2021年高中數(shù)學(xué)人教A版（新教材）選擇性必修第二冊4.2.1　第2課時　等差數(shù)列的性質(zhì)

一、選擇題

1．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a7＝－8，a2＝2，則數(shù)列{an}的公差d等于()

A．－1

B．－2

C．－3

D．－4

2．已知數(shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，即a3＋a4＝

()

A．6

B．7

C．8

D．9

3．在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a9＝10，則3a4＋a10＝()

A．10

B．15

C．20

D．25

4．下列說法中正確的是()

A．若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2成等差數(shù)列

B．若a，b，c成等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2c成等差數(shù)列

C．若a，b，c成等差數(shù)列，則a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列

D．若a，b，c成等差數(shù)列，則2a，2b，2c成等差數(shù)列

5．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢(“錢”是古代的一種重量單位)，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢．”這個問題中，甲所得為()

A．錢

B．錢

C．錢

D．錢

6．(多選題)下面是關(guān)于公差d＞0的等差數(shù)列{an}的四個命題，正確的是()

A．?dāng)?shù)列{an}是遞增數(shù)列

B．?dāng)?shù)列{nan}是遞增數(shù)列

C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列

D．?dāng)?shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列

7．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有一道這樣的題：把100個面包分給5個人，使每個人的所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份的量為()

A．個

B．個

C．個

D．個

二、填空題

8．在等差數(shù)列{an}中，a15＝33，a25＝66，則a45＝________.9．若a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點的個數(shù)為________．

10．(一題多空)在通常情況下，從地面到10

km高空，高度每增加1

km，氣溫就下降某一個固定數(shù)值．如果1

km高度的氣溫是8.5

℃，5

km高度的氣溫是－17.5

℃，則2

km，4

km，8

km高度的氣溫分別為________、________、________.11．(一題兩空)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a3＋b3＝________，an＋bn＝________.12．若m≠n，兩個等差數(shù)列m，a1，a2，n與m，b1，b2，b3，n的公差分別為d1和d2，則的值為________．

三、解答題

13．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28.求數(shù)列{an}的通項公式．

14．已知三個數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的，它們的和為18，平方和為116，求這三個數(shù)．

15．甲、乙兩人連續(xù)6年對某縣農(nóng)村養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模進(jìn)行調(diào)查，提供兩個不同的信息圖如圖．甲調(diào)查表明：從第1年每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)1萬只雞上升到第6年平均每個養(yǎng)雞場平均出產(chǎn)2萬只雞．乙調(diào)查表明：由第1年養(yǎng)雞場個數(shù)30個減少到第6年10個．

甲　　　　　　　　　乙

請您根據(jù)提供的信息說明，求：

(1)第2年養(yǎng)雞場的個數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)；

(2)到第6年這個縣的養(yǎng)雞業(yè)比第1年是擴(kuò)大了還是縮小了？請說明理由；

(3)哪一年的規(guī)模最大？請說明理由．

參考答案

一、選擇題

1．答案：C

解析：由a1＋a7＝2a4＝－8可得a4＝－4，又a2＝2，∴a4－a2＝2d，即2d＝－6，d＝－3.2．

答案：B

解析：∵2an＝an－1＋an＋1，∴{an}是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＋a4＝3＋4＝7.3．

答案：C

解析：由題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a2＋a9＝2a1＋9d＝10，又由3a4＋a10＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20，故選C.4．

答案：C

解析：因為a，b，c成等差數(shù)列，則2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列．

5．答案：B

解析：根據(jù)題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊分別為a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由題意可得a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，①

a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，②

聯(lián)立①②得a＝1，d＝－，則甲所得為1－2×＝.6．

答案：AD

解析：在等差數(shù)列{an}中，∵d＞0，∴數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，∴A正確；令an＝dn＋b，則nan＝dn2＋bn，當(dāng)b＜0時，可能是先減后增，∴B錯誤；＝＝＋d.當(dāng)b＞0時，數(shù)列遞減，∴C錯誤；an＋3nd＝4dn＋b，∵d＞0，∴是遞增數(shù)列．故D正確，應(yīng)選AD.7．

答案：C

解析：易得中間的一份為20個面包，設(shè)最小的一份的量為a1，公差為d(d＞0)，根據(jù)題意，有[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]×＝a1＋(a1＋d)，解得a1＝.故最小一份的量為個，故選C.二、填空題

8．答案：132

解析：在等差數(shù)列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差數(shù)列，公差是a25－a15＝33.∴a45＝33＋3×33＝132.9.答案：1或2

解析：∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.∴二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點個數(shù)為1或2.10.答案：2

℃?。?1

℃?。?7

℃

解析：用{an}表示自下而上各高度氣溫組成的等差數(shù)列，則a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2

km，4

km，8

km高度的氣溫分別為2

℃，－11

℃，－37

℃.11.答案：100　100

解析：設(shè)兩個等差數(shù)列的公差分別為d1，d2，∴a2＝a1＋d1，b2＝b1＋d2，∴a2＋b2＝a1＋b1＋d1＋d2，即100＝100＋d1＋d2，∴d1＋d2＝0.∴a3＋b3＝a1＋b1＝100，∵d1＋d2＝0，∴{an＋bn}是常數(shù)列，即an＋bn＝100.12.答案：

解析：n－m＝3d1，d1＝(n－m)，又n－m＝4d2，d2＝(n－m)，∴＝＝.]

三、解答題

13．解：法一：設(shè){an}的首項為a1，公差為d，則由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4，∴a1＝4－7d.代入a3a8a13＝28，并整理得(4－5d)×4×(4＋5d)＝28，即d＝±.當(dāng)d＝時，a1＝－，an＝n－；

當(dāng)d＝－時，a1＝，an＝－n＋.法二：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，∴a8＝4.a3a8a13＝(a8－5d)a8(a8＋5d)＝28，∴16－25d2＝7，∴d＝±.當(dāng)d＝時，an＝a8＋(n－8)d＝n－；

當(dāng)d＝－時，an＝－n＋.法三：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，∴a8＝4，∴

∴a3，a13是方程x2－8x＋7＝0的兩根，∴或

由a3＝1，a13＝7，得d＝＝，∴an＝a3＋(n－3)d＝n－.同理，由a3＝7，a13＝1，得an＝－n＋.14．解：法一：設(shè)這三個數(shù)為a，b，c(a

法二：設(shè)這三個數(shù)為a－d，a，a＋d，由已知得

由①得a＝6，代入②得d＝±2，∵該數(shù)列是遞增的，∴d＝2，∴這三個數(shù)為4，6，8.15．解：由題圖可知，從第1年到第6年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)的雞數(shù)成等差數(shù)列，記為{an}，公差為d1，且a1＝1，a6＝2；從第1年到第6年的養(yǎng)雞場個數(shù)也成等差數(shù)列，記為{bn}，公差為d2，且b1＝30，b6＝10.從第1年到第6年全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)記為數(shù)列{cn}，則cn＝anbn.(1)由a1＝1，a6＝2，得∴?a2＝1.2；

由b1＝30，b6＝10，得

∴?b2＝26，∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2.(2)c6＝a6b6＝2×10＝20＜c1＝a1b1＝30，∴到第6年這個縣的養(yǎng)雞業(yè)比第1年縮小了．

(3)∵an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8，bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6)，∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1≤n≤6)．

∵對稱軸為n＝，∴當(dāng)n＝2時，cn最大．

答：(1)第2年養(yǎng)雞場的個數(shù)為26個，全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)是31.2萬只；

(2)到第6年這個縣的養(yǎng)雞業(yè)比第1年縮小了；

(3)第2年的規(guī)模最大．