專題九

解析幾何

第二十四講

直線與圓

2019年

1.（2019北京文8）如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為

（A）4β+4cosβ

（B）4β+4sinβ

（C）2β+2cosβ

（D）2β+2sinβ

2.（2019北京文11）設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l．則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為_(kāi)_________．

3.（2019江蘇18）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求：線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）．

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；

（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由；

（3）在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．

4.（2019浙江12）已知圓的圓心坐標(biāo)是，半徑長(zhǎng)是.若直線與圓相切于點(diǎn)，則=_____，=______.5（2019全國(guó)1文21）已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，│AB│

=4，⊙M過(guò)點(diǎn)A，B且與直線x+2=0相切．

（1）若A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑；

（2）是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，│MA│－│MP│為定值？并說(shuō)明理由．

2010-2018年

一、選擇題

1．(2018全國(guó)卷Ⅲ)直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

2．（2016年北京）圓的圓心到直線的距離為

A．1

B．2

C．

D．2

3．（2016年山東）已知圓M：截直線所得線段的長(zhǎng)度是，則圓M與圓N：的位置關(guān)系是

A．內(nèi)切

B．相交

C．外切

D．相離

4．（2016年全國(guó)II卷）圓x2+y2?2x?8y+13=0的圓心到直線ax+y?1=0的距離為1，則a=

A．?

B．?

C．

D．2

5．（2015北京）圓心為（1，1）且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是

A．

B．

C．

D．

6．（2015安徽）直線與圓相切，則的值是

A．－2或12

B．2或－12

C．－2或－12

D．2或12

7．（2015新課標(biāo)2）已知三點(diǎn)，，則外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為

A．

B．

C．

D．

8．（2014新課標(biāo)2）設(shè)點(diǎn)，若在圓上存在點(diǎn)N，使得，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

9．（2014福建）已知直線過(guò)圓的圓心，且與直線垂直，則的方程是

A．

B．

C．

D．

10．（2014北京）已知圓和兩點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為

A．

B．

C．

D．

11．（2014湖南）若圓與圓外切，則

A．

B．

C．

D．

12．（2014安徽）過(guò)點(diǎn)P的直線與圓有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

13．（2014浙江）已知圓截直線所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)的值是

A．－2

B．－4

C．－6

D．－8

14．（2014四川）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

15．（2014江西）在平面直角坐標(biāo)系中，分別是軸和軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以為直徑的圓與直線相切，則圓面積的最小值為

A．

B．

C．

D．

16．（2013山東）過(guò)點(diǎn)（3，1）作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為

A．

B．

C．

D．

17．（2013重慶）已知圓，圓，分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為

A．

B．

C．

D．

18．（2013安徽）直線被圓截得的弦長(zhǎng)為

A．1

B．2

C．4

D．

19．（2013新課標(biāo)2）已知點(diǎn)；；，直線將△分割為面積相等的兩部分，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

20．（2013陜西）已知點(diǎn)M(a,b)在圓外,則直線ax

+

by

=

1與圓O的位置關(guān)系是

A．相切

B．相交

C．相離

D．不確定

21．（2013天津）已知過(guò)點(diǎn)P(2，2)的直線與圓相切，且與直線垂直，則

A．

B．1

C．2

D．

22．（2013廣東）垂直于直線且與圓相切于第一象限的直線方程是

A．

B．

C．

D．

23．（2013新課標(biāo)2）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)且與交于，兩點(diǎn)．若，則的方程為

A．或

B．或

C．或

D．或

24．（2012浙江）設(shè)，則“”是“直線：與直線：平行”的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

25．（2012天津）設(shè)，若直線與圓相切，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

26．（2012湖北）過(guò)點(diǎn)的直線，將圓形區(qū)域分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為

A．

B．

C．

D．

27．（2012天津）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)等于（）

28．（2011北京）已知點(diǎn)A(0,2)，B(2,0)．若點(diǎn)C在函數(shù)的圖像上，則使得ΔABC的面積為2的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為

A．4

B．3

C．2

D．1

29．（2011江西）若曲線：與曲線：有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

A．（，）

B．（，0）（0，）

C．[，]

D．（，）（，+）

30．（2010福建）以拋物線的焦點(diǎn)為圓心,且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為

A．

B．

C．

D．

31．（2010廣東）若圓心在軸上、半徑為的圓位于軸左側(cè)，且與直線

相切，則圓的方程是

A．

B．

C．

D．

二、填空題

32．(2018全國(guó)卷Ⅰ)直線與圓交于，兩點(diǎn)，則=__．

33．(2018天津)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，的圓的方程為_(kāi)_．

34．(2018江蘇)在平面直角坐標(biāo)系中，A為直線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，以為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D．若，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

．

35．（2017天津）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．已知點(diǎn)C在上，以為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)．若，則圓的方程為

．

36．（2017山東）若直線過(guò)點(diǎn)，則的最小值為

．

37．（2016江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)在圓：上，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是

．

38．（2016年天津）已知圓C的圓心在軸的正半軸上，點(diǎn)在圓C上，且圓心到直線的距離為，則圓C的方程為_(kāi)_________

39．（2016年全國(guó)I卷）設(shè)直線與圓：相交于兩點(diǎn)，若，則圓的面積為

.40．（2016年全國(guó)III卷）已知直線：與圓交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作的垂線與軸交于兩點(diǎn)，則_____________.41．（2015重慶）若點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上，則該圓在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_______．

42．（2015湖南）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則=_____．

43．（2015湖北）如圖，已知圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于兩點(diǎn)（在的上方），且．

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．

（2）圓在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為

．

44．（2015江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心且與直線

相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．

45．（2014江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為

．

46．（2014重慶）已知直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則實(shí)數(shù)_________．

47．（2014湖北）直線：和：將單位圓分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則________．

48．（2014山東）圓心在直線上的圓與軸的正半軸相切，圓截軸所得弦的長(zhǎng)為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．

49．（2014陜西）若圓的半徑為1，其圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___．

50．（2014重慶）已知直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)________．

51．（2014湖北）已知圓和點(diǎn)，若定點(diǎn)和常數(shù)滿足：對(duì)圓上任意一點(diǎn)，都有，則

（Ⅰ）；

（Ⅱ）

.52．（2013浙江）直線被圓所截得的弦長(zhǎng)等于______.53．（2013湖北）已知圓：，直線：（）．設(shè)圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，則

.54．（2012北京）直線被圓截得的弦長(zhǎng)為

.55．（2011浙江）若直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)=___

56．(2011遼寧)已知圓C經(jīng)過(guò)A(5，1)，B(1，3)兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則C的方程為_(kāi)_．

57．（2010新課標(biāo)）圓心在原點(diǎn)上與直線相切的圓的方程為

．

58．（2010新課標(biāo)）過(guò)點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線相切于點(diǎn)B(2,1)，則圓C的方程為_(kāi)_

三、解答題

59．（2018全國(guó)卷Ⅰ）設(shè)拋物線：，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．

(1)當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；

(2)證明：．

60．（2017新課標(biāo)Ⅲ）在直角坐標(biāo)系中，曲線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)變化時(shí)，解答下列問(wèn)題：

(1)能否出現(xiàn)的情況？說(shuō)明理由；

(2)證明過(guò)，三點(diǎn)的圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為定值．

61．（2016江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓:及其上一點(diǎn)．

（1）設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且,求直線的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)滿足：存在圓上的兩點(diǎn)和，使得求實(shí)數(shù)的取值范圍．

62．（2015新課標(biāo)1）已知過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與圓C：交于兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求k的取值范圍；

（Ⅱ）若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求．

63．(2014江蘇)如圖，為了保護(hù)河上古橋，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓．且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m．

經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處(OC為河岸)，．

（I）求新橋BC的長(zhǎng)；

（II）當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？

64．（2013江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線.設(shè)圓的半徑為1，圓心在上.（I）若圓心也在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；

（II）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.65．(2013新課標(biāo)2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓在軸上截得線段長(zhǎng)為，在軸上截得線段長(zhǎng)為。

（I）求圓心的軌跡方程；

（II）若點(diǎn)到直線的距離為，求圓的方程。

66．（2011新課標(biāo)）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上．

（I）求圓C的方程；

（II）若圓C與直線交于A，B兩點(diǎn)，且求的值．

67．（2010北京）已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，離心率是，直線橢圓C交與不同的兩點(diǎn)，以線段為直徑作圓，圓心為．

（I）求橢圓C的方程；

（II）若圓與軸相切，求圓心的坐標(biāo)；

（Ⅲ）設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求的最大值．

專題九

解析幾何

第二十四講

直線與圓

答案部分

2019年

1.解析

由題意和題圖可知，當(dāng)為優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積取最大值，如圖所示，設(shè)圓心為，.此時(shí)陰影部分面積.故選B.2.解析的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，故符合條件的圓為.3.（2019江蘇18）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求：線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）．

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；

（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由；

（3）在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．

3.解析：解法一：如圖，由圓心與切點(diǎn)的連線與切線垂直，得，解得．

所以圓心為（0，-2），則半徑．

解法二：由，得，所以.4.解析

（1）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以圓心M在AB的垂直平分線上.由已知A在直線上，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，所以M在直線上，故可設(shè).因?yàn)榕c直線x+2=0相切，所以的半徑為.由已知得，又，故可得，解得或.故的半徑或.（2）存在定點(diǎn)，使得為定值.理由如下：

設(shè)，由已知得的半徑為.由于，故可得，化簡(jiǎn)得M的軌跡方程為.因?yàn)榍€是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以.因?yàn)?，所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.2010-2018年

1．A【解析】圓心到直線的距離，所以點(diǎn)到直線的距離．根據(jù)直線的方程可知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，所以，所以的面積．

因?yàn)?，所以，即面積的取值范圍是．故選A．

2．C【解析】圓心坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式可知，故選C.3．B【解析】由（）得（），所以圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A截直線所得線段的長(zhǎng)度是，所以，解得，圓的圓心為，半徑為，所以，，因?yàn)?，所以圓與圓相交，故選B．

4．A【解析】由題意知圓心為，由距離公式有，解得，故選A．

5．D【解析】由題意可得圓的半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

6．D【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心到直線的距離，所以或．

7．B【解析】由題意可得，∴為等邊三角形，故的外接圓圓心時(shí)的中心，又等邊的高為，故中心為，故外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為．

8．A【解析】當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，圓上存在點(diǎn)，使得，所以符合題意，排除B、D；當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，連接，則在中，則，故此時(shí)在圓上不存在點(diǎn)，使得，即不符合題意，排除C，故選A．

9．D【解析】直線過(guò)點(diǎn)，斜率為，所以直線的方程為．

10．B【解析】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為1，所以以原點(diǎn)為圓心、以為半徑與圓有公共點(diǎn)的最大圓的半徑為6，所以的最大值為6，故選B．

11．C【解析】由題意得，，所以．

12．D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，由題意可知．

13．B【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心，半徑滿足，則圓心到直線的距離，所以，故

14．B【解析】易知直線過(guò)定點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)，且兩條直線相互垂直，故點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故

．故選B．

15．A【解析】由題意可知以線段為直徑的圓C過(guò)原點(diǎn)，要使圓的面積最小，只需圓的半徑或直徑最?。謭A與直線相切，所以由平面幾何知識(shí)，知圓的直徑的最小值為點(diǎn)0到直線的距離，此時(shí)，得，圓的面積的最小值為．

16．A【解析】根據(jù)平面幾何知識(shí)，直線AB一定與點(diǎn)(3，1)，(1，0)的連線垂直，這兩點(diǎn)連線的斜率為，故直線AB的斜率一定是–2，只有選項(xiàng)A中直線的斜率為–2．

17．A【解析】

圓C1，C2的圓心分別為C1，C2，由題意知|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，故所求值為|PC1|＋|PC2|－4的最小值．

又C1關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為C3(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|－4的最小值為|C3C2|－4＝，故選A．

18．C【解析】圓心，圓心到直線的距離，半徑，所以最后弦長(zhǎng)為.19．B【解析】（1）當(dāng)過(guò)與的中點(diǎn)時(shí)，符合要求，此，（2）當(dāng)位于②位置時(shí),，令得,∵,∴

(3)

當(dāng)位于③位置時(shí),，令,即，化簡(jiǎn)得,∵,∴，解得

綜上：，選B

20．B【解析】點(diǎn)M(a,b)在圓

=圓的半徑，故直線與圓相交．所以選B．

21．C【解析】設(shè)直線斜率為，則直線方程為，即，圓心到直線的距離，即，解得。因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，即，選C．

22．A【解析】∵圓心到直線的距離等于，排除B、C；相切于第一象限排除D，選A.直接法可設(shè)所求的直線方程為：，再利用圓心到直線的距離等于，求得.23．C【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則因?yàn)閨AF|=3|BF|，所以，所以，因?yàn)?3，=9，所以=3，=，當(dāng)=3時(shí)，所以此時(shí)，若，則,此時(shí),此時(shí)直線方程為．若，則,此時(shí),此時(shí)直線方程為．

所以的方程是或，選C.24．A【解析】“直線：與直線：平行”的充要條件是，解得，或，所以是充分不必要條件。

25．D【解析】∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離為，所以，設(shè)，則，解得.26．A【解析】要使直線將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差最大，必須使過(guò)點(diǎn)的圓的弦長(zhǎng)達(dá)到最小，所以需該直線與直線垂直即可．又已知點(diǎn)，則,故所求直線的斜率為–1．又所求直線過(guò)點(diǎn)，故由點(diǎn)斜式得，所求直線的方程為，即.故選A．

27．B【解析】圓的圓心到直線的距離

弦的長(zhǎng)．

28．A【解析】設(shè)點(diǎn)，直線的方程是，由于的面積為2，則這個(gè)三角形中邊上的高滿足方程，即，由點(diǎn)到直線的距離公式得，即，解得有4個(gè)實(shí)根，故這樣的點(diǎn)C有4個(gè)．

29．B【解析】，表示兩條直線即軸和直線：，顯然軸與有兩個(gè)交點(diǎn)，由題意與相交，所以的圓心到的距離，解得，又當(dāng)時(shí)，直線與軸重合，此時(shí)只有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．故選B．

30．D【解析】因?yàn)橐阎獟佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，即所求圓的圓心，又圓過(guò)原點(diǎn)，所以圓的半徑為，故所求圓的方程為，即，選D．

31．D【解析】設(shè)圓心，則，即，解得，所以圓的方程為．

32．【解析】由題意知，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為2，則圓心到直線的距離，所以．

33．【解析】設(shè)圓的方程為，則，解得，，故圓的方程為．

34．3【解析】因?yàn)?，所以，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，設(shè)直線的傾斜角為，直線的斜率為，則，．又，所以直線的方程為，又為直線：上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立直線與直線的方程，得，解得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3．

35．【解析】設(shè)圓心為，由題意，所以，所以，解得，因?yàn)橐詾閳A心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)，所以，取

所求圓的方程為．

36．8【解析】由題意有，所以．

當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．

37．【解析】設(shè)，由，得，如圖由可知，在上，由，解得，所以點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為．

38．【解析】設(shè)，則，故圓C的方程為

39．【解析】圓C的方程可化為，可得圓心的坐標(biāo)為，半徑，所以圓心到直線的距離為，所以，解得，所以圓C的半徑為2，所以圓C的面積為．

40．4【解析】設(shè)，由，得，代入圓的方程，并整理，得，解得，所以，所以直線的方程為，令得，直線的方程為，令得，則．

41．【解析】由點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上知此圓的方程為：，所以該圓在點(diǎn)處的切線方程為即．

42．2

【解析】如圖直線與圓

交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則圓心到直線的距離為，∴．

43．（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由圓與軸相切于點(diǎn)知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即，半徑．又因?yàn)?，所以，即，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）令得：.設(shè)圓在點(diǎn)處的切線方程為，則圓心到其距離為：，解之得．即圓在點(diǎn)處的切線方程為，于是令可得，即圓在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，故應(yīng)填和．

44．【解析】因?yàn)橹本€恒過(guò)點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，半徑最大，此時(shí)半徑，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

45．【解析】圓心到直線的距離．

直線被圓截得的弦長(zhǎng)為．

46．【解析】由題意知圓心到直線的距離等于，即，解得．

47．2【解析】由題意得，直線截圓所得的劣弧長(zhǎng)為，則圓心到直線的距離為，即，得，同理可得，則．

48．【解析】設(shè)圓心為，則圓的半徑為，圓心到軸的距離為，所以，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．

49．【解析】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以所求圓的圓心為，半徑為1，于是圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

50．0或6【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑為3．因?yàn)椋詧A心到曲線的距離為，即，所以或6．

51．【解析】設(shè)，則，∵為常數(shù)，∴，解得或（舍去），∴．

解得或（舍去）．

52．【解析】已知圓心為，半徑為5，圓心到直線的距離為，所以弦長(zhǎng)．

53．4【解析】由題意圓心到該直線的距離為1，而圓半徑為＞2，故圓上有4個(gè)點(diǎn)到該直線的距離為1.54．【解析】圓心(0，2)到直線y=x的距離為d=，圓的半徑為2，所以所求弦長(zhǎng)為2

55．1【解析】當(dāng)時(shí)，兩直線不垂直，故．因?yàn)橹本€與直線的斜率分別為和，由，故．

56．【解析】以題意設(shè)圓的方程為，把所給的兩點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得，解得，所以圓C：．

57．【解析】由題意可知原點(diǎn)到直線的距離為圓的半徑，即,所求圓的方程為．

58．【解析】設(shè)圓的方程為，由題意得，解得，所以圓C的方程為．

59．【解析】(1)當(dāng)與軸垂直時(shí)，的方程為，可得的坐標(biāo)為或．

所以直線的方程為或．

(2)當(dāng)與軸垂直時(shí)，為的垂直平分線，所以．

當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，，則，．

由得，可知，．

直線，的斜率之和為

．①

將，及，的表達(dá)式代入①式分子，可得

．

所以，可知，的傾斜角互補(bǔ)，所以．

綜上，．

60．【解析】（1）不能出現(xiàn)的情況，理由如下：

設(shè)，則，滿足，所以．

又的坐標(biāo)為，故的斜率與的斜率之積為，所以不能出現(xiàn)的情況.（2）的中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得的中垂線方程為．

由（1）可得，所以的中垂線方程為．

聯(lián)立，又，可得，所以過(guò)、、三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑．

故圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為，即過(guò)、、三點(diǎn)的圓在軸上的截得的弦長(zhǎng)為定值．

61．【解析】圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心M(6，7)，半徑為5,（1）由圓心N在直線上，可設(shè).因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓M外切，所以，于是圓N的半徑為，從而，解得.因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)因?yàn)橹本€OA，所以直線的斜率為.設(shè)直線的方程為，即，則圓心M到直線的距離

因?yàn)?/p>

而

所以，解得或.故直線的方程為或.(3)設(shè)

因?yàn)?所以

……①

因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上，所以

…….②

將①代入②，得.于是點(diǎn)既在圓M上，又在圓上，從而圓與圓有公共點(diǎn)，所以

解得.因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是.62．【解析】（Ⅰ）由題設(shè)，可知直線l的方程為．

因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以．

解得．所以的取值范圍是．

（Ⅱ）設(shè)．

將代入方程，整理得，所以，．，由題設(shè)可得，解得，所以l的方程為．

故圓心在直線l上，所以．

63．【解析】（I）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．

由條件知A(0,60)，C(170,0)，直線BC的斜率k

BC=－tan∠BCO=－.又因?yàn)锳B⊥BC，所以直線AB的斜率k

AB=.設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b)，則k

BC=

k

AB=

解得a=80，b=120.所以BC=.因此新橋BC的長(zhǎng)是150

m.（II）設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為r

m，OM=d

m，(0≤d≤60).由條件知，直線BC的方程為，即

由于圓M與直線BC相切，故點(diǎn)M(0，d)到直線BC的距離是r，即.因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80

m,所以即解得

故當(dāng)d=10時(shí),最大，即圓面積最大.所以當(dāng)OM

=

m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.解法二:

（I）如圖，延長(zhǎng)OA,CB交于點(diǎn)F.因?yàn)閠an∠BCO=.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=．

因?yàn)镺A=60,OC=170，所以O(shè)F=OC

tan∠FCO=.CF=,從而.因?yàn)镺A⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==，又因?yàn)锳B⊥BC，所以BF=AF

cos∠AFB==，從而BC=CF－BF=150.因此新橋BC的長(zhǎng)是150

m.（II）設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點(diǎn)為D，連接MD，則MD⊥BC，且MD是圓M的半

徑，并設(shè)MD=r

m，OM=d

m(0≤d≤60).因?yàn)镺A⊥OC，所以sin∠CFO

=cos∠FCO，故由(1)知，sin∠CFO

=所以.因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80

m,所以即解得

故當(dāng)d=10時(shí),最大，即圓面積最大.所以當(dāng)OM

=

m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.64．【解析】（I）由題設(shè)點(diǎn)，又也在直線上，由題，過(guò)A點(diǎn)切線方程可設(shè)為，即，則，解得：，∴所求切線為或

（II）設(shè)點(diǎn)，，，即，又點(diǎn)在圓上，兩式相減得，由題以上兩式有公共點(diǎn)，整理得：，即，令，則，解得：，解得：．

65．【解析】（I）設(shè)，圓的半徑為．

由題設(shè)，從而

故點(diǎn)的軌跡方程為．

（II）設(shè)，由已知得．

又點(diǎn)在雙曲線上，從而得

由得此時(shí)，圓的半徑．

故圓的方程為或

66．【解析】（I）曲線與y軸的交點(diǎn)為（0，1），與軸的交點(diǎn)為（故可設(shè)C的圓心為（3，t），則有解得t=1.則圓C的半徑為

所以圓C的方程為

（II）設(shè)A()，B()，其坐標(biāo)滿足方程組：

消去y，得到方程

由已知可得，判別式

因此，從而

①

由于OA⊥OB，可得

又所以

②

由①，②得，滿足故

67．【解析】（I）因?yàn)?，且，所?/p>

所以橢圓C的方程為

（II）由題意知

由

得

所以圓的半徑為

解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圓的方程．

因?yàn)辄c(diǎn)在圓上．

所以

設(shè)，則

當(dāng)，即，且，取最大值2．