第一篇：人教版八年級上冊角的平分線的性質(zhì)及判定教案

角的平分線的性質(zhì)及判定

一.教學內(nèi)容：

1.角平分線的作法．

2.角平分線的性質(zhì)及判定．

3.角平分線的性質(zhì)及判定的應用． 二.知識要點：

1.角平分線的作法（尺規(guī)作圖）

①以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA、OB于C、D兩點； ②分別以C、D為圓心，大于CD長為半徑畫弧，兩弧交于點P； ③過點P作射線OP，射線OP即為所求．

2.角平分線的性質(zhì)及判定

（1）角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等． ①推導

已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一點，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分別為點A、點B． 求證：PA＝PB．

證明：∵PA⊥OM，PB⊥ON ∴∠PAO＝∠PBO＝90° ∵OC平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO ∴PA＝PB ②幾何表達：（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等）

如圖所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．

（2）角平分線的判定：到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上． ①推導

已知：點P是∠MON內(nèi)一點，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB． 求證：點P在∠MON的平分線上．

證明：連結(jié)OP 在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）∴∠1＝∠2 ∴OP平分∠MON 即點P在∠MON的平分線上．

②幾何表達：（到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．）

如圖所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）3.角平分線性質(zhì)及判定的應用

①為推導線段相等、角相等提供依據(jù)和思路； ②實際生活中的應用．

例：一個工廠，在公路西側(cè)，到公路的距離與到河岸的距離相等，并且到河上公路橋頭的距離為300米．在下圖中標出工廠的位置，并說明理由．

4.畫一個任意三角形并作出兩個角（內(nèi)角、外角）的平分線，觀察交點到這個三角形三條邊所在直線的距離的關系．

三.重點難點：

1.重點：角平分線的性質(zhì)及判定

2.難點：角平分線的性質(zhì)及判定的應用 【考點分析】

本講內(nèi)容作為基礎內(nèi)容來講，它在中考題中偶爾以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，但角平分線的性質(zhì)及判定有時出現(xiàn)在綜合題題目當中，因此還是比較重要的． 【典型例題】

例1.已知：如圖所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′． 求證：（1）∠ABC＝∠ABC′；

（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．

分析：由條件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把點A看作是∠CBC′平分線上的點，由此可打開思路．

證明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定義）． 又∵AC＝AC′（已知），∴點A在∠CBC′的角平分線上（到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）．

∴∠ABC＝∠ABC′．

（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）（三角形內(nèi)角和定理）． 即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等）．

評析：利用三角形全等進行問題證明對平面幾何的學習有一定的積極作用，但也會產(chǎn)生消極作用，在解題時，要能打破思維定勢，尋求解題方法的多樣性． 例2.如圖所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一點，且D點到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由．

分析：判定一條射線是不是一個角的平分線，可用角平分線的定義和角平分線的判定定理．根據(jù)題意，首先由角平分線的判定定理推導出∠1＝∠2，再利用平行線推得∠3＝∠4，最后用角平分線的定義得證． 解：AD平分∠BAC．

∵D到PE的距離與到PF的距離相等，∴點D在∠EPF的平分線上． ∴∠1＝∠2．

又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4．

∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．

評析：由角平分線的判定判斷出PD平分∠EPF是解決本例的關鍵．“同理”是當推理過程相同，只是字母不同時為書寫簡便可以使用“同理”．

例3.如圖所示，已知△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，那么AP能否平分∠BAC？請說明理由．由此題你能得到一個什么結(jié)論？

分析：由題中條件可知，本題可以采用角的平分線的性質(zhì)及判定來解答，因此要作出點P到三邊的垂線段．

解：AP平分∠BAC．

結(jié)論：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三邊的距離相等． 理由：過點P分別作BC，AC，AB的垂線，垂足分別是E、F、D． ∵BM是∠ABC的角平分線且點P在BM上，∴PD＝PE（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）． 同理PF＝PE，∴PD＝PF．

∴AP平分∠BAC（到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上）． 例4.如圖所示的是互相垂直的一條公路與鐵路，學校位于公路與鐵路所夾角的平分線上的P點處，距公路400m，現(xiàn)分別以公路、鐵路所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系．

（1）學校距鐵路的距離是多少？（2）請寫出學校所在位置的坐標．

分析：因為角平分線上的點到角的兩邊距離相等，所以點P到鐵路的距離與到公路的距離相等，也是400m；點P在第四象限，求點P的坐標時要注意符號．

解：（1）∵點P在公路與鐵路所夾角的平分線上，∴點P到公路的距離與它到鐵路的距離相等，又∵點P到公路的距離是400m，∴點P（學校）到鐵路的距離是400m．

（2）學校所在位置的坐標是（400，－400）．

評析：角平分線的性質(zhì)的作用是通過角相等再結(jié)合垂直證明線段相等．

例5.如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，問能否在AB上確定一點E，使△BDE的周長等于AB的長？若能，請作出點E，并給出證明；若不能，請說明理由．

分析：由于點D在∠CAB的平分線上，若過點D作DE⊥AB于E，則DE＝DC．于是有BD＋DE＝BD＋DC＝BC＝AC，只要知道AC與AE的關系即可得出結(jié)論． 解：能．過點D作DE⊥AB于E，則△BDE的周長等于AB的長．理由如下： ∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE．

在Rt△ACD和Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）． ∴AC＝AE．

又∵AC＝BC，∴AE＝BC．

∴△BDE的周長＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB．

評析：本題是一道探索題，要善于利用已知條件獲得新結(jié)論，尋找與要解決的問題之間的聯(lián)系．本題利用角平分線的性質(zhì)將要探究的結(jié)論進行轉(zhuǎn)化．這是初中幾何中常用的一種數(shù)學思想． 【方法總結(jié)】

學過“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”與“到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”這兩個結(jié)論后，許多涉及角的平分線的問題用這兩個結(jié)論解決很方便，需要注意的是有許多同學對證明兩個三角形全等的問題已經(jīng)很熟悉了，所以證題時，不習慣直接應用這兩個結(jié)論，仍然去找全等三角形，結(jié)果相當于重新證明了一次這兩個結(jié)論．所以特別提醒大家，能用簡單方法的，就不要繞遠路．

【模擬試題】（答題時間：90分鐘）一.選擇題

1.如圖所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，則PC與PD的大小關系是（）

A.PC＞PD B.PC＝PD C.PC＜PD D.不能確定

2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分線，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，則點D到AB的距離是（）

A.4 B.6 C.8 D.10 3.在△ABC中，∠C＝90°，E是AB邊的中點，BD是角平分線，且DE⊥AB，則（）

A.BC＞AE B.BC＝AE C.BC＜AE D.以上都有可能

4.如圖所示，點P是∠BAC的平分線AD上一點，PE⊥AC于點E，已知PE＝3，則點P到AB的距離是（）

A.3 B.4 C.5 D.6 5.如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.DC＝DE B.∠AED＝90° C.∠ADE＝∠ADC D.DB＝DC

6.到三角形三邊距離相等的點是（）

A.三條高的交點 B.三條中線的交點 C.三條角平分線的交點 D.不能確定 7.如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，則△DEB的周長為（）

A.4cm B.6cm C.10cm D.以上都不對

8.如圖所示，三條公路兩兩相交，交點分別為A、B、C，現(xiàn)計劃修一個油庫，要求到三條公路的距離相等，可供選擇的地址有（）

A.一處 B.二處 C.三處 D.四處 二.填空題

9.如圖所示，點P是∠CAB的平分線上一點，PF⊥AB于點F，PE⊥AC于點E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．

10.如圖所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，則∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．

11.如圖所示，P在∠AOB的平分線上，在利用角平分線性質(zhì)推證PD＝PE時，必須滿足的條件是____________________．

12.如圖所示，∠B＝∠C，AB＝AC，BD＝DC，則要證明AD是∠BAC的__________線．需要通過__________來證明．如果在已知條件中增加∠B與∠C互補后，就可以通過__________來證明．因為此時BD與DC已經(jīng)分別是__________的距離．

13.如圖所示，C為∠DAB內(nèi)一點，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，則點C在__________．

14.如圖所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D．

（1）若BC＝8，BD＝5，則點D到AB的距離是__________．

（2）若BD∶DC＝3∶2，點D到AB的距離為6，則BC的長為__________． 15.（1）∵OP平分∠AOB，點P在射線OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴__________（依據(jù)：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等）．

（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OP平分∠AOB（依據(jù)：___________）． 三.解答題

16.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一點，DE⊥AB于E，且DE＝DC．

（1）求證：BD平分∠ABC；

（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度數(shù)．

17.如圖：△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點，且∠EDF＋∠BAF＝180°．（1）求證：DE＝DF；

（2）若把最后一個條件改為：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么結(jié)論還成立嗎？

18.如圖，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE與BD相交于點C．求證：AC＝BC．

19.如圖所示，某鐵路MN與公路PQ相交于點O，且夾角為90°，其倉庫G在A區(qū)，到公路和鐵路距離相等，且到鐵路圖上距離為1cm．

（1）在圖上標出倉庫G的位置．（比例尺為1∶10000，用尺規(guī)作圖）（2）求出倉庫G到鐵路的實際距離．

四.探究題

20.有位同學發(fā)現(xiàn)了“角平分線”的另一種尺規(guī)作法，其方法為：

（1）如圖所示，以O為圓心，任意長為半徑畫弧交OM、ON于點A、B；

（2）以O為圓心，不等于（1）中的半徑長為半徑畫弧交OM、ON于點C、D；（3）連接AD、BC相交于點E；

（4）作射線OE，則OE為∠MON的平分線． 你認為他這種作法對嗎？試說明理由．

【試題答案】 一.選擇題

1.B 2.A 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.D 二.填空題

9.3cm 10.40°，50° 11.PD⊥OA，PE⊥OB 12.角平分，全等，角平分線的性質(zhì)，點D到AB、AC兩邊 13.∠DAB的角平分線上 14.（1）3（2）15 15.（1）PD＝PE（2）到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上 三.解答題

16.（1）證明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，∴點D在∠ABC的平分線上，∴BD平分∠ABC．（2）∵∠C＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝54°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝27°． 17.（1）證明：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，又∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，∵∠EAF＋∠EDF＝180°，∴∠AED＋∠AFD＝360°－180°＝180°，∵∠AFD＋∠CFD＝180°，∴∠AED＝∠CFD，∴△DME≌△DNF，∴DE＝DF．（2）仍成立．

18.證明：∵∠1＝∠2，BD⊥OA，AE⊥OB，∴CD＝CE，∵∠DCA＝∠ECB，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ACD≌△BCE，∴AC＝BC．

19.（1）圖略，倉庫G在∠NOQ的平分線上，（2）倉庫G到鐵路的實際距離是100m． 四.探究題

20.他這種作法對，理由如下：

由作法可知：OC＝OD，OB＝OA，∠COB＝∠DOA，∴△BCO≌△ADO，AC＝BD，∴∠OCE＝∠ODE，∵∠AEC＝∠BED，∴△ACE≌△BDE，∴CE＝DE，∵OE＝OE，∴△OCE≌△ODE，∴∠COE＝∠DOE，即OE平分∠MON．

第二篇：角平分線性質(zhì)教案

教學設計

一、教學目標

（一）知識與技能目標

1.掌握作角的平分線和作直線垂線的方法 2.學握角平分線的性質(zhì)

（二）情感態(tài)度目標

1.在探討做角平分線的方法及角平分線性質(zhì)的過程中，培養(yǎng)學生探究問題的興趣，增強解決問題的信心，獲得解決問題的成功體驗。2.培養(yǎng)學生團結(jié)合作精神。

教學重點： 掌握角平分線的尺規(guī)作圖，理解角的平分線的性質(zhì)并能初步運用。教學難點： 1.對角平分線性質(zhì)定理中點到角兩邊的距離的正確理解； 2.對于性質(zhì)定理的運用。

教學工具： 多媒體 課件。直尺，圓規(guī)等

二、教學過程設計

（一）復習引入 1.角平分線的定義。2.點到直線的距離。

學生思考，回答問題。（設計意圖：復習已學知識，為下面研究創(chuàng)造條件。）

（二）設計活動，引出內(nèi)容 【活動一】

問題 1 ：利用之前學過的知識，如何確定一個角的角平分線。

問題 2 ：不利用工具，將一張用紙片做的角分成兩個相等的角，你有什么辦法？（對折）學生活動：學生用量角器去量，讓一個學生上講臺用折紙的方法得到角平分線展示給大家。

（設計意圖：掌握作角的平分線的簡易方法）

假如我們要將紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？那么我們除了使用量角器外，我再給大家介紹另一種儀器——角平分儀（展示課件）如圖，是一個平分角的儀器，其中 AB=AD，BD=DC，將點 A 放在角的頂點，AB 和 AD 沿著角的兩邊放下，沿 AC 畫一條射線 AE，AE 就是這個角的平分線，你能說明它的道理嗎？

（總結(jié)學生思路——利用三角形全等）

（設計意圖：訓練書寫數(shù)學語言）

引導學生觀察這個角分儀，根據(jù)這個角分儀的制作原理，通過小組討論總結(jié)，歸納出作一個已知角角平分線的方法。（分小組完成這項活動，教師可參與到學生活動中，及時發(fā)現(xiàn)問題，給予啟發(fā)和指導，使講評更具有針對性）

通過小組討論的結(jié)果，讓同學在黑板上演示作圖過程及復述畫法，再利用多媒體演示，加深印象，并強調(diào)尺規(guī)的規(guī)范性。討論結(jié)果展示：

作已知角平分線的方法： 已知：∠ AOB ．

求作：∠ AOB 的平分線． 作法：

（1）以 O 為圓心，適當長為半徑作弧，分別交 OA、OB 于 M、N.（2）分別以 M、N 為圓心，大于 MN 的長為半徑作?。畠苫≡凇?AOB 內(nèi)部交于點 C.（3）作射線 OC，射線 OC 即為所求.設置問題：

1.在上面作法的第二步中，“大于 MN 的長”這個條件改成“小于或等于

MN 的長”不行嗎？

2.第二步中所作的兩弧交點一定在∠ AOB 的內(nèi)部嗎？

（設計這兩個問題的目的在于加深對角的平分線的作法的理解，培養(yǎng)數(shù)學嚴密性的良好學習習慣。）學生討論結(jié)果總結(jié)：

1.不行，若改成“小于或等于 MN 的長”，那么所作的兩弧可能沒有交點，所以就找不到角的平分線。

2.若分別以 M、N 為圓心，大于 MN 的長為半徑畫兩弧，兩弧的交點可能在∠ AOB 的內(nèi)部，也可能在∠ AOB 的外部，而我們要找的是∠ AOB 內(nèi)部的交點，? 否則兩弧交點與頂點連線得到的射線就不是∠ AOB 的平分線了。應用：平分平角∠ AOB(學生口述)由平分平角的步驟，得出結(jié)論： 作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過直線上一點作這條直線的垂線的方法。

【活動二】

拿出用紙片做的角 ∠ AOB，在這個角的角平分線上任意取一點 P，過點 P 分別向角的兩邊做垂線，量一量點 P 到將兩邊的垂線段的長有什么關系？再在這個角平分線上任取 3 個點，也分別向角的兩邊做垂線，看看這些點到角的兩邊的垂線段的長有什么關系？

學生動手操作，通過觀察，用尺子測量，得出結(jié)論： 角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

這是從直觀上得出的結(jié)論，從理論上要證明這個結(jié)論。

（設計意圖：解決實際問題，拓展學生思維，引導角平分線的性質(zhì)定理總結(jié)，規(guī)律化規(guī)范語言，深化記憶定理）

證一證： 引導學生證明角平分線的性質(zhì)，分清題設、結(jié)論，將文字變成符號并加以證明。學生板眼，挑出問題，糾正問題，得出完整過程。

由此，得到角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。用符號語言表示為： ∵ OP平分∠ AOB PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴ PD=PE 定理的作用：證明線段相等。練習：判斷正誤，并說明理由：

（1）如圖 1，P 在射線 OC 上，PE ⊥ OA，PF ⊥ OB，則 PE=PF。（2）如圖 2，P 是∠ AOB 的平分線 OC 上的一點，E、F 分別在 OA、OB 上，則 PE=PF。

（3）如圖 3，在∠ AOB 的平分線 OC 上任取一點 P，若 P 到 OA 的距離為 3cm，則 P 到 OB 的距離邊為 3cm。

（三）知識回顧 1.角平分線的畫法

2.角平分線的性質(zhì)：角平分線的點到角兩邊的距離相等

（四）板書設計

第三篇：角的平分線的性質(zhì)教案

角的平分線的性質(zhì)

教學目標

1． 掌握角的平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理的內(nèi)容、證明及應用． 2． 理解原命題和逆命題的概念和關系，會找一個簡單命題的逆命題． 3． 滲透角平分線是滿足特定條件的點的集合的思想。教學重點和難點

角平分線的性質(zhì)定理和逆定理的應用是重點． 性質(zhì)定理和判定定理的區(qū)別和靈活運用是難點． 教學過程設計

一、角平分錢的性質(zhì)定理與判定定理的探求與證明 1，復習引入課題．

（1）提問關于直角三角形全等的判定定理．

（2）讓學生用量角器畫出圖3－86中的∠AOB的角平分線OC．

2．畫圖探索角平分線的性質(zhì)并證明之．

（1）在圖3－86中，讓學生在角平分線OC上任取一 點P，并分別作出表示Ｐ點到∠AOB兩邊的距離的線段 PD，PE．

（2）這兩個距離的大小之間有什么關系？為什么？學生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知識進行證明，得出定理．

（3）引導學生敘述角平分線的性質(zhì)定理（定理1），分析定理的條件、結(jié)論，并根據(jù)相應圖形寫出表達式．

3．逆向思維探求角平分線的判定定理．

（1）讓學生將定理1的條件、結(jié)論進行交換，并思考所得命題是否成立？如何證明？請一位同學敘述證明過程，得出定理2——角平分線的判定定理．

（2）教師隨后強調(diào)定理1與定理2的區(qū)別：已知角平分線用性質(zhì)為定理1，由所給條件判定出角平分線是定理2．

（3）教師指出：直接使用兩個定理不用再證全等，可簡化解題過程． 4．理解角平分線是到角的兩邊距離都相等的點的集合．（1）角平分線上任意一點（運動顯示）到角的兩邊的距離都相等（滲透集合的純粹性）．

（2）在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點（運動顯示）都在這個角的平分線上（而不在其它位置，滲透集合的完備性）．

由此得出結(jié)論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合．

二、應用舉例、變式練習

練習1填空：如圖3－86（1）∵OC平分∠AOB，點P在射線OC上，PD⊥OA于D PE⊥OB于E．∴---------（角平分線的性質(zhì)定理）．

（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP平分∠AOB（-------------）

例1已知：如圖3－87（a），ABC的角平分線BD和CE交于F．

（l）求證：F到AB，BC和 AC邊的距離相等；

（2）求證：AF平分∠BAC；

（3）求證：三角形中三條內(nèi)角的平分線交于一點，而且這點到三角形三邊的距離相等；

（4）怎樣找△ABC內(nèi)到三邊距離相等的點？

（5）若將“兩內(nèi)角平分線BD，CE交于F”改為“△ABC的兩個外角平分線BD，CE交于F，如圖3-87（b），那么（1）～（3）題的結(jié)論是否會改變？怎樣找△ABC外到三邊所在直線距離相等的點？共有多少個？

說明：

（1）通過此題達到鞏固角平分線的性質(zhì)定理（第（1）題）和判定定理（第（2）題）的目的．

（2）此題提供了證明“三線共點”的一種常用方法：先確定兩條直線交于某一點，再證明這點在第三條直線上。

（3）引導學生對題目的條件進行類比聯(lián)想（第（5）題），觀察結(jié)論如何變化，培養(yǎng)發(fā)散思維能力．

練習2已知△ABC，在△ABC內(nèi)求作一點P，使它到△ABC三邊的距離相等．

練習3已知：如圖 3－88，在四邊形 ABCD中，AB＝AD，AB⊥BC，AD⊥DC．求證：點 C在∠DAB的平分線上．

例2已知：如圖 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D．求證：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．

分析：證明第（1）題時，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分線的性質(zhì)定理得到 OC＝OD．這樣處理，可避免證明兩個三角形全等． 練習4 課本第54頁的練習.說明：訓練學生將生活語言翻譯成數(shù)學語言的能力．

三、互逆命題，互逆定理的定義及應用 1．互逆命題、互逆定理的定義．

教師引導學生分析角平分線的性質(zhì)，判定定理的題設、結(jié)論，使學生看到這兩個命題的題設和結(jié)論正好相反，得出互逆命題、互逆定理的定義，并舉出學過的互逆命題、互逆定理的例子．教師強調(diào)“互逆命題”是兩個命題之間的關系，其中任何一個做為原命題，那么另一個就是它的逆命題．

2．會找一個命題的逆命題，并判定它是真、假命題．

例3寫出下列命題的逆命題，并判斷（1）～（5）中原命題和它的逆命題是真命題還是假命題：

（1）兩直線平行，同位角相等；

（2）直角三角形的兩銳角互余；

（3）對頂角相等；

（4）全等三角形的對應角相等；

（5）如果|x|＝|y|，那么x＝y(tǒng)；

（6）等腰三角形的兩個底角相等；

（7）直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方． 說明：注意逆命題語言的準確描述，例如第（6）題的逆命題不能說成是“兩底角相等的三角形是等腰三角形”．

3．理解互逆命題、互逆定理的有關結(jié)論．

例4 判斷下列命題是否正確：

（1）錯誤的命題沒有逆命題；

（2）每個命題都有逆命題；

（3）一個真命題的逆命題一定是正確的；

（4）一個假命題的逆命題一定是錯誤的；

（5）每一個定理都一定有逆定理．

通過此題使學生理解互逆命題的真假性關系及互逆定理的定義．

四、師生共同小結(jié)

1．角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的條件內(nèi)容分別是什么？

2．三角形的角平分線有什么性質(zhì)？怎樣找三角形內(nèi)到三角形三邊距離相等的點？ 3．怎樣找一個命題的逆命題？原命題與逆命題是否同真、同假？

五、作業(yè)

課本第55頁第3，5，6，7，8，9題．

課堂教學設計說明

本教學設計需2課時完成．

角平分線是符合某種條件的動點的集合，因此，利用教具，投影或計算機演示動點運動的過程和規(guī)律，更能展示知識的形成過程，有利于學生自己觀察，探索新知識，從中提高興趣，以充分培養(yǎng)能力，發(fā)揮學生學習的主動性．

第四篇：教案角的平分線的性質(zhì)

<<角的平分線的性質(zhì)>>教案

王彥坤

一.教學目標

1、知識與技能

（1）掌握用尺規(guī)作已知角的平分線的方法。（2）理解角的平分線的性質(zhì)并能初步運用。

2、過程與方法

學生經(jīng)歷觀察演示，動手操作，合作交流，自主探究等過程，培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解決問題的能力。

3、情感態(tài)度與價值觀

充分利用多媒體教學優(yōu)勢，培養(yǎng)學生探究問題的興趣，增強解決問題的信心，獲得解決問題的成功體驗，激發(fā)學生應用數(shù)學的熱情。

二.學情分析

剛進入初二的學生觀察、操作、猜想能力較強，但歸納、運用數(shù)學的意識和思想比較薄弱，思維的廣闊性、敏捷性、靈活性比較欠缺，需要在課堂教學中進一步加強引導。

三.重點難點

教學重點為：掌握角平分線的尺規(guī)作圖，理解角的平分線的性質(zhì)并能初步運用。

難點為：（1）角平分線性質(zhì)定理中，點到角兩邊的距離的正確理解；（2）對于性質(zhì)定理的運用（學生習慣找三角形全等的方法解決問題而不注重利用剛學過的定理來解決，結(jié)果相當于對定理的重復證明）四.教學活動

活動1：感悟?qū)嵺`經(jīng)驗，探索作已知角的平分線的方法 問題1：在紙上任意畫一個角，怎樣找到這個角的平分線？ 問題2：用平分角的儀器可以平分一個角，你能說明其中蘊含的道理嗎？

問題3：在畫一個角的平分線時，這個儀器給了你什么啟發(fā)嗎？如何用尺規(guī)作圖的方法，畫已知角的平分線呢？ 活動2：經(jīng)過探究，猜想角的平分線的性質(zhì)

問題1：讓學生利用尺規(guī)，作任意角∠AOB的平分線OC。

問題2：在角平分線OC上，任意取一點P，過點P畫OA、OB的垂線段，垂足分別為D、E。

動手測量PD、PE的長，并做好記錄。你有什么發(fā)現(xiàn)？

問題 3：在角平分線OC上再任取幾個點試一試，結(jié)論還是一樣的嗎？ 問題4：圖中點P到直線l的距離是什么？那么PD、PE的長可以看作是什么？

問題5：你能大膽提出猜想嗎？

活動3： 經(jīng)過推理，得到角的平分線的性質(zhì)定理 問題1：上面的猜想出的命題一定是真命題嗎？ 問題2：命題中的已知和求證（題設和結(jié)論）是什么？ 問題3：你能用數(shù)學語言表達已知和求證嗎？ 問題4：你可以證明這個命題嗎？ 問題5：回憶角的平分線的性質(zhì)定理的證明過程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？

問題6：角的平分線的性質(zhì)定理作用是什么？ 活動4： 運用性質(zhì)定理，解決簡單問題

（一）牛刀小試：

1、判斷正誤，并說明理由：

（1）如圖1，P在射線OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，則PE=PF。

（2）如圖2，P是∠AOB的平分線OC上的一點，E、F分別在OA、OB上，則PE=PF。

（3）如圖3，P在∠AOB的平分線OC上，若P到OA的距離為3cm，則P到OB的距離邊為3cm。

2、如圖在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，AE+DE=_________。

（二）典例分析：

例1：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)。求證：∠B=∠C。

（三）拓展能力：

例2：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等。

活動5 ：小結(jié)與作業(yè) 小結(jié)：

1、本節(jié)課你學習了哪些內(nèi)容？

2、角的平分線的性質(zhì)為我們提供了證明什么的方法？在應用此性質(zhì)時應注意什么？

作業(yè)：課本51頁第1、2題

活動6【活動】活動6 ：設置疑問，為下節(jié)課鋪墊

（想一想）如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路的距離與到鐵路的距離相等，并且離公路與鐵路的交叉點的距離為500米。你認為應如何找出集貿(mào)市場的位置呢？（在圖上標出它的位置，比例尺為1：20000）

第五篇：角平分線的性質(zhì)教案

送教下鄉(xiāng)教案----孔田中學 12.3 角的平分線的性質(zhì)（2）

陳明盛

一、教學目標

（一）知識與技能

1.了解角的平分線的判定定理；

2.會利用角的平分線的判定進行證明與計算.（二）過程與方法

在探究角的平分線的判定定理的過程中,進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力.（三）情感、態(tài)度與價值觀

在探究作角的平分線的判定定理的過程中,培養(yǎng)學生探究問題的興趣、合作交流的意識、動手操作的能力與探索精神,增強解決問題的信心,獲得解決問題的成功體驗.二、教學重點、難點

重點：角的平分線的判定定理的證明及應用； 難點：角的平分線的判定.三、教法學法

自主探索,合作交流的學習方式.四、教學過程

（一）復習、回顧

1.角平分線的作法（尺規(guī)作圖）

①以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA、OB于C、D兩點； ②分別以C、D為圓心，大于CD長為半徑畫弧，兩弧交于點P； ③過點P作射線OP，射線OP即為所求．

2.角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等． ①推導

已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一點，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分別為點A、點B．

求證：PA＝PB．

證明：∵PA⊥OM，PB⊥ON

∴∠PAO＝∠PBO＝90° ∵OC平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO ∴PA＝PB

②幾何表達：（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等）

如圖所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．

（二）合作探究

角平分線的判定：到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上． ①推導

已知：點P是∠MON內(nèi)一點，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB． 求證：點P在∠MON的平分線上．

證明：連結(jié)OP

在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）∴∠1＝∠2 ∴OP平分∠MON

即點P在∠MON的平分線上．

②幾何表達：（到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．）

如圖所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）【典型例題】

例1.已知：如圖所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′． 求證：（1）∠ABC＝∠ABC′；

（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．

分析：由條件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把點A看作是 ∠CBC′平分線上的點，由此可打開思路．

證明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定義）． 又∵AC＝AC′（已知），∴點A在∠CBC′的角平分線上（到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）．

∴∠ABC＝∠ABC′．

（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等）．

例2.如圖所示，已知△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，那么AP能否平分∠BAC？請說明理由．由此題你能得到一個什么結(jié)論？

分析：由題中條件可知，本題可以采用角的平分線的性質(zhì)及判定來解答，因此要作出點P到三邊的垂線段．

解：AP平分∠BAC．

結(jié)論：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三邊的距離相等． 理由：過點P分別作BC，AC，AB的垂線，垂足分別是E、F、D． ∵BM是∠ABC的角平分線且點P在BM上，∴PD＝PE（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）． 同理PF＝PE，∴PD＝PF．

∴AP平分∠BAC（到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上）．

（三）鞏固訓練

練習：第2題

（四）小結(jié)

請你說說本屆課的收獲與困惑.（五）作業(yè)

習題12.3 3、7