專題六

數(shù)列

第十五講

等差數(shù)列

2019年

1.（2019全國Ⅰ文18）記Sn為等差數(shù)列的前n項和，已知．

（1）若，求的通項公式；

（2）若，求使得的n的取值范圍．

2.（2019全國Ⅲ文14）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若，則___________.3.（2019天津文18）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，.（Ⅰ）求和的通項公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足求.4.（2019江蘇8）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和.若，則的值是

.2010-2018年

一、選擇題

1．（2017浙江）已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，則“”

是“”的A．

充分不必要條件

B．

必要不充分條件

C．

充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

2．（2015新課標(biāo)2）設(shè)是數(shù)列的前項和，若，則

A．5

B．7

C．9

D．1

3．（2015新課標(biāo)1）已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項和，若，則

A．

B．

C．

D．

4．（2014遼寧）設(shè)等差數(shù)列的公差為，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則

A．

B．

C．

D．

5．（2014福建）等差數(shù)列的前項和，若，則

A．8

B．10

C．12

D．14

6．（2014重慶）在等差數(shù)列中，則

A．

B．

C．

D．

7．（2013新課標(biāo)1）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，＝－2，＝0，＝3，則＝

A．3

B．4

C．5

D．6

8．（2013遼寧）下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個命題：

其中的真命題為

A．

B．

C．

D．

9．（2012福建）等差數(shù)列中，,，則數(shù)列的公差為

A．1

B．2

C．3

D．4

10．（2012遼寧）在等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列前11項和

A．58

B．88

C．143

D．176

11．（2011江西）設(shè)為等差數(shù)列，公差,為其前n項和，若，則

A．18

B．20

C．22

D．24

12．（2011安徽）若數(shù)列的通項公式是

A．15

B．12

C．

D．

13．（2011天津）已知為等差數(shù)列，其公差為2，且是與的等比中項，為的前項和，則的值為

A．－110

B．－90

C．90

D．110

14．（2010安徽）設(shè)數(shù)列的前項和，則的值為

A．15

B．16

C．49

D．64

二、填空題

15．（2015陜西）中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為_____．

16．（2014北京）若等差數(shù)列滿足，則當(dāng)____時，的前項和最大．

17．（2014江西）在等差數(shù)列中，公差為，前項和為，當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值，則的取值范圍_________．

18．（2013新課標(biāo)2）等差數(shù)列的前項和為，已知，則的最小值為____．

19．（2013廣東）在等差數(shù)列中,已知,則_____．

20．（2012北京）已知為等差數(shù)列，為其前項和．若，則

；=

．

21．（2012江西）設(shè)數(shù)列都是等差數(shù)列，若，則____．

22．（2012廣東）已知遞增的等差數(shù)列滿足，則=____．

23．（2011廣東）等差數(shù)列前9項的和等于前4項的和．若，則=_________．

三、解答題

24．（2018全國卷Ⅱ）記為等差數(shù)列的前項和，已知，．

(1)求的通項公式；

(2)求，并求的最小值．

25．（2018北京）設(shè)是等差數(shù)列，且．

(1)求的通項公式；

(2)求．

26．（2017天津）已知為等差數(shù)列，前n項和為，是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，．

（Ⅰ）求和的通項公式；

（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和．

27．（2017江蘇）對于給定的正整數(shù)，若數(shù)列滿足

對任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”．

（1）證明：等差數(shù)列是“數(shù)列”；

（2）若數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，證明：是等差數(shù)列．

28．（2016年北京）已知是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和．

29．（2016年山東）已知數(shù)列的前n項和，是等差數(shù)列，且.（I）求數(shù)列的通項公式；

（II）令.求數(shù)列的前n項和．

30．（2015福建）等差數(shù)列中，．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）設(shè)，求的值．

31．（2015山東）已知數(shù)列是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和．

32．（2015北京）已知等差數(shù)列滿足，．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列滿足，．問：與數(shù)列的第幾項相等？

33．（2014新課標(biāo)1）已知是遞增的等差數(shù)列，是方程的根．

(Ⅰ)求的通項公式；

（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．

34．(2014新課標(biāo)1)已知數(shù)列{}的前項和為，=1，，其中為常數(shù)．

(Ⅰ)證明：；

（Ⅱ）是否存在，使得{}為等差數(shù)列？并說明理由．

35．（2014浙江）已知等差數(shù)列的公差，設(shè)的前n項和為，（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）求（）的值，使得．

36．（2013新課標(biāo)1）已知等差數(shù)列的前項和滿足，．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．

37．（2013福建）已知等差數(shù)列的公差，前項和為．

（Ⅰ）若成等比數(shù)列，求；

（Ⅱ）若，求的取值范圍．

38．（2013新課標(biāo)2）已知等差數(shù)列的公差不為零，且成等比數(shù)列．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）求．

39．（2013山東）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項和,且（λ為常數(shù)），令（）．求數(shù)列的前項和．

40．（2011福建）已知等差數(shù)列中，=1，．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）若數(shù)列的前項和，求的值．

41．（2010浙江）設(shè)，為實數(shù)，首項為，公差為的等差數(shù)列的前項和為，滿足+15=0．

（Ⅰ）若=5，求及；

（Ⅱ）求的取值范圍．

專題六

數(shù)列

第十五講

等差數(shù)列

答案部分

1.解析（1）設(shè)的公差為d．

由得．

由a3=4得．

于是．

因此的通項公式為．

（2）由（1）得，故.由知，故等價于，解得．

所以n的取值范圍是．

2.解析

在等差數(shù)列中，由，得，所以，則．

3.解析（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為依題意，得，解得，故，.所以，的通項公式為，的通項公式

為.（Ⅱ）

.①，②

②-①得，故.所以，.4.解析

設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則，解得．

所以.2010-2018年

1．C【解析】∵，當(dāng)，可得；

當(dāng)，可得．所以“”是“”

充分必要條件，選C．

2．A【解析】，．故選A．

3．B【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由題設(shè)知，所以，解得，所以．

4．C【解析】∵數(shù)列為遞減數(shù)列，等式右邊為關(guān)于的一次函數(shù)，∴．

5．C【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，解得，所以．

6．B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，因為，所以，選B．

7．C【解析】有題意知==0，∴=－=－（-）=－2，=

-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故選C．

8．D【解析】設(shè)，所以正確；如果則滿足已知，但并非遞增所以錯；如果若，則滿足已知，但，是遞減數(shù)列，所以錯；，所以是遞增數(shù)列，正確．

9．B【解析】由題意有，又∵，∴，∴．

10．B【解析】，而，故選B.11．B【解析】由，得，．

12．A【解析】

．

13．D【解析】因為是與的等比中項，所以，又?jǐn)?shù)列的公差為-2，所以，解得，故，所以．

14．A【解析】．

15．5【解析】設(shè)該數(shù)列的首項為，由等差數(shù)列的性質(zhì)知，所以．

16．8【解析】∵數(shù)列是等差數(shù)列，且，．又，∴．當(dāng)=8時，其前項和最大．

17．【解析】由題意可知，當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值，可得，解得．

18．－49【解析】設(shè)的首項為，公差，由，得，解得，∴，設(shè)，當(dāng)時，當(dāng)，由，當(dāng)時，當(dāng)時，∴時，取得最小值．

19．20【解析】

依題意，所以．

或：

20．1，【解析】設(shè)公差為d,則,把代入得，∴，=

21．35【解析】（解法一）因為數(shù)列都是等差數(shù)列，所以數(shù)列也是等差數(shù)列．故由等差中項的性質(zhì)，得，即，解得．

（解法二）設(shè)數(shù)列的公差分別為,因為

所以.所以.22．【解析】

．

23．10【解析】設(shè)的公差為，由及，得，所以．又，所以，即．

24．【解析】(1)設(shè)的公差為，由題意得．

由得．

所以的通項公式為．

(2)由(1)得．

所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為?16．

25．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，∴，又，∴．

∴．

(2)由(1)知，∵，∴是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．

∴

．

∴．

26．【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．

由已知，得，而，所以．

又因為，解得．所以，．

由，可得．由，可得，聯(lián)立①②，解得，由此可得．

所以，的通項公式為，的通項公式為．

（Ⅱ）解：設(shè)數(shù)列的前項和為，由，有，上述兩式相減，得

．

得．

所以，數(shù)列的前項和為．

27．【解析】證明:（1）因為是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，從而，當(dāng)時，所以，因此等差數(shù)列是“數(shù)列”.（2）數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，因此，當(dāng)時，①

當(dāng)時，.②

由①知，③，④

將③④代入②，得，其中，所以是等差數(shù)列，設(shè)其公差為.在①中，取，則，所以，在①中，取，則，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列.28．【解析】（I）等比數(shù)列的公比，所以，．

設(shè)等差數(shù)列的公差為．

因為，所以，即．

所以（，，）．

（II）由（I）知，．

因此．從而數(shù)列的前項和

．

29．【解析】（Ⅰ）由題意當(dāng)時，當(dāng)時，；所以；設(shè)數(shù)列的公差為，由，即，解之得，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，即，所以，以上兩式兩邊相減得

．

所以．

30．【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為．

由已知得，解得．

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以

（1+2+3+……+10）

．

31．【解析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為，令，得，所以．

令，得，所以．

解得，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以

所以

兩式相減，得

所以

32．【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為．因為，所以．

又因為，所以，故．

所以．

（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為．因為，所以，．所以．

由128=得．所以與數(shù)列的第63項相等．

33．【解析】(Ⅰ)方程的兩根為2,3，由題意得

設(shè)數(shù)列的公差為，則故從而

所以的通項公式為．

（Ⅱ）設(shè)的前n項和為，由（I）知則

兩式相減得

所以．

34．【解析】(Ⅰ)由題設(shè)，兩式相減得

由于，所以

（Ⅱ）由題設(shè)，，可得

由(Ⅰ)知，令，解得

故，由此可得

是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，；

是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，.所以，.因此存在，使得數(shù)列為等差數(shù)列．

35．【解析】（Ⅰ）由題意，將代入上式得或，因為，所以，從而，（）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，由知，所以，所以.36．【解析】（Ⅰ）設(shè)的公差為，則=。

由已知可得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

從而數(shù)列.37．【解析】（Ⅰ）因為數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，所以，即，解得或．

（Ⅱ）因為數(shù)列的公差，且，所以；

即，解得

38．【解析】（Ⅰ）設(shè)的公差為，由題意，即

于是

所以（舍去），故

（Ⅱ）令．

由（Ⅰ）知，所以是首項為25，公差為-6的等差數(shù)列，從而

．

39．【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由，得，解得，因此

（Ⅱ）由題意知：

所以時，故，所以，則

兩式相減得

整理得

所以數(shù)列的前項和

40．【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則

由

解得=－2．

從而，（Ⅱ）由（I）可知，所以

進而由

即，解得

又為所求．

41．【解析】(Ⅰ)由題意知==－3,=－8．

所以解得=7，所以=－3，=7，（Ⅱ）解：因為+15=0，所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0，即2a12+9da1+10d2+1=0．

故(4a1+9d)2=d2－8．所以d2≥8．

故d的取值范圍為d≤－2或d≥2．