選修2-2

1.2.2

第1課時

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運算法則

一、選擇題

1．曲線y＝x3－2在點處切線的傾斜角為()

A．30°

B．45°

C．135°

D．60°

[答案]　B

[解析]　y′|x＝－1＝1，∴傾斜角為45°.2．設(shè)f(x)＝－，則f′(1)等于()

A．－

B.C．－

D.[答案]　B

3．若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為()

A．4x－y－3＝0

B．x＋4y－5＝0

C．4x－y＋3＝0

D．x＋4y＋3＝0

[答案]　A

[解析]　∵直線l的斜率為4，而y′＝4x3，由y′＝4得x＝1而x＝1時，y＝x4＝1，故直線l的方程為：y－1＝4(x－1)即4x－y－3＝0.4．已知f(x)＝ax3＋9x2＋6x－7，若f′(－1)＝4，則a的值等于()

A.B.C.D.[答案]　B

[解析]　∵f′(x)＝3ax2＋18x＋6，∴由f′(－1)＝4得，3a－18＋6＝4，即a＝.∴選B.5．已知物體的運動方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示時間，s表示位移)，則瞬時速度為0的時刻是()

A．0秒、2秒或4秒

B．0秒、2秒或16秒

C．2秒、8秒或16秒

D．0秒、4秒或8秒

[答案]　D

[解析]　顯然瞬時速度v＝s′＝t3－12t2＋32t＝t(t2－12t＋32)，令v＝0可得t＝0,4,8.故選D.6．(2010·新課標全國卷文，4)曲線y＝x3－2x＋1在點(1,0)處的切線方程為()

A．y＝x－1

B．y＝－x－1

C．y＝2x－2

D．y＝－2x－2

[答案]　A

[解析]　本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，在解題時應(yīng)首先驗證點是否在曲線上，然后通過求導(dǎo)得出切線的斜率，題目定位于簡單題．

由題可知，點(1,0)在曲線y＝x3－2x＋1上，求導(dǎo)可得y′＝3x2－2，所以在點(1,0)處的切線的斜率k＝1，切線過點(1,0)，根據(jù)直線的點斜式可得過點(1,0)的曲線y＝x3－2x＋1的切線方程為y＝x－1，故選A.7．若函數(shù)f(x)＝exsinx，則此函數(shù)圖象在點(4，f(4))處的切線的傾斜角為()

A.B．0

C．鈍角

D．銳角

[答案]　C

[解析]　y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝e4sin(4＋)<0，故傾斜角為鈍角，選C.8．曲線y＝xsinx在點處的切線與x軸、直線x＝π所圍成的三角形的面積為

()

A.B．π2

C．2π2

D.(2＋π)2

[答案]　A

[解析]　曲線y＝xsinx在點處的切線方程為y＝－x，所圍成的三角形的面積為.9．設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f2011(x)等于()

A．sinx

B．－sinx

C．cosx

D．－cosx

[答案]　D

[解析]　f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，∴4為最小正周期，∴f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.故選D.10．f(x)與g(x)是定義在R上的兩個可導(dǎo)函數(shù)，若f(x)、g(x)滿足f′(x)＝g′(x)，則f(x)與g(x)滿足()

A．f(x)＝g(x)

B．f(x)－g(x)為常數(shù)

C．f(x)＝g(x)＝0

D．f(x)＋g(x)為常數(shù)

[答案]　B

[解析]　令F(x)＝f(x)－g(x)，則F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝0，∴F(x)為常數(shù)．

二、填空題

11．設(shè)f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′＝，則a＝________，b＝________.[答案]　0

－1

[解析]　f′(x)＝2ax－bcosx，由條件知，∴.12．設(shè)f(x)＝x3－3x2－9x＋1，則不等式f′(x)＜0的解集為________．

[答案](－1,3)

[解析]　f′(x)＝3x2－6x－9，由f′(x)＜0得3x2－6x－9＜0，∴x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3.13．曲線y＝cosx在點P處的切線的斜率為______．

[答案]?。?/p>

[解析]　∵y′＝(cosx)′＝－sinx，∴切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝＝－sin＝－.14．已知函數(shù)f(x)＝ax＋bex圖象上在點P(－1,2)處的切線與直線y＝－3x平行，則函數(shù)f(x)的解析式是____________．

[答案]　f(x)＝－x－ex＋1

[解析]　由題意可知，f′(x)|x＝－1＝－3，∴a＋be－1＝－3，又f(－1)＝2，∴－a＋be－1＝2，解之得a＝－，b＝－e，故f(x)＝－x－ex＋1.三、解答題

15．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y＝x(x2＋＋)；(2)y＝(＋1)(－1)；

(3)y＝sin4＋cos4；(4)y＝＋

.[解析](1)∵y＝x＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－；

(3)∵y＝sin4＋cos4

＝2－2sin2cos2

＝1－sin2＝1－·＝＋cosx，∴y′＝－sinx；

(4)∵y＝＋＝＋

＝＝－2，∴y′＝′＝＝.16．已知兩條曲線y＝sinx、y＝cosx，是否存在這兩條曲線的一個公共點，使在這一點處，兩條曲線的切線互相垂直？并說明理由．

[解析]　由于y＝sinx、y＝cosx，設(shè)兩條曲線的一個公共點為P(x0，y0)，∴兩條曲線在P(x0，y0)處的斜率分別為

若使兩條切線互相垂直，必須cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，這是不可能的，∴兩條曲線不存在公共點，使在這一點處的兩條切線互相垂直．

17．已知曲線C1：y＝x2與C2：y＝－(x－2)2.直線l與C1、C2都相切，求直線l的方程．

[解析]　設(shè)l與C1相切于點P(x1，x)，與C2相切于點Q(x2，－(x2－2)2)．

對于C1：y′＝2x，則與C1相切于點P的切線方程為y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x.①

對于C2：y′＝－2(x－2)，與C2相切于點Q的切線方程為y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，即y＝－2(x2－2)x＋x－4.②

∵兩切線重合，∴2x1＝－2(x2－2)且－x＝x－4，解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.∴直線l的方程為y＝0或y＝4x－4.18．求滿足下列條件的函數(shù)f(x)：

(1)f(x)是三次函數(shù)，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；

(2)f′(x)是一次函數(shù)，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.[解析](1)設(shè)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)

則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

由f(0)＝3，可知d＝3，由f′(0)＝0可知c＝0，由f′(1)＝－3，f′(2)＝0

可建立方程組，解得，所以f(x)＝x3－3x2＋3.(2)由f′(x)是一次函數(shù)可知f(x)是二次函數(shù)，則可設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)

f′(x)＝2ax＋b，把f(x)和f′(x)代入方程，得

x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1

整理得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1

若想對任意x方程都成立，則需

解得，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.