專題二

函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ

第五講

函數(shù)與方程

2019年

2019年

1.（2019全國Ⅲ文5）函數(shù)在[0，2π]的零點個數(shù)為

A．2

B．3

C．4

D．5

2.（2019天津文8）（8）已知函數(shù)若關(guān)于的方程恰有兩個互異的實數(shù)解，則的取值范圍為

（A）

（B）

（C）

（D）

3.（2019江蘇14）設是定義在R上的兩個周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當時，，其中k>0.若在區(qū)間(0，9]上，關(guān)于x的方程有8個

不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是

.2010-2018年

一、選擇題

1．（2017新課標Ⅲ）已知函數(shù)有唯一零點，則=

A．

B．

C．

D．1

2．（2017山東）設，若，則

A．2

B．4

C．6

D．8

3．（2015安徽）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是

A．

B．

C．

D．

4．（2015天津）已知函數(shù)，函數(shù)，則函數(shù)的零點的個數(shù)為

A．2

B．3

C．4

D．5

5．（2015陜西）對二次函數(shù)（為非零整數(shù)），四位同學分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是

A．－1是的零點

B．1是的極值點

C．3是的極值

D．點在曲線上

6．(2014山東)已知函數(shù)，．若方程有兩個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是

（A）

（B）

（C）

（D）

7．（2014北京）已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是

（A）

（B）

（C）

（D）

8．（2014重慶）已知函數(shù)，且在內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是

（A）

（B）

（C）

（D）

9．（2014湖北）已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，．則函數(shù)的零點的集合為

（A）

（B）

（C）

（D）

10．（2013安徽）已知函數(shù)有兩個極值點，若，則關(guān)于的方程的不同實根個數(shù)為

（A）3

(B)

（C）5

（D）6

11．（2013重慶）若，則函數(shù)的兩個零點分別位于區(qū)間

（A）和內(nèi)

（B）和內(nèi)

（C）和內(nèi)

（D）和內(nèi)

12．（2013湖南）函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為

（A）3

（B）2

（C）1

（D）0

13．（2013天津）函數(shù)的零點個數(shù)為

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4

14．（2012北京）函數(shù)的零點個數(shù)為

（A）0

（B）1

（C）2

（D）3

15．（2012湖北）函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為

（A）4

（B）5

（C）6

（D）7

16．（2012遼寧）設函數(shù)滿足，且當時，．又函數(shù)，則函數(shù)在上的零點個數(shù)為

（A）5

（B）6

（C）7

（D）8

17．(2011天津)對實數(shù)與，定義新運算“”：，設函數(shù)

若函數(shù)的圖像與軸恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是

（A）

（B）

（C）

（D）

18．（2011福建）若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是

（A）（1,1）

（B）（2,2）

（C）（∞，2）∪（2，+∞）

（D）（∞，1）∪（1，+∞）

19．(2011全國新課標)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點的橫坐標之和等于

（A）2

（B）4

（C）6

（D）8

20．(2011山東)已知是上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當時，則函數(shù)的圖象在區(qū)間[0,6]上與軸的交點的個數(shù)為

（A）6

（B）7

（C）8

（D）9

21．（2010年福建）函數(shù)，的零點個數(shù)為

（A）0

（B）1

（C）2

（D）3

22．(2010天津)函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是

（A）（2，1）

（B）（1，0）

（C）（0，1）

（D）（1，2）

23．（2010廣東）“”是“一元二次方程有實數(shù)解”的（A）充分非必要條件

（B）充分必要條件

（C）必要非充分條件

（D）非充分非必要條件

24．（2010浙江）設函數(shù)，則在下列區(qū)間中函數(shù)不存在零點的是

（A）

（B）

（C）

（D）

二、填空題

25．(2018江蘇)若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為

．

26．(2018浙江)已知，函數(shù)，當時，不等式的解集是______．若函數(shù)恰有2個零點，則的取值范圍是____．

27．（2017江蘇）設是定義在且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上，其中集合，則方程的解的個數(shù)是

．

28．（2016山東）已知函數(shù)其中．若存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個不同的根，則的取值范圍是_______．

29．（2016年天津）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于的方程恰有兩個不相等的實數(shù)解，則的取值范圍是_______．

30．（2016年浙江）設函數(shù)．已知，且，∈R，則實數(shù)=_____，=______．

31．(2015福建)若是函數(shù)的兩個不同的零點，且，這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則的值等于

．

32．（2015湖北）函數(shù)的零點個數(shù)為

．

33．（2015湖南）若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是

．

34．（2014江蘇）已知是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當時，．若函數(shù)在區(qū)間上有10個零點(互不相同)，則實數(shù)的取值范圍是

．

35．（2014福建）函數(shù)的零點個數(shù)是_________．

36．（2014天津）已知函數(shù)，．若方程恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為__________．

37．（2012福建）對于實數(shù)和，定義運算“*”：設=，且關(guān)于的方程為（∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是____________．

38．(2011北京)已知函數(shù)，若關(guān)于的方程=有兩個不同的實根，則數(shù)的取值范圍是_______．

39．(2011遼寧)已知函數(shù)有零點，則的取值范圍是______．

專題二

函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ

第五講

函數(shù)與方程

答案部分

2019年

1.解析

解法一：函數(shù)在的零點個數(shù)，即在區(qū)間的根個數(shù)，即，令和，作出兩函數(shù)在區(qū)間的圖像如圖所示，由圖可知，?

和在區(qū)間的圖像的交點個數(shù)為3個．故選B．

解法二：因為，令，得，即或，解得.所以在的零點個數(shù)為3個.故選B.2.解析

作出函數(shù)的圖像，以及直線的圖像，如圖所示.關(guān)于的方程恰有兩個互異的實數(shù)解，即和的圖像有兩個交點，平移直線，考慮直線經(jīng)過點和時，有兩個交點，可得或.考慮直線與在相切，可得，由，解得（舍去）.綜上可得，的范圍是．

故選D．

3.解析

作出函數(shù)與的圖像如圖所示，由圖可知，函數(shù)與僅有2個實數(shù)根；

要使關(guān)于x的方程有8個不同的實數(shù)根，則，與，的圖象有2個不同交點，由到直線的距離為1，得，解得，因為兩點，連線的斜率，所以，即的取值范圍為.2010-2018年

1．C【解析】令，則方程有唯一解，設，則與有唯一交點，又，當且僅當時取得最小值2．

而，此時時取得最大值1，有唯一的交點，則．選C．

2．C【解析】由時是增函數(shù)可知，若，則,所以,由得，解得,則,故選C．

3．A【解析】是偶函數(shù)且有無數(shù)多個零點，為奇函數(shù)，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，是偶函數(shù)但沒有零點．故選A．

4．A【解析】當時，此時方程的小于零的零點為；當時，方程

無零點；當時，方程大于2的零點有一個，故選A．

5．A【解析】由A知；由B知，；由C知，令可得，則，則；

由D知，假設A選項錯誤，則，得，滿足題意，故A結(jié)論錯誤，同理易知當B或C或D選項錯誤時不符合題意，故選A．

6．B【解析】如圖所示，方程有兩個不相等的實根等價于兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，結(jié)合圖象可知，當直線的斜率大于坐標原點與點的連續(xù)的斜率，且小于直線的斜率時符合題意，故選．

7．C【解析】

∵，，∴零點的區(qū)間是．

8．A【解析】在內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，就是函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個交點，在同一直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)，和函數(shù)的圖象，如圖，當與和都相交時；

當與有兩個交點時，由，消元得，即，化簡得，當，即時直線與相切，當直線過點時，所以，綜上，實數(shù)的取值范圍是．

9．D【解析】當時，函數(shù)的零點即方程得根，由，解得或3；當時，由是奇函數(shù)得，即，由得（正根舍去）．

10．A【解析】，是方程的兩根，由，則又兩個使得等式成立，，其函數(shù)圖象如下：

如圖則有3個交點，故選A.11．A【解析】由題意a＜b＜c，可得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0.顯然f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，所以該函數(shù)在(a，b)和(b，c)上均有零點，故選A．

12．B【解析】二次函數(shù)的圖像開口向上，在軸上方，對稱軸為=2，g(2)

=

1；

f(2)

=2ln2=ln4>1．所以g(2)

13．B【解析】令，可得，由圖象法可知有兩個零點．

14．B【解析】因為在內(nèi)單調(diào)遞增，又，所以

在內(nèi)存在唯一的零點。

15．C【解析】，則或，又，所以共有6個解.選C.16．B【解析】由知函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)為周期為2的周期函數(shù)，且，而為偶函數(shù)，且，在同一坐標系下作出兩函數(shù)在上的圖像，發(fā)現(xiàn)在內(nèi)圖像共有6個公共點，則函數(shù)在上的零點個數(shù)為6，故選B.17．B【解析】由題意知，若，即時，；當，即或時，要使函數(shù)的圖像與軸恰有兩個公共點，只須方程有兩個不相等的實數(shù)根即可，即函數(shù)的圖像與直線有兩個不同的交點即可，畫出函數(shù)的圖像與直線，不難得出答案B．

18．C【解析】由一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，可得判別式，即，解得或，故選C．

19．D【解析】圖像法求解．的對稱中心是（1,0）也是的中心，他們的圖像在x=1的左側(cè)有4個交點，則右側(cè)必有4個交點．不妨把他們的橫坐標由小到大設為，則，所以選D．

20．B【解析】因為當時，又因為是上最小正周期為2的周期函數(shù)，且，所以,又因為，所以,，故函數(shù)的圖象在區(qū)間[0,6]上與軸的交點的個數(shù)為7個，選B．

21．C【解析】當時，令解得；

當時，令解得，所以已知函數(shù)有兩個零點，選C．

22．B【解析】因為，所以選B．

23．A【解析】有實數(shù)解等價于，即．當時，成立，但時，不一定成立，故選A．

24．A【解析】，由于，所以，故函數(shù)在上存在零點；由于，故函數(shù)在上存在零點，在上也存在零點，令，則，而，所以函數(shù)在上存在零點，故選A．

25．【解析】()，當時在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，又，所以此時在內(nèi)無零點，不滿足題意．當時，由得，由得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又在內(nèi)有且只有一個零點，所以，得，所以，則，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，則，，則，所以在上的最大值與最小值的和為．

26．；【解析】若，則當時，令，得；當時，令，得．綜上可知，所以不等式的解集為．令，解得；令，解得或．因為函數(shù)恰有2個零點，結(jié)合函數(shù)的圖象（圖略）可知或．

27．8【解析】由于，則需考慮的情況，在此范圍內(nèi)，且時，設，且互質(zhì)，若，則由，可設，且互質(zhì)，因此，則，此時左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾，因此，因此不可能與每個周期內(nèi)對應的部分相等，只需考慮與每個周期的部分的交點，畫出函數(shù)圖象，圖中交點除外其他交點橫坐標均為無理數(shù)，屬于每個周期的部分，且處，則在附近僅有一個交點，因此方程的解的個數(shù)為8．

28．【解析】當時，其頂點為；當時，函數(shù)的圖象與直線的交點為．

①當，即時，函數(shù)的圖象如圖1所示，此時直線與函數(shù)的圖象有一個或兩個不同的交點，不符合題意；

②當，即時，函數(shù)的圖象如圖2所示，則存在實數(shù)滿足，使得直線與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，符合題意．

綜上，的取值范圍為．

圖1

圖2

29．【解析】由在R上單調(diào)遞減得，又方程恰有兩個不相等的實數(shù)解，所以，因此的取值范圍是．

30．－2；1【解析】，所以，解得．

31．9【解析】由韋達定理得，則，當適當排序后成等比數(shù)列時，必為等比中項，故，．當適當排序后成等差數(shù)列時，必不是等差中項，當是等差中項時，解得，；當是等差中項時，解得，綜上所述，所以．

32．2

【解析】函數(shù)的零點個數(shù)等價于方程的根的個數(shù)，即函數(shù)與的圖像交點個數(shù)．于是，分別畫出其函數(shù)圖像如下圖所示，由圖可知，函數(shù)與的圖像有2個交點．

33．【解析】令，得，由題意可知函數(shù)與的圖象有兩個交點，畫圖可知（圖略）．

34．【解析】函數(shù)在區(qū)間上有互不相同的10個零點，即函數(shù)與的圖象有10個不同的交點，在坐標系中作出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象，可知．

35．2【解析】當時，令，得；當時，∵，∴在上單調(diào)遞增，因為，所以函數(shù)在有且只有一個零點，所以的零點個數(shù)為2．

36．或【解析】解法一

顯然．

（?。┊斉c相切時，此時恰有3個互異的實數(shù)根．

（ⅱ）當直線與函數(shù)相切時，此時恰有2個互異的實數(shù)根.結(jié)合圖象可知或．

解法二：顯然，所以.令，則.因為，所以．

結(jié)合圖象可得或．

37．【解析】由定義運算“*”可知

=，如圖可知滿足題意的的范圍是，不妨設，當時，=，即

∴；∴，當時，由，得

∴，．

38．【解析】當時，說明函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)的值域是，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)的值域是，因此要使方程有兩個不同實根，則．

39．【解析】由原函數(shù)有零點，可將問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題，即方程有解．令函數(shù)，則，令，得，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以的最大值為，所以．