專題十四

坐標(biāo)系與參數(shù)方程

第三十四講

坐標(biāo)系與參數(shù)方程

2019年

1.（2019全國(guó)1文22）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．

（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；

（2）求C上的點(diǎn)到l距離的最小值．

2.（2019全國(guó)II文22）在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，直線l過(guò)點(diǎn)且與垂直，垂足為P.（1）當(dāng)時(shí)，求及l(fā)的極坐標(biāo)方程；

（2）當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.3.(2019全國(guó)III文22）如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，，，弧，所在圓的圓心分別是，，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧.（1）分別寫出，的極坐標(biāo)方程；

（2）曲線由，構(gòu)成，若點(diǎn)在M上，且，求P的極坐標(biāo).2010-2018年

1．(2018北京)在極坐標(biāo)系中，直線與圓相切，則=___．

2．（2017北京）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為），則的最小值為___________．

3．（2017天津）在極坐標(biāo)系中，直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_____．

4．（2016北京）在極坐標(biāo)系中，直線與圓交于兩點(diǎn)，則____．

5．（2015廣東）已知直線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離為

．

6．（2015安徽）在極坐標(biāo)系中，圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值

是

7．(2018全國(guó)卷Ⅰ)

[選修4–4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

(1)求的直角坐標(biāo)方程；

(2)若與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求的方程．

8．(2018全國(guó)卷Ⅱ)[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

(1)求和的直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的斜率．

9．(2018全國(guó)卷Ⅲ)[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

在平面直角坐標(biāo)系中，的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)．

(1)求的取值范圍；

(2)求中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程．

10．(2018江蘇)C．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](本小題滿分10分)

在極坐標(biāo)系中，直線的方程為，曲線的方程為，求直線被曲線截得的弦長(zhǎng)．

11．（2017新課標(biāo)Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，(為參數(shù))，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))．

(1)若，求與的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若上的點(diǎn)到距離的最大值為，求．

12．（2017新課標(biāo)Ⅱ）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

(1)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)在曲線上，求面積的最大值．

13．（2017新課標(biāo)Ⅲ）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為

(為參數(shù))，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)，的軌跡為曲線．

(1)寫出的普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)：，為與的交點(diǎn)，求的極徑．

14．（2017江蘇）在平面坐標(biāo)系中中，已知直線的參考方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值．

15．（2016年全國(guó)I）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a＞0）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線：．

（I）說(shuō)明是哪種曲線，并將的方程化為極坐標(biāo)方程；

（II）直線的極坐標(biāo)方程為，其中滿足，若曲線與的公共點(diǎn)都在上，求a．

16．（2016年全國(guó)II）在直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為．

（I）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；

（II）直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），l與C交于A、B兩點(diǎn)，求l的斜率．

17．（2016年全國(guó)III）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，求的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo)．

18．（2016江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為，橢圓的參數(shù)方程為，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．

19．（2015新課標(biāo)Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，直線：，圓：，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

（Ⅰ）求，的極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若直線的極坐標(biāo)方程為,設(shè)與的交點(diǎn)為，求的面積．

20．（2015新課標(biāo)Ⅱ）在直角坐標(biāo)系中，曲線：（為參數(shù)，≠0）其中，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線：，：．

（Ⅰ）求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（Ⅱ）若與相交于點(diǎn)A，與相交于點(diǎn)B，求的最大值．

21．（2015江蘇）已知圓C的極坐標(biāo)方程為，求圓C的半徑.22．（2015陜西）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，⊙的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）寫出⊙的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）為直線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)綀A心的距離最小時(shí)，求的直角坐標(biāo)．

23．（2014新課標(biāo)Ⅰ）已知曲線：，直線：（為參數(shù)）．

(Ⅰ)

寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；

（Ⅱ）過(guò)曲線上任一點(diǎn)作與夾角為的直線，交于點(diǎn)，求的最大值與最小值．

24．（2014新課標(biāo)Ⅱ）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為，．

（Ⅰ）求C的參數(shù)方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線垂直，根據(jù)（Ⅰ）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)．

25．（2013新課標(biāo)Ⅰ）已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為。

（Ⅰ）把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）求與交點(diǎn)的極坐標(biāo)（，）．

26．（2013新課標(biāo)Ⅱ）已知?jiǎng)狱c(diǎn)，都在曲線：

上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為與（）為的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求的軌跡的參數(shù)方程

（Ⅱ）將到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離表示為的函數(shù)，并判斷的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。

27．（2012新課標(biāo)）已知曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是．正方形的頂點(diǎn)都在上，且、、、依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)的極坐標(biāo)為．

（Ⅰ）求點(diǎn)、、、的直角坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)為上任意一點(diǎn)，求的取值范圍．

28．（2011新課標(biāo)）在直角坐標(biāo)系?中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），M是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線

(Ⅰ)求的方程

(Ⅱ)在以O(shè)為極點(diǎn)，x?軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求．

專題十四

坐標(biāo)系與參數(shù)方程

第三十四講

坐標(biāo)系與參數(shù)方程

答案部分

2019年

1.解析（1）因?yàn)椋?，所以C的直角坐標(biāo)方程為.的直角坐標(biāo)方程為.（2）由（1）可設(shè)C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.C上的點(diǎn)到的距離為.當(dāng)時(shí)，取得最小值7，故C上的點(diǎn)到距離的最小值為.2.解：（1）因?yàn)樵贑上，當(dāng)時(shí)，.由已知得.設(shè)為l上除P的任意一點(diǎn).在中，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)在曲線上.所以，l的極坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，在中，即..因?yàn)镻在線段OM上，且，故的取值范圍是.所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為

.3.解析（1）由題設(shè)可得，弧所在圓的極坐標(biāo)方程分別為，.所以的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，由題設(shè)及（1）知

若，則，解得；

若，則，解得或；

若，則，解得.綜上，P的極坐標(biāo)為或或或.2010-2018年

1．【解析】利用，可得直線的方程為，圓的方程為，所以圓心，半徑，由于直線與圓相切，故圓心到直線的距離等于半徑，即，∴或，又，∴．

2．1【解析】圓的普通方程為，即．

設(shè)圓心為，所以．

3．2【解析】直線的普通方程為，圓的普通方程為，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以有兩個(gè)交點(diǎn)．

4．2【解析】將化為直角坐標(biāo)方程為，將ρ=2cos

θ化為直角坐標(biāo)方程為，圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑r=1，又(1，0)在直線上，所以|AB|=2r=2．

5．【解析】由得，所以，故直線的直角坐標(biāo)方程為，而點(diǎn)對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到直線：的距離為．

6．6【解析】圓即，化為直角坐標(biāo)方程為，直線，則，化為直角坐標(biāo)方程為，圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為6．

7．【解析】(1)由，得的直角坐標(biāo)方程為．

(2)由(1)知是圓心為，半徑為的圓．

由題設(shè)知，是過(guò)點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條射線．記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為．由于在圓的外面，故與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)，或與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)．

當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或．

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，與有兩個(gè)公共點(diǎn)．

當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或．

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與沒(méi)有公共點(diǎn)．

綜上，所求的方程為．

8．【解析】(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為．

當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為，當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為．

(2)將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于的方程

．①

因?yàn)榍€截直線所得線段的中點(diǎn)在內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為，則．

又由①得，故，于是直線的斜率．

9．【解析】(1)的直角坐標(biāo)方程為．

當(dāng)時(shí)，與交于兩點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，記，則的方程為．與交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，解得或，即或．

綜上，的取值范圍是．

(2)的參數(shù)方程為為參數(shù)，．

設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，且，滿足．

于是，．又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足

所以點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程是為參數(shù)，．

10．C．【解析】因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為，所以曲線的圓心為，直徑為4的圓．

因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為，則直線過(guò)，傾斜角為，所以A為直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)．

設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為B，則∠OAB=．

連結(jié)OB，因?yàn)镺A為直徑，從而∠OBA=，所以．

因此，直線被曲線截得的弦長(zhǎng)為．

11．【解析】（1）曲線的普通方程為．

當(dāng)時(shí)，直線的普通方程為．

由解得或．

從而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，．

（2）直線的普通方程為，故上的點(diǎn)到的距離為

．

當(dāng)時(shí)，的最大值為．由題設(shè)得，所以；

當(dāng)時(shí)，的最大值為．由題設(shè)得，所以．

綜上，或．

12．【解析】（1）設(shè)的極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為．

由橢圓知，．

由得的極坐標(biāo)方程．

因此的直角坐標(biāo)方程為．

（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為．由題設(shè)知，于是面積

．

當(dāng)時(shí)，取得最大值．

所以面積的最大值為．

13．【解析】（1）消去參數(shù)得的普通方程；

消去參數(shù)得的普通方程．

設(shè)，由題設(shè)得，消去得．

所以的普通方程為

（2）的極坐標(biāo)方程為

聯(lián)立得．

故，從而

代入得，所以交點(diǎn)的極徑為．

14．【解析】直線的普通方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，設(shè)，從而點(diǎn)到直線的的距離，當(dāng)時(shí)，.因此當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，曲線上點(diǎn)到直線的距離取到最小值.15．【解析】(1)（均為參數(shù)）

∴

①

∴為以為圓心，為半徑的圓．方程為

∵

∴

即為的極坐標(biāo)方程

(2)

兩邊同乘得

即

②

：化為普通方程為，由題意：和的公共方程所在直線即為

①—②得：，即為

∴，∴

16．【解析】（Ⅰ）整理圓的方程得，由可知圓的極坐標(biāo)方程為．

(Ⅱ)記直線的斜率為，則直線的方程為，由垂徑定理及點(diǎn)到直線距離公式知：，即，整理得，則．

17．【解析】（Ⅰ）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，因?yàn)槭侵本€，所以的最小值，即為到的距離的最小值，．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為．

18．【解析】橢圓的普通方程為，將直線的參數(shù)方程，代入，得，即，解得，.所以.19．【解析】（Ⅰ）因?yàn)椋嗟臉O坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅱ）將代入，得，解得=，=，|MN|=－=，因?yàn)榈陌霃綖?，則的面積=．

20．【解析】（Ⅰ）曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為．聯(lián)立解得或

所以與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為和．

（Ⅱ）曲線的極坐標(biāo)方程為，其中．

因此得到極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為．

所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．

21．【解析】

以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，以極軸為軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系．

圓的極坐標(biāo)方程為，化簡(jiǎn)，得．

則圓的直角坐標(biāo)方程為，即，所以圓的半徑為．

22．【解析】（Ⅰ）由，從而有．

（Ⅱ）設(shè)，則，故當(dāng)=0時(shí)，||取最小值，此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.23．【解析】

……5分

（Ⅱ）

24．【解析】（I）C的普通方程為．

可得C的參數(shù)方程為

（t為參數(shù)，）

（Ⅱ）設(shè)D.由（I）知C是以G（1,0）為圓心，1為半徑的上半圓。

因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與t垂直，所以直線GD與t的斜率相同，．

故D的直角坐標(biāo)為，即．

25．【解析】將消去參數(shù)，化為普通方程，即：，將代入得，∴的極坐標(biāo)方程為；

（Ⅱ）的普通方程為，由解得或，∴與的交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為()，．

26．【解析】（Ⅰ）由題意有因此的軌跡的參數(shù)方程為（）

（Ⅱ）點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離

（）

當(dāng)時(shí)，故的軌跡過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．

27．【解析】（1）點(diǎn)的極坐標(biāo)為

點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

（2）設(shè)；則

28．【解析】（I）設(shè)，則由條件知M().由于M點(diǎn)在上，所以，即．

從而的參數(shù)方程為（為參數(shù)），（Ⅱ）曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為．

射線與的交點(diǎn)的極徑為，射線與的交點(diǎn)的極徑為．

所以．