2021年高中數(shù)學(xué)人教A版（新教材）選擇性必修第二冊4.2.2　第1課時　等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)及簡單應(yīng)用

一、選擇題

1．已知等差數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，則它的前10項的和S10＝()

A．138

B．135

C．95

D．23

2．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＋a12＝a7＋6，則S11＝()

A．99

B．33

C．198

D．66

3．在小于100的自然數(shù)中，所有被7除余2的數(shù)之和為()

A．765

B．665

C．763

D．663

4．現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數(shù)為()

A．9

B．10

C．19

D．29

5．《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈．”其意思為：現(xiàn)有一善于織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，第1天織了5尺布．現(xiàn)在一月(按30天計算)共織390尺布，記該女子一月中的第n天所織布的尺數(shù)為an，則a14＋a15＋a16＋a17的值為()

A．55

B．52

C．39

D．26

6．(多選題)設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項和，則下列命題中正確的是()

A．若d＜0，則數(shù)列{Sn}有最大項

B．若數(shù)列{Sn}有最大項，則d＜0

C．若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則對任意n∈N*，均有Sn＞0

D．若對任意n∈N*，均有Sn＞0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列

7．(多選題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn且滿足S2

019＞0，S2

020＜0，對任意正整數(shù)n，都有|an|≥|ak|，則下列判斷正確的是()

A．a(chǎn)1

010＞0

B．a(chǎn)1

011＞0

C．|a1

010|＞|a1

011|

D．k的值為1

010

二、填空題

8．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，則數(shù)列{an}的前9項和等于________．

9．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝________.10．已知等差數(shù)列{an}滿足a1＝32，a2＋a3＝40，則{|an|}前12項之和為________．

11．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S2＝S6，a4＝1，則d＝________，a5＝________.12．植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植樹一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一棵樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，此最小值為________米．

三、解答題

13．等差數(shù)列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)若Sn＝242，求n.14．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a8＝1，S16＝0，當Sn取最大值時求n的值．

15．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1＝12，d＝－2.(1)求Sn，并畫出{Sn}(1≤n≤13)的圖象；

(2)分別求{Sn}單調(diào)遞增、單調(diào)遞減的n的取值范圍，并求{Sn}的最大(或最小)的項；

(3){Sn}有多少項大于零？

參考答案

一、選擇題

1．答案：C

解析：∵∴∴

∴S10＝10a1＋×d＝－40＋135＝95.2．

答案：D

解析：因為a1＋a12＝a7＋6，所以a6＝6，則

S11＝＝11a6＝11×6＝66，故選D.3．

答案：B

解析：由題意得，所有被7除余2的數(shù)構(gòu)成以2為首項，公差為7的等差數(shù)列，∴2＋(n－1)×7<100，∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.4．

答案：B

解析：鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數(shù)組成了一個等差數(shù)列，最上面一層鋼管數(shù)為1，逐層增加1個．∴鋼管總數(shù)為：1＋2＋3＋…＋n＝.當n＝19時，S19＝190.當n＝20時，S20＝210>200.∴n＝19時，剩余鋼管根數(shù)最少，為10根．]

5．答案：B

解析：由題意可得{an}為等差數(shù)列，a1＝5，∴S30＝30×5＋d＝390，解得d＝，∴a14＋a15＋a16＋a17＝a1＋13d＋a1＋14d＋a1＋15d＋a1＋16d

＝4a1＋58d＝4×5＋58×＝52.6．

答案：ABD

解析：顯然Sn對應(yīng)的二次函數(shù)有最大值時d＜0，且若d＜0，則Sn有最大值，故A，B正確．又若對任意n∈N*，Sn＞0，則a1＞0，d＞0，{Sn}必為遞增數(shù)列，故D正確．

而對于C項，令Sn＝n2－2n，則數(shù)列{Sn}遞增，但S1＝－1＜0，故C不正確．

7．答案：AD

解析：由等差數(shù)列{an}，可得S2

019＝＞0，S2

020＝＜0，即：a1＋a2

019＞0，a1＋a2

020＜0，可得：2a1

010＞0，a1

010＋a1

011＜0，∴a1

010＞0，a1

011＜0，∴A正確B錯誤．又等差數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，且a1

010＋a1

011＜0，∴|a1

010|＜|a1

011|，∴C錯誤．

而對任意正整數(shù)n，都有|an|≥|ak|，則k的值為1

010.故D正確．故選AD.二、填空題

8．答案：27

解析：由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知數(shù)列{an}是首項為1，公差為的等差數(shù)列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.9.答案：－10

解析：設(shè)該等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)題中的條件可得3＝2×2＋d＋4×2＋·d，整理解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10.10.答案：304

解析：因為a2＋a3＝2a1＋3d＝64＋3d＝40?d＝－8，所以an＝40－8n.所以|an|＝|40－8n|＝

所以前12項之和為＋＝80＋224＝304.11.答案：－2　－1

解析：由題意知

解得

所以a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1.12.答案：2

000

解析：假設(shè)20位同學(xué)是1號到20號依次排列，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，則樹苗需放在第10或第11號樹坑旁，此時兩側(cè)的同學(xué)所走的路程分別組成以20為首項，20為公差的等差數(shù)列，故所有同學(xué)往返的總路程為

S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2

000(米)．

三、解答題

13．解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.則解得

∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程242＝12n＋×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.14．解：法一：由解得

則Sn＝－n2＋16n＝－(n－8)2＋64，則當n＝8時，Sn取得最大值．

法二：因為{an}是等差數(shù)列，所以S16＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)＝0，則a9＝－a8＝－1，即數(shù)列{an}的前8項是正數(shù)，從第9項開始是負數(shù)，所以當n＝8時，Sn取得最大值．

15．解：(1)Sn＝na1＋d＝12n＋×(－2)＝－n2＋13n.圖象如圖．

(2)Sn＝－n2＋13n＝－＋，n∈N*，∴當n＝6或7時，Sn最大；當1≤n≤6時，{Sn}單調(diào)遞增；

當n≥7時，{Sn}單調(diào)遞減．

{Sn}有最大值，最大項是S6，S7，S6＝S7＝42.(3)由圖象得{Sn}中有12項大于零．