等差數(shù)列的認(rèn)識與公式運(yùn)用

教學(xué)目標(biāo)

本講知識點(diǎn)屬于計(jì)算板塊的部分，難度較三年級學(xué)到的該內(nèi)容稍大，最突出一點(diǎn)就是把公式用字母表示。要求學(xué)生熟記等差數(shù)列三個公式，并在公式中找出對應(yīng)的各個量進(jìn)行計(jì)算。

知識點(diǎn)撥

一、等差數(shù)列的定義

⑴

先介紹一下一些定義和表示方法

定義：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都比前一項(xiàng)大(或小)一個常數(shù)(固定不變的數(shù))，這樣的數(shù)列我們稱它為等差數(shù)列．

譬如：2、5、8、11、14、17、20、從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)比前一項(xiàng)大3，遞增數(shù)列100、95、90、85、80、從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)比前一項(xiàng)小5，遞減數(shù)列

⑵

首項(xiàng)：一個數(shù)列的第一項(xiàng)，通常用表示

末項(xiàng)：一個數(shù)列的最后一項(xiàng)，通常用表示，它也可表示數(shù)列的第項(xiàng)。

項(xiàng)數(shù)：一個數(shù)列全部項(xiàng)的個數(shù)，通常用來表示；

公差：等差數(shù)列每兩項(xiàng)之間固定不變的差，通常用來表示；

和

：一個數(shù)列的前項(xiàng)的和，常用來表示

．

二、等差數(shù)列的相關(guān)公式

(1)三個重要的公式

①

通項(xiàng)公式：遞增數(shù)列：末項(xiàng)首項(xiàng)(項(xiàng)數(shù))公差，遞減數(shù)列：末項(xiàng)首項(xiàng)(項(xiàng)數(shù))公差，回憶講解這個公式的時候可以結(jié)合具體數(shù)列或者原來學(xué)的植樹問題的思想，讓學(xué)生明白

末項(xiàng)其實(shí)就是首項(xiàng)加上(末項(xiàng)與首項(xiàng)的)間隔個公差個數(shù)，或者從找規(guī)律的情況入手．同時還可延伸出來這樣一個有用的公式：，②

項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)(末項(xiàng)首項(xiàng))公差+1

由通項(xiàng)公式可以得到：

(若)；

(若)．

找項(xiàng)數(shù)還有一種配組的方法，其中運(yùn)用的思想我們是常常用到的．

譬如：找找下面數(shù)列的項(xiàng)數(shù)：4、7、10、13、、40、43、46，分析：配組：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3，那么每組有3個數(shù)，我們數(shù)列中的數(shù)都在每組的第1位，所以46應(yīng)在最后一組第1位，4到48有項(xiàng)，每組3個數(shù)，所以共組，原數(shù)列有15組．

當(dāng)然還可以有其他的配組方法．

③

求和公式：和=(首項(xiàng)末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)÷2

對于這個公式的得到可以從兩個方面入手：

(思路1)

(思路2)這道題目，還可以這樣理解：

即，和

(2)

中項(xiàng)定理：對于任意一個項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，中間一項(xiàng)的值等于所有項(xiàng)的平均數(shù)，也等于首項(xiàng)與末項(xiàng)和的一半；或者換句話說，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)．

譬如：①，題中的等差數(shù)列有9項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第5項(xiàng)的值是20，而和恰等于；

②，題中的等差數(shù)列有33項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第17項(xiàng)的值是33，而和恰等于．

例題精講

模塊一、等差數(shù)列基本概念及公式的簡單應(yīng)用

等差數(shù)列的基本認(rèn)識

【例

1】

下面的數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列？若是，請指明公差，若不是，則說明理由。

①6，10，14，18，22，…，98；

②1，2，1，2，3，4，5，6；

③

1，2，4，8，16，32，64；

④

9，8，7，6，5，4，3，2；

⑤3，3，3，3，3，3，3，3；

⑥1，0，1，0，l，0，1，0；

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本認(rèn)識

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

①是，公差d=4.②不是，因?yàn)閿?shù)列的第3項(xiàng)減去第2項(xiàng)不等于數(shù)列的第2項(xiàng)減去第1項(xiàng).③不是，因?yàn)?-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因?yàn)榈?項(xiàng)減去第2項(xiàng)不等于第2項(xiàng)減去第3項(xiàng)。

【答案】①是，公差d=4.②不是，因?yàn)閿?shù)列的第3項(xiàng)減去第2項(xiàng)不等于數(shù)列的第2項(xiàng)減去第1項(xiàng).③不是，因?yàn)?-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因?yàn)榈?項(xiàng)減去第2項(xiàng)不等于第2項(xiàng)減去第3項(xiàng)。

【例

2】

小朋友們，你知道每一行數(shù)列各有多少個數(shù)字嗎？

（1）3、4、5、6、……、76、77、78

（2）2、4、6、8、……、96、98、100

（3）1、3、5、7、……、87、89、91

（4）4、7、10、13、……、40、43、46

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本認(rèn)識

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【解析】

⑴

連續(xù)的自然數(shù)列，3、4、5、6、7、8、9、10……，對應(yīng)的是這個數(shù)列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……，發(fā)現(xiàn)它的項(xiàng)數(shù)比對應(yīng)數(shù)字小2，所以78是第76項(xiàng)，那么這個數(shù)列就有76項(xiàng)．對于連續(xù)的自然數(shù)列，它們的項(xiàng)數(shù)是：末項(xiàng)－首項(xiàng)．

⑵

如果添上此數(shù)列所缺的一些奇數(shù)，就變成了1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100，可知這個數(shù)列是100項(xiàng)．讓它們兩兩結(jié)合有：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），奇數(shù)在每一組的第1位，偶數(shù)在第2位，而且每組里偶數(shù)比奇數(shù)大，同學(xué)們一看就知道，共有組，每組把偶數(shù)找出來，那么原數(shù)列就有50項(xiàng)了．這樣的方法我們稱為“添數(shù)配組法”．

⑶

利用“添數(shù)配組法”得：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（87、88）、（89、90）、（91、92），1～92有92項(xiàng)，每組2項(xiàng)，那么可以得到組，所以原數(shù)列有46項(xiàng)．

⑷

利用“添數(shù)配組法”得：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意每兩項(xiàng)的差是3，那么每組有3個數(shù)，數(shù)列中的數(shù)都在每組的第1位，所以46應(yīng)在最后一組第1位，4到48有項(xiàng)，每組3個數(shù)，所以共組，原數(shù)列有15項(xiàng)．當(dāng)然，我們還可以有其他的配組方法．

【答案】⑴

⑵

⑶

⑷

【鞏固】

1，3，5，7，……是從1開始的奇數(shù)，其中第2005個奇數(shù)是________。

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本認(rèn)識

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，復(fù)賽，第4題，6分

【解析】

2×2005-1=4009

【答案】

【例

3】、、、、、……是按一定規(guī)律排列的一串算式，其中第六個算式的計(jì)算結(jié)果是。

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本認(rèn)識

【難度】1星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，復(fù)賽，第3題，6分

【解析】

規(guī)律是，第一個加數(shù)是公比為2的等比數(shù)列，第二個加數(shù)是差為2的等差數(shù)列，所以第六個式子是96+2=98

【答案】

【例

4】

把比100大的奇數(shù)從小到大排成一列，其中第21個是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本認(rèn)識

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【解析】

該數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為101，公差為2，第21個數(shù)的項(xiàng)數(shù)為21.則101+（21-1）×2=141

【答案】

【鞏固】

2，5，8，11，14……是按照規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)，第21項(xiàng)是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本認(rèn)識

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【解析】

此數(shù)列為一個等差數(shù)列，將第21項(xiàng)看做末項(xiàng)。末項(xiàng)=2+（21-1）×3=62

【答案】

【例

5】

已知一個等差數(shù)列第9項(xiàng)等于131，第10項(xiàng)等于137，這個數(shù)列的第1項(xiàng)是多少？第19項(xiàng)是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本認(rèn)識

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

把數(shù)列列出來：

【答案】

【鞏固】

一個數(shù)列共有13項(xiàng)，每一項(xiàng)都比它的前一項(xiàng)多7，并且末項(xiàng)為125，求首項(xiàng)是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本認(rèn)識

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

把數(shù)列列出來：

【答案】

【鞏固】

在下面?zhèn)€方框中各填入一個數(shù)，使這個數(shù)從左到右構(gòu)成等差數(shù)列，其中、已經(jīng)填好，這個數(shù)的和為。

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本認(rèn)識

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，3年級

【解析】

由題意知：這個數(shù)列是一個等差數(shù)列，又由題目給出的兩個數(shù)和知：公差為，那么第一個方格填，最后一個方格是，由等差數(shù)列求和公式知和為：。

【答案】

【例

6】

從1開始的奇數(shù)：1，3，5，7，……其中第100個奇數(shù)是_____。

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本認(rèn)識

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】

略

【答案】

【例

7】

觀察右面的五個數(shù)：19、37、55、a、91排列的規(guī)律，推知a

=________。

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本認(rèn)識

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試

【解析】

19+18=37，37+18=55，所以a=55+18=73

【答案】

等差數(shù)列公式的簡單運(yùn)用

【例

8】2、4、6、8、10、12、是個連續(xù)偶數(shù)列，如果其中五個連續(xù)偶數(shù)的和是320，求它們中最小的一個．

【考點(diǎn)】等差數(shù)列公式的簡單運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

方法一：利用等差數(shù)列的“中項(xiàng)定理”，對于奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)，最中間的數(shù)是所有這些自然數(shù)的平均值，五個連續(xù)偶數(shù)的中間一個數(shù)應(yīng)為，因相鄰偶數(shù)相差2，故這五個偶數(shù)依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60．

方法二：5個連續(xù)偶數(shù)求和，我們不妨可以把這5個數(shù)用字母表示記作：、、、、．那么這5個數(shù)的和是，進(jìn)而可得這五個偶數(shù)依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60．請教師引導(dǎo)學(xué)生體會把中間數(shù)表示為的便利，如果我們把最大或最小的數(shù)看成，那么會怎樣呢？

【答案】

【鞏固】1、3、5、7、9、11、是個奇數(shù)列，如果其中8個連續(xù)奇數(shù)的和是256，那么這8個奇數(shù)中最大的數(shù)是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列公式的簡單運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

我們可以找中間的兩個數(shù)其中一個為，那么這8個數(shù)為：，，，，根據(jù)題意可得：，所以，最大的奇數(shù)是．

【答案】

【鞏固】1、4、7、10、13、…這個數(shù)列中，有6個連續(xù)數(shù)字的和是159，那么這6個數(shù)中最小的是幾？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列公式的簡單運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

設(shè)這個數(shù)為：，，，它們的和是，所以，那么最小數(shù)為19．

【答案】

【例

9】

在等差數(shù)列6，13，20，27，…中，從左向右數(shù)，第_______個數(shù)是1994．

【考點(diǎn)】等差數(shù)列公式的簡單運(yùn)用

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

每個數(shù)比前一個數(shù)大7，根據(jù)求通項(xiàng)的公式得，列式得：

即第285個數(shù)是1994．

【答案】

【鞏固】5、8、11、14、17、20、，這個數(shù)列有多少項(xiàng)？它的第201項(xiàng)是多少？65是其中的第幾項(xiàng)？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列公式的簡單運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

它是一個無限數(shù)列，所以項(xiàng)數(shù)有無限多項(xiàng)．第項(xiàng)首項(xiàng)公差，所以，第201項(xiàng)，對于數(shù)列5，8，11，65，一共有：，即65是第21項(xiàng)．

【答案】無限多項(xiàng)；第項(xiàng)是；是第項(xiàng)

【鞏固】

對于數(shù)列4、7、10、13、16、19……，第10項(xiàng)是多少？49是這個數(shù)列的第幾項(xiàng)？第100項(xiàng)與第50項(xiàng)的差是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列公式的簡單運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

可以觀察出這個數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列．根據(jù)剛剛學(xué)過的公式：

第項(xiàng)首項(xiàng)公差，項(xiàng)數(shù)(末項(xiàng)首項(xiàng))公差，第項(xiàng)第項(xiàng)公差

第10項(xiàng)為：，49在數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)為：

第100項(xiàng)與第50項(xiàng)的差：．

【答案】第項(xiàng)是；是第項(xiàng)；第項(xiàng)與第項(xiàng)的差事

【鞏固】

已知數(shù)列0、4、8、12、16、20、……，它的第43項(xiàng)是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列公式的簡單運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

第43項(xiàng)．

【答案】

【鞏固】

聰明的小朋友們，一下吧．

⑴3、5、7、9、11、13、15、……，這個數(shù)列有多少項(xiàng)？它的第102項(xiàng)是多少？

⑵0、4、8、12、16、20、……，它的第43項(xiàng)是多少？

⑶已知等差數(shù)列2、5、8、11、14

……，問47是其中第幾項(xiàng)？

⑷已知等差數(shù)列9、13、17、21、25、……，問93是其中第幾項(xiàng)？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列公式的簡單運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

⑴它是一個無限數(shù)列，所以項(xiàng)數(shù)有無限多項(xiàng)．

第項(xiàng)首項(xiàng)公差，所以，第102項(xiàng)；

⑵第43項(xiàng)．

⑶首項(xiàng)，公差，我們可以這樣看：2、5、8、11、14

…、47，那么這個數(shù)列有：，(熟練后，此步可省略)，即47是第16項(xiàng)

．其實(shí)求項(xiàng)數(shù)公式，也就是求第幾項(xiàng)的公式．

⑷．

【答案】⑴無限多項(xiàng)；

⑵

⑶16

⑷

【例

10】

⑴如果一個等差數(shù)列的第4項(xiàng)為21，第6項(xiàng)為33，求它的第8項(xiàng).⑵如果一個等差數(shù)列的第3項(xiàng)為16，第11項(xiàng)為72，求它的第6項(xiàng).【考點(diǎn)】等差數(shù)列公式的簡單運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

⑴要求第8項(xiàng)，必須知道首項(xiàng)和公差．第6項(xiàng)第4項(xiàng)公差，所以，公差；第4項(xiàng)首項(xiàng)公差，首項(xiàng)，所以，首項(xiàng)；

第8項(xiàng)首項(xiàng)公差

．

⑵公差，首項(xiàng)，第6項(xiàng)．

【答案】⑴

⑵

【鞏固】

已知一個等差數(shù)列第8項(xiàng)等于50，第15項(xiàng)等于71.請問這個數(shù)列的第1項(xiàng)是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列公式的簡單運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

71-50=21。21÷（15-8）=3（公差）。50=首項(xiàng)+（8-1）×3。所以首項(xiàng)=29

【答案】

【鞏固】

如果一等差數(shù)列的第4項(xiàng)為21，第10項(xiàng)為57，求它的第16項(xiàng)．

【考點(diǎn)】等差數(shù)列公式的簡單運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

要求第16項(xiàng)，必須知道首項(xiàng)和公差．第10項(xiàng)－第4項(xiàng)公差，所以，公差6；

第4項(xiàng)首項(xiàng)公差，21首項(xiàng)，所以，首項(xiàng)3

；第16項(xiàng)首項(xiàng)公差93

．

【答案】

等差數(shù)列的求和

【例

11】

一個等差數(shù)列2，4，6，8，10，12，14，這個數(shù)列各項(xiàng)的和是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的求和

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【解析】

根據(jù)中項(xiàng)定理，這個數(shù)列一共有7項(xiàng)，各項(xiàng)的和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)，即為：．

【答案】

【鞏固】

有20個數(shù)，第1個數(shù)是9，以后每個數(shù)都比前一個數(shù)大3．這20個數(shù)相加，和是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的求和

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

末項(xiàng)是：，和是：

【答案】

【鞏固】

求首項(xiàng)是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項(xiàng)的和．

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的求和

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

末項(xiàng)是：，和是：

【答案】

【例

12】

15個連續(xù)奇數(shù)的和是1995，其中最大的奇數(shù)是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的求和

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

由中項(xiàng)定理，中間的數(shù)即第8個數(shù)為：，所以這個數(shù)列最大的奇數(shù)即第15個數(shù)是：

【答案】

【鞏固】

把210拆成7個自然數(shù)的和，使這7個數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個數(shù)的差都是5，那么，第1個數(shù)與第6個數(shù)分別是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的求和

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

由題可知：由210拆成的7個數(shù)一定構(gòu)成等差數(shù)列，則中間一個數(shù)為，所以，這7個數(shù)分別是15、20、25、30、35、40、45.即第1個數(shù)是15，第6個數(shù)是40.【答案】

【例

13】

小馬虎計(jì)算1到2006這2006個連續(xù)整數(shù)的平均數(shù)。在求這2006個數(shù)的和時，他少算了其中的一個數(shù)，但他仍按2006個數(shù)計(jì)算平均數(shù)，結(jié)果求出的數(shù)比應(yīng)求得的數(shù)小1。小馬虎求和時漏掉的數(shù)是。

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的求和

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】

少的這個數(shù)應(yīng)該給每一個數(shù)都補(bǔ)上1，才能使結(jié)果正確，共要補(bǔ)上2006，因此這個漏掉的數(shù)是2006。

【答案】

模塊二、等差數(shù)列的運(yùn)用（提高篇）

【例

14】

已知數(shù)列：2，1，4，3，6，5，8，7，問2009是這個數(shù)列的第多少項(xiàng)？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的公式運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

偶數(shù)項(xiàng)的排列規(guī)律是：1、3、5、7，奇數(shù)項(xiàng)的排列規(guī)律是：2、4、6、8，方法一：可以看出兩個數(shù)列都是等差數(shù)列．由于2009是奇

數(shù)，所以在偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列中，它的項(xiàng)數(shù)是：，所以在整個數(shù)列中，2009的項(xiàng)數(shù)是，所以2009是這個數(shù)列的第2010項(xiàng)．

方法二：仔細(xì)觀察能發(fā)現(xiàn)，在整個數(shù)列中，奇數(shù)的項(xiàng)數(shù)是該數(shù)，偶數(shù)的項(xiàng)數(shù)是該數(shù)，所以2009是這個數(shù)列的第項(xiàng)．

【答案】

【鞏固】

已知數(shù)列2、3、4、6、6、9、8、12、，問:這個數(shù)列中第2000個數(shù)是多少？第2003個數(shù)是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的公式運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

奇數(shù)項(xiàng)的排列規(guī)律是：2、4、6、8，偶數(shù)項(xiàng)的排列規(guī)律是：3、6、9、12，可以看出奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都成等差數(shù)列，先求出要求的兩個數(shù)各自在等差數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)：第2000個數(shù)在偶數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列中是第個數(shù)，第2003個數(shù)在奇數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列中是第個數(shù)，所以第2000個數(shù)是，第2003個數(shù)是．

【答案】

【例

15】

已知有一個數(shù)列：1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4、，試問：

⑴

15是這樣的數(shù)列中的第幾個到第幾個數(shù)？

⑵

這個數(shù)列中第100個數(shù)是幾？

⑶

這個數(shù)列前100個數(shù)的和是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的公式運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

分析可得下表：

數(shù)

：1

個數(shù)：2

⑴，所以15是第211個到240個

⑵

在這個數(shù)列中前9組的個數(shù)是：

(個)

這個數(shù)列前10組的個數(shù)是：

(個)

而，所以第100個數(shù)是第10組中的數(shù)，是10

⑶這個數(shù)列中前100個數(shù)的和是：

【答案】⑴第211個到240個

⑵

⑶

【例

16】

有一列數(shù)：l，2，4，7，1l，16，22，29，37，問這列數(shù)第1001個數(shù)是多少?

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的公式運(yùn)用

【難度】4星

【題型】計(jì)算

【解析】

從題目中可以看出第二個數(shù)與第一個數(shù)差1，第三個數(shù)與第二個數(shù)相差2，第四個數(shù)與第三個數(shù)相差3，依此類推，以后每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都會依次增加1，因此有以下規(guī)律：

第1個數(shù)：，第2個數(shù)：，第3個數(shù)：，第4個數(shù)：，第5個數(shù)：，第6個數(shù)：，第個數(shù)：．

第1001個數(shù)為：

【答案】

【例

17】

已知等差數(shù)列15，19，23，……443，求這個數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的差是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的公式運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

公差=19-15=4

項(xiàng)數(shù)=（443-15）÷4+1=108

倒數(shù)第二項(xiàng)=443-4=439

奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列為：15，23，31……439，公差為8，和為（15+439）×54÷2=12258

偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列為：19，27，35……443，公差為8，和為（19+443）×54÷2=12474

差為12474-12258=216

【答案】

【鞏固】

求從1到2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差。

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的公式運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是一個公差為2的等差數(shù)列，1，3，5，…，1999也是一個公差為2的等差數(shù)列，且項(xiàng)數(shù)均為1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000

解法2：注意到這兩個等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)相等，公差相等，且對應(yīng)項(xiàng)差1，所以1000項(xiàng)就差了1000個1，即原式=1000×1=1000

【答案】

【例

18】

100個連續(xù)自然數(shù)(按從小到大的順序排列)的和是8450，取出其中第1個，第3個…第99個，再把剩下的50個數(shù)相加，得多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的公式運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

(方法一)要求和，我們可以先把這50個數(shù)算出來.100個連續(xù)自然數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，且和為8450，根據(jù)等差數(shù)列的和首項(xiàng)末項(xiàng)項(xiàng)數(shù)，則：首項(xiàng)末項(xiàng)，又因?yàn)槟╉?xiàng)比首項(xiàng)大99，所以，首項(xiàng).因此，剩下的50個數(shù)為：36，38，40，42，44，46…134.這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，和為.（方法二)我們考慮這100個自然數(shù)分成的兩個數(shù)列，這兩個數(shù)列有相同的公差，相同的項(xiàng)數(shù)，且剩下的數(shù)組成的數(shù)列比取走的數(shù)組成的數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)總大1，因此，剩下的數(shù)的總和比取走的數(shù)的總和大50，又因?yàn)樗鼈兿嗉拥暮蜑?450.所以，剩下的數(shù)的總和為.【答案】

【鞏固】

有20個數(shù)，第1個數(shù)是9，以后每個數(shù)都比前一個數(shù)大3．這20個數(shù)相加，和是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的公式運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

末項(xiàng)是：，和是：

【答案】

【例

19】

把248分成8個連續(xù)偶數(shù)的和，其中最大的那個數(shù)是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的公式運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

平均數(shù)：248÷8=31，第4個數(shù)：31-1=30。第1個數(shù)：30-6=24，末項(xiàng)：24+（8-1）×2=38。即：最大的數(shù)為38。

【答案】

【鞏固】

把210拆成7個自然數(shù)的和，使這7個數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個數(shù)的差都是5，那么，第1個數(shù)與第6個數(shù)分別是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的公式運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

由題可知：由210拆成的7個數(shù)必構(gòu)成等差數(shù)列，則中間一個數(shù)為210÷7=30，所以，這7個數(shù)分別是15、20、25、30、35、40、45.即第1個數(shù)是15，第6個數(shù)是40。

【答案】

【例

20】

在這一百個自然數(shù)中，所有能被9整除的數(shù)的和是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的公式運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

每9個連續(xù)數(shù)中必有一個數(shù)是9的倍數(shù)，在中，我們很容易知道能被9整除的最小的數(shù)是，最大的數(shù)是，這些數(shù)構(gòu)成公差為9的等差數(shù)列，這個數(shù)列一共有：項(xiàng)，所以，所求數(shù)的和是：．

也可以從找規(guī)律角度分析．

【答案】

【鞏固】

在這一百個自然數(shù)中，所有不能被9整除的數(shù)的和是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的公式運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

先計(jì)算的自然數(shù)和，再減去能被9整除的自然數(shù)和，就是所有不能被9整除的自然數(shù)和了．，所有不能被9整除的自然數(shù)和：．如果直接計(jì)算不能被9整除的自然數(shù)和，是很麻煩的，所以先計(jì)算所有的自然數(shù)和，再排除掉能被9整除的自然數(shù)和，這樣計(jì)算過程變得簡便多了．

【答案】

【鞏固】

在這二百個自然數(shù)中，所有能被4整除或能被11整除的數(shù)的和是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的公式運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

先求出能被4整除的自然數(shù)和，再求出能被11整除的自然數(shù)和，將二者相加，但是此時得到的不是題目需要的和，因?yàn)?4，88等數(shù)在兩個數(shù)列中都存在，也就是說能被44整除的數(shù)列被計(jì)算了兩次，所以我們還應(yīng)該減去能被44整除的數(shù)列和．

．

【答案】

【鞏固】

在11～45這35個數(shù)中，所有不被3整除的數(shù)的和是多少？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的公式運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

先求被3整除的數(shù)的和；11～45中能被3整除的數(shù)有12，15，…，45，和為：

；于是，滿足要求的數(shù)的和為：

．

【答案】

【例

21】

求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和．

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的公式運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

100以內(nèi)除以3余2的數(shù)為2、5、8、11、、98公差為3的等差數(shù)列，首先求出一共有多少項(xiàng)，再利用公式求和．

【答案】

【鞏固】

從401到1000的所有整數(shù)中，被8除余數(shù)為1的數(shù)有_____個？

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的公式運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

因?yàn)楸?除余數(shù)為1的整數(shù)組成公差是8的等差數(shù)列，最小的是401，最大的是993，于是項(xiàng)數(shù)．

【答案】

【例

22】

從正整數(shù)1～N中去掉一個數(shù)，剩下的(N一1)個數(shù)的平均值是15.9，去掉的數(shù)是_____。

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的公式運(yùn)用

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】走美杯，5年級，決賽

【解析】

因?yàn)椤笆Ｏ碌?N-1)個數(shù)的平均值是15．9”，所以(N-1)是10的倍數(shù)，且N在15．9×231．8左右，推知N=31.去掉的數(shù)是

(1+2+3+…+31)-15.9×30496-47719。

【答案】

等差數(shù)列找規(guī)律

找規(guī)律計(jì)算

【例

23】

1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿；

2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿；

……

只青蛙

張嘴，32只眼睛

條腿。

【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】

32÷(2÷1)=16；32÷(2÷1)=16；32×（4÷2）=64.【答案】；；

【例

24】

如圖2，用火柴棍擺出一系列三角形圖案，按這種方式擺下去，當(dāng)N=5時，按這種方式擺下去，當(dāng)N=5時，共需要火柴棍

根。

【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

找規(guī)律3，3+6，3+6+9…,N=5時，需要火柴棍3+6+9+12+15=45

【答案】

【例

25】

觀察下面的序號和等式，填括號．

序號

等式

【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯

【解析】

可以這樣想：

⑴

表中各豎行排列的規(guī)律是什么？(等差數(shù)列)

⑵

表中這四個括號，應(yīng)先填哪一個？為什么？這個括號里的數(shù)怎么求？

應(yīng)先填左起第一個，因?yàn)樗切蛱枺硎玖似渌齻€括號里的數(shù)在各自的等差數(shù)列中所在的位置，即各自的項(xiàng)數(shù)．

第一個括號：，；

第二個括號：；

第三個括號：根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：

或；

第四個括號：根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：或

【答案】；；；

【鞏固】

有許多等式:；

；；

那么第10個等式的和是_______

【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算

【難度】4星

【題型】填空

【解析】

前九個等式左邊的數(shù)共有（個）數(shù)，那么第十個等式左邊第一個數(shù)是，所以第十個等式的和是．

【答案】

【鞏固】

觀察下列算式：

2＋4＝6＝2×3，2＋4＋6＝12＝3×4

2＋4＋6＋8＝20＝4×5

……

然后計(jì)算：2＋4＋6＋……＋100＝。

【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】

等式右邊第一個乘數(shù)等于等式左邊加數(shù)的個數(shù)，100以內(nèi)的偶數(shù)有50個，所以2＋4＋6＋……＋100＝50×51＝2550

【答案】

【例

26】

將一些半徑相同的小圓按如下所示的規(guī)律擺放：第1個圖形中有6個小圈，第2個圖形中有10個小圈，第3個圖形中有16個小圈，第4個圖形中有24個小圈，…，依此規(guī)律，第6個圖形有___________個小圈。

【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】

除周圍4個小圓外，中間小圓的規(guī)律是1×2，2×3，3×4，……，第6個圖有6×7＋4＝46個小圓。

【答案】

【例

27】

觀察下列四個算式：=20，=10，=，=。從中找出規(guī)律，寫出第五個算式：。

【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，二試

【解析】

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第5個算式為÷16=。

【答案】

規(guī)律計(jì)數(shù)

【例

28】

從1到50這50個連續(xù)自然數(shù)中，去兩數(shù)相加，使其和大于50．有多少種不同的取法？

【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算

【難度】4星

【題型】填空

【解析】

設(shè)滿足條件的兩數(shù)為、，且，則有

若，則，共1種．

若，則，50，共2種．

若，則，27，50，共25種．

若，則，28，50，共24種．（，的情況與，的情況相同，舍去）

若，則，29，50，共23種．

若，則，共1種．

所以，所有不同的取法種數(shù)為

【答案】

【鞏固】

從1到100的100個數(shù)中，每次取出兩個不同的自然數(shù)相加，使它們的和超過100．有幾種不同的取法？

【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算

【難度】4星

【題型】填空

【解析】

1至100的自然數(shù)每次取出兩個不同的自然數(shù)相加，超過100的和共有101～199共99種取法．

和是199的取法：．

和是198的取法：．

和是197的取法：，．

和是196的取法：，．

和是195的取法：，．

和是194的取法：，．

……

以此規(guī)律作進(jìn)一步推想：和為193的取法有4種，和為192的取法也有4種；和為191的取法有5種，和為190的取法也有5種；……，和為103的取法有49種，和為102的取法也是49種；和為101的取法有50種．

和超過100的取法種數(shù)總和是：

(種)

【答案】

【例

29】

有多少組正整數(shù)、、滿足．

【考點(diǎn)】找規(guī)律計(jì)算

【難度】5星

【題型】填空

【解析】

若，則，有，1組．

若，則，有或，2組．

若，則，有，3組．

若，則，2006組．

若，則，2007組．

顯然，a不能等于2007，2008．

所以，有．

【答案】

數(shù)陣中的等差數(shù)列

【例

30】

如下圖所示的表中有55個數(shù)，那么它們的和等于多少？

【考點(diǎn)】數(shù)陣中的等差數(shù)列

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

方法一：用基本公式算所給數(shù)列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加．（比

較慢，這里不寫具體過程）

方法二：先算出1到65的自然數(shù)和，再減去數(shù)列6，12，18，60的和：

方法三：每一行或者每一列的和均構(gòu)成一個等差數(shù)列，利用等差數(shù)列和中間項(xiàng)項(xiàng)數(shù)．

⑴

第6列作為中間項(xiàng)，求和再乘以項(xiàng)數(shù)：

⑵

第3行為中間數(shù)列，求和再乘以項(xiàng)數(shù)：

方法四：因?yàn)閿?shù)表中數(shù)關(guān)于中心對稱，所以，和中間數(shù)個數(shù)．

【答案】

【鞏固】

下列數(shù)陣中有100個數(shù)，它們的和是多少？

【考點(diǎn)】數(shù)陣中的等差數(shù)列

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

方法一：用基本公式算所給數(shù)列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加．（比

較慢，這里不再寫具體過程）

方法二：每一行或者每一列的和均構(gòu)成一個等差數(shù)列，利用等差數(shù)列和中間項(xiàng)項(xiàng)數(shù)．

先看行，因?yàn)槭桥紨?shù)行沒有中間項(xiàng)，首項(xiàng)，末項(xiàng)或者．這100個數(shù)之和．按列算同上．

方法三：從右上到左下的對角線上的數(shù)都是20，沿此對角線對折，上下重疊的兩數(shù)之和都是40，所以這100個數(shù)的平均數(shù)是20，這100個數(shù)之和．

【答案】

【鞏固】

下面方陣中所有數(shù)的和是多少？

【考點(diǎn)】數(shù)陣中的等差數(shù)列

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

我們不難看出，每一行、每一列都是一個等差數(shù)列，通過觀察，每一列的相鄰兩個數(shù)都相差1，由于每一行都有50個數(shù)字，所以每行的和構(gòu)成公差為50的等差數(shù)列．

第一行的和我們可以求出，為：

一共有行，每行的和構(gòu)成首項(xiàng)為96275，公差為50，項(xiàng)數(shù)為49的等差數(shù)列，那么最后一行的和為：，所以，方陣中所有數(shù)的總和為

．

【答案】

【例

31】

把自然數(shù)從1開始，排列成如下的三角陣：第1列為1；第2列為2，3，4；第3列為5，6，7，8，9，…，每一列比前一列多排兩個數(shù)，依次排下去，“以1開頭的行”是這個三角陣的對稱軸，如圖．則在以開頭的行中，第2008個數(shù)是多少．

【考點(diǎn)】數(shù)陣中的等差數(shù)列

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

方法一：2008行第一個數(shù)字為

2008行最后一個數(shù)字為

所以，2008行中間的數(shù)字為．

方法二：觀察以1開頭的行的數(shù)列：1，3，7，13得出規(guī)律，后一個數(shù)比前一個數(shù)多2，4，6

所以，第2008個數(shù)為．

【答案】

【鞏固】

將自然數(shù)按下圖的方式排列，求第10行的第一個數(shù)字是幾？

【考點(diǎn)】數(shù)陣中的等差數(shù)列

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

將圖中數(shù)字按順時針方向轉(zhuǎn)，成為下圖的樣子：

那么在第10行的第1個數(shù)之前共有9行數(shù)，計(jì)算出這9行共有多少數(shù)字，就可以知道第10行的第一個數(shù)是多少．前9行共有數(shù)字（個），所以第10行的第1數(shù)是46．

【答案】

【鞏固】

自然數(shù)按一定規(guī)律排成下表，問第60行第5個數(shù)是幾？

【考點(diǎn)】數(shù)陣中的等差數(shù)列

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

從兩個方面考慮：

⑴

先看組成這張表的數(shù)：1，3，5，7，9，．這是一個公差為2的等差數(shù)列．第60行第5個數(shù)是這數(shù)列中的一項(xiàng)，已知首項(xiàng)和公差，知道第60行第5個數(shù)是數(shù)列中的第幾項(xiàng)即可求解．而這個項(xiàng)數(shù)就是排列第60行第5個數(shù)時所用去數(shù)的個數(shù)．

⑵

從表的排法來看，每行的數(shù)的個數(shù)也是等差數(shù)列：1，3，5，7，．第60行第5個數(shù)也就是排完59行后又排5個數(shù)．59行所排數(shù)的個數(shù)就是1，3，5，7，中的第59項(xiàng)．

所以，第59行所用數(shù)的個數(shù)為：

(個)，從第一行排到第59行所用數(shù)的總個數(shù)為：

(個)，到第60行第5數(shù)共用去數(shù)的個數(shù)為：

(個)，第60行第5個數(shù)是數(shù)列1，3，5，7，中第3486項(xiàng)，為：

【答案】

【例

32】

把所有奇數(shù)排列成下面的數(shù)表，根據(jù)規(guī)律，請指出：

197排在第幾行的第幾個數(shù)？

…

…

【考點(diǎn)】數(shù)陣中的等差數(shù)列

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

197是奇數(shù)中的第99個數(shù).數(shù)表中，第1行有1個數(shù).第2行有3個數(shù).第3行有5個數(shù)…第幾行有2×行數(shù)-l個數(shù)

因此，前n行中共有奇數(shù)的個數(shù)為：

1+3+5+7+…+（2×行數(shù)-1）=［1+（2×行數(shù)-1）〕×行數(shù)÷2=行數(shù)×行數(shù)

因?yàn)?×9＜99＜10×10.所以，第99個數(shù)位于數(shù)表的第10行的倒數(shù)第2個數(shù)，即第18個數(shù)，即197位于第10行第18個數(shù)。

【答案】第10行第18個數(shù)

【鞏固】

將自然數(shù)按下面的形式排列

問：第10行最左邊的數(shù)是幾？第10行所有數(shù)的和是多少？

【考點(diǎn)】數(shù)陣中的等差數(shù)列

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

第10行最左邊的數(shù)是82，最右邊的數(shù)是100，第10行所有數(shù)的和．

【答案】

【例

33】

將正整數(shù)從開始依次按如圖所示的規(guī)律排成一個“數(shù)陣”，其中在第個拐角處，在第個拐角處，在第個拐角處，在第個拐角處，……．那么在第個拐角處的數(shù)是

．

【考點(diǎn)】數(shù)陣中的等差數(shù)列

【難度】4星

【題型】填空

【解析】

我們可列表觀察拐角處的數(shù)有什么特征

第個拐角：

第個拐角：

第個拐角：

第個拐角：

第個拐角：

第個拐角：

第個拐角：

第個拐角：

第個拐角：

……

由此可知，第個拐角處的數(shù)等于

⑴（為奇數(shù)時）

⑵（為偶數(shù)時）

所以第100個拐角處的數(shù)為.【答案】

【鞏固】

一列自然數(shù)：，，……，第一個數(shù)是，從第二個數(shù)開始，每一個都比它前一個大，最后一個是．現(xiàn)在將這列自然數(shù)排成以下數(shù)表規(guī)定橫排為行，豎排為列，則在數(shù)表中位于第________行第________列。

【考點(diǎn)】數(shù)陣中的等差數(shù)列

【難度】4星

【題型】填空

【解析】

觀察可知第行的第個數(shù)是，第列的第個數(shù)是．由于，所以第行的第個數(shù)是，第列的第個數(shù)是．由于，所以在第行第列．

【答案】第行第列

【例

34】

下表一共有六行七列，第一行與第一列上的數(shù)都已填好，其他位置上的每個數(shù)都是它所在行的第一列上的數(shù)與所在列的第一行上的數(shù)的積，如格應(yīng)填的數(shù)是，求表中除第一行和第一列外其它各個格上的數(shù)之和？

【考點(diǎn)】數(shù)陣中的等差數(shù)列

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

第二行上除去第一列的數(shù)的和為

第三行上除去第一列的數(shù)的和為，……

最后一行除去第一列后所有數(shù)的和為．

將這些式子相加可得到所有要求的格子上的數(shù)的和為：

．

【答案】

【例

35】

如圖的數(shù)陣是由個偶數(shù)排成的，其中，，，這六個數(shù)由一個平行四邊形圍住，它們的和是．把這個平行四邊形沿上下、左右平移后，又圍住了右邊數(shù)陣中的另外六個數(shù)，如果這六個數(shù)的和是．那么它們中間位于平行四邊形左上角的那個數(shù)是？

【考點(diǎn)】數(shù)陣中的等差數(shù)列

【難度】4星

【題型】填空

【解析】

由于平行四邊形的形狀不改變，所以它移動后框住的6個數(shù)與原來的6個數(shù)相比，每個數(shù)都增加了同樣的大?。捎诹鶄€數(shù)一共增加了，所以每個數(shù)增加了，那么第一個數(shù)就變?yōu)椤?/p>

【答案】

【例

36】

若干個硬幣排成左下圖，每個硬幣所在行的硬幣數(shù)與所在列的硬幣數(shù)相減得出一個差（大數(shù)減小數(shù)），如對于a，差為7-5=2，所有差的總和為。

【考點(diǎn)】數(shù)陣中的等差數(shù)列

【難度】3星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，初賽

【解析】

根據(jù)題目要求操作找規(guī)律發(fā)現(xiàn)第一行第一個圈為0，和為0

第二行第一個圈為1，第二個圈為0，和為1

第三行第一個圈為2，第二個圈為1，第三個圈為0和為

第四行第一個圈為3，第二個圈為2，第三個圈為1，第四個圈為0，和為

……

所以這些差有7個1，6個2，5個3，4個4，3個5，2個6，1個7

和為

【答案】