2021年高中數(shù)學人教A版（新教材）選擇性必修第二冊§4.4 數(shù)學歸納法
一、選擇題
1．用數(shù)學歸納法證明1＋＋＋…＋
A．1＋<2
B．1＋＋<2
C．1＋＋<3
D．1＋＋＋<3
2．用數(shù)學歸納法證明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，則當n＝k＋1時，左端應在n＝k的基礎(chǔ)上加上()
A．
B．－
C．－
D．＋
3．一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當n＝2時命題成立，且由n＝k時命題成立可以推得n＝k＋2時命題也成立，則()
A．該命題對于n>2的自然數(shù)n都成立
B．該命題對于所有的正偶數(shù)都成立
C．該命題何時成立與k取值無關(guān)
D．以上答案都不對
4．利用數(shù)學歸納法證明1＋＋＋＋…＋ A．1項 B．k項 C．2k－1項 D．2k項 5．對于不等式 (1)當n＝1時，<1＋1，不等式成立． (2)假設(shè)當n＝k(k∈N*)時，不等式 <＝＝(k＋1)＋1 ∴當n＝k＋1時，不等式成立，則上述證法() A．過程全部正確 B．n＝1驗得不正確 C．歸納假設(shè)不正確 D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確 6．某命題與自然數(shù)有關(guān)，如果當n＝k(k∈N*)時該命題成立，則可推得n＝k＋1時該命題也成立，現(xiàn)已知當n＝5時該命題不成立，則可推得() A．當n＝6時，該命題不成立 B．當n＝6時，該命題成立 C．當n＝4時，該命題不成立 D．當n＝4時，該命題成立 7．(多選題)用數(shù)學歸納法證明不等式＋＋＋…＋＞的過程中，下列說法正確的是() A．使不等式成立的第一個自然數(shù)n0＝1 B．使不等式成立的第一個自然數(shù)n0＝2 C．n＝k推導n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是 D．n＝k推導n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是 二、填空題 8．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明1－＋－＋…＋＝2時，若已知假設(shè)n＝k(k≥2)為偶數(shù)時，命題成立，則還需要用歸納假設(shè)再證________． 9．用數(shù)學歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證n＝k＋1時的情況，只需展開________． 10．已知f (n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，用數(shù)學歸納法證明f (2n)>時，f (2k＋1)－f (2k)＝________.11．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明“1－＋－＋…＋－＝ 2”時，第一步的驗證為________；若已假設(shè)n＝k(k≥2且k為偶數(shù))時等式成立，則還需要用歸納假設(shè)證n＝________時等式成立． 12．記凸k邊形的內(nèi)角和為f (k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f (k＋1)＝f (k)＋________.三、解答題 13．(1)用數(shù)學歸納法證明：1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)； (2)用數(shù)學歸納法證明：1＋＋＋…＋<2(n∈N*)． 14．已知正項數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N*)．用數(shù)學歸納法證明：an 15．是否存在a，b，c使等式＋＋＋…＋＝對一切n∈N*都成立？若不存在，說明理由；若存在，用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論． 參考答案 一、選擇題 1．答案：B 解析：因為n∈N*，n>1，故第一步應驗證n＝2的情況，即1＋＋<2.故選B.] 2．答案：C 解析：因為當n＝k時，左端＝1－＋－＋…＋－，當n＝k＋1時，左端＝1－＋－＋…＋－＋－.所以，左端應在n＝k的基礎(chǔ)上加上－.] 3．答案：B 解析：由n＝k時命題成立可以推出n＝k＋2時命題也成立，且n＝2時命題成立，故對所有的正偶數(shù)都成立．] 4．答案：D 解析：用數(shù)學歸納法證明不等式1＋＋＋＋…＋ 5．答案：D 解析：在n＝k＋1時，沒有應用n＝k時的假設(shè)，即從n＝k到n＝k＋1的推理不正確． 故選D.6． 答案：C 解析：若n＝4時，該命題成立，由條件可推得n＝5命題成立． 它的逆否命題為：若n＝5不成立，則n＝4時該命題也不成立． 7．答案：BC 解析：n＝1時，＞不成立，n＝2時，＋＞成立，所以A錯誤B正確； 當n＝k時，左邊的代數(shù)式為＋＋…＋，當n＝k＋1時，左邊的代數(shù)式為＋＋…＋，故用n＝k＋1時左邊的代數(shù)式減去n＝k時左邊的代數(shù)式的結(jié)果，即－＝為不等式的左邊增加的項，故C正確D錯誤，故選BC.二、填空題 8．答案：n＝k＋2時等式成立 解析：由于n為正偶數(shù)，已知假設(shè)n＝k(k≥2)為偶數(shù)，則下一個偶數(shù)為n＝k＋2.故答案為：n＝k＋2時等式成立． 9.答案：(k＋3)3 解析：假設(shè)當n＝k時，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除； 當n＝k＋1時，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3.為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k＋3)3展開，讓其出現(xiàn)k3即可．故答案為(k＋3)3.10.＋＋…＋ 解析：因為假設(shè)n＝k時，f (2k)＝1＋＋＋…＋，當n＝k＋1時，f (2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋，所以f (2k＋1)－f (2k)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋－(1＋＋＋…＋) ＝＋＋…＋.11.當n＝2時，左邊＝1－＝，右邊＝2×＝，等式成立 k＋2 解析：對1－＋－＋…＋－＝2在n為正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明． 歸納基礎(chǔ)，因為n為正偶數(shù)，則基礎(chǔ)n＝2，當n＝2時，左邊＝1－＝，右邊＝2×＝，等式成立； 歸納假設(shè)，當n＝k(k≥2且k為偶數(shù))時，1－＋－＋…＋－＝2成立，由于是所有正偶數(shù)，則歸納推廣，應到下一個數(shù)為n＝k＋2時，等式成立． 12.答案：π 解析：由凸k邊形變?yōu)橥筴＋1邊形時，增加了一個三角形圖形，故f (k＋1)＝f (k)＋π.三、解答題 13．證明：(1)①當n＝1時，左邊＝1＋2＋3＋4＝10，右邊＝＝10，左邊＝右邊． ②假設(shè)n＝k(k∈N*)時等式成立，即1＋2＋3＋…＋(k＋3)＝，那么當n＝k＋1時，1＋2＋3＋…＋(k＋3)＋(k＋4) ＝＋(k＋4)＝，即當n＝k＋1時，等式成立． 綜上，1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)． (2)①當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2，左邊<右邊，故當n＝1時不等式成立． ②假設(shè)當n＝k(k∈N*)時不等式成立，即1＋＋＋…＋<2，那么當n＝k＋1時，左邊＝1＋＋＋…＋＋<2＋，因為4k2＋4k<4k2＋4k＋1，所以2 <2k＋1，所以2＋＝＝<＝2.故當n＝k＋1時，不等式也成立． 綜上，由①②可知1＋＋＋…＋<2.14．證明：①當n＝1時，a2＝1＋＝，a1 ②假設(shè)n＝k(k∈N*)時，ak ＝－＝>0，所以，當n＝k＋1時，不等式成立． 綜上所述，不等式an 15．解：取n＝1，2，3可得解得：a＝，b＝，c＝.下面用數(shù)學歸納法證明＋＋＋…＋＝＝.即證12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)． ①n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，∴等式成立； ②假設(shè)n＝k時等式成立，即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立，則當n＝k＋1時，等式左邊＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2 ＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)·(2k＋3)，∴當n＝k＋1時等式成立． 由數(shù)學歸納法，綜合①②知當n∈N*時等式成立，故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立.
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