選修2-2

1.1

第2課時

導(dǎo)數(shù)的概念

一、選擇題

1．函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)是()

A．在該點的函數(shù)值的增量與自變量的增量的比

B．一個函數(shù)

C．一個常數(shù)，不是變數(shù)

D．函數(shù)在這一點到它附近一點之間的平均變化率

[答案]　C

[解析]　由定義，f′(x0)是當(dāng)Δx無限趨近于0時，無限趨近的常數(shù)，故應(yīng)選C.2．如果質(zhì)點A按照規(guī)律s＝3t2運動，則在t0＝3時的瞬時速度為()

A．6

B．18

C．54

D．81

[答案]　B

[解析]　∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32

＝18Δt＋3(Δt)2∴＝18＋3Δt.當(dāng)Δt→0時，→18，故應(yīng)選B.3．y＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為()

A．2x

B．2

C．2＋Δx

D．1

[答案]　B

[解析]　∵f(x)＝x2，x＝1，∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2·Δx＋(Δx)2

∴＝2＋Δx

當(dāng)Δx→0時，→2

∴f′(1)＝2，故應(yīng)選B.4．一質(zhì)點做直線運動，若它所經(jīng)過的路程與時間的關(guān)系為s(t)＝4t2－3(s(t)的單位：m，t的單位：s)，則t＝5時的瞬時速度為()

A．37

B．38

C．39

D．40

[答案]　D

[解析]　∵＝＝40＋4Δt，∴s′(5)＝li

＝li

(40＋4Δt)＝40.故應(yīng)選D.5．已知函數(shù)y＝f(x)，那么下列說法錯誤的是()

A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函數(shù)值的增量

B.＝叫做函數(shù)在x0到x0＋Δx之間的平均變化率

C．f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)記為y′

D．f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)記為f′(x0)

[答案]　C

[解析]　由導(dǎo)數(shù)的定義可知C錯誤．故應(yīng)選C.6．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)可表示為y′|x＝x0，即()

A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)

B．f′(x0)＝li[f(x0＋Δx)－f(x0)]

C．f′(x0)＝

D．f′(x0)＝li

[答案]　D

[解析]　由導(dǎo)數(shù)的定義知D正確．故應(yīng)選D.7．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c為常數(shù))在x＝2時的瞬時變化率等于()

A．4a

B．2a＋b

C．b

D．4a＋b

[答案]　D

[解析]　∵＝

＝4a＋b＋aΔx，∴y′|x＝2＝li

＝li

(4a＋b＋a·Δx)＝4a＋b.故應(yīng)選D.8．如果一個函數(shù)的瞬時變化率處處為0，則這個函數(shù)的圖象是()

A．圓

B．拋物線

C．橢圓

D．直線

[答案]　D

[解析]　當(dāng)f(x)＝b時，f′(x)＝0，所以f(x)的圖象為一條直線，故應(yīng)選D.9．一物體作直線運動，其位移s與時間t的關(guān)系是s＝3t－t2，則物體的初速度為()

A．0

B．3

C．－2

D．3－2t

[答案]　B

[解析]　∵＝＝3－Δt，∴s′(0)＝li

＝3.故應(yīng)選B.10．設(shè)f(x)＝，則li

等于()

A．－

B.C．－

D.[答案]　C

[解析]　li

＝li

＝li

＝－li

＝－.二、填空題

11．已知函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為11，則

li＝________；

li

＝________.[答案]?。?1，－

[解析]　li

＝－li

＝－f′(x0)＝－11；

li

＝－li

＝－f′(x0)＝－.12．函數(shù)y＝x＋在x＝1處的導(dǎo)數(shù)是________．

[答案]　0

[解析]　∵Δy＝－

＝Δx－1＋＝，∴＝.∴y′|x＝1＝li

＝0.13．已知函數(shù)f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，則a等于______．

[答案]　2

[解析]　∵＝＝a，∴f′(1)＝li

＝a.∴a＝2.14．已知f′(x0)＝li，f(3)＝2，f′(3)＝－2，則li的值是________．

[答案]　8

[解析]　li

＝li

＋li

.由于f(3)＝2，上式可化為

li

－3li

＝2－3×(－2)＝8.三、解答題

15．設(shè)f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．

[解析]　由導(dǎo)數(shù)定義有f′(x0)

＝li

＝li

＝li

＝2x0，16．槍彈在槍筒中運動可以看做勻加速運動，如果它的加速度是5.0×105m/s2，槍彈從槍口射出時所用時間為1.6×10－3s，求槍彈射出槍口時的瞬時速度．

[解析]　位移公式為s＝at2

∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2

∴＝at0＋aΔt，∴l(xiāng)i

＝li

＝at0，已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800m/s.所以槍彈射出槍口時的瞬時速度為800m/s.17．在曲線y＝f(x)＝x2＋3的圖象上取一點P(1,4)及附近一點(1＋Δx,4＋Δy)，求(1)(2)f′(1)．

[解析](1)＝

＝＝2＋Δx.(2)f′(1)＝

＝

(2＋Δx)＝2.18．函數(shù)f(x)＝|x|(1＋x)在點x0＝0處是否有導(dǎo)數(shù)？若有，求出來，若沒有，說明理由．

[解析]　f(x)＝

Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)

＝

∴

＝

(1＋Δx)＝1，＝

(－1－Δx)＝－1，∵

≠，∴Δx→0時，無極限．

∴函數(shù)f(x)＝|x|(1＋x)在點x0＝0處沒有導(dǎo)數(shù)，即不可導(dǎo)．(x→0＋表示x從大于0的一邊無限趨近于0，即x＞0且x趨近于0)