)是張家界，溫差最大的景區(qū)是九寨溝。

【答案】最小的景區(qū)是張家界，溫差最大的景區(qū)是九寨溝

模塊三、數(shù)的估算

【例

22】

求數(shù)的整數(shù)部分．

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】2星

【題型】填空

【解析】

這道題顯然不宜對(duì)分母中的11個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分求和．要求a的整數(shù)部分，只要知道a在哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間．

因?yàn)閍中的11個(gè)分?jǐn)?shù)都不大于，不小于，所以1111

即１1.1

由此可知a的整數(shù)部分是1．

【答案】1

【鞏固】

已知，則A的整數(shù)部分是_______

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，一試

【解析】；

所以的整數(shù)部分是2。

【答案】

【例

23】

求數(shù)的整數(shù)部分是幾？

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，復(fù)賽

【解析】，即1＜原式＜1.9，所以原式的整數(shù)部分是1.【答案】

【鞏固】

求數(shù)的整數(shù)部分．

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】，又，所以，即，所以其整數(shù)部分是1．

【答案】1

【鞏固】

已知：S,則S的整數(shù)部分是

.【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】清華附中，入學(xué)測(cè)試

【解析】

如果全是，那么結(jié)果是，如果全是，那么結(jié)果是，所以＜S＜，不能確定S的整數(shù)部分.我們不妨采用分段估值，有：

則

大家馬上會(huì)被這個(gè)計(jì)算量嚇住了！這只是我們的第一次嘗試，如果不行我們還要再次細(xì)化分段，計(jì)算量的龐大讓我們有些止步了.那么我們有沒(méi)有更好的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢？答案是：有！

下面先讓我們來(lái)看看兩個(gè)例子：

⑴

那么也就有：

（2）

那么也就有：

聰明的你從中會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)找“最小界限的新規(guī)律”，那么再讓我們回到原題來(lái)看看吧！

則，由此可以確定整數(shù)部分是73．

【答案】

【鞏固】

已知，則與最接近的整數(shù)是________．

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】仁華學(xué)校

【解析】

由于，所以，所以，即，那么與最接近的整數(shù)是143．

小結(jié)：由于只需要求與最接近的整數(shù)，而不是求的整數(shù)部分，所以進(jìn)行上述放縮已經(jīng)足夠．但是如果要求的整數(shù)部分，又該如何進(jìn)行呢？

將分母中的14個(gè)分?jǐn)?shù)兩兩分為一組：，……，(分組的標(biāo)準(zhǔn)在于每組中兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母之和相等，此處有偶數(shù)項(xiàng)，恰好可以兩兩分組；如果有奇數(shù)項(xiàng)，則將中間的一項(xiàng)單獨(dú)分為一組)，根據(jù)“兩數(shù)之和一定，差越小積越大”，可知，所以，可得，所以，所以，即，所以的整數(shù)部分為142．

【答案】142

【鞏固】的整數(shù)部分是________．

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，六年級(jí)

【解析】

由于，所以，即，所以，所以，又，所以，所以的整數(shù)部分是1．

【答案】

【鞏固】的整數(shù)部分是

．

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

對(duì)分母進(jìn)行放縮．令，則，又，根據(jù)兩個(gè)數(shù)和一定則差越小積越大，所以，則，可得，所以，即，所以的整數(shù)部分為400．

【答案】400

【例

24】

已知，求的整數(shù)部分．

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】4星

【題型】填空

【解析】

題中已經(jīng)指明，式子中每一項(xiàng)的分母都可以表示成，對(duì)于不好直接進(jìn)行處理，很容易聯(lián)想到及，所以可以進(jìn)行放縮．

由于，所以，那么，即，那么的整數(shù)部分為1．

小結(jié)：從式子中也可以直接看出，所以對(duì)于這一點(diǎn)也可以不進(jìn)行放縮．

【答案】1

【例

25】

A8.88.988.9988.99988.99998，A的整數(shù)部分是________.【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】小數(shù)報(bào)，決賽

【解析】

方法一：A8.8544，A9545，所以A的整數(shù)部分是44

.方法二：將原式變形后再估算

A8.88.988.9988.99988.99998

(90.2(90.02)(90.002)(90.0002)(90.00002)450.22222

所以A的整數(shù)部分是44

.【答案】44

【鞏固】

=10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998，的整數(shù)部分是。

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級(jí)

【解析】

=11-0.2+11-0.02+11-0.002+11-0.0002+11-0.00002=55-0.22222

所以的整數(shù)部分是54。

【答案】54

【鞏固】

已知x0.90.990.9990.9999999999．求x的整數(shù)部分．

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

方法一：要求x的整數(shù)部分，必須找到x介于哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間即axa1，x的整數(shù)部分和n相等．可以先將原算式放大，把每個(gè)加數(shù)都看成1這樣結(jié)果是11010；然后將原算式縮小，把每個(gè)加數(shù)都看成0.9，結(jié)果是0.9109．可見(jiàn)原算式的結(jié)果介于10和9之間即9x10，所以x的整數(shù)部分是9．

方法二：將原式變型后再估算．

x0.90.990.9990.9999999999

(10.1)(10.01)(10.001)(10.0000000001)

10(0.10．010.0010.0000000001)100.1111111111

所以x的整數(shù)部分是9．

【答案】9

【例

26】

計(jì)算

8.011.248.021.238.031.22整數(shù)部分.【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽

【解析】

方法一：在8.011.248.021.238.031.22中，各式的兩個(gè)因數(shù)之和都相等.根據(jù)兩個(gè)數(shù)和一定時(shí)，這兩個(gè)數(shù)越接近則乘積越大，所以8.011.248.021.238.031.22；則有1.228.0031.228.033原式1.248.0131.258.003，即

29.28原式30，所以原式的整數(shù)部分是29

.方法二：為了使計(jì)算簡(jiǎn)便，可以把8.01、8.02、8.03分成整數(shù)和小數(shù)兩部分計(jì)算，小數(shù)部分可以進(jìn)行估算

81.2481.2381.228(1.241.231.22)83.6629.28

0.011.240.021.230.031.22≈0.0110.0210.0310.06

因?yàn)?.06不會(huì)影響整個(gè)算式的整數(shù)部分，所以整數(shù)部分是29．

【答案】29

【例

27】

老師在黑板上寫(xiě)了七個(gè)自然數(shù)，讓小明計(jì)算它們的平均數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)后面兩位）．小明計(jì)算出的答數(shù)是14.73，老師說(shuō)：“除最后一位數(shù)字外其它都對(duì)了．”那么，正確的得數(shù)應(yīng)是___

___.【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

法1：因?yàn)?4.7這三個(gè)數(shù)字正確，14.7×7＝102.9，所以，這七個(gè)自然數(shù)的和只可能是103，104，……等，當(dāng)和為103時(shí)，平均數(shù)為103÷7≈14.71，當(dāng)和為104時(shí)，平均數(shù)為104÷7≈14．86，就不符已知條件了，所以，七個(gè)自然數(shù)的和是103，平均是14.71．

法2：此題可以用放縮法：由題意知：14.70≤平均數(shù)≤14.79，所以這7個(gè)數(shù)的和介于102.90和103.53之間，又由于7個(gè)自然數(shù)的和必然是整數(shù)，所以是103。則正確的平均數(shù)是103÷7＝14.71

.【答案】14.71

【鞏固】

有13個(gè)自然數(shù)，它們的平均值利用四舍五入精確到小數(shù)點(diǎn)后一位是26.9．那么，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)是多少？

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

利用放縮法，13個(gè)自然數(shù)之和必然是整數(shù)，又有26.85平均數(shù)26.95，則這13個(gè)自然數(shù)的和介于1326.85和1326.95之間．即在349.05和350.35之間，所以只能是350．所以3501326.923，則精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)是26.92

.【答案】26.92

【例

28】

已知除法算式：******87654321．它的計(jì)算結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)后的前三位數(shù)字分別是

.【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

各取被除數(shù)、除數(shù)前兩位，有：原式12320.375，原式13310.4194

；在0.375～0.4194之間無(wú)法確定小數(shù)點(diǎn)后三位的準(zhǔn)確值，說(shuō)明放縮的范圍太大.再各取被除數(shù)、除數(shù)前三位，有：原式1233130.3930，原式1243120.3974，仍無(wú)法確定；

又各取被除數(shù)、除數(shù)前四位，有：原式123431220.3953，原式123531210.3957.說(shuō)明原式的結(jié)果在0.3953～0.3957之間，因此，小數(shù)點(diǎn)后前三位數(shù)分別是3，9，5.【答案】3，9，5.【例

29】

求的整數(shù)部分是多少?

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

分段放縮.原式，即1原式，所以原式整數(shù)部分為1．

【答案】1

【鞏固】

A=1＋＋＋＋＋＋＋＋…＋的整數(shù)部分是多少?

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

把算式中的分?jǐn)?shù)放大或縮小，如果全部放大為，則A＜8

；全部縮小為，則A＞1，這樣無(wú)法確定A的整數(shù)是多少，于是我們來(lái)用一種分段放大和縮小的辦法．1＋＋＋＋…＋

＞１＋＋（＋）＋（＋＋＋）＋（），通過(guò)計(jì)算得1＋＋＋＋…＋＞3，1＋＋＋＋…＋＜1＋＋＋（＋＋+）+（＋＋＋+

＋＋＋）+，即A＜3，因?yàn)?＜A＜3，所以A的整數(shù)部分是3．

【答案】3

【例

30】的整數(shù)部分是。

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】4星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級(jí)

【解析】

原式必然小于，大于，容易計(jì)算出原式的值在6.08至7.08之間，故其整數(shù)部分為7.【答案】7

【例

31】

有一列數(shù)，第一個(gè)數(shù)是133，第二個(gè)數(shù)是57，從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，那么，第16個(gè)數(shù)的整數(shù)部分是_______．

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

由已知：

第三個(gè)數(shù)＝(133＋57)÷2＝95，第四個(gè)數(shù)＝(57＋95)÷2＝75，第五個(gè)數(shù)＝(76＋95)÷2＝85.5

第六個(gè)數(shù)＝(85.5＋76)÷2＝80.75，第七個(gè)數(shù)＝(80.75＋85.5)÷2＝83.125，第八個(gè)數(shù)＝(83.125＋80.75)÷2＝81.9375，第九個(gè)數(shù)＝(81.9375＋83.125)÷2＝82.53125．

第十個(gè)數(shù)＝(81.9375＋82.53125)÷2＝82.234375，從第十一個(gè)數(shù)開(kāi)始，以后任何一個(gè)數(shù)都82.53125與82.234375之間，所以，這些數(shù)的整數(shù)部分都是82，那么第16個(gè)數(shù)的整數(shù)部分也82．

【答案】82

【例

32】

試求誤差小于的近似值．

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】，又，由于，所以(誤差小于)

【答案】

【例

33】

在橫線上分別填入兩個(gè)相鄰的整數(shù)，使不等式成立：

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，一試

【解析】

一共有10項(xiàng)，這個(gè)值大于×10=，小于，所以應(yīng)該分別填入9和10.【答案】；

【例

34】

記A＝，那么比A小的最大自然數(shù)是。

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽

【解析】

【答案】

【例

35】

六個(gè)分?jǐn)?shù)，，，的和在哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)之間？

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽

【解析】

在1和2之間。

因?yàn)椋迹?，又因?yàn)椋荆?，所以六個(gè)分?jǐn)?shù)，，，的和在1和2之間。

【答案】1和2

【例

36】

已知：，那么

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】5星

【題型】填空

【解析】

所以，即，【答案】

【例

37】

計(jì)算：

；（四舍五入保留至小數(shù)點(diǎn)后第三位，注：）

【考點(diǎn)】數(shù)的估算

【難度】5星

【題型】填空

【解析】

設(shè)，則

【答案】