專題九

解析幾何

第二十六講

雙曲線

2019年

1.(2019全國III文10）已知F是雙曲線C：的一個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為

A．

B．

C．

D．

2.（2019江蘇7）在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是

.3.（2019浙江2）漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是

A．

B．1

C．

D．2

4.（2019全國1文10）雙曲線C：的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為

A．2sin40°

B．2cos40°

C．

D．

5.（2019全國II文12）設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為

A．

B．

C．2

D．

6.（2019北京文5）已知雙曲線（a>0）的離心率是，則a=

（A）

（B）4

（C）2

（D）

7.（2019天津文6）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且（為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為

（A）

（B）

（C）2

（D）

2010-2018年

一、選擇題

1．(2018浙江)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

A．，B．，C．，D．，2．(2018全國卷Ⅱ)雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為

A．

B．

C．

D．

3．(2018全國卷Ⅲ)已知雙曲線的離心率為，則點(diǎn)到的漸近線的距離為

A．

B．

C．

D．

4．(2018天津)已知雙曲線的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)．設(shè)，到雙曲線同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為

A．

B．

C．

D．

5．（2017新課標(biāo)Ⅰ）已知是雙曲線：的右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且與軸垂直，點(diǎn)的坐標(biāo)是．則的面積為

A．

B．

C．

D．

6．（2017新課標(biāo)Ⅱ）若，則雙曲線的離心率的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

7．（2017天津）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，是邊長為2的等邊三角形（為原點(diǎn)），則雙曲線的方程為

A．

B．

C．

D．

8．（2016天津）已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的方程為

A．

B．

C．

D．

9．（2015湖南）若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則此雙曲線的離心率為

A．

B．

C．

D．

10．（2015四川）過雙曲線的右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于兩點(diǎn)，則＝

A．

B．2

C．6

D．4

11．（2015重慶）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)是，左、右頂點(diǎn)分別是，過做的垂線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線的斜率為

A．

B．

C．

D．

12．（2014新課標(biāo)1）已知是雙曲線：的一個焦點(diǎn)，則點(diǎn)到的一條漸近線的距離為

A．

B．3

C．

D．

13．（2014廣東）若實(shí)數(shù)k滿足，則曲線與曲線的A．焦距相等

B．實(shí)半軸長相等

C．虛半軸長相等

D．離心率相等

14．（2014天津）已知雙曲線的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個焦點(diǎn)在直線上，則雙曲線的方程為

A．

B．

C．

D．

15．（2014重慶）設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)使得則該雙曲線的離心率為

A．

B．

C．

D．3

16．（2013新課標(biāo)1）已知雙曲線：（）的離心率為，則的漸近線方程為

A．

B．

C．

D．

17．（2013湖北）已知，則雙曲線

與的A．實(shí)軸長相等

B．虛軸長相等

C．焦距相等

D．

離心率相等

18．（2013重慶）設(shè)雙曲線的中心為點(diǎn)，若有且只有一對相較于點(diǎn)、所成的角為的直線和，使，其中、和、分別是這對直線與雙曲線的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

19．（2012福建）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，則該雙曲線的離心率等于

A．

B．

C．

D．

20．（2012湖南）已知雙曲線C

：=1的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為

A．=1

B．=1

C．=1

D．=1

21．（2011安徽）雙曲線的實(shí)軸長是

A．

B．

C．

D．

22．（2011山東）已知雙曲線的兩條漸近線均和圓：

相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓的圓心，則該雙曲線的方程為

A．

B．

C．

D．

23．（2011湖南）設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為

A．4

B．3

C．2

D．1

24．（2011天津）已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)，則雙曲線的焦距為

A．

B．

C．

D．

25．（2010新課標(biāo)）已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過F的直線與相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為,則的方程式為

A．

B．

C．

D．

26．（2010新課標(biāo)）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則它的離心率為

A．

B．

C．

D．

27．（2010福建）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為

A．2

B．3

C．6

D．8

二、填空題

28．(2018北京)若雙曲線的離心率為，則=_________．

29．(2018江蘇)在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是

．

30．（2017新課標(biāo)Ⅲ）雙曲線的一條漸近線方程為，則=

．

31．（2017山東）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為

．

32．（2017江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，其焦點(diǎn)是，則四邊形的面積是

．

33．（2016年北京）已知雙曲線的一條漸近線為，一個焦點(diǎn)為，則=_______；=_____________．

34．（2016年山東）已知雙曲線E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四個頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個焦點(diǎn)，且2|AB|=3|BC|，則E的離心率是_______．

35．（2015新課標(biāo)1）已知雙曲線過點(diǎn)，且漸近線方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．

36．（2015山東）過雙曲線的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交于點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的離心率為

．

37．（2015新課標(biāo)1）已知是雙曲線：的右焦點(diǎn)，是左支上一點(diǎn)，當(dāng)

周長最小時，該三角形的面積為

．

38．（2014山東）已知雙曲線的焦距為，右頂點(diǎn)為A，拋物線的焦點(diǎn)為F，若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長為，且，則雙曲線的漸近線方程為

．

39．（2014浙江）設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率是____．

40．（2014北京）設(shè)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且與具有相同漸近線，則的方程為________；漸近線方程為________．

41．（2014湖南）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：的兩個焦點(diǎn)．若在C上存在一點(diǎn)P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，則C的離心率為_________．

42．（2013遼寧）已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為上的點(diǎn)，若的長等于虛軸長的2倍，點(diǎn)在線段，則的周長為

．

43．（2012遼寧）已知雙曲線，點(diǎn)為其兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則的值為

．

44．（2012天津）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且的右焦點(diǎn)為,則

．

45．（2012江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的離心率為，則的值為

．

46．（2011山東）已知雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為

．

47．(2011北京)已知雙曲線的一條漸近線的方程為，則=

．

三、解答題

48．（2014江西）如圖，已知雙曲線：()的右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別在的兩條漸近線上，軸，∥(為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）求雙曲線的方程；

（2）過上一點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，證明：當(dāng)點(diǎn)在上移動時，恒為定值，并求此定值．

49．（2011廣東）設(shè)圓C與兩圓中的一個內(nèi)切，另一個外切．

（1）求C的圓心軌跡L的方程；

（2）已知點(diǎn)M，且P為L上動點(diǎn)，求的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

專題九

解析幾何

第二十六講

雙曲線

答案部分

2019年

1.解析

如圖所示，不妨設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，為第一象限點(diǎn)．

由雙曲線方程可得，，則，則以為圓心，以3為半徑的圓的方程為．

聯(lián)立，解得．

則．故選B．

2.解析

因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，即．

又，所以該雙曲線的漸近線方程是．

3.解析：根據(jù)漸進(jìn)線方程為的雙曲線，可得，所以，則該雙曲線的離心率為，故選C．

4.由雙曲線的對稱性可得另一條漸近線的傾斜角為，所以，.故選D．

5.解析：解析：解法一：由題意，把代入，得，再由，得，即，所以，解得.故選A．

解法二：如圖所示，由可知為以為直徑圓的另一條直徑，所以，代入得，所以，解得.故選A．

解法三：由可知為以為直徑圓的另一條直徑，則，.故選A．

6.解析

由題意知，，解得.故選D.7.解析

因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以，準(zhǔn)線的方程為.因?yàn)榕c雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，且（為原點(diǎn)），所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率為．

故選D．

2010-2018年

1．B【解析】由題可知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，因?yàn)?，所以，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，．故選B．

2．A【解析】解法一

由題意知，所以，所以，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為，故選A

．

解法二

由，得，所以該雙曲線的漸近線方程為．故選A．

3．D【解析】解法一

由離心率，得，又，得，所以雙曲線的漸近線方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)到的漸近線的距離為．故選D．

解法二

離心率的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線的方程是，由點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)到的漸近線的距離為．故選D．

4．A【解析】通解

因?yàn)橹本€經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，所以不妨取，取雙曲線的一條漸近線為直線，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，因?yàn)?，所以，所以，得?/p>

因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以，所以，所以，解得，所以雙曲線的方程為，故選A．

優(yōu)解

由，得雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，所以．

因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以，所以，所以，解得，所以雙曲線的方程為，故選A．

5．D【解析】由得，所以，將代入，得，所以，又的坐標(biāo)是，所以點(diǎn)到的距離為1，故的面積為，選D．

6．C【解析】由題意，∵，∴，選C．

7．D【解析】由題意，解得，選D．

8．A【解析】由題意得，由，解得，所以雙曲線的方程為，選A．

9．D【解析】由已知可得雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)在漸近線上，∴，又，∴，∴．

10．D【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為，將代入得，所以．

11．C【解析】由題意，得，將代入雙曲線方程，解得

．不妨設(shè)，則，根據(jù)題意，有，整理得，所以雙曲線的漸近線的斜率為．

12．A【解析】雙曲線方程為，焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，選A．

13．A【解析】∵，∴，本題兩條曲線都是雙曲線，又，∴兩雙曲線的焦距相等，選A．

14．A【解析】

依題意得，所以，雙曲線的方程為．

15．B【解析】由雙曲線的定義得，又，所以，即，因此，即，則（）（）=0，解得

舍去），則雙曲線的離心率．

16．C【解析】由題知，即==，∴=，∴=，∴的漸近線方程為，故選C．

17．D【解析】雙曲線的離心率是，雙曲線的離心率是，故選D．

18．A【解析】設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則由作圖易知雙曲線的漸近線的離心率必須滿足，所以，既有，又雙曲線的離心率為，所以．

19．C【解析】∵雙曲線的右焦點(diǎn)為（3，0），∴+5=9，∴=4，∴=2

∵=3，∴，故選C．

20．A【解析】設(shè)雙曲線C

：-=1的半焦距為，則．

又C的漸近線為，點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上，即．

又，C的方程為-=1．

21．C【解析】可變形為，則，.故選C．

22．A【解析】圓，而，則，應(yīng)選A．

23．C【解析】由雙曲線方程可知漸近線方程為，故可知．

24．B【解析】雙曲線的漸近線為，由雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，－1）得，即，又∵，∴，將（－2，－1）代入得，∴，即．

25．B【解析】由雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)可設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)，即

則，則，故的方程式為.應(yīng)選B．

26．D【解析】設(shè)雙曲線的方程為，其漸近線為，∵點(diǎn)在漸近線上，所以，由．

27．C【解析】由題意，F(xiàn)（－1，0），設(shè)點(diǎn)P，則有,解得，因?yàn)?，所?=，此二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸為，因?yàn)?，所以?dāng)時，取得最大值，選C．

28．4【解析】由題意得，得，又，所以，故答案為4．

29．2【解析】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，所以，所以，得，所以雙曲線的離心率．

30．5【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得漸近線方程為：，結(jié)合題意可得：．

31．【解析】設(shè)，由拋物線的定義有，而，所以，即，由得，所以，所以，即，所以漸近性方程為．

32．【解析】由題意，右準(zhǔn)線的方程為，漸近線的方程為，設(shè)，則，，所以四邊形的面積為．

33．【解析】依題意有，因?yàn)椋獾茫?/p>

34．【解析】依題意，不妨設(shè)作出圖像如下圖所示

則故離心率

35．【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，故可設(shè)雙曲線的方程為，又雙曲線過點(diǎn)，所以，所以，故雙曲線的方程為．

36．【解析】設(shè)直線方程為，由，得，由，解得（舍去）．

37．【解析】由題意，雙曲線：的右焦點(diǎn)為，實(shí)半軸長，左焦點(diǎn)為，因?yàn)樵诘淖笾希缘闹荛L

=，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且在中間時取等號，此時直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立得的坐標(biāo)為，此時，的面積為．

38．【解析】拋物線的準(zhǔn)線，與雙曲線的方程聯(lián)立得，根據(jù)已知得

①，由得

②，由①②得，即，所以所求雙曲線的漸近線方程為．

39．【解析】聯(lián)立直線方程與雙曲線漸近線方程可解得交點(diǎn)為，而，由，可得的中點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率為3，可得，所以．

40．【解析】設(shè)與具有相同漸近線的雙曲線C的方程為，將點(diǎn)代入C的方程中，得．∴雙曲線的方程為，漸近線方程為．

41．【解析】由已知可得，，由雙曲線的定義，可得，則．

42．44【解析】由題意得，，兩式相加，利用雙曲線的定義得，所以的周長為．

43．【解析】由雙曲線的方程可知

44．1，2【解析】雙曲線的漸近線為，而的漸近線為，所以有，又雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以，又，即，所以．

45．2【解析】由題意得＞0,∴=,=

由=得，解得=2．

46．【解析】由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)，即，又因雙曲線的離心率為，所以，故，所以雙曲線的方程為．

47．2【解析】由得漸近線的方程為，即，由一條漸近線的方程為得．

48．【解析】（1）設(shè)，因?yàn)?，所?/p>

直線OB方程為，直線BF的方程為，解得

又直線OA的方程為，則

又因?yàn)锳BOB，所以，解得，故雙曲線C的方程為

（2）由（1）知，則直線的方程為，即

因?yàn)橹本€AF的方程為，所以直線與AF的交點(diǎn)

直線與直線的交點(diǎn)為

則

因?yàn)槭荂上一點(diǎn)，則，代入上式得，所求定值為

49．【解析】（1）設(shè)C的圓心的坐標(biāo)為，由題設(shè)條件知

化簡得L的方程為

（2）過M，F(xiàn)的直線方程為，將其代入L的方程得

解得

因T1在線段MF外，T2在線段MF內(nèi)，故，若P不在直線MF上，在中有

故只在T1點(diǎn)取得最大值2．