第一篇：陳宗煊老師復(fù)變函數(shù) 后感

聽陳宗煊老師的講座小結(jié)

學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)已經(jīng)是大二的事情了。我想如果我還沒有學(xué)習(xí)這門課的話也許得到的收獲不是這樣，或許根本就聽不懂，或許僅僅是有個(gè)模糊的概念，或許就像浮云，聽過了就算了。雖然我是方向二的學(xué)生，學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容很淺也很少，但是聽完講座之后對(duì)復(fù)變函數(shù)多少還是有那么一點(diǎn)懷念的。

記憶又回想到大二的時(shí)候每周一上午的三節(jié)復(fù)變函數(shù)課，從最初的復(fù)數(shù)，復(fù)平面上的點(diǎn)集合，復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)開始學(xué)起，當(dāng)時(shí)對(duì)復(fù)球面根本無法理解，到第二章的解析函數(shù)的概念，柯西黎曼條件，到第三章的復(fù)變函數(shù)的積分，第四章的解析函數(shù)的級(jí)數(shù)展開到學(xué)期末才學(xué)了一點(diǎn)點(diǎn)的留數(shù)。

當(dāng)時(shí)學(xué)習(xí)的時(shí)候我只是純粹的學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容，僅僅是知道復(fù)變函數(shù)中的函數(shù)是定義在復(fù)數(shù)集（復(fù)平面）上的，主要研究其中一類性質(zhì)非常好的函數(shù)----解析函數(shù)，也就是能在各點(diǎn)處展開成Taylor級(jí)數(shù)的函數(shù)。解析函數(shù)在工程技術(shù)中應(yīng)用很廣，是有用的工具，而其他的一無所知。

那天聽了講座之后，知道其實(shí)復(fù)變函數(shù)論在應(yīng)用方面，涉及的面很廣，有很多復(fù)雜的計(jì)算都是用它來解決的。比如物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平面場(chǎng)，所謂場(chǎng)就是每點(diǎn)對(duì)應(yīng)有物理量的一個(gè)區(qū)域，對(duì)它們的計(jì)算就是通過復(fù)變函數(shù)來解決的。比如俄國的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問題上也做出了貢獻(xiàn)。復(fù)變函數(shù)論不但在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科，對(duì)它們的發(fā)展很有影響。

還記得大二那學(xué)期快結(jié)束的時(shí)候，我們班有幾個(gè)方向一的同學(xué)一起寫了一篇關(guān)于復(fù)變函數(shù)論的課程論文，后來還發(fā)表到了一個(gè)學(xué)報(bào)上面。聽了講座之后想想，其實(shí)這個(gè)與她們學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的方法有關(guān)吧。

大家都以為高中生活可以跟小學(xué)初中一樣,稍稍努力下就可以拿到好成績(jī),其實(shí)不然,高中的所有學(xué)科都是高級(jí)學(xué)科,跟初中比起來等級(jí)差好多,2個(gè)階段是不一樣的,但是也不用灰心,有辦法學(xué)好的.其實(shí)復(fù)變函數(shù)的知識(shí)最重要的是基礎(chǔ)知識(shí)的穩(wěn)固和有一套適合自己的學(xué)習(xí)方法和解題方法,基礎(chǔ)是指路標(biāo),學(xué)習(xí)和解題方法是武器,建議要多做題,另外,不要只死背數(shù)學(xué)公式和物理公式,以前我也這樣，后來我試著去理解每一條公式的由來和過程,試著自己去推理出來,發(fā)現(xiàn)其實(shí)一道公式可以變換出非常多公式出來，但是都離不開那些基礎(chǔ)概念,所以不要小看那些概念和定義,去記好它們,可以幫助我們很好理解題目.這是第一.第二,要多做練習(xí)題,但是不要選難度較大的做,基礎(chǔ)很重要,所以先從小題做起,多做小題,有了一定的積累后你會(huì)發(fā)現(xiàn),以前一道想很久的大題現(xiàn)在解一下其實(shí)沒什么.還有做題不要只滿足做好,如果一道可以一看到題目就想出做法的題那就可以過了,但是需要思想斗爭(zhēng)的話,建議做完后再思考看看,為什么要這樣做。另外,上課絕對(duì)要認(rèn)真,千萬不要分神啊,因?yàn)楹芏嗷A(chǔ)知識(shí)的鞏固也是靠上課的聽講得到的.記住,基礎(chǔ)要扎實(shí).基礎(chǔ)扎實(shí)了，比你做上1000道題的效果還有用。

第二篇：復(fù)變函數(shù)總結(jié)

第一章

復(fù)數(shù)

=-1

歐拉公式

z=x+iy

實(shí)部Re

z

虛部

Im

z

2運(yùn)算

①

②

③

④

⑤

共軛復(fù)數(shù)

共軛技巧

運(yùn)算律

P1頁

3代數(shù)，幾何表示

z與平面點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，與向量一一對(duì)應(yīng)

輻角

當(dāng)z≠0時(shí)，向量z和x軸正向之間的夾角θ，記作θ=Arg

z=

k=±1±2±3…

把位于-π＜≤π的叫做Arg

z輻角主值

記作=

4如何尋找arg

z

例：z=1-i

z=i

z=1+i

z=-1

π

極坐標(biāo)：，利用歐拉公式

可得到

高次冪及n次方

凡是滿足方程的ω值稱為z的n次方根，記作

即

第二章解析函數(shù)

1極限

2函數(shù)極限

①

復(fù)變函數(shù)

對(duì)于任一都有

與其對(duì)應(yīng)

注：與實(shí)際情況相比，定義域，值域變化

例

②

稱當(dāng)時(shí)以A為極限

☆

當(dāng)時(shí)，連續(xù)

例1

證明在每一點(diǎn)都連續(xù)

證：

所以在每一點(diǎn)都連續(xù)

3導(dǎo)數(shù)

例2

時(shí)有

證：對(duì)有

所以

例3證明不可導(dǎo)

解：令

當(dāng)時(shí)，不存在，所以不可導(dǎo)。

定理：在處可導(dǎo)u，v在處可微，且滿足C-R條件

且

例4證明不可導(dǎo)

解：

其中

u,v

關(guān)于x,y可微

不滿足C-R條件

所以在每一點(diǎn)都不可導(dǎo)

例5

解：

不滿足C-R條件

所以在每一點(diǎn)都不可導(dǎo)

例6：

解：

其中

根據(jù)C-R條件可得

所以該函數(shù)在處可導(dǎo)

4解析

若在的一個(gè)鄰域內(nèi)都可導(dǎo)，此時(shí)稱在處解析。

用C-R條件必須明確u,v

四則運(yùn)算

☆

例：證明

解：

則

任一點(diǎn)處滿足C-R條件

所以處處解析

練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解:

所以

根據(jù)C-R方程可得

所以當(dāng)時(shí)存在導(dǎo)數(shù)且導(dǎo)數(shù)為0，其它點(diǎn)不存在導(dǎo)數(shù)。

初等函數(shù)

Ⅰ常數(shù)

Ⅱ指數(shù)函數(shù)

①

定義域

②

③

④

Ⅲ對(duì)數(shù)函數(shù)

稱滿足的叫做的對(duì)數(shù)函數(shù)，記作

分類：類比的求法（經(jīng)驗(yàn)）

目標(biāo)：尋找

幅角主值

可用：

過程：

所以

例：求的值

Ⅳ冪函數(shù)

對(duì)于任意復(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)

例1：求的值

解：

例2：求

Ⅴ三角函數(shù)

定義：對(duì)于任意復(fù)數(shù)，由關(guān)系式可得的余弦函數(shù)和正弦函數(shù)

例：求

解：

第三章復(fù)變函數(shù)的積分

1復(fù)積分

定理3.1

設(shè)C是復(fù)平面上的逐段光滑曲線在C上連續(xù)，則在C上可積，且有

注：①C是線

②方式跟一元一樣

方法一：思路：復(fù)數(shù)→實(shí)化

把函數(shù)與微分相乘，可得

方法二：參數(shù)方程法

☆核心：把C參數(shù)

C：

例：

求

①C：0→的直線段②；

解：①C：

②

★

結(jié)果不一樣

2柯西積分定理

例：

C：以a為圓心，ρ為半徑的圓，方向：逆時(shí)針

解：C：

☆

積分與路徑無關(guān)：①單聯(lián)通

②處處解析

例：求，其中C是連接O到點(diǎn)的擺線：

解：已知，直線段L與C構(gòu)成一條閉曲線。因在全平面上解析，則

即

把函數(shù)沿曲線C的積分化為沿著直線段L上的積分。由于

故

★關(guān)鍵：①恰當(dāng)參數(shù)

②合適準(zhǔn)確帶入z

3不定積分

定義3.2

設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，若D內(nèi)的一個(gè)函數(shù)滿足條件

定理3.7

若可用上式，則

例：

計(jì)算

解：

練習(xí)：計(jì)算

解：

4柯西積分公式

定理

處處解析在簡(jiǎn)單閉曲線C所圍成的區(qū)域內(nèi)則

例1：

解：

例2：

解：

例3：

解：

注：①C：

②

一次分式

③找到

在D內(nèi)處處解析

例4：

解：5

解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

公式：

n=1，2……

應(yīng)用要點(diǎn)：①

②

③精準(zhǔn)分離

例：

調(diào)和函數(shù)

若滿足則稱叫做D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)

若在D內(nèi)解析

所以

把稱為共軛調(diào)和函數(shù)

第四章

級(jí)數(shù)理論

1復(fù)數(shù)到

距離

談極限

對(duì)若有使得

此時(shí)

為的極限點(diǎn)

記作

或

推廣：對(duì)一個(gè)度量空間都可談極限

極限的性質(zhì)

級(jí)數(shù)問題

部分和數(shù)列

若

則收斂，反之則發(fā)散。

性質(zhì)：1若

都收斂，則收斂

2若一個(gè)收斂，一個(gè)發(fā)散，可推出發(fā)散

若

絕對(duì)收斂

若

但收斂，為條件收斂

等比級(jí)數(shù)

：

時(shí)收斂，其他發(fā)散

冪級(jí)數(shù)

則

求收斂域

例：求的收斂半徑及收斂圓

解：因?yàn)?/p>

所以級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=1，收斂圓為

泰勒級(jí)數(shù)

泰勒定理：設(shè)函數(shù)在圓K：內(nèi)解析，則在K內(nèi)可以展成冪級(jí)數(shù)

其中，（n=0,1,2……），且展式還是唯一的。

例

1：求在處的泰勒展式

解

：在全平面上解析，所以在處的泰勒展式為

例2：

將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù)

解：

羅朗級(jí)數(shù)

羅朗定理

若函數(shù)在圓環(huán)D：內(nèi)解析，則當(dāng)時(shí)，有

其中

例：將函數(shù)在圓環(huán)（1）

（2）

內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)。

解：（1）在內(nèi)，由于，所以

（2）在內(nèi)，由于，所以

孤立奇點(diǎn)

定義：若函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)解析，在點(diǎn)不解析，則稱為的孤立奇點(diǎn)。

例

：

為可去奇點(diǎn)

為一級(jí)極點(diǎn)

為本性奇點(diǎn)

第5章

留數(shù)理論（殘數(shù)）

定義：

設(shè)函數(shù)以有限項(xiàng)點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)，即在的去心鄰域內(nèi)解析，則稱積分的值為函數(shù)在點(diǎn)處的留數(shù)

記作：

其中，C的方向是逆時(shí)針。

例1：求函數(shù)在處的留數(shù)。

解：因?yàn)橐詾橐患?jí)零點(diǎn)，而，因此以為一級(jí)極點(diǎn)。

例2：求函數(shù)在處的留數(shù)

解：是的本性奇點(diǎn)，因?yàn)?/p>

所以

可得

第7章

傅里葉變換

通過一種途徑使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，以便于研究。

定義：對(duì)滿足某些條件的函數(shù)

在上有定義，則稱

為傅里葉變換。

同時(shí)

為傅里葉逆變換

注：①傅里葉變換是把函數(shù)變?yōu)楹瘮?shù)

②傅里葉逆變換是把函數(shù)變?yōu)楹瘮?shù)

③求傅里葉變換或傅里葉逆變換，關(guān)鍵是計(jì)算積分

④兩種常見的積分方法：湊微分、分部積分

復(fù)習(xí)積分：①

②

③

④

⑤

注：

例1：求的解：

例2：求的解：

-函數(shù)

定義：如果對(duì)于任意一個(gè)在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，恒有，則稱為-函數(shù)。

例1：求-函數(shù)的解：

例2：求正弦函數(shù)的傅氏變換

解：

☆

第8章

拉普拉斯變換

設(shè)在時(shí)有定義

第三篇：復(fù)變函數(shù)小結(jié)

復(fù)變函數(shù)小結(jié) 第一章 復(fù)變函數(shù)

1)掌握復(fù)數(shù)的定義(引入),知道復(fù)數(shù)的幾何意義(即復(fù)數(shù)可看成復(fù)數(shù)平面的一個(gè)點(diǎn)也可以表示為復(fù)數(shù)平面上的向量)2)掌握 復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)表示與三角表示式及指數(shù)表示式的關(guān)系.3)掌握復(fù)數(shù)的幾種運(yùn)算:(1)相等;(2)加法;(3)減法;(4)乘法;(5)除法;(6)開方;(7)共軛.需要注意的是開方 : 開n次有n個(gè)根.例題

nz1?n?1ei??0?2?k??n?1ei??0?2?k?n,?k?0,1,2,?n?1?

4)掌握復(fù)變函數(shù)的定義,知道復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)的定義.5)熟悉幾個(gè)常用的基本初等函數(shù)及性質(zhì):(1)多項(xiàng)式;(2)有理分式;(3)根式;(4)指數(shù);(5)三角函數(shù).6)掌握復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義, 因復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義在形式上跟實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義一樣,故實(shí)變函數(shù)中關(guān)于導(dǎo)數(shù)的規(guī)則和公式在復(fù)變函數(shù)情況仍適用.7)復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件是:(1)函數(shù)f(z)的實(shí)部u 與虛部的偏導(dǎo)數(shù)存在,且連續(xù).?u?u?v?v，,?x?y?x?y(2)滿足 C-R條件

?u?v?u?v?,??.?x?y?y?x8)知道復(fù)變函數(shù)解析的定義,復(fù)變函數(shù)解析,可導(dǎo)及連續(xù)的關(guān)系.9)解析函數(shù)的性質(zhì):

(1)若f(z)在區(qū)域B上解析,則f(z)的實(shí)部u與虛部v的等值(勢(shì))線互相正交.(2)若f(z)在區(qū)域B上解析,則f(z)的實(shí)部u與虛部v均為調(diào)和函數(shù).(3)若f(z)在區(qū)域B上解析,則f(z)的實(shí)部u與虛部v 不是獨(dú)立的,可由己知解析函數(shù)的實(shí)部u(或v)求出解析函數(shù)f(z).具體求法有3種

:1.直接積分法;2.湊全微分法;3.路徑積分法.10)解析函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用:

平面標(biāo)量場(chǎng).11)知道復(fù)變函數(shù)中多值性的起源在于幅角,只需對(duì)幅角作限定(一般限定在主值范圍,且一般把幅角作限定的復(fù)變平面稱為黎曼面.),多值函數(shù)就退化為單值函數(shù).第二章 復(fù)變函數(shù)的積分

1)知道復(fù)變函數(shù)積分的定義,以及它與實(shí)變函數(shù)的路徑的關(guān)系.2)掌握單連通區(qū)域與復(fù)連通區(qū)域上Cauchy定理及數(shù)學(xué)表示式:?f?z?dz?0(1)其中l(wèi)為區(qū)域的所有邊界線.l

對(duì)單連通區(qū)域(1)可表示為

?lf?z?dzn?0,(2)對(duì)復(fù)連通區(qū)域(1)也可表示為:

?f?z?dz???f?z?dzli?1ci(3)其中l(wèi)為區(qū)域的外邊界線,ci為區(qū)域的內(nèi)邊界線.(3)式反映對(duì)復(fù)連通區(qū)域的解析函數(shù)沿外邊界的積分值與沿內(nèi)邊界積分的關(guān)系.作為(3)式一個(gè)特例: 包含一個(gè)奇點(diǎn)的任意一個(gè)閉合曲線積分值相同,它為求積分帶來方便.n??z?adz?l?0,?n??1?一個(gè)重要的積分公式: ?z?a?ndz?2?i,?n??1?

?l其中l(wèi) 包含a 點(diǎn).Cauchy定理為本章的重點(diǎn).3)解析函數(shù)的不定積分.f?z??f'12?i12?i?llf???d???z?z),4)Cauchy公式

?z???z???(?lf???d?2, ,fnn!2?i?(?f???d??z)n?1若對(duì)復(fù)連通區(qū)域 l 為區(qū)域的所有邊界線.第三章 冪級(jí)數(shù)

1)了解一般的復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),知道級(jí)數(shù)收斂的Cauchy判據(jù),絕對(duì)收斂與一致收斂的概念,掌握外氏定理及運(yùn)用.2)掌握冪級(jí)數(shù)的一般形式,收斂半徑的計(jì)算(R?limn??anan?1)，知道冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)且一致收斂，能逐項(xiàng)求導(dǎo)與積分.3)掌握解析函數(shù)在單連通區(qū)域的Taylor 展開式: ?f?z???a?z?z?k0k?0k,ak?fk?z0?k!

知道Taylor 展開式是唯一的,即同一個(gè)函數(shù)在同一區(qū)域的展開式不管用什么方法得出其結(jié)果是相同的.熟悉一些基本的Taylor 展開式: 例?1?ez,?2?cosz,sinz,?3?11?z,?4?ln?1?z?

知道函數(shù)在無窮運(yùn)點(diǎn)的展開式.4)掌握解析函數(shù)在復(fù)連通區(qū)域的洛朗 展開式: f?z???a?z?kk????z0?,其中akk??2?i??c1f???d??z0?k?1，c為環(huán)域內(nèi)任一沿逆時(shí)針方向的閉合曲線.知道洛朗 展開式是唯一的,即同一個(gè)函數(shù)在同一環(huán)域的展開式不管用什么方法得出其結(jié)果是相同的.所以對(duì)洛朗展開可利用熟悉的一些基本Taylor展開式來處理,例如對(duì)有理分式總可以把它分解為一系列最簡(jiǎn)單的有理分式（1z?z0)之和, 而對(duì)1z?z0能用等比級(jí)數(shù)來展開(關(guān)鍵是滿足公比的絕對(duì)值小11?z?于1).并與

??k?0z,z?1 比較.知道在什么情況下洛

k朗展開就退化為Taylor展開.5)掌握孤立奇點(diǎn)的分類方法:(1)可去奇點(diǎn):設(shè)z0是f(z)的奇點(diǎn)當(dāng)f(z)在z=z0的鄰域上展開時(shí),其洛朗展開式中沒有負(fù)冪項(xiàng),就稱z0是f(z)的可去奇點(diǎn).性質(zhì)limf?z??a

a為常數(shù).z?z0(2)m階極點(diǎn): 設(shè)z0是f(z)的奇點(diǎn)當(dāng)f(z)在z=z0的鄰域上展開時(shí),其洛朗展開式中有有限項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng),其負(fù)冪項(xiàng)的最高冪為m,就稱z0是f(z)的m階極點(diǎn).性質(zhì)limf?z??z?z0?.(4)本性奇點(diǎn): 設(shè)z0是f(z)的奇點(diǎn)當(dāng)f(z)在z=z0的鄰域上展開時(shí),其洛朗展開式中有無窮多項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng),就稱z0是f(z)的本性奇點(diǎn).性質(zhì)limf?z?不存在z?z0

知道函數(shù)在無窮運(yùn)點(diǎn)奇點(diǎn)的分類.第四章 留數(shù)定理

1)掌握留數(shù)定理及其計(jì)算

?f?z?dzl?2?i?Resf?zi?,其中zi為l內(nèi)的奇點(diǎn)i?1n 2)掌握留數(shù)計(jì)算的兩種方法

(1)洛朗展開 : 設(shè)z0是f(z)的奇點(diǎn)當(dāng)f(z)在z=z0的鄰域上展開時(shí),其洛朗展開式中的負(fù)一次冪的系數(shù)a-1=Resf(z0).任何情況都適合.(2)對(duì)m階極點(diǎn)Resf?z0??lim?mz?z01dn?1n?1?1?!dz??z?z0?f?z??,作為一個(gè)特例,若f(z)=P(z)/ Q(z),當(dāng)f(z)為一階極點(diǎn), P?z0??0,Q?z0??0,Resf?z0??? 'Q?z0?P?z0主要處理有理分式中分母為單根情況.3)應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分 ?類型一

2??0?z?z?1z?z?1R?cos?,sin??d???R?,?22i?z?1?dz??iz?2?i?Resf?zi?,?1???1??iz?zi為f?z?在單單位圓的奇點(diǎn)?z?z?1z?z?1,f?z??R?,?22i?

?1)被積函數(shù)為三角函數(shù)的有理分式.2)積分區(qū)域?yàn)閇0,2π] 作變換z=eiθ,當(dāng)θ從變到2π時(shí),復(fù)變數(shù)z恰好在單位圓上走一圈.類型二

積分條件: 1)積分區(qū)域?yàn)?-∞,∞)

2)f(z)在實(shí)軸有一價(jià)極點(diǎn)bk,且在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)ak外是解析的，3)當(dāng)z→∞時(shí),zf(z)→0 ??f?x?dx???2?i?Resf?ak???i?Resf?bk?.(2)

k?1k?1mp

?類型三

(m>0)???f?x?eimxdx,令F?z??f?z?eimz

積分條件: 1)積分區(qū)域?yàn)?-∞,∞)

2)f(z)在實(shí)軸有一價(jià)極點(diǎn)bk,且在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)ak外是解析的，3)當(dāng)z→∞時(shí),f(z)→0, ??f?x?e???imxdx?2?i?ResF?ak???i?ResF?bk?k?1k?1mp

(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)(3)為?f?x?sin0mxdx??[?ResF?ak??k?1?m1pRe?2k?1?sF?bk?]當(dāng)f??x?為偶函數(shù)時(shí),???mf?x?eimxdx?2?f?x?cosmxdx,0

?f?x?cosmxdx0??i[?ResF?ak??k?11pRe?2k?1sF?bk?]

第四篇：大學(xué)復(fù)變函數(shù)課件-復(fù)變函數(shù)

第二章

復(fù)變函數(shù)

第一節(jié)

解析函數(shù)的概念及C.-R.方程

1、導(dǎo)數(shù)、解析函數(shù)

定義2.1：設(shè)是在區(qū)域內(nèi)確定的單值函數(shù)，并且。如果極限

存在，為復(fù)數(shù)，則稱在處可導(dǎo)或可微，極限稱為在處的導(dǎo)數(shù)，記作，或。

定義2.2：如果在及的某個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱在處解析；如果在區(qū)域內(nèi)處處解析，則我們稱在內(nèi)解析，也稱是的解析函數(shù)。解析函數(shù)的導(dǎo)（函）數(shù)一般記為或。

注解1、語言，如果任給，可以找到一個(gè)與有關(guān)的正數(shù)，使得當(dāng)，并且時(shí)，則稱在處可導(dǎo)。

注解2、解析性與連續(xù)性：在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)的函數(shù)必然是這個(gè)點(diǎn)的連續(xù)函數(shù)；反之不一定成立；

注解3、解析性與可導(dǎo)性：在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)性是一個(gè)局部概念，而解析性是一個(gè)整體概念；

注解4、函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)解析，是指在這個(gè)點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)解析，因此在此點(diǎn)可導(dǎo)；反之，在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)性不能得到在這個(gè)點(diǎn)解析。

解析函數(shù)的四則運(yùn)算：

和在區(qū)域內(nèi)解析，那么，（分母不為零）也在區(qū)域內(nèi)解析，并且有下面的導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：。

復(fù)合求導(dǎo)法則：設(shè)在平面上的區(qū)域內(nèi)解析，在平面上的區(qū)域內(nèi)解析，而且當(dāng)時(shí)，那么復(fù)合函數(shù)在內(nèi)解析，并且有

求導(dǎo)的例子：

（1）、如果（常數(shù)），那么；

（2）、，；

（3）、的任何多項(xiàng)式

在整個(gè)復(fù)平面解析，并且有

（4）、在復(fù)平面上，任何有理函數(shù)，除去使分母為零的點(diǎn)外是解析的，它的導(dǎo)數(shù)的求法與是實(shí)變量時(shí)相同。

2、柯西-黎曼條件

可微復(fù)變函數(shù)的實(shí)部與虛部滿足下面的定理：

定理2.1

設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)確定，那么在點(diǎn)可微的充要條件是：

1、實(shí)部和虛部在處可微；

2、和滿足柯西-黎曼條件（簡(jiǎn)稱方程）

證明：（必要性）設(shè)在有導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，當(dāng)時(shí)

其中。比較上式的實(shí)部與虛部，得

因此，由實(shí)變二元函數(shù)的可微性定義知，在點(diǎn)可微，并且有

因此，柯西-黎曼方程成立。

（充分性）設(shè)，在點(diǎn)可微，并且有柯西-黎曼方程成立：

設(shè)則由可微性的定義，有：

令，當(dāng)（）時(shí)，有

令，則有

所以，在點(diǎn)可微的。

定理2.2

設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)確定，那么在區(qū)域內(nèi)解析的充要條件是：

1、實(shí)部和虛部在內(nèi)可微；

2、)和在內(nèi)滿足柯西-黎曼條件（簡(jiǎn)稱方程）

關(guān)于柯西-黎曼條件，有下面的注解：

注解1、解析函數(shù)的實(shí)部與虛部不是完全獨(dú)立的，它們是方程的一組解，它們是在研究流體力學(xué)時(shí)得到的；

注解2、解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式更簡(jiǎn)潔：

公式可避免利用定義計(jì)算帶來的困難。

注解3、利用兩個(gè)定理，可以判斷一個(gè)復(fù)變函數(shù)是否在一點(diǎn)可微或在一個(gè)區(qū)域內(nèi)解析。

3、例題

例1

證明在任何點(diǎn)都不可微。

解，四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)連續(xù)，但任何點(diǎn)都不滿足方程，故在任何點(diǎn)都不可微。

例2

試討論定義于復(fù)平面內(nèi)的函數(shù)的可導(dǎo)性。

解：

四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)連續(xù)，且在復(fù)平面內(nèi)滿足方程，故在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)。

例3

設(shè)函數(shù)在復(fù)平面可導(dǎo)，試確定常數(shù)之值。

解

由方程

得

（1）

（2）

由（1）

得

（3）

由（2）

得

（4）

（5）

解（3），（4），（5）得。

第二節(jié)

初等解析函數(shù)

1、冪函數(shù)

利用對(duì)數(shù)函數(shù)，可以定義冪函數(shù)：設(shè)是任何復(fù)數(shù)，則定義的次冪函數(shù)為

當(dāng)為正實(shí)數(shù)，且時(shí)，還規(guī)定。

由于

因此，對(duì)同一個(gè)的不同數(shù)值的個(gè)數(shù)等于不同數(shù)值的因子

個(gè)數(shù)。

2、冪函數(shù)的基本性質(zhì)：

1、由于對(duì)數(shù)函數(shù)的多值性，冪函數(shù)一般是一個(gè)多值函數(shù)；

2、當(dāng)是正整數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是一個(gè)單值函數(shù)；

3、當(dāng)（當(dāng)是正整數(shù)）時(shí)，冪函數(shù)是一個(gè)值函數(shù)；

4、當(dāng)是有理數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是一個(gè)值函數(shù)；

5、當(dāng)是無理數(shù)或虛數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是一個(gè)無窮值多值函數(shù)。

設(shè)在區(qū)域內(nèi)，我們可以把分成無窮個(gè)解析分支。對(duì)于的一個(gè)解析分支，相應(yīng)地有一個(gè)單值連續(xù)分支。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，的這個(gè)單值連續(xù)分支在內(nèi)解析，并且,其中應(yīng)當(dāng)理解為對(duì)它求導(dǎo)數(shù)的那個(gè)分支，應(yīng)當(dāng)理解為對(duì)數(shù)函數(shù)相應(yīng)的分支。

對(duì)應(yīng)于在內(nèi)任一解析分支：當(dāng)是整數(shù)時(shí)，在內(nèi)是同一解析函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在G內(nèi)有個(gè)解析分支；當(dāng)是無理數(shù)或虛數(shù)時(shí)，冪函數(shù)在內(nèi)有無窮多個(gè)解析分支，是一個(gè)無窮值多值函數(shù)。

例如當(dāng)是大于1的整數(shù)時(shí)，稱為根式函數(shù)，它是的反函數(shù)。當(dāng)時(shí)，有

這是一個(gè)值函數(shù)。在復(fù)平面上以負(fù)實(shí)軸（包括0）為割線而得得區(qū)域內(nèi)，它有個(gè)不同的解析分支：

它們也可以記作，這些分支在負(fù)實(shí)軸的上沿與下沿所取的值，與相應(yīng)的連續(xù)分支在該處所取的值一致。

當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，原點(diǎn)及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是的支點(diǎn)。但按照a是有理數(shù)或者不是有理數(shù)，這兩個(gè)支點(diǎn)具有完全不同的性質(zhì)。

為了理解這些結(jié)論，我們?cè)?或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的充分小的鄰域內(nèi)，任作一條簡(jiǎn)單閉曲線圍繞0或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。在上任取一點(diǎn)，確定在的一個(gè)值；相應(yīng)地確定,在的一個(gè)值?，F(xiàn)在考慮下列兩種情況：

(1)

是有理數(shù)，當(dāng)一點(diǎn)從出發(fā)按反時(shí)針或順時(shí)針方向連續(xù)變動(dòng)周時(shí)，從連續(xù)變動(dòng)到，而則從相應(yīng)地連續(xù)變動(dòng)到,也即第一次回到了它從出發(fā)時(shí)的值。這時(shí)，我們稱原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是的階支點(diǎn)，也稱為階代數(shù)支點(diǎn)。

（2）不是有理數(shù)時(shí)，容易驗(yàn)證原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是的無窮階支點(diǎn)。

當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，由于原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是的支點(diǎn)，所以任取連接這兩個(gè)支點(diǎn)的一條簡(jiǎn)單連續(xù)曲線作為割線，得一個(gè)區(qū)域。在內(nèi)，可以把分解成解析分支。

關(guān)于冪函數(shù)當(dāng)為正實(shí)數(shù)時(shí)的映射性質(zhì)，有下面的結(jié)論：

設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù)，并且。在平面上取正實(shí)數(shù)軸（包括原點(diǎn)）作為割線，得到一個(gè)區(qū)域?？紤]內(nèi)的角形，并取在內(nèi)的一個(gè)解析分支

當(dāng)描出內(nèi)的一條射線時(shí)（不包括0），在平面描出一條射線。讓從0增加到（不包括0及），那么射線掃過角形，而相應(yīng)的射線掃過角形，因此把夾角為的角形雙射成一個(gè)夾角為的角形，同時(shí)，這個(gè)函數(shù)把中以原點(diǎn)為心的圓弧映射成中以原點(diǎn)為心的圓弧。

類似地，我們有，當(dāng)是正整數(shù)時(shí)，的個(gè)分支

分別把區(qū)域雙射成平面的個(gè)角形

.3、例題

例1、作出一個(gè)含的區(qū)域，使得函數(shù)

在這個(gè)區(qū)域內(nèi)可以分解成解析分支；求一個(gè)分支在點(diǎn)的值。

解：由于

我們先求函數(shù)的支點(diǎn)。因?yàn)榈闹c(diǎn)是0及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以函數(shù)可能的支點(diǎn)是0、1、2及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。任作一條簡(jiǎn)單連續(xù)閉曲線，使其不經(jīng)過0、1、2，并使其內(nèi)區(qū)域含0，但不包含1及2。設(shè)是上一點(diǎn)，我們確定、及在這點(diǎn)的值分別為

。當(dāng)從按反時(shí)針方向沿連續(xù)變動(dòng)一周時(shí)，通過連續(xù)變動(dòng)可以看到，增加了，而

沒有變化，于是在的值就從

連續(xù)變動(dòng)到

因此0是函數(shù)的一個(gè)支點(diǎn)；

同時(shí)，任作一條簡(jiǎn)單連續(xù)閉曲線，使其不經(jīng)過0、1、2，并使其內(nèi)區(qū)域含1，但不包含0及2。設(shè)是上一點(diǎn)，我們確定、及在這點(diǎn)的值分別為

。當(dāng)從按反時(shí)針方向沿連續(xù)變動(dòng)一周時(shí)，通過連續(xù)變動(dòng)可以看到，增加了，而沒有變化，于是在的值就從

連續(xù)變動(dòng)到

因此1也是函數(shù)的一個(gè)支點(diǎn)；

同理，2和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)也是它的支點(diǎn)。

支點(diǎn)確定后，我們作區(qū)域，把函數(shù)分解成單值解析分支。

首先，在復(fù)平面內(nèi)作一條連接0、1、2及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的任意無界簡(jiǎn)單連續(xù)曲線作為割線，在所得區(qū)域內(nèi)，可以把分解成連續(xù)分支。例如可取作為復(fù)平面上這樣的割線，得區(qū)域。

其次，任作作一條簡(jiǎn)單連續(xù)閉曲線，使其不經(jīng)過0、1、2，并使其內(nèi)區(qū)域包含這三個(gè)點(diǎn)中的兩個(gè)，但不包含另外一點(diǎn)。設(shè)是上一點(diǎn)，確定在的一個(gè)值，同樣的討論，有當(dāng)從沿連續(xù)變化一周回到時(shí)，連續(xù)變化而得的值沒有變化。

所以，我們可以作為割線如下，取線段及從2出發(fā)且不與

相交的射線為割線，也可以把分解成連續(xù)分支。例如取在所得區(qū)域內(nèi)，可以把w分解成連續(xù)分支。例如可取及作為復(fù)平面上的割線，得區(qū)域。

求在上述區(qū)域中的一個(gè)解析分支

在的值。

在，取

于是在或內(nèi)，可以分解成兩個(gè)解析分支

由于所求的分支在的值為，可見這個(gè)分支是

由下圖可以得到，在或內(nèi)處，因此的所求分支在的值是

.例2、驗(yàn)證函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可以分解成解析分支；求出這個(gè)函數(shù)在上沿取正實(shí)值的一個(gè)分支在處的值及函數(shù)在下沿的值。

證明：我們有

則0及1是的三階支點(diǎn)，而無窮遠(yuǎn)點(diǎn)不是它的支點(diǎn)。

事實(shí)上，任作一條簡(jiǎn)單連續(xù)閉曲線，使其內(nèi)區(qū)域包含0、1，設(shè)是上一點(diǎn)，確定在的一個(gè)值，當(dāng)從沿連續(xù)變化一周回到時(shí)，連續(xù)變化而得的值沒有變化。

因此，在區(qū)域內(nèi)，可以把分解成解析分支?，F(xiàn)在選取在上沿取正實(shí)值的那一支，即在上沿，其中，根號(hào)表示算術(shù)根。求這一支在的值。

在上沿，取。于是所求的一支為

其中，根號(hào)表示算術(shù)根。求這一支在的在內(nèi)處

于是的指定的一支在處的值是

.最后，考慮上述單值分支在下沿取值的情況。在區(qū)域內(nèi)，當(dāng)沿右邊的曲線，從上沿變動(dòng)到下沿時(shí)，沒有變化，而減少了，于是在的下沿，有

當(dāng)沿左邊的曲線，從上沿變動(dòng)到下沿時(shí)，增加了，而

沒有變化，于是在的下沿，有

因此，無論怎樣，當(dāng)在的下沿時(shí)，上述單值分支的值是

.注解1：

對(duì)具有多個(gè)有限支點(diǎn)的多值函數(shù)，不便采取限制輻角范圍的辦法，而是首先求出該函數(shù)的一切支點(diǎn)，然后適當(dāng)聯(lián)結(jié)支點(diǎn)以割破復(fù)平面，于是，在復(fù)平面上以此割線為邊界的區(qū)域內(nèi)就能分出該函數(shù)的單值解析分支。因?yàn)樵趦?nèi)變點(diǎn)不能穿過支割線，也就不能單獨(dú)繞任一支點(diǎn)轉(zhuǎn)一整周，函數(shù)就不可能在內(nèi)同一點(diǎn)取不同的值了。

注解2：

解例1，例2這類題的要點(diǎn)，就是作圖觀察，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)z沿路線（在內(nèi)，且不穿過支割線）從起點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)，各因子輻角的連續(xù)改變量：，即觀察向量的輻角的連續(xù)改變量。由此可計(jì)算。

第五篇：復(fù)變函數(shù)教案1.1

第一章

復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

教學(xué)課題：第一節(jié) 復(fù)數(shù)

教學(xué)目的：

1、復(fù)習(xí)、了解中學(xué)所學(xué)復(fù)數(shù)的知識(shí)；

2、理解所補(bǔ)充的新理論；

3、熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算并能靈活運(yùn)用。

教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的輻角 教學(xué)難點(diǎn)：輻角的計(jì)算 教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)

教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合 教材分析：復(fù)變函數(shù)這門學(xué)科的一切討論都是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行的，它是學(xué)好本們課程的基礎(chǔ)。因此，復(fù)習(xí)、了解中學(xué)所學(xué)復(fù)數(shù)的知識(shí)，理解所補(bǔ)充的新理論，熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算并能靈活運(yùn)用顯得尤為重要。教學(xué)過程：

1、復(fù)數(shù)域：

每個(gè)復(fù)數(shù)z具有x?iy的形狀，其中別稱為

x和y?R，i??1是虛數(shù)單位；

x和y分z的實(shí)部和虛部，分別記作x?Rez，y?Imz。

復(fù)數(shù)z1?x1?iy1和z2?x2?iy2相等是指它們的實(shí)部與虛部分別相等。

z可以看成一個(gè)實(shí)數(shù)；如果Imz?0，那么z稱為一個(gè)虛數(shù)；如果Imz?0，而Rez?0，則稱z為一個(gè)純虛數(shù)。如果Imz?0，則復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算定義為：

(a1?ib1)?(a2?ib2)?(a1?a2)?i(b1?b2)(a1?ib1)(a2?ib2)?(a1a2?b1b2)?i(a1b2?a2b1)

(a1?ib1)a1a2?b1b2a2b1?a1b2)?2?i 222(a2?ib2)a2?b2a2?b2復(fù)數(shù)在四則運(yùn)算這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)下，構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)域，記為C。

2、復(fù)平面：

C也可以看成平面R，我們稱為復(fù)平面。

2作映射：C?R2:z?x?iy?(x,y)，則在復(fù)數(shù)集與平面R2之建立了一個(gè)1-1對(duì)應(yīng)。橫坐標(biāo)軸稱為實(shí)軸，縱坐標(biāo)軸稱為虛軸；復(fù)平面一般稱為z-平面，w-平面等。

3、復(fù)數(shù)的模和輻角

復(fù)數(shù)可以等同于平面中的向量，z(x,y)?x?iy。

x2?y2向量的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)的模，定義為：|z|?；

向量與正實(shí)軸之間的夾角稱為復(fù)數(shù)的輻角，定義為：Argz?arctany?2?i（k?Zx）。

tan??y,??Argz我們知道人亦非零復(fù)數(shù)有無限多個(gè)輻角，今以xargz表示其中的一個(gè)特定值，并稱合條件

???argz??的一個(gè)為主值，或稱之為z的主輻角。于是，??Argz?argz?2k?,(k?0,?1,?2,?)。注意，當(dāng)z=0時(shí)輻角無異議。當(dāng)z?0時(shí)argz表示z的主輻角,它與反正切Arctan的主值arctan（???argz??，??arctan?）

22yxy有如下關(guān)系x?yx?y?arctan,當(dāng)x?0,y?0;?x???,當(dāng)x?0,y?0;?2?y??arctan??,當(dāng)x?0,y?0;argz?x(z?0)?y?arctan??,當(dāng)x?0,y?0;?x??-?,當(dāng)x?0,y?0;??2復(fù)數(shù)的三角表示定義為：z?|z|(cosArgz?isinArgz)； 復(fù)數(shù)加法的幾何表示： 設(shè)z1、z2是兩個(gè)復(fù)數(shù)，它們的加法、減法幾何意義是向量相加減，幾何意義如下圖：

yz2z1?z2z2z1xz1?z20?z2關(guān)于兩個(gè)復(fù)數(shù)的和與差的模，有以下不等式：（1）、|z1?z2|?|z1|?|z2|；（2）、|z1?z2|?||z1|?|z2||；（3）、|z1?z2|?|z1|?|z2|；（4）、|z1?z2|?||z1|?|z2||；（5）、|Rez|?|z|,|Imz|?|z|；（6）、|z|2?zz； 例1 試用復(fù)數(shù)表示圓的方程：

a(x2?y2)?bx?cy?d?0

（a?0）

其中，a,b,c,d是實(shí)常數(shù)。

解：方程為

azz??z??z?d?0，其中??(b?ic)。

例

2、設(shè)z1、z2是兩個(gè)復(fù)數(shù)，證明

z1?z2?z1?z2,z1z2?z1z2

12z1?z1

利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們可以更簡(jiǎn)單的表示復(fù)數(shù)的乘法與除法：設(shè)z1、z2是兩個(gè)非零復(fù)數(shù)，則有 z1?|z1|(cosArgz1?isinArgz1)z2?|z2|(cosArgz2?isinArgz2)

則有

z1z2?|z1||z2|[cos(Argz1?Argz2)?isin(Argz1?Argz2)]

即|z1z2|?|z1||z2|，Arg(z1z2)?Argz1?Argz2，其中后一個(gè)式子應(yīng)理解為集合相等。

同理，對(duì)除法，有

z1/z2?|z1|/|z2|[cos(Argz1?Argz2)?isin(Argz1?Argz2)]

即|z1/z2|?|z1|/|z2|，Arg(z1/z2)?Argz1?Argz2，其后一個(gè)式子也應(yīng)理解為集合相等。

例

3、設(shè)z1、z2是兩個(gè)復(fù)數(shù)，求證：

|z1?z2|2?|z1|2?|z2|2?2Re(z1z2)，例

4、作出過復(fù)平面C上不同兩點(diǎn)a,b的直線及過不共線三點(diǎn) a,b,c的圓的表示式。解：直線：Imz?a?0； b?az?ac?a)?0 圓：Im(z?bc?b4、復(fù)數(shù)的乘冪與方根

利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們也可以考慮復(fù)數(shù)的乘冪：

ab

abc

zn?|z|n(cosnArgz?isinnArgz)?rn(cosn??isinn?)從而有zn?z,當(dāng)r?1時(shí),則得棣莫弗(DeMoivre)公式1，則 znn

令z?n?z?n?|z|?n[cos(?nArgz)?isin(?nArgz)]

進(jìn)一步，有

11z?n|z|[cos(Argz)?isin(Argz)]

nn1n共有n-個(gè)值。

例

4、求4(1?i)的所有值。解：由于1?i?2(cos4??isin)，所以有 441?1?(?2k?)?isin(?2k?)] 4444?(1?i)?82[cos4(1?i)?82[cos(?16?k??k?)?isin(?)]2162其中，k?0,1,2,3。

5、共軛復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)的共軛定義為：z?x?iy；顯然z?z,Argz??Argz,這表明在復(fù)平面上,z與z兩點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸是對(duì)稱的

我們也容易驗(yàn)證下列公式：(1),?z??z,z1?z2?z1?z2,(2),z1z2?z1z2,(2z1z)?1(z2?0),z2z2z?zz?z ,Imz?,22i(4),設(shè)R(a,b,c?)表示對(duì)于復(fù)數(shù)a,b,c?的任一有理運(yùn)算,則(3),z?zz,Rez?R(a,b,c?)?R(a,b,c?)

6、作業(yè)：