2021年高中數(shù)學(xué)人教A版（新教材）選擇性必修第二冊4.2.2　第2課時　等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用

一、選擇題

1．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列，它的前n項和為Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，則λ的值是()

A．－2

B．－1　　　　C．0　　　　D．1

2．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10＝10，S20＝60，則S40＝()

A．110

B．150

C．210

D．280

3．在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2

018，其前n項和為Sn，若－＝2，則S2

018的值等于()

A．－2

018

B．－2

016

C．－2

019

D．－2

017

4．兩個等差數(shù)列{an}和{bn}，其前n項和分別為Sn，Tn，且＝，則＝()

A．

B．

C．

D．

5.＋＋＋＋…＋等于()

A．

B．

C．

D．

6．(多選題)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若Sn＝S13－n(n∈N*且n＜13)，有以下結(jié)論，則正確的結(jié)論為()

A．S13＝0

B．a(chǎn)7＝0

C．{an}為遞增數(shù)列

D．a(chǎn)13＝0

7．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，則n＝()

A．12

B．14

C．16

D．18

二、填空題

8．已知等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，則S9－S6＝________.9．在數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋(n∈N*)，則a2

019的值為________．

10．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝3，且對于任意的n∈N*都有an＋1－an＝n＋2，則a39＝________.11．(一題兩空)設(shè)項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為44，偶數(shù)項之和為33，則這個數(shù)列的中間項的值是________，項數(shù)是________．

12．一個等差數(shù)列的前12項的和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和的比為32∶27，則該數(shù)列的公差d為________．

三、解答題

13．已知兩個等差數(shù)列{an}與{bn}的前n(n＞1)項和分別是Sn和Tn，且Sn∶Tn＝(2n＋1)∶(3n－2)，求的值．

14．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝10，a2為整數(shù)，且Sn≤S4.(1)求{an}的通項公式；

(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.15．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且a2＝15，S5＝65.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，且Tn＝Sn－10，求數(shù)列{|bn|}的前n項和Rn.參考答案

一、選擇題

1．答案：B

解析：等差數(shù)列前n項和Sn的形式為Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.2．

答案：D

解析：∵等差數(shù)列{an}前n項和為Sn，∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差數(shù)列，故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，∴S30＝150.又∵(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，∴S40＝280.故選D.3．

答案：A

解析：由題意知，數(shù)列為等差數(shù)列，其公差為1，所以＝＋(2

018－1)×1＝－2

018＋2

017＝－1.所以S2

018＝－2

018.4．

答案：D

解析：因為等差數(shù)列{an}和{bn}，所以＝＝，又S21＝21a11，T21＝21b11，故令n＝21有＝＝，即＝，所以＝，故選D.5．

答案：C

解析：通項an＝＝，∴原式＝

＝＝.6．

答案：AB

解析：對B，由題意，Sn＝S13－n，令n＝7有S7＝S6?S7－S6＝0?a7＝0，故B正確．

對A，S13＝＝13a7＝0.故A正確．

對C，當(dāng)an＝0時滿足Sn＝S13－n＝0，故{an}為遞增數(shù)列不一定正確．故C錯誤．

對D，由A，B項，可設(shè)當(dāng)an＝7－n時滿足Sn＝S13－n，但a13＝－6.故D錯誤．

故AB正確．

7．答案：B

解析：Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.二、填空題

8．答案：5

解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等差數(shù)列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.9.答案：1

解析：因為an＋1＝an＋(n∈N*)，所以an＋1－an＝＝－，a2－a1＝1－，a3－a2＝－，…

a2

019－a2

018＝－，各式相加，可得a2

019－a1＝1－，a2

019－＝1－，所以a2

019＝1，故答案為1.10．

答案：820

解析：因為an＋1－an＝n＋2，所以a2－a1＝3，a3－a2＝4，a4－a3＝5，…，an－an－1＝n＋1(n≥2)，上面n－1個式子左右兩邊分別相加得an－a1＝，即an＝，所以a39＝＝820.11．

答案：11　7

解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的項數(shù)為2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，所以＝＝，解得n＝3，所以項數(shù)為2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11為所求中間項．

12．答案：5

解析：設(shè)等差數(shù)列的前12項中奇數(shù)項的和為S奇，偶數(shù)項的和為S偶，等差數(shù)列的公差為d.由已知條件，得

解得

又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.]

三、解答題

13．解：法一：＝＝＝＝＝＝＝.法二：∵數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列，∴設(shè)Sn＝A1n2＋B1n，Tn＝A2n2＋B2n.又＝，∴令Sn＝tn(2n＋1)，Tn＝tn(3n－2)，t≠0，且t∈R.∴an＝Sn－Sn－1＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－2＋1)

＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－1)

＝t(4n－1)(n≥2)，bn＝Tn－Tn－1＝tn(3n－2)－t(n－1)(3n－5)

＝t(6n－5)(n≥2)．

∴＝＝(n≥2)，∴＝＝＝.14．解：(1)由a1＝10，a2為整數(shù)知，等差數(shù)列{an}的公差d為整數(shù)．

因為Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0，10＋4d≤0.解得－≤d≤－，因此d＝－3.所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝13－3n.(2)bn＝＝.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝

于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝＋＋…＋

＝

＝.15解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則解得

∴an＝a1＋(n－1)d＝17－2(n－1)＝－2n＋19.(2)由(1)得Sn＝＝－n2＋18n，∴Tn＝－n2＋18n－10.當(dāng)n＝1時，b1＝T1＝7；

當(dāng)n≥2且n∈N*時，bn＝Tn－Tn－1＝－2n＋19.經(jīng)驗證b1≠17，∴bn＝

當(dāng)1≤n≤9時，bn＞0；當(dāng)n≥10時，bn＜0.∴當(dāng)1≤n≤9時，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝b1＋b2＋…＋bn＝－n2＋18n－10；

當(dāng)n≥10時，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|

＝b1＋b2＋…＋b9－(b10＋b11＋…＋bn)

＝2(b1＋b2＋…＋b9)－(b1＋b2＋…＋b9＋b10＋b11＋…＋bn)

＝－Tn＋2T9＝n2－18n＋152，綜上所述：Rn＝