專題六數(shù)列

第十七講

遞推數(shù)列與數(shù)列求和

2019年

1.（2019江蘇20）定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證：數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；

（2）已知數(shù)列{bn}滿足：，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時(shí)，都有成立，求m的最大值．

2.（2019浙江10）設(shè)a，b∈R，數(shù)列{an}中an=a，an+1=an2+b，,則

A．當(dāng)b=時(shí)，a10＞10

B．當(dāng)b=時(shí)，a10＞10

C．當(dāng)b=-2時(shí)，a10＞10

D．當(dāng)b=-4時(shí)，a10＞10

3.（2019浙江20）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，數(shù)列滿

足：對(duì)每個(gè)成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記

證明：

2010-2018年

一、選擇題

1．（2013大綱）已知數(shù)列滿足，則的前10項(xiàng)和等于

A．

B．

C．

D．

2．（2012新課標(biāo)）數(shù)列滿足，則的前60項(xiàng)和為

A．3690

B．3660

C．1845

D．1830

3．（2011安徽）若數(shù)列的通項(xiàng)公式是,則=

A．15

B．12

C．－12

D．－15

二、填空題

4．（2015新課標(biāo)1）數(shù)列中為的前n項(xiàng)和，若，則

．

5．（2015安徽）已知數(shù)列中，()，則數(shù)列的前9項(xiàng)和等于______．

6．（2015江蘇）數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列前10項(xiàng)的和為

．

7．（2014新課標(biāo)2）數(shù)列滿足，=2，則=_________．

8．（2013新課標(biāo)1）若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為＝，則數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是=______．

9．（2013湖南）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則

（1）_____；

（2）___________．

10．（2012新課標(biāo)）數(shù)列滿足，則的前60項(xiàng)和為

．

11．（2012福建）數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和為，則=___．

12．（2011浙江）若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第項(xiàng)，則=____________．

三、解答題

13．（2018天津）設(shè)是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為()；是等比數(shù)列，公比大于0，其前項(xiàng)和為()．已知，，．

(1)求和；

(2)若，求正整數(shù)的值．

14．設(shè)（2017新課標(biāo)Ⅲ）數(shù)列滿足．

(1)求的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．

15．（2016全國(guó)I卷）已知是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，．

（I）求的通項(xiàng)公式；

（II）求的前n項(xiàng)和．

16．（2016年全國(guó)II卷）等差數(shù)列{}中，．

(Ⅰ)求{}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如[0.9]=0，[2.6]=2．

17．（2015浙江）已知數(shù)列和滿足，，．

（Ⅰ）求與；

（Ⅱ）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．

18．（2015湖南）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求．

19．（2014廣東）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足

．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有

20．（2013湖南）設(shè)為數(shù)列{}的前項(xiàng)和，已知，2，N

(Ⅰ)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)求數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和．

21．（2011廣東）設(shè)，數(shù)列滿足，．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)，專題六數(shù)列

第十七講

遞推數(shù)列與數(shù)列求和

答案部分

2019年

1.解析（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0.由，得，解得．

因此數(shù)列為“M—數(shù)列”.（2）①因?yàn)?，所以?/p>

由，得，則.由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，整理得．

所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.因此，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n.②由①知，bk=k，.因?yàn)閿?shù)列{cn}為“M–數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c1=1，q>0.因?yàn)閏k≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.當(dāng)k=1時(shí)，有q≥1；

當(dāng)k=2，3，…，m時(shí)，有．

設(shè)f（x）=，則．

令，得x=e.列表如下：

x

e

(e，+∞)

+

0

–

f（x）

極大值

因?yàn)?，所以?/p>

取，當(dāng)k=1，2，3，4，5時(shí)，即，經(jīng)檢驗(yàn)知也成立．

因此所求m的最大值不小于5．

若m≥6，分別取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，從而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5．

2.解析：對(duì)于B，令，得，取，所以，所以當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，令，得或，取，所以，所以當(dāng)時(shí)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，令，得，取，所以，…，所以當(dāng)時(shí)，故D錯(cuò)誤；

對(duì)于A，，，遞增，當(dāng)時(shí)，所以，所以，所以故A正確．故選A．

3.解析（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意得，解得．

從而．

由成等比數(shù)列得

．

解得．

所以．

（Ⅱ）．

我們用數(shù)學(xué)歸納法證明．

（1）當(dāng)n=1時(shí)，c1=0<2，不等式成立；

（2）假設(shè)時(shí)不等式成立，即．

那么，當(dāng)時(shí)，．

即當(dāng)時(shí)不等式也成立．

根據(jù)（1）和（2），不等式對(duì)任意成立．

2010-2018年

1．C【解析】∵，∴是等比數(shù)列

又，∴，∴，故選C．

2．D【解析】【法1】有題設(shè)知

=1，①

=3

②

=5

③

=7，=9，=11，=13，=15，=17，=19，……

∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，∴，，…，是各項(xiàng)均為2的常數(shù)列，，…是首項(xiàng)為8，公差為16的等差數(shù)列，∴{}的前60項(xiàng)和為=1830.【法2】可證明：

【法3】不妨設(shè)，得，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，構(gòu)成以為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，所以得

3．A【解析】法一：分別求出前10項(xiàng)相加即可得出結(jié)論；

法二：，故=．故選A.4．6【解析】∵，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴，∴，∴．

5．27【解析】∵，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以前9項(xiàng)和．

6．【解析】由題意得：

所以．

7．【解析】將代入，可求得；再將代入，可求得；再將代入得；由此可知數(shù)列是一個(gè)周期數(shù)列，且周期為3，所以．

8．【解析】當(dāng)=1時(shí)，==，解得=1，當(dāng)≥2時(shí)，==－()=，即=，∴{}是首項(xiàng)為1，公比為－2的等比數(shù)列，∴=.9．（1），（2）

【解析】(1)∵．

時(shí)，a1＋a2＋a3＝－a3－

①

時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝a4－，∴a1＋a2＋a3＝－.②

由①②知a3＝－．

(2)時(shí)，∴

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，．

故，∴

．

10．【名師解析】可證明：，．

11．3018【解析】因?yàn)榈闹芷跒?；由

∴，…

∴

12．4【解析】由題意得，得，13．【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得．

因?yàn)?，可得，故．所以?/p>

設(shè)等差數(shù)列的公差為．由，可得．

由，可得

從而，故，所以．

(2)由(1)，知

由可得，整理得，解得（舍），或．所以的值為4．

14．【解析】（1）因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，．

兩式相減得．

所以．

又由題設(shè)可得．

從而的通項(xiàng)公式為

=.（2）記的前項(xiàng)和為，由（1）知．

則．

15．【解析】（Ⅰ）由已知，得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）和，得，因此是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.記的前項(xiàng)和為，則

16．【解析】

(Ⅰ)設(shè)數(shù)列的公差為，由題意有，解得，所以的通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）由(Ⅰ)知，當(dāng)=1,2,3時(shí)，；

當(dāng)=4,5時(shí)，；

當(dāng)=6,7,8時(shí)，；

當(dāng)=9,10時(shí)，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為.17．【解析】（Ⅰ）由，得．

當(dāng)時(shí)，故．

當(dāng)時(shí)，整理得所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故，所以．

18．【解析】（Ⅰ）由條件，對(duì)任意，有，因而對(duì)任意，有，兩式相減，得，即，又，所以，故對(duì)一切，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，于是數(shù)列是首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以，于是

．

從而，綜上所述，．

19．【解析】（Ⅰ），所以

（Ⅱ）

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，20．【解析】(Ⅰ)

（Ⅱ）

上式左右錯(cuò)位相減：。

21．【解析】（1）由

令，當(dāng)

①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)

（2）當(dāng)時(shí)，（欲證），當(dāng)

綜上所述