12.3

角的平分線(xiàn)的性質(zhì)

基礎(chǔ)鞏固

1．作∠AOB的平分線(xiàn)OC，合理的順序是()

①作射線(xiàn)OC；②以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于D，交OB于E；③分別以D，E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C.A．①②③

B．②①③

C．②③①

D．③②①

2．三角形中到三邊距離相等的點(diǎn)是()

A．三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)

B．三條高的交點(diǎn)

C．三條中線(xiàn)的交點(diǎn)

D．三條內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)

3．如圖，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A．PD＝PE

B．OD＝OE

C．∠DPO＝∠EPO

D．PD＝OD

4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于點(diǎn)D，如果AC＝3

cm，那么AE＋DE等于()

A．2

cm

B．3

cm

C．4

cm

D．5

cm

5．△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)O為△ABC三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB＝10

cm，BC＝8

cm，AC＝6

cm，則點(diǎn)O到三邊AB，AC，BC的距離為()

A．2

cm,2

cm,2

cm

B．3

cm,3

cm,3

cm

C．4

cm,4

cm,4

cm

D．2

cm,3

cm,5

cm

6．如圖所示，∠AOB＝60°，CD⊥OA于點(diǎn)D，CE⊥OB于點(diǎn)E，且CD＝CE，則∠DCO＝__________.7．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，則D到AB的距離為_(kāi)________．

8．點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到三邊的距離相等，∠A＝60°，則∠BOC的度數(shù)為_(kāi)_________．

能力提升

9．如圖，BN是∠ABC的平分線(xiàn)，P在BN上，D，E分別在A(yíng)B，BC上，∠BDP＋∠BEP＝180°，且∠BDP，∠BEP都不是直角．求證：PD＝PE.10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在A(yíng)C上，BD＝DF.(1)求證：CF＝EB；

(2)請(qǐng)你判斷AE，AF與BE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

11．八(1)班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動(dòng)課，利用角尺平分一個(gè)角(如圖)．設(shè)計(jì)了如下方案：

①∠AOB是一個(gè)任意角，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線(xiàn)OA，OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M，N重合，即PM＝PN，過(guò)角尺頂點(diǎn)P的射線(xiàn)OP就是∠AOB的平分線(xiàn)．

②∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線(xiàn)OA，OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM＝PN，過(guò)角尺頂點(diǎn)P的射線(xiàn)OP就是∠AOB的平分線(xiàn)．

(1)方案①、方案②是否可行？若可行，請(qǐng)證明；若不可行，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(2)在方案①PM＝PN的情況下，繼續(xù)移動(dòng)角尺，同時(shí)使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案

1．C

2．D　點(diǎn)撥：由角的平分線(xiàn)的性質(zhì)知，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上，所以到三角形三邊距離相等的是三條內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)．

3．D　點(diǎn)撥：由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得，PE＝PD，進(jìn)而可證△PEO≌△PDO，得OE＝OD，∠DPO＝∠EPO，但PD＝OD是錯(cuò)誤的．

4．B　點(diǎn)撥：

因?yàn)锽E平分∠ABC，∠ACB＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)D，所以DE＝EC，那么AE＋DE＝AE＋EC＝AC＝3

cm.5．B　點(diǎn)撥：因?yàn)辄c(diǎn)O為△ABC三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，所以設(shè)點(diǎn)O到三邊AB，AC，BC的距離為x

cm，由三角形的面積公式得，解得x＝2(cm)．

6．60°　點(diǎn)撥：因?yàn)镃D⊥OA于點(diǎn)D，CE⊥OB于點(diǎn)E，且CD＝CE，所以O(shè)C為∠AOB的平分線(xiàn)，所以∠AOC＝30°，所以∠DCO＝60°.7．14　點(diǎn)撥：設(shè)BD＝9x，CD＝7x，所以9x＋7x＝32，解得x＝2，所以BD＝18，CD＝14.AD平分∠BAC交BC于D，則D到AB的距離等于CD＝14.8．120°　點(diǎn)撥：點(diǎn)O到三邊的距離相等，所以點(diǎn)O是三個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，又因?yàn)椤螦＝60°，所以∠ABC＋∠ACB＝120°，所以∠BOC＝180°－60°＝120°.9．證明：過(guò)點(diǎn)P分別作PF⊥AB于F，PG⊥BC于G，因?yàn)锽N是∠ABC的平分線(xiàn)，所以PF＝PG.又因?yàn)椤螧DP＋∠BEP＝180°，∠PEG＋∠BEP＝180°，所以∠BDP＝∠PEG.在△PFD和△PGE中，∴△PFD≌△PGE(AAS)，∴PD＝PE.10．(1)證明：∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DC＝DE，∠DEB＝∠C＝90°，在Rt△DCF與Rt△DEB中，∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)，∴CF＝EB.(2)解：AE＝AF＋BE.理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，又∵∠C＝∠DEA＝90°，∴△ACD≌△AED(AAS)，∴AC＝AE，由(1)知BE＝CF，∴AC＝AF＋CF＝AF＋BE，即AE＝AF＋BE.11．(1)方案①不可行．缺少證明三角形全等的條件．

方案②可行．

證明：在△OPM和△OPN中，∴△OPM≌△OPN(SSS)．

∴∠AOP＝∠BOP(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)．

(2)解：當(dāng)∠AOB是直角時(shí)，此方案可行．

∵四邊形內(nèi)角和為360°，又若PM⊥OA，PN⊥OB，∠OMP＝∠ONP＝90°，∠MPN＝90°，∴∠AOB＝90°，∵若PM⊥OA，PN⊥OB，且PM＝PN，∴OP為∠AOB的平分線(xiàn)．(到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線(xiàn)上)，當(dāng)∠AOB不為直角時(shí)，此方案不可行．